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MATEMÁTICAS II Curso 07-08

Funciones de varias variables. Límites y continuidad

U.D. de Matemáticas de la ETSITGC. 1/12

1. Se construye un depósito de propano adosando dos hemisferios a los extremos de un cilindro circular recto. Expresar el volumen V de ese depósito en función del radio r del cilindro y de su altura h.

Solución:

El volumen V del depósito depende de los valores que tengan r y h, y es único para cada par (r,h) por lo que es una función de r y h.

V(r,h) = πr2h + 3

4 πr3

2. Determinar si las siguientes funciones son acotadas:

a) ( ) ( )yexyxsenz −+= cos 2 b) 2

22

2 1

1

yseny

xsenxz += c)

yxe

yxz +

+=

Solución:

a) ( ) ( )yexyxsenz −+= cos 2 ,

( ) ( ) 1cos 1 2 ≤−+≤− yexyxsen , por ser:

( ) 1 0 2 ≤+≤ yxsen , ( ) 1cos1- ≤−≤ yex , luego, es una función acotada:

b) 2

22

2 1

1

yseny

xsenxz += (El dominio es R2-{ } 0 0 rectas las =∧= yx )

Es acotada, por serlo los dos sumandos:

pues cada uno de ellos en x = 0 y en los extremos verifica:

0 1

22

0=

→ xsenxlím

x, 1

12

2 =±∞→ x

senxlímx

(análogamente para 2

2 1

yseny ). En el resto del dominio toman valores finitos por ser

funciones continuas.




c) yxe

yxz +

+=

3. Hallar, y representar gráficamente, el dominio de las funciones siguientes. Calcula también el conjunto imagen o recorrido:

a) f(x,y) = )6ln( −xy ; b) g(x,y) = 22 44 yx −− ; c) h(x,y) = arc cos x

y;

d) p(x,y) = 22 yx

x

+; e) r(x,y)=

−2

2

xy

ex .

Solución a) f(x, y) = )6ln( −xy

Dominio: xy-6 > 0

>>

<<⇔

0 si 6

0 si 6

xx

y

xx

y

Imagen: R (pues al acercarse el punto (x, y) a la hipérbola xy =6 ⇒ f tiende a ∞− ; pero cuando x e y tienden a ∞ ⇒ f tiende a ∞ )

Está acotada superiormente pues:

si (x+y)→ ∞, entonces e(x+y) → ∞ pero z → 0, pues e(x+y) es un infinito de orden superior a x+y No está acotada inferiormente ya que, por ejemplo, a lo largo del eje OX (y = 0):

−∞=−∞→ xx e

xlím

Plano z =0




b) g(x,y) = 22 44 yx −− .

Recorrido: [0,2]

c) h(x,y) = arc cos x

y

Dominio:

≥≥−<≤≤−>

⇔≤≤∧≠xyxxSi

xyxxSi

x

yx

,0

,0 11- 0

Recorrido:, [0,ππππ] (o bien, [-π,0], pues al ser la función coseno una función periódica para definir el recorrido de h tenemos varias opciones, Derive opta por [0,π])

Dominio: 4444 044 222222 ≤+⇔+≥⇔≥−− yxyxyx

que es una elipse con los puntos de su interior




d) p(x,y) = 22 yx

x

+

Dominio: { })0,0(−R Recorrido: R

( ) ±∞==

±→yx,

0plím

xyx

e) r(x,y) =

−2

2

xy

ex Dominio: R

Recorrido: [0, ∞∞∞∞]

Pues

−2

2

xy

ex ≥0 para cualesquiera

valores x, y

−

→

2

2

0

xy

yexlím = x2, siendo ( ) ∞=

∞→

2xlímx

4. Describir las curvas de nivel de las funciones siguientes y dibujar las curvas de nivel correspondientes a los valores de c que se especifican:

a) xyz = c = ± 1, ± 2, ± 4.

b) 22 yx

xz

+= c = 0, ± 1/2, ± 1; ± 2.

c)

= 2 xy

ez c = 2, 4, 2

1,

4

1.

d) z = 6 – 2x -3 y c = 0, 2, 4, 6, 8.

Solución: a) xyz = Las curvas de nivel xy = c son hipérbolas cuyas asíntotas son los ejes de coordenadas. Las curvas de nivel xy = -1, xy = - 2, xy = - 4, son hipérbolas en el segundo y cuarto cuadrante. Las curvas de nivel xy =1, xy = 2, xy = 4, son hipérbolas en el primer y tercer cuadrante




b) 22 yx

xz

+=

La gráfica de esta función la podemos ver en el ejercicio 3d) Sus curvas de nivel son:

22 yx

xc

+= ⇔ 022 =−+ xcycx ⇔ 0

122 =−+ xc

yx ⇔2

22

2

1

2

1

=+

−c

yc

x que

corresponde a circunferencias de centro

0,

2

1

c y radio

c2

1 cuando c ≠ 0

c)

= 2 xy

ez c = 2, 4, 2

1,

4

1.

Las curvas de nivel de esta función son de la forma

= 2 xy

ec ⇔ xyc =ln2 que corresponden

a hipérbolas cuyas asíntotas son los ejes de coordenadas. Las curvas de nivel pedidas son: xy = 2ln2, xy = 2ln4= 4ln2, xy = 2ln(1/2)= -2ln2, xy = 2ln(1/4) = - 8ln2

Para c = 0 es la recta x = 0, Para c= + 1/2, + 1; + 2. son las circunferencias

( ) 11 22 =+− yx , 2

22

2

1

2

1

=+

− yx

22

2

4

1

4

1

=+

− yx

Para c= - 1/2, - 1; - 2. son las circunferencias

( ) 11 22 =++ yx , 2

22

2

1

2

1

−=+

+ yx

22

2

4

1

4

1

−=+

+ yx




d) z = 6 – 2x -3 y Esta función es un plano inclinado y sus curvas de nivel son las rectas c = 6 – 2x -3 y, donde c = 0, 2, 4, 6, 8

5. La temperatura T (en grados Celsius) en cualquier punto (x,y) de una placa circular de 10m de radio es:

T = 600 - 0,75x2 - 0,75y2 Donde x e y se miden en metros. Calcular y dibujar algunas curvas isotermas.

Solución:

Observemos que las condiciones del problema nos indican que 0≤ x ≤10 , 0≤ y ≤10, con 222 10≤+ yx , por tanto tenemos que la función temperatura T(x,y) está acotada, por ejemplo,

entre T(0,0) =600 y T(10,10) = 450 . Si queremos precisar más y obtener la temperatura mínima de la placa, hemos de tener en cuenta que T = 600 - 0,75x2 - 0,75y2 = 600 - 0.75 (x2+y2) y que el valor máximo que puede

alcanzar 222 10=+ yx , luego la temperatura mínima de la placa es T = 600 – 0.75·100 = 525.

Por lo tanto 525 < c < 600 y las curvas isotermas para c = 525, 540, 555, 570, 585, 600, son, respectivamente:

0,75x2 - 0,75y2= 75; 0,75x2 - 0,75y2= 60; 0,75x2 - 0,75y2= 45; 0,75x2 - 0,75y2= 30; 0,75x2 - 0,75y2= 15; 0,75x2 - 0,75y2= 0;




6. Consideremos ( ) ( ) xy

yxlím

yx

22

0,0,

+→

. Se pide:

a) Determinar, si es posible, el límite a lo largo de cualquier recta y = mx.

b) Determinar, si es posible, el límite a lo largo de la parábola y =x2.

c) ¿Existe el límite? Justifica la respuesta.

Solución:

a) xy

yxlímx

mxy

22

0

+

→=

=( )

2

22

0

1

mx

mxlímx

+→

=m

mlímx

2

0

1

+→

=m

m21+.

Como vemos el valor del límite depende de la recta que tomemos para acercarnos. Así para la recta de pendiente m=1, el límite vale 2 pero para la de pendiente m=-1, el límite vale -2.

b) xy

yxlímx

xy

22

0

2

+

→=

= 2

22

0

xx

xxlímx

+→

= ∞=→ x

límx

2

0

c) Los resultados anteriores indican que el valor depende del camino de acercamiento al (0,0) y como el límite para existir ha de ser único, la conclusión es que el límite no existe.

7. Calcular los siguientes límites:

a) ( ) ( ) 22

2

2,1,

5

yx

yxlím

yx +→; b)

( ) ( ) yx

yxlím

yx +−

−→

22

1,1, ; c)

( ) ( )

2

22

22

0,0,

+−

→ yx

yxlím

yx;

d) ( ) ( ) 43

4

1,1,

yx

yxlímyx −

−→

f) ( ) ( ) yx

yxxylím

yx ++−

→

0,0,




Solución:

a) ( ) ( ) 22

2

2,1,

5

yx

yxlím

yx +→=

5

10=2.

b) ( ) ( ) yx

yxlím

yx +−

−→

22

1,1, =

0

0 ¡indeterminación!

Vemos que se puede descomponer el numerador en factores y simplificar:

( ) ( ) yx

yxlím

yx +−

−→

22

1,1, =

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )yxlím

yx

yxyxlím

yxyx−=

+−+

−→−→ 1,1,1,1,=2.

c) ( ) ( )

2

22

22

0,0,

+−

→ yx

yxlím

yx=

0

0¡indeterminación!

En este caso, la descomposición del numerador en factores no deshace la indeterminación. Podemos evaluar el posible valor del límite acercándonos por caminos y = mx (límites radiales)

2

2

22

0

2

+

−

→= yx

yxlím

xmxy

=( )( )

2

22

22

0

+−

→ mxx

mxxlímx

=( )( )

2

22

22

0 1

1

+−

→ mx

mxlímx

= ( )( )

2

2

2

1

1

+−

m

m.

Como vemos el valor del límite depende de la recta que tomemos por lo que no existe el límite.

d) ( ) ( ) 43

4

1,1,

yx

yxlímyx −

−→

=0


En este caso vamos a utilizar como procedimiento el cálculo de los límites reiterados:

−−

→→ 43

4

11

yx

yxlímlímxy

=

−−

→ 4

4

1 1

1

y

ylímy

= 11→y

lím =1.

−−

→→ 43

4

11

yx

yxlímlímyx

=

−−

→ 1

1

31 x

xlímy

=( )( ) ( )1

1

11

1

2121 ++=

++−−

→→ xxlím

xxx

xlím

xx=

3

1.

Tienen distinto valor por lo que hemos de concluir que el límite no existe.

f) ( ) ( ) yx

yxxylím

yx ++−

→

0,0,=

0


Hallamos los límites reiterados:




++−

→→ yx

yxxylímlímxy

00

=

→→ y

ylímlímxy

00

= 10→y

lím =1.

++−

→→ yx

yxxylímlímyx

00

=

−→→ x

xlímlímyx

00

= ( )10

−→y

lím = -1.

Tienen distinto valor por lo que hemos de concluir que el límite no existe.

8. Estudiar la continuidad en (0, 0), y en el resto del dominio, de las siguientes funciones:

a) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

=

≠+=

0,0 si 0

0,0 si , 22

x,y

x,yyx

xy

yxf

b) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

=

≠+

−=

0,0 si 0

0,0 si , 22

22

x,y

x,yyx

xyyx

yxg .

Solución:

a) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

=

≠+=

0,0 si 0

0,0 si , 22

x,y

x,yyx

xy

yxf

f es continua en (0, 0) si

( ) ( )( )yxf

yx,lim

0,0, →= f(0,0)

En este caso, vamos a utilizar el paso a coordenadas polares para calcular el límite:

( ) 220,0),( yx

xylímyx +→

=( )( )

( ) ( )220 sincos

sincos

αααα

rr

rrlímr +→

= ( )αααα

222

2

0 sincos

sincos

+→ r

rlímr

= αα sincos0→r

lím =

αα sincos

Por lo tanto, el límite no existe pues depende del valor de α, en consecuencia, la función no es

continua en el origen. En el resto del dominio (R2) la función es continua por ser un cociente de funciones continuas (polinómicas) cuyo denominador no se anula.

b) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

=

≠+

−=

0,0 si 0

0,0 si , 22

22

x,y

x,yyx

xyyx

yxg .

g es continua en (0, 0) si ( ) ( )

( )yxgyx

,lim0,0, →

= g(0,0)

Al igual que en el caso anterior utilizamos el cambio a coordenadas polares:




( )( )

22

22

0,0),( yx

xyyxlímyx +

−→

=( ) ( )( )( )

( ) ( )22

22

0 sincos

sincossincos

αααααα

rr

rrrrlímr +

−→

=

( )( )α+α

α−ααα→ 222

224

0 sincos

cossincos

r

senrlímr

= ( )( )αααα 222

0cossincos senrlím

r−

→ =0, pues observa que

( ) ( ) ( )

≤+≤−≤−

→→

2cos1cossincoscossincos

0 cuando 0222222

2

αααααααααα sensensen

rr

es decir, tenemos el producto de una función que tiende a 0 (infinitésimo) por una expresión

que dependiendo de α está acotada, luego el límite es 0, por lo tanto,

( )( ) ( )0,00,

0,0),(gyxglím

yx==

→

Lo que nos dice que g(x,y) es una función continua en el origen.

En el resto del dominio (R2) la función es continua por ser un cociente de funciones continuas (polinómicas) cuyo denominador no se anula.

9. Dada la función f(x,y)=( ) ( )

( ) ( )

=

≠+

0,0 si k

0,0 si sen

22

2

x,y

x,yyx

yxsen

. Se pide:

a) Límites reiterados en el punto (0,0). b) A la vista del resultado anterior ¿qué puedes decir acerca del límite de f en (0,0)?¿Es

continua la función en (0,0)? c) ¿Se puede definir f(0,0) para que f sea continua en dicho punto?

Solución:

a) Límites reiterados en el punto (0,0).

( ) 000sen

020022

2

00==

=

+ →→→→→ yxyxylím

ylímlím

yx

yxsenlímlím

( ) 000sen

020022

2

00==

=

+ →→→→→ yyxyxlím

xlímlím

yx

yxsenlímlím

b) A la vista del resultado anterior ¿qué puedes decir acerca del límite de f en (0,0)?¿Es continua la función en (0,0)?

Solo podemos afirmar que, si existe el límite, entonces su valor ha de ser 0. El ejercicio dice que f(0,0)=k, y la teoría define a f como continua en (0, 0) si y solo si existe

( ) ( )( )yxf

yx,lim

0,0, →= f(0,0)

por lo tanto, con el resultado del apartado a) solo podemos establecer que f no es continua en

(0,0) cuando k ≠0.




c) ¿Se puede definir f(0,0) para que f sea continua en dicho punto?

Dado el resultado en el apartado a) para que f sea continua en (0,0) se han de cumplir dos condiciones

( ) ( )

==

=+→

0(0,0) )2ª

0sen

lim )ª122

2

0,0,

kf

yx

yxsenyx

Verificamos, en primer lugar, si el límite vale 0 utilizando el procedimiento de cambio a coordenadas polares. En este caso, también vamos a tener en cuenta que senx, seny, son

infinitésimos equivalentes a x e y , respectivamente, cuando (x,y)→(0,0):

( ) ( ) 22

2

0,0,

sen lim

yx

yxsenyx +→

=( ) ( ) 22

2

0,0,

lim

yx

yxyx +→

=( )( )

( ) ( )22

22

0 sincos

sincos

αααα

rr

rrlímr +→

= ( )α+ααα

→ 222

23

0 sincos

sincos

r

rlímr

=

( )αα→

sincos2

0rlím

r = 0 pues

≤αα

→

acotada) está ( 1sincos

02

r

En consecuencia, haciendo f(0,0) = k = 0 se verifica que:

( ) ( )( )yxf

yx,lim

0,0, →= f(0,0)= 0

10. Para las siguientes funciones, probar que el valor de ( ) ( )

),(0,0,

yxflímyx →

depende del

camino elegido para acercarse a (0,0):

a) f(x,y) = ( )2242

42

yxyx

yx

−+ b) f(x,y) =

62

3

yx

xy

+

¿Existen dichos límites?

Solución:

a) En la función f(x,y) = ( )2242

42

yxyx

yx

−+ observamos que los exponentes de la variable y

son el doble de los exponentes de la variable x, lo que hace aconsejable utilizar parábolas de la forma y2 = mx para evaluar por caminos el valor del límite de la función f en (0,0):

Acercándonos por y2 = x: ( )2242

42

0

2yxyx

yxlím

xxy −+→

==

( )222

22

0 xxxx

xxlímx −+→

= 10→x

lím =1

Acercándonos por y2 = 2x: ( )

( ) ( )222

22

02 22

22 xxxx

xxlím

xxy −+

→=

=24

4

0 4

4

xx

xlímx +→

= 14

42

2

0 +→ x

xlímx

= 0

Queda probado que el límite de f en (0,0) depende del camino, en consecuencia, la teoría nos dice que no existe dicho límite.




b) Observa que en la función f(x,y) = 62

3

yx

xy

+ los exponentes de la variable y son el triple

de los exponentes de la variable x, lo que sugiere utilizar parábolas de la forma y3 = mx para evaluar por caminos el valor del límite pedido:

Acercándonos por y3 = x: 63

3

0

3 yxy

xylím

xxy +

→=

=22

2

0 xx

xlímx +→

= 2

1

0→xlím =

2

1

Acercándonos por y3 = 3x: 63

3

033 yxy

xylím

xxy +

→=

=( )22

2

0 33

3

xx

xlímx +→

= 12

3

0→xlím =

4

1.

Queda probado que el límite de f en (0,0) depende del camino, en consecuencia, la teoría nos dice que no existe dicho límite. Nota: El ejercicio nº 10 admite otras soluciones distintas de la que se ha escrito. Sugerimos

que se resuelva, al menos, de otra forma distinta.

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