sokszínû munkafüzet 7 - mozaik kiadó · Ötödik, változatlan kiadás mozaik kiadó szeged,...

Ötödik, változatlan kiadás

Mozaik Kiadó – Szeged, 2012

7s o k s z í n û

munkafüzet

Kothencz JánosnéPintér Klára

Ms-2317_matek7_mf_megoldas_2012.qxd 2012.01.17. 14:57 Ms-2317_matek7_mf_megoldas_2012.qxd 2012.01.17. 14:59 Page 1

Szerzõk:

KOTHENCZ JÁNOSNÉáltalános iskolai tanár

PINTÉR KLÁRAfõiskolai adjunktus

Bírálók:

JUHÁSZ NÁNDORáltalános iskolai tanár

KOZMÁNÉ JAKAB ÁGNESáltalános iskolai szakvezetõ tanár

Felelõs szerkesztõk:HORVÁTH KATALIN

TÓTH KATALIN

Illusztrációk:ÁBRAHÁM ISTVÁN

Kirendelt szakértõk:TARINÉ SZENTES MÁRIA KATALIN

DR. SZALAY ISTVÁNKIRÁLY ILDIKÓ

Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a mû bõvített, illetve rövidített változata kiadásának jogát is. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mû,

sem annak része semmiféle formában nem sokszorosítható.

KERETTANTERV:MOZAIK Kerettantervrendszer 17/2004 (V. 20.)

OM Kerettanterv 17/2004 (V. 20.)

ISBN 978 963 697 562 3Megoldáskötet: ISBN 978 963 697 584 5

ENGEDÉLYSZÁM: KHF/568-9/2009

© MOZAIK KIADÓ, 2008


3

Útmutató a munkafüzet használatáhozA munkafüzet témakörei a tankönyvnek megfelelõ sorrendben követik egymást. Az egymásra épülõ feladatokjó gyakorlási lehetõséget biztosítanak, így segítik a tananyag megértését és elmélyítését. A gondolkodtatóbbfeladatokat *-gal jelöltük, ezek megoldásához jó ötletekre van szükség.

Ismétlés

1. 13 + 1 TOTÓJátékos feladatokat írtunk le, majd ezekre vonatkozó számozott eseményeket.Írjunk az eseményeknek megfelelõen a négyzetekbe 1-est, 2-est vagy X-et a következõk szerint:1 µ biztos esemény, 2 µ lehetetlen esemény, X µ lehetséges, de nem biztos esemény.

A 3 µ 2 ¡ 5 + 4 mûveletsorba véletlenszerûen elhelyezünk egy zárójelpárt.

1. A mûveletsor eredménye egész szám.

2. A mûveletsor erdménye negatív szám.

A mûveletsor négyzeteibe pénzfeldobás alapján írunk + vagy µ jeleket. +-t, ha

fejet dobunk és µ-t, ha írást.

ç ç ç43

13

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3. A mûveletsor eredménye egész szám.

4. A mûveletsor eredménye negatív szám.

Dobókockával dobunk négyszer egymás után. Az elsõ három dobás 3-as.

5. A négy szám átlaga legalább 4.

6. A négy szám átlaga legalább 2.

A , , , négyszögek (négyzet, téglalap, deltoid, húrtrapéz) közül véletlenszerûenhúzunk egyet.

7. A kihúzott négyszög tengelyesen szimmetrikus.

8. A kihúzott síkidom minden szöge egyenlõ.

Az ; ; ; ; számkártyák közül egymás után húzunk kettõt (a kihúzottat nemtesszük vissza).

1310741

9. A húzott számok összege 3-mal osztható.

10. A húzott számok különbsége 3-mal osztható.

A 8ç64 számba a ç helyére dobókockával dobunk számjegyet.

11. A kapott szám osztható 8-cal.

12. A kapott szám osztható 4-gyel.

13. A kapott szám osztható 12-vel.

Az 1-100 természetes számok közül kihúzunk 51 számot visszatevés nélkül.

+1. A kihúzott számok közül kettõ szomszédos.

Ms-2317_matek7_mf_megoldas_2012.qxd 2012.01.17. 14:57

1

X

X

X

2

1

1

X

2

1

X

1

X

1

Ms-2317_matek7_mf_megoldas_2012.qxd 2012.01.17. 14:59 Page 3

TERMÉSZETES SZÁMOK , RACIONÁL IS SZÁMOK

4

2. Írjuk az adott számokat tizedes tört alakba, majd állítsuk növekvõ sorba!

1. Kössük össze az egyenlõket!

2,32,3.

0,8.1.

0,83

625

56

0,875

73

911

1250

2310

78

Színezzük ki és írjuk le, amelyeknek nincs párjuk!

.........................................................................................................

Melyik a nagyobb közülük?

.........................................................................................................

Mennyivel nagyobb?

.........................................................................................................

.........................................................................................................

A számok növekvõ sorban

tizedes tört alakban: ............................................................................ tört alakban: .............................................................................

A körökben lévõ számok közé rajzoljunk nyilakat úgy, hogy a nyíl a nagyobbtól a kisebb szám felé mutasson!

− 25

− 76

− 98

−113

a) = b) = c) = d) =

9 : 8 = 2 : 5 = 7 : 6 = 11 : 3 =

−113

− 76

− 25

− 98

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

3. Egy futóversenyen volt olyan pillanat, amikor Andrásnak még perc, Bélának egy és egynegyed perc,

Csabának 0,75 perc, Dénesnek pedig 1,6 perc kellett, hogy célba érjen.

a) Ki ért elõször a célba? ...........................................................

b) Mi volt a befutási sorrend? .................................................

.............................................................................................................

c) Hány másodperccel elõzte meg:

µ András Dénest; ....................................................................

µ Csaba Bélát; ..........................................................................

µ az elsõ az utolsót? .............................................................

56

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

A racionális számok alakjai

1. TERMÉSZETES SZÁMOK, RACIONÁLIS SZÁMOK


; 0,83

= 0,83¡ > 0,83

0,003¡-del nagyobb a 0,83-nál.

0,833¡ µ 0,830 = 0,003¡

µ3,6¡ <µ1,16¡ <µ1,125 <µ0,4

Csaba

Csaba – András – Béla – Dénes

96 mp µ 50 mp = 46 mp

75 mp µ 45 mp = 30 mp

96 mp µ 45 mp = 51 mp

7 807

0600

4

¢ ¢ ¢78= = =5 7 9 1 ¢5 6101 2

1 009

920

05

30, 2, 3¡ 0, 8¡ 1¡ = 0, 8 3¡

µ1,125 µ0,4 µ1,16¡ µ3,6¡

1,1251020

400

1040

4

202

200

0,4 1,16¡ 3,6¡

56

56

A. perc = perc = 50 mp

B. 1 perc = perc = perc = 75 mp

Cs. 0,75 perc = perc = perc = 45 mp

D. 1,6 perc = perc = perc = 96 mp

1,6 > 1 > > 0,75

D B A C

56

14

9660

1610

4560

34

7560

54

14

5060

56

Cél

A CB 1 02 D

µ µ µ µ113

76

98

25

< < <


5

4. Adjunk meg és ábrázoljunk a számegyenesen három racionális számot, amelyek az adott számok közöttvannak!

1

3

5

7 8

58

6

3 3

8

a)

b)

c)

5. Állítsuk csökkenõ sorba az

a) ; 0,7; ; 2,3 számokat; ................................................

b) az ellentettjeiket; .......................................................................

c) a reciprokaikat! ..........................................................................

23

54

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

6. Sorold fel, mely számoknak az abszolút értéke a megadott szám! (Segítségül használd a számegyenest!)

a) 0: ........................................... b) : ........................................ c) : ........................................ d) 2,25: ....................................32

12

8. Írjuk be a megfelelõ sorszámú tizedesjegyeket a tört tizedes tört alakjába!

a) Soroljunk fel legalább 5 sorszámot, ahol 8-as számjegy szerepel! ....................................................................................

b) Igaz-e, hogy 2-es számjegy áll a tizedesvesszõ utáni

33. helyen À£ , 56. helyen À£ , 133. helyen À£ , 387. helyen À£?

c) Milyen számjegy áll a tizedesvesszõ utáni

42. helyen À£ , 72. helyen À£ , 125. helyen À£ , 435. helyen À£?

37

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1

= ,. . . . . . . . . . . . . . .

çççççççççççççççç66 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30. . . . . . . . . . . . . .

çççççççççççççç.. . . . .

çççç31 32 33 34

37

1 2 30µ1µ2µ3µ4

e) 1,5: ....................................... f) : ........................................ g) 2,5: ....................................... h) µ2: .......................................34

7. Írjunk a törtbe a Ð helyére olyan számot, hogy a tört értékeÐ3

a) nulla legyen; Ð = .................................................................... b) legfeljebb µ2 legyen; Ð = .................................................

c) pozitív és 1-nél kisebb legyen; Ð = ............................. d) negatív és µ1-nél nagyobb legyen! Ð = ..................


c)

a)

µ2,5

µ2,25

µ1,5 1,5

2,25

2,512

34

32

12

µ

34

µ

32

µ

0µ2

616

=7

168

169

161016

=48

=

1012

=78

1112

1212

=2324

2324

2224

2124

2024

=66

=2424

=

2812

=2912

3012

3112

3212

=

156

2 3 54

0 7 23

, ,> > >

µ µ µ µ23

0 7 54

2 3> > >, ,

32

107

45

1023

> > >

0

1; 2 µ2; µ1

4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5

3., 9., 15., 21., 27.

I

1 1 7 8

IH H

33 = 6 ¡ 5 + 3 I56 = 6 ¡ 9 + 2 H133 = 6 ¡ 22 + 1 H387 = 6 ¡ 64 + 3 I

6 tag

µ6; µ7; µ8; µ9...

µ1,5; +1,5 µ2,5; +2,5 nincs ilyen számµ 3

434

; +

µ 12

12

12

12

= =; + µ 32

32

32

32

= =; +½ ½0 0= ½ ½

½ ½

µ

+

2 25 2 25

2 25 2 25

, ,

, ,

=

=

54

0 8 0 7 710

1 42845

107

→ →= = =, ; , ,

23

1 5 2 332

2310

1023

0 434→ →= = =, ; , ,

42 = 6 ¡ 7 + 0; 72 = 6 ¡ 12 + 0;125 = 6 ¡ 20 + 5; 435 = 6 ¡ 72 + 3

¢5 4

20

01

= 1, 2 ¢2 3

202

= 0, 6¡5



6

Mûveletek racionális számokkal1. Végezzük el a mûveleteket! Törekedjünk a legegyszerûbb megoldásra! Ha lehet, adjuk meg az eredmé-

nyeket vegyes szám alakban is!

a)........................................................................................

b)........................................................................................

34

56

− =75

23

+ =

c).....................................................................................

d)......................................................................................

1 294

, − =− − =23

76

e)...........................................................................................

f)...........................................................................................

98

6⋅ =57

4⋅ =

g).......................................................................................

h).......................................................................................

1 427

, ⋅ =1514

21⋅ =

2. Mennyi?

a) reciproka: ....................................... ................................................... .........................................................

123

=123

: =23

d) 0,25 reciproka: ..................................

1 : 0,25 = ............................................. ..................................................

10 25,

=

b) 0,8 reciproka: .....................................

1 : 0,8 = ................................................ ......................................................

10 8,

=

c) 1,5 reciproka: .....................................

1 : 1,5 = ................................................ .......................................................

11 5,

=

Egy nullától különbözõ a szám reciproka ........................... vagy ............................ alakban is felírható.

3. Számítsuk ki a hányadosokat! Ha lehet, egyszerûsítsünk!

a).........................................................................................

b)....................................................................................

145

315

: =78

23

: =

c)..................................................................................

d)........................................................................................

145

56

: =413

269

: =

e).............................................................................................................................................................................................

1 625

0 16, : ,+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

f)....................................................................................................................................................................................................

23

45

115

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=:

4. Ügyeljünk a mûveletek elvégzésének sorrendjére!

a).............................................................................................................................................................................................

78

25

13

12

+ ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

b).............................................................................................................................................................................................

78

25

13

12

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ + =

c).................................................................................................................................................................................................

78

25

13

12

+ ⋅ + =


78

215

12

105 16 60120

181120

1 61120

+ + + += = =

35 1640

13

12

5140

13

12

1740

12

17 2040

3740

+ + + + +⋅ ⋅= = = =

21 1015

3115

2 115

+ = = 9 1012

112

µ µ=

µ µ µ µ14 76

116

56

= = 1210

94

24 4520

2120

120

µ µ µ µ1= = =

207

2 67

= 274

6 34

=

452

22 12

= 1410

27

25

0 4⋅ = = ,

1 ¢ a

32

112

= 1 32

32

112

⋅ = = 1 23

1 32

32

112

¢ = = =⋅

10 8

114

5 4 1 25,

,= = =¢10 ¢ 8 = 1,25

100 ¢ 25 = 4 1 ¢ 0,25 = 100 ¢ 25 = 4

108

54

114

= =

1015

23

= 1015

23

0 6= = ,.

10025

4=

10 ¢ 15 = 0,6¡10010

1a

78

32

2116

1 516

⋅ = = 95

153

9¡ =

133

926

32

112

¡ = = 1 45

56

1 54

65

32

112

¢ ¢⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ ⋅= = =

(1,6 + 0,4) ¢ 0,16 = 2 ¢ 0,16 = 200 ¢ 16 = 12,5 vagy 20016

12 12

=

10 12 511

2215

511

23

15+ = =⋅ ⋅

78

25

2 3 78

25

56

78

13

21 824

2924

1 524

+ +6

+ + +⋅ ⋅= = = = =


7

5. Írjunk zárójelet a mûveletsor közé többféle módon! Végezzük el a kijelölt mûveleteket!

2 154

57

12

, :− + =

Kaphatunk-e azonos eredményt? Ha igen, miért?

..............................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

6. Színezzük azonos színûre az egyenlõket! Számoljunk fejben!

a)

b)

µ6( )− ⋅ − + =523

443

− + + =103

45

43

( )− ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ =5

23

45

43

( )− ⋅ + =52215

43

− + + =103

205

43

1

43

14

23

34

43

23

24

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

43

3 4 24 3

3 3 4 44 3

4 2 3 23 4

− − ⋅⋅

+ ⋅ − ⋅⋅

− ⋅ − ⋅⋅

= 43

14

23

34

43

23

24

− − + − − − =

43

14

23

34

43

23

24

− + + − − + = 43

512

712

212

+ − − =


Amikor azonos eredményeket kaptunk, akkor a zárójel nem változtatta meg a mûveletvégzés sorrendjét.

µ6

µ6

µ6

2

1

1 1 1

µ µ65

115

=

µ µ43

113

=

2 1 54

12

2110

54

75

12

2110

74

12

, µ µ µ¢57

+ = + = + =⋅ 442 35 1020

1720

µ + =

2 1 54

12

2 1 54

12

2 1 54

, , , µ µ µ¢57

¢ 57

¢ 5+ = + =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 77

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ = 1

21720

2 1 54

12

2110

54

12

42, µ µ µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

¢ 57

¢ 57

+ = + = 12520

12

1720

12

50100

⋅ ⋅75

75

119100

169100

69+ = + = + = =1100

2 1 54

12

42 2520

17, µ µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

¢ 57

¢1014

+ = +7 =220

1720

¢1714

1417

710

= =⋅

2 1 54

12

2 1 54

12

2 1, , , µ µ¢57

75

+ = + =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

µµ µ µ µ 74

2 1 7 24

2110

42 4520

+12

+ 94

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= = = =, µ 3

20

2 1 54

12

2 1 54

7 2 1, , , µ µ µ¢ 57

¢1014

54

+ = + =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

¡¡ 3534

11417

2110

357 175170

182170

12170

= = = =µ µ



8

7. Végezzük el a kijelölt mûveleteket! Mindegyik esetben számítsuk ki az x abszolút értékének és az y ellentett-jének az összegét is!

a)...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

x abszolút értéke: ..................................................................... y ellentettje: .................................................................................

az összeg: .............................................................................................................................................................................................................

y = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=4

187

73

78

x = − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=7

22

13

134

:

b)........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

x abszolút értéke: ..................................................................... y ellentettje: .................................................................................

az összeg: .............................................................................................................................................................................................................

y = − ⋅ −( ) =23

14 4 4 812

, , :

x = ⋅ − =23

14 4 4 812

, , :

8. Mennyivel kell megszorozni a 16 és a 13 különbségét, hogy a két szám összegét kapjuk?12

15

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................


µ µ µ µ µ µ72

73

74

72

28 2112

72

712

72

¢ ¢ ¢ ¡⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= = = 112

76 =µ

28 187

56 2124

107

7724

5512

4 712

µ ¡ ¡+ = = =

½ ½µ6 6= µ 5512

6 5512

7212

5512

1712

512

1+ = = =µ µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

28 83

9 6 9 6 9 6 0, , , , µ µ= =

µ ¡ ¢ µ ¡ µ 23

9 6 12

6 4 2 12 8, , ,= =

0 12,8

0 + 12,8 = 12,8

11-gyel kell szorozni a két szám különbségét, hogy az összegüket kapjuk.

è ¡ µ 12

+ 12

16 15

13 16 15

13⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

è = =16 15

13 16 15

13 815

+ 12

¢ µ 12

+272

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

¢ µ272

815

=

= = = 162 13510

162 13510

29710

2710

29710

1027

+ ¢ µ ¢ ¡ == 11


9

Arányos következtetések1. A térkép méretaránya 1 : 3 000 000. Hány kilométer az autóval megtett út

a) Szeged és Baja b) Budapest és Gyõr c) Kecskemét és Nyíregyházaközött, ha a légvonalbeli távolság és az autó útjának aránya 7 : 8?

��

��

� � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � �

�

� � � � � � �

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

�

� �

��

� ��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

�

�

� ��

��

��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

�

��

��

��

��

� ��

��

��

��

�

��

��

�

�

��

��

��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

�

��

��

� � � �

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

� ��

��

� � �

��

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

!��

"�#�$��

� �

��

%��$$�

��

%��$$�

��

� � �

��

"�&'��

(��)

*��$�

�'��

��

+��$��

��

��

��

��

��

%�,�

��

-��,

��

��

��

��

��

��

!� ��$

��%� �$��

"��$.

%�

�

$�

�

��$

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�� !

�� "��!

��!

��!

��!

�� #�� !

�� !

��!

�� !

��$��!

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�#��

��

��

� � � �

� � � � � � � �

� � � � �

��

� � � � ��

� � � � � � �

� � � � � ! � � " �

# � � � �

� � � � �

� � � � � � � � � �" � �

# � � $ % � � ! # � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � $ � � � � % � �

��

��$

� � �

� � � �

� & � � � $

��

��

� � � �

��

Mérés (mm-pontossággal): Szeged-Baja = ..................... mm = ..................... cm

Budapest-Gyõr = ..................... mm = ..................... cm

Kecskemét-Nyíregyháza = ..................... mm = ..................... cm

Számolás:

Térképen (cm)Valóságban

Légvonalban (km) Autóval (km)

1

Szeged-Baja

Budapest-Gyõr

Kecskemét-Nyíregyháza


33 3,3

38 3,8

67 6,7

3,3

3,8

6,7

3,3 ¡ 30 = 99

3,8 ¡ 30 = 114

6,7 ¡ 30 = 201

113,14

30 34,28

130,28

229,71

3 000 000 cm = 30 000 m = 30 km

a¡ a ¢ ¡

¡

78

30 30 78

30 87

2407

34 28

99 87

7

= = = = =

=

,

9927

113 14 114 87

9127

130 28 201 87

16087

22 = = = = =, ,¡ ¡ 99 71,



10

3. Az alábbi két ábrán egy személyautó mûszerfalának kijelzõi láthatók. Ezek az egy út során megtett kilométertés a tankban lévõ üzemanyag mennyiségét mutatják.

km

0 36

2 1 3 5 6

a) Hány liter üzemanyag volt a tankban az 1. állás szerint?

.......................................................................................................................................................................................................................................

b) Hány kilométert tett meg az autó, míg az üzemanyag kifogyott?

.......................................................................................................................................................................................................................................

c) Hány liter üzemanyagot fogyaszt átlagosan az autó 100 km-en?

.......................................................................................................................................................................................................................................

d) A 36 liter üzemanyag kb. hány kilométer megtételére elegendõ?

.......................................................................................................................................................................................................................................

2. Renáta nyaralása idején a születésnapjára csomagot kapott a szüleitõl. A csomagot a szülei az ábrán láthatómódon 1,7 m hosszú zsineggel kötötték át. Ebbõl a masnira használt zsinegdarab hossza 1 dm.

a

b

c

a) Milyen hosszú a doboz egy-egy éle, ha az élek aránya

3 : 5 : 8? ...................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

b) Mekkora a doboz térfogata? ........................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

1.

km

0 36

2 1 4 2 4

2.


a = 7,5 cm

b = 12,5 cm

c = 20 cm

V = 1875 cm3

V = a ¡ b ¡ c = 7,5 ¡ 12,5 ¡ 20 cm3

V = 93,75 ¡ 20 cm3= 1875 cm3

Kb. 544 kilométer megtételéhez elegendõ.

Közelítõen 6,62 liter.

21 424 km µ 21 356 km = 68 km.

36 liter ¢ 8 = 4,5 liter.

c) 68 km 4,5 liter

1 km 4,5 l ¢ 68

100 km 4,5 l ¢ 68 ¡ 100 = 450 l ¢ 68 ≈

≈ 6,617 liter

d) 4,5 liter 68 km

36 liter 68 km ¡ 8 = 544 km

4 ¡ (a+ b + c) + 10 = 170

4 ¡ (a + b + c) = 160

a + b + c = 40

a ¢ b ¢ c = 3 ¢ 5 ¢ 8

16 rész

Ellenõrzés: 16 rész 40 cm

1 rész 2,5 cm

3 rész 7,5 cm = a

5 rész 12,5 cm = b

8 rész 20 cm = c

40 316

152

7 5 40 516

252

12 5 40 816

40 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = = =, ,22

20 =

544

02 0

2 05 2 0

4 4

1

¢ 6 8 = 6, 6 1 7

2,1 5265787 53,9

57, 5¡

3,9 575781

10 0 005, 0 078

02 0¡


11

4. Egy digitális mérlegen az árut és a mérleg kijelzõjét látjuk.

a) Mennyibe kerül ebbõl a sajtból 1 kg? ........................................................

b) Hány forintot kell fizetni annak, aki 65 dkg-ot vásárol? ....................

c) Mennyi sajtot vehetünk 450 forintért? ........................................................

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

5. Bogi és Zoli ugyanabban a társasházban laknak,és mindennap gyalog mennek az iskolába. Aziskola és a lakhelyük közötti út hossza 1,2 km,amit Bogi 20 perc alatt, Zoli 15 perc alatt tesz megegyenletes sebességgel haladva.

a) Töltsük ki a táblázatot! Ábrázoljuk az össze-tartozó értékpárokat koordináta-rendszerben!

b) Kinek nagyobb a sebessége? ...................................

c) Milyen arányosság van az eltelt idõ és a Bogi

által megtett út között? ...................................................

d) Folytassuk a táblázat kitöltését!

idõ (perc) 1 2 5 10 15 20

Bogi megtett útja (km) 1,2

Zoli megtett útja (km) 1,2

út (km)

idô (perc)5

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

10 15 20

e) Hány kilométerrel elõzi meg Zoli Bogit fél óra alatt, ill. egy óra alatt, ha a sebességük állandó?

fél óra alatt: .................................................................................. egy óra alatt: ...............................................................................

f) Mennyi idõ alatt tesz meg Zoli ugyanekkora sebességgel 6 km-t? ....................................................................................

Mennyit kell várnia Zolinak, amíg a saját sebességével megállás nélkül haladó Bogi is megteszi a 6 km-t,

ha tudjuk, hogy egy helyrõl indultak? ...................................................................................................................................................

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤


¢6 0,4 0

0

0 8 = 6 0 0 ¢ 8 = 7 5

¢6 0, 0 6 = 6 0 0 ¢ 6 = 1 0 0

1200 Ft

780 Ft

37,5 dkg

Zolinak

egyenes arányosság

0,6 km-rel 1,2 km-rel

75 perc

25 percet kell várnia Zolinak Bogira.

Z

B

0,06

0,08

0,12

0,16

0,3

0,4

0,6

0,8

0,9

1,6

1,8

2,4

3,6

4,8

4,5

6

6

30 60 75 100

–

1800 g 2160 Ft

10 g = 1 dkg 2160 Ft ¢180 = 12 Ft

1000 g 1200 Ft

65 dkg 65 ¡ 12 Ft = 780 Ft

12 Ft 1 dkg

450 Ft 450 ¢ 12 = 37,5 (dkg)



12

6. Több azonos térfogatú medencét vízzel töltenek fel. Minden medencéhez egy csap csatlakozik, és a csapok-ból kifolyó víz sebessége medencénként állandó. A grafikonról leolvasható az egy-egy medencébe folyó vízsebességének és a feltöltésre fordított idõnek a kapcsolata.

10

20

30

40

50

60

70

80

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

a medencébe folyó vízsebessége (l/perc)

idô (perc)

a) Egészítsük ki a mondatokat!

Ha a csövön átáramló víz sebessége kétszeresére nõ, a medence feltöltéséhez szükséges idõ ....................

.......................................................................................................................................................................................................................................

Ha a medence feltöltése harmadannyi ideig tartott, akkor a csövön átáramló víz sebessége ...........................

.......................................................................................................................................................................................................................................

b) Milyen arányosság van a csapon átfolyó víz sebessége és a feltöltésre fordított idõ között? Indokoljunk!

.......................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

Számítással határozzuk meg, hogy

c) mekkora az azon a csapon átfolyó víz sebessége, amellyel 16 perc alatt tölthetõ fel egy-egy medence;

d) mennyi ideig tart a feltöltés, ha olyan csappal töltik, amelyen percenként 50 l víz folyik keresztül!

A csapon átáramló víz sebessége (l/perc) 40 30

A medence feltöltéséhez szükséges idõ (perc) 4 12 24

A medence térfogata (l)

Olvassuk le a grafikonról a megfelelõ értékeket, és töltsük ki a táblázatot!


240 240 240

6 8

240 240

60 20 10

felére csökken.

háromszorosára növekedett.

Fordított arányosság. Ahányszorosára növekedett a csapon átfolyó víz sebessége, ugyanannyiad részére

csökkent a medence feltöltésére fordított idõ.

8 perc 30 liter/perc

16 perc 15 liter/perc

v ¡ 16 = 240 v a víz sebességev = 240 ¢ 16v = 15 liter/perc

50 ¡ t = 240 t a feltöltés idejet = 240 ¢ 50t = 4,8 perc

¡2 ¢2

10 liter/perc 24 perc

50 liter/perc 4,8 perc¡5 ¢5


13

Százalékszámítás1. Pótoljuk a hiányzó százalékot, törtrészt, tizedestört-részt!

a) 20% = ......... rész = ......... rész 7% = ........ rész = ......... rész 125% = ......... rész = ......... rész

b) .........% = rész = ......... rész ........% = rész = ......... rész ........% = rész = ......... rész 1720

350

45

.........% = rész = ......... rész ........% = rész = ......... rész ........% = rész = ......... rész23

325

75

c) .........% = ......... rész = 0,19 rész ........% = ......... rész = 0,9 rész ........% = ......... rész = 1,2 rész

.........% = ......... rész = 0,02 rész ........% = ......... rész = 1,5 rész ........% = ......... rész = 0,03 rész

2. Fejezzük ki százalékban!

a) negyed rész ................................................................................. b) nyolcad rész ................................................................................

c) tized rész ....................................................................................... d) ötöd rész .......................................................................................

e) huszad rész ................................................................................. f) két egész rész ............................................................................

g) másfél rész ................................................................................... h) tíz egész rész ..............................................................................

3. Zsuzsi nagyszüleinek 2007 decemberében kapott nyugdíját olvashatjuk a táblázatban. 2008 januárjában5%-kal emelkedett a nyugdíj. Ezután az infláció növekedése miatt májustól az emelt nyugdíjat 1,1%-kal ismétemelték.

a) Pótoljuk a táblázat hiányzó adatait!

Apai nagyszülõk Anyai nagyszülõk

Nagypapa nyugdíja Nagymama nyugdíja Nagypapa nyugdíja Nagymama nyugdíja

2007. december 102 000 Ft 88 600 Ft 86 520 Ft 94 300 Ft

2008. január

2008. május

b) Mennyit kapnak kézhez 2008 májusától Zsuzsi nagyszülei, ha csak 0-ára végzõdõ lehet a kifizetés? (A kerekítés szabályai szerint kerekítenek.)

Apai nagypapa: ......................................................................... Anyai nagypapa: ..............................................................................

Apai nagymama: ...................................................................... Anyai nagymama:............................................................................

4. Fejezzük ki szorzattal!

a) 50-nek a 30%-a: ........................................................................ b) 4,6-nek a 85%-a: ......................................................................

c) 107,6-nek a 150%-a: .............................................................. d) µ52,5-nek a 108%-a: .............................................................

e) 72-t csökkentjük 8%-ával: ................................................... f) 120-at növeljük a 15%-ával: ...............................................

g) m számnak a 7%-a: ................................................................ h) k számnak a 190%-a: ............................................................

i) n számot csökkentjük 10%-ával: .................................... j) p számot növeljük a 20%-ával: ........................................

Pl.: 30% = rész = 0,3 rész3

10


107 100 Ft

108 278 Ft

93 030 Ft

94 053 Ft

90 846 Ft

91 845 Ft

99 015 Ft

100 104 Ft

108 280 Ft

94 050 Ft

91 850 Ft

100 100 Ft

50 ¡ 0,3 = 15

107,6 ¡ 1,5 = 161,4

72 ¡ 0,92 = 66,24

m ¡ 0,07

n ¡ 0,9

4,6 ¡ 0,85 = 3,91

µ52,5 ¡ 1,08 = µ56,7

120 ¡ 1,15 = 138

k ¡ 1,9

p ¡ 1,2

0,2 0,07 1,25

0,8 6 850,06 0,85

1,4 12

120

0,12 66,6¡ 0,6¡

80

140

19

2

90

150 3

14

rész = 25100

rész = 25% 18

rész = 1251000

rész = 12,5%

15

rész = 20100

rész = 20%

2 rész = 200100

rész = 200%

10 rész = 1000100

rész = 1000%

110

rész = 10100

rész = 10%

120

rész = 5100

rész = 5%

112

rész = 150100

rész = 150%

210

7100

125100

19100

90100

120100

2100

150100

3100



14

5. Az orvosok a magas vérnyomás és a kávéivási szokások közötti kapcsolatot vizsgálták, ezért elvégeztettekegy felmérést. Az ebben részt vevõk a Fogyaszt-e kávét? kérdésre a következõ válaszokat adták.

Igen, napi 5-6 adagot.

Igen, de csak étkezés után.

Igen, naponta egyet.

Ritkán, alkalmanként.

Soha nem iszom kávét.

6,5%

33%

32,5%

11,5%

16,5%

a) Igaz-e, hogy a megkérdezettek több mint -a rendszeres kávéfogyasztó (azaz naponta legalább egy23

f) Ábrázoljuk a felmérés eredményét kördiagramon!

százalék 100%

szög 360°

kávét iszik)? Indokoljuk!

.......................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

b) Igaz-e, hogy a megkérdezetteknek egynegyede nem kávéfogyasztó? Indokoljuk!

.......................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

c) Hány százalékkal vannak többen a megkérdezettek körében azok, akik soha nem fogyasztanak kávét,mint azok, akik napi 5-6 adagot fogyasztanak?

.......................................................................................................................................................................................................................................

d) Hány felnõttet kérdeztek meg, ha 207-en adták azt a választ, hogy ritkán, alkalmanként iszom kávét?

.......................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

e) Határozzuk meg, hányan válaszoltak igennel az egyes kérdésekre!


Igaz. 6,5% + 33% + 32,5% = 72%

16,5% µ 6,5% = 10% 10%-kal többen vannak.

11,5% 207

1800 felnõttet kérdeztek meg.

1% 207 ¢ 11,5 = 18

100% 1800

25% > 16,5%

Nem igaz. rész = 0,25 rész = 25%14

rész = 0,6¡ rész = 66,6¡% 72% > 66,6¡%23

100% 18001% 18

6,5% 18 ¡ 6,5 = 117 napi 5-6 adag33% 18 ¡ 33 = 594 étkezés után32,5 18 ¡ 32,5 = 585 napi 1 adag

11,5% 207 ritkán16,5% 18 ¡ 16,5 = 297 soha

Ellenõrzés:

117594585207

+ 297_____1800

6,5%

23,4°

33%

118,8°

32,5%

117°

11,5%

41,4°

16,5%

59,4°

napi1 adag

soha

ritkán

étkezés

után

napi 5-6

Ellenõrzés:

23,4118,8117,0

41,4+ 59,4_____

360,0

100% 360°

1% 3,6°


15

6. Egy négyzet oldalainak hosszát többféleképpen változtatjuk. Állapítsuk meg elõször becsléssel, majd szá-molással, hogy hány százalékkal változik (nõ vagy csökken) a terület! Színezzük ki a kapott területet!

a

a

a) Minden oldalt 60%-kal csökkentünk. b) Egyik párhuzamos oldalpárjának hosszát 20%-kalcsökkentjük, a másikat nem változtatjuk.

Becslés: az eredeti terület %-kal ..................... . Becslés: az eredeti terület %-kal ..................... .

Az eredeti terület: T = a ¡ a Az eredeti terület: T = a ¡ a

A kapott terület: Tk = ......... a ¡ ......... a = ......... a ¡ a A kapott terület: Tk = ......... a ¡ a

Számítással: Számítással:

az eredeti terület: %-kal ..................... . az eredeti terület: %-kal ..................... .

Becslés: az eredeti terület %-kal ..................... . Becslés: az eredeti terület %-kal ..................... .

Az eredeti terület: T = a ¡ a Az eredeti terület: T = a ¡ a

A kapott terület: Tk = ......... a ¡ ......... a = ......... a ¡ a A kapott terület: Tk = ......... a ¡ ......... a = ......... a ¡ a

Számítással: Számítással:

az eredeti terület: %-kal ..................... . az eredeti terület: %-kal ..................... .

a

a

a

a

a

a

c) Az egyik párhuzamos oldalpárjának hosszát d) Az egyik párhuzamos oldalpárjának hosszát60%-kal növeljük, a rájuk merõleges oldalpárét 40%-kal növeljük, a rájuk merõleges oldalpárét20%-kal csökkentjük. 40%-kal csökkentjük.

a a

a a

e) Csökkentsük kétféleképpen a négyzet területét 40%-kal!

A kapott terület: ......... a ¡ ......... a A kapott terület: ......... a ¡ ......... a


csökken csökken

csökken csökken84 20

100% µ 16% = 84% 100% µ 80% = 20%

0,4 0,4 0,16 0,8

nõ csökken

nõ csökken28 16

128% µ 100% = 28% 100% µ 84% = 16%

1,6 0,8 1,28 1,4 0,6 0,84

a 60%-a

a 40%-a

a 60%-a

a 40%-a

a 20%-a

a 80%-a

a 80%-a

a 20%-a

1 0,6 = 0,6 a ¡ a = 0,6 a ¡ a3 0,2

a 300%-a

a 20%-a

a 80%-aa 60%-a

a 40%-a

a 160%-a

a 60%-a a 40%-a

a 140%-a



16

7. Egy ruhaboltban az egyes ruhadarabok árát az ábrákon látható módon változtatták. Írjuk be a változtatásnakmegfelelõ értékeket a hiányzó helyekre!Húzzuk alá a helyeset!A póló ára nõtt / csökkent / nem változott.Az ing ára nõtt / csökkent / nem változott.A szoknya ára nõtt / csökkent / nem változott.A kabát ára nõtt / csökkent / nem változott.A pulóver ára nõtt / csökkent / nem változott.A nadrág ára nõtt / csökkent / nem változott.

20%-osemelés

20%-oscsökkentés

2400 Ft

25%-osemelés

20%-oscsökkentés

3600 Ft

20%-oscsökkentés

1800 Ft

3000 Ft

10%-osemelés

20%-oscsökkentés

7920 Ft

11%-osemelés

8%-osemelés

x Ft

8%-osemelés

11%-osemelés

y Ft


2880 Ft

4%-oscsökkentés

0%-osváltozás

52%-oscsökkentés

19,88%-osemelés

19,88%-osemelés

37,5%-osemelés

40%-oscsökkentés

2304 Ft

1440 Ft

x¡1,1988

x¡1,11 y¡1,08

y¡1,1988

8712 Ft

10 890 Ft

3600 Ft

4500 Ft2400 ¡ 1,21.

1,2 ¡ 0,8 = 0,963.

3000 ¡ 0,61. 1800 ¡ 0,82.

0,6 ¡ 0,8 = 0,483. 3000 ¡ 0,484.

(x ¡ 1,11) ¡ 1,082.1.

1,375 ¡ 0,8 = 1,14. 7920 ¡ 1,11.

7920 ¡ 1,3753. 8712 ¢ 0,82.

2400 ¡ 0,964.

2880 ¡ 0,82. 3600 ¡ 1,251. 4500 ¡ 0,82.

1,25 ¡ 0,8 = 13. 3600 ¡ 14.

4.

1,11 ¡ 1,08 = 1,19883.

(y ¡ 1,08) ¡ 1,112.1.

4.

1,08 ¡ 1,11 = 1,19883.


17

A hatványozás1. Írjuk fel hatványalakban, majd határozzuk meg a hatványértéket!

a) 4 ¡ 4 ¡ 4 = ...................................................................................... b) 3 ¡ 3 ¡ 3 ¡ 3 ¡ 3 ¡ 3 = ................................................................

c) 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 = ....................................................................... d) 5 ¡ 5 ¡ 5 ¡ 5 =...............................................................................

2. Számítsuk ki a hatványértékeket, majd hasonlítsuk össze az egy sorban lévõ párokat!

3. Húzzuk át a kakukktojást!

a)

b)

c)

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

4. Végezzük el a mûveleteket! Húzzunk nyilakat a kisebb számoktól a nagyobbak felé! Amelyik érték negatív,azt színezzük be!

5. Döntsük el, hogy melyik állítás igaz (I), melyik hamis (H)! (Az alap egész, a kitevõ természetes szám.)

À£ Bármely negatív szám négyzete nagyobb, mint az eredeti szám.

À£ Bármely negatív szám köbe nagyobb, mint az elsõ hatványa.

À£ Van olyan szám, melynek különbözõ kitevõjû hatványai azonos értékûek.

À£ Van olyan szám, amely egyenlõ a négyzetével.

À£ Nincs olyan szám, amelynek minden pozitív egész kitevõjû hatványa egyenlõ önmagával.

À£ Minden egész szám négyzete pozitív.

(µ3)2

µ52

(µ5)2(µ1)100

Öt a köbön ötnek a harmadik hatványa35 5 ¡ 5 ¡ 553

µ4 a négyzeten (µ4)2 µ42µ4-nek a második hatványa

25

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

25

2 2

5

2

2a négyzeten

25

25

25

⋅

25 = 52 =

32 = 23 =

32µ =

54µ =

3)2(µ =

5)4(µ =

12

=2FGHIJK

12

=3FGHIJK

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

(µ2)3


43 = 64

25 = 32

36 = 729

54 = 625

2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 = 32 5 ¡ 5 = 25

2 ¡ 2 ¡ 2 = 8

(µ3) ¡ (µ3) = 9

µ5 ¡ 5 ¡ 5 ¡ 5 = µ625

3 ¡ 3 = 9

µ3 ¡ 3 = µ9

(µ5) ¡ (µ5) ¡ (µ5) ¡ (µ5) = 625

>

>

>

<

>

12

12

14

¡ = 12

12

12

18

¡ ¡ =

(µ2)3 = (µ2) ¡ (µ2) ¡ (µ2) = µ8

(µ3)2 = (µ3) ¡ (µ3) = 9 (µ1)100 = 1

µ52 = µ5 ¡ 5 = µ25

(µ5)2 = (µ5) ¡ (µ5) = 25

H

I

I

I

H

H

9

1

25

µ25

µ8

pl.: µ1 < (µ1)2 = 1

µ1 < (µ1)3 = µ1

pl.: (µ1)2 = (µ1)4 = 1

pl.: 12 = 1

02 = 0 (nem pozitív)

13 = 15

35 = 3 ¡ 3 ¡ 3 ¡ 3 ¡ 3

µ42 = µ4 ¡ 4

25

2 25

2= ⋅



18

6. Írjuk be a hatványokat a körökbe, ha a nyíl a nagyobbtól a kisebb szám felé mutat!

; ; (µ1)4;32

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

710

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

7. Fejezzük ki a mérõszámokat 10 hatványaival!

1 km = .................. m = ...................... dm = ................... cm

1 t = ........................ kg = ..................... dkg = .................. g

1 m2 = ................... dm2 = ................. cm2 = .................. mm2

1 m3 = ................... dm3 = ................. cm3 = .................. mm3

Írjuk növekvõ sorba az adott törtek máso-dik hatványát!

..............................................................................................

8. a) Írjuk növekvõ sorba a törteket!

Írjuk csökkenõ sorba az adott törtek máso-dik hatványát!

..............................................................................................

b) Írjuk csökkenõ sorba az adott törteket!

µ ; µ ; µ ; µ ; µ

..............................................................................................

710

25

310

12

45

Írjuk növekvõ sorba az adott törtek máso-dik hatványát!

..............................................................................................

c) Írjuk növekvõ sorba az adott törteket!

µ ; ; µ ; ; µ

..............................................................................................

710

25

310

12

45

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

; ; ; ;

..............................................................................................

710

25

310

12

45


32

710

13

3 2 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

> > >(µ1)4

32

32

32

32

278

3 38

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = =¡ ¡

13

13

13

19

710

710

710

49100

2 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = = =¡ ¡

710

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

µ µ µ310

25

12

710

45

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

2 2 2 2 < < < < ⎞⎞

⎠⎟2

µ µ µ µ µ45

710

12

25

310

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛2 2 2 2 > > > >

⎝⎝⎜⎞⎠⎟

2

310

25

12

710

45

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 2 2 2 < < < <

22

25

425

16100

710

49100

2 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = =

45

1625

64100

12

14

25100

310

91

2 2 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = = = = 000

µ µ µ45

64100

710

49100

12

25100

2 2 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = =

µ µ25

16100

310

9100

2 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =

45

810

12

510

310

25

410

710

= = =

103 104

105

104

106

105

106

106

109

103

102

103

(µ1)4 = (µ1) ¡ (µ1) ¡ (µ1) ¡ (µ1) = 1(µ1)4

13

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

310

25

12

710

45

< < < <

µ µ µ µ µ310

25

12

710

45

> > > >

µ µ µ45

710

310

25

12

< < < <

Csökkenõ sorrend:


19

9. Ükapámnak három gyermeke volt (köztük a dédapám). Mindhárom gyermeknek három gyermeke volt(köztük a nagyapám), ezeknek a gyermekeknek is 3-3 gyermeke született (köztük az apám). Hányleszármazottja volt az ükapámnak az apám nemzedékéig? Folytassuk a fadiagramot!

10. Egy teniszversenyen a résztvevõk kieséses rendszerben játszanak (párba állítják õket, játszanak egymással,és a gyõztes továbbjut a következõ fordulóba). 16 résztvevõ esetén hány meccset játszik a gyõztes?Rajzoljunk!

Hány mérkõzést játszik a gyõztes, ha a résztvevõk száma 32, 64, 128?

32: ................................................................. 64: ................................................................. 128: ..............................................................

................................................................. ................................................................. ..............................................................

Írjuk fel hatványalakban is a leszármazottak számát!

..............................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

Ükapám

Dédapám


Nagyapám

Apá

m

31 + 32 + 33 = 3 + 9 + 27 = 39

Ükapámnak 39 leszármazottja volt apám nemzedékéig.

16 ¢ 2 = 8 8 ¢ 2 = 4 4 ¢ 2 = 2 2 ¢ 2 = 1

16 = 24 4 meccset játszik a gyõztes.

A meccsek számát a kettes alapú hatvány kitevõje mutatja meg.

A gyõztes.

1.

2.

3.

4.

5 mérkõzést

32 = 25

6 mérkõzést

64 = 26

7 mérkõzést

128 = 27



20

Mûveletek azonos alapú hatványokkal1. Írjunk a hiányzó helyekre számokat úgy, hogy az egyes szirmokon álló számok szorzata a virág közepén

lévõ számot adja!

210

25

2 2 2×

×

2 2×

2

22

22

×

×

×

22

26

(µ2)

6

(µ2)3

(µ2) 4

µ24

µ2

6

µ28 2 53 7×

25×

3

55

5×

×

2 2 5×

×

2 53×

25

32

×

25

24×

a) b) c)

2. Írjuk be a hiányzó kitevõt vagy hatványalapot, hogy az egyenlõség teljesüljön!

a) 52 ¡ 5 = 5 ¡ 54 b) (µ2)3 ¡ 25 = 27 ¡

c) µ32 ¡ 33 ¡ 34 = 32 ¡ 7 d) 75 : 7 = 72 ¡ 7

¡22 ¡2 ¡22 ¡22

:32 ¡33 :34 ¡3533

3. A téglalapokba írjuk a hatványokat, a félkörökbe a hatványértékeket!

a)

b)

:42 ¡43 :42 ¡445c)

*4. A hatvány hatványa összefüggés segítségével döntsük el, melyik nagyobb!

a) 920 À£ 2713 b) 410 À£ 165 c) 350 À£ 730 d) 230 À£ 320

Például 2100-t és 1030-t úgy isösszehasonlíthatjuk, hogy átala-kítjuk a hatványokat azonos kite-võjû hatvánnyá:

Megoldás:

2100 À£ 1030

(210)10 (103)10 210 = 1024; 103 = 1000

102410 > 100010

Így 2100 > 1030.

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤


25

27

28

2629

28µ25

µ22 µ24

24µ22

22

23

82

24

16

26

64

27

128

31

327

34

81

30

1

35

243

4244

16256 1024

43

64

44

256

56

55

2 ¡ 5 3

23 ¡ 54

22¡

54

2 ¡5 6

< <=>

2

3

(µ3)

(µ2)

a) 920 2713

(32)20 (33)13

340 > 339

c) 350 730

(35)10 (73)10

24310 < 34310

35 = 243; 73 = 343

23 = 8; 32 = 9

b) 410 165

410 (42)5

410 = 410

d) 230 320

(23)10 (32)10

810 < 910


21

Mûveletek azonos kitevõjû hatványokkal1. Számítsuk ki a szorzatokat!

a) 2 ¡ 5 = ..................................................... b) 22 ¡ 52 = ................................................. c) 23 ¡ 53 = .................................................

Folytassuk még három szorzattal!

d) ..................................................................... e) ..................................................................... f) .....................................................................

2. Pótoljuk a hiányzó kitevõket!

a) 8 ¡ 8 = 512 b) 42 ¡ 4 = 256

c) 2 ¡ 24 = 256 d) 26 ¡ 2 = 256

3. Írjuk növekvõ sorba!22 ¡ 32; 22 ¡ 33; (5 ¡ 2)2; 53 ¡ 23; µ52 ¡ 32;(µ5)2 ¡ 32; (32)3

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

4. Hasonlítsuk össze a párokat! Írjunk közéjük relációjelet!

a) 62 : 22 À£ 32 ¡ 22

b) (32)3 : (33)2 À£ 95 : 310

5. Határozzuk meg minél kevesebb számolással a hányado-sokat!

a).........................................................................................

2 3 52 3

2 3⋅ ⋅⋅

=

b).........................................................................................

3 5 7

3 5 7

2 3

2⋅ ⋅⋅ ⋅

=

c)...........................................................................................

3 5

2 3 5

3 2 2

5⋅ ( )⋅ ⋅

=

6. Számítsuk ki a négyzet oldalának hosszát, ha ismerjük a területét!

a

a T = a2T1 = 81 cm2 a1= ..................................................................................................................................

T2 = 100 dm2 a2= ..................................................................................................................................

T3 = 144 dm2 a3= ..................................................................................................................................

7. Számítsuk ki a kocka élének hosszát, ha ismerjük a térfogatát!

V1 = 64 cm3 a1= ..................................................................................................................................

V2 = 125 dm3 a2= ..................................................................................................................................

V3 = 1000 dm3 a3= .................................................................................................................................. aa

a

V =a3

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤


9 cm

10 dm

12 dm

4 cm

5 dm

10 dm

10 4 ¡ 25 = 100 = 102 8 ¡ 125 = 1000 = 103

24 ¡ 54 = 10 000 = 104 25 ¡ 55 = 100 000 = 105 26 ¡ 56 = 1 000 000 = 106

2 2

24

µ52 ¡ 32 < 22 ¡ 32 < (5 ¡ 2)2 < 22 ¡ 33 < (µ5)2 ¡ 32 < (32)3 < 53 ¡ 23

<

=

V1 = 4 cm ¡ 4 cm ¡ 4 cm = 64 cm3 V2 = 5 dm ¡ 5 dm ¡ 5 dm = 125 dm3

V3 = 10 dm ¡ 10 dm ¡ 10 dm = 1000 dm3

512 ¢ 8 = 64 = 82

256 ¢ 16 = 16 = 42

256 ¢ 64 = 4 = 22

22 ¡ 32 = 36 22 ¡ 33 = 108 (5 ¡ 2)2 = 100

53 ¡ 23 = 103 = 1000 µ52 ¡ 32 = µ225

(µ5)2 ¡ 32 = 225 36 = 729

a) 62 ¢ 22 = (6 ¢ 2)2 = 32 = 9

32 ¡ 22 = (3 ¡ 2)2 = 62 = 36

b) 36 ¢ 36 = 1

(32)5 ¢ 310 = 310 ¢ 310 =1

(52)2 = 54

2 ¡ 32 ¡ 5 = 90

3 ¡ 5 = 15

32 5

910

2

¡=

µ225 36 100 108 225 729 1000

33

3 3 22

2 23

3 1 22

2 1= = = =µ µ

55

5 5 33

3 33

23 2 1

22 1= = = =µ µ

55

15

4

5 =



22

Prímszámvadászat1. Bontsuk prímtényezõk szorzatára a 120; 144; 420; 900 számokat! A prímtényezõs szorzatot írjuk fel hatvány

alakban is.

120 420144 900

2. Az elõbbi felbontást felhasználva egyszerûsítsük az alábbi törteket!

a)............................................................................................

b)............................................................................................

420900

=120420

=

c)............................................................................................

d).............................................................................................

144120

=144420

=

3. a) Bontsuk prímtényezõk szorzatára a 240; 990 és 1140 számokat!

240 990 1140

0240 = £££££££££££££££££££££££££££££££0990 = £££££££££££££££££££££££££££££££1140 = £££££££££££££££££££££££££££££££b) Melyik az a legnagyobb szám, amellyel az adott számok mindegyike osztható?

.......................................................................................................................................................................................................................................

c) A 240; 990; 1140 számok hányszorosai a legnagyobb közös osztónak?

.......................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

0120 = £££££££££££££££££££££££££££££££0144 = £££££££££££££££££££££££££££££££0420 = £££££££££££££££££££££££££££££££0900 = £££££££££££££££££££££££££££££££


60 3015

51

5 3 2 2 2

72 3618

931

3 3 2 2 2 2

210 105

3571

7 5 3 2 2

450 225

7525

51

5 5 3 3 2 2

¡2 2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 5 = 23 ¡ 3 ¡ 5

¡2 2 ¡ 3 ¡ 5 ¡ 7 = 22 ¡ 3 ¡ 5 ¡ 7

¡2 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 3 = 24 ¡ 32

¡2 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 5 3 ¡ 5= 24 ¡

¡2 2 ¡ 3 ¡ 5 ¡ 322 ¡

¡2 3 ¡ 3 ¡ 5 ¡ 1 1 2 5=

1 9 =

32 ¡ 1 1¡

5¡ 1 9¡

¡

¡2 2 ¡ 3 ¡ 3 ¡ 5 ¡ 5 = 22 ¡ 32 ¡ 52

2 3 52 3 5 7

27

3

2

¡ ¡

¡ ¡ ¡= 2 3 5 7

2 3 57

3 57

15

2

2 2 2

¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡

= =

2 32 3 5 7

2 35 7

1235

4 2

2

2

¡¡ ¡ ¡

¡¡

= = 2 32 3 5

2 35

65

115

4 2

3

¡

¡ ¡¡= = =

120 603015

51

5 3 2 2 2 2

495 1655511

111 5 3 3 2

570 2859519

119 5 3 2 2

(240; 990; 1140) = 2 ¡ 3 ¡ 5 = 30

240 ¢ 30 = 23 = 8 990 ¢ 30 = 3 ¡ 11 = 33

1140 ¢ 30 = 2 ¡ 19 = 38


23

4. A halmazábrákba két szám néhány osztóját írtuk. Írjuk fel a számok lehetséges legkisebb értékét prím-tényezõs alakban is! Írjuk be a hiányzó osztókat a halmazábrákba!

a)

5. Végezzük el a kijelölt mûveleteket!

a)............................................................................................................................................................................................................

730

1175

− =

b)....................................................................................................................................................................................................

512

49

815

− − =

c)................................................................................................................................................................................................

530

1735

1415

+ − =

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

Az a szám lehetséges legkisebb értéke: ..............................

A b szám lehetséges legkisebb értéke: ................................

a osztói

b osztói

20 8 12

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

A c szám lehetséges legkisebb értéke: .................................

A d szám lehetséges legkisebb értéke: ................................

b)c osztói

d osztói

20

15

51 3

2 4 7

14

6. Gabi és Andi az osztályok közötti vetélkedõre a Fincsi és Édes szeletekbõl úgy vásárolnak, hogy mindkétfajtáért ugyanannyit fizetnek.

a) Hány forintot költöttek külön-külön a Fincsi és Édesszeletekre, ha a feltételnek megfelelõ legkeveseb-bért vásároltak?

.................................................................................................................

b) Hány szeletet vettek ezért a pénzért külön-különa két fajtából?

.................................................................................................................

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤


7 5 6 17 14 14210

35 102 96210

59210

1 ¡ + ¡ µ ¡ + µ µ= =

15 5 20 4 12 8180

75 80 96180

101180

¡ µ ¡ µ ¡ µ µ µ= =

5 7 2 11150

35 22150

13150

¡ µ ¡ µ= =

(40; 24) = 23 = 8

(60; 84) = 22 ¡ 3 = 12

5 10

401 4

2

3

24 6

60 30 10

12

6

42 28

21

84

40 = 23 ¡ 5

24 = 23 ¡ 3

60 = 22 ¡ 3 ¡ 5

84 = 22 ¡ 3 ¡ 7

1190 Ft-ot költhettek külön-külön.

14 db Fincsi szeletet, 17 db Édes szeletet.

402010

51

5 2 2 2 24

12631

3 2 2 2

603015

51

5 3 2 2 84

4221

71

7 3 2 2

584 039 011

1 4¡ 079 049 011

1 7¡

22 ¡ 5 – 23 – 3 ¡ 22

22 ¡ 3 ¡ 5 – 22 ¡ 3 – 7 ¡ 2

[85; 70] = 2 ¡ 5 ¡ 7 ¡ 17 = 119085 = 5 ¡ 17

Fincsi szelet: 1190 = 2 ¡ 5 ¡ 7 ¡ 17 = 14 ¡ 85

Édes szelet: 1190 = 2 ¡ 5 ¡ 7 ¡ 17 = 17 ¡ 70

70 = 2 ¡ 5 ¡ 7



24

7. 1-nél kisebb, tovább már nem egyszerûsíthetõ törtszámokat készítünk úgy, hogy a számláló helyére pozitívegész számokat írunk. Hány ilyen tört állítható elõ, ha a nevezõ 12, 20, 75, 60?

a) 12: ..............................................................................................................................................................................................................................

b) 20: ..............................................................................................................................................................................................................................

c) 75: ..............................................................................................................................................................................................................................

d) 60: ..............................................................................................................................................................................................................................

8. Milyen számjegyre végzõdik az elsõ 10 prímszám szorzata? Miért?

Felszólítja a kártyásokat, hogy gondoljanak egy 3-mal osztható számra, ezt szorozzák meg önmagával(emeljék négyzetre). Majd ehhez a négyzetszámhoz adják hozzá a kártyán lévõ számot! A kapott összegetírja mindenki egy papírlapra! Miután összegyûjtötték a lapokat, a kitaláló kis gondolkodás után meg tudjamondani, hogy melyik cédulára ki írta a számot. Egy próbajáték itt látható 6 kártyával. Kössük össze a szám-kártyát a cetlivel!

Játsszunk el csoportokban egy-egy ugyanilyen játékot!Kártyák:

Számok: ................... ................... ................... ................... ................... ................... ................... ...................

Számolás:

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

*9. Játsszunk! Valaki, aki majd a kitaláló lesz, kioszt legfeljebb 8 gyereknek egy-egy kártyát.

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

7 8

447 328 905 146 226 84

..............................................................................................................................................................................................................................................

1 2 3 4 5 6 7 8


4 db számláló; {1; 5 ; 7; 11}

8 db számláló; {1; 3 ; 7; 9; 11; 13; 17; 19}

40 db számláló; (5 többsz. + 3 többsz. µ közös t. = 15 + 25 µ 5 = 35db egyszerûsíthetõ; 75 µ 35 = 40db)

16 db számláló; {1; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 49; 53; 59}

2 3¡ 5¡

3 7¡ 1 1¡ 1 3¡ 1 7¡ 1 9¡ 2 3¡ 2 9¡ 1 0 =¡ ç 1 0¡

7¡ 1 1¡ 1 3¡ 1 7¡ 1 9¡ 2 3¡ 2 9¡

A ç ¡ 10 szám utolsó jegye nulla, mert 10-zel szorozzuk.

10

44'7 ¢ 9 = 49876

49 = x2

7 = x3 ¡ 7 = 21

212 = 4416___

447

32'8 ¢ 9 = 36584

36 = x2

6 = x3 ¡ 6 = 18

182 = 3244___

328

9'0'5 ¢ 9 = 1005

100 = x2

10 = x3 ¡ 10 =30

302 = 9005___

905

14'6 ¢ 9 = 16562

16 = x2

4 = x3 ¡ 4 = 12

122 = 1442___

146

22'6 ¢ 9 = 25461

25 = x2

5 = x3 ¡ 5 = 15

152 = 2251___

226

84 ¢ 9 = 93

9 = x2

3 = x

92 = 813___

84

A 3-mal osztható szám: 3x; négyzete: (3x)2 = 9x2, ami osztható 9-cel. Ehhez adjuk hozzá a kártyán lévõ számot,ezért a kapott összeg 9-cel való osztási maradéka megegyezik az elõre kiosztott kártyán lévõ számmal.

A mintapélda megoldása.

ç


25

Nagyon nagy számok1. Írjuk fel a számok normálalakját!

a) A Római Birodalom úthálózata: 76 000 000 m = ..................................................... m = ................................................. km

b) A házigalamb vörös vérsejtjeinek száma: 2 400 000 = ...............................................................................................................

c) A szivacsok, tintahalak geológiai kora: 540 000 000 év =.........................................................................................................

d) A Föld középpontjának mélysége: 6 378 000 m = .......................................................................................................................

e) Villámláskor kiegyenlítõdõ feszültség kb. 1 000 000 000 volt = ............................................................................................

f) Egy kifejlett kékbálna tömege kb. 150 000 kg = ....................................................... kg = .................................................... t

g) A Szahara sivatag területe 7 800 000 km2 = ....................................................................................................................................

h) Grönland területe 2 160 000 km2 = .......................................................................................................................................................

2. Végezzük el a kijelölt mûveleteket a számok normálalakjának segítségével!

a) 5,12 ¡ 104 + 1,46 ¡ 104 + 3,42 ¡ 104 =

b) 9,23 ¡ 105 + 1,47 ¡ 104 µ 2,3 ¡ 103 =

c) 730 000 ¡ 200 000 =

d)

e)

f)400 600000

2000

2⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

35000007000

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

25000 8000160000

⋅ =

3. Egy szemétégetõben évi 200 000-325 000 tonna hulladékot égetnek el, ez kb. egy kétmilliós nagyvárosegész évi szeméttermelése.

a) Írjuk fel normálalakban a fenti mondatban szereplõ számokat!

.......................................................................................................................................................................................................................................

b) Legkevesebb hány kilogramm hulladék égetését tudják biztosítani ebben az égetõben egy, illetve tíz évalatt? (Számoljunk normálalak segítségével!)


7,6 ¡ 107

2,4 ¡ 106

5,4 ¡ 108 év

6,378 ¡ 106 m

1 ¡ 109 volt

1,5 ¡ 105

7,8 ¡ 106 km2

2,16 ¡ 106 km2

1,5 ¡ 102

7,6 ¡ 104

(5,12 + 1,46 + 3,42) ¡ 104 = 10 ¡ 104 = 1 ¡ 105

9,23 ¡ 102 ¡ 103 + 1,47 ¡ 10 ¡ 103 µ 2,3 ¡ 103 =

= 923 ¡ 103 + 14,7 ¡ 103 µ 2,3 ¡ 103 = (923 + 14,7 µ 2,3) ¡ 103 = 935,4 ¡ 103 = 9,354 ¡ 105

7,3 ¡ 105 ¡ 2 ¡ 105 = 7,3 ¡ 2 ¡ 105 ¡ 105 = 14,6 ¡ 1010

200 000 = 2 ¡ 105 325 000 = 3,25 ¡ 105 2 000 000 = 2 ¡ 106

1 év alatt 2 ¡ 105 t = 2 ¡ 105 ¡ 103 kg = 2 ¡ 108 kg;

10 év alatt 10 ¡ 2 ¡ 108 kg = 2 ¡ 109 kg hulladék égetését tudják biztosítani.

2 5 10 8 101 6 10

12 5 1010

12 5 104 3

5

7

52,

,, ,

¡ ¡ ¡

¡¡ ¡= = == 1 25 103, ¡

3 5 107 10

102

10 102

56

3

3 3 3 2 3,

¡¡

¡⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= = =( ¡ ¡ ¡ ¡10 5 10 125 10 1 25 102 3 3 6 6 8) = = = ,

4 10 6 102 10

12 1010

122 5

3

2 7

3

2

¡ ¡ ¡

¡¡ ¡

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= =( 10 1 2 10 1 2 10 1 44 104 2 5 2 2 10 10) =( ) = =, , ,¡ ¡ ¡


ALGEBRAI K IFEJEZÉSEK

26

1. Írjuk fel algebrai kifejezéssel!

a) Az a szám páros: ...............................................................................................................................................................................................

b) A b szám többszöröse 3-nak: ....................................................................................................................................................................

c) A c szám osztható 5-tel: ................................................................................................................................................................................

d) A d szám 0-ra végzõdik: ...............................................................................................................................................................................

e) Az e szám kétjegyû: ........................................................................................................................................................................................

f) Az f számot 6-tal osztva a maradék 5: ..................................................................................................................................................

Az algebrai kifejezés

2. Az osztályba 24 gyerek jár.

a) A fiúk száma x. Fejezzük ki x-szel a lányok számát! .....................................................................................................................

b) Az angolul tanulók száma y, ami 4-gyel több a franciául tanulók számánál. Fejezzük ki y-nal a franciául

tanulók számát! ..................................................................................................................................................................................................

3. Egészítsük ki a mondatokat! A könyv amit olvasok z oldalas.

a) Ha eddig a oldalt olvastam el, akkor ........................ oldalt kell még elolvasnom, hogy kiolvassam a könyvet.

b) Ha eddig annyit olvastam el, hogy a könyv feléig 5 oldal van még hátra, akkor ....................... oldalt kell elol-vasnom, hogy a végére érjek.

4. Egészítsük ki a mondatokat!

Éva x éves, Csaba 5 évvel idõsebb. Csaba ................................... éves. Éva y év múlva lesz ................................... éves.

y év múlva Csaba Évánál ................................... évvel lesz idõsebb.

e f

5. Rajzoljuk le az adott szakaszokkal!

a) Katinak 2e + f forintja van.

Kati pénze:

b) Csabának az egyik zsebében e + 2f, a másikban e + f forintja van.

Csaba pénze:

c) Zsuzsinak 3f forintja van, és kapott még f forintot.

Zsuzsi pénze:

d) Írjuk fel, mennyi pénze van Katinak, Csabának és Zsuzsinak összesen!

A három gyerek pénze:

2. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK


ee f

e fe f

f f f f

f

a = 2 ¡ x

b = 3 ¡ x

c = 5x

d = 10x

e = 10x + y

f = 6 ¡ x + 5

24 µ x

y µ 4

z µ az2

5+

x + 5

5

x + y

2e + f

2e + 3f

4f

egyik másik

volt még

Kati Csaba Zsuzsi

4e + 8f

2e + f 2e + 3f 4f

x és y egész számok


27

6. Márti citromos üdítõt készít tízszeres hígítást alkalmazva.

a) A citromlé 1 dl, a víz ................................... dl.

b) A citromlé c dl, a víz ................................... dl.

c) A citromos üdítõ 3 l. A citromlé ........................... l, a víz ........................ l.

d) A citromos üdítõ m l. A citromlé .......................... l, a víz ........................ l.

7. Írjuk fel az ábrán látható termékek új árát!

a) +10% b) µ20% c) µ15% d) +20%A pulóver új ára A könyv új ára A tv új ára A cipõ új ára

........................................... Ft ........................................... Ft ........................................... Ft ........................................... Ft

8. Írjuk fel a termékek eredeti árát!

a) 40%-os árleszállítás után az új ár a Ft. .................................................................................................................................................

b) 30%-os kedvezményt adtunk, az új ár b Ft. ......................................................................................................................................

c) 20%-os áremelés után az új ár c Ft. .......................................................................................................................................................

d) 10%-os áremelés után d Ft. ........................................................................................................................................................................

10. Mennyi az ábrán látható testek felszíne, térfogata?

a) Egy a élû kockából az egyik csúcsánál levágtunk egy b élû kockát. (b < a)

A = ...........................................................................................................................................................

V = ............................................................................................................................................................

b) Egy d élû kocka két lapjára c élû kockát ragasztottunk. (d > c)

A = ...........................................................................................................................................................

V = ............................................................................................................................................................

*c) Egy e élû kockából kifúrtunk egy f alapélû négyzetes oszlopot. (A kocka ésaz oszlop megfelelõ élei párhuzamosak.) (e > f )

A = ...........................................................................................................................................................

V = ............................................................................................................................................................

a

b

d

c

e

c

f

9.

Írjuk le algebrai kifejezéssel, mennyit költünk összesen (Ö), ha 2 kg burgonyát (B), 1,5 kg almát (A), 0,5 kg

paradicsomot (P), kg epret (E) és 20 dkg diót (D) veszünk!

Ö = ...................................................................................................................................................................................................................................

14


2 1 5 0 5 14

0 2B A P E D+ + + +, , ,

9

9c

0,3 2,7

1,1 ¡ p 0,8 ¡ k 0,85 ¡ t 1,2 ¡ c

p + 0,1p k µ 0,2k t µ 0,15t c + 0,2c

6a2 µ 3b2 + 3b2 = 6a2

a3 µ b3

6d2 µ 2c2 + 2 ¡ 5c2 = 6d2 µ 2c2 + 10c2 = 6d2 + 8c2

d3 + 2 ¡ c3

6e2 µ 2f2 + 4 ¡ ef

e3 µ ef2

m10

910m

a ¢ a a60

¡0 60 6

100,,

= vagy

b b b¢70

¡0 70 7

100,,

= vagy

c c c¢120

¡1 21 2

100,,

= vagy

d d d¢110

¡1111

100,,

= vagy



28

Behelyettesítés

2. Máténak az A, Somának a B bankban van hároméves lekötött betétje. Az A bank 3 év elteltével a befizetettösszeg (t) 125%-át adja vissza, a B bank minden év végén megnöveli a bent lévõ összeget annak 10%-ával.

a) A 3 év múlva kivehetõ, kamattal megnövelt összeg

az A bankban: ............................................................................ a B bankban: ..............................................................................

Melyik bank fizet ki többet? ............................................... Írjuk fel a különbséget! .........................................................

b) Számoljuk ki a különbséget, ha a befizetett összeg 100 000 Ft mindkét esetben!

A = ............................................................................................ Ft. B = ............................................................................................ Ft.

A különbség: ..............................................................................

c) Számoljuk ki a különbséget, ha Máté és Soma is 250 000 Ft-ot helyez el a bankban!

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

3. Számítsuk ki az alábbi algebrai kifejezések helyettesítési értékét! Melyik helyettesítési érték nagyobb?

A) , ha a = , b = . B) , ha x = 0,36, y = µ0,4.5

1 2−−

xy ,

34

45

a − 23

b

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

1. Írjuk fel az alábbi tengelyesen szimmetrikus sokszögek kerületét! Mekkora a kerület, ha a legrövidebb oldalmindegyik sokszögnél 2 cm?

a a

a + 2 b b b

bd

d

2d

cc

c

c2

Kè = ........................................ K t = ......................................... K d = ........................................ K tr = ........................................

Kè = ............................... cm K t = ................................ cm K d = ............................... cm K tr = ............................... cm

A À£ B

d) Húzzuk alá a megfelelõ szót! (Vegyük figyelembe a b), c) feladatok eredményeit!)

Ha több pénzt helyez el Máté és Soma a bankjukban, akkor a kamattal megnövekedett összegek különbsége

csökken / nõ / nem változik.


41 40

4 6, 4 ¢ 61 = 2, 9

µ µ730

2 9 > ,

' '

3a + 2

8 16 14 10

8b 7c 5d

t ¡ 1,25 t ¡ 1,1 ¡ 1,1 ¡ 1,1 = t ¡ 1,13 = t ¡ 1,331

0,081 ¡ tB

1,25 ¡ 100 000 = 125 000 1,331 ¡ 100 000 = 133 100

8100 Ft

>

A: = = =

45

2 34

345

32

3 8 1510

13

710

1µµ ¢ µ ¡ µ ¡

⋅ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 33

730

=µ

B: = = ( )=

5 0 360 4 1 2

4 641 6

46 4 16 2 9µµ µ µ

¢ µ µ,, ,

,,

, ,

Máté: 250 000 ¡ 1,25 = 312 500 vagy: 250 000 ¡ 0,81 = 20 250

Soma: 250 000 ¡ 1,331 = 332 750

332 750 µ 312 500 = 20 250


29

5. Melyik kifejezésnek a legnagyobb a helyettesítési értéke?

A = (2a)3; B = 2a3; C = 23a; D = 23a3

a) a = 3 A = ...................................................................................... B = ........................................................................................

C = ...................................................................................... D = ........................................................................................

b) a = µ3 A = ...................................................................................... B = ........................................................................................

C = ...................................................................................... D = ........................................................................................

c) a = A = ...................................................................................... B = ........................................................................................

C = ...................................................................................... D = ........................................................................................

d) a = A = ...................................................................................... B = ........................................................................................

C = ...................................................................................... D = ........................................................................................

− 13

13

6. Töltsük ki a táblázatot, majd koordináta-rendszerben ábrázoljuk azokat a pontokat, amelyeknek elsõ koordi-

nátája x, második koordinátája pedig !− +12

1x

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

x µ4 µ3 µ2,5 µ1 0 1 1,5 2 3 4

−− ++1

21x

y

x1µ1µ4 4

1

µ1

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

4. Dóri kartonlapra elkészítette a következõ algebrai kifejezést, majd x és y helyére befûzte a megfelelõ papír-csíkokat, így különbözõ mûveletsorokat kapott. Írjuk fel ezeket, és végezzük el a mûveleteket!

Válasz:

Válasz:

Válasz:

Válasz:


(2 ¡ 3)3 = 63 = 216

A = D23 ¡ 3 = 8 ¡ 3 = 24

2 ¡ 33 = 2 ¡ 27 = 54

23 ¡ 33 = 8 ¡ 27 = 216

[2 ¡ (µ3)]3 = (µ6)3 = µ216

C 23 ¡ (µ3) = 8 ¡ (µ3) = µ24

2 ¡ (µ3)3 = 2 ¡ (µ27) = µ54

23 ¡ (µ3)3 = 8 ¡ (µ27) = µ216

C

B

2 13

23

827

3 3 ¡⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = 2 13

2 127

227

3 ¡ ¡⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =

2 13

8 127

827

33

¡ ¡⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =2 13

8 13

83

2 23

3 ¡ ¡= = =

2 13

23

827

3 3 ¡ µ µ µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = 2 13

2 127

227

3 ¡ µ ¡ µ µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =

2 13

8 13

83

3 ¡ µ ¡ µ µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = 2 13

8 127

827

33

¡ µ ¡ µ µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =

3 1 0 µ12 12

2 14

112

12

14

µ12

3 2 12

7 3 4 3 5 8 5 ¡ µ µ ¡ ¡ µ( ) = =2 , ,

3 2 12

4 3 4 410

12 4 ¡ µ µ ¡ µ ¡( )5

= + =2 ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

,

3 2 12

2 3 4 22

13 6 ¡ µ µ ¡ µ3, ¡ 3,( ) ( )= + =2 ,

3 34

12

7 3 916

72

2716

5616

2916

¡ µ ¡ ¡ µ µ µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= = = == µ1 8125,

3 34

12

45

3 916

25

27 5 32 ¡ µ ¡ µ ¡ ¡⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2= + = +

88016780

2 0875 = = ,

3 34

12

3 2 3 916

3 22

2716

25 61

¡ µ ¡ µ ¡⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

( )= + = +, , ,66

52 616

3 2875 = =, ,

3 0 8 12

7 3 0 64 3 5 1 58 ¡ µ ¡ ¡ µ µ, , , ,2 = =

3 0 8 12

45

3 0 64 25

1 92 0 4 2 ¡ µ ¡ µ ¡ + +, , , , ,2 = = =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

332

3 0 8 12

3 2 3 0 64 3 22

1 92 1 6 3 5 ¡ µ ¡ µ ¡ + +, , , , , , ,2 ( )= = = 22



30

7. Péter és Zsolt vitorlást bérelnek a Balatonon. A vitorlásbérleti díja (b) alapdíjból (a) és a naponkénti u Ft-bóltevõdik össze.Mennyi a bérleti díj 3 napra, ha az alapdíj 25 000 Ft, a napi díj20 000 Ft?

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................

8. A ÆÖ (ejtsd pikk) mûvelet: a ÆÖ b = . A Ç× (ejtsd treff) mûvelet: a Ç× b = a µ 2b.

Számítsuk ki a következõ mûveletsorok eredményét!

a) 6 ÆÖ 15 = .................................................................................................................................................................................................................

b) 8 ÆÖ 1 = ...................................................................................................................................................................................................................

c) 3 Ç× (µ4) = ............................................................................................................................................................................................................

d) µ2 Ç× 0,5 = ...........................................................................................................................................................................................................

e) (2 ÆÖ (µ4)) Ç× 7 = ...............................................................................................................................................................................................

a b−23

9. BINGÓ JÁTÉK. A bal oldalon álló algebrai kifejezések helyettesítési értékét kiszámoljuk, és megkeressüka jobb oldali táblázatban, majd letakarjuk. Az mondhatja, hogy BINGÓ, aki már három számot takart le egysorban, egy oszlopban vagy egy átlóban. Az gyõz, aki elõször mondja, hogy BINGÓ, utána a többiek továbbjátszanak.

a2 + 3b, ha az a = 4 és b = µ3.

4a µ b2, ha az a = 3 és b = 2.

7 µ 2ab, ha az a = µ1 és b = µ3.

2a2b µ ab2, ha az a = 2 és b = .

3ab µ a, ha az a = µ4 és b = 0,5.

2b µ 8a2b, ha az a = 0,5 és b = .12

6

5

12

4

3

2

12

1

, ha az a = 4 és b = 2.b b⋅ +6 1 5

2, a

7

, ha az a = 1 és b = 10.323

15

⋅ − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a ab8

13 µ a2b2 + ab3 µ b4, ha az a = 0 és b = 2.15

17

9

1 µ2 µ3

3,5 0 8

4 µ1 12


2 8 13

16 13

153

5 ¡ µ µ= = =

2 6 153

12 153

33

1¡ µ µ µ µ= = =

3 5 9

4 6 2

8 1 7

b = a + 3u

b = 25 000 Ft + 3 ¡ 20 000 Ft

b = 85 000 Ft

A bérleti díj 3 napra 85 000 Ft.

3 µ 2 ¡ (µ4) = 3 µ (µ8) = 3 + 8 = 11

µ2 µ 2 ¡ 0,5 = µ2 µ 1 = µ3

2 2 43

2 7 4 43

14 83

14 2 23

¡ µ µ µ ¡ + µ µ( ) = = =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

µµ µ 14 1113

=

12

4 3 3 8 9 12 ¡ + ¡ µ + µ µ( )= ( )=

4 ¡ 3 µ 22 = 12 µ 4 = 8

7 µ 2 ¡ (µ1) ¡ (µ3) = 7 µ 6 = 1

3 ¡ (µ4) ¡ (0,5) µ (µ4) = µ6 + 4 = µ2

2 2 12

2 12

4 12

3 12

22

¡ ¡ µ ¡ µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =

2 12

8 0 5 12

1 4 0 25 02 ¡ µ ¡ ¡ µ ¡, ,= =

2 6 1 5 4 22

6 6 12 ¡ + ¡ ¡ +, = =

3 23

1 15

1 10 3 23

3 2 ¡ µ ¡ + ¡ ¡ ¡ µ + ¡⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =µµ +2 6 4 =

13 17

0 2 15

0 2 13 0 0 162 2 3 4 µ ¡ ¡ + ¡ ¡ µ µ + µb = =µµ3

1

2

3

4

6

7

8

9

5


31

Mûveleti sorrend1. Írjuk az alábbi dominókba a dominózás szabályának megfelelõ algebrai kifejezést!

6 µ a, µ10a, a + 4, 2a µ 6, 3 ¡ 2a

a – 2a 5 + – 1a

2 ( 3+ )a. –

–5 . 2a – + 6a

6a a a–2

2. Gondoltam egy számot, hozzáadtam 4-et, az összeget megszoroztam 4-gyel, a szorzatot elosztottam 2-vel, a hányadost megszoroztam 5-tel. Készítsünk folyamatábrát a kapott szám kiszámítására! Írjuk fel a mû-veletsornak megfelelõ algebrai kifejezést!

A gondolt szám .x

c) Számítsuk ki, mennyit kaptam, ha a 100-ra gondoltam!

a) A kapott algebrai kifejezés:

b) Az algebrai kifejezés egyszerûbb alakja:

3. Készítsünk folyamatábrát az 50 µ (5x + 5) algebrai kifejezés kiszámítására! Írjuk le szöveggel!

A gondolt szám .xGondoltam egy számot ........................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

Alkossunk a mûveletsorhoz a hétköznapi élettel kapcsolatosszöveges feladatot! Pl.:

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

100


a + 4

2a µ 6

6 µ a 3 ¡ 2a

µ10a

104 416 208 1040

megszoroztam 5-tel, a szorzathoz

5-öt adtam, majd ezt az összeget kivontam 50-bõl.

A hét minden munkanapján ugyanannyi a tanítási óra.

Hetente egy napon még 5 órám van a mûvészeti iskolában.

Mennyit tanulok még az órákon kívül, ha a héten 50 órát

fordítok tanulásra?

4 42

5 ¡ + ¡( )x

4 42

5 + +¡ + ¡( ) =10( 4)=10 40x x x

4 42

¡ +( )x

4 42

5 ¡ + ¡( )x

x + 4

4 ¡ (x + 4)

5 ¡ x

5 ¡ x + 5

50 µ (5 ¡ x + 5)

50 µ 5 ¡ x µ 5

¡4+4 ¢2 ¡5



32

4. Számítsuk ki az adott algebrai kifejezések helyettesítési értékét!

a 4aµ2a2 (4aµ2a)2 4aµ(2a)2 4(aµ2a)2 4(aµ2)a2 (4aµ2)a2

3

µ1

µ2

12

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤


µ6

µ6

µ16

36

4

1

16

µ24

µ8

1

µ24

36

4

1

16

36

µ12

µ64

90

µ6

0

µ40

112

112

4 ¡ 3 µ 2 ¡ 32 = 12 µ 2 ¡ 9 = 12 µ 18 = µ6

4 ¡ (µ1) µ 2 ¡ (µ1)2 = µ4 µ 2 = µ6

4 ¡ (µ2) µ 2 ¡ (µ2)2 = µ8 µ 8 = µ16

1. oszlop

4 ¡ (3 µ 2) ¡ 32 = 4 ¡ 9 = 36

4 ¡ (µ1 µ 2) ¡ (µ1)2 = 4 ¡ (µ3) ¡ 1 = µ12

4 ¡ (µ2 µ 2) ¡ (µ2)2 = 4 ¡ (µ4) ¡ 4 = µ16 ¡ 4 = µ64

5. oszlop

(4 ¡ 3 µ 2) ¡ 32 = 10 ¡ 9 = 90

[4 ¡ (µ1) µ 2] ¡ (µ1)2 = µ6 ¡ 1 = µ6

[4 ¡ (µ2) µ 2] ¡ (µ2)2 = (µ8 µ 2) ¡ 4 = µ10 ¡ 4 = µ40

6. oszlop

(4 ¡ 3 µ 2 ¡ 3)2 = (12 µ 6)2 = 62 = 36

[4 ¡ (µ1) µ 2 ¡ (µ1)]2 = (µ4 + 2)2 = (µ2)2 = 4

[4 ¡ (µ2) µ 2 ¡ (µ2)] = (µ8 + 4)2 = (µ4)2 = 16

2. oszlop

4 ¡ 3 µ (2 ¡ 3)2 = 12 µ 36 = µ24

4 ¡ (µ1) µ [2 ¡ (µ1)]2 = µ4 µ 4 = µ8

4 ¡ (µ2) µ [2 ¡ (µ2)]2 = µ8 µ 16 = µ24

3. oszlop

4 ¡ (3 µ 2 ¡ 3)2 = 4 ¡ (µ3)2 = 4 ¡ 9 = 36

4 ¡ [µ1 µ 2 ¡ (µ1)]2 = 4 ¡ (µ1 + 2)2 = 4 ¡ 12 = 4

4 ¡ [µ2 µ 2 ¡ (µ2)]2 = 4 ¡ (µ2 + 4)2 = 4 ¡ 22 = 16

4. oszlop

4 12

2 12

2 2 14

2 12

1 52

¡ µ ¡ µ ¡ µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = = ,

4 12

2 12

2 1 12

¡ µ ¡ µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=( ) =2

4 12

2 12

2 1 12

¡ µ ¡ µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =

4 12

2 12

4 12

1 4 12

2 2 2 ¡ µ ¡ ¡ µ ¡ µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = =1

4 12

2 12

4 32

14

32

¡ µ ¡ ¡ µ ¡ µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2= =

4 12

2 12

2 14

0 14

0 ¡ µ ¡ µ ¡ ¡⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2=(2 = =)


33

Egytagú és többtagú algebrai kifejezések

2. Döntsük el az algebrai kifejezésekrõl, hogy melyik egytagú, melyik többtagú!

(x µ 2) ¡ (x + 2); ; ; ; ; 4 23

xx− ⋅3

56⋅ +( )x

12

2− x7 2

3+ xx

21+

Egytagú kifejezés: ...................................................................................................................................................................................................

Többtagú kifejezés: ................................................................................................................................................................................................

3. Karikázzuk be pirossal az egytagú kifejezések együtthatóit! Ha szükséges, alakítsuk át az algebrai kifejezéseket!

a) µ2a b) b c) d) d37 5

11

c +( )34

e) f) g) µ3g ¡ 2 h) µh2 ¡ k−f58

− e2

4

1. Írjuk a nagy téglalapba a folyamatábrának megfelelõ algebrai kifejezést, majd alá, hogy egytagú vagytöbbtagú a kifejezés!

9a) b)

¡

+

+ ¡

x

7

12

a 1 b

µ

......................................................................... -tagú kifejezés ......................................................................... -tagú kifejezés

c)

¡

5 c

+

µ1

+

13

12

¢

d)

¡

17

d e

µ

38

¡

......................................................................... -tagú kifejezés ......................................................................... -tagú kifejezés


38

17

d e¡ µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

µ ¢ µ ¡(5 + ) = (5 + )c c56

65

9x a + 1

9x + 7

5 + c

µ(5 + c)

több több

egy egy

12

b

a µ+1 12

b

13

12

2 36

56

+ += =

38

d 17µ e

( µ ¡ ¡x x x x2) ( + 2); 7+2 ; ( + 6)3

35

x x x x2

12

2 4 23

+ µ µ1; ;

= µ6g = µ1 ¡ h2k

= 1 ¡ d3= ( + )711

5¡ c

=µ 14

2e =µ 58

f



34

4. Kössük össze azokat az algebrai kifejezéseket, amelyek csak együtthatóikban különböznek! Írjuk a szürkerészbe az adott kifejezés együtthatóját!

µ 25

a2

( ) ( 1)a µ2b ¡

µ3ab 0,7ab2 µab

2ab23a2 a2¡5bab

2

5. Számítsuk ki az elõzõ algebrai kifejezések helyettesítési értékét, ha a = µ2 és b = !

3a2 = ..........................................................................................................................................................................................................

2ab = ..........................................................................................................................................................................................................

a2 ¡ 5b = ..........................................................................................................................................................................................................

= ..........................................................................................................................................................................................................

(a2b) ¡ (µ1) = ..........................................................................................................................................................................................................

µ a2 = ..........................................................................................................................................................................................................

µ3ab = ..........................................................................................................................................................................................................

0,7ab2 = ..........................................................................................................................................................................................................

µab = ..........................................................................................................................................................................................................

25

ab2

57

6. Adjuk meg a értékét úgy, hogy az egy sorban levõ algebrai kifejezések egyenlõek legyenek!

12a2b: 3 ¡ a2b ¡ 2; = ¡ a2b; = 2a2 ¡ ¡ b; =12

5xy: ¡ x ¡ y; = x(µ2)y; = y ¡ (µ0,5) ¡ ¡ x; =12

pq2: p ¡ ¡ q2; = 3q ¡ pq; = q2 ¡ ¡ p; =1

1212

16

kl: (µ3) ¡ kl; = ¡ kl; = k ¡ ¡ l; =43

12

34


3 2 5 µ1

µ3 0,7 µ1

12

µ 25

3 ¡ (µ2)2 = 3 ¡ 4 = 12

2 ( 2) = =¡ µ ¡ µ µ257

207

67

( 2) = = =2µ ¡ ¡5 57

4 257

1007

14 27

⋅

µµ

2 57

257

⋅=

( ) ( )= 4 ( )= =µ µ µ2 57

1 57

1 207

2 67

2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ µ µ

µ µ25

2 25

4 85

35

2⋅ ⋅( ) = = =µ µ µ1

µ µ3 2 57

307

4 27

⋅ ⋅( ) = =

0 7 2 57

710

2 75

57

2, ⋅ ⋅ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⋅ ⋅ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅( ) = ( ) 25

49= 25

49=µ µ µ µ

µ µ( ) = = =2 57

2 57

107

137

⋅ ⋅

2 24 6

2

10 µ10µ µ52

2 12

=

µ 14

13

118

32

916


35

Az összevonás1. Karikázzuk be azonos színnel az egynemû algebrai kifejezéseket! Az egynemû kifejezéseket írjuk egymás

mellé, és adjuk össze õket!

2. Kössük össze a két oszlopban lévõ algebrai kifejezések közül azokat, amelyek egyenlõek egymással!

..............................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

3ab; b2; µ2a2; ab; µ3ab; µ5a2b; ab2; µa2b ¡ 2; µ0,7a2; ab; 2b2 ¡12

34

25

12

2x µ y

µ3x + 2y µ 2x

y µ 2x µ 7x µ y12

35

23

43

x y y+ +

− − − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

212

2y y

2y µ 5x

2y + 0,6x

µy

µy + 2x

0,5y µ 9x

3. Húzzuk alá azonos színnel az egynemû kifejezéseket, és végezzük el a lehetséges összevonásokat!Számítsuk ki az eredeti és az összevont kifejezések helyettesítési értékét is!

Pl.: 2x µ 3y µ x + 3x µ 1,2y = 4x µ 4,2y x = µ2; y = 3Eredeti: 2 ¡ (µ2) µ 3 ¡ 3 µ (µ2) + 3 ¡ (µ2) µ 1,2 ¡ 3 = µ4 µ 9 + 2 µ 6 µ 3,6 = µ20,6Összevont: 4 ¡ (µ2) µ 4,2 ¡ 3 = µ8 µ 12,6 = µ20,6

a) a = µ3

.......................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

b) 3x + 4y µ 2x µ 7y = x = µ8; y = µ5

.......................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

c) µa µ 2a µ (3a µ 4) = a =

.......................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

56

− + − − =53

223

6a a


µ2a2 µ 0,7a2 = µ2,7a2

µ5a2b µ a2b ¡ 2 = µ7a2b;

3 12

3 34

54

114

a a µ a a a ab b b b b b+ + = =

b b b b b2 2 2 2 22 12

2+ = + =¡

3 ¡ (µ8) + 4 ¡ (µ5) µ 2 ¡ (µ8) µ 7 ¡ (µ5) = µ24 µ 20 + 16 + 35 = µ44 + 51 = 7

µ8 µ 3 ¡ (µ5) = µ8 + 15 = 7

x µ 3y

µa µ 2a µ 3a + 4 = µ6a + 4

µ aµ73

4

µ µ µ µ µ µ µ53

3 23

3 6 9 3⋅ ⋅( )+ 2 ( ) =+5 + 2 + 2 6 = 6 =

µ µ µ µ73

3 3⋅( ) 4 = 7 4 =

µ µ µ µ µ µ µ + µ + µ + µ56

2 56

3 56

4 56

106

156

4 306

4 5 4 1⋅ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= = = =

µ + µ + µ6 56

4 5 4 1⋅ = =



36

4. Amelyik kifejezés nem egyenlõ a többivel, azt húzzuk át!

4x µ 2x + 0,5 + 2y + 2,5 + 2y

µ2x + 3 + 3x + y µ 3x + 3y

− − + + − +234

5 3 75 7 6y x x y,

2 µ x + 2y µ x + 1 + 2y

− − + − − +212

532

5x y y x

5. Írjuk fel algebrai kifejezéssel!

a) Mennyi pénze maradt Karcsinak, ha f forintjából 250 Ft-nál c forinttal költött többet? Számítsuk ki, haf = 1000; c = 150!

.......................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

b) Mennyi szövet maradt a k méterbõl, ha három vevõ mindegyike c méternél fél méterrel kevesebbet vettmeg? Számítsuk ki, ha k = 12; c = 2,7!

.......................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

c) Az n oldalas könyvbõl hétfõn elolvastam x oldalnál 10-zel kevesebbet, kedden az elõzõ napinál 15 oldallalkevesebbet, szerdán pedig ugyanannyit, mint hétfõn. Hány oldal van hátra, ha hétfõn kezdtem az olvasást?Számítsuk ki, ha n = 312; x = 60!

.......................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

6. Bontsuk fel a zárójelet, és vonjuk össze az egynemû kifejezéseket!

a) 3x + (5 + 2x) = ..................................................................................................................................................................................................

b) 3x µ (5 + 2x) = ..................................................................................................................................................................................................

c) 2 µ (7x + 3) µ (x µ 1) = ..............................................................................................................................................................................

d) (5x + 2) + (µ2x µ 3) µ 3x = .....................................................................................................................................................................

e) 10 + (3x µ 4) µ (µ2 µ x) = .......................................................................................................................................................................

f) 10 µ (3x µ 4) + (µ2 µ x) = .......................................................................................................................................................................

g) µ(5x + 6) µ 3x µ (2x µ 4) = .....................................................................................................................................................................

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤


µ µ + µ µ + µ + +2 12

5 32

5 2 4 3 x y y x x y=

f µ (250 + c) forintja maradt Karcsinak.

1000 µ (250 + 150) = 1000 µ 400 = 600

1000 forintból 600 forintja maradt.

k µ 3 ¡ (c µ 0,5) méter maradt a szövetbõl.

12 µ 3 ¡ (2,7 µ 0,5) = 12 µ 3 ¡ 2,2 = 12 µ 6,6 = 5,4

5,4 méter szövet maradt a 12 méterbõl.

3x + 5 + 2x = 5x + 5

3x µ 5 µ 2x = x µ 5

2 µ 7x µ 3 µ x + 1 = µ8x

5x + 2 µ 2x µ 3 µ 3x = µ1

10 + 3x µ 4 + 2 + x = 4x + 8

10 µ 3x + 4 µ 2 µ x = µ4x + 12

µ5x µ 6 µ 3x µ 2x + 4 = µ10x µ 2

Hétfõn: x µ 10 Kedden: (x µ 10) µ 15 = x µ 25 Szerdán: x µ 10

n µ [2 ¡ ( x µ 10) + (x µ 25)] = n µ 2 ¡ (x µ 10) µ (x µ 25) = n µ 2x + 20 µ x + 25 = n µ 3x + 45

312 µ 3 ¡ 60 + 45 = 312 µ 180 + 45 = 177 oldal van még hátra.

vagy H: 50 K: 35 Sz: 50; 50 + 35 + 50 = 135 oldalt olvastam összesen, 312 µ 135 = 177 oldal van még hátra.

µ2x + 3 + 3x + y µ 3x + 3y = µ2x + 4y + 3

2 µ x + 2y µ x + 1 + 2y = µ2x + 4y + 3

4x µ 2x + 0,5 + 2y + 2,5 + 2y = 2x + 4y + 3 µ µ + + µ + µ + +2 34

5 3 75 7 6 2 4 3y x x y x y , =


37

Egytagú algebrai kifejezések szorzása, osztása1. Szorozzuk meg az adott algebrai kifejezést a nyílra írt tényezõvel!

¡ 2

¡ 2b

¡ 2a

¡ a2

5a 23z

34

¡

32

¡

z

2¡

¡( 4 )µ z

2. Írjuk a nyilakra, hogy mennyivel szoroztuk meg az adott algebrai kifejezést!

¡

¡

¡

¡

µ0,5y

2y

µy

0,1y

y213

73

b

µ7b

µb

µb6

b212

¡

¡

¡

¡

3. Osszuk el az adott algebrai kifejezést a nyílra írt tényezõvel!

¢ 2

¢ 4

¢ 5

¢ 12

8ab47

¢ 4

¢ 8

¢ 3

45

¢

x y2

4. Írjuk a nyilakra, hogy mennyivel osztottuk el az algebrai kifejezést!

¢

¢

¢

¢

2,4x2 38

x y¡ 4

µ2x2

0,8x2 µ12xy

8xy

µ3xyµ 42 x2

x212

¢

¢

¢

¢

µ 18

xy


10a

10ab

4ab

2ab

10a2

5a3

(µ4) (µ3)

2

(µ1,2) (µ12)

3

4,8

23

34

12

⋅ ⋅ z z=

23

32⋅ ⋅ z z=

23

83

2 2⋅ ⋅( 4) =µ µz z

23

12

13

2 2⋅ ⋅ z z=

µ23y⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

µ15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

314

b

µ 114

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

µ37

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

85a ab b = 13

5

812

a ab b = 23

17

2x y

114

2x y

57

2x y

421

2x y

µ 110

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

µ18

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

316

µ12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟



38

12xy2 µx y2

2 3x y¡12x y2

4 3x y¡µ2xy x y2 212

µ

5. Írjuk a nyilakra, hogy mennyivel szoroztuk a középre írt algebrai kifejezést, ha a nyíl végénél lévõ téglalapbanszereplõ kifejezést kaptuk!

¡3 µ¡ 23

12

a ¡ a2

6. Végezzük el a kijelölt mûveleteket, és írjuk a hiányzó algebrai kifejezést a megfelelõ helyre! Írjuk a nyilakra,hogy mennyivel szoroztuk, osztottuk a megfelelõ algebrai kifejezéseket!

a)

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

¢ 0,554

0,7x ¡ y ¡ µ4( ) ¡(µ10)

b)

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤


⋅µ 124

xy

⋅ 12

⋅ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

µ 16

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

µ a43

⋅µx12

¡x

¡ y

6 12 12

¢ = ( )µ µ µ2 12 212

16

¢ = =

µ µ µ12

12 12

112

124

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟¢ ¡= =

¡(µ2)

¡(µ4)a

µa µ2a2

¡(µ20)

¡40

¡80

35xy 70xyµ72⋅ xy

(µ µ µ2 12

4) = 2 2 =¢ ¡

(µ µ µ µ2 32

23

43

113

) = 2 = =¢ ¡

710

54

4 72

3 12

¡ ¡(µ µ µ)= =

µ µ72

10 35¡( )=

(µ4) ¡ (µ10) ¢ 0,5 = 40 ¢ 0,5 = 80, vagy

(µ10) ¢ 0,5 = µ20, vagy

70 3540

70 4035

80¢ ¡= =

70 72

70 27

20¢ µ µ ¡ µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= =

32a


39

µ µ a2 ( 3) 3¡ ¡ 5 (4 ) ( 2)¡ ¡a µ

( 2 ) 9µ a ¡3 3 2¡ ¡a

µ a2( 3) 8µ a¡ µ a µ3 ( 4)¡

7. Mennyivel kell elosztani a kék színû téglalapokban lévõ algebrai kifejezéseket, hogy a középre írt algebraikifejezést kapjuk?

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

8. Az ábrán látható téglatest élét vagy éleit megváltoztattuk.Írjuk le, hogyan változtathattuk az éleket, ha a következõtérfogatokat kaptuk! Keressünk több megoldást!

Az eredeti térfogat:

V = .....................................................................................................................................

A kapott térfogat:

V1 = 3abc ......................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

V2 = abc .................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

V3 = abc ........................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

V4 = ...............................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

232 2

a( ) ⋅ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅b

c

12

3b

12

a

c


a ¡ 3b ¡ c

a ¡ 6b ¡ c12

a ¡ 3b ¡ 2c12

a ¡ 1; 3b ¡ 2; c ¡ 112

a ¡ 2; 3b ¡ 1; c ¡ 112

a ¡ 1; 3b ¡ 1; c ¡ 212

a ¡ 1; 3b ¢ 3; c ¡ 112

a ¢ 3; 3b ¡ 1; c ¡ 112

a ¡ 1; 3b ¡ 1; c ¢ 312

a ¡ 1; 3b ¡ ; c ¡ 123

12

a ¡ ; 3b ¡ 1; c ¡ 123

12

a ¡ 1; 3b ¡ 1; c ¡ 23

12

a ¡ b ¡ c12

a ¡ 3b ¡ c16

a ¡ 3b ¡ c13

12

a ¡ 2b ¡ c12

a ¡ 3b ¡ c23

12

= 2 ¡ ¡ ¡ a ¡ b ¡ c = abc32

12

32

V3 = V ¡ 23

a ¡ 3b ¡ c13

V1 = 2 ¡ V

V2 = V ¢ 3

3 3 4 5 4 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅3 2µ2

µ9 µ2 9µ2

9 µ µµ2

µ6 µµ2

20= = = =( ) ( ) ( )

( ) ( )µ µ 3µ2

µ9 µ 8µ2

122 3 3⋅ ⋅ ⋅= =

¢(µ9) ¢20

¢12 ¢(µ6)

¢(µ9) ¢9

a ¡ 3b ¡ c = abc32

12

Az élek változtatása:

V b c bc412

4 3 12

12

4 12

12

32

= =⋅ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅a a == V

Mivel a szürke, illetve a kék téglalapokban szereplõ kifejezések egynemûek, elég a kifejezések együtthatóival

számolni.



40

Kéttagú algebrai kifejezés szorzása egytagúval

1. Egy pénztárgépben k darab 5 és 20 forintos, n darab10 és 50 forintos érme van. Írjuk le kétféleképpen,mennyi pénz van a pénztárgépben ezekbõl azérmékbõl! Számítsuk ki, mennyi pénzt jelent ez, han = 20 és k = 15!

..................................................................................................................

..................................................................................................................

..................................................................................................................

..................................................................................................................

..................................................................................................................

..................................................................................................................

x 3 5x

4

y3x

2x 12

y

y

T = ................................................................ T = ................................................................ T = .................................................................

T = ................................................................ T = ................................................................ T = .................................................................

3. Egy építõjátékban a sokszögek fémvázból készültek. Írjuk fel az alábbi sokszögekben a felhasznált fémhuzalhosszát! Ahol lehet, írjuk kétféleképpen!

a a

a

b

a

b

bb

b

b

3a

3a

a

b b

a) A fémhuzal hossza

1 háromszögben: ................................................................................................

20 ilyen háromszögben: ..................................................................................

b) A fémhuzal hossza

1 téglalapban: ........................................................................................................

15 ilyen téglalapban: .........................................................................................

c) A fémhuzal hossza

1 húrtrapézban: ....................................................................................................

12 ilyen húrtrapézban: ......................................................................................

d) A fémhuzal hossza

1 paralelogrammában: .....................................................................................

8 ilyen paralelogrammában: .........................................................................

2. Határozzuk meg kétféle módon a nagy téglalapok területét, ha a téglalap oldalai adottak!

a) b) c)


5k + 20k + 10 n + 50 n

k (5 + 20) + n (10 + 50)

5 ¡ 15 + 20 ¡ 15 + 10 ¡ 20 + 50 ¡ 20 =

= 75 + 300 + 200 + 1000 = 1575 Ft

15 ¡ (5+20) + 20 ¡ (10 + 50) = 15 ¡ 25 + 20 ¡ 60 =

= 375 + 1200 = 1575 Ft

xy 3y 2x ¡ 3x y ¡ 3x125x ¡ y

5x ¡ 4

x ¡ y + 3y 20x + 5xy 6x2 + xy32

(x + 3) ¡ y 5x ¡ (4 + y)2 1

23x y x+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟⋅

a + a + b = 2a + b

2a + 2b = 2 ¡ (a + b)

30a + 30b = 30 ¡ (a + b)

a + b + b + b = a + 3b

12a + 36b = 12 ¡ (a + 3b)

2 ¡ 3a + 2b = 6a + 2b = 2 ¡ (3a + b)

48a + 16b = 16 ¡ (3a + b)

20 ¡ (2a + b) = 40a + 20b


41

4. Kössük össze a két oszlopban lévõ algebrai kifejezések közül azokat, amelyek egyenlõek egymással!

3(2x µ 3)

µ(5 µ x)

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

534

13

x

14

8 4 2−( )x

10x µ 5

6x µ 9

2 µ x2

53

14

x +

x µ 5

5(2x µ 1)

x yµ 2 ¡ 3 ¡(µ1) ¡ x

5. Végezzük el a kijelölt mûveleteket, és írjuk a hiányzó algebrai kifejezést a megfelelõ helyre! Írjuk a nyilakra,hogy mennyivel szoroztuk, osztottuk a megfelelõ algebrai kifejezéseket!

a)

µ µ2 5y ¢(µ1)¡(µ5) ¡(µ2)

b)

10 + 3,6a a + 0,36 µ4a µ 1,44 ¢¡ a + 0,1812

¢

6. Írjuk a nyilakra, hogy mennyivel szoroztuk, osztottuk a megfelelõ algebrai kifejezéseket!

a)

12 2x µ µ1,2 + 0,2x 6 1x µ 24 4x µ¢¢ ¡

b)


¡(µ3)

¡(µx)

¡(µ3x)

¡5

¡2

¡(µ10)

¢2

¡(µ0,4)

10

¢20

(µ8)(µ4)

¡(µ20)

¢2

¡2

(µ5)(µ10) 14

3 ¡ ( x µ 2y) == 3x µ 6y

µ3 ¡ ( x µ 2y) == µ3x + 6y

µ3x ¡ ( x µ 2y) == µ3x2 + 6xy

µ5 ¡ (µ2y µ 5)== 10y + 25

5 ¡ (µ2y µ 5)== µ10y µ 25

µ10 ¡ (µ2y µ 5)== 20y + 50



42

Kiemelés1. Írjuk olyan alakba a tagokat, hogy legyen közös tényezõjük! Karikázzuk be, és emeljük ki ezt a közös

tényezõt!Pl.: 15x + 18 = Ñ3 ¡ 5x + Ñ3 ¡ 6 = 3 ¡ (5x + 6)

a) 28a µ 35 = ...........................................................................................................................................................................................................

b) 9x + 12 = ..............................................................................................................................................................................................................

c) µ8 µ 24a = ..........................................................................................................................................................................................................

d) = .............................................................................................................................................................................................................

37

27

x −

4 (3x µ 2)

2. Kössük össze az egyenlõket!

6x + 9 6x µ 12 9x + 6 12x µ 8

6 (x µ 2) 3 (2x + 3) 6 µ 2x

3 (3x + 2) µ2 (x µ 3)

3. Egyszerûsítsük az alábbi törteket úgy, hogy a számlálóban lévõ algebrai kifejezésbõl emeljük ki a nevezõt!

a) =..........................................................................................................................................................................................................

24 362

x +

b) =..........................................................................................................................................................................................................

24 3612x +

c) =..........................................................................................................................................................................................................

24 364

x +

d) =..........................................................................................................................................................................................................

24 366

x +

e) =..........................................................................................................................................................................................................

24 363

x +

4. Végezzük el az összevonásokat, majd alakítsuk szorzattá az összegeket!

a) µ2x + 3y + 8x + y = .....................................................................................................................................................................................

b) 5ab µ 4a + 2ab µ 3a = ...............................................................................................................................................................................

c) µ10xy µ 8x µ 2x ¡ 5y µ x ¡ 2 = ...............................................................................................................................................................

d) 3x2y + 5x µ x2y + x = ....................................................................................................................................................................................

e) = ................................................................................................................................................................

a a a2 2 2234

434

− + − −b b


7 ¡ 4a µ 7 ¡ 5 = 7 ¡ (4a µ 5)

3 ¡ 3x + 3 ¡ 4 = 3 ¡ (3x + 4)

µ8 ¡ 1 µ 8 ¡ 3a = (µ8) ¡ (1 + 3a)

17

3 17

2 17

3 2¡ ¡ ¡x xµ µ= ( )

6x + 4y = 2 ¡ (3x + 2y)

7ab µ 7a = 7a ¡ (b µ 1)

µ10x µ 20xy = µ10x ¡ (1 + 2y)

2x2y + 6x = 2x ¡ (xy + 3)

µ3a2 µ 3b = µ3 ¡ (a2 + b)

2 12 182

12 18⋅( )x x+ = +

12 2 312

2 3⋅( )x x+ = +

4 6 94

6 9⋅( )x x+ = +

6 4 66

4 6⋅( )x x+ = +

3 8 123

8 12⋅( )x x+ = +


43

Hogyan oldjunk meg feladatokat? Emlékeztetõ.1. Rajzoljuk le szakaszokkal, és oldjuk meg!

a) A ládában 2 híján 50 gyümölcs van. Kétszer annyi alma van, mint körte, és más gyümölcs nincs. Hányalma van a ládában?

körte: Ellenõrzés:

alma:

összes:

Válasz: .....................................................................................................................................................................................................................

b) Petinek 10-zel több DVD-je van, mint Tamásnak. Tamás DVD-inek száma x. Kettõjüknek 20 DVD-je van.Hány DVD-jük van külön-külön?

xTamás DVD-inek száma: Ellenõrzés:

Peti DVD-inek száma:

összesen:

Válasz: .....................................................................................................................................................................................................................

c) Az osztályban 4-gyel több a fiú, mint a lány, az osztálylétszám 28. Hány fiú és hány lány van az osztály-ban?

lányok száma: Ellenõrzés:

fiúk száma:

osztálylétszám:

Válasz: .....................................................................................................................................................................................................................

d) Akik már feleltek matematikából a 7.a-ban, azok száma része azoknak, akik még nem feleltek. A 7.a

létszáma 28. Hányan feleltek, és hányan nem feleltek eddig matematikából?

nem feleltek: Ellenõrzés:

feleltek:

osztálylétszám:

Válasz: .....................................................................................................................................................................................................................

52

e) A 7.b osztály létszáma 27. Az iskola szomszédságában lakók és a távolabb lakók aránya 2 : 7. Hányanlaknak az iskola szomszédságában?

szomszédságban lakók: Ellenõrzés:

távolabb lakók:

osztálylétszám:

Válasz: .....................................................................................................................................................................................................................

3. EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK


50

20

2

(50 µ 2) ¢ 3 = 48 ¢ 3 = 1616 ¡ 2 = 32 16 + 32 = 48 < 50

5 + 15 = 20

12 + 16 = 28

20 + 8 = 28

6 + 21 = 27

6 ¢ 21 = 2 ¢ 7

2-vel

32 alma van a ládában.

Petinek 5 DVD-je, Tamásnak 15 DVD-je van.

16 fiú és 12 lány van az osztályban.

Nem felelt 8 tanuló, felelt 20 tanuló.

Hatan laknak az iskola szomszédságában.

10x

10x x

28

27

4

4

ÿÿÿ ÿ

2x + 10 = 202x = 10

x = 5x + 10 = 15

2ÿ + 4 = 282ÿ = 24ÿ = 12

ÿ + 4 = 16

n + n = 28

n = 28

7n = 56n = 8

72

52n ⋅ 5

2

28

n ⋅ 52

52

52

8 20n= =⋅

x x

7x

9x = 27x = 3

2x = 6 7x = 21

n

n

2x


EGYENLETEK , EGYENLÕTLENSÉGEK

44

2. Az osztálykiránduláson 1. nap Petra elköltötte pénzének felét és még 500 Ft-ot, második nap a maradék felétés még 200 Ft-ot, a harmadik napra már csak 300 Ft-ja maradt. Hány forinttal indult Petra kirándulni?Mennyit költött a kirándulás elsõ és második napján?

1. megoldás: 2. megoldás: táblázat kitöltésével

Ellenõrzés: ....................................................................................................................................................................................................................

Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................

3. 2008. március 1-jén kivonták a forgalomból az 1 és 2 forintosokat. Luca beváltotta az 1 és 2 Ft-osait.186 db-ért 264 Ft-ot kapott. Hány 1 és 2 forintos érméje volt Lucának?

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

Ellenõrzés: ....................................................................................................................................................................................................................

Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................

4. Három tyúk és két csirke együtt 13,5 kg. Négy tyúk és három csirke együtt 18,5 kg. Mennyi két tyúk és egycsirke tömege? Rajzoljunk mérlegeket!

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

Ellenõrzés: ....................................................................................................................................................................................................................

Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................

Petra pénze végén elején költött

2. nap

1. nap

¢ 2

1. nap

2. nap

3. nap


300 1000 700

1000 3000 2000

3000

1500

1000

500

300

2000 + 700 + 300 = 3000

Az elsõ nap 2000 Ft-ot, a második napon 700 Ft-ot költött.

78 ¡ 2 + 108 ¡ 1 = 156 + 108 = 264

Lucának 78 db 2 forintos és 108 db 1 forintos érméje volt.

1 tyúk 3,5 kg, 1 csirke 1,5 kgminden mérlegen.

Ellenõrzés:(4) és (6): 1t 3,5kg(4): 1c 5 µ 3,5 = 1,5 kg

Két tyúk és egy csirke 8,5 kg.

3 ¡ 3,5 + 2 ¡ 1,5 = 13,5 kg 4 ¡ 3,5 + 3 ¡ 1,5 = 18,5 kg

¡ 2

+ 500

¡ 2

+ 200

µ 500

¢ 2

µ 200

2x + (186 µ x) = 264

186 + x = 264

x = 78

186 µ x = 108

186

186 µ xx

1 Ft2 Ftérték

db

3t + 2c 13,5 1t + 1c 18,5 µ13,5

4t + 3c 18,5 6t + 4c 32 µ 5

7t + 5c 13,5 + 18,5 2t + 1c 27 µ 18,5

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

264 Ft


45

Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................

Hogyan születnek az egyenletek?1. Egy hetedikes gyerek így sóhajtott fel: ma matekból, magyarból és angolból is volt házi feladatom, így másfél

órát tanultam. A magyar és az angol megírására összesen négyszer annyi idõt kellett fordítani, mint a matekelkészítésére. Másból nem volt írásbelim. Mennyi idõt fordított ez a hetedikes a matek házi megírására?

matek + magyar + angol: perc.................

magyar + angol négyszer annyi, mint a matek

matek négyszerese + matek: ................. perc

4 + =x x .................¡

Jelöljük -szel a matekra fordított idõt.x

Egyenlet:

Ellenõrzés:

Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................

2. A palacsintaárus 35-tel több lekváros palacsintát adott el, mint kakaóst. Ebbõl a két fajtából összesen 87-etadott el. Mennyi volt az eladott lekváros és mennyi a kakaós palacsinta?

az összes palacsinta: .................

lekváros + kakaós: .................

kakaós + 35 + kakaós: .................

Jelöljük: ...................................................

A lekváros 35-tel több, mint a kakaós.

Egyenlet:

Ellenõrzés:

Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................

3. Katinak és húgának különbözõ darabszámú térkép puzzle kirakójátéka van. Katiéban az elemek száma 100-zal kevesebb, mint a húgáéban lévõk háromszorosa. Hány elembõl állnak a puzzle játékok külön-külön,ha a két játéknak összesen 800 eleme van?

Jelöljük: ...................................................

Egyenlet:

Ellenõrzés:


90

90

90

87

87

87

(x + 35) + x = 87

18 percet fordított a matek házi feladat megoldására.

61 lekváros és 26 kakaós palacsintát adott el.

Kati puzzle elemeinek száma + húga puzzle elemei száma: 800

x-szel a kakaós palacsinták számát.

x-szel a húg puzzle elemeinek számát.

(3 ¡ x µ 100) + x = 800

4x µ 100 = 800

Katinak 575 elembõl, a húgának 225 elembõl állt a puzzle játéka.

4x + x = 905x = 90

x = 18

4 ¡ 18 + 18 = 72 + 18 = 90

(x + 35) + x = 872x + 35 = 87

2x = 52x = 26

x + 35 = 61

(26 + 35) + 26 = 61 + 26 = 87

4x µ 100 = 8004x = 900

x = 225

575 + 225 = 800

3x µ 100 = 3 ¡ 225 µ 100 = 575



46

Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................

4. Lili anyukája a boltba menet végiggondolta, hogy mit kell vennie és ez kb. mennyibe fog kerülni. A pénztár-nál meglepõdött, mikor kiderült, hogy a fizetendõ összeg 350 Ft híján kétszer annyi, mint amennyit eredetileggondolt. Mennyit gondolt eredetileg, ha 3650 Ft-ot kellett fizetnie?

Jelöljük: ...................................................

Egyenlet:

Ellenõrzés:

5. Oldjuk meg lebontogatással a következõ egyenleteket! Lépésenként karikázzuk be azt az algebrai kifejezést,amelyiknek az értékét megkapjuk!

a) b) 5 ¡ [1 µ 2 ¡ (x + 3)] = µ453 7

48 1

3 7

4

x

x

+ − = −

+=

Ellenõrzés: Ellenõrzés:

Válasz: ............................................................................................ Válasz: ............................................................................................

Ellenõrzés:

Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................

6. Gondoltam egy számot, a kétszeresébõl 17-et kivontam. A különbség harmada 7-tel kevesebb 128-nál.Melyik számra gondoltam? Folytassuk a rajzot!

gondolt szám


Eredeti kétszeresénél 350 Ft-tal kevesebb: 3650 Ft

2x µ 350 = 3650

Eredetileg 2000 forintot gondolt elkölteni Lili anyukája.

2x µ 350 = 36502x = 4000

x = 2000

2 ¡ 2000 µ 350 = 4000 µ 350 == 3650

x-szel az eredetileg gondolt összeget.

A 190-re gondoltam.

7

3x + 7 = 28

3 x = 21

x = 7

1 µ 2 ¡ (x + 3) = µ9

µ 2 ¡ (x + 3) = µ10

x + 3 = 5

x = 2

5 ¡ [1 µ 2 ¡ (2 + 3)] = 5 ¡ (1 µ 2 ¡ 5) =

= 5 ¡ (µ9)= µ45

x = 2x = 7

3 7 74

8 21 74

8 284

8 7 8 1⋅ + = + = = =µ µ µ µ µ

190 2 173

7 380 173

7 3633

7 121 7 128⋅ µ + µ + + += = = =

2x µ 17 2 173

x µ 2 173

7x µ +

363380190 121 128

2 ¡ xx¡ 2 µ 17 ¢ 3 + 7

+ 17¢ 2 ¡ 3 µ 7

=


47

A mérlegelv I.1. A mérlegek egyensúlyban vannak. Írjuk fel a kiinduló egyenletet, ha az egyforma zsákok jelölik az ismeretlen

tömeget, és 1 kocka 1-et ér! A két oldal egyenlõ változtatása utáni állást rajzoljuk le, míg megkapjuk azegyenlet megoldását! Minden esetben ellenõrizzük a megoldást!

a)

=

=

=

Ellenõrzés: Bal oldal: ............................................................................................................................................................................................

Jobb oldal: ........................................................................................................................................................................................

b)

=

=

=

=


Jobb oldal: ........................................................................................................................................................................................


2x + 3

x + 3

x

x + 4

4

1

µ x

µ 3

¢ 2

µ x

µ 1

2 ¡ 1 + 3 = 5

1 + 4 = 5

4x + 2

2x + 1

x + 1

2x + 6

x + 3

3

x 2

4 ¡ 2 + 2 = 8 + 2 = 10

2 ¡ 2 + 6 = 4 + 6 = 10



48

2. Rajzoljuk le az egyenletnek megfelelõ mérleget (ha szükséges), majd írjuk le a megoldás folyamatát!


Jobb oldal: ........................................................................................................................................................................................


Jobb oldal: ........................................................................................................................................................................................

a) 9 + x = 4x + 3

b) 3x + 2 = 2x + 7

3. A két oldal egyenlõ változtatásával oldjuk meg az egyenleteket!

a) 3x µ 6 = x µ 8 b) 3(x µ 6) = x µ 8

Ellenõrzés:

Bal oldal: ....................................................................................... Bal oldal: .......................................................................................

Jobb oldal: ................................................................................... Jobb oldal: ...................................................................................

=

=

=

=

=

=

=


9 + x 4x + 3

9 3x + 3

6 3x

2 x

µ x

µ 3

¢ 3

µ 2

µ 2x

9 + 2 = 11

4 ¡ 2 + 3 = 8 + 3 = 11

3x + 2 2x + 7

3x 2x + 5

x 5

3 ¡ 5 + 2 = 15 + 2 = 17

2 ¡ 5 + 7 = 10 + 7 = 17

3 ¡ (µ1) µ 6 = µ3 µ 6 = µ9

µ1 µ 8 = µ9

3 ¡ (5 µ 6) = 3 ¡ (µ1) = µ3

5 µ 8 = µ3

/ µx

9 = 3x + 3 / µ3

6 = 3x / ¢2

2 = x

/ +6

3x = x µ 2 / µx

2x = µ2 / ¢2

x = µ1

/ felbontjuk a zárójelet

3x µ 18 = x µ 8 / +18

3x = x + 10 / µx

2x = 10 / ¢2

x = 5

/ µ2

3x = 2x + 5 / µ2x

x = 5


49

4. Melyik a kakukktojás az egy táblán levõ egyenletek közül? Karikázzuk be!

a) b) c)

5. Színezzük egyforma színnel azokat az egyenleteket, amelyeknek ugyanaz a megoldása!

µ3 = 1 + 4x 3x µ 5 = 4 + 2x 3x µ 5 = 4

2x µ 5 = 4 µ x µ4 = 4x 9 µ x = 2x

x µ 5 = 4 3x = 9 µx µ 3 = 1 + 3x

6. Zitának és Anikónak eredetileg ugyanannyi pénze volt. Az írószerboltban Zita elköltött 590 Ft-ot, Anikó320 Ft-ot, így Anikónak kétszer annyi pénze maradt, mint Zitának. Mennyi pénzük volt eredetileg?

Zita pénze Anikó pénze

x Ft eredetileg x Ft

x µ 590 Ft vásárlás után x µ 320 Ft

Egyenlet:

Ellenõrzés: ....................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................

3 9

5 2 4

3 4 5

2 9

4 3 5

x x

x

x x

x

x x

= +− = −− = +

=− = −

5 5

3 8 4

3 8 4

5 8 3

4 6 1

x

x x

x x

x

x x

= −+ = −− = ++ =+ = −

x x

x

x x

x

x x

− = +

= +

− = += +

= +

3 2 8

012

7

12

3 4

0 14

12

7


Zita: 860 µ 590 = 270

Anikó: 860 µ 320 = 540

540 ¢ 270 = 2

Eredetileg 860 forintjuk volt.

(x µ 590) ¡ 2 = x µ 320

2x µ 1180 = x µ 320

x µ 1180 = µ320

x = 860

x = µ1

x = 3

x = 9

x = 9

x = µ1

x = 3

x = 3

x = 3

x = µ1

3x = x + 92x = 9

x = 4,5

5 µ 2x = µ4µ2x = µ9

x = 4,5

x = 4,5

3x µ 4 = x + 53x = x + 92x = 9

x = 4,5

4 µ 3x = 5 µ x4 = 5 + 2x

µ1 = 2x

µ = x12

x + 3 = 8 µ 4x5x = 5

x = 1

3 µ x = 8 + 4x3 = 8 + 5x

µ5 = 5xµ1 = x

5x + 8 = 35x = µ5

x = µ1

4x + 6 = 1 µ x5x = µ5

x = µ1

x µ 3 = 2x + 8x = 2x + 11

µx = 11x = µ11

0 = x + 7

µ7 = x

µ14 = x

12

12

x µ 3 = x + 4

µ3 = x + 4

µ7 = x

x = µ14

12

12

12

x = x + 7

µ x = 7

x = µ14

12

12

x = µ14

x = µ1

µ 3 = 1 + 4xµ4 = 4xµ1 = x

3x µ 5 = 43x = 9

x = 3

x µ 5 = 4x = 9

µ4 = 4xµ1 = x

2x µ 5 = 4 µ x3x µ 5 = 4

3x = 9x = 3

µx µ 3 = 1 + 3xµ3 = 1 + 4xµ4 = 4xµ1 = x

9 µ x = 2x9 = 3x3 = x

3x µ 5 = 4 + 2x3x = 9 + 2x

x = 9

3x = 9x = 3



50

1. A 2x µ (x µ 3) = 3(x µ 1) egyenlet megoldása volt a házi feladat. Kitti három barátnõjével összehasonlítottaa megoldást. Mivel egyikük sem ellenõrizte, nem tudták, melyikük megoldása helyes. Segítsünk nekikeldönteni! Pirossal javítsuk a hibát!

Kinek milyen hibája volt?

Kitti: ....................................................................................................... Vanda: .................................................................................................

.................................................................................................................. ..................................................................................................................

Petra: .................................................................................................... Dóri: ......................................................................................................

.................................................................................................................. ..................................................................................................................

Kitti megoldása: Vanda megoldása:

2x µ (x µ 3)= 3(x µ 1) zárójelfelbontás 2x µ (x µ 3) = 3(x µ 1) zárójelfelbontás

2x µ x µ 3 = 3x µ 3 összevonás 2x µ x + 3 = 3x µ 1 összevonás

x µ 3 = 3x µ 3 /+ 3 x + 3 = 3x µ 1 /µ x

x = 3x /µ x 3 = 2x µ 1 /+ 1

0 = 2x /¢ 2 3 = 2x /¢ 2

0 = x 1,5 = x

Petra megoldása: Dóri megoldása:

2x µ (x µ 3)= 3(x µ 1) zárójelfelbontás 2x µ (x µ 3) = 3(x µ 1) zárójelfelbontás

2x µ x + 3 = 3x µ 3 összevonás 2x µ x + 3 = 3x µ 3 összevonás

x + 3 = 3x µ 3 /µ 3 x + 3 = 3x µ 3 /+ 3

x = 3x /µ x x + 6 = 3x /µ x

0 = 2x /¢ 2 6 = 2x /¢ 2

0 = x 3 = x

2. Jelöljük, hogy milyen átalakítással kaptuk meg a következõ egyenletek megoldását!

a) = 2 /

x µ 4 = 12 /

x = 16

x − 46

b) µ 2 = x µ 1 /x − 4

6

A mérlegelv II.

= x + 1 /

x µ 4 = 6(x + 1) /

x µ 4 = 6x + 6 /

x = 6x + 10 /

µ5x = 10 /

x = µ2

x − 46

c) 12 µ (x µ 3) = 6x µ 6 /

12 µ x + 3 = 6x µ 6 /

15 µ x = 6x µ 6 /

21 µ x = 6x /

21 = 7x /

3 = x

d) 12x µ 6 µ (45x + 15) = 10x µ 150 /

12x µ 6 µ 45x µ 15 = 10x µ 150 /

µ33x µ 21 = 10x µ 150 /

µ21 = 43x µ 150 /

129 = 43x /

3 = x


/ µ3

/ µ3x

/ ¢(µ2)

/ µ3x

/ ¢(µ2)

3

3

3 3

µ 6

µ 6

µ 6µ2x

µ2x

3

3

µ 6

3

6

Rosszul bontotta fel a bal oldalon

a zárójelet.

A jobb oldalon nem szorozta meg

mindkét tagot 3-mal.

µ3 µ 3 = µ6; mindkét oldalból 3-at

vonunk ki.

B.o.: 2 ¡ 3 µ (3 µ 3) = 6 µ 0 = 6

J.o.: 3 ¡ (3 µ 1) = 3 ¡ 2 = 6

¡ 6

+ 4

zárójelfelbontás

összevonás

+ 6

+ x

¢ 7

zárójelfelbontás

összevonás

+ 33x

+ 150

¢ 43

+ 2

¡ 6

zárójelfelbontás

+ 4

µ 6x

¢ (µ5)


51

3. BINGÓ JÁTÉK. A bal oldalon álló egyenletek megoldásait írtuk a jobb oldali táblázatba. Oldjuk meg azegyenleteket, a kapott megoldásokat takarjuk le a táblázatban. Az mondhatja, hogy BINGÓ, aki már háromszámot letakart egy sorban, egy oszlopban vagy egy átlóban. Az gyõz, aki elõször mondja, hogy BINGÓ,utána a többiek tovább játszanak.

9 + x µ 2x + 3 + 8x µ 5 = 0

µ3x + 8 µ 5x µ 2 = 2x µ 3

15x µ 1 + 5 µ 7x = 8 µ x + 5

4x + 4 ¡ (x µ 1) = 12

2 ¡ (2x µ 1) + (x µ 4) = 21 µ 4x

9 µ (2x + 3) = 3 ¡ (x µ 8)

x µ 2 ¡ (x µ 2) µ (2x µ 5) = 25 + x

µ7 µ ¡ (x µ 3) = x µ32

32

12

8

7

6

5

4

3

2

1

3 0,9 µ8

µ1 µ2 2

µ4 6 1µ 2 = 1 + x

2 13

x +9


x = µ1

x = 0,9

x = 1

x = 2

x = 3

x = 6

x = µ4

x = µ2

x = µ8

9 + x µ 2x + 3 + 8x µ 5 = 0

7 + 7x = 0 / µ7x

7 = µ7x / ¢(µ7)

µ1 = x

9 µ (2x + 3) = 3 ¡ (x µ 8)

9 µ 2x µ 3 = 3x µ 24

6 µ 2x = 3x µ 24 / +24

30 µ 2x = 3x / +2x

30 = 5x / ¢5

6 = x

x µ 2 ¡ (x µ 2) µ (2x µ 5) = 25 + x

x µ 2x + 4 µ 2x + 5 = 25 + x

9 µ 3x = 25 + x / µx

9 µ 4x = 25 / µ9

µ4x = 16 / ¢(µ4)

x = µ4

µ7 µ ¡ (x µ 3) = x µ

µ7 µ x + = x µ

µ µ x = x µ / +

µ x = x + / µ x

µ x =

µ2x = 4 / ¢(µ2)

x = µ2

82

42

32

82

32

12

112

32

32

12

112

32

32

32

12

32

32

12

µ 2 = 1 + x / +2

= 3 + x / ¡3

2x + 1 = 9 + 3x / µ2x

1 = 9 + x / µ9

µ8 = x

2 13

x +

2 13

x +

µ3x + 8 µ 5x µ 2 = 2x µ 3

6 µ 8x = 2x µ 3 / +8x

6 = 10x µ 3 / +3

9 = 10x / ¢10

0,9 = x

15x µ 1 + 5 µ 7x = 8 µ x + 5

8x + 4 = 13 µ x / +x

9x + 4 = 13 / µ4

9x = 9 / ¢9

x = 1

4x + 4(x µ 1) = 12

4x + 4x µ 4 = 12

8x µ 4 = 12 / +4

8x = 16 / ¢8

x = 2

2 ¡ (2x µ 1) + (x µ 4) = 21 µ 4x

4x µ 2 + x µ 4 = 21 µ 4x

5x µ 6 = 21 µ 4x / +4x

9x µ 6 = 21 / +6

9x = 27 / ¢9

x = 3

5 2 9

1 8 4

7 6 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9



52

1. Egy 32 fõs csoport csónakkirándulásra indult. A csónakok két-, illetve háromszemélyesek. Hány két- éshány háromszemélyes csónakot béreltek, ha összesen 12 csónakban indultak útnak, és minden csónakbanpontosan annyian ültek, ahány személyes?

Kétszemélyes csónakok Háromszemélyes csónakok

száma

azokban ülõk száma

Egyenlet:

Ellenõrzés: ....................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................

2. Hány gyertya ég annak a gyereknek a születésnapi tortáján, aki két év múlva éppen kétszer annyi idõs lesz,mint öt évvel ezelõtt volt?

Most: éves.

Két év múlva éves.

Öt évvel ezelõtt éves.

Összefüggés a két életkor között:

Egyenlet (Próbáljuk meg felírni kétféleképpen!):

a) b)

Ellenõrzés a másik megoldással.

Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................

3. Oldjuk meg az egyenleteket, és állapítsuk meg, hogy melyiknek van megoldása a természetes számokhalmazán!

a) 20 + x = 43 b) 35 µ 2x = µ3 c) 3(2 µ x) = 18

d) 20 µ x = 30 + x e) f) 8 µ x = 10

A természetes számok halmazán a(z) ........................................................... egyenletnek van megoldása.

x3

4 2− =

Amit nem szabad elfelejteni: az egyenlet alaphalmaza


2x + 3(12 µ x) = 32

2x + 36 µ 3x = 32

36 µ x = 32 / µ36

µx = µ4 / ¢(µ1)

x = 4

x

2x

12 µ x

3(12 µ x)

4 kétszemélyes csónakban 8 fõ ül, a 8 háromszemélyes csónakban 24 fõ ül.

8 + 24 = 32

4 kétszemélyes és 8 háromszemélyes csónakot béreltek.

x

x + 2

xµ5

x + 2 x µ 5>¡ 2

x + 2 = 2(x µ 5)

x + 2 = 2x µ 10 / +10

x + 12 = 2x / µx

12 = x

12 gyertya ég a születésnapi tortán.

a; b; e

= x µ 5 / ¡2

x + 2 = 2x µ 10 / µx

2 = x µ 10 / +10

12 = x

x +22

/ µ20

x = 23

/ µ35

µ2x = µ38 / ¢(µ2)

x = 19

6 µ 3x = 18 / µ6

µ3x = 12 / ¢(µ3)

x = µ4

/ +x

20 = 30 + 2x / µ30

µ10 = 2x / ¢2

µ5 = x

/ +4

= 6 / ¡3

x = 18

x3

/ µ8

µx = 2 / ¢(µ1)

x = µ2


53

4. Oldjuk meg az egyenleteket, és állapítsuk meg, hogy melyiknek van megoldása az egész számok halmazán!

a) 6 = 8 µ x b) 2x + 4 = 5 c) 3x + 9 = µ6

d) 4x = 10 e) 8 = 4(x µ 3) f)

Az egész számok halmazán az ........................................................... egyenletnek van megoldása.

62

− =xx

5. Adjunk meg öt egymást követõ páratlan számot, melyek összege a megadott szám!

a) 95 b) 97 c) 98

Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................

6. Három kertész közül a legidõsebbnek, Zsoltnak háromszor annyi szakkönyve van, mint Máténak, és 43-maltöbb, mint Andinak. Megszámolták, hogy összesen hány szakkönyvük van. Zsolt 180-at, Máté 181-et, Andi182-t számolt. Melyikük számolt jól?

Máté szakkönyveinek száma:

Zsolt szakkönyveinek száma:

Andi szakkönyveinek száma:

Egyenlet:

Ellenõrzés: ....................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................


/ µ8

µ2 = µx / ¢(µ1)

2 = x

/ µ4

2x = 1 / ¢2

x = 12

/ ¢4

2 = x µ 3 / +3

5 = x

/ ¢4

x =

x = 2,5

x = 2 12

104

/ ¡2

2(6 µ x) = x / zárójelfelbontás

12 µ 2x = x / +2x

12 = 3x / ¢3

4 = x

/ µ9

3x = µ15 / ¢3

x = µ5

a; c; e; f

Legyen a középsõ páratlan szám: x

így (x µ 4) + (x µ 2) + x + (x + 2) + (x + 4) = 5x

a) 5x = 95 x = 19 15; 17; 19; 21; 23

b) 5x = 97 x = 19,4

c) 5x = 98 x= 19,6

Csak az a) feladatnak van megoldása, a b) és c) esetekben nincs páratlan megoldás.

Ell.: 15 +17 + 19 + 21 + 23 = 95

x

3x

3x µ 43

Máténak 32 db, Zsoltnak 96 db, Andinak 53 db szakkönyve volt: 32 + 96 + 53 = 181

könyvük volt összesen.

Máté számolt helyesen.

Zsolt:

7x µ 43 = 180

7x = 223

x = 31 67

Máté:

7x µ 43 = 181

7x = 224

x = 32

Andi:

7x µ 43 = 182

7x = 225

x = 32 17

x + 3x + (3x µ 43) = 7x µ 43



54

Mikor érdemes egyenletet használni?1. A kutyamenhelyen lévõ kutyák 20%-ának találtak gazdit hétfõn. Kedden a maradék 25%-ának, szerdán

a maradék harmadának, csütörtökön pedig a maradék részének. Pénteken már csupán 8 kutya volt

a menhelyen. Melyik napon vitték el a legtöbb kutyust?

Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................

12

2. Az iskolai papírgyûjtéskor András, Béla, Csilla és Dóri összesen 216 kg papírt adtak le. Ha a Dóra általleadott papír tömegét 5 kg-mal csökkentenénk, Csilláét 5 kg-mal növelnénk, a Béláét 5-tel elosztanánk, azAndrásét 5-tel megszoroznánk, akkor mindegyik gyerek ugyanannyi papírt adott volna le. Ki hány kilogrammpapírt gyûjtött?

Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................

3. A 7.a és 7.b osztályok létszáma egyenlõ. A 7.a osztályba 22, a 7.b osztályba 10 fiú jár. A 7.b osztályba járólányok száma háromszor annyi, mint a 7.a osztályba járó lányoké. Mennyi a 7.a és a 7.b osztályok létszáma?

Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................


(1) A változtatás utáni mennyiség: x

Ell: 35 + 25 + 150 + 6 = 216

30 + 5 = 35 Dóri

30 µ 5 = 25 Csilla

5 ¡ 30 = 150 Béla

= 6 András305

András 6kg, Béla 150 kg, Csilla 25 kg, Dóri 35 kg papírt gyûjtött.

Minden nap azonos számú kutyust vittek el. (40 kutya volt, minden nap 8-at vittek el.)

A 7.a és a 7.b létszáma 28 fõ.

7.a-ban lány 6 fõ 7.a létszám 22 + 6 = 28

7.b-ben lány 18 fõ 7.b létszám 10 + 18 = 28

22 + x = 10 + 3x / µx

22 = 10 + 2x / µ10

12 = 2x / ¢2

6 = x

fiú lány összesen

7.a 22 x 22 + x

7.b 10 3 ¡ x 10 + 3x

(x + 5) + (x µ 5) + 5x + x = 216

2x + 5x + x = 216

7 x = 216

= 216 / ¡5

36x = 1080 / ¢36

x = 30

365

x

15

15

15

D Cs B A

80%Hétfõn

az összes20 %-a 60%

Kedden

40%Szerdán

20%Csütörtökön

Pénteken

a 80% 25 %-a

a 60% harmada

8 kutya

a 40%része

12

(2)

(3)

(4)


55

Egyenlõtlenségek1. a) Melyik szám a nagyobb? Írjuk a számpárok közé kékkel a megfelelõ relációjelet!

2 À£ 3; µ5 À£ 5; 3 À£ 0; µ2 À£ 0; µ7 À£ µ8;

b) Írjuk le az a) feladatban felírt számok (µ1)-szeresét, majd a kapott számpárok közé írjuk pirossal amegfelelõ relációjelet!

À£ ; À£ ; À£ ; À£ ; À£ ;

c) Szorozzuk meg az a) feladatban lévõ számokat (µ3)-mal, majd a kapott párok közé írjuk pirossal a meg-felelõ relációjelet!

À£ ; À£ ; À£ ; À£ ; À£ ;

d) Osszuk el az a) feladatban lévõ számokat (µ1)-gyel, majd a kapott számpárok közé írjuk pirossal a meg-felelõ relációjeleket!

À£ ; À£ ; À£ ; À£ ; À£ ;

e) Osszuk el az a) feladatban lévõ számokat (µ2)-vel, majd a kapott számpárok közé írjuk a megfelelõrelációjelet pirossal!

À£ ; À£ ; À£ ; À£ ; À£ ;

Fejezzük be a mondatot! Ha egy egyenlõtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a negatív számmal szorozzuk

vagy osztjuk, a relációjel ................................................................................................................................................................................... .

2. Végezzük el az egyenlõtlenség megoldásának megadott lépéseit!

a) 2x µ 1 < 13 µ 5x /µ 2x b) 2x µ 1 < 13 µ 5x /+ 5x

/µ 13 /+ 1

/¢ (µ7) /¢ 7

c) Ábrázoljuk az egyenlõtlenség megoldását számegyenesen!

–5 50

3. Az egyenlõtlenségek megoldása során végzett lépések alapján írjuk fel az eredeti egyenlõtlenséget!

a) b) Oldjuk meg az egyenlõtlenséget az elõbbi/ ¡ 2 lépéssortól különbözõ lépéssorral!

/+ 8

/µ 4x

/¢ (µ3)

x ³µ 4

c) Ábrázoljuk a megoldást számegyenesen!

–5 50


< < > < >

> µ3µ2 µ5+5 0µ3 0+2 +8+7

µ9µ6 µ15+15 0µ9 0+6 +24+21

µ3µ2 µ5+5 0µ3 0+2 +8+7

µ1,5µ1 µ2,5+2,5 0µ1,5 0+1 +4+3,5

> < > <

> > < > <

> > < > <

> > < > <

iránya megfordul.

µ1 < 13 µ 7x

µ14 < µ7x

2 > x

7x µ 1 < 13

7x < 14

x < 2

£ 2x + 2 / ¡2

x µ 8 £ 4x + 4 / µx

µ8 £ 3x + 4 / µ4

µ12 £ 3x / ¢3

µ4 £ x

x µ82x µ 8 £ 4 + 4x

x £ 12 + 4x

µ3x £ 12

£ 2x + 2x µ82



56

4. Kössük össze az egyenlõtlenségeket a számegyenesen ábrázolt és a szöveggel leírt megoldásokkal!Húzzuk át azokat, amelyeknek nincs párjuk! Az alaphalmaz a racionális számok halmaza.

5. Jelöljük, hogy milyen átalakítással kaptuk meg a következõ egyenlõtlenségek megoldását!

a) < /

3(x µ 3) µ 24 < 2x /

3x µ 9 µ 24 < 2x /

3x µ 33 < 2x /

x µ 33 < 0 /

x < 33

x3

x − −32

4 b) ³ /

48 µ 2x ³ 24 + x /

48 µ 3x ³ 24 /

µ3x ³ µ24 /

x £ 8

64

+ x12

2− x

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

4 + 5x ³ µ1

5x + 8 £ µx

x nem kisebb, mint 2

x legfeljebb 8

x legfeljebb µ2

x kisebb, mint µ1

x legalább µ1

1 µ 2x £ 5

0 £ 8 µ x

µx < 2x + 3

1–1 0

1–2 0

1–1 0

2–1 0

8–1 0


¡6

zárójelfelbontás

összevonás

µ2x

+33

¡4

µx

µ48

¢(µ3)

4 + 5x ³ µ1 / µ4

5x ³ µ5 / ¢5

x ³ µ1

5x + 8 £ µx / µ5x

8 £ µ6x / ¢(µ6)

³ x

³ x

³ xµ113

µ43

µ86

1 µ 2x £ 5 / µ1

µ2x £ 4 / ¢(µ2)

x ³ µ2

0 £ 8 µ x / µ8

µ8 £ µx / ¢(µ1)

8 ³ x

µx < 2x + 3 / µ2x

µ3x < 3 / ¢(µ3)

x > µ1


57

Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria1. Rajzoljuk meg a közlekedési táblák szimmetria-középpontját!

2. Színezzük ki pirossal az alábbi alakzatok közül azokat, amelyek szimmetrikusak a berajzolt középpontra!

4. Írjunk fel olyan pontpárokat, amelyek

a) az origóra szimmetrikusak: ............................................

..........................................................................................................

b) a Z pontra szimmetrikusak: ............................................

..........................................................................................................

A megfelelõ pontpárok összekötése segíthetia munkánkat!

3. Rajzoljuk meg a szabályos sokszögek szimmetriatengelyeit kékkel, a szimmetria-középpontot pirossal!

Mit vehetünk észre? ................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

x

y

A

B

CD

E F

GH

I

J

K

L

M

ZO

N

4. SÍKGEOMETRIA I.


A páros oldalszámú szabályos sokszögeknek a szimmetriaközéppontja

a tengelyek metszéspontja.

(E; N); (H; K)

(B; C); (D; G)

(F; N); (C; G); (B; K)

(I; L); (J; M)


SÍKGEOMETRIA I .

58

5. Egészítsük ki a lehetõ legkevesebb vonallal úgy a rajzokat, hogy középpontosan szimmetrikus alakzatotkapjunk!

6. a) Tükrözzük az adott pontokat az origóra! Írjuk fel a képpontok koordinátáit!

Pont Képe

A(2; 1)

B(µ1; 3)

C(µ3; µ2)

D(2; µ2)

Pont Képe

E’(0; 0)

F’(4; 1)

G’(µ2; 1)

H’(0; µ2)

y

xµ3 1 2

1

2

µ1

µ2

µ1µ2µ4 3 4

3

µ3

b) Melyek azok a pontok, amelyeket az origóra tükrözve az alábbi pontokat kapjuk? Írjuk fel a pontokkoordinátáit!

y

xµ3 1 2

1

2

µ1

µ2

µ1µ2µ4 3 4

3

µ3

Az ábra alapján döntsük el, hogy azállítás igaz (I) vagy hamis (H)!

À£ Az ABCD négyszög középponto-san szimmetrikus alakzat.

Milyen négyszöget határoz meg azeredeti négy pont (EFGH)? Karikáz-zuk be a megfelelõt!

konkáv konvex

középpontosan középpontosanszimmetrikus nem szimmetrikus


GF

E E= ’

H

F’G’

H’

A

DC

B

A’

B’

C’D’

H

A’(µ2; µ1)

B’(1; µ3)

C’(3; 2)

D’(µ2; 2)

E(0; 0)

F(µ4; µ1)

G(2; µ1)

H(0; 2)


59

2. Szerkesszük meg a tükrözés középpontját, ha az A és A’ pontok egymás tükörképei!

Hogyan kaptuk meg a tükrözés középpontját?

A középpont ................................................................................................................................................................................................................

3. Tükrözzük a félegyeneseket az adott O pontra! A tükörképeket színezzük!

a)

Észrevétel: ....................................................................................................................................................................................................................

Középpontos tükörképek szerkesztése1. a) Tükrözzük az ABC (1.) háromszöget az x tengelyre, a kapott A’B’C’ (2.) háromszöget pedig az y

tengelyre! Így kapjuk az A’’B’’C’’ (3.) háromszöget.

b) Mit tapasztalunk, ha az AA’’; BB’’; CC’’ szakaszokat megrajzoljuk?

.......................................................................................................................................................................................................................................

c) Hogyan kaphatjuk meg egy lépésben az 1. háromszögbõl a 3. háromszöget?

.......................................................................................................................................................................................................................................

d) Tükrözzük az ABC háromszöget elõször az y, majd a kapott háromszöget az x tengelyre! (Más színthasználjuk, mint az a) feladatnál!) Mit tapasztalunk?

.......................................................................................................................................................................................................................................

A 1.

C

B

y

xµ5µ10µ 51 1 5 10

1

5

µ1

µ5

µ1

A

O

A’

aA

cC = O

Ob

B

b)

c)


c’

b’

B’

a’

A’

A’

C’

B’

A’

B’

C’

2.3. A ’’

B’’

C’’

A szakaszok közös felezõpontja az origó.

Az 1. háromszöget középpontosan tükrözzük az origóra.

A két tengelyes tükrözés eredménye azonos az elõzõ feladatrészben kapott A’’B’’C’’ háromszöggel.

Szakaszfelezéssel.

az AA’ szakasz felezõpontja: O.

O

A félegyenes és képe egy egyenesre illeszkedik.

nincs közös pontjuk

végtelen sok közös pontjuk

van (BB’ szakasz)

egy közös pontjuk van (O)


SÍKGEOMETRIA I .

60

4. Tükrözzük középpontosan az alábbi sokszögeket!

a) b)

5. Tükrözzük az ABC háromszöget a C csúcsára!

a) Az ABC háromszög egyenlõ szárú b) Az ABC háromszög nem egyenlõ szárú,és derékszögû. de derékszögû.

c) d)

c) Az ABC háromszög egyenlõ szárú, d) Az ABC háromszög nem egyenlõ szárúde nem derékszögû. és nem is derékszögû.

Az ABA’B’ négyszög ............................................................... Az ABA’B’ négyszög ...............................................................

Az ABA’B’ négyszög ............................................................... Az ABA’B’ négyszög ...............................................................

O

O

A

A

B

B

C

C

OA

B

C

D

O

A

B

C

D

A

B

CA

B

C

A

B

C

A

B

C


A’

B’

négyzet. rombusz.

téglalap. paralelogramma.

C’

D’

A’

B’

C’

D’

A’

B’

A’

B’

=C’=C’

A’

B’

=C’ A’

B’

=C’

B’

A’

C’

C’

B’

A’


61

6. Tegyünk x-et a megfelelõ helyre, és válaszainkat indokoljuk!

7. Tervezzünk középpontosan szimmetrikus parkot, ahol a fákat pontok jelölik a papíron! Ha tudunk, keressünktöbb megoldást! Mi a közös feladatrészenként az elrendezésekben?

a) Terv: 5 fa esetén b) Terv: 6 fa esetén

Észrevétel: .................................................................................... Észrevétel: ....................................................................................

1 0 Végtelensok Indoklás

a) Hány olyan pont van, amelyre egy szakaszttükrözve önmagát kapjuk?

b) Hány olyan pont van, amelyre egy félegye-nest tükrözve önmagát kapjuk?

c) Hány olyan pont van, amelyre egy egyenesttükrözve önmagát kapjuk?

d) Adott egy e egyenes és egy rá merõlegesf egyenes. Hány olyan pont van, amelyre aze egyenest tükrözve az f egyenest kapjuk?

e) Adott egy e és egy vele párhuzamos f egye-nes. Hány olyan pont van, amelyre aze egyenest tükrözve az f egyenest kapjuk?

f) Hány olyan pont van, amelyre egy szabályosháromszöget tükrözve önmagát kapjuk?

A

B

c

C

e

e

f

e

f


C’

X

X

X

X

X

X

Az egyik fa a középpont. A középpont egy külsõ pont.

F

O

O bármely pontja lehet azegyenesnek

nincs ilyenpont

nem közép-pontosan

szimmet-rikus

A középpárhuzamos pontjai

nincs ilyenpont

csak CC’ képe önmaga

O’

(1)

O

A

A’

B

B’

(2)

O

B’

A

A’

B

O

B’

A

A’

B

(4)

(3)

(5)

O

B’

A

A’

B

O

B’

A

A’

B

(1)

O

A

A’

B

B’

(2)

O

C’

A

A’

BC

C’

C

B’

(3)

A

B

C

C’

B’

A’

OA

B

C

O

A’

B’

C’

(4)

Egy szabályoshatszög csúcsai.

Két háromszögegymástükörképe.

Egy közöskörvonalátmérõinekvégpontjai.

Paralelogrammák csúcsai ésa középpontja az öt fa.

fasor

fasor


SÍKGEOMETRIA I .

62

Szögpárok, a háromszög belsõ szögeinek összege1. Tükrözzük középpontosan az alábbi szögeket! A szögszárakat és tükörképüket húzzuk át azonos színnel!

a) b)

c) d)

b

O

aO

O

g

e

1

12

5

16

3

11

8

15

2

9

6

13

4

10

7

14

f

h

B

eC

Aa b

g

g O

Fejezzük be a mondatokat!

A szögszárak és tükörképük helyzete .........................................................................................................................................................

A szögszárak és tükörképük iránya ..............................................................................................................................................................

A szögtartományok nagysága a tükrözés során ...................................................................................................................................

2. Keressünk az ábrán (e ª f és e ^ g)

a) egyállású szögpárokat;

.............................................................................................................

b) fordított állású szögpárokat!

.............................................................................................................

.............................................................................................................

3. Az ABC háromszög szögei a; b; g, és e ª AC.

= ...................................... = ......................................

b + + = .............. b + ........ + ........ = .............

Mit bizonyítottunk be ezzel? ...................................................

..................................................................................................................

4. Egészítsük ki a rajzokat, és írjuk bele a háromszögek külsõ és belsõ szögeinek nagyságát!

a) b)

B

C

A

115° 45°

B

C

A25°

53°


65° 135°

70°

110°

127°

102°78° 155°

A’

B’

B

A

C

g ’

B

B’

A

A’

b ’

a ’

A

A’

B

B’

C’

C

egymással párhuzamos.

ellentétes.

nem változott.

a (egyállású) g (ford. állású)

A háromszög belsõ

a 180°180° g

szögeinek összege 180°.

(1; 5); (2; 6); (3; 8); (4; 7): derékszögek; (9; 13);

(11; 15): hegyesszögek; (12; 16); (10; 14): tompaszögek

d. sz.: (1; 4); (1; 7); (2; 3); (2; 8); (5; 7); (5; 4); (6; 8); (6; 3)

h. sz.: (11; 9); (11; 13); (9; 15); (15; 13);

t. sz: (12; 10); (12; 14); (10; 16); (14; 16)

C’


63

5. Milyen háromszög az a háromszög, amelynek

a) az egyik külsõ szöge kétszer akkora, b) belsõ szögeinek aránya 1 : 2 : 3;mint a mellette fekvõ belsõ szög, a másik két belsõ szög aránya 1 : 1;

Vázlat: Vázlat:

A háromszög belsõ szögei: ............................................... A háromszög belsõ szögei: ...............................................

Ez a háromszög: ...................................................................... Ez a háromszög: ......................................................................

c) van két 120°-os külsõ szöge; d) van egy 75°-os külsõ szögeés egy 105°-os belsõ szöge;

Vázlat: Vázlat:



e) van egy 90°-os külsõ f) az egyik belsõ szöge 90°,és egy 100°-os belsõ szöge; az egyik külsõ szöge 135°?

Vázlat: Vázlat:



c) d)

B

C

A78°

124°

B

C

A48°69°


158° 22° 102°

56°

111° 132°

21°

159°

a = b = g = 60°

a = b = g = 60°

a = 30°; b = 60°; g = 90°

a = 105°; b + g = 75°

90° + 100° > 180° a = b = 45°; g = 90°

szabályos. derékszögû.

szabályos. tompaszögû.

ilyen háromszög nem lehet. egyenlõszárú, derékszögû.

b b

a

B C

A2a

b ’ b ’

B C

A

120° 60° 60°120°

60°

75° 105°

g

b

A B1 B2

C2

C1

90° 100°

B

C A

90° 45°

45°

135°

135°

B

C A

2a

a3a

3a = 180°

a = 60°

2b = 120°

b = 60°

b ’ = 120°

a + 2a + 3a = 180°

6a = 180°

a = 30°

b = 2a = 60°

g = 3a = 90°


SÍKGEOMETRIA I .

64

Középpontosan szimmetrikus négyszög: a paralelogramma1. Tükrözzük az ABC háromszöget mindhárom oldal felezõpontjára!

2. Keressünk különbözõ paralelogrammákat az ábrán! Írjuk fel õket csúcsaikkal, majd adjuk meg a velükegybevágó paralelogrammák számát is!

4. Felezzük el az ABCD paralelogramma a és g szögeit!Milyen helyzetû a két szögfelezõ? Miért?

..................................................................................................................

..................................................................................................................

..................................................................................................................

3. Egészítsük ki a következõ mondatokat úgy, hogy igaz állítást kapjunk!

µ A téglalap olyan paralelogramma, amelynek szögei ...................................................................................................................

µ A téglalap olyan paralelogramma, amelynek átlói ........................................................................................................................

µ A rombusz olyan paralelogramma, amelynek átlói .......................................................................................................................

µ A rombusz olyan paralelogramma, amelynek oldalai .................................................................................................................

µ A négyzet olyan paralelogramma, amelynek oldalai és szögei .............................................................................................

Színezzük különbözõ színnel az ábrán található paralelogrammákat!

a

g

AD

BC

d

b

A

LKJI

HGF

E

DB C

Paralelogramma

Darabszám

5. Az ABCD paralelogrammának felezzük meg a belsõ szögeit! Milyen négyszöget határoznak meg a szög-felezõk metszéspontjai? Miért?

..................................................................................................................

..................................................................................................................

..................................................................................................................

..................................................................................................................

.................................................................................................................. BA

CD

BA

C


F1

F3 F2

A’B’

AB ’A C

AC BC’

ABCB’

C’

a2

a b

gd2

d

j

a2

g2

f1

f2

egyenlõek.

egyenlõek.

merõlegesek egymásra.

egyenlõek.

egyenlõek.

ABFE

6 4 2 3 2 1 3

ACGE ADHE ABJI ACKI ADLI EBFI

Párhuzamosak (f1 ª f2), mert és fordította2

g2

állású szögek, így a szögfelezõk, mint szögszárak

Téglalapot határoznak meg. A szögfelezõk

páronként párhuzamosak. A metszéspontjaiknál

fekvõ szögek derékszögek, mert a + d = 180°, így

egymás tükörképei.

j = 90°+ = 90°d

2a2

+ + j = 180°d2

a2


65

7. Egy paralelogramma két szomszédos szögének aránya 1 : 2, egyik oldalának és rövidebb átlójának aránya1 : 1. Készítsünk vázlatrajzot!

a) Mekkorák a paralelogramma szögei?

b) Mit mondhatunk errõl a paralelogrammáról?

8. A szerkesztés lépéseit betartva szerkesszünk para-lelogrammát, ha az adatok az ábra elnevezéseialapján adottak!

BA

CD

F

Adatok:

Szerkesztés:

Vázlat:

Terv:

a)

A B B C

A C

A szerkesztés elemzése (diszkusszió): ................................................................................................................................................

6. Mekkorák a paralelogramma belsõ szögei, ha az adatok az ábra elnevezései alapján adottak?

a) b) c)

a

g

AD

BC

d

b

a

g

AD

BC

d

b

a

g

AD

BC

d

b

a = ..............; b = 50° az a 20°-kal nagyobb, mint b a : b = 3 : 2

g = ...............; d = .............. a = ..............; b = .............. a = ..............; b = ..............

g = ...............; d = .............. g = ...............; d = ..............


Ha az adott szakaszokra igaz a háromszög-egyenlõtlenség, akkoregy megoldása van.

Ez a paralelogramma rombusz (egyenlõ oldalú).

a = g = 60° b = d = 120°

130°

130° 50° 100°

100°

80°

80°

108°

108°

72°

72°

3x + 2x = 180°5x = 180°

x = 36°

a + b = 180°a + a µ 20° = 180°

2a = 200°a = 100° a = 3x = 108° b = 2x = 72°

1 rész x

A B

D C

a a

a

a

a=e

a

gd

b

g a=2

aa

A B

D B= ’ C

F


SÍKGEOMETRIA I .

66

Adatok:

Szerkesztés:

ABC¬ = 105°

Vázlat:

Terv:

A B

A C

b)

Adatok:

Szerkesztés:

CFB¬ = 45°

Vázlat:

Terv:

A B

A C

c)



Adatok:

Szerkesztés:

Vázlat:

Terv:

d)

B C

A C

A B



105°

A B

D B= ’ C

F

A feladatnak egy megoldása van.

Egy megoldás van.

A feladatnak nincs megoldása.

A paralelogramma két oldala és a megadott átlója

AC + BC < AB

egy háromszög oldalai, melyekre itt nem áll fenn

a háromszög-egyenlõtlenség.

135° 45°

F

AB

D B= ’

C

F


67

A trapézok

2. Ági azt állítja, hogy a trapéz egyik alapjához tartozókét külsõ szög összege egyenlõ a másik alapon fek-võ belsõ szögek összegével. Igaza van-e Áginak?Indokoljuk!Ági állítása: a’ + b’ = g + d.

Indoklás: .............................................................................................

..................................................................................................................

1. A megadott pontok közül melyik lehet a trapéz ne-gyedik csúcsa, ha három csúcsa:

CGI .......................................................................................................;

EIJ .........................................................................................................;

BEH .....................................................................................................?

Keressük meg az összes lehetõséget!

Melyek a húrtrapézok? ..............................................................

..................................................................................................................

Melyek a derékszögû trapézok? ..........................................

..................................................................................................................

3. Számítsuk ki az alábbi trapézok külsõ és belsõ szögeit!

a) b)

BA

CD

b’

gd

a’

4. Az alábbi trapézról írjunk igaz állításokat a bel-sõ szögeinek kiszámítása után, ha tudjuk, hogyDC = AC!

1. ...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

2. .......................................................................................................................................................................................................................................

3. .......................................................................................................................................................................................................................................

BA

CD20°

100°

FE

GH50°

60°

BA

AD = DC

CD40°

150°

ABC¬: ............................................................................................. EFG¬: ..............................................................................................

BCD¬: ............................................................................................. FEH¬: ..............................................................................................

ADC¬: ............................................................................................. EHG¬: .............................................................................................

DAB¬: ............................................................................................. HGF¬: .............................................................................................

A trapéz külsõ szögei: ........................................................... A trapéz külsõ szögei: ...........................................................

A

B

C D E F

G H I

J


80°

80° 60°

20°

110°

110° 120° 60°70°

70° 120°

80° 100°

100° 40° 30°

30°110°

40°

a b

Igen.

D, E, F

H, D, A

D, A

DHIE

CGHD; CGIE; DHIF; ABED; DHIE; DEIJ

30°

150°

100°

80°

60°

70°

110°

120°

120°, 110°, 70°, 60°100°, 150°, 30°, 80°

Húrtrapéz (van szimmetriatengelye).

Van két egyenlõ oldala.

(szárak: AD = BC)

Az egy alapon fekvõ szögei egyenlõek. a = b, g = d

A szemközti szögeinek összege 180° és az egy száron fekvõ szögeinek az összege is 180°.

a + a ’ = 180° b + b ’ = 180°a + d = 180° b + g = 180°

Fordított állású szögek.

a ’ = d b ’ = g


SÍKGEOMETRIA I .

68

*5. A szögpárok segítségével lássuk be, hogy a + b = g!Az indoklás gondolatmenetét áttekinthetõen írjuk le!

..................................................................................................................

..................................................................................................................

..................................................................................................................

..................................................................................................................

.................................................................................................................. BA

C

E

D

b

g

a

6. Milyen különleges tulajdonsága van a rajzon láthatótrapéznak?

..................................................................................................................

..................................................................................................................

Szerkesszünk egy ilyen tulajdonságú trapézt, haAD = 6,5 cm; a = 30°; DC = 4 cm! AD

BC

a

a

Szerkesztés:Vázlat:

Terv:

A szerkesztés elemzése (diszkusszió): .......................................................................................................................................................


7. Szerkesszünk húrtrapézt, amelynek egyik alapja 3 cm és ezzel az alappal a 4,5 cm-es átló 30°-os szöget zár be!


Terv:


c

eCg*

C

g*

D

A B

D A

D C

D A

C B

A

a

e

bb*

a*



a = a ’ fordított állású szögek

a) ABE¬ = EDC¬ = b fordított állású szögek.

b) e ª AB b* = b fordított állású szögek

e ª CD a* = a egyállású szögek

a* + b* = g ® a + b = g

Az ECD háromszög külsõ szöge g , ezért g = a + b .

AB = BC

a ’


69

A paralelogramma, a trapéz, a háromszög középvonala1. Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az A(2, µ2),

B(6; 8), C(µ4, 4) csúcspontokkal megadott háromszö-get! Rajzoljuk be az oldalfelezõ pontokat (F1, F2 és F3)és a háromszög középvonalait!Írjuk fel a felezõpontok koordinátáit!

.......................................................................................................................

Írjunk fel a csúcsaival minél több trapézt a rajzról!

.......................................................................................................................

.......................................................................................................................

.......................................................................................................................

2. Az F1, F2, F3 pontok egy háromszög oldalfelezõ pontjai. Szerkesszük meg a háromszöget!

3. Rajzoljuk meg az ABCD deltoid oldalfelezõ pontjait! Milyen négyszöget kapunk, ha rendre összekötjüka felezõpontokat? Miért?

..............................................................................................................................................................................................................................................

Mennyi a kapott négyszög kerülete, ha a deltoid átlóinak hossza 6 cm, ill. 10 cm?

Az F1, F2, F3 milyen elhelyezkedése esetén nem szerkeszthetõ háromszög?

..............................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

y

x1 5

1

5

µ1µ1


Terv:

F1

F2

F3

B

A C

D


F4 F3

F4’=F1 F2= ’F3

A

C

B

F1

F2

F3

F1 (4; 3); F2 (1; 6); F3 (µ1; 1)

AF1F2C; ABF2F3; AF1F2F3

BCF3F1; CF3F1F2; BF2F3F1

Ha a 3 pont egy egyenesre illeszkedik, akkor F1F2F3-ból nem szerkeszthetõ meg a középháromszög,

F1F2F3F4 téglalap: a tengelyes szimmetria miatt (AC átló a szimmetriatengelyre illeszkedik).

így az eredeti háromszög sem.

B

C

A

b

c

a

(1) e = 6 cm = BD

f = 10 cm = AC

K = ? cm

(3) K = 2(a + b)

K = 2

K = e + f

K = 16 cm

e f2 2

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(2) F1F4 az ADBè középvonala, ezért F1F4 = a =

F1F2 az ABCè középvonala, ezért F1F2 = b = f2

e2


SÍKGEOMETRIA I .

70

4. Szerkesszük meg azt a paralelogrammát, amelynek a középvonalainak hossza 4 cm és 6 cm, az általukközbezárt egyik szög 105°!


Terv:

5. Egy trapéz egyik alapja 8 cm, a trapéz alapjaival párhuzamos középvonalának hossza 14 cm. Milyen hosszúa másik alap?

6. Az ABCD trapézban az FG középvonal 10 cm, az EB ª CD és EA = 2 cm. Hány centiméter hosszúak a trapézalapjai?

B

A

C

D

G F

E

7. Rajzoljuk meg az ABCD trapéz alapjaival párhuzamos középvonalát és egyik átlóját! Igaz-e, hogy az átlóa középvonalat két olyan részre osztja, amelyek közül bármelyik az egyik alap felével egyenlõ? Indokoljuk azállítást!

BA

CD


j

F1 F2

F3 F4

F1 F2O

F4

F3A B

CD

F1 F2H

FG = 10 cm, EA = 2 cm

HF = 1 cm, mert ABE háromszög EA-vel párhuzamos

középvonala.

FG = GH + HF

GH = CB = 9 cm

DA = DE + EA = GH + EA = 9 cm + 2 cm = 11 cm

A trapéz alapjai 9 cm és 11 cm hosszúak.

H

c = 8 cm

k = 14 cm

a = ? cm

2 ¡ 14 cm µ 8 cm = a

28 cm µ 8 cm = a

20 cm = a

k =

2k = a + c

2k µ c = a

a +c2

Ell.: = 20 82

282

14 + = =

k

a

c

d b

F1F2 középvonal és BD átló metszéspontja H.

F1H + HF2 = F1F2

Az ABD háromszög középvonala F1H, így

F1H = .

A BCD háromszög középvonala F2H, így

F2H = . CD2

AB2


71

Halmazok, részhalmazok1. Soroljuk fel a következõ halmazok elemeit!

A = {A hét törpe.}B = {A 10-nél kisebb, 7-nél nem nagyobb természetes számok.}C =

D = {A 20-nál kisebb, 3-mal osztva 1 maradékot adó természetes számok.}

A = ....................................................................................................................................................................................................................................

B = ...................................................................................................................................................................................................................................

C = ...................................................................................................................................................................................................................................

D = ...................................................................................................................................................................................................................................

0µ1µ2 1 2

2. Adjuk meg közös tulajdonsággal a következõ halmazokat!

A = {0; 1; 4; 9; 16; ...}; A = .....................................................................................................................................................................

B = {0; 1; 8; 27; 64; ...}; B = .....................................................................................................................................................................

C = {2; 5; 8; 11; 14; ...}; C = .....................................................................................................................................................................

3. Készítsük el az A; B; C halmazok halmazábráját! Mindegyik halmazrészbe írjunk legalább három számot!

a) A = {2 pozitív többszörösei};

B = {4 pozitív többszörösei};

C = {8 pozitív többszörösei}.

A ......... halmaz részhalmaza a ......... halmaznak.



Az ábra alapján döntsük el, melyik állítás igaz (I), melyik hamis (H)!

À£ A 4 többszörösei a 8-nak is többszörösei.

À£ Van olyan pozitív természetes szám, amelyik a 4-nek is és a 8-nak is többszöröse.

À£ Van olyan természetes szám, amelyik a 8-nak többszöröse, de nem többszöröse a 2-nek.

À£ Ha egy természetes szám többszöröse a 4-nek, akkor többszöröse a 2-nek is.

À£ Ha egy természetes szám nem többszöröse a 8-nak, akkor nem többszöröse a 4-nek sem.

b) A = {6 osztói};

B = {24 osztói};

C = {72 osztói}.

Írjuk be a megfelelõ halmaz betûjelét!

......... Í ......... Í .........

Az ábra alapján döntsük el, melyik állítás igaz (I), melyik hamis (H)!

À£ 24-nek minden osztója osztója 6-nak is.

À£ Van olyan szám, amelyik a 24-nek osztója, de nem osztója 72-nek.

À£ 6 minden osztója osztója 24-nek is.

À£ Ha egy szám osztója a 24-nek, akkor osztója 6-nak is.

5. HALMAZOK, KOMBINATORIKA


{Tudor; Vidor; Szende; Szundi; Hapci; Morgó; Kuka}

{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

{1; 4; 7; 10; 13; 16; 19}

{a természetes számok második hatványai}

{a természetes számok harmadik hatványai}

{azok a természetes számok, melyek 3-mal osztva 2 maradékot adnak}

C A

C B

B A

H

I

H

I

H

H

H

I

H

A B C

µ µ112

12

12

112

; ; ; }⎧⎨⎩ vagy {µ1,5; µ0,5; 0,5; 1,5}

Pl.: A

B

C

2

6

22

14

84

4 12

32

8

16

80

Pl.: C

B

A

18

72

36

9

8

4 12

2

1

6

3

24


HALMAZOK , KOMBINATORIKA

72

Komplementer halmaz1. Legyen az alaphalmaz (U) az egyjegyû természetes számok halmaza. Készítsünk halmazábrát, és írjuk az U

halmaz elemeit a feltételeknek megfelelõen a halmazábra megfelelõ részébe! Adjuk meg a komplementerhalmazt is! Ábrázoljuk számegyenesen az adott halmazok elemeit kékkel, azok komplementerét pirossal!

a) A = {5-nél nagyobb egyjegyû természetes számok};

A_

= { ...........................................................................................

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

U

b) B = {x|x £ 3};

B_

= { ...................................................................................

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

U

c) C = {x|4 £ x £ 8};

C_

= { ...........................................................................................

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

U

d) D = {x|x £ 3 vagy x > 6};

D_

= { ...................................................................................

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

U

2. Az alaphalmazt (U) az alábbi négyszögek alkotják. Készítsünk halmazábrát, melynek részhalmaza az adotttulajdonságú négyszögek halmaza! Írjuk be a halmazokba a megadott tulajdonság alapján a megfelelõnégyszögek sorszámait! Az adott halmazok komplementerét is adjuk meg a tulajdonságával és elemeinekfelsorolásával!

a) A = {Egyenlõ oldalú négyszögek};

A_

= { ................................................................................................

.............................................................................................................

b) B = {Tengelyesen szimmetrikus négyszögek};

B_

= { ................................................................................................

.............................................................................................................

c) C = {Azok a négyszögek, melyeknek van két egyenlõ oldala};

C_

= { ................................................................................................

.............................................................................................................

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

U

U

U


5-nél nem nagyobb egyjegyû term. számok} x|x ³ 4}

x|3 < x £ 6}x|x < 4 vagy x >8}

Olyan négyszögek, amelyeknek nem minden

Tengelyesen nem szimmetrikus

négyszögek}

Azok a négyszögek, melyeknek nincs két

egyenlõ oldala}

oldala egyenlõ}

01

2

34

5

AA_ B

B_

CC_ D

D_

6

7

8

9

6

7

89

45 0

12

3

01

2

3 94

5

6

7

8 4

5

60 1

2

3 7

8

9

AA_

BB_

CC_

1.

2.

3.

4. 5.

6.

7.8.

5.

6.1.

3. 4. 8.

2. 7.

1.3. 4.8.

2. 7.5.

6.


73

3. Barkochbázzunk a 2. feladatban felsorolt négyszögekkel! Melyik négyszögre gondoltunk, ha az alábbikérdésekre a következõ válaszokat adtuk?

d) D = {Deltoidok};

D_

= { ................................................................................................

U

Kérdés Válasz Lehetséges négyszögek

a) Tengelyesen szimmetrikus?

Paralelogramma?

Nem

Igen

..........................................................................................................

..........................................................................................................

b) Van két egyenlõ oldala?

Deltoid?

Paralelogramma?

Igen

Nem

Nem

..........................................................................................................

..........................................................................................................

..........................................................................................................

c) Minden oldala egyenlõ?

Minden szöge egyenlõ?

Igen

Nem

..........................................................................................................

..........................................................................................................

4. Varga, Kiss és Tóth vízilabdázók. Keresztnevük Gergely, Dávid és Dénes. A legutóbbi meccsen Varga többgólt dobott, mint Dávid. Varga és Tóth mezõnyjátékos, Dénes pedig kapus. Kinek mi a keresztneve?

Varga ......................................

Kiss ..........................................

Tóth .........................................

Varga Kiss Tóth

Gergely

Dávid

Dénes

5. Színezzük a sötét részek komplementerét pirossal! Becsüljük meg, hogy a piros vagy a sötét rész területea nagyobb!

a) b) c)

Válasz:

..................................................................... ..................................................................... .....................................................................

..................................................................... ..................................................................... .....................................................................

..................................................................... ..................................................................... .....................................................................


Nem deltoidok}

X

X

X

Gergely mezõnyjátékos

Dénes kapus

Dávid mezõnyjátékos

Varga Gergely > Tóth Dávid

több gól

5.; 6.

6.

1.; 2.; 3.; 4.; 6.; 7.

3.; 4.; 6.

3.

2.; 7.

2.

DD_

5.

6.1.

3. 4.

8.

2.

7.

Tsötét > Tpiros Tsötét < Tpiros Tsötét > Tpiros

Tsötét = része,1325

Tpiros = része az egésznek.1225







74

Halmazok metszete és egyesítése1. A logikai lapok halmazába berajzoljuk a pirosak (P) és a háromszögek (H) halmazát. Színezzük a következõ

halmazrészeket, és rajzoljunk bele elemeket!

Piros és háromszög Piros, de nem háromszög Háromszög, de nem piros

P

H

P

H

P

H

Piros vagy háromszög Se nem piros, se nem háromszög Nem piros háromszög

......................................................................... ......................................................................... .........................................................................

......................................................................... ......................................................................... .........................................................................

P

H

P

H

P

H

2. A 30-nál nem nagyobb természetes számok halmazában ábrázoltuk a 3-mal (H) és az 5-tel (T) oszthatószámok halmazát! Írjuk le szavakkal, hogy milyen tulajdonságú számok kerülnek a sötétebb szürkével jelölthalmazrészekbe! Írjunk be néhány számpéldát is a megfelelõ részekbe!

H

T

H

T

H

T

......................................................................... ......................................................................... .........................................................................

......................................................................... ......................................................................... .........................................................................

H

T

H

T

H

T


zöld

sárgakék

zöld

sárgakék

zöld

sárgakék

kéksárga zöld

zöld

kék sárga

T={5-tel osztható számok}

Osztható 3-mal, de 5-tel nem, vagy3-mal és 5-tel is osztható, vagy

egyikkel sem osztható. osztható 5-tel, de 3-mal nem.

H È T={3-mal vagy 5-tel H È T={sem 3-mal, sem 5-tel

nem osztható számok}osztható számok}

3 6 9

12 18 21 24

27 0 15

30

5 10

20

25

11 13

14 1617 19

22 2326 2829 1 2 4

7 86

121530

5

25

15300

15300

1 2 47 8 1113 16

17 1922 23

26 28 29

5 10

20

25

3 6 9

12 18 21 24

27

H Ç T={3-mal és 5-tel

osztható számok}

1 2 47 8 1113 14

17 191622 23

26 28 29


75

3. A halmazábrán:

M = {Mesebeli lények}; B = {Boszorkányok};J = {Jóságosak}; T = {Tündérek}.

M

J

T

B

Az ábra alapján döntsük el, melyik állítás igaz (I), melyik hamis (H), ha egyik halmazrész sem üres!

À£ Minden tündér jóságos. À£ Van olyan tündér, aki boszorkány is.

À£ Van jóságos boszorkány. À£ J Ç T = T

À£ A nem jóságos mesebeli lények mind boszorkányok. À£ J È T = J

4. Legyen az alaphalmaz (U) az alábbi négyszögek halmaza!

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10. 11.

Készítsünk halmazábrát, és írjuk a megfelelõhelyre a négyszögek sorszámát, ha az

A = {Tengelyesen szimmetrikus négyszögek};

B = {Trapézok}.

Soroljuk fel az alábbi halmazokba tartozó négyszögek sorszámát!

A Ç B = .............................................................................................. A È B = ..............................................................................................

U

5. Az õszi szezon 6 úszóversenyén a 100 m-es fiúhátúszás elsõ 3 helyezettje:1. verseny: 1. Gábor 2. Dénes 3. Gergely2. verseny: 1. Gábor 2. Robi 3. Tamás3. verseny: 1. Kristóf 2. Tamás 3. Robi4. verseny: 1. Dénes 2. Robi 3. Kristóf5. verseny: 1. Robi 2. Gergely 3. Ákos6. verseny: 1. Gábor 2. Tamás 3. Gergely

Ábrázoljuk az arany-, ezüst- és bronzérmesekhalmazát, és írjuk be a megfelelõ halmazrészekbea neveket!A = {Aranyérmesek}; B = {Bronzérmesek};E = {Ezüstérmesek}Mindegyik úszó neve mellé írjuk le, milyen érmet szerzett, milyet nem!

Gábor: csak aranyérmet szerzett

Dénes: ................................................................................................. Tamás: .................................................................................................

Robi: ..................................................................................................... Gergely: ..............................................................................................

Ákos: .................................................................................................... Kristóf: .................................................................................................

A

E

B


I

I

H

H

I

I

1.; 2.; 7. 1.; 2.; 3.; 4.; 6.; 7.; 8.; 10.; 11.

Gábor

Dénes

RobiKristóf

Gergely

Tamás

Ákos

arany- és ezüstérmet szerzett

mindhárom érmet szerzett

csak bronzérmet szerzett

ezüst- és bronzérmet szerzett

ezüst- és bronzérmet szerzett

arany- és bronzérmet szerzett

A

2.B7.

1.6.

8.

3.

4.10. 11.

9.

5.



76

Hány eleme van a halmazoknak?

2. Az alábbi halmazábra alapján válaszoljunk a kérdésekre!

a) Mennyi az osztálylétszám? ..........

b) Hányan röplabdáznak az osztályból? ..........

c) Hány tanuló jár szakkörre? ..........

d) Hány olyan tanuló van aki szakkörös, de nem röplabdázik? ..........

e) Hány röplabdás szakkörös van? ..........

f) Hányan nem röplabdáznak? ..........

g) Hány olyan tanuló van, aki vagy röplabdázik, vagy szakkörös? ..........

3. Egészítsük ki a mondatokat az ábra alapján!

Az osztály tanulói

Röplabdások

Szakkörösök

11

65

7

Az osztály tanulói közül

.......... tanulónak nincs ötöse biológiából; .......... tanulónak ötöse van angolból.

Mindkét tárgyból ötöse van .......... tanulónak. .......... tanulónak biológiából vagy angolból ötöse van.

U = {Az osztály tanulói};

A = {Angolból jeles};

B = {Biológiából jeles}.

U

8 4B

A

5 7

4. A matematika felmérõ három feladatból állt. Az alábbi halmazábrát az egyik tanuló készítette a tanárértékelése alapján.

Mindhárom feladatot ..........,

az 1. és 2. feladatot ..........,

a 2. és 3. feladatot ..........,

az 1. és 3. feladatot ..........,

csak az 1. feladatot ..........,

csak a 2. feladatot ..........,

csak a 3. feladatot ..........

tanuló oldotta meg jól.

Az osztály

.......... %-a oldotta meg jól az 1. feladatot,

.......... %-a oldotta meg jól a 2. feladatot,

.......... %-a oldotta meg jól a 3. feladatot.

1. feladat

2. feladat

3. feladat

4

65

2

31

31

1. Egy 7. osztály tanulóiról készült a következõ halmazábra. Az ábra alapján egészítsük ki a mondatokat!

a) .......... az osztálylétszám.

b) .......... lány jár az osztályba.

c) .......... tanuló szakkörös.

d) .......... nem szakkörös lány.

Fiúk Lányok

4szakkörösök

87 6


25

13

15

6

29

11

12

7

5

18

18

15

5

12

16

3

8

4

7

6

2

3

72

44

44

rész = rész = 72%72100

1825

rész = rész = 44%44100

1125


77

feladat

a tanulók száma

1. 2. 3.

5

10

15

20

Készítsünk oszlopdiagramot, amelyen az egyes feladatokat jól megoldó tanulók számát tüntetjük fel!

*8. Edina dobókockával játszott és strigulázta, hányast dobott. Dobásainak 50%-a 4-nél nem kisebb, része4-nél nem nagyobb.

710

Ha Edina összesen 20-szor dobott, Rajz:

a) hányszor dobott 4-est; ....................

b) hányszor dobott 4-nél kisebbet; ....................

c) hányszor dobott 4-nél nagyobbat? ....................

5. A vízilabda bajnokság elsõ két meccsén a hetedikesek csapatánakösszesen 12 játékosa játszott. Az elsõ meccsen 6, a másodikon 5 játé-kos szerzett gólt, hárman pedig mindkét mérkõzésen betaláltak a ka-puba. Készítsünk halmazábrát és írjuk be az egyes halmazrészekbe azelemei számát!

Csak az elsõ meccsen lõtt gólt ............. játékos.

Csak a második meccsen lõtt gólt ............. játékos.

Legalább egy meccsen lõtt gólt ............. játékos.

Egyik meccsen sem lõtt gólt ............. játékos.

6. A vázában 10 szál virág van, mindegyik virág rózsa vagy sárga. A virá-gok közül 7 rózsa és 6 sárga. Egészítsük ki a halmazábrát, írjuk be azegyes halmazrészekbe az elemek számát!

Sárga rózsák száma: .............

Nem sárga rózsák száma: .............

Sárga, de nem rózsa: .............

*7. Az iskolai színjátszókörnek 20 tagja van. Háromdarabot játszanak: a Fifi, a hõsnek 15, a Pityu ésa Sötét oldalnak 12, A három jómadár címû darab-nak 8 szereplõje van. 5-en mindhárom darabbanjátszanak. A Fifi a hõs szereplõi közül 8-an a Pityués a Sötét oldalban is szerepelnek, 7-en pedigA három jómadárban is szerepelnek. Aki a Pityu ésa Sötét oldalban és A három jómadárban isszerepel, az benne van a Fifi a hõs címû darabbanis. Van-e olyan tagja a színjátszókörnek, aki egyikdarabban sem játszik? ............................................A = {Fifi a hõs szereplõi}B = {Pityu és a Sötét oldal szereplõi}C = {A három jómadár szereplõi}

1. meccs

2. meccs

A

B

C


3

2

8

4

3

32

4

33

Rózsa

Sárga

3 7 + 6 = 13

13 µ 10 = 3 sárga rózsa4

3

53

2 54

1nincs

15

12

8

4-szer

10-szer

6-szor

A = {4-nél nem kisebb}(10)

B = {4-nél nem nagyobb}(14)

AB46

10

11

18

4



78

Rendszerezzük a lehetõségeket!1. Mariann kedveli a színes ruhákat, két kedvenc szoknyája és három kedvenc blúza van, és mindegyik blúz

illik mindegyik szoknyához. Hétfõn zöld szoknyában és sárga blúzban, kedden kék szoknyában és pirosblúzban, szerdán kék szoknyában és narancssárga blúzban ment iskolába, így mindegyik napon különbözõöltözékben jelent meg (azaz legalább az egyik ruhadarabja különbözött).

a) Még hány napon tud különbözõ öltözékben megjelenni, ha a két kedvenc szoknyája és a három kedvenc

blúza közül válogat? ............................................

Készítsünk táblázatot, és színezzük az összes lehetõséget! A lehetõségek száma: ................

b) Hány különbözõ öltözék lehetséges, ha a lila blúzát is hordja? Készítsünk táblázatot, és rajzoljuk bele azösszes lehetõséget!

Egy új blúz a lehetõségek számát .........-vel növeli,

mert ................-féle szoknyával hordhatja.

A lehetõségek száma: ................

blúz

szoknya ........................ ........................ ........................

........................

........................

c) Mehet-e két hétig mindennap különbözõ öltözékben az iskolába, ha a kedvenc ruhadarabjai közül válo-gat, és még a fekete szoknyáját is hordja? Készítsünk táblázatot, és rajzoljuk bele az összes lehetõséget!

Egy új szoknya a lehetõségek számát ................-vel

növeli, mert ......................-féle blúzzal hordhatja.


d) Töltsük ki a táblázatot!

Blúzok száma 3 4 4 5

Szoknyák száma 4 4 3 3

Különbözõ öltözékek száma


még 3 napon

6

sárga pirosnarancs-

sárga

zöld

kék

2

két

8

3-mal

három

Nem mehet két hétig mindennap

különbözõ öltözékben az iskolába.

9

12 16 12 15

S

Z

P

Z

N

Z

S

K

P

K

N

K

Hétfõ

Kedd Szerda

Z µ S Z µ P Z µ N

K µ S K µ P K µ N

S P N L

Z Z µ S Z µ P Z µ N Z µ L

K K µ S K µ P K µ N K µ L

BlúzSz.

S P N

Z Z µ S Z µ P Z µ N

K K µ S K µ P K µ N

F F µ S F µ P F µ N

BlúzSz.


79

A különbözõ alakok száma: ................

Mindegyik alak ................-féle színû lehet, ezért a kicsi, teli elemek száma: ......................................

b) Hány kicsi lap van a logikai készletben, ha mindegyik lehet lyukas vagy teli? Folytassuk a nyíldiagramot!

2. A logikai készlet kicsi, teli lapjai lehetnek pirosak, kékek, zöldek vagy sárgák és háromszög, négyzet vagykör alakúak.

a) Hány kicsi, teli lap van a logikai készletben? Folytassuk a nyíldiagramot!

alak

szín P PK KZ S

Alak és szín szerint ................ különbözõ elem van. Mindegyik ................-féle lehet lyukasság szerint, így az

elemek száma ................-szeresére nõ. Az elemek száma: ................

c) Hány lap van a logikai készletben, ha mindegyik lap lehet kicsi és nagy? A kicsi lapok száma: ................

Mindegyik lehet kicsi és nagy is, így a lapok száma ................-szeresére nõ. Az elemek száma: ................

alak

szín

P

P K Z S

P

lyukasság

A lehetõségek száma: ..................................................

Hány lehetõség van, ha a szám és a háttér nem lehet azonos színû? ..................................................

szám 1

szám színe

háttér színe

P

P

3. Számozott játékkártyákat készítünk, ahol a szám és a háttér isszínes. Két kártya különbözõ, ha eltér a szám vagy a háttér színevagy a szám színe.(A háttér és a szám lehet egyforma színû.)

a) Hány különbözõ kártya lehetséges, ha 3-féle színt (piros µ P, kék µ K, sárga µ S) és 3-féle számothasználunk? Készítsünk nyíldiagramot!

1 2 3


2 3

K S P K S P K S

K S P

P K S P K S P K S

K S P

P K S P K S P K S

K S

P PKK KKK KZZ ZZZ ZSS SSS SP P

P K Z S P K Z S

Z ZS SKP

3

4 4 ¡ 3 = 12

12 két

24két

24

48két

(3 ¡ 3 ¡ 3 =) 27

(3 ¡ 3 ¡ 2=) 18



80

százasok

tízesek

1

egyesek

1

1

b) Hányféle kártya lehetséges, ha 4-féle színt és 5 különbözõ számot használunk?

A lehetõségek száma, ha a szám és a háttér lehet egyforma színû: ................................................

A lehetõségek száma, ha a szám és a háttér nem lehet azonos színû: ................................................

c) Ha a szám és a háttér lehet egyforma színû, hányféle színt és hány különbözõ számot használjunk fel,hogy a lehetõségek száma

(A) 36 legyen?

(A) Lehetõségek száma szorzat alakban: ..................................

(A) Színek száma: ................ Számok száma: ................

(B) 64 legyen?



(C) 100 legyen?



4. Az kártyákat beletettük egy zsákba. Kihúzunk egy kártyát, felírjuk a rajta lévõ számot egy papírra,majd visszatesszük a kártyát a zsákba.

a) A fenti mûveletet háromszor egymás után megismételjük, így végül egy háromjegyû szám áll a papíron.Hányféle háromjegyû számot kaphatunk? Készítsünk nyíldiagramot!

321

Lehetõségek száma: ................................................

b) A lehetséges háromjegyû számok között hány olyan van, amely:

(A) 200-nál kisebb: ............................................;

(B) páros: ............................................;

(C) a középsõ számjegye 3-as: ............................................?

c) Az kártyák közül 4-szer húzunk egymás után úgy, hogy a kihúzott kártyát a húzás utánvisszatesszük. Hányféle négyjegyû számot kaphatunk így?

Lehetõségek száma: ........................................................................................

d) Az kártyák közül 3-szor húzunk egymás után úgy, hogy a kihúzott kártyát a húzás utánvisszatesszük. Hányféle háromjegyû számot kaphatunk így?

Lehetõségek száma: ........................................................................................

4321

321


2 3

2 3 1 2 3 1 2 3

32 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3

32 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3

32

(5 ¡ 4 ¡ 4 =) 80

(5 ¡ 4 ¡ 3 =) 60

4 ¡ 3 ¡ 3

43

4 ¡ 4 ¡ 4

44

4 ¡ 5 ¡ 5

45

3 ¡ 3 ¡ 3 = 27

(27 ¢ 3 =) 9

(27 ¢ 3 =) 9

(27 ¢ 3 =) 9

(3 ¡ 3 ¡ 3) ¡ 3 = 27 ¡ 3 = 81

4 ¡ 4 ¡ 4 = 64


81

Hányféle sorrend lehetséges?

1. Az számkártyákból (mindegyikbõl egy van) négyjegyû számokat rakunk ki.

a) Hányféle 1-essel kezdõdõ számot rakhatunk ki? Készítsünk nyíldiagramot!

4321

4

1

3

2

3

4

1

2

A lehetõségek száma: ................................................

A lehetõségek száma: ........................................................

b) Hányféle négyjegyû számot rakhatunk ki? Készítsünk nyíldiagramot!

c) A lehetséges négyjegyû számok között hány olyan van, amely

(A) 1-re végzõdik; ......................................

(B) páros; ......................................

(C) 4-gyel osztható? ......................................

A 4-gyel osztható számokat jelöljük *-gal!


3 2 22 1 1 12 1 1 14 4 4 34 4 4 33 3 2 2

4 4 34 4 4 33 3 2 23 3 2 22 1 1 12 1 1 1

2 3 4

1 1 13 3 2 24 4 4 3

* * * * * *

4 33 2 2

2 24 4 3

3 4

3 ¡ 2 ¡ 1 = 6

4 ¡ 3 ¡ 2 ¡ 1 = 24

24 ¢ 4 = 6

24 ¢ 4 = 6

24 ¢ 2 = 12



82

C3.

D4.

A B1.

B C2.


b) Soroljuk fel a lehetséges sorrendeket, ha az egyik tigris nem lép fel!

A sorrendek: OOOT, ........................................................................................................................................................................................

2. András, Balázs, Csaba és Dani bicikliversenyzõk. Edzés közben egyenes útvonalon egymás mögött bicikliz-nek, de 5 percenként változtatják a sorrendet.

a) Hány percig mehetnek legtovább anélkül, hogy ugyanaz a sorrend újra elõjöjjön? Készítsünk nyíldiagra-mot!

O

T

T

O T

O T

3.

4.

5.

1.

2.

3. Az állatidomár 5 vadállattal lép fel a cirkuszban, 3 oroszlánnal és 2 tigrissel.

a) Hányféle sorrendben vonulhatnak be az állatok? Az oroszlánokat a nézõk nem tudják messzirõl megkü-lönböztetni, így õket egyformáknak tekintjük, ugyanígy a tigriseket is. Készítsünk nyíldiagramot!

A sorrendek száma: ................ ................ percig mehetnek anélkül, hogy ugyanaz a sorrend újra elõjöjjön.

b) Legyen P azoknak a sorrendeknek a száma, amikor András közvetlenül Balázs elõtt halad.

Legyen Q azon sorrendeknek a száma, amikor csak András, Csaba és Dani vesz részt az edzésen.

P és Q közül melyik nagyobb? Indokoljuk válaszunkat! ............................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................................................


T T T

T

T T

T T

O O

O

O O

O O

O O OT

TO O

O

O

O

O

D B D B C C D A D A C B D A D A B B C A C B A

C D B C B D C D A C A D B D A B A C B C A A B

C D

D A C D A B D A B C

10

OOTO, OTOO, TOOO

24 120

2 + 2 + 2 = 6

3 ¡ 2 ¡ 1 = 6Egyenlõ.

P: A elsõ µ B második: 2; A második µ B harmadik: 2; A harmadik µ B negyedik: 2 Q: 3 ¡ 2 ¡ 1 = 6


83

4. Színezzük a körcikkeket különféleképpen!

a) Hányféleképpen tudjuk kiszínezni a körlapokat, ha 3 különbözõ színt használunk? Egy körlap színezése-kor mind a 3 színt használjuk fel!

(A) Ha a körlap rögzített:

A lehetõségek száma: ............................................


(B) Ha a körlap egy pörgettyû és körbefordulhat:

b) Hányféleképpen tudjuk kiszínezni a körlapokat, ha 4 különbözõ színt használunk? Egy körlap színezése-kor mind a 4 színt használjuk fel!

(A) Ha a körlap rögzített:



(B) Ha a körlap egy pörgettyû és körbefordulhat:

5. a) Anna, Berta, Csenge hányféle sorrendben ülhetnek le a színházban három egymás melletti helyre?

A lehetséges sorrendek: ...............................................................................................................................................................................

A lehetséges sorrendek száma: ...............................................................................................................................................................

b) Anna, Berta, Csenge hányféleképpen ülhetnek le egy kerek asztal köré? Két ülésrend akkor különbözõ,ha valakinek más a bal vagy jobb oldali szomszédja. Írjuk be a kezdõbetûket az ábrába!

A lehetõségek száma: ..................................

c) Anna, Berta, Csenge és Dorka hányféleképpen ülhetnek le egy kerek asztal köré?Írjuk be a kezdõbetûket az ábrába!

A lehetõségek száma: ..................................


1 23

1 23

3 12

2 31

2 13

3 21

1 32

1 32

2 13

2 31

3 12

3 21

1 24 3

3 14 2

3 12 4

3 24 1

3 21 4

3 42 1

3 41 2

4 13 2

4 12 3

4 23 1

4 21 3

4 32 1

4 31 2

1 23 4

1 34 2

1 32 4

1 43 2

1 42 3

2 14 3

2 13 4

2 34 1

2 31 4

2 43 1

2 41 3

6

63

2 =

244

6 =

4 ¡ 3 ¡ 2 ¡ 1 = 24

1 24 3

1 23 4

1 34 2

1 32 4

1 43 2

1 42 3

ABC; ACB; BAC; BCA; CAB; CBA

3 ¡ 2 ¡ 1 = 6

2

6

A

C B

A

C

D B

A

D

C B

A

B

D C

A

D

B C

A

B

C D

A

C

B D

A

B C

3 2 13

2⋅ ⋅ =

4 3 2 14

6⋅ ⋅ ⋅ =

megegyezõek megegyezõek



84

Kapcsolatok1. Öt gyerek magasságáról nyíldiagramot készítettünk. A nyíl az alacsonyabbtól a magasabb felé mutat. Írjuk

a nevüket a megfelelõ helyre!

Kristóf Dani

Bence

ZsigaDávid

2. Egy tíztagú társaságban 4 gyermeknek 3-3 testvére, 3 gyermeknek 2-2 testvére és 2 gyermeknek 1-1testvére van jelen. A megjelent gyermekeket körökkel ábrázoltuk.

a) Jelöljük az ábrán a testvéri kapcsolatokat vona-lakkal!

b) Van-e olyan gyermek a tíztagú társaságban, akinek

nincs testvére? ...........................................................................

c) Hány családból érkeztek a gyerekek? ........................

3. Gergely, Dávid, Tibor, András, Csaba és Botond körmérkõzéses pingpong-bajnokságot játszik. (Mindenkimindenkivel egy meccset játszik.) Az ábra az eddig lejátszott mérkõzéseket mutatja. A nyíl mindig a vesztesfelé mutat. Döntetlen mérkõzés nem lehet. Aki gyõz 1 pontot kap, aki veszít az nem kap pontot.

A CS

G D

BT

Nevek kezdõbetûikkel G D T A CS B

Lejátszott meccsek száma

Szerzett pontok száma

Hátralevõ meccsek száma

Töltsük ki a táblázatot!

a) Ki nyerheti meg a bajnokságot? ...............................................................................................................................................................

Hány mérkõzést játszanak még a bajnokság befejezéséig? ..................................................................................................

Hányféleképpen lehet befejezni a rajzot? ...........................................................................................................................................

b) Fejezzük be a rajzot, ha tudjuk, hogy a bajnokság eredménye:1. helyezett: Botond 5 pont2. helyezett: Csaba 4 pont3. helyezett: Tibor 3 pont4. helyezett: Gergely 2 pont5. helyezett: Dávid 1 pont6. helyezett: András 0 pont

c) A bajnokság végén a fiúk kézfogással gratulálnak egymásnak.

Összesen hány kézfogás történik? ............................................................

A CS

G D

BT


Kristóf Bence Dávid Dani Zsiga

igen (1)

4 család

Botond

5

5 ¡ 2 = 10

3 3 4 2 5 3

1 0 2 0 4 3

2 2 1 3 0 2

1. család 2. család 4. család 3. család

6 52

302

15⋅ = =


85

4. Az alábbi ábrákon a körökben a µ2; ; 2; µ ; 1; µ1 számok vannak letakarva. A nyilak jelentése az a), b)és c) részekben különbözõ.

µ az egyik részben a nyíl a kisebb számtól a nagyobb felé mutat;

µ egy másik esetben a nyíl a számtól a reciproka felé mutat;

µ a harmadik esetben a nyíl a számtól az ellentettje felé mutat.Írjuk az ábra alá a nyíl jelentését, és írjuk a körökbe a megfelelõ számokat!

a) b) c)

12

12

A nyíl jelentése:

......................................................................... ......................................................................... .........................................................................

5. Emma dédi 100. születésnapja alkalmából elkészítette a családfájukat. Az ábra alapján válaszolj a kérdé-sekre (a vonal a szülõ-gyerek kapcsolatot jelöli)!

Hányan vannak a dédi 100. születésnapján, ha csak az egyenes ági leszármazottak mentek el az ünneplés-

re? ................

Hány gyereke van Emma dédinek? ................

Kik az unokatestvérei Attilának? ......................................................................................................................................................................

Hány unokahúga van Nikolettnek? ................ Hány nagynéni van a családban? ................

Ki kinek a nagynénje? ...........................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................

Ki kinek a fivére (fiútestvére)? ...........................................................................................................................................................................

Dédi melyik gyerekének van a legtöbb unokája? .................................................................................................................................

Péter fiaival és unokájával együtt egymás után köszöntik fel a Dédit. Hányféle sorrendben tudnak felsora-

kozni a Dédi elõtt egyenes vonalban? .........................................................................................................................................................

Emma

Miklós Péter Zsuzsa

Miki Gábor Attila László József BoglárkaNikolett

Gréta Kata Zita Ildikó Tamás Luca Bori Zsuzsi


µ21

2

µ1 12

µ12

µ2 µ1

1

2

12

µ12

µ2 2

µ1

1

µ12

12

ellentettje nagyobb szám reciproka

19 (Dédi + 3 gyereke + 7 unokája + 8 dédunokája)

3

3 3

Nikolett, Miki, Gábor, József, Boglárka

Zsuzsa: Nikolettnek, Mikinek, Gábornak, Attilának, Lászlónak

Nikolett: Grétának, Katának, Zitának; Boglárka: Tamásnak, Lucának

Zsuzsának

(4 ¡ 3 ¡ 2 ¡ 1 =) 24-féleképpen

Pl.: Miklós: Péternek és Zsuzsának; Péter: Miklósnak és Zsuzsának


L INEÁRIS FÜGGVÉNYEK , SOROZATOK

86

Sorozatok1. Folytassuk az ábrasorozatot még két elemmel!

a) b)

3. Folytassuk a sorozatot még két elemmel!

a) 1; 4; 9; 16; ............; ............ c) µ1; 2; 5; 8; ............; ............

b) µ8; µ4; 0; 4; 8; ............; ............ d) 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; ............; ............

Melyik sorozatnak eleme a 100? .........................................

4. Felírtuk a páratlan, pozitív egész számok sorozatának elsõ 10 elemét. Folytassuk a rajzolást!1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19

a) Adjuk össze az

elsõ két tagot: 1 + 3 = ............

elsõ három tagot: 1 + 3 + 5 = ............

elsõ négy tagot: 1 + 3 + 5 + 7 = ............

elsõ öt tagot: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ............

elsõ hat tagot: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = ............

elsõ hét tagot: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = ............

elsõ nyolc tagot: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = ............

elsõ kilenc tagot: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = ............

elsõ tíz tagot: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = ............

b) Mit tapasztalunk, milyen számok az egyes összegek? ............................................

2. Rajzoljunk pontokból egyre nagyobb háromszöget! Írjuk a háromszögek alá, hány pontból állnak!

Ha tovább folytatnánk a rajzolást, a pontokból felépített háromszögek között lesz-e olyan, amelyben a) 45,illetve b) 50 pont van?

a) ............................................................................................................. b) .............................................................................................................

1 3 .......... .......... .......... ..........

13

57

9

6. LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK


1625

3649

6481

100

+3+2 +4 +5 +62115106

lesz, mert

25 36

12 16

11 14

13 21

nem lesz 50 pontból ilyen háromszög

45 + 10 = 5521 + 7 = 2828 + 8 = 3636 + 9 = 45

a), b)

négyzetszámok

100

81

64

49

36

25

16

9

4


87

A számtani sorozat1. Kis négyzetekbõl sorozatok egymás utáni tagjait ábrázoltuk. Karikázzuk be annak a feladatrésznek a betû-

jelét, amelyben számtani sorozatot adtunk meg! Írjuk fel a számtani sorozat elsõ tagját és különbségét, haegy kis négyzet 1 egységet jelent!

a) b) c) d)

2. Az ábrákon levõ golyók száma sorozatot alkot. Karikázzuk be annak a feladatrésznek a betûjelét, amelybenszámtani sorozatot adtunk meg! Írjuk fel a számtani sorozat elsõ tagját és különbségét!a)

a1 = ........... d = ........... a1 = ........... d = ........... a1 = ........... d = ........... a1 = ........... d = ...........

b)

c)

d)

a1 = ........... d = ...........

a1 = ........... d = ...........

a1 = ........... d = ...........

a1 = ........... d = ...........

3. Sorozatok képzési szabályát adtuk meg, az elsõ tag mindegyik esetben 10. Írjunk fel még négy egymástkövetõ tagot! Karikázzuk be annak a feladatrésznek a betûjelét, amelyben számtani sorozatot adtunk meg!Határozzuk meg a sorozat különbségét is!

a) A sorozat következõ tagja az elõzõnél 5-tel kisebb.

A sorozat tagjai: 10; ...............; ...............; ...............; ...............; d = ...............

b) A sorozat következõ tagja az elõzõ 3-szorosa.


c) A második tag 6, és utána minden tag az elõzõ kettõ átlaga.


d) A sorozat következõ tagja az elõzõ 150%-a.



2 3 14 µ2

6 5

1 4

5 0 µ5 µ5µ10

30 90 270 810

6 8 7 7,5

15 22,5 33,75 50,625



88

4. Számtani sorozatok két-két tagját ábrázoltuk számegyenesen. Ábrázoljuk számegyenesen a számtanisorozatok elsõ öt tagját!a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

0 1

a1 a2

12µ

0 1 10 12

a2 a3

0 1 2 3

a4a2

0 1 7

a5a2

5. Írjuk be a számtani sorozatok hiányzó tagjait! Adjuk meg a sorozat elsõ tagját és a különbségét is!

a1 = ........... d = ...........

a1 = ........... d = ...........

a1 = ........... d = ...........

a1 = ........... d = ...........

6. Döntsük el, hogy igazak-e az állítások!

À£ Van olyan számtani sorozat, amelynek a különbsége 0.

À£ Van olyan számtani sorozat, amelynek tagjai váltakozó elõjellel követik egymást.

À£ Ha egy számtani sorozat növekvõ, akkor a különbsége pozitív szám.

À£ A számtani sorozat bármely tagja (a második tagtól kezdõdõen) a tõle szimmetrikusan elhelyezkedõtagok számtani közepe.

À£ Ha egy számtani sorozat növekvõ, akkor nem lehet a tagjai között negatív szám.

À£ Minden számtani sorozatnak tagja az elsõ és ötödik tagjának számtani közepe.


µ1

a1

3

a3

5

a4

1,5

a1

2,5

a3

3,5

a5

a1 a4

14

a5

168

12

2

a3 a4 a5

12µ 1

2µ 1

2µa1=

12µd=

I

H

I

I

H

I

3 5

4 3

156 µ9

a1=8 d=2

a1=1,5 d=0,5

a1=µ1 d=2

156147 138

120102

93 8475 66

38 13

23

28 33

3848 53

4 5 6

10

13 1619 22

25 2831 34

154 17

4214

112

234

254

3 34

14

92

184

=


89

Grafikonok a mindennapi életben1. Az Országos Meteorológiai Intézet egy

hétre elõre jelezte a napi hõmérséklet vár-ható országos átlagát és a napi maximumés minimum hõmérsékleteket. Ez alapjána következõ grafikont készítették.Válaszoljunk az alábbi kérdésekre!

a) Melyik napra jelezték a legalacsonyabb

országos átlaghõmérséklet? ....................

Ez hány °C? ..................

b) Melyik napon lesz a várható maximumés minimum hõmérsékletek különbsége

a legkisebb; ..................................................

a legnagyobb? ............................................

c) Mely napokra várható, hogy a hõmér-séklet országos átlaga +2 °C fölöttlesz?

.....................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

d) Mely napokra várható, hogy a maximum és minimum hõmérsékletek közötti különbség 3 °C-nál nemlesz nagyobb?

.......................................................................................................................................................................................................................................

Hômérséklet (°C)

Napok

Ked

d

Sze

rda

Csü

tört

ök

Pén

tek

Szo

mba

t

Vasá

rnap

Hét

fô

2

4

6

8

10

12

µ2

2. Az A és B városból egyszerre indult egy-más felé egy személykocsikat szállító te-hervonat és egy, a sínek állapotát vizsgá-ló motorvonat. Ezek A várostól mért távol-ságát ábrázoltuk az idõ függvényében.Tudjuk még, hogy a tehervonat 6 óra alatttette meg az egész utat.Válaszoljunk az alábbi kérdésekre!

a) Egyenletes sebességgel haladt-e a két

vonat? ....................................................................

A két város között megállt-e valamelyik?

.....................................................................................

b) Melyik városból indult a tehervonat?

.....................................................................................

c) Az elindulásuk után hány óra múlva haladtak el egymás mellett? ......................................................................................

Találkozásukig hány kilométert tett meg a

tehervonat; .............................................................................

motorvonat? ..........................................................................

d) Hány kilométerre van egymástól az A és a B város? ...................................................................................................................

e) Melyik vonat tett meg óránként több utat? .............................................. Mennyit? ..................................................................

A-tól mért távolság (km)

A város

B város

Idô (h)

100

200

1 2 3 4 5 6


keddre

µ0,5°C

kedden

hétfõn

vasárnap, hétfõn

kedden, szerdán, csütörtökön, szombaton

igen

nem

B városból

2 óra múlva

60 km-t

120 km-t

180 km-re

a motorvonat 60 km-t



90

3. Bandi és barátai kerékpártúrára indultak a Velencei-tóhoz. Reggel 6 órakor indultak, és óránként 10 km-ttettek meg. 9 órakor fél óra pihenõt tartottak. A pihenõ után 2 órán keresztül kerékpároztak, de ekkor márcsak 7,5 km-t tettek meg óránként. Másfél órát töltöttek a Velencei-tónál, majd óránként 15 km-t haladva µpihenés nélkül µ hazamentek.II. Ábrázoljuk Bandiék mozgását grafikonon!

II. Az ábra alapján válaszoljunk a kérdésekre!

a) Mennyi ideig tartott a kirándulás? ...........................................................................................................................................................

b) Hány kilométert tett meg Bandi összesen? .......................................................................................................................................

c) Mikor voltak a kiindulás helyétõl 30 km távolságra? ....................................................................................................................

d) 15 órakor hány kilométerre voltak a kiindulás helyétõl? ............................................................................................................

e) Összesen mennyit pihentek? .....................................................................................................................................................................

Bandiék házátólvaló távolság (km)

Idõ (h)76 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

10

20

30

40

Zsófi otthonátólvaló távolság (m)

Idõ (perc)5 10 15 20 25

100

200

300

400

500

4. Zsófi otthon hagyta az uzsonnáját. Édesanyja utánafutott, hogy még mielõtt Zsófi a buszra felszáll, oda tudjaadni neki az uzsiját. Éppen a buszmegállóban érte utol.

a) Készítsünk grafikont, ha tudjuk, hogy

µ mindketten egyenletes sebességgel haladtak a találkozásig.

µ Zsófi indulása után 5 perccel indult el az édesanyja, kétszer akkora sebességgel, mint Zsófi.

µ Zsófi percenként 40 métert tett meg.

b) Hány méterre van Zsófiéktól a buszmegálló? ..................................................................................................................................

c) Ábrázoljuk a grafikonon Zsófi édesanyjának a hazafelé tett útját is, ha hazafelé is ugyanolyan sebesség-gel haladt, mint a buszmegálló felé!

d) Zsófi 7 órakor indult otthonról. Hány órakor ért haza az édesanyja?


10 óra hosszát tartott a kirándulás

90 km-t

9 órától fél 10-ig

15 km-re

2 órát pihentek

400 méterre

7 óra 15 perckor


91

Hozzárendelések1. Adjuk meg szavakkal és rendezett párokkal a hozzárendeléseket!

a) Szavakkal: .....................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................

Rendezett párokkal: ................................................................................................................

..............................................................................................................................................................

b) Szavakkal: .....................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................


..............................................................................................................................................................

12 23 35 57 7

fA B

1nulla2egy3kettô4három5négy

öt

gC D

c) Szavakkal: .....................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................


..............................................................................................................................................................

0011243945

1625

hE F

b) Cseréljük fel a pontok koordinátáit! Írjuk fel így isa rendezett párokat más színnel!

.................................................................................................................

.................................................................................................................

Ábrázoljuk az elõzõ koordináta-rendszerben ezeketa rendezett párokat! Készítsünk halmazábrát is!

2. a) Írjuk fel a koordináta-rendszerben adott pontokatrendezett párként, majd készítsük el a halmazábrát!Az alaphalmazba az elsõ, a képhalmazba a má-sodik koordináta kerüljön!

y

x1 5

1

5

µ1

µ5

µ1µ5

A

B

C

D

E


C’

B’

D’

E’ A’

P Q

( 5)µ

( 3)µ

027

(µ3)035

( 5)µ

(µ3) ( 3)µ

0 03 25 7

X Y

f hozzárendelés: az egyjegyû prímszámokhoz az osztójukat

f : {(2; 1); (2; 2); (3; 1); (3; 3); (5; 1); (5; 5);

(7; 1); (7; 7)}

h: {(0; 0); (1; 1); (4; 2); (9; 3); (16; 4); (25; 5)}

g: {(nulla; 5); (egy; 3); (kettõ; 5); (három; 5);

(négy; 4); (öt; 2)}

rendeli hozzá.

g hozzárendelés: Az alaphalmazban szereplõ számokhoz

hozzárendeli azt a számot, ahány betûvel írjuk.

h hozzárendelés: Az alaphalmazban szereplõ számhoz

hozzárendeli azt a természetes számot, amelyet önmagával szorozva

a kiindulási számot kapjuk.

A(µ3; 2); B(3; 7); C(5; 0); D(0; µ3); E(µ3; µ5)

A’(2; µ3); B’(7; 3); C’(0; 5); D’(µ3; 0);

E’(µ5; µ3)


4. Mi lehet a hozzárendelés szabálya? Készítsünk halmazábrát! Írjuk a hozzárendeléshez, hogy egyértelmûvagy nem egyértelmû!

a) (Szeged; Tisza); (Budapest; Duna); (Gyõr, Rába);(Gyõr; Rábca); (Szeged, Maros); (Sárospatak;Bodrog); (Kazincbarcika; Sajó); (Ráckeve; Duna)

A hozzárendelés szabálya: ................................................

.............................................................................................................

.............................................................................................................

Keresd meg az atlaszodban a fenti városokat ésfolyókat!

b) (200; Károly Róbert); (500; Rákóczi Ferenc);(1000; Mátyás király); (2000; Bethlen Gábor);(5000; Széchenyi István); (10 000; Szt. István);(20 000; Deák Ferenc)

A hozzárendelés szabálya: ................................................

.............................................................................................................

.............................................................................................................

Függvények1. Írjunk a négyzetbe x-et, ha a hozzárendelés egyértelmû!

a) À£ Az osztály minden tanulójához rendeljük hozzá azt a közlekedési eszközt, amellyel az iskolába jár.

b) À£ Az NB I-es futballbajnokságban részt vevõ csapatokhoz rendeljük hozzá az évadban lõtt góljaik számát!

c) À£ Egy tízemeletes házban minden lakóhoz rendeljük hozzá a szomszédját!

d) À£ Az osztály minden tanulójához rendeljük hozzá a mobiltelefonjának a hívószámát!

e) À£ Minden számhoz rendeljük hozzá az osztóit!

2. A halmazábrával adott hozzárendelések közül melyik egyértelmû, melyik kölcsönösen egyértelmû, és melyikfüggvény? Az a), b), c), d) betûk felhasználásával válaszoljunk!

a) b) c) d)

egyértelmû: ............................................. kölcsönösen egyértelmû: ............... függvény: ..................................................

3. Ábrázoljuk nyilakkal a megadott tulajdonságú hozzárendeléseket!

a) egyértelmû b) nem egyértelmû c) egyértelmûnem kölcsönösen nem kölcsönösen kölcsönösenegyértelmû egyértelmû egyértelmû


92


a), b), d) a) a), b)

X

X

a városnevekhez

hozzárendeljük a rajtuk átfolyó folyók nevét.

címleteihez rendeljük a híresség nevét, akinek

a képe rajta látható.

A papírpénzek

SzegedBudapest

GyõrSárospatak

KazincbarcikaRáckeve

TiszaDunaRábaRábcaMaros

BodrogSajó

200500

100020005000

1000020000

Károly RóbertRákóczi FerencMátyás király

Bethlen GáborSzéchenyi István

Szt. IstvánDeák Ferenc

A B

P H


93

c) Bármely racionális számhoz rendeljük hozzá a 3-szorosát!

h: Q ® Q x ® ....................

Értelmezési tartomány: ......................................................... Értékkészlet: ...............................................................................

Mi a közös a függvényekben? ...................................................................................................................................................................

Mi az eltérõ a három esetben? ..................................................................................................................................................................

A racionálisszám µ4 µ

23

0 12

34

4 x

Háromszorosa

5. Írjuk fel a következõ szöveggel megadott függvények hozzárendelési szabályát! A táblázatban adott értékek-hez írjuk fel a függvényértékeket!

a) Egy toll ára 3 euró. Az egyforma tollak számához rendeljük hozzá a tollakért fizetendõ összeget!

f: N ® N x ® ....................


A tollak száma 1 2 3 4 x

A tollak ára 3

b) Az egyenlõ oldalú háromszög oldalához rendeljük hozzá a kerületét!

g: Q+ ® Q+ x ® ....................


Az oldal hossza(cm) 1 1,5 5

24 6,8 x

Kerület (cm)

*6. A Caesar-féle titkosírás továbbfejlesztett változatában többjegyû kódszámot alkalmaznak, amit többszöregymás után a szöveg alá írnak. Minden betû helyett az ábécében annyival utána levõ betût írják, amennyia betû alatt levõ szám.A Á B C D E É F G H I Í J K L M N O Ó Ö Õ P Q R S T U Ú Ü Û V W X Y Z

Példa: a kódszám 324, a kódolt üzenet: ÓC Ú É J V Ú3 2 4 3 2 4 3¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯MÁ R C . . .

a) A kódszám: 451, az üzenet: Ö Í H Õ C J Ó P Á O E W R Ö H B F É Õ E L H Ü U L A Í Ú É H P Ó ;

megfejtés: ..............................................................................................................................................................................................................

b) Írjunk hasonló üzenetet saját kódszámunkkal!

kódszám: .................... szöveg: ......................................................................................................................................................................

kódolt üzenet: .....................................................................................................................................................................................................

Egyértelmû-e az a hozzárendelés, amely minden betûhöz hozzárendeli az(oka)t a betû(ke)t, amit a teljes

üzenet kódolása során helyette írtunk? ...............................................................................................................................................


a természetes számok a természetes számok

3x

a pozitív racionális számok a pozitív racionális számok

3x

a racionális számok a racionális számok

a hozzárendelés szabálya

az értelmezési tartomány és az értékkészlet

3x

6 9 12 3x

3 4,5 12 20,4 3x

µ12 µ2 0 12 3x32

112

= 94

2 14

=

152

7 12

=

4 5 1 4 5 1 4 5 1 4 5 1 4 5 1 4 5 1 4 5 1 4 5 1 4 5 1 4 5 1 4 5

MÉG NYÍLNAK A VÖLGYBEN A KERTI VIRÁGOK.

igen



94

Függvények ábrázolása1. Az értéktáblázattal adott hozzárendeléseket ábrázoljuk koordináta-rendszerben! Az alaphalmaz elemeit

jelölje az x, a képhalmaz elemeit az y! Döntsük el, hogy melyik hozzárendelés függvény!

a)x 3 3 4 4 5 5

y 1 5 2 6 3 7

y

x1 5 10

1

5

b)x 0 1 2 3 4 5

y µ2 µ2 µ2 µ2 µ2 µ2

y

x1 5 10

1

µ1

µ5

2. Amelyik hozzárendelés függvény, ahhoz készítsünk értéktáblázatot!

a) b)y

x1µ1µ5 5

1

5

µ1

µ5

y

x1µ1µ5 5

1

5

µ1

µ5

x

y


nem függvény (nem egyértelmû hozzárendelés)

függvény (egyértelmû hozzárendelés)

µ5

7

µ4

5

µ3

3

µ2

1

µ1

µ1

0

µ3

1

µ1

2

1

3

3

4

5

5

7

f(x) = 2 ¡ |x|µ 3


95

3. Az értéktáblázat elkészítése után ábrázoljuk koordi-náta-rendszerben különbözõ színekkel az alábbi függ-vények grafikonjait!

a) f: Q ® Q, x ® µx + 4

b) g: {µ2,5; µ2,25; µ2; µ1,5; µ1; 0; 1; 1,5; 2} ® Qx ® x + 4

c) h: Q ® Q, x ® 4

Mi közös a hozzárendelések szabályaiban? .....................

.......................................................................................................................

Mi a grafikonok közös tulajdonsága? ...................................

.......................................................................................................................

y

x1µ1µ5 5

1

5

µ1

x µ2,5 µ2,25 µ2 µ1,5 µ1 0 1 1,5 2

f(x)

g(x)

h(x)

4. Az alábbi grafikonok függvények grafikonjai. Egészítsük ki a mondatokat, és válaszoljunk a kérdésekre!

a) A függvény értelmezési tartománya az egész szá-mok halmaza.

A függvény értékkészlete ......................................................

Milyen függvényértéket vesz fel a függvény az

x = µ4 helyen; ............................................................................

x = 0 helyen; .................................................................................

x = 3 helyen? ...............................................................................

Hol veszi fel a függvény az

y = 5 értéket; ................................................................................

y = 6 értéket; ................................................................................

y = 0 értéket? ...............................................................................

y

x1µ1µ5 5

1

5

µ1

b) A függvény értelmezési tartománya a racionálisszámok halmaza.



x = µ2 helyen; ............................................................................

x = 0 helyen; .................................................................................

x = 2 helyen? ...............................................................................


y = 5 értéket; ................................................................................

y = µ3 értéket; ............................................................................

y = 0 értéket? ...............................................................................

y

x1µ1µ5 5

1

5

µ1


g

h

f

a (+4) állandó

pontok egy-egy

egyenes mentén helyezkednek el, melyek közös pontja a (0; 4).

6,5 6,25 6 5,5 5 4 3 2,5 2

1,5 1,75 2 2,5 3 4 5 5,5 6

4 4 4 4 4 4 4 4 4

a (+6)

nincs ilyen x

bármely x esetén

nem veszi fel

a racionális számok

f (µ4) = +6 y = 6

f (0) = +6 y = 6

f (3) = +6 y = 6

g (µ2) = +7 y = 7

g (0) = +3 y = 3

g (2) = µ1 y = µ1

x = µ1

x = 3

x = 1,5

g = µ2 ¡ x + 3

f = 6


c) A függvény értelmezési tartománya a racionálisszámok halmaza.



x = µ3 helyen; ............................................................................

x = 0 helyen; .................................................................................

x = 3 helyen? ...............................................................................


y = 4 értéket; ................................................................................

y = 2 értéket; ................................................................................

y = 6 értéket? ...............................................................................

d) A függvény értelmezési tartománya ................................

...............................................................................................................



x = µ1 helyen; .......................................................................

x = 0 helyen; ...........................................................................

x = 7 helyen? ..........................................................................


y = 0 értéket; ...........................................................................

y = 2 értéket; ...........................................................................

y = 6 értéket? .........................................................................


96

y

x1µ1µ5 5

1

5

µ1

µ5

5. a) Az f(x) függvény grafikonja átmegy az A(1; µ1); B(µ1; 3); C(0; 1); D(2; µ3) pontokon. Döntsük el azállításokról, hogy melyik igaz (I), melyik hamis (H)!

À£ f(0) = 1

À£ f(1) = µ1

À£ A függvény a 2-höz 3-at rendel.

À£ A függvény a 3-at a µ1-hez rendeli.

À£ A függvény az y tengelyt az 1-ben metszi.

À£ A függvény az x tengelyt az 1-ben metszi.

b) A g(x) függvény grafikonja átmegy az E(2; µ2); F(1; 0); G(0; µ2); H(µ2; µ1); I(µ1; 2) pontokon. Döntsükel az állításokról, hogy melyik igaz (I), melyik hamis (H)!

À£ g(2) = µ1

À£ g(µ1) = 2

À£ A függvény a µ2-höz a µ1-et rendeli.

À£ A függvény a 2-höz a µ1-et rendeli.

À£ A függvény az y tengelyt a µ2-ben metszi.

À£ A függvény az x tengelyt a µ2-ben metszi.

y

x1µ1µ5 5

1

5

µ1

µ5


a (+4)-nél nem nagyobb

racionális számok

a 2-nél nem kisebb 6-nál

nem nagyobb racionális számok

y = 1

y = 4

y = 1

µ

y = 2

y = 6

µ

x = 0

x = 7

x = 0

x1 = 2 x2 = µ2

nincs ilyen x

a nullánál nem

kisebb és 7-nél nem nagyobb racionális számok

I

I

H

I

I

H

H

I

I

H

I

H


97

6. Ábrázoljuk a következõ függvények grafikonjait, és egészítsük ki a mondatokat!

a) f: {µ4; µ3; µ2; µ1; 0; 1; 2; 3; 4} ® Z, x® ½x µ 2½

Az f függvény

az x = µ2 helyen az y = ............. értéket veszi fel.

az x = 0 helyen az y = ............. értéket veszi fel.

az x = 3 helyen az y = ............. értéket veszi fel.

Az f függvény

az y = 0 értéket az x = ............... helyen veszi fel.

az y = 2 értéket az x = ............... helyen veszi fel.

az y = µ1 értéket ...............................................................

Karikázzuk be az alábbiak közül azt a pontot, amelyik rajta van a függvény grafikonján, és húzzuk át azt,amelyik nincs rajta!

A(1; 1); B(µ3; 3); C(3; 1); D(5; 2)

y

x1µ1µ5 5

1

µ1

b) g: Q ® Q, x ® µx

A g függvény

az x = µ helyen az y = ............. értéket veszi fel.

az ........ = 0 helyen az y = ............. értéket veszi fel.


A g függvény

az y = µ2 értéket az x = ............... helyen veszi fel.

az y = 0 értéket az ........................ helyen veszi fel.



D E F G( ; ); ; , ; , ; ; ;− − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 112

0 5 0 2514

43

43

12

y

x1µ1µ5 5

1

µ1

c) h: Q ® Q, x ® + 1

A h függvény

az x = µ4 helyen az y = ............. értéket veszi fel.



A h függvény

az y = µ1 értéket az x = ............... helyen veszi fel.




I J K L132

12

12

4 3 1 0 5; ; ; ; ( ; ); ( ; , )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

x2 y

x1µ1µ5 5

1

µ1


4

2

1

2

0; 4

nem veszi fel

12

0x

x µ3

2

x = 0

x = µ4

x

x

µ1

1

2,5

µ4

x = µ2

x = 2

x® µx

x x ®2

1+


f: Q ® Q, x ® ......................


98

A lineáris függvények1. Írjuk egyszerûbb alakba az f: Q ® Q, x ® 2(x µ 1) µ 2 lineáris függvény hozzárendelési szabályát!

..............................................................................................................................................................................................................................................

a) Határozzuk meg a következõ függvényértékeket!

f(0) = f(µ1) = f(2) =

b) Milyen x változó esetén lesz

f(x) = 2; f(x) = µ2; f(x) = ?23

c) Egészítsük ki az értéktáblázatot, ábrázoljuk a függ-vény grafikonját!

x 0 µ1 2

y 2 µ223

y

x1µ1µ5 5

1

5

µ1

µ5

2. Ábrázoljuk az értéktáblázatban megadott pontok segítségével a lineáris függvények grafikonjait! Az f, g, h,függvények értelmezési tartománya a racionális számok halmaza. Írjuk fel a függvények hozzárendelésiszabályát!

a)

g: Q ® Q, x ® ......................

b)

h: Q ® Q, x ® ......................

c)x µ2,5 µ1 0

12

2 x

y µ5 µ2 0 1 4

y

x1µ1µ5 5

1

5

µ1

µ5

x µ2,5 µ1 012

2 x

y 3 3 3 3 3

x µ2,5 µ1 012

2 x

y 3 1,512

0 µ1,5


x® 2x µ 2 µ 2; x® 2x µ 4

µ4 µ6 0

3 1

2 ¡ 0 µ 4

f(0) = µ4 y = µ4

f(3) = 2 f(1) = µ2f( ) = 2

373

f(µ1) = µ6 y = µ6 f(2) = 0 y = 0

2 ¡ (µ1) µ 4 2 ¡ 2 µ 4

73

2 = 2x µ 46 = 2x3 = x

µ2 = 2x µ 42 = 2x1 = x

= 2x µ 4

= 2x

= x73

143

23

3

–x+0,5

2x

3

–x + 0,5

2x

x® 2x µ 4

f

f

h

g


99

g: Q ® Q, x ® ................................

x µ2 µ1 1 4

g(x) 0 µ2

3. a) Készítsünk értéktáblázatot, és ábrázoljuk az alábbilineáris függvény grafikonját!

f: Q ® Q, x ® µ2x + 4

b) Az f függvény grafikonját tükrözzük az y tengelyre!Az így kapott g lineáris függvény grafikonját rajzol-juk meg kékkel, készítsünk táblázatot! Írjuk fel a gfüggvény hozzárendelési szabályát is!

c) A g függvény grafikonját tükrözzük az x tengelyre! Az így kapott h függvény grafikonját rajzoljuk pirossal,és írjuk fel a hozzárendelési szabályát!

h: Q ® Q, x ® ................................

Mit veszünk észre? ...........................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

x

f(x)

y

x1µ1µ5 5

1

5

µ1

µ5

4. Rajzoljuk meg különbözõ színekkel a következõ lineá-ris függvények grafikonjait! A grafikonról olvassuk lea függvények pontjainak hiányzó koordinátáját!

a) f: Q ® Q, x ® 3x + 1

A(1; À£ ), B(À£ ; µ2), C(µ2; À£ )

b) g: Q ® Q, x ® µ2x µ 2

D(0; À£ ), E(µ2; À£ ), F(À£ ; 0)

c) h: Q ® Q, x ® x + 213

G(µ3; À£ ), H(0; À£ ), I(À£ ; 3)

d) i: Q ® Q, x ® µ5

J(0; À£ ), K(µ5; À£ )

y

x1µ1µ5 5

1

5

µ1

µ5


2x + 4

µ2x µ 4

Az eredeti f(x) függvény grafikonjával párhuzamos a kétszeres tükrözéssel kapott

h(x) függvény grafikonja.

4

2

1 2 3

µ5µ5

µ1µ2

µ5µ1

µ2

8

µ1

6

0

4

1

2

2

0

3

µ2

0 2

µ2 µ3

6 12

fh

g

f

h

g

i

K C J

D

A

B

E H

I

G

F



100

A lineáris függvény meredeksége1. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben különbözõ színekkel a megadott függvények grafikonjait!

3. Egy lineáris függvényrõl tudjuk, hogyf(0) = µ1; f(2) = 3.

a) Ábrázoljuk a fügvény grafikonját koordináta-rend-szerben!

b) Írjuk fel a függvény hozzárendelési szabályát!

f: Q ® Q, x ®c) Pontja-e ennek a függvénynek a (100; 199) pont?

...............................................................................................................

d) Mennyi az f(µ10)? .....................................................................

2. Írjuk fel a következõ lineáris függvények hozzárendelési szabályát, ha

a) m = µ4, és a grafikonja átmegy a (0; 2) ponton;

.............................................................................................................

b) a függvény grafikonja párhuzamos a h(x) = x µ 2 függvény grafikonjával, és az y tengelyt az origóbanmetszi!

.............................................................................................................

13

f: Q ® Q, x ® x12

x

f(x)

x

g(x)

x

h(x)

g: Q ® Q, x ® x + 312

h: Q ® Q, x ® x µ 412

a) Karikázzuk be pirossal a függvények x együtthatóját! Mit vettünk észre?

Az együtthatók ....................................................................................................................................................................................................

b) Milyen helyzetûek a függvények grafikonjai egymáshoz képest? .......................................................................................

c) Írjuk fel az i függvény hozzárendelési szabályát, ha grafikonja párhuzamos az f függvény grafikonjával, ésáthalad a (0; 5) ponton!

i: Q ® Q, x ®À£x + À£

y

x1µ1µ5 5

1

5

µ1

µ5

y

x1µ1µ5 5

1

µ1


µ4

µ2

µ2

µ1

µ1 0

0

1 2

1

4

2

µ4

1

µ2

2

µ1 0

3

1 2

4

4

5

µ4

µ6

µ2

µ5

µ1 0

µ4

1 2

µ3

4

µ2

megegyeznek (egyenlõek).

párhuzamosak

5

x® µ4x + 2

2x µ 1

igen, mert 2 ¡ 100 µ 1 = 200 µ 1 = 199

2 ¡ (µ10) µ 1 = µ21

f

g

h

µ12

12

2 12

3 12

µ4 12

µ3 12

12

x x® 13

f


101

4. a) Adjuk meg a koordináta-rendszerben ábrázoltfüggvények hozzárendelési szabályát!

f: Q ® Q, x ® ....................................

g: Q ® Q, x ® ..................................

h: Q ® Q, x ® ...................................

i: Q ® Q, x ® ....................................

b) Karikázzuk be a függvények hozzárendelési szabá-lyában a függvény meredekségét megadó számot!

c) Melyik függvény növekvõ, melyik csökkenõ?

Növekvõ: .........................................................................................

Csökkenõ: ......................................................................................

d) Fejezzük be a mondatokat!

Ha a lineáris függvény hozzárendelési szabályában a meredekség negatív szám, akkor a függvény

.......................................................................................................................................................................................................................................

Ha a lineáris függvény növekvõ, akkor a meredeksége ............................................................................................................

e) Mi a közös az ábrázolt négy függvény grafikonjában? ..............................................................................................................

y

x

f

g

h

i

1µ1µ5 5

1

5

µ1

µ5

5. Ábrázoljuk különbözõ színekkel a függvények grafikonját értéktáblázat felírása nélkül! Egészítsük ki a mon-datokat! Húzzuk alá a megfelelõ szót!

a) f: Q ® Q, x ® µ2x

Az y tengelyt ..................-nál metszi.

Meredeksége: ..................

A függvény csökkenõ / növekvõ.

b) g: Q ® Q, x ® x + 3


Meredeksége: ..................


c) h: Q ® Q, x ® x + 3


Meredeksége: ..................


d) i: Q ® Q, x ® 1 µ x

Az y tengelyt ..................-nél metszi.

Meredeksége: ..................


12

13

y

x1µ1µ5 5

1

5

µ1

µ5


13

2x µ

x x® 13

2µ

csökkenõ.

pozitív szám.

áthaladnak a (0; µ2) ponton

g: x® x µ 2; h:

f: x® µ2x µ 2

µ2 ¡ x µ 2

1 ¡ x µ 2

µ 2

µ2

+1

+3

+1

+3

0

+ 13

µ12

x x®µ +12

1

f g

h

i



102

Egyenletek grafikus megoldása1. a) Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az aláb-

bi függvények grafikonját!

f: Q ® Q, x ® µ3x + 4

g: Q ® Q, x ® x µ 4

A két függvény grafikonja az M pontban metsziegymást. Jelöljük a metszéspontot! Írjuk fel a met-széspont koordinátáit!

M(À£ ; À£ )

A hozzárendelési szabály alapján ellenõrizzük, hogy az M pont rajta van-e

az f függvény grafikonján; .............................................................. a g függvény grafikonján! ............................................

b) Oldjuk meg az alábbi egyenletet!

µ3x + 4 = x µ 4

Ellenõrizzük!

Bal oldal:

Jobb oldal:

Az egyenlet gyöke: .................................................................

Az egyenlet gyöke az M pont .................................. koordinátájával, a bal oldal és a jobb oldal helyettesítési

értéke az M pont .................................. koordinátájával egyezik meg.

2. Oldjuk meg grafikus úton a 2x = µx + 3 egyenletet!

f: Q ® Q, x ® ........................................

g: Q ® Q, x ® .......................................

A metszéspont x koordinátája: x = .................

Ellenõrizzünk az egyenletet algebrai úton!

Tehát az egyenlet megoldása: x = .................

x µ2 µ1 0 1 2 3

f(x)

x µ2 µ1 0 1 2 3

f(x)

y

x1µ1µ5 5

1

5

µ1

µ5

y

x1µ1µ5 5

1

5

µ1

µ5


10 7 4 1 µ2 µ5

µ6 µ5 µ4 µ3 µ2 µ1

µ22

µ3 ¡ 2 + 4 = µ6 + 4 = µ2 2 µ 4 = µ2

elsõ (x)

2x

µx + 3

második (y)

1

Bal oldal: 2 ¡ 1 = 2

Jobb oldal: µ1 + 3 = 2

1

x = 2

µ3 ¡ 2 + 4 = µ6 + 4 = µ2

2 µ 4 = µ2

4 = 4x µ 4 / +3x8 = 4x / +42 = x / ¢4

g

f

M(2;µ2)

g f

M(1;2)


103

y

M( ; )

x

i

h

1µ1µ5 5

1

5

µ1

µ5

3. Írjunk fel egyenletet, amelynek megoldása leolvasható a grafikonról! Oldjuk meg a felírt egyenletet algebraiúton is!

Algebrai megoldás:

*4. Oldjuk meg grafikusan az alábbi szöveges feladatokat!

a) Csiga Csilla és Csiga Csaba 11 méterre van-nak egymástól. Elindulnak egymás felé egye-nes úton állandó sebességgel. Csilla 4 órán-ként 1 métert, Csaba 3 óránként 2 méterthalad. Hány óra múlva találkoznak?

b) Bandi és Viki testvérek. Egyik reggel Vikielindult az iskolába 100 m/perc egyenletessebességgel haladva. Bandi is egyenletessebességgel haladt, de két perccel késõbbindult. Bandi 150 métert tett meg percen-ként. Bandi éppen az iskola kapujában érteutol Vikit. Hány méterre laknak az iskolától?

Csillától való távolság (m)

Idô (h)1 5 10

1

5

10

Út (méter)

t (perc)1 5 10

100

500

1000


h: Q ® Q, x® x + 1, i: Q ® Q, x® 4

x + 1 = 4 / µ1x = 3

Bal oldal: 3 + 1 = 4

Jobb oldal: 43 4

Viki: f: x® 100x; Bandi: g: x® 150x µ 300

M(6; 600)

Ell.: 100x = 150x µ 300 / µ150xµ50x = µ300 / ¢(µ50)

x = 6

Bal o.: 100 ¡ 6 = 600

Jobb o.: 100 ¡ 6 µ 300 = 900 µ 300 = 600

Válasz: Az iskolától 600 méterre laknak.

Csilla: f: x® x;

Csaba: g: x® µ x + 11

M(12; 3)

Ell.: x = µ x + 11 / + x

x = 11

x = 11 / ¢

x = 12

Válasz: 12 óra múlva találkoznak.

1112

1112

3 812 +

23

23

14

23

14

gf

M(6; 600)

M(12; 3)g

f


SÍKGEOMETRIA I I .

104

A háromszögek szerkesztése, egybevágósága1. Adottak a 2 cm; 3 cm; 4 cm; 5 cm; 6 cm hosszú szakaszok. Állítsunk össze olyan háromszögeket, amelyek-

nek minden oldala a megadott szakaszok valamelyike! Hány különbözõ kerületû háromszöget kaphatunk?

Szerkesszük meg ezen háromszögek közül egyet, amelykerületének a mérõszáma prímszám!Szerkesztés:

2. Szerkesszük meg azt a háromszöget, amelynek kerülete 12,6 cm, oldalainak aránya 2,5 : 2,5 : 1,3!Oldalak kiszámítása:

Egészítsük ki a mondatot!

Egyenlõ hosszúságú oldalakkal szemben ........................................................................................................... szögek vannak.

Egészítsük ki a mondatot!

A ........................................................................................................................................... oldallal szemben van a legnagyobb szög.


Terv:

A lehetséges különbözõ esetek

a

b

c

Kèè


Terv:

3. Szerkesszünk derékszögû háromszöget, melynek átfogója 5 cm, és egyik hegyesszöge 22,5°!

7. SÍKGEOMETRIA II.


C

A B

c

c

ab

2 2 3 3 3 4

3 5 4 4 5 5

4 6 5 6 6 6

9 13 12 13 14 15A Bc

b

C1

C2

a

ABC1 vagy ABC2

2,5 + 2,5 + 1,3 = 6,3 12,6 ¢ 6,3 = 2

a = 5 cm, b = 5 cm, c = 2,6 cm

egyenlõ

leghosszabb

C A

c

cb

a

a

B

cbaK

b = 22,5°

a = 90° µ 22,5°

a = 67,5°


105

4. Egy háromszög a oldala 6,5 cm, és ez az oldal része a b oldalnak. Számítsuk ki a b oldal hosszát!

A b oldal kiszámítása:

Szerkesszük meg a háromszöget, ha

56


Terv:


Terv:

b) b szöge 45°;

a) g szöge 45°;


Terv:

c) a szöge 45°!

Melyik esetben van több megoldás? Miért? .............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................


B

A

C

B

A

C

C

B2

A

B1

a c) esetben, mert ott két oldal és a kisebbikkel szemben

fekvõ szög az adott.

a = 6,5 cm

b = 7,8 cmb = =a ¢ a ¡5

665

b = =6 5 65

7 8, ,¡


SÍKGEOMETRIA I I .

106

5. Egy szabályos hatszögnek berajzoltuk az átlóit és a szimmetriatengelyeit. Hány olyan háromszög látható azábrán, amely egybevágó a beszínezett háromszöggel?

6. Döntsük el, hogy melyik állítás igaz (I), melyik hamis (H)! Ha az állítás hamis, adjunk ellenpéldát vagyindokoljunk, ha igaz, írjuk oda a háromszögek egybevágóságának azt az alapesetét, amelyre hivatkozhatunk.

a) À£ Két egyenlõ szárú háromszög egybevágó, ha alapjaik és szárszögük egyenlõ.

.......................................................................................................................................................................................................................................

b) À£ Két derékszögû háromszög egybevágó, ha átfogójuk és egyik befogójuk egyenlõ.

.......................................................................................................................................................................................................................................

c) À£ Két háromszög egybevágó, ha a megfelelõ középvonalaik egyenlõek.

.......................................................................................................................................................................................................................................

d) À£ Két egyenlõ szárú háromszög egybevágó, ha száraik egyenlõek.

.......................................................................................................................................................................................................................................

e) À£ Két derékszögû háromszög egybevágó, ha egyik hegyesszögük 60°-os.

.......................................................................................................................................................................................................................................

f) À£ Két derékszögû háromszög egybevágó, ha megfelelõ befogóik páronként egyenlõek.

.......................................................................................................................................................................................................................................

g) À£ Két derékszögû háromszög egybevágó, ha egyik befogójuk egyenlõ, és a befogó 30°-os szöget zárbe az átfogóval.

.......................................................................................................................................................................................................................................

h) À£ Két egyenlõ szárú derékszögû háromszög egybevágó, ha megegyeznek átfogójukban.

.......................................................................................................................................................................................................................................

a) b) c)

................ ................ ................

d) e) f)

................ ................ ................


6 db 36 db 2 db

18 db 24 db 12 db

Egy oldala és a rajta fekvõ két szöge egyenlõ.

Két oldala és a nagyobbikkal szemben fekvõ szöge egyenlõ.

Három oldalának hossza egyenlõ.

Kevés az adat, még kellene az alap, vagy egy szög megadása.

Két háromszög nem egyértelmûen meghatározott három szöge egyenlõségével.

Két oldal és a közbezárt szög egyenlõ.

Egy oldal és a rajta fekvõ két szög egyenlõ.

Egy oldal és a rajta fekvõ két szög egyenlõ.

I

I

I

H

H

I

I

I


107

Hány ilyen pont van? .............................................................

c) az EF szakasz két végpontjától 3 cm távolságra vannak!

Hány ilyen pont van? ............................................................. Hány ilyen pont van? .............................................................

A háromszög köré írt kör1. Keressük meg a síkon azokat a pontokat, amelyek

a) az AB szakasz két végpontjától b) a CD szakasz két végpontjátólegyenlõ távolságra vannak; 4 cm távolságra vannak;

2. Szerkesszük meg az adott háromszögek köré írható körét! Egészítsük ki a mondatokat!

a) b)

E

F

D

C

A

B

AB

C

A

B

C

A

B

C

A hegyesszögû háromszög köré írt körének A derékszögû háromszög köré írt körének

a középpontja ............................................................................ a középpontja ............................................................................

c)

A tompaszögû háromszög köré írt körének

a középpontja ............................................................................


r

f3

O

f2

f1

0 db (azaz nincs ilyen pont)

a háromszög belsejében van. az átfogó felezõpontja.

a háromszögön kívül van.

2 ilyen pont van (M1, M2)végtelen sok, ezek a szakasz-

felezõ merõleges (m) pontjai

M2

M1

m

AO = BO = CO = r

O

f2

f3

f1

r

r

r

Or

r

r

f2f3

f1

AB CO r2

= =


3. Az A; B; C pontok egy körvonal pontjai. Szerkesszük meg azt a kört, amelyen ezek a pontok rajta vannak!

a) b)

4. a) Szerkesszünk háromszöget, ha egy oldalának hossza 7 cm, és a rajta fekvõ két szög 60°, és 45°!

A

B

C

A

B

C


Terv:

b) Szerkesszük meg a háromszög köré írható kört!

c) Kössük össze a kör középpontját (O) a háromszög csúcsaival!

Mit mondhatunk az így keletkezett háromszögekrõl? .................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

5. Egy körbõl csak az í1 és í2 ívek látszanak. Szerkesszük meg a kör középpontját és a kört!


Terv:

SÍKGEOMETRIA I I .

108


A

Bf1

h1

D

C

h2f2

OA

Bf1

h1

D

C

h2f2

O

B C

A

b g

O

r r

bc

a

f1

f2

f3

I.

II.III.

Ha a három pont egy egyenesre illeszkedik,akkor a szakaszok felezõmerõlegeseipárhuzamosak.

A felezõmerõlegeseknek nincs metszéspontja, így ehárom pont köré nem rajzolható kör.

Or

f2

f1

egyenlõ szárú háromszögek

oldalai: BCO háromszögben: a, r, r; AOC háromszögben: b, r, r; ABO háromszögben: c, r, r


109

A háromszög belsõ szögfelezõi, a beírható köre (kiegészítõ anyag)1. Állítás: HA egy természetes szám osztható 4-gyel, AKKOR osztható 2-vel is.

Megfordítása: HA egy természetes szám osztható 2-vel, AKKOR osztható 4-gyel is.

Az alábbi állítások közül kössük össze azokat, amelyek egymás megfordításai! Melyik állítás igaz (I), melyikhamis (H)?

À£ Ha egy pont rajta van egy szakasz felezõmerõlegesén, akkor egyenlõ távolságra van a szakasz kétvégpontjától.

À£ Ha egy pont egyenlõ távolságra van egy szakasz két végpontjától, akkor a pont rajta van a szakaszfelezõmerõlegesén.

À£ Ha egy pont rajta van egy konvex szög szögfelezõjén, akkor egyenlõ távolságra van a szög két szárától.

À£ Ha egy pont egyenlõ távolságra van egy szög két szárától, akkor rajta van a szög szögfelezõjén.

2. Szerkesszünk az a szög szárait érintõ köröket!

a


3. Az ABC háromszög AB oldalán szerkesszük meg azt a pontot, amely az AC és BC oldalaktól egyenlõtávolságra van! Szerkesszük meg az ABC háromszögbe írható kört!


AB

C


r1

O1O2

r2

O3

r3

I

I

I

I

O

P

r


SÍKGEOMETRIA I I .

110

c) Írjuk le az észrevételünket a magasságpontelhelyezkedésérõl!

1. ........................................................................................................

1. ........................................................................................................

2. ........................................................................................................

2. ........................................................................................................

3. ........................................................................................................

3. ........................................................................................................

Magasságvonal, súlyvonal1. Szerkesszünk a P pontból az e, a Q pontból az f egyenesre merõleges egyenest!

a) b)

2. Szerkesszük meg a háromszögek magasságpontját!

a) b)

P

e

Q

f

AB

C

A

B

C

A

B

C

3. Az AB szakasz egy egyenlõ szárú háromszög egyik szára, a T pont a szárhoz tartozó magasság talppontja.Szerkesszük meg a háromszöget!


Terv:


A

B

T


m

e ^ m

f ^ nn

mc

c

b = maM=

a = mb

Tc

Hegyesszögû háromszög magasságpontja

a háromszög belsejében van.

A derékszögû háromszög magasságpontja

a derékszög csúcsa.

A tompaszögû háromszögek magasság-

pontja a háromszögön kívül van.

mc

mbma

M

Ta

Tb

TcM

Tb

Tc

Ta

mc

ma

mb

Egy megoldás van, mert ABC1è @ ABC2è, csak a körüljárásuk iránya tér el.

C2

C1

+

µ


111

A

B

C


Észrevétel: Az ABC háromszög oldalfelezõ merõlegesei a DEF háromszög .......................................................................

Szerkesztés:

5. Szerkesszük meg azt a háromszöget, amelynek az a oldala 5 cm, a rajta fekvõ b szög 75°, az a oldalhoztartozó magassága 3 cm!


Terv:

4. Szerkesszük meg az ABC háromszög oldalfelezõ merõlegeseit! Az oldalfelezõ pontokat jelöljük D; E; F-fel!Az így keletkezett a DEF háromszöget rajzoljuk meg pirossal! Milyen nevezetes vonalai a DEF háromszögnekaz ABC háromszög oldalfelezõ merõlegesei?

6. Az ABC derékszögû háromszög alakú tér AB oldalának F felezõpontjában egy szökõkút van. A-ból Anna, B-bõl Bea, C-bõl Cili indul a szökõkút felé. Melyik lány tesz meg nagyobb utat a szökõkútig? Szerkesszükmeg az ábrán azt a kör alakú sétálóutat, amely az A; B; C pontokon is keresztülmegy!

Válasz: .................................................................................................

.....................................................................................................................

Észrevétel: Derékszögû háromszögben a derékszög

csúcsából induló súlyvonal hossza ...................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

A B

C

F


B C

A

b

magasságegyenesei.


A három lány egyenlõ hosszúságú utat

tesz meg.

az átfogó hosszának felével.

egyenlõ

M

F

EDc

b

a


SÍKGEOMETRIA I I .

112

8. Egészítsük ki a mondatokat úgy, hogy igaz állításokat kapjunk!

a) Az egyenlõ oldalú háromszög súlyvonalai és magasságvonalai .........................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

b) Ha egy háromszög egyik oldala rajta van az egyik magasság egyenesén, akkor a háromszög ......................

.......................................................................................................................................................................................................................................

c) Ha a háromszög magasságpontja a háromszögön kívül esik, akkor a háromszög ..................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

d) A háromszög súlypontja mindig a háromszög ................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

e) Bármely derékszögû háromszögben az átfogó hossza ......................................................, mint a befogók hossza.

f) Ha a háromszög beírható körének középpontja az egyik magasságvonalra esik, akkor a háromszög .......

.......................................................................................................................................................................................................................................

A

B

c

b

aC

Az .................. háromszög .................. oldalához tartozó magassága ma.






7. Szerkesszük meg az ABC háromszög BC oldalához tartozó magasságát (ma) és súlyvonalát (sa)! BC oldalá-nak felezõpontját jelöljük F betûvel, az ma magasság talppontját T betûvel! Keressük meg a keletkezõ ábránaz összes olyan háromszöget, melynek megfelelõ oldalához tartozó magassága ma!


ABT

ABF

ATF

AFC

ATC

ABC

BT

BF

TF

FC

TC

BC

egybeesnek.

derékszögû.

tompaszögû.

egyenlõszárú.

belsejében van.

nagyobb

ma sa

F

T


113

3. Mekkora a j szög, ha f az ACB szög szögfelezõje?

70° 30°

f

ma

BA

C

j

A háromszög szögeivel kapcsolatos összefüggések1. Hol helyezkedik el a háromszög

a) körülírt körének a középpontja, b) magasságpontja, ha szögeinek aránya 2 : 3 : 4; ha szögeinek aránya 1 : 2 : 3?

A háromszög köré írt körének a középpontja A háromszög magasságpontja

............................................................................................................. .............................................................................................................

2. Egy egyenlõ szárú háromszög egyik belsõ szöge 50°-kal nagyobb, mint a mellette fekvõ külsõ szög.Mekkorák a háromszög szögei?

4. Döntsük el, hogy melyik állítás igaz (I), melyik hamis (H)!

À£ Ha az egyenlõ szárú háromszög alapján fekvõ szöge egyenlõ a szárak közti szöggel, akkor a háromszögegyenlõ oldalú.

À£ A tompaszögû háromszögben a tompaszöggel szemben van a legnagyobb oldal.

À£ A derékszögû háromszögben a befogóval szemben hegyesszög van.

À£ Az egyenlõ szárú háromszögben egyenlõ szögekkel szemben egyenlõ hosszúságú oldalak vannak.


A B

C

baa’

g

a háromszög belsejében van. a derékszög csúcsában van.

I

I

I

I

a ¢ b ¢ g = 2 ¢ 3 ¢ 4

a + b + g = 180°

egy arányos rész: x

2x + 3x + 4x = 180°

9x = 180°

x = 20°

a = 40°b = 60° hegyesszögû háromszögg = 80°

a ¢ b ¢ g = 1 ¢ 2 ¢ 3

a + b + g = 180°

egy arányos rész: x

x + 2x + 3x = 180°

6x = 180°

x = 30°

a = 30°b = 60° derékszögû háromszögg = 90°

Az egyenlõ szárú háromszög alapon fekvõ szögei 32,5°-osak, a szárszög 115°.

a = a ’ + 50°

a + a ’ = 180°

a ’ + 50° + a ’ = 180°

2a ’ + 50° = 180°

2a ’ = 130°

a ’ = 65°

a = 65° + 50° = 115°

a csak a szárszög lehet

b = ga + b + g = 180°

a + 2g = 180°

g =

g =

b = g = 32,5°

180 1152

° ° µ

1802° µa

ATCè: CAB¬ = 70°

ATC¬ = 90°

ABCè: CAB¬ = 70°

ABC¬ = 30°

ACE¬ = BCE¬ = 40°

AECè: j = ACE¬ µ ACT¬j = 40° µ 20°

j = 20°

ACT¬ = 20°

ACB¬ = 80°80°

40°

20°

ET

j = 20°


SÍKGEOMETRIA I I .

114

6. Az ABC háromszög egyenlõ szárú (AC = BC), a b oldalhoz tartozó magasság mb. Mekkorák a háromszögszögei, ha az e szög

a) 15°-kal kisebb, mint az a ; b) 32°-kal kisebb, mint az a ?

7. Egy háromszög legnagyobb szöge a legkisebb szög négyszeresénél 20°-kal kisebb. A harmadik szög a leg-nagyobb szög felével egyenlõ. Mekkorák a háromszög belsõ és külsõ szögei?

mb

BA

C

c

b a

a

e

5. Rajzoljunk egy háromszöget! Szerkesszük meg az egyik belsõ szögének és a mellette fekvõ külsõ szögéneka szögfelezõjét! Mekkora szöget zár be a két szögfelezõ? Állításunkat indokoljuk!

Vázlat:


b

g

a + a ’ = 180° / ¢2

+ =

+ = 90°a '2

a2

1802

°a '2

a2

a

A B

C

a ’a '2

a2

e = a µ 15° b = ag = 90° µ (a µ 15°)

g = 90° µ a + 15°

g = 105° µ a

2a + g = 180°

2a + 105° µ a = 180°

105° + a = 180°

a = 75°

e = a µ 32° b = ag = 90° µ (a µ 32°)

g = 90° µ a + 32°

g = 122° µ a

2a + g = 180°

2a + 122° µ a = 180°

122° + a = 180°

a = 58°

Válasz:

Az ABCè szögei:

a = 75°

b = a = 75°

g = 105° µ 75°

g = 30°

Ell.: a + b + g = 75° + 75° + 30° = 180°

Válasz:

Az ABCè szögei:

a = 58°

b = a = 58°

g = 122° µ 58°

g = 64°

Ell.: a + b + g = 58° + 58° + 64° = 180°

a = 4g µ 20°

b = = 2g µ 10°

a + b + g = 180°

(4g µ 20°) + (2g µ 10°) + g = 180°

4g µ 20° + 2g µ 10° + g = 180°

7g µ 30° = 180° / +30°

7g = 210° / ¢7

g = 30°

4 20°g µ2

a = 4 ¡ 30° µ 20° = 100° a ’ = 80°

b = = 50° b ’ = 130°

g = 30° g ’ = 150°

Ell.: 100° + 50° + 30° = 180° 80° + 130° + 150° = 360°

100°2

b

g

aa ’

b ’

g ’a > b > g


115

Sokszögek1. Az alábbi sokszög alakú papírlapokat háromszögekre vágunk szét úgy, hogy mindig csak csúcsokon

áthaladó egyenes vágást hajtjuk végre. Írjuk a pontozott vonalakra a megfelelõ értékeket!

A

a b

B

dge

C

jh

w

r

3. Megrajzoltuk az alábbi szabályos sokszögek megjelölt csúcsából húzható átlóit! Számítsuk ki, hogymekkora szöget zárnak be ezek az átlók egymással és a megjelölt csúcsból kiinduló oldalakkal!

2. A szabályos sokszög köré írt kör középpontját összekötöttük a sokszög csúcsaival. Mekkora az így kapottháromszögeknek a kör középpontjánál levõ szöge? Számítsuk ki ennek a szögnek a segítségével a szabá-lyos sokszög egy belsõ szögét és belsõ szögösszegét!

a) b) c) d)

................

a sokszög oldalainak száma:

a keletkezett háromszögek száma:

a sokszög belsõ szögeinek összege:

Fejezzük be a mondatot! Az n oldalú sokszög szögösszege: ......................................................

................ ................ ................

................ ................ ................ ................

...................................... ...................................... ...................................... ......................................

a

b

g a

bg

a

bg

a

bg

a

bg

1 23

…

…n

szabályos négyszög

s

szabályos ötszög szabályos hatszög szabályos nyolcszög szabályos n-szög

a) b) c)

szabályos négyszög

szabályos ötszög

szabályos hatszög

szabályos nyolcszög

szabályos n-szög

aa

bb

gg

belsõ szögösszeg


5 6 7 8

3

3 ¡ 180° = 540° 4 ¡ 180° = 720° 5 ¡ 180° = 900° 6 ¡ 180° = 1080°

4 5 6

(n µ 2) ¡ 180°.

90° 72° 60° 45°

45° 54° 60° 67,5°

90° 108° 120° 135°

360° 540° 720° 1080°

90° 90°

45° 45°

108°

36°

36°

36°

36°

36°

72°

72°

108°

30°

30°

120°

30° 30°

30°

30°

60°60°180 36

290 18 72° ° = ° °= ° µ µ

C¬ = 120°

902

45° = °

a = b = 45°d = 108° µ 72° = 36°g = d = e = 36°

r = h = j = w = 30°

360°n

180 360° ° 2µ ¢n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

180 360° ° µn

180 360° ° µ ¡n

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

120°


SÍKGEOMETRIA I I .

116

6. Rajzoljunk olyan sokszöget, amelynek

a) kétszer annyi átlója van, mint oldala; b) belsõ szögeinek összege nagyobb,mint 400°, de kisebb, mint 750°;

A sokszög oldalainak száma: ........................................... A sokszög oldalainak száma: ...........................................

A sokszög belsõ szögeinek összege: ......................... A sokszög összes átlóinak száma: ................................

c) az összes átlóinak száma 20; d) a belsõ szögeinek összege ötször annyi,mint a külsõ szögek összege!

A sokszög oldalainak száma: ........................................... A sokszög oldalainak száma: ...........................................

Az egy csúcsból húzható átlók ......... háromszögre A sokszög összes átlóinak száma: ................................

bontják a .......................... szöget.

4. Az ábrán látható szabályos ötszögnek meghosszabbítottuk az oldalait. Hány fokos az így keletkezett konkávtízszög a és b szöge?

A

B

C

DE

b

a

5. Az ABCDEF szabályos hatszögben megrajzoltunk néhány átlót. Határozzuk meg, hogy hány fokosak azalábbi szögek!

b =

d =

g =

j =

A

B

C D

E

F

d

b

j

g

A

B

C D

E

F

d

b

j

g


120°30°

30°

30°

30°

120°

60°

60°

g

a ’

w

a ’’

g ’w’

a1

60°

30°

120°

60°

7 5; 6

5; 9900°

8 12

546

nyolc

g = 108° g ’ = 72°

w = 108° w ’ = 72°

a1 = 108° a ’ = 72° a ’’ = 72°

a = a1 + a ’ + a ’’ = 252°

= 2 ¡ n / ¡2

n2 µ 3n = 4 ¡ n

n2 = 7n

n = 7

(n n µ ¡3)2

20 =

40 = (n µ 3) ¡ n

40 = 5 ¡ 8

n = 8

(n n µ ¡3)2

360° ¡ 5 = 1800°

180° ¡ (n µ 2) = 1800°

n µ 2 = 10

n = 12

a ’ = = = 5412 92 ¡(n n µ ¡3)

2

400° < (n µ 2) ¡ 180° < 750°

ha n µ 2 = 3, akkor 3 ¡ 180°= 540°, így n = 5

ha n µ 2 = 4, akkor 4 ¡ 180°= 720°, így n = 6

a ’ = (n n µ ¡3)2

5 22

5 ¡ =6 3

29 ¡ =

b = 36°

40_____1 ¡ 402 ¡ 204 ¡ 105 ¡ 8


117

A háromszögek területe1. Foglaljuk téglalapba a háromszögeket, és határozzuk meg a területüket, ha egy rácsnégyzet oldala 1 cm!

2. Mekkora az alakzatok területe, ha a rácson egy négyzet 0,25 cm2 területû? (Daraboljuk fel az alakzatokat,s a keletkezett kisebb részekbe írjuk be területük mérõszámát! Az eredmény megadásához összegezzüka kisebb darabok területeit!)

minta

T1

T3

T4

T2

..................... ..................... ..................... ..................... ..................... .....................

..................... ..................... ..................... ..................... ..................... .....................

téglalap területe (cm2):

T1= ........................... T2 = ........................... T3 = ........................... T4 = ...........................

háromszög területe (cm2):

A legkisebb területû alakzatot hány cm2-rel egészítsük ki, hogy megkapjuk a legnagyobb területû alakzatot?Ez hány rácsnégyzet?

..............................................................................................................................................................................................................................................


24 18 6 15 10 9

12 9 3 7,5 5 4,5

6

4

6

3

6

1

3

5

2

5

3

3

16,25 cm2 16,75 cm2 21 cm2 11,25 cm2

21 cm2 µ 11,25 cm2 = 9,75 cm2 84ç µ 45ç = 39ç

=45ç

=67ç=65ç

=84ç

6

13 ¡ 4 µ 2 = 50

65 ¡ 0,25 cm2 = 16,25 cm2

4

182

9 =

67 ¡ 0,25 cm2 = 16,75 cm2

45 ¡ 0,25 cm2 = 11,25 cm284 ¡ 0,25 cm2 = 21 cm2

14 ¡ 4 = 56 56 + 3 + 2 + 6 = 67

1

3

2 2

26

3

14

3

4

3

15

15 ¡ 3 = 45

6 ¡ 9 = 54

54 + 30 = 84

1515

5

3 6 3

5

1 = 0,25 cm2


SÍKGEOMETRIA I I .

118

3. Rajzoljunk az alakzatok köré téglalapokat, majd vágjuk le a felesleges derékszögû háromszögeket! Mekkoraaz alakzatok területe?

4. Adott a háromszög két oldala (a, b) és az egyik oldalhoz tartozó magassága (ma). Mekkora a háromszögterülete és a másik oldalhoz tartozó magassága?

a) a = 7,5 cm b) a = 3 cm c) a = 12 cmb = 5 cm b = 5 cm b = 18 cm

ma = 4 cm ma = 1,5 cm ma = 16,5 cm

T = ................. T = ................. T = .................

mb = ................. mb = ................. mb = .................

minta

1

..................... ..................... ..................... ..................... ..................... .....................

téglalap területe:

..................... ..................... ..................... ..................... ..................... .....................

levágott terület:

..................... ..................... ..................... ..................... ..................... .....................

alakzat területe:

5. Másoljuk külön papírra az ábrán látható háromszöget, majd vágjuk szét darabokra úgy, hogy a darabokbóltéglalapot lehessen összerakni! Keressünk több megoldást! Ragasszuk be a négyzetrácsra a kapott tégla-lapokat! Írjuk rá az oldalak hosszát!

1


T = cm7 5 42

2, ⋅

5

22.

1.

3.

1. 2. 3. 1

10

2,5

4

5

2

12 15 15 20 16 15

7 9 8,5 8,5 7 5,5

5 6 6,5 11,5 9 9,5

4,5

22,522

3

2,53

3

1,5

2 1

4 1

3

1,5

1,5

1

1 1,5

2

2,25 cm2

0,9 cm

15 cm2

6 cm

99 cm2

11 cm

Tm

=a¡ a

2T

m

=

a¡ a2

= mb

= mb

0,9 = mb

4 55,

2Tb

Tb mb

=

¡2

= mb

= mb

11 = mb

19818

2Tb

Tb mb

=

¡2

2T = b ¡ mb

30 = 5 ¡ mb

6 = mb

Tb mb

=

¡2

T = cm3 1 52

2⋅ ,

Tm

=a¡ a

2

T = cm12 16 52

2⋅ ,

Pl.:


119

6. A csúcspontjaikkal megadott háromszögek közül válasszuk ki a legnagyobb területût! Keressünk egyenlõterületû háromszögeket!

A legnagyobb területû háromszög: ...............................................................................................................................................................

Egyenlõ területû háromszögek: ......................................................................................................................................................................

A

I

G JH

B C D

E

F

1

7. Hány hektár területet fog közre a Hóvirág, a Tulipános és az Ibolya utca? A Sétáló út merõlegesen csatlako-zik az Ibolya utcára és a Hóvirág és Tulipános utca keresztezõdésébõl indul. (A szükséges méretek azábráról leolvashatók.)

8. Egy ház belsõ udvara húrtrapéz alakú. A párhuzamos oldalak távolsága 6,5 m. A színezett területeket a házlakói virágokkal ültetik be. Hány m2 területet virágosítanak?

9. Számítsuk ki az ABC egyenlõ szárú háromszög szárhoz tartozó magasságát, ha tudjuk, hogy a kerülete24 cm, az alaphoz tartozó magasság 6 cm, és az alap a szárnál 1,5 cm-rel hosszabb!

Ibolya utca

Sét

áló

út

850 m

425

m

Tulipános utca

Hóvirá

g ut

ca57

0 m

685 m

8,6 m

18,8 m


ADJè T = 48ç

TABHè = TACIè = TADEè = 12ç TACGè = TADFè = 24ç

T

T

T

T

ABH

ACI

ACG

ADJ

è

è

è

è

= =

= =

= =

=

3 82

12

6 42

12

6 82

24

⋅

⋅

⋅

12 82

48

12 22

12

12 42

24

⋅

⋅

⋅

=

= =

= =

T

T

ADE

ADF

è

è

Tè = 4252 m2

Tè = 180 625 m2

Tè = 18,0625 ha » 18 ha

Válasz: az utcák közelítõen 18 ha területet fognak közre.

Válasz: 33,15 m2 területet virágosítanak.

TI. + TII. = Tvirágos

Tv = m2

Tv = m2

Tv = 33,15 m2

10 2 6 52

, ,⋅

18 8 8 6 6 52

, , , µ( ) ⋅

Tè = m m850 4252⋅

Tm

è =a a⋅

2

ma

I. II.

m6,5 m

a =

c =

I. II.m

a µ c

Válasz: a szárhoz tartozó magasság: mb = 7,2 cm

K = a + 2b

K = b + 1,5 + 2b

K = 3b + 1,5

b =

b = 7,5

a = 9 cm

b = 7,5 cm

24 1 53

µ , T = 27 cm2

T = 9 62⋅

Tm

=a¡ a

2

= mb

= mb

7,2 = mb

547 5,

2Tb

Tb mb

=

¡2

K = 24 cm

ma = 6 cm

a = b + 1,5 cm

mb = ? cmma

a

mb

B C

A

bb

a


SÍKGEOMETRIA I I .

120

A négyszögek területe1. Rajzoljunk a megadott háromszöggel egyenlõ területû derékszögû háromszöget, paralelogrammát,

téglalapot! Hány négyzetnyi a területük?

1

2. Rajzoljunk az adott négyszöggel egyenlõ területû téglalapot! (Jelezzük az ábrán a darabolást!) Hány négy-zetnyi a négyszögek területe?

3. A következõ darabokból (az összeset felhasználva) állítsunk össze háromszöget; téglalapot; paralelog-rammát; trapézt! Mekkora a területük?

1b)

d)

a)

c)

T = T =

T = T =

1


5

6 6 3 3 6

5 5 5

2,5

T = = 15 T = = 15 T = 5 ¡ 3 = 15 T = 3 ¡ 5 = 15 T = 6 ¡ 2,5 = 155 62⋅5 6

2⋅

3

3

2

6

3

8

4

4,5

9

2

I.

II.

18ç

9ç T = 3 ¡ 3 = 9 T = 6 ¡ 2 = 12

T = 3 ¡ 8 = 24TI. = 4,5 ¡ 4 = 18 v. TII. = 9 ¡ 2 = 18 24ç

12ç

T = 8ç1 1 11 4


121

5. Egy modern színházi elõadáshoz a díszlettervezõ azábrán látható hátteret tervezte. Hány dm2 területûa négyzetbõl sötéten maradt rész, ha a világos para-lelogrammák egybevágóak?

1,2 m

0,9 m

5,4 m

3,6 m

4. Tamara két 12 és két 15 centiméter hosszúságú mû-anyaglapból egy téglalap oldalvázát állította összea rajz szerint. Az egyik 12 cm-es oldal rögzítéseután, ha mozgatja a többi oldalt, akkor különbözõparalelogrammákat állíthat elõ. A rajzon lévõ parale-logramma 12 cm-es oldalához tartozó magassága

a téglalap magasságának része.

a) Egészítsük ki a mondatot!

Ennek a paralelogrammának a 12 cm-es oldalá-

hoz tartozó magassága: ................ cm; területe:

T = ................ cm2.

b) Rajzoljuk be pirossal azt a paralelogrammát, amelynek a területe a téglalap területének a fele!

Ekkor a paralelogramma 12 cm-es oldalához tartozó magassága: ................ cm; a paralelogramma területe:

T = ................ cm2.

c) Rögzítsük a 15 cm-es oldalt! Hány cm a paralelogrammának ehhez az oldalhoz tartozó magassága, haa területe 60 cm2?

m = ................ cm.

45

12 cm

15 cm

m

6. Csehország lobogója látható az alábbi ábrán. A 2008-as labdarúgó EB-re a cseh szurkolók egy része 85zászlót rendelt. A zászló szélessége 0,5 m, a hosszú-sága ennek 160%-a, és a piros trapéz rövidebb alap-ja éppen fele a zászló hosszúságának. A szegésekmiatt a számított területnek még 5%-át rászámolják.Mennyi a zászlók elkészítéséhez szükséges

a) piros b) fehér c) kékvászon területe?

fehér

piros

kék0,5 m


12

144 12 ¡ 12 = 144

60 ¢ 15 = 4

7,5

90

4

15 45

12⋅ =

12 152

90⋅ =

(1) a = 3,6 mma = 0,9 mTp = a ¡ ma

Tp = 3,6 ¡ 0,9 m2

Tp = 3,24 m2

(3) c = 3 ma + mb

c = 5,4 m

(4) Tsötét = Tç µ 4 ¡ Tp

Tsötét = 5,4 ¡ 5,4 µ 4 ¡ 3,24Tsötét = 29,16 µ 12,96 = 16,2

Tt = 0 4 0 252

3 0 15, , ,⋅ ⋅ =

c) Tè = 0 25 0 42

2 0 1, , ,⋅ ⋅ =

Tt = 0,15 m2

(2) T = 3,24 m2

b = 1,2 mmb = ? mTp = b ¡ mb

mb = Tp ¢ 6mb = 3,24 ¢ 1,2mb = 2,7 m

Válasz: A sötét rész területe 16,2 m2 = 1620 dm2.

d =

ma

a

b

mbmb

3 ¡ ma 2,7 m

5,4 m

2,7 m

c

0,15 ¡ 85 = 12,75

0,1 ¡ 85 = 8,5

Tpiros = Tfehér = 12,75 m2

Tkék = 8,5 m2; 8,5 m2 ¡ 1,05 = 8,925 m2 ~ 9 m2

12,75 m2 ¡ 1,05 = 13,385 m2 ~ 13,4 m2

A piros és a fehér vászonból is megközelítõen 13,4 m2-t, a kékbõl pedig közelítõen 9 m2-t kell venni.

0,4 m 0,4 m

0,25 m

0,25 m 0,25 m

0,8 m

0,5 m ¡ 1,6 = 0,8 m

a), b)


SÍKGEOMETRIA I I .

122

*8. Az ABCD trapéznak megrajzoltuk két átlóját. Az átlók metszéspontja E. Ha TAEB = 6 cm2 és TAED = 2 cm2,mekkora a BCE háromszög területe?

TABD = ..................; TABC = ..................; TBCE = ..................

Észrevétel: .........................................................................................

..................................................................................................................

.................................................................................................................. A B

D

E

C

7. Egy négyzetet az ábra szerint három részre osztot-tunk két párhuzamos vágással. Jelöljük a P, Q pon-tokat úgy, hogy az AQCP négyszög területe

D P C

A Q B

a) ugyanannyi legyen, minta másik két rész együttesterülete;

Az AQCP négyszög terü-lete a négyzet területének

........................................... része.

b) kétszer akkora legyen,mint a másik két részegyütt;


........................................... része.

c) feleakkora legyen, minta másik két rész együtt.


........................................... része.

D C

A B

D C

A B

D C

A B

*9. Vasúti átjáróhoz közeledve találkozhatunk ilyen ve-szélyt jelzõ táblával. (A rajzon a hosszúságok mm-ben vannak megadva.)

a) Hány dm2 a fehérre festett terület?

b) Hány dm2 a jelzõtábla területe?

c) Hány százaléka a pirosra festett terület a táblaegész területének?

340

400570

33020

87

500

1000


P

Q

P

Q

P

Q

9

18

9

6

6

24

12

12

12

az egyketted a kétharmad az egyharmad

8 cm2 8 cm2 2 cm2

TAED = TBCE, mert az ABDè és az ABCè

egy oldalában és a hozzá tartozó magasságában meg-

egyezik, így területük egyenlõ. TABD µ TABE = TABC µ TABE

25,8 dm2

34 dm2

~24%-a

2 cm2 ? cm2

6 cm2

b) Ttábla = 3,4 ¡ 10 dm2 = 34 dm2

300

550

310

380

480

300

a) T1 =

T2 =

Tfehér = T1 + T2 = 25,8 dm2

3 1 4 82

3 11 852 2, , , + dm = dm⋅

5 5 3 82

3 13 952 2, , , + dm = dm⋅

c) Tpiros = Ttábla µ Tfehér = 8,2 dm2

T

Tpiros

táblaa = -8 2

340 24 24, , %≈ →

1.

2.


123

2. Egy 12 cm sugarú körbe a lehetõ legnagyobb négyzetet rajzoltuk. Számítsuk ki a szürke rész területét!

3. A 8 cm oldalú négyzetbe a lehetõ legnagyobb sugarú kört rajzoltunk. Hány százaléka a kör területe a négy-zet területének?

Kör kerülete, területe1. Feri és Bence testvérek. Ferinek 26-os, Bencének 20-as kerékpárja van. (A kerékpárok méretére utaló

elnevezés onnan ered, hogy a kerék átmérõjének hosszát coll-ban adják meg: 1 coll = 2,54 cm.)

a) Egészítsük ki a mondatokat!

A 26-os kerékpár kerekének az átmérõje ................. ¡ ................. cm = ................. cm

A 20-as kerékpár kerekének az átmérõje ................. ¡ ................. cm = ................. cm

Egy fordulattal a 26-os kerékpár kereke ................. m

a 20-as kerékpár kereke ................. m utat tesz meg.

b) Feri és Bence iskolája a lakásuktól 360 méterre van. Mennyivel többet fordul az iskoláig Bence kerékpár-jának kereke, mint Ferié?

*c) Igaz-e, hogy ha Bence kerékpárjának kereke egy bizonyos úton x-et fordul, akkor Ferié ugyanezen az

úton x-et fordul?1013


26 2,54 66,04

20

~2,07

~1,595

2,54 50,8

66,04 ¡ 3,14 » 207,36 cm » 2,07 m50,8 ¡ 3,14 » 159,51 cm » 1,595 m

Feri: 360 ¢ 2,07 » 173,9 » 174 fordulat

Bence: 360 ¢ 1,595 » 225,7 » 226 fordulat

Bence kerékpárjának kereke 52-vel többet fordul az iskoláig, mint Feri kerékpárjának a kereke.

52-vel többet fordul

dd

F

B = =26

201310

Az átmérõk aránya -ed, ezért a kerületek aránya is ennyi.1310

A fordulatok aránya ennek reciproka, tehát igaz az állítás.

(Nagyobb átmérõ ® kevesebb fordulat.)

Válasz: A szürke rész területe közelítõen 164,16 cm2.

Válasz: A kör területe közelítõen 78,5 %-a a négyzet területének.

r

rd = e

r

r

d = a

(1) r = 12 cm

Tæ = r2pTæ » 144 ¡ 3,14 cm2

Tæ » 452,16 cm2

(2) d = e = 24 cm

Tç =

Tç = cm2

Tç = 288 cm2

5762

e2

2

(3) Tszürke = Tæ µ Tç = 164,16 cm2

(1) a = 8 cm

Tç = a2

Tç = 64 cm2

(2) r = 4 cm

Tæ = r2pTæ » 50,24 cm2

(3) TTæ

ç = =50 24

640 785, ,

78,5 %-a


SÍKGEOMETRIA I I .

124

4. Egy 1 méter oldalú négyzet alakú lemezbõl a lehetõ legtöbb 8 cm sugarú kört vágnak ki. A négyzet terüle-tének hány százaléka lesz a hulladék?

*5. Számítsuk ki a szürke színnel jelölt részek területeit! A négyzet oldala minden esetben egységnyi hosszúságú.

*6. Az alábbi közúti jelzõtáblák külsõ körének az átmérõje 70 cm. A jelzõtáblákból µ felújítás céljából µ ötvenet-ötvenet átfestenek. A festékes dobozon található felhasználási javaslat szerint 1 doboz festék 8-10 m2-reelegendõ. Hány doboz festéket vegyenek az egyes színekbõl, ha a jelzõtáblákat 3-szor kell átfesteni?

a)

b)

1. 2. 3. 4. 5.

piros

fehér 10 cm

piros

60 cm10 cm


r = 121

Válasz: A hulladék területe közelítõen 27,6 %-a a négyzet területének.

r = 8 cm; d = 16 cm; 100 cm ¢ 16 cm = 6,25

Egy sorból 6 db, a négyzetbõl 36 teljes kör vágható ki.

Tç µ 36 ¡ Tæ = Thulladék

Tç = 1 m2 = 10 000 cm2

36Tæ » 36 ¡ 64 ¡ 3,14 cm2 » 7234,56 cm2

Thulladék » 2765,44cm2

6 db

96 cm 4 cm

1 m

��

��

��

��

��

��

�

��

(1) Tæ = r2pTæ = 702pTæ = 4900pTæ = 15 386 cm2

(1) Tæ = r2pTæ = 702pTæ = 4900p

(2) Tf = a ¡ b

Tf = 60 ¡ 10 cm2

Tf = 600 cm2

150 ¡ Tf = 90 000 cm2

Tfö = 9 m2

(3) Tp = Tæ µ Tf

Tp = 15 386 cm2 µ 600 cm2

Tp = 14 786 cm2

150 ¡ Tp = 2 217 900 cm2

Tpö = 221,8 m2

221,8 ¢ 8 = 27,725

221,8 ¢ 10 = 22,18

Válasz: Fehér festékbõl 1-2 dobozelegendõ, a pirosból 23-28 dobozvásárlása szükséges.

r = 70 cm

r = 70 cm rf = 60 cm

b =a =

Válasz: Fehér festékbõl 17 és 22 doboz között fogyott, a pirosból 7-8 doboz elég lesz.

(2) Tf = 602pTf = 3600pTf = 11 304 cm2

150 ¡ Tf = 1 695 600 cm2

Tfö = 169,56 m2

169,56 ¢ 8 = 21,195 » 22

169,56 ¢ 10 = 16,95 » 17

(3) Tp = Tæ µ Tf

Tp = 1300pTp » 4082 cm2

150Tp » 612 300 cm2

Tpö » 61,23 m2

61,23 ¢ 8 = 7,653 » 8

61,23 ¢ 10 = 6,123 » 7

Tç µ Tæ =

= ¡ p =

= ¡ p =

= ¡ (4 µ p)

T1 » 0,215

14

44

14

µ

1 12

2 µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Tç µ Tæ

¡ (4 µ p)

T2 » 0,215

14

=

= =

=

= ¡ (4 µ p)

T4 » 0,215

14

1 14

µ ⋅p

Tç µ4 116⋅ ⋅p

Tç4

14

42

µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ⋅p

T3 = = 0,512

12

T5 = = 0,512

12

r

rf


125

8. Rajzoljuk le és számítsuk ki, mekkora területet jár be a ház körül a K pontba 8 m hosszú láncra kötött kutya!(A ház alaprajzán jelölt falak merõlegesek egymásra.)

9. Mi a közös tulajdonsága az ábrán látható síkidomoknak?

a)

b)

*c)

*7. Írjuk fel az alábbi körben lévõ, három különbözõmódon jelölt, félkörökkel határolt területek arányát!(A számolás során nem szükséges p-vel beszo-rozni.)

Tvilágosszürke =

Tsötétszürke =

Tfehér =

Tvilágosszürke : Tsötétszürke : Tfehér =

1

2

K

3 m

4 m

7 m

5 m

3

3

66,7

3 33,16 4,24

1

3

3 5

3

2 25

4 4

4

4 45

4 12

13

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................


T1

T2

T3 1 m1 m

3 m

3 m

4p

4p

8p

1 ¢ 1 ¢ 2

Tteljes = 16p

Tsötétszürke =

Tvilágosszürke = 8p µ 4p = 4p

162

42

2 4p p p = µ ¡

12

p

12

p

2p

2p

2p

1p

Válasz: A K pontba rögzített8 méteres láncra kötött kutya158,57 m2-es területet járhatbe.

T = T1 + T2 + T3

r1 = 8 m

r2 = 3 m

r3 = 1 m

(1) T1 = ¡ r12 ¡ p

T1 = ¡ p

T1 = 48p

34

64⋅

34

(2) T2 = ¡ r22 ¡ p

T2 = ¡ 9 ¡ p

T2 = p94

14

14

(3) T3 = ¡ r32 ¡ p

T3 = p14

14

(4) T = p

T = 50,5pT » 158,57 m2

48 94

14

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Területük azonos.

T = 9ç

síkidomonként megegyezik.

Pl. Tæ = Kæ = 22p = 2 ¡ 2 ¡ p

K = 12

Kerületük azonos.

A kerület és a terület mérõszáma


STAT ISZT IKA , VALÓSZÍNÛSÉG

126

Adatok elemzése, átlag, medián

a) Az átlag a magasságkülönbség .............................................................-vel nagyobb a kisebbiknél.

b) Az átlag a magasságkülönbség .............................................................-val nagyobb a kisebbiknél.

c) Az átlag a magasságkülönbség .............................................................-vel nagyobb a kisebbiknél.

2. Jelöljük a gyerekek magasságának átlagát a mércén! Egészítsük ki a mondatokat!

3. Számolás nélkül írjuk a négyzetekbe a megfelelõ pont betûjelét, majd számolással ellenõrizzük! Karikázzukbe, hogy melyik betû maradt ki!

1,5 és 2 átlaga À£ µ1 és 0,5 átlaga À£ 2; 2 és 0,5 átlaga À£µ0,5 és 1 átlaga À£ 0 és 1 átlaga À£ 2; 2; 2 és 3 átlaga À£

1 2 3–1 0A B C D E F G H

8. STATISZTIKA, VALÓSZÍNÛSÉG

1. 1896 és 2008 között 26 olimpiát rendeztek, 15-öt Európában, 6-ot Amerikában, 3-at Ázsiában és 2-t Ausztrá-liában. Szemléltessük a fenti adatokat diagramon, és írjunk a diagramról leolvasható megállapításokat!

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

a b c


olimpiák középponti szögszáma nagysága

Európában 15 ~207,7°

Amerikában 6 ~83,1°

Ázsiában 3 ~41,5°

Ausztráliában 2 ~27,7°__ _______Összesen 26 360°

Európában rendezték a legtöbb olimpiát, míg Ausztráliában

a legkevesebbet. Az Európában rendezett olimpiák száma

az 1896 és 2008 között megrendezett olimpiák számának több,

mint 50%-a.

felé

harmadá

negyedé

G

B

A

C

F

H

1 5 22

1 75, , + =

µ0 5 12

0 25, , + =

1 0 52

0 25 + =, ,

12

0 5 = ,

2 2 0 53

4 53

1 5 + + = =, , ,

2 2 2 34

94

2 25 + + + = = ,

Európa

Ausztrália

ÁzsiaAmerika

Ell.:


127

4. Töltsük ki a táblázat hiányzó mezõit!

5. Soroljunk fel öt különbözõ számot, melyek

a) átlaga és mediánja egyenlõ; ......................................................................................................................................................................

b) átlaga 1-gyel nagyobb, mint a mediánja; ...........................................................................................................................................

c) átlaga 1-gyel kisebb, mint a mediánja! ................................................................................................................................................

Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................

6. Az iskolák közötti atlétika versenyen minden iskola 3 versenyzõvel nevezett. Edit, Kata és Ildi az egyik iskolahárom versenyzõje, Edit az összes versenyzõ rangsorában a középsõ helyen végzett, de megelõzte Katát.Kata 19-edik, Ildi 28-adik lett. Hány iskola vett részt a versenyen?

Számok Átlag Medián

A 1 2 3 4 5 6 7

B µ2 4 5 0 1 µ4 µ8

C µ2,5 0,25 1,75 1,534

µ74

µ14

D 2 4 4 2 1 1 3

E 3 1 5 3 5 7 4

F 1 1 3 3 0 2 2

G 8 9 12 12 8 15 10


Ha Ildi 28. lett, akkor legalább 10 iskolának indulnia kellett a versenyen, azaz 30 versenyzõnek.Ha Edit a középsõ, akkor páratlan számú iskola nevezett. Ha 11 iskola, akkor Edit a 33 versenyzõbõl a 17-dik,megelõzi a 19. helyezett Katát.13 induló iskola esetén Edit nem elõzné meg Katát, a 20. lenne.

11 iskola indult a versenyen.

µ2; µ1; 0; +1; +2

medián átlag

µ2; µ1; 2; +6; +10

µ3; µ2; 5; +7; +13

05

0 =

155

3 =

205

4 =

4 4

0

0,25

2

44

7

42

10 46

µ47

µ 128

A: = 3 B: C: ¢ 7 = µ2,5; ; ; 0,25; ; 1,75; 1,534

µ14

µ74

µ 128

µ14

µ47

287

D: = 3 E: 287

4 =147 + x

14 + x = 21

x = 7

= 2

10 + x = 14

x = 4

107 + x = 15

59 + x = 105

x = 46

597 + x

Pl.:

F: Ha a medián 2, az egyik hiányzó szám a 2. G: Ha a medián 10, az egyik hiányzó szám a 10.

medián



128

Ország Arany Ezüst Bronz

01. Kína 51 21 28

02. Amerikai Egyesült Államok 36 38 36

03. Oroszország 23 21 28

04. Nagy-Britannia 19 13 15

05. Németország 16 10 15

06. Ausztrália 14 15 17

07. Koreai Köztársaság 13 10 8

08. Japán 9 6 10

09. Olaszország 8 10 10

10. Franciaország 7 16 17

21. Magyarország 3 5 2

Módusz, relatív gyakoriság1. A 2008-as pekingi olimpiai játékokon az országonként szerzett érmek száma az alábbi táblázatban látható.

a) Ha az összes olimpiai versenyszámhoz felírjuk a nyertes ország nevét, akkor az így kapott felsorolásban

melyik ország neve lesz a módusz? ......................................................................................................................................................

b) Ha az összes olimpiai éremhez felírjuk a nyertes ország nevét, akkor az így kapott felsorolásban melyik

ország neve lesz a módusz? ......................................................................................................................................................................

c) Mi alapján állították sorba a fenti táblázatban szereplõ országokat? .................................................................................

d) Hányszor több érmet szerzett Kína, mint Magyarország? ........................................................................................................

e) Állítsuk sorrendbe az országokat

az érmek száma alapján; a pontszámok alapján, ha az aranyérem 3 pont,az ezüstérem 2 pont, a bronzérem 1 pont!

01. ..................................................................................................... 01. .....................................................................................................

02. ..................................................................................................... 02. .....................................................................................................

03. ..................................................................................................... 03. .....................................................................................................

04. ..................................................................................................... 04. .....................................................................................................

05. ..................................................................................................... 05. .....................................................................................................

06. ..................................................................................................... 06. .....................................................................................................

07. ..................................................................................................... 07. .....................................................................................................

08. ..................................................................................................... 08. .....................................................................................................

09. ..................................................................................................... 09. .....................................................................................................

10. ..................................................................................................... 10. .....................................................................................................


Érmekszáma

Pont-számok

100 223

110 220

72 139

47 98

41 83

46 89

31 67

25 49

28 54

40 70

10 21

Amerikai Egyesült Államok

Kína

Oroszország

Nagy-Britannia

Ausztrália

Németország

Franciaország

Koreai Köztársaság

Olaszország

Japán

Kína


Oroszország

Nagy-Britannia

Ausztrália

Németország

Franciaország

Koreai Köztársaság

Olaszország

Japán

tízszer

az aranyérmek száma szerint


Kína


¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

129

f) Ábrázoljuk diagramon az éremtáblázat elsõ 5 országának adatait! Válasszunk megfelelõ diagramtípust!

g) Ábrázoljuk az érmek megoszlását külön diagramokon Kína, az Egyesült Államok és Magyarországesetén! Válasszunk megfelelõ diagramtípust!

e) Adjunk meg olyan számolási módot, amellyel Magyarország elõrébb kerülhet az éremtáblázatban sze-replõ helyérõl! Nézzünk utána a szükséges adatoknak!

Ábrázoljuk az adatokat oszlopdiagramon és kördiagramon!

2. Készítsünk statisztikát az osztálytársaink sportolási szokásairól! Osztálylétszám: ..................

Strigulázás Gyakoriság Relatív gyakoriság

Egyáltalán nem sportol

Alkalmanként sportol

Hetente 1-2-szer sportol

Hetente 3-4-szer sportol

Hetente 4-nél többször sportol


Népesség Érmek száma 1 fõre jutó érmek száma

Magyarország 10 024 147 » 10 millió 101

106

Olaszország 60 017 677 » 60 millió 28 0 46 1106, ⋅

Kína USA Orosz-ország

Nagy-Britannia

Német-ország

50

40

30

20

10

A

E

B

AE

B

AE

B

A

EB A

E

B

érm

eksz

áma

arany

ezüst bronz

Kína

184�

76� 100�

USA

arany

ezüst

bronz

118�

124� 118�

Magyarország

aranyezüst

bronz

108�72�

180�

1010 10

110

2860 10

2860

110

0 46 1106 6 6 6 6⋅ ⋅

⋅ ⋅= > = » , Az egy fõre jutó érmek száma alapján Magyarországelõbbre kerülhet a mostani helyérõl.



130

A B

Lehetõségek felsorolása

Lehetõségek száma

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.

A valószínûség becslése1. Melyik esemény valószínûbb? Jelöljük relációjellel!

Új ismerõsöd háziállata egy kutya. À£ Új ismerõsöd háziállata egy zsiráf.

Találkozol az utcán az Egyesült Államok elnökével. À£ Találkozol az utcán a szomszéd fiúval.

Holnap 30 °C-kal hidegebb lesz, mint ma. À£ Holnap esni fog az esõ.

Ha leesik egy tojás, összetörik. À£ Ha leesik egy golyóstoll, összetörik.

2. Melyik esemény valószínûbb? Jelöljük relációjellel!

Ruletten piros számot pörgetnek. À£ Ruletten a 15-ös számot pörgetik.

Egy kockával 6-ost dobunk. À£ Egy kockával nem 6-ost dobunk.

Egy kockával 1-est dobunk. À£ Egy érmével fejet dobunk.

Egy szelvénnyel nyerünk a lottón. À£ Két érmével két fejet dobunk.

Egy érmével írást dobunk. À£ Egy érmével fejet dobunk.

4. Két különbözõ színû szabályos dobókockával egyszerre dobunk. Melyik eredmény valószínûbb?A: A dobott számok összege legfeljebb 4.B: A dobott számok összege legalább 9.

Következtetéssel:

3. A 32 lapos magyar kártyából Peti kihúz egy lapot. A magyar kártyában 4 szín, és minden színbõl 8 különbözõlap van. Állítsuk valószínûségük szerint csökkenõ sorrendbe az eseményeket!A: Peti zöld vagy piros kártyát húz.B: Peti a zöld királyt húzza.C: Peti királyt húz.D: Peti zöld kártyát húz.

..................................................................................................................

Kísérletezéssel: Végezzünk 50 dobást a két kockával! Írjunk a táblázatba A-t, ha az A esemény következettbe, B-t, ha a B esemény következett be, X-et, ha egyik esemény sem következett be!

A(z) ................ esemény valószínûbb.

A gyakorisága: ................................................................................ B gyakorisága: ...............................................................................

Becslés: a(z) ................ esemény valószínûbb.


B

B

X X X X A X X A X X X B B X A X X X X X X X X X X

B X X X A A X X B B B B B X X B X A B X X X B A X

6 10

1+1; 1+2; 1+3;2+1; 2+2; 3+1

3+6; 4+5; 4+6; 5+4; 5+55+6; 6+3; 6+4; 6+5; 6+6

Pl.:

A > D > C > B

>

<

<

>

>

<

<

<

=

A B C D: ; : ; : ; :12

132

18

14

7 11


131

A B

Lehetõségek felsorolása

Lehetõségek száma

5. Három különbözõ pénzérmét egyszerre feldobunk. Melyik esemény valószínûbb?A: Mindegyik érmével ugyanazt dobjuk. B: Nem mindegyik érmével dobjuk ugyanazt.

Következtetéssel:

A(z) ................ esemény valószínûbb.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.

Kísérletezéssel: Végezzünk 50 dobást a három érmével! Töltsük ki a táblázatot a 3. feladathoz hasonlóan!

A gyakorisága: ................................................................................ B gyakorisága: ...............................................................................

Becslés: a(z) ................ esemény valószínûbb.

*6. Egy zsákba 20 golyót tettünk, fehér és kék színûeket. Két golyót kihúzunk egyszerre, feljegyezzük a színüket,majd visszatesszük a golyókat a zsákba.Elvégeztük a kísérletet, és a következõ eredményt kaptuk:

a) Ábrázoljuk a kísérlet különbözõ eredményeinek gyakoriságát!

gyakorisága: ................

gyakorisága: ................

gyakorisága: ................

b) Melyik színû golyóból lehetett több a zsákban? .............................................................................................................................


B A A B B B A B B B A B B A B B A B B B B A B B A

B B B A A B B B B A B B B B B B B A B B B B A A B

kékbõl

B

B

FFF; III IIF; IFI; FII; FFI; FIF; IFF

2 6

A

B

C

5

10

15

1

A B C

12

17

gyak

oris

ág

14 36

1

12

17

esemény



132

gyakorisága: ................

gyakorisága: ................

gyakorisága: ................

Az eredmények alapján változtassunk a tippünkön, és végezzünk újabb kísérleteket!

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

7. Négy barát elment horgászni. Mindenki fogott legalább egy halat, és összesen 11 hal volt a zsákmány.Melyik esemény biztos, melyik lehetséges, melyik lehetetlen? Válaszainkat indokoljuk!

a) Van olyan ember, aki pontosan 9 halat fogott. ................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

b) Van olyan ember, aki pontosan 1 halat fogott. ................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

c) Pontosan két ember fogott 1 halat. ........................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

d) Van, aki 3-nál kevesebb halat fogott. ....................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

e) Mindenki 3-nál kevesebb halat fogott. ..................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

c) Tippeljük meg, hogy a 20 golyóból hány darab fehér és hány darab kék színû lehetett!

fehér: ................ kék: ................

Végezzünk el 30 kísérletet a tippelt számú golyókkal, jegyezzük fel az eredményt, majd ábrázoljukdiagramon!


Lehetetlen esemény, mert ha mindenki fogott legalább egy

halat, hárman összesen legkevesebb 3 halat halásztak. Így negyedik társuk a maradék 11 µ 3 = 8 halat foghatja ki.

Lehetséges esemény, például: egy ember egy halat, egy

ember 4 halat, ketten három-három halat fogtak (1 + 4 + 3 + 3 = 11).

Lehetséges esemény, például: egy-egy ember egy-egy halat fogott,

a maradék 11 µ 2 = 9 halat ketten kifoghatták 6 + 3-as felbontásban is.

Biztos esemény. Ha mind a négyen 3 halat fogtak volna, 4 ¡ 3 = 12 halat

kellett volna kifogniuk. Összesen 11 hal volt a zsákmány, így biztos van egy ember, aki 3-nál kevesebb halat fogott ki.

Lehetetlen esemény, így mindenki legfeljebb 2 halat fogott volna, ez

összesen 4 ¡ 2 = 8 halat jelent, de a zsákmány 11 hal volt.


133

Egyenesek, síkok, testek a térben

2. Egy testet 2 cm élû kockákból építettünk fel. Rajzol-juk le a testet, ha nézeteit az ábrán láthatjuk!

a) A test .................. kockából áll.

b) Számítsuk ki a test térfogatát és felszínét!

V = ...................... cm3 A = ...................... cm2

c) Legkevesebb hány kockát kell hozzátenni, hogy az így kapott test kocka legyen? .................................................

Hány kockát kell elvenni az eredeti testbõl, hogy a megmaradt test kocka legyen? ...............................................

1. A rajzon látható házaknak összekeveredtek a nézetei. Írjuk be a megfelelõ nézetek számait!

Elölnézet

Felülnézet

Oldalnézet

Elölnézet: À£ À£ À£Oldalnézet: À£ À£ À£Felülnézet: À£ À£ À£

9. TÉRGEOMETRIA

1 2 3

4 5 6

7 8 9


V = 5 ¡ (2 ¡ 2 ¡ 2) cm3 A = (2 ¡ 5 + 2 ¡ 3 + 2 ¡ 2) ¡ 4 cm2

V = 5 ¡ 8 cm3 A = 20 ¡ 4 cm2

V = 40 cm3 A = 80 cm2

5

40 80

(27 µ 5 =) 22 kockát

(5 µ 1 =) 4 kockát

9

2

5

3

4

7

8

6

1


3. Építsünk 12 kis kockából különbözõ testeket! Rajzoljuk le a testeket és azok nézeteit! Számítsuk ki a testekfelszínét és a térfogatát, ha egy kis kocka éle 1cm!

V = ........................................... V = ........................................... V = ........................................... V = ...........................................

A = ........................................... A = ........................................... A = ........................................... A = ...........................................

Elölnézet

Felülnézet

Oldalnézet

*4. Kockák lapjaira mintákat rajzoltunk úgy, hogy egy kockának sincs két azonos mintájú lapja. Az ábrán egykocka három nézetét látjuk, és egy másik kocka egy nézetét, ez a kakukktojás. Melyik a kakukktojás azalábbi ábrákon?

a) b)

TÉRGEOMETRIA

134

5. Vágjuk szét a kockákat az ábrákon látható módon, hogy a színezett síkmetszeteket kapjuk! Írjuk a megfelelõkockák alá, hogy a színezett síkmetszet milyen sokszög! M és N oldalfelezõ pontok.

..................................................... ..................................................... ..................................................... .....................................................

Keressünk olyan élt vagy átlót a megfelelõ síkmetszetet tartalmazó kockán, amelyik a vágás síkján kelet-kezett sokszög

EB oldalegyenesével párhuzamos: ..................................; EB oldalegyenesével kitérõ: ..................................................;

IJ oldalegyenesére merõleges: ...........................................; MN egyenessel párhuzamos: ..............................................!

A A A AB B B B

C C C C

E E E EG G G G

H1. kocka 2. kocka 3. kocka 4. kocka

H H H

I M

J

N

K

L

D D D D

F F FF


8

7

6 6

4

6 8

5

8 7

6

7

négyzet téglalap

HC HG

EGIL

húrtrapéz szabályos háromszög

12 cm3

42 cm2

12 cm3

32 cm2

12 cm3

42 cm2

12 cm3

40 cm2


135

Henger, hasáb

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

1. Válasszuk ki az alábbi testek közül a hengereket!

Hengerek: .....................................................................................................................................................................................................................

1. 2. 3. 4. 5. 6.

2. Állítsuk párba azokat a számozott testeket, amelyekbõl a négyzetben lévõ hasáb elõállítható!

a)

1. 2. 3. 4. 5. 6.

b)

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Elölnézet

Felülnézet

Oldalnézet

1 cm

2 cm2,5 cm

Elölnézet

Felülnézet

Oldalnézet

1 cm

1,5 cm

c)

3. Rajzoljuk le a testek nézeteit!


1.; 2.; 4.; 5.; 7.; 8.

1 µ 6

2 µ 5

3 µ 4

1 µ 5

2 µ 4

3 µ 6

1 µ 3

2 µ 5

4 µ 6


TÉRGEOMETRIA

136

6. Rajzoljunk egy olyan hasábot, amelynek

a) 6 csúcsa; b) 7 lapja; c) 21 éle van!

1. 2. 3. 4. 5. 6.

4. Az ábrán látható hasábok minden éle ugyanolyan hosszú. Kézbe fogva különbözõ nézetei vannak a testnek.A rajzon levõk közül melyik nem lehet a test nézete (karikázzuk be a sorszámát)?

5. Töltsük ki a táblázatot, mely oszloponként egy-egy hasáb megfelelõ adatait tartalmazza!

a)

1. 2. 3. 4. 5. 6.

b)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

alaplap oldalszáma 7 22

csúcsok száma 14 8 25 100

élek száma 21 15 18 99

lapok száma 9 9 28

7. Az ábrán látható hengerek közül válasszuk ki azt, amelyiket úgy származtathatunk, hogyaz ABCD téglalapot megforgatjuk az

a) EF középvonal egyenese körül; À£b) AB oldalegyenese körül; À£c) HG középvonal egyenese körül; À£d) AD oldalegyenese körül! À£Rajzoljuk meg a hengerekben pirossal a forgástengelyt, kékkel az ABCD téglalapot!

A B

C

E

G H

D F

1. 2. 3. 4.


A B

D CG

H

t

A

B C

D

tD

C

F

A

tD C

BAE

4

12

6 7

5 7

10 14 44

21 66

24

µ

µ

µ 26

52

78 150

52

50 33

66

35

6

12

8

4

3

1

2

A

B

C

E

FD

B


137

Hengerek, hasábok hálója, felszíne, térfogata1. Melyik lehet a négyzetben lévõ test hálója? Karikázzuk be a sorszámát!

2. Kössük össze a testeket a hálóikkal! (A hasábok minden éle ugyanolyan hosszú.) A hálókon számozzukegyformán az egymáshoz csatlakozó oldalakat!

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7.


2

66

35

4

9 94 3

2

188

177

5

1 1

4

4

2

2

778

8 9

93

5

10 11

116 6

5 3

10

4 3

25

5 1

1

23

4

3 4

55

4

22 3

11

4 57

88

7

7 7 6

6

11

4

5

3

22

3

3

3

4

4

5

5

6

6 8

8

7

9

22

11

7 9

1010

1111


TÉRGEOMETRIA

138

3. Az alábbi téglalapok henger palástok. Rajzoljuk meg a hálókat, és számítsuk ki a felszínt, ha a test

a) téglalap alapú egyenes hasáb, melynek egyik alapélének hossza 2 cm;

b) négyzet alapú egyenes hasáb;

12,56 cm

2 cm

12,56 cm

2 cm

c) egyenes körhenger!

12,56 cm

1 cm


a = 2 cm

b = 4,28 cm

c = 2 cm

a = 3,14 cm

b = 2 cm

A = 2 ¡ Ta + Tp

A = 2 ¡ 8,56 cm2 + 25,12 cm2

A = 17,12 cm2 + 25,12 cm2

A = 42,24 cm2

A = 2 ¡ Ta + Tp

A » 2 ¡ 9,86 cm2 + 25,12 cm2

A » 19,72 cm2 + 25,12 cm2

A » 44,84 cm2

A = 2 ¡ r2p + Tp

A = 8p + Tp

A » 25,12 cm2 + 12,56 cm2

A » 37,68 cm2

Tt = 2 cm ¡ 4,28 cm

Tt = 8,56 cm2

Tp = 2 cm ¡ 12,56 cm

Tp = 25,12 cm2

Tp = 2 cm ¡ 12,56 cm

Tp = 25,12 cm2

c =

b =

m =

b = 4,28 cm

a = 2 cm

Tç = 9,8596 cm2

Tç » 9,86 cm2

a = 3,14 cm

Tp = 1 cm ¡ 12,56 cm; Tp = 12,56 cm2

r = 2 cm

m = 1 cmKæ = 2 ¡ rp

= r12 562,p

r

r

O

O

Tæ = 8p

Tæ = 25,12 cm2


139

*4. Folytassuk a hálók színezését úgy, hogy az ábrán látható hasábot kapjuk belõle!

5. Mekkora a nézeteikkel adott hasábok felszíne és térfogata?

a) Deltoid alapú hasáb. b) Paralelogramma alapú hasáb.

Talap = ............................................................................................. Talap = .............................................................................................

Tpalást = .......................................................................................... Tpalást = ..........................................................................................

A = ................................................................................................... A = ...................................................................................................

V = .................................................................................................... V = ....................................................................................................

Számolás:

4 cm2 cm

3 cm

3,16 cm

1,41 cm

0,8 cm

1,5 cm

1,28 cm

a = 3,2 cm

��


4 cm2

27,42 cm2

35,42 cm2

12 cm2

2,56cm2

13,44 cm2

18,56 cm2

3,84 cm2

e = 2 cm

f = 4 cm

a = 1,41 cm

m = 3 cm

f = 4 cm

b = 3,16 cm

a = 3,2 cm b = 1,28 cm

ma = 0,8 cm m = 1,5 cm

Tp = 2(a + b) ¡ m

Tp = 2(1,41 + 3,16) ¡ 3 cm2

Tp = 9,14 ¡ 3 cm2

Tp = 27,42 cm2

Ta = a ¡ ma

Tp = 3,2 ¡ 0,8 cm2 = 2,56 cm2

Tp = 2(a + b) ¡ m

Tp = 2(3,2 + 1,28) ¡ 1,5 cm2

Tp = 13,44 cm2

A = 2 ¡ Ta + Tp

A = 2 ¡ 2,56 cm2 + 13,44 cm2

A = 18,56 cm2

V = Ta ¡ m

V = 4 ¡ 3 cm3

V = 12 cm3

V = Ta ¡ m

V = 2,56 ¡ 1,5 cm3

V = 3,84 cm3

T e fa = = cm = cm2 2⋅ ⋅

22 42

4

bma

a

m

ba

m

e f

A = 2 ¡ Ta + Tp

A = 2 ¡ 4 cm2 + 27,42 cm2

A = 35,42 cm2


TÉRGEOMETRIA

140

6. Hányszorosára változik a henger térfogata, ha

a) magasságát kétszeresére növeljük; .......................................................................................................................................................

b) alapkörének sugarát kétszeresére növeljük; ....................................................................................................................................

c) magasságát és alapkörének sugarát is kétszeresére növeljük? ...........................................................................................

Rajzoljuk le a kapott hengereket, ha az eredeti henger a négyzetben látható!

a) b) c)

8. A környezettudatos Zöld Zoltán és két szomszédja, Géza és Márton az esõvizet hordókba gyûjtik, hogya növényeket azzal locsolják.Zoltán hordójának átmérõje 60 cm, magassága 80 cm. Az egyik szomszéd, Géza hordójának átmérõje a

7. Hány gramm az ábrán látható tömör aranygyûrû tö-mege, ha 1 cm3 arany 19,3 g?

17 mm17 mm

1 mm

2 mm4 mm

4 mm

19 mm

60 cm része, magassága ugyanannyi, mint Zoltáné, a másik szomszéd, Márton hordójának az átmérõje

60 cm, magassága a 80 cm része. A hordók felül nyitott, vasból készült hengerek.

a) Számítsuk ki a három hordó térfogatát! A számolás elõtt becsüljük meg, hány liter víz fér a hordókbakülön-külön!

Becslés: Z » ................ l; G » ................ l; M » ................ l

34

34


kétszeresére

négyszeresére

nyolcszorosára

r

m

r

2m 2m

2r

2r

m

= m2

= m1

d1 =

d2 a =

a =

Ta = r12p µ r2

2pTa » (283,385 µ 226,865) mm2

Ta » 56,52 mm2

V1 = Ta ¡ m

V1 » 56,52mm2 ¡ 2 mm

V1 » 113,04 mm3

V1 » 0,113 cm3

dz = 60 cm = 6 dm

mz = 80 cm = 8 dm

Vz = r2p ¡ m

Vz = 9p ¡ 8 dm3

Vz = 72p dm3

Vz » 226,08 dm3

~226 literes Zoltán hordója.

dg = 60 ¡ cm= 45 cm = 4,5 dm

mg = 80 cm = 8 dm

Vg = r2p ¡ m

Vg = 2,252 ¡ p ¡ 8 dm3

Vg = 40,5p dm3

Vg » 127,17 dm3

~127,2 literes Géza hordója.

34

dm = 60 cm = 6 dm

mm = 80 ¡ cm = 60 cm = 6 dm

Vm = r2p ¡ m

Vm = 32 ¡ p ¡ 6 dm3

Vm = 54p dm3

Vm » 169,56 dm3

~170 literes Márton hordója.

34

V2 = a2 ¡ m2

V2 = 16 ¡ 1

V2 = 16 mm3

V2 = 0,016 cm3

V = V1 + V2 = 129,04 mm3

V » 0,129 cm3

mgyûrû lappal = 0,129 ¡ 19,3 g = 2,4897 g » 2,5 g

gyûrû lap

Válasz: a gyûrû tömege 2,5 g.

240 120 180


141

9. A kínai nagy fal (Kr. e. 3. század) a leírások szerint trapéz kereszt-metszetû. Hossza az egyik adat szerint 6352 km. A ma láthatófalszakaszok a XIV. és XVII. század között épültek. Egyes forrásokszerint a fal 42%-a már megsemmisült. Mekkora térfogatú volta fal eredetileg és hány m3 hiányzik jelenleg a falból?

10. A pekingi olimpiai aranyérmet a Kínai Központi Képzõmûvészeti Fõiskola mûvészei tervezték, 265 pályázatközül választották ki. Az érme vastagsága 6 mm, átmérõje 7 cm, sûrûsége 10,086 . Az olimpiára 1000darabot gyártottak.

g

cm3

8 m

6,4 m

12 m

b) Számoljuk ki, hogy a felül nyitott hordók hány m2 vasból készültek!

a) Hány kilogramm aranyérmet készítettek az olimpiára?

b) Hány kilogramm aranyérmet nyert Kína (51 aranyérem), az Amerikai Egyesült Államok (36 aranyérem) ésMagyarország (3 aranyérem)?

c) Mekkora tömegû Michael Phelps úszó olimpiai éremgyûjteménye, aki 8 számban gyõzött Pekingben?


rz = 3 dm

mz = 8 dm

Az = (9p + 48p) dm2

Az = 57p dm2

Az » 178,98 dm2

Az » 1,79 m2

Zoltán hordójához ~1,8 m2

vaslemez kellett.

rg = 2,25 dm

mg = 8 dm

Ag = (5,06p + 36p) dm2

Ag = 41,06p dm2

Ag » 128,92 dm2

Ag » 1,29 m2

Gábor hordója ~1,3 m2

vaslemezbõl készült.

rm = 3 dm

mm = 6 dm

Am = (9p + 36p) dm2

Am = 45p dm2

Am » 141,3 dm2

Am » 1,41 m2

Márton hordójához ~1,4 m2

lemez kellett.

a =

c =

m =

V =

V = ¡ 12 ¡ 6 352 000 m3

V = 86,4 ¡ 6 325 000 m3

V = 546 480 000 m3 az eredeti térfogat.

Vhiányzó = 546 480 000 m3 ¡ 0,42

Vhiányzó = 229 521 600 m3 a megsemmisült fal.

8 6 42

+ ,

a +c m M2

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

M = 6352 km = 6 352 000 m

1 érme tömege:

mérme = r2p ¡ M ¡ rmérme = 3,52p ¡ 0,6 cm3 ¡ 10,086

mérme = 23,079 ¡ 10,086 g

mérme » 232,77 g

mérme » 232,8 g

gcm3

a) 1000 ¡ mérme = 232,8 kg

Az olimpiára 232,8 kg aranyérmet készítettek.

b) Kína 51 ¡ mérme » 11,87 kg

USA 36 ¡ mérme » 8,38 kg aranyérmet nyert.

M.o. 3 ¡ mérme » 0,7 kg

c) 8 ¡ mérme » 1,86 kg Michael Phelps úszó

aranyérmeinek tömege.

r = 3,5 cm M = 0,6 cm r = 10,086g

cm3

M


142

alap

kitevõ2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 9 16 25 36 49 64 81

3 8 27 64 125 216 343 512 729

4 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561

5 32 243 1024 3125 7776 16 807 32 768 59 049

6 64 729 4096 15 625 46 656 117 649 262 144 531 441

7 128 2187 16 384 78 125 279 936 823 543 2 097 152 4 782 969

8 256 6561 65 536 390 625 1 679 616 5 764 801 16 777 216 43 046 721

9 512 19 683 262 144 1 953 125 10 077 696 40 353 607 134 217 728 387 420 489

10 1024 59 049 1 048 576 9 765 625 60 466 176 282 475 249 1 073 741 824 3 486 784 401

A 2, 3, ..., 9 számok elsõ tíz pozitív egész kitevõs hatványa

A 4000-nél kisebb prímszámok 0002, 0003, 0005, 0007, 0011, 0013, 0017, 0019, 0023, 0029, 0031, 0037, 0041, 0043, 0047, 0053,0059, 0061, 0067, 0071, 0073, 0079, 0083, 0089, 0097, 0101, 0103, 0107, 0109, 0113, 0127, 0131,0137, 0139, 0149, 0151, 0157, 0163, 0167, 0173, 0179, 0181, 0191, 0193, 0197, 0199, 0211, 0223,0227, 0229, 0233, 0239, 0241, 0251, 0257, 0263, 0269, 0271, 0277, 0281, 0283, 0293, 0307, 0311,0313, 0317, 0331, 0337, 0347, 0349, 0353, 0359, 0367, 0373, 0379, 0383, 0389, 0397, 0401, 0409,0419, 0421, 0431, 0433, 0439, 0443, 0449, 0457, 0461, 0463, 0467, 0479, 0487, 0491, 0499, 0503,0509, 0521, 0523, 0541, 0547, 0557, 0563, 0569, 0571, 0577, 0587, 0593, 0599, 0601, 0607, 0613,0617, 0619, 0631, 0641, 0643, 0647, 0653, 0659, 0661, 0673, 0677, 0683, 0691, 0701, 0709, 0719,0727, 0733, 0739, 0743, 0751, 0757, 0761, 0769, 0773, 0787, 0797, 0809, 0811, 0821, 0823, 0827,0829, 0839, 0853, 0857, 0859, 0863, 0877, 0881, 0883, 0887, 0907, 0911, 0919, 0929, 0937, 0941,0947, 0953, 0967, 0971, 0977, 0983, 0991, 0997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049,1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163,1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283,1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423,1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511,1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619,1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747,1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877,1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003,2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129,2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267,2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377,2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503,2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657,2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741,2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861,2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011,3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167,3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301,3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413,3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541,3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671,3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797,3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923,3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 0000, 0000, 0000, 0000, 0000, 0000, 0000, 0000, 0000, 0000,


TARTALOM

Ismétlés ............................................................................................................................................................................................................... 3

1. Természetes számok, racionális számok

A racionális számok alakjai ................................................................................................................................................................. 4

Mûveletek racionális számokkal ...................................................................................................................................................... 6

Arányos következtetések ....................................................................................................................................................................... 9

Százalékszámítás ........................................................................................................................................................................................ 13

A hatványozás ................................................................................................................................................................................................ 17

Mûveletek azonos alapú hatványokkal ...................................................................................................................................... 20

Mûveletek azonos kitevõjû hatványokkal ................................................................................................................................. 21

Prímszámvadászat ..................................................................................................................................................................................... 22

Nagyon nagy számok .............................................................................................................................................................................. 25

2. Algebrai kifejezések

Az algebrai kifejezés ................................................................................................................................................................................. 26

Behelyettesítés .............................................................................................................................................................................................. 28

Mûveleti sorrend ........................................................................................................................................................................................... 31

Egytagú és többtagú algebrai kifejezések .............................................................................................................................. 33

Az összevonás ............................................................................................................................................................................................... 35

Egytagú algebrai kifejezések szorzása, osztása ................................................................................................................ 37

Kéttagú algebrai kifejezés szorzása egytagúval ................................................................................................................. 40

Kiemelés ............................................................................................................................................................................................................. 42

3. Egyenletek, egyenlõtlenségek

Hogyan oldjunk meg feladatokat? Emlékeztetõ. ............................................................................................................... 43

Hogyan születnek az egyenletek? ................................................................................................................................................. 45

A mérlegelv I. .................................................................................................................................................................................................. 47

A mérlegelv II. ................................................................................................................................................................................................. 50

Amit nem szabad elfelejteni: az egyenlet alaphalmaza ................................................................................................ 52

Mikor érdemes egyenletet használni? ........................................................................................................................................ 54

Egyenlõtlenségek ........................................................................................................................................................................................ 55

4. Síkgeometria I.

Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria ............................................................................................................. 57

Középpontos tükörképek szerkesztése ..................................................................................................................................... 59

Szögpárok, a háromszög belsõ szögeinek összege ...................................................................................................... 62

Középpontosan szimmetrikus négyszög: a paralelogramma .................................................................................. 64

A trapézok ......................................................................................................................................................................................................... 67

A paralelogramma, a trapéz, a háromszög középvonala ............................................................................................ 69


Kiadja a Mozaik Kiadó, 6723 Szeged, Debreceni u. 3/B. • Tel.: (62) 470-101, 554-666Drótposta: [email protected] • Honlap: www.mozaik.info.hu

Felelôs kiadó: Török Zoltán • Grafikus: Deák Ferenc • Mûszaki szerkesztô: Becsei György, Kovács AttilaKészült a Dürer Nyomda Kft.-ben, Gyulán • Felelôs vezetô: Kovács János

Terjedelem: 18,54 (A/5) ív • Tömeg: 454 g • 2012. január • Raktári szám: MS-2317

5. Halmazok, kombinatorikaHalmazok, részhalmazok ...................................................................................................................................................................... 71

Komplementer halmaz ............................................................................................................................................................................ 72

Halmazok metszete és egyesítése ................................................................................................................................................ 74

Hány eleme van a halmazoknak? .................................................................................................................................................. 76

Rendszerezzük a lehetõségeket! .................................................................................................................................................... 78

Hányféle sorrend lehetséges? .......................................................................................................................................................... 81

Kapcsolatok ..................................................................................................................................................................................................... 84

6. Lineáris függvények, sorozatokSorozatok ........................................................................................................................................................................................................... 102

7. Síkgeometria II.A háromszögek szerkesztése, egybevágósága ................................................................................................................. 104

A háromszög köré írt kör ....................................................................................................................................................................... 107

A háromszög belsõ szögfelezõi, a beírható köre (kiegészítõ anyag) ................................................................ 109

Magasságvonal, súlyvonal ................................................................................................................................................................... 110

A háromszög szögeivel kapcsolatos összefüggések ..................................................................................................... 113

Sokszögek ........................................................................................................................................................................................................ 115

A háromszögek területe ......................................................................................................................................................................... 117

A négyszögek területe ............................................................................................................................................................................. 120

Kör kerülete, területe ................................................................................................................................................................................. 123

8. Statisztika, valószínûség

Adatok elemzése, átlag, medián ..................................................................................................................................................... 126

Módusz, relatív gyakoriság .................................................................................................................................................................. 128

A valószínûség becslése ....................................................................................................................................................................... 130

9. TérgeometriaEgyenesek, síkok, testek a térben ................................................................................................................................................. 133

Henger, hasáb ................................................................................................................................................................................................ 135

Hengerek, hasábok hálója, felszíne, térfogata ..................................................................................................................... 137


M


sokszínû munkafüzet 7 - mozaik kiadó · Ötödik, változatlan kiadás mozaik kiadó szeged,...

Documents