soksz n matek munkaf zet 010450

Harmadik, vltozatlan kiads

Mozaik Kiad Szeged, 2012

8s o k s z n

munkafzet

Konfr LszlKozmn Jakab gnesPintr Klra

Ms-2318_matek8_mf_2011.qxd 2012.01.17. 12:11 Page 1Ms-2318_matek8_mf_2010.qxd 2010.07.08. 9:58 Page 1

Szerzk:

KONFR LSZLltalnos iskolai szakvezet tanr

KOZMN JAKAB GNESltalnos iskolai szakvezet tanr

PINTR KLRAfiskolai adjunktus

Brl:

KOTHENCZ JNOSNltalnos iskolai tanr

Felels szerkeszt:TTH KATALIN

Kirendelt szakrtk:DR. AMBRUS ANDRS

KATONA ISTVNTARIN SZENTES MRIA KATALIN

ZARUBAY ATTILA

Minden jog fenntartva, belertve a sokszorosts, a m bvtett, illetve rvidtett vltozata kiadsnak jogt is. A kiad rsbeli hozzjrulsa nlkl sem a teljes m,

sem annak rsze semmifle formban nem sokszorosthat.

KERETTANTERV:MOZAIK Kerettantervrendszer 17/2004 (V. 20.)

OM Kerettanterv 17/2004 (V. 20.) 3. sz. mellklet

ISBN 978 963 697 617 0Megoldsktet: ISBN 978 963 697 635 4

ENGEDLYSZM: KHF/677-29/2010

MOZAIK KIAD, 2009

Ms-2318_matek8_mf_2011.qxd 2012.01.17. 12:14 Page 2Ms-2318_matek8_mf_2010.qxd 2010.07.08. 9:58 Page 2

31. Tltsk ki a tott! Tippeljk meg, hogy a megadott szm az 1, 2 vagy x oszlopban ll szmmal egyenl!

2. rjuk fel a szorzatokat prmtnyezk segtsgvel pn alakban (p prm)!

a) 8 4 = .................................................... 25 22 = ................................................ 27 24 = ................................................

b) 35 33 = ................................................ 37 33 = ................................................ 94 36 = ................................................

c) 56 252 = ............................................. 255 57 = ............................................. 494 343 = ..........................................

3. rjuk fel a hnyadosokat hatvny alakban! Soronknt hzzuk al az eltr eredmnyeket!

a) 8 4 = .................................................... 25 22 = ................................................ 27 24 = ................................................

b) 35 33 = ................................................ 37 33 = ................................................ 94 36 = ................................................

c) 57 252 = ............................................. 255 57 = ............................................. 104 24 = .............................................

4. rjuk fel a hatvnyok hatvnyait an alakban (esetleg tbbflekppen is)!

a) (23)4 = .................................................... (42)3 = .................................................... (53)2 = ....................................................

b) (106)2 = ................................................. (103)6 = ................................................. 532

= ........................................................

Hatvnyozs

ISMTLS

Szmok 1 2 X Tipp

1. 23 2 2 2 2 + 2 + 2 2 3

2. 43 444 64 12

3. a 102 s 103 hatvnyok sszege 1100 100 000 1 000 000

4. a 102 s 103 hatvnyok szorzata 1100 100 000 1 000 000

5. a 2 52 szorzat 20 50 100

6. a (2 5)2 hatvny 20 50 100

7. a (23)4 hatvny 27 212 64

8. (1)3 (1) (1) (1) 111 3 (1)

9. (1)4 4 1 1

10. (1)2009 2009 1 1

11. 20091 0 1 2009

12.

13. 50 0 1 5

+1 (1)0 1 0 1

tmutat a munkafzet hasznlathozA munkafzet tmakrei a tanknyvnek megfelel sorrendben kvetik egymst. Az egymsra pl feladatokj gyakorlsi lehetsget biztostanak, gy segtik a tananyag megrtst s elmlytst. A gondolkodtatbbfeladatokat *-gal jelltk, ezek megoldshoz j tletekre van szksg.

34

2 3

4

2

234

2 94

Ms-2318_matek8_mf_2010.qxd 2010.07.08. 9:54 Page 3

1

2

1

2

2

X

2

1

X

2

X

2

X

1

23 22 = 23+2 = 25

38 310

27 211

56 (52)2 = 56 54 = 510 (52)5 57 = 510 57 = 517 (72)4 73 = 76 73 = 79

(32)4 36 = 38 36 = 314

23 22 = 2 23 23

32 34 (32)4 36 = 38 36 = 32

57 (52)2 = 57 54 = 53 (52)5 57 = 510 57 = 53 54 24 24 = 54

84 = 234 = 212

1062 = 1012 = 1006 1036 = 10006 = 1018 533 = 59 = (53)3 = 1253

46 = (22)6 = 212 56 = (52)3 = 253 = 1252


4ALGEBRA

5. Ptoljuk a hinyz rszeket, ha a virg kzepben a szemkzti szirmokban ll szmok szorzata ll!

6. Ptoljuk a hinyz alapot vagy kitevt!

a) 23 2 = 29 102 105 = 10 34 2 = 36

b) 5 53 = 54 109 103 = 10 76 7 = 7

*c) 44 83 = 17 103 105 = 100 34 2 = 38

*d) 109 103 = 100 6 92 = 9 165 322 = 5

7. Tltsk ki a bvs ngyzetet gy, hogy a szmok szorzata minden sorban, oszlopban s tlban azonos legyen!

a) b) *c)

10 000

10

2

32

16 512

38

31 35 39

1024 3125szz-ezer

23 33 1

162 32

252

10282 92 53 23

33 55

8. rjuk fel a normlalakban megadott szmok tzes szmrendszerbeli alakjt!

6 103 = ................................................... 1,2 104 = ............................................... 2,34 106 = ............................................

4,567 102 = .......................................... 3,07 106 = ............................................ 4,007 103 = ..........................................

9. rjuk fel a szmokat normlalakban!

a) 1 200 000 = ................................................................................ 234 000 = .....................................................................................

45,67 = .......................................................................................... 100 456,7 = .............................................................................

b) 10 456,7 103 = .................................................................... 25 54 = ........................................................................................

25 56 = ........................................................................................ 43 75 = .......................................................................................

11000

1100


110

24 22

27 553428 26

32 34 52 22 55

5

54 25

103

1024 = 210

82 = (23)2 = 26

162 = (24)2 = 28

33 33 = 36 = 729

92 = (32)2 = 34

36 32 = 34

3125 = 55

252 = (52)2 = 54

55 53 = 52

100 000 = 105 = 25 55

25 55 23 = 22 55

25 55 55 = 25

6

7

23

7

6

4

3

3

9

4

5

(22)4 (23)3 = 28 29 = 217

106 = (102)3 = 1003108 = (102)4 = 1004

92 9 = 93 = (32)3 = 3638 34 = 34 = (32)2 = 92

(24)5 (25)2 = 220 210 = 210 =

= (22)5 = 45

33 34 256 = 28

8 = 23

64 = 26

128 = 27

4 = 22

= 21

= 25

= 29= 24 = 1023736 32

31 35 39 = 315 21 25 29 = 215 102 101 104 = 103

= 103

= 104

= 101

1

= 100

100 000

= 105

1000

= 103100

= 102

= 101

6 000 12 000 2 340 000

456,7 3 070 000 4 007

1,2 106

4,567 101

10 4,567 102 103 = 4,567 106

2,34 105

25 55 5 = 5 105

102 4,567 102 = 4,567 104

2 24 54 = 2 104

(22)3 3 52 = 26 3 52 = 24 3 102 =

= 16 3 102 = 48 102 = 4,8 103

729


51. rjuk a tblzatba az algebrai kifejezsek egytthatjt!

2. Kssk ssze az els sorban ll szmokat azokkal a msodik sorban ll algebrai kifejezsekkel, amelyekegytthatja egyenl az adott szmmal! Karikzzuk be a kakukktojst!

3. Karikzzuk be azonos mdon az egynem algebrai kifejezseket!

a) 3a 2a2 2b2 4a 2a3 2a3 3a3 2b3 6a b 5a2 3b2

b) 3x x2 2x2 x 2x2 3x 2 3x2 3x 2 6x2 1,5x 10x2 x x2

4. Az egytag algebrai kifejezsekhez rjunk E, a tbbtagakhoz T bett a csszbe! A tnyrra rjuk a helyette-stsi rtket, ha x = 4!

5. a) Kt termszetes szm sszege 36. Tltsk ki a tblzat hinyz rszeit!

b) Kt szm klnbsge 36. Tltsk ki a tblzatot!

c) Ha a kt termszetes szm szorzata 36 s az egyik tnyezje n, akkor a msik tnyezje: ..............................

d) Kt pozitv egsz szm hnyadosa 36.

Ha az osztand a, akkor az oszt ...........................................................................................................................................................

Ha az oszt b, akkor az osztand ...........................................................................................................................................................

Kisebbtend 48 5 a

Kivonand 18 3,6 b

Az egyik szm 1 5 7 n

A msik szm 12 0

3x4

x34

Algebrai kifejezsek (Emlkeztet)

1. ALGEBRA

Algebraikifejezs 3a 2ab b 5x

2 1,3y 0,4x2y34

5a 3a 2b23c 4

0 5c,

x3

Egytthat

2x3 2a 3b a 2b 6c x3y2 0,4x2y 5x240 5

c,

a34

5

8 0,75 6 0,4 2 12 10 1


3 2 1 5 1,3 6 10,434

23

40 5

8,

=

E E E ET

T T E ET

3 3 3 3 3

17 5 4 7 16

35

12 31 a 36

31

24 36

36 n29

54 39,6 36 + b

36 n = n 036n

a 36 = a36

36 b


6ALGEBRA

6. Tltsk ki a bvs ngyzeteket! Elszr adjuk meg a bvs ngyzetek kulcst, amely a minden sorban,oszlopban, tlban a bert algebrai kifejezsek

a) sszege; b) szorzata!

7. Tltsk ki a tott! Tippeljnk arra, hogy a megadott algebrai kifejezs az 1, 2, vagy x oszlopban ll kifeje-zssel egyenl, vagy igazz teszi az lltst!

Algebrai kifejezs 1 2 X Tipp

1. 3y y + y + y 3y y3

2. 3y2 y6 6y y2 + y2 + y2

3. 3y s az y klnbsge 3 2y y2

4. 3y s a 3 klnbsge y 0 3y 3

5. 3y s a 2y algebrai kifejezsek sszege 5y 6y 6y2

6. 3y s a 2y algebrai kifejezsek szorzata 5y 6y 6y2

7. 3y s a 2y algebrai kifejezsek klnbsge y 1 0

8. 3y + y2 algebrai kifejezs helyettestsi rtke, ha y = 2 10 36 64

9. 3y2 + y algebrai kifejezs helyettestsi rtke, ha y = 2 14 18 38

10. 2a3 kifejezssel egynem 2a 2a2 a3 4

11. 3y2 s a 2y algebrai kifejezsek szorzata 5y3 6y3 6y9

12. 3ab2 s a 2a algebrai kifejezsek szorzata 6ab2 5a2b2 6a2b2

13. amivel meg kell szorozni 3ab2-t, hogy 6a2b2-t kapjunk 2 2a 2ab

+1 (3ab)2 3ab2 6a2b2 9a2b2

12a3

36a3 6a2 a

a2 + 3a

3a

3a a2 a2 + 3a+2

8. sszevonssal rjuk fel egyszerbb alakban! Szmoljuk ki az egyszerbb alakbl a helyettestsi rtket, hax = 2!

a) 2x + 3 3x + 4 x + 4x 5 + 3x 3 + 5x + 7 8x = ......................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

b) 2x2 + 3 3x + 4 x2 + 4x 5 + 3x2 3 + 5x2 + 7 8x2 = ............................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

c) 4x + 3x2 5x3 5 + 5x + 5x3 x3 + x2 8x + 2x2 + 7 5x2 = ....................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

................ ................


1

X

2

X

1

X

1

1

1

X

2

2

X

X

3a + 2 a2 + 3a 2

a2 + 3a + 2a2 + 3a 2

3a 2

9a 216a6

2 a2 9 a

3 a 4 a3 18 a2

2x + 6

2 (2) + 6 = 4 + 6 = 2

(2)2 + (2) + 6 = 4 2 + 6 = 8

(2)3 + (2)2 + (2) + 2 = 8 + 4 2 + 2 = 12

x2 + x + 6

x3 + x2 + x + 2


7Hogyan oldunk meg egyenleteket, egyenltlensgeket? (Emlkeztet)1. Az albbi sszefggsekbl fejezzk ki az egyes mennyisgeket!

a) T = a b a = b =

b) K = 2a + 2b a = b =

c) an = a1 + (n 1) d a1 = d = n =

2. Az adott sszefggsbl fejezzk ki az egyes betket!

a) b = c =

b) b = c =

c) (ha c 0) b = c = *d) (ha a 0; b 0; c 0) a = c =

3. Oldjuk meg az egyenletet az adott utastsok alapjn!

Egyszerstsnk!

Hozzunk kzs nevezre!

Szorozzunk meg minden tagot a kzs nevezvel!

Bontsuk fel a zrjelet!

Vgezzk el az sszevonsokat!

Alkalmazzuk a mrlegelv lpseit!

x = ...........................

Ellenrizznk! Helyettestsk be a kapott szmot az egyenlet mindkt oldalba!

bal oldal: jobb oldal:

Hasonltsuk ssze a kapott helyettestsi rtkeket! bal oldal .............. jobb oldal

Adjuk meg az egyenlet gykt, ha az alaphalmaz

a) a termszetes szmok halmaza: b) a negatv szmok halmaza: c) a racionlis szmok halmaza:

..................................................................... ..................................................................... .....................................................................

x xx

2+

+= +

3 715

2( )

1a

+ =1 1b c

a = +bc1

a = +bc2

a =+b c2


ha a 0, b 0

ha d 0,n 1

T b = Tb

T a = Ta

an (n 1) d (an a1) (n 1) (an a1) d + 1

K K a2

a2

2= (K 2a) 2 = a

K2

dnn=

a a

1

1n

dn=

a a+1 1

2a c

a c2

a 1c

2a b

(a b) 2

ha a b 0, a b1a b

cb (b c) ha b c 0 ab (a + b) ha a + b 0

a bc

=1

cb

=1

a

c(a b) = 1

c) d) d)/ c1 1 1a

=c b

bb c

+aa =

1

cb

b

+aa

=1

cbb

=aa+

cb

b

bb

1 1+aa

a+a

=

1a

=

b cc b

1=a

b cc b

a

= =1 1

b cc b

c bb c

x xx

27

52+

+= +

510

2 710

10 210

x x x+

+=

+( ) ( )

5x + 2(x + 7) = 10(x + 2)

5x + 2x + 14 = 10x + 20

7x + 14 = 10x + 20

14x = 3x + 20

6 = 3x

2

7x

20

3

2 + 2 = 0

=

nincs gyke 2 2

22

3 2 715

1 1 0++

= + =( )


8ALGEBRA

4. Oldjuk meg az egyenletet, ha az alaphalmaz a racionlis szmok halmaza (A = Q)!7(3 a) + 4a 4(2a 8) = 2 3(a + 3) Ellenrzs:

bal oldal:

jobb oldal:

bal oldal .............. jobb oldal

5. Oldjuk meg az egyenltlensget, ha az alaphalmaz a racionlis szmok halmaza! rjuk be a hinyz utast-sokat!

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

Egyszerstsnk!

brzoljuk szmegyenesen az egyenltlensg gykeit! Sznezzk a szmegyenesnek azt a rszt, amelyena megoldsok tallhatk!

rjuk be a szmokat a halmazbra megfelel rszbe! (A = alaphalmaz; M = megoldshalmaz)

3; 2; 1; 0; 1;

; ; ; ; 1,6134

23

34

32

3 23

2 2xx

x + ( )

A

M


21 7a + 4a 8a + 32 = 2 3a 953 11a = 11 3a / 11a

53 = 11 + 8a / + 1164 = 8a / 8

8 = a

=

7(3 8) + 4 8 4(2 8 8) = 7(5) + 32 32 = 35

2 3(8 + 3) = 2 3 11 = 2 33 = 35

Bontsuk fel a zrjelet!

Szorozzunk a (kzs) nevezvel (3-mal)!

Vonjuk ssze az egynem kifejezseket!

Az albbiakban alkalmazzuk a mrlegelvet!

9x 6 + x 6x 12

10x 6 6x 12

3 23

2 4xx

x +

6x

4x 6 12+ 6

4x 6 4

x 64

x 32

2 1 0 1

3

2

1,6

10

1

134

34

23

32


96. Oldjuk meg az egyenltlensget! A megoldshalmazt brzoljuk szmegyenesen!

A legnagyobb szm, amelyre nem teljesl az

egyenltlensg: xmax = ...............................................

A megoldshalmaz brzolsa szmegyenesen:

Az egyenltlensg .......................................................................................................................................................... szmokra teljesl.

x xx

x

23

3 14

27 2

6+ x2 4x + 4

x2 + 4x + 4 = x2 4x + 4 +800 / x2 4

4x = 4x + 800 / + 4x

8x = 800 / 4

x = 100

800 m2-rel

x

2

TS = (x + 2)2 x + 2

x 2

1022 = 10404982 = 9604

800

a2 ab ab

b2


13

sszeg s klnbsg szorzata (Kiegszt anyag)

1. rjuk a ngyzet tdarabolshoz a kipontozott helyre a megfelel kifejezseket!

2. Kssk ssze a szrke mezben ll algebrai kifejezssel a vele egyenl algebrai kifejezseket!

3. Tltsk ki a tblzatot szorzat s sszeg alakban is!

a) b)

4. Kssk ssze az egyenl algebrai kifejezseket! Hzzuk t a kakukktojsokat!

+b a b a

a + b

a b

x + 1 x 1

x + 1

x 1

5. Szmoljunk a plda alapjn: 17 23 = = 391!

69 71 = ............................................................................................ 43 37 = ............................................................................................

55 65 = ............................................................................................ 57 43 = ............................................................................................

96 104 = ......................................................................................... 2002 1998 = .................................................................................

(20 3)(20 + 3) = 202 32 = 400 9

a

a

b

b.... .....

.... .....

.... .....

.... .....

.... .....

.... .....

.... .....

.... .....

.... .....

.... ..... .... .....

a 2 2b (.... .................. ......................) ( )

a a

b b

a

4a2 + 2ab b2 2ab (4a + b)(4a b)

(2a b)(b + 2a)

4a2 b2

(b + 2a)(2a b)

(2a b)2

(4a + b)2

(4a b)2

(2a)2 2ab + 2ab b2

x2 25 x2 16 x2 81 x2 49 25 x2 49 x2 36 x2

(4 + x)(4 x)

(x + 5)(x 5)

(x + 7)(x 7)

(x 9)(x + 9)

(7 x)(7 + x)

(x + 6)(6 x)

(5 + x)(5 x)


b2 b b(a b)

a ba b

a b

a + b

a b

a b

a b a(a b) a(a b)

b(a

b)

a b a + ba(a b) + b(a b)

(70 1)(70 + 1) = 4900 1 = 4899 (40 + 3)(40 3) = 1600 9 = 1591

(60 5)(60 + 5) = 3600 25 = 3575 (50 + 7)(50 7) = 2500 49 = 2451

(100 4)(100 + 4) = 10000 16 = 9984 (2000 + 2)(2000 2) = 4 000 000 4 =

= 3 999 996

(x + 1)(x + 1) =

= x2 + 2x + 1

(x 1)(x + 1) =

= x2 1

(x + 1)(x 1) =

= x2 1

(x 1)(x 1) =

= x2 2x + 1

(a + b)(b a) =

= (a + b)2 =

= a2 2ab + b2

(a b)(b a) =

= a2 + 2ab b2(a b)(b a) =

= a2 + b2

(a+ b)(b a) =

= (a+b)(ab)=

= a2 b2

4a2 b2

2ab + 4a2 b2 2ab

4a2 4ab + b2

16a2 + 8ab + b2

16a2 + 4ab 4ab b2 = 16a2 b2

2ab + 4a2 b2 2ab = 4a2 b2

16a2 8ab + b2

= 4a2 b2


14

ALGEBRA

2. Vgezznk sszevonst, majd kiemelst!

a)

K = a + a + b + b = .................................................................... = .....................................................................

A = 2Talap + Tpalst = .................................................................... = .....................................................................

A = a2 + a2 + ab + ab + ab + ab = .................................................................... = .....................................................................

Kiemels, szorzatt alakts

1. Hzzuk al azonos sznekkel azokat a betket, amelyek tbb szban is szerepelnek! A sznekkel kiemeltbetket rjuk be ugyanazzal a sznnel a tblzatba, s azt is, hogy hny szban szerepelnek!

a) {Petfi, Arany, Karinthy}

b) Mg nylnak a vlgyben a kerti virgok

c) Feketn blingat az eperfa lombja

d) Nem mondhatom el senkinek,

Elmondom ht mindenkinek.

kzs betk hny szban szerepel

a)t 2

b)

c)

d)m 4

a

a

b

b

a

a

b

b

a

a

b

b

aa

b

.... .....

.... .....

b

a

a

a

.... .....

.... .....

r

a

2rp

a

2rpr

r

.... .....

. ... ............... ..

.... .....

a

r

b)

c)


a i r n y

yg n a v l

ke

ef t n

lk t i

b l

n e o d h

a

r i

2 2 2 2 2

23 2 3

32 2 2

2 2

22

3

2 2

22 2 2

2 2

5 5 2 3 2

2a + 2b 2 (a + b)

a + 2b

2aab

a2

2a2 + 4ab 2a (a + 2b)

2rp ar + a

r2p

2r2p + 2rp a 2rp (r + a)


15

3. a) Az sszefggs annak a Q hmennyisgnek a ki-szmtst mutatja, amely adott m tmeg jgvzgzz alaktshoz szksges (c1 a jg, c2 avz, c3 a vzgz fajhje, Lo a jg olvadshje, Lf avz forrshje).

Mit tudunk kiemelni? Vgezzk el a kiemelst!

Q = c1 m DT1 + Lo m + c2 m DT2 + Lf m + c3 m DT3 = ...................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

b) Egy replgpmodell v = 24 km/h sebessggel repl. Elszr t1 = 10 percig, majd t2 = 1/4 rn t, vglt3 = 20 percen keresztl gyakorlatozott vele a ksztje. Hny kilomtert tett meg ezalatt a modell, hamindig azonos volt a sebessge?

A modell tja kplettel: ..................................................................................................................................................................................

A modell ....................... kilomtert replt.

4. A lehetsges kiemelsek elvgzsvel rjuk fel az sszegeket szorzat alakban!

a) 9a 6 = ....................................................................................... b) 7 21a = ....................................................................................

c) 2b + 5ab = ................................................................................. d) 3ab + b2 = ..................................................................................

e) 2ac 3bc + c2 = ................................................................... f) 2ac 4bc + 6c2 = ................................................................

g) 5d3 2d2 = ............................................................................... h) 4d2 3d3 = ...............................................................................

i) e3 + e2 + e = ............................................................................ j) 3e + 12e2 + 6e3 = .................................................................

*5. A tagok megfelel csoportostsval rjuk fel szorzat alakban az sszegeket!

a) x2 + 3x + 4x + 12 = .......................................................................................................................................................................................

b) x2 + 3x + 5x + 15 = .......................................................................................................................................................................................

c) x2 + 7x 5x 35 = .......................................................................................................................................................................................

d) x2 + 9x + 18 = ...................................................................................................................................................................................................

6. Szorzatt alakts utn egyszerstsk az algebrai kifejezseket, ha x 0; x 3!a) = b) =

c) = d) =

7. Bandi nem tanulta meg a szorzatt alaktst, ezrt egyest kapott. Miutn felkszlt s ptolta a hinyoss-gait, apukjnak az albbi mdon bizonytotta, hogy azt az egyest kettesnek is tekinthetik:Tegyk fel, hogy a = b / a

a2 = ab / b2

a2 b2 = ab b2 / szorzatt alakts(a b)(a + b) = b(a b) / (a b)

a + b = b / ha a = b = 12 = 1.

Hol kvette el Bandi a hibt? ................................................................ Hiba: ..............................................................................................

x

x x2 3+

x

x x

+

+

3

32

12 43

++

xx

3 93

xx

++

h mrsklet ( ) C

E (J)0 C

100 C

c m T3 3D

c m2 2D T

c m1 1DT

L mo

L mf

(x2 + 3x) + (4x + 12) = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4)


xxx (x + 3)

=+1

3

= m (c1 DT1 + Lo + c2 DT2 + Lf + c3 DT3)

t1 = 10 perc = h16

s1 = v t1

s2 = v t2

s3 = v t3

t2 = h14

t3 = 20 perc = h13

s1 = 24 h = 4 km16

kmh

s2 = 24 h = 6 km14

kmh

s3 = 24 h = 8 km13

kmh

s = s1 + s2 + s3 = v t1 + v t2 + v t3 = v (t1 + t2 + t3)

18

3 (3a 2) 7 (1 3a)

b (2 + 5a) b (3a + b)

c (2a 3b + c) 2c (a 2b + 3c)

d2 (5d 2) d2 (4 3d)

e (e2 + e + 1) 3e (1 + 4e + 2e2)

Bandi nullval osztott.A 4. sorban.

ha a = b, akkor a b = 0.

(x2 + 3x) + (5x + 15) = x(x + 3) + 5(x + 3) = (x + 3)(x + 5)

(x2 + 7x) (5x + 35) = x(x + 7) 5(x + 7) = (x + 7)(x 5)

(x2 + 3x) + (6x + 18) = x(x + 3) + 6(x + 3) = (x + 3)(x + 6)

3(x + 3)

x + 3= 3

x + 3

+=

x x x( )31

4 12 4 3

34

x x

x+

x + 3=

+

+=

( )

( )

241 1

413

18kmh 6

+ + h = km s =


SZVEGES FELADATOK

16

Egyenletek alkalmazsa feladatmegoldsban (Emlkeztet)

1. Ptoljuk a hinyz szmokat! Palcsi sszes pnze a kt zsebben van.

a) Ha a jobb zsebembl 24 fabatkt ttennk a bal zsebembe, akkor mindktzsebemben ugyanannyi pnzem lenne szlt Palcsi Karcsihoz.

Akkor a jobb zsebedben ..................... fabatkval van tbb, mint a bal zsebed-ben vlaszolta Karcsi.

b) sszesen 100 fabatkm van. Ha a jobb zsebembl 24 fabatkt ttennka bal zsebembe, akkor mindkt zsebemben ugyanannyi pnzem lenne szlt Palcsi Karcsihoz.

A pnz tttele utn ..................... fabatka lenne Palcsi mindkt zsebben.

Akkor a jobb zsebedben ....................., a balban ..................... fabatka van vla-szolta Karcsi.

c) sszesen 100 fabatkm van, a jobb zsebemben 24-gyel tbb, mint a balzsebemben szlt Palcsi Karcsihoz.

Akkor a jobb zsebedbl ..................... fabatkt kell ttenni a balba, hogymindkt zsebedben ugyanannyi pnzed legyen vlaszolta Karcsi.

Eredetileg Palcsi jobb zsebben ...................., a balban .................... fabatka van.

2. a) Hny kilogramm egy tgla, ha a tmege 3 kg s mg egy fl tgla? Rajzoljunk!

Egy tgla ....................... kg.

b) Hny kilogramm egy tgla, ha fl kilogramm s mg egy fl tgla tmege 2,5 kg? Rajzoljunk!

Egy tgla ....................... kg.

3. Ha Palcsinak ktszer annyi fabatkja van, mint Karcsinak, s Karcsinak kettvel kevesebb fabatkja van,mint Palcsinak, akkor hny fabatkjuk van kln-kln? Egsztsk ki a rajzot!

Palcsinak .................... fabatkja, Karcsinak .................... fabatkja van.

4. Julcsi 13 ves, 12 vvel idsebb, mint Panni. Hny vesek lesznek, amikor Julcsi htszer, tszr, ngyszer,hromszor, ktszer annyi ids lesz, mint Panni? Foglaljuk tblzatba az letkorukat!

Julcsi letkora

Panni letkora

Hnyszorosa Julcsiletkora Panninak?

2. SZVEGES FELADATOK

24 fabatka

24 fabatka

mennyivel?

mikor?

100 fabatka

>

=

bal

bal

bal

bal

jobb

jobb

? fabatka

24-gyel

100 fabatka

> balbaljobb

a)

b)

c)

P

K


48

50

74 26

12

62 38

6

4

13

1

13-szoros 7-szeres 5-szrs 4-szeres 3-szoros 2-szeres

2 3 4 6 12

14 15 16 18 24

4 2

2 fabatka

Jobb zseb

Bal zseb24

24

48

3 kg

f kg

2,5 kg

0,5 kg f kg


17

5. Anna gondolt egy szmot, majd hozzadott 1-et, az eredmnyt megsgta Blnak. Bla ezt a szmot meg-szorozta 2-vel, a szorzatot lerta egy paprra, s odaadta Cilinek. Cili a papron lev szmbl kivont 3-at, sa klnbsget megmondta Daninak. Dani a Cilitl hallott szmot elosztotta 4-gyel, gy 5-t kapott.Egsztsk ki a mondatot!

Cili Daninak a ................... szmot mondta. Bla a paprra ...................-t rt. Anna a ...................-re gondolt.

6. Jancsi s Marci versenyaut-krtykkal jtszanak. Ha Jancsi a nla lev krtykbl megduplzn a Marcinllev krtyk szmt, majd ezutn Marci a nla levkbl megduplzn a Jancsinl levkt, akkormindegyikknl ugyanannyi krtya lenne. Hny krtya van kezdetben Jancsinl s Marcinl, ha sszesen 48krtyval jtszanak?

Jancsinl ............................... , Marcinl ............................... krtya van kezdetben.

7. Hrom vndor betrt egy fogadba, ahol vacsort s szllst krtek. A fogads kzlte, hogy csak egy szo-bt tud adni, vacsorra pedig csak gombcot tud nekik kszteni. A hrom vndor felment a szobba, dea fradtsgtl rgtn elaludtak. A fogads felvitt nekik egy tl gombcot, s csendben letette az asztalra.Felbredt az egyik vndor, megette a tlban lv gombcok harmadt, majd elaludt. Felbredt a msikvndor, is megette a tlban lv gombcok harmadt, majd elaludt. Felbredt a harmadik vndor, ismegette a tlban lv gombcok harmadt, majd elaludt. Reggel hogyan osztozzanak a megmaradt nyolcgombcon, hogy mindegyikknek ugyanannyit kelljen fizetnie?

Az elsknt felbred vndornak .............................. , a msodiknak .............................. , a harmadiknak ..............................gombc jr mg reggel.

8. Nagyi alms palacsintval vrta hrom unokjt. Elsnek Ben rkezett meg, s megette a palacsintknegyedt. Msodikknt Ern jtt, aki megette a megmaradt palacsintk harmadt s mg kt palacsintt.Utoljra Jen rkezett, megette a megmaradt palacsintk felt s mg hrmat; gy az sszes palacsintaelfogyott. Hny palacsintt sttt Nagyi, s hnyat ettek a gyerekek kln-kln? Egsztsk ki a rajzot!

Ben:

Ern:

Jen:

Jen ....................................... palacsintt evett.

Ha Ern nem evett volna meg mg kt palacsintt, akkor ....................................... palacsintt hagyott volna

Jennek, ami az Ern ltal tallt palacsintk ....................................... rsze.

Ern ....................................... palacsintt, Ben ....................................... palacsintt evett meg, Nagyi sszesen

....................................... palacsintt sttt.


5

20 23 10,5

Anna Bla Cili Dani

10,5

+ 1 2 3 4

1 2 + 3 4

30 18

Gondolkozzunk visszafel! Ellenrzs:

nem jr 3 gombc 5

6

8

6 4

16

23

visszafelgondolkozva

2

3

1. vndor

2. vndor

3. vndor

8

rsz = rsz = rsz

rsz = rsz = rsz

rsz = rsz4

2749

13

627

29

23

13

927

39

13

9 gombc

6 gombc

4 gombc

+ 3 gombc

+ 5 gombc8 gombc

Ell.:

Vgl egyenl Marci duplz Jancsi duplzJ

24

12

30

24

36

18

M

Jancsi

Marci

48

24 12 12 18

24 24 12 18

2

2Vgl

Kzben

Eredetileg

3. 12 3 = 4

2. (6 + 2) 2 = 4 4 + 2 = 6

1. 3 + 3 = 6

36

30

x20

2x 123

2x + 211,5x + 1


SZVEGES FELADATOK

18

Hny ves a kapitny?

1. Peti s desapja kztt a korklnbsg 36 v. Hny ves korban lesz Peti feleannyi ids, mint az desapja?

Vlasz: ............................................................................................................................................................................................................................

2. a) Mrta 3 vvel fiatalabb a btyjnl, s 6 vvel idsebb a hgnl. Hrman egytt 27 vesek. Mennyimost a hrom gyerek tlagletkora? Mennyi lesz a hrom gyerek tlagletkora kt v mlva?

A hrom gyerek tlagletkora most ................... v, kt v mlva ................... v lesz.

b) Vera 2 vvel fiatalabb a nvrnl, s 5 vvel idsebb az ccsnl. Egytt 39 vesek. Hny veseka gyerekek?

Vera ................................, a nvre ................................, az ccse ................................ ves.

3. Tams kiszmolta, hogy a kt testvrnek az tlagletkora 6 v. Tams apukja kiszmolta, hogy gyermekeinektlagletkora 8 v. Hny ves Tams? Hny vesek lehetnek a testvrei, ha mindkettjk letkora prmszm?

Vlasz: ............................................................................................................................................................................................................................

4. Edit most hromszor annyi ids, mint a testvre. t v mlva mr csak ktszer annyi ids lesz, minta testvre. Hny vesek most?

Vlasz: ............................................................................................................................................................................................................................

Most 5 v mlva

Edit letkora

Edit testvrnek letkora


Peti 36 ves korban feleannyi ids, mint a 72 ves desapja.

9 11

14 16 9

Tams 12 ves, testvrei 5 s 7 vesek.

Edit most 15 ves, testvre pedig 5 ves.

3x

x

3x + 5

x + 5

x + 5 < 3x + 52-szer

2(x + 5) = 3x + 5

2x + 10 = 3x + 5 / 2x

10 = x + 5 / 5

5 = xEll.: Edit 15 20

testvre 5 10 2

x + x + 2 + x 5 = 39

3x 3 = 39 / + 3

3x = 42

x = 14

Ell.: 14 + 16 + 9 = 39letkor:

Vera Nvre ccse sszesen

x x + 2 x 5 39

Tams testvreinek tlagletkora: 6 vletkoruk sszege: 12 v

A hrom testvr tlagletkora: 8 vletkoruk sszege: 24 v

Tams letkora: 24 v 12 v = 12 v.

A testvrek letkora: 1 2 3 4 5 611 10 9 8 7 6

Legyen akkor Peti x ves.Peti: 36 ves

Apa: 72 ves.

Peti: x

Apa: x + 36

x = / 2

2x = x + 36 / x

x = 36

x + 362

tlagletkoruk:

most

2 v mlva .333

11=

273

9= Mrta

Btyja

Hga

Most 2 v mlva

27 v 33 v

36 2


19

5. Feri 36 ves. Hromszor annyi ids, mint Teri volt akkor, amikor Feri annyi ids volt, mint Teri most. Hnyves most Teri?

Teri letkora most .................... v.

6. Kata kt ve hromszor annyi ids volt, mint a testvre volt akkor. Hrom v mlva mr csak ktszer annyiids lesz, mint a testvre lesz akkor. Hny vvel idsebb Kata a testvrnl? Tltsk ki a tblzatot!

Kata most ........................... ves, a testvre ........................... ves, Kata ........................... vvel idsebb a testvrnl.

*7. Csaba gy gondolkodott:Amikor blcsdbe kezdtem jrni, apa tizenhromszor annyi ids volt, mint n. Amikor vods lettem, apamr csak kilencszer annyi ids volt, mint n. Amikor iskolba kezdtem jrni, apa mr csak tszr annyi, 7 ve amikor gimis lettem mr csak hromszor annyi ids volt, mint n. Amikor 5 v mlva diplomt kapok, apapontosan ktszer annyi ids lesz, mint n. Lehet, hogy egyszer egyidsek lesznk?Hny ves most Csaba?

Csaba s apukja letkornak a .................................................. nem vltozhat, a(z) .................................................. vltozik.

..............................................................................................................................................................................................................................................

Vlasz: ............................................................................................................................................................................................................................

most

Kata testvrnek letkora

Kata letkora

most x ve

Feri

Teri


24

17 7 10

2 ve

x

3x

x + 2

3x + 2

x + 5

3x + 5

3 v mlva

36 36 x

36 x 36 2x

36 > 36 2x 3

12 = 36 2x / 36

24 = 2x / (2)

12 = x

3x + 5 > x + 5 2

3x + 5 = 2(x + 5)

3x + 5 = 2x + 10 / 2x

x + 5 = 10 / 5

x = 5

Ellenrzs:

most

36

24

24

12

akkor

Feri

Teri

Ellenrzs:

Ellenrzs:

2 ve

5

15

7 10

17 20

most 3 v mlva

Testvr

Kata

Blcsde

2

26

3

27

6

30

12

36

19

43

24

48

24 24 24 24 24 24

13 9 5 3 2

voda Iskola Gimn. Most Diploma

Csaba

Apa

A Cs

ACs

x + 12 > 3x + 12 2

2x + 24 = 3x + 12 / 2x

24 = x + 12 / 12

12 = x

Csaba most 19 ves.

Az lland korklnbsg miatt soha nem lehetnek egyidsek.

klnbsge hnyadosa

4319

7 ve

x

3x

x + 7 x + 12

3x + 7 3x + 12

most 5 v mlva

Csaba

Apa


SZVEGES FELADATOK

20

Gondoltam egy szmra...

1. Soroljuk fel azokat a ktjegy szmokat, amelyekre igaz, hogy az egyik jegye

a) nggyel nagyobb, mint a msik: .............................................................................................................................................................

b) ngyszer akkora, mint a msik: ................................................................................................................................................................

2. Egy ktjegy szm jegyeinek klnbsge 4. Ha a tzesek szmt 5-tel nveljk, az egyesek szmt 5-telcskkentjk, majd az eredeti s a vltoztatott ktjegy szmokat sszeadjuk, a legnagyobb ktjegy prm-szmot kapjuk. Mi volt az eredeti ktjegy szm? Van-e felesleges adat?

A kisebb ktjegy szm: ...................... , a nagyobb ktjegy szm: ...................... .

Felesleges adat lehet : ..........................................................................................................................................................................................

3. Egy ktjegy szm egyik jegye 3-mal nagyobb, mint a msik. Ha ehhez a ktjegy szmhoz hozzadjuka jegyeinek felcserlsvel kapott szmot, 121-et kapunk. Mely ktjegy szmokat adtuk ssze?

a) rjuk le az sszes olyan ktjegy szmot, amelyben az egyik jegy 3-mal nagyobb, mint a msik!

.......................................................................................................................................................................................................................................

b) Hzzuk al azokat a ktjegy szmokat, amelyeknek az els jegye nagyobb 3-mal!

c) A felrt szmok kzl vlasszuk ki azokat, amelyekre igaz a feladat lltsa! ................................................................

Msodik megolds:

d) A tblzat kitltse utn rjunk fel egyenletet, majd oldjuk meg!

Vlasz: .....................................................................................................................................................................................................................

tzesek egyesek szm

eredeti

felcserlt

tzesek egyesek szm

eredeti

vltoztatott


15; 51; 26; 62; 37; 73; 40; 48; 84; 59; 95

14; 41; 28; 82

a kt szmjegy klnbsge

26 71

14; 41; 25; 52; 30; 36; 63; 47; 74; 58; 85; 69; 96

47 + 74 = 121

A 47-et s a 74-et adtuk ssze.

x + 5 (x + 4) 5 10(x + 5) + (x 1)

x x + 4 10x + (x + 4) = 11x + 4

= 10x + 50 + x 1 = 11x + 49

x + 3 x 10(x + 3) + x

x x + 3 10x + x + 3 = 11x + 3

= 10x + 30 + x = 11x + 30

(11x + 4) + (11x + 49) = 97

22x + 53 = 97 / 53

22x = 44 / 22

x = 2

(11x + 3) + (11x + 30) = 121

22x + 33 = 121 / 33

22x = 88 / 22

x = 4

eredeti: 26

vltoztatott: 71

y + (y + 50 5) = 97

2y + 45 = 97 / 45

2y = 52 / 2

y = 26

Ellenrzs ms megoldssal:

A ktjegy szm: y

vltoztatott: y + 50 5

A szm: 47

Felcserls utn: 74

sszegk: 121


21

4. Egy ktjegy szm jegyeinek sszege 11. Ha a kt szmjegyet felcserljk, az eredeti szm ktszeresnl7-tel nagyobb szmot kapunk. Mi az eredeti ktjegy szm?

Vlasz: ............................................................................................................................................................................................................................

5. Gza a kvetkez hzi feladatot kapta: Egy ktjegy szm jegyeinek arnya 2:3. Ha a szmjegyeketfelcserljk, az eredeti szm felnl 21-gyel nagyobb szmot kapunk. Mi az eredeti ktjegy szm?

gy oldotta meg:

< 32x A 32x 21-gyel nagyobb, mint a .

+ 21 = 32x / 11,5x21 = 20,5x / 20,5

1,024 x

Mivel a 2x szmjegyet jelent, a feladat nem megoldhat.A hzi feladat ellenrzsnl meglepdve hallotta, hogy a feladatnak van megoldsa.

A feladat folytatsa:

Vlasz: ............................................................................................................................................................................................................................

tzesek egyesek szm

eredeti 3x

felcserlt

232

x

232

x232

x

tzesek egyesek szm

eredeti 2x 3x 23x

felcserlt 3x 2x 32x

tzesek egyesek szm

eredeti

felcserlt


11 x x 10(11 x) + x

x 11 x 10x + 11 x = 9x + 11

= 110 10x + x = 110 9x

2 (9x + 11) < 110 9x7-tel

18x + 22+ 7 = 110 9x / + 9x

27x + 29 = 110 / 29

27x = 81 / 27

x = 3

Az eredeti ktjegy szm a 38.

2x 3x

2x 30x + 2x = 32x

20x + 3x = 23x

Az eredeti ktjegy szm a 96.

< 23x

16x + 21 = 23x / 16x

21 = 7x / 7

3 = x

322

xA 23x nagyobb 21-gyel, mint a .

322

x

Ellenrzs: Az eredeti szm: 96.

A felcserlt: 69.< 69

48 < 6921-gyel

962

Ellenrzs: Az eredeti szm: 38.

A felcserlt: 83.

2 38 < 83

76 < 837-tel


SZVEGES FELADATOK

22

Fogcska matematikus szemmel

1. Pali, Vali s Lali testvrek, az vodtl 1,5 km-re, az iskoltl 2400 mterre laknak. Pali az vodba reggelhromnegyed 7-kor indul, s 7 ra 10-kor rkezik. Vali az iskolba negyed 8-kor indul, s hromnegyed 8eltt 6 perccel rkezik. Lali biciklivel 7 ra 25-kor indul, s hgnl 2 perccel elbb rkezik az iskolba.Hny rn t tart a gyerekeknek az t? Mekkora az egyes gyerekek tlagsebessge? Tltsk ki a tblzatot!

2. Bercik utcjban a fk egyenl tvolsgra vannak egymstl. Az els ftl indulva Berci s Marci versenytfutnak: Berci 6 msodperc alatt r el a hatodik fig, Marci 7 msodperc alatt a hetedik fig. Ki nyeri a ver-senyt, ha a nyolcadik fnl van a cl? Rajzoljunk!

A versenyt ........................................... nyeri.

3. a) Egy szalmival megrakott kamiont indtanak Szegedrl Budapestre 60 tlagsebessggel. Ksbb

szreveszik, hogy a szlltlevl Szegeden maradt, ezrt a kamion indulsa utn 20 perccel egy 90

egyenletes sebessggel halad szemlygpkocsival a szlltmny utn kldik. Mennyi id mlva sSzegedtl milyen tvolsgra ri utol a szemlygpkocsi a kamiont?

A szemlygpkocsi a kamiont Szegedtl ......................... tvolsgra,

a szemlygpkocsi indulsa utn ................................... mlva ri utol.

b) Budapestrl 48 egyenletes sebessggel elindul egy teheraut Nagykanizsra, ugyanakkor Nagyka-

nizsrl 72 egyenletes sebessggel elindul egy szemlyaut Budapestre. Mennyi id mlva s

Budapesttl milyen tvolsgra tallkoznak, ha Nagykanizsa Budapesttl 216 km tvolsgra van?

Vlasz: .....................................................................................................................................................................................................................

NagykanizsaBudapest

48 72

kmh

kmh

sebessg(km/h)

id(h)

t(km)

kamion

szemlygpkocsi

kmh

kmh

indul rkezik id (h) t (km) tlagsebessg (km/h)

Pali

Vali

Lali


6h 45

7h 15

7h 25

7h 10

7h 39

7h 37

2560

512

=

Marci

60 km

40 perc

108 perc mlva s Budapesttl 86,4 km-re tallkoznak.

x90 90x

60

x

x

72

48

72x

48xteheraut

szemlyaut

sebessg (km/h) id (h) t (km)

2460

25

=

1260

15

=

1532

, = 32

512

32

125

185

3 6 = = = ,

2410

25

125

52

6 = =

2410

15

125

5 12 = =

2 4125

, =

2 4125

, =

x +13

6013

x +

= 90x

60x + 20 = 90x / 60x

20 = 30x / 30

= x23

6013

x +

9023

6030 =

Ell.:sk = h

sk = 60 km

ssz =

ssz = 60 km

9023

kmh

h

6023

13

kmh

+

72 1,8 = 129,6 (km)

48x + 72x = 216

120x = 216

x =

x = 1,8

216120

1,8 h = 1 h 48 perc.

Ell.: 86,4 + 129,6 = 216.

48 1,8 = 86,4 (km)Tallkoznak

216 km

Berci Cl

Marci

6 sec alatt

sec alatt65

7 sec alatt

sec alatt76

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

x 5xx

Cl1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

x 6xx

egy kz hossza: x

65

76

> Egy kz megttelhezMarcinak kell a kevesebb id,gy r elbb a clba.


23

4. Dleltt 9 ra 30-kor 12 kmhosszsg gyalogtrraindultunk. Az ebdet fl 1-rerendeltk meg. Az t els2 kilomtere meredek emel-ked volt, amelyen csak azegsz tra tervezett tlag-sebessg felvel tudtunkhaladni, s az emelked v-gre felrve a fradtsg miattmg egy 20 perces pihentis tartottunk.Milyen tlagsebessggel kella htralv ton haladnunk,hogy az ebdre pontosanmegrkezznk?Rajzoljuk meg a mozgsgrafikonjt!

Vlasz: ............................................................................................................................................................................................................................

5. Atltikaedzsen a 400 m hossz kr alak plyn Mari 18 , Feri 22 egyenletes sebessggel futott.

a) Ha a plya ugyanazon pontjrl azonos irnyba indultak, hny perc alatt krzte le elszr Feri Marit?Hny krt tettek meg ezalatt?

Feri Marit ........................................... perc alatt krzte le elszr.

Ezalatt Feri ........................................... krt, Mari ........................................... krt futott.

b) Ha a plya ugyanazon pontjrl ellenttes irnyba indultak, hny perc mlva tallkoznak?

Vlasz: .....................................................................................................................................................................................................................

v (km/h) t (h) s (km)

Mari

Feri

kmh

kmh

t(km)

id(ra)

1 2

5

10

O 3


18

22

x

x

18x

22x

22x = 18x + 0,4 / 18x

4x = 0,4

x = 0,1

6 perc

5 s fl 4 s fl

0,1 h = 6 perc

Mari tja: 18 0,1 = 1,8 (km)Feri tja: 22 0,1 = 2,2 (km)

400 m = 0,4 km

0,6 perc, azaz 36 msodperc mlva tallkoznak.

Feri Mari

18x + 22x = 0,4

40x = 0,4

x = 0,01

0,01 h = 0,6 perc

T

Mari: = = kr1800400

92

4 5,

Feri: = = kr2200400

112

5 5,

Tallkoznak

sM =kmh

h= km=180 m18 0 01 0 18 , ,sF =

kmh

h= km=220 m22 0 01 0 22 , ,

400 m

2

12

A htralev ton 6 tlagsebessggel kell haladnunk.kmh

9 ra 30 perc 10 ra 30 perc 11 ra 30 perc 12 ra 30 perc

vtlag =12 km

3 h=

kmh

42 km-t 1 ra alatt 2 sebessggel tettnk meg,

10 km-t 1 ra alatt23

kmh

A tervezett tlagsebessg:

1053

6 h=1035

=kmh

tlagsebessggel kell megtennnk.


SZVEGES FELADATOK

24

*6. Dleltt hromnegyed 12-kor 48 sebessggel elindul egy teheraut Szegedrl Budapestre. Egy sze-

mlygpkocsi 72 tlagsebessggel 12 ra 9 perckor indul utna. Hny rakor s Szegedtl milyen

tvolsgra ri utol a teherautt a szemlygpkocsi?

Ellenrzs:

Vlasz: ............................................................................................................................................................................................................................

*7. Reggel 8 ra 5 perckor 48 sebessggel elindul egy teheraut Kistelekrl Budapestre. Hromnegyed ki-

lenckor egy szemlygpkocsi Budapestrl Kistelekre indul 20 tlagsebessggel. Hny rakor s Kiste-

lektl milyen tvolsgra tallkoznak, ha Budapest s Kistelek kztt 132 km a tvolsg?

Vlasz: ............................................................................................................................................................................................................................

ms

kmh

v (................) t (................) s (................)

teheraut

szemlygpkocsi

Szeged

itt rik utol

a teherautt

kmh

kmh


11h 45

12h 9

kmh h km

11 ra 45 perc + 72 perc = 11 ra 117 perc = 12 ra 57 perc12 ra 9 perc + 48 perc = 12 ra 57 perc

A szemlygpkocsi 12 ra 57 perckor, Szegedtl 57,6 km-re ri utol a teherautt.

48kmh

72kmh

12 ra 9 perc 11 ra 45 perc =

= 24 perc = ra = 0,4 ra2460

48

72

x + 0,4

x

48(x + 0,4)

72x

48(x + 0,4) = 72x

48x + 19,2 = 72x / 48x

19,2 = 24x / 24

0,8 = x0,8 ra = 48 perc0,8 ra + 0,4 ra = 1,2 ra = 72 perc

st = 48 1,2 h = 57,6 km

ssz = 72 0,8 h = 57,6 kmkmh

kmh

st = ssz

9 ra 35 perckor, Kistelektl 72 km-re tallkoznak.

48 + 72x = 132

48x + 32 + 72x = 132

120x + 32 = 132 / 32

120x = 100 / 120

x =56

x +23

st = 48 h = 72 km

ssz = 72 h = 60 km56

kmh

32

kmh

20 72ms

=kmh

132 km8 ra 5 perc + 1 ra 30 perc = 9 ra 35 perc8 ra 45 perc + 50 perc = 9 ra 35 perc

h + h = h = h = 1 h12

32

96

23

56

h = 50 min56

8 ra 45 perc 8 ra 5 perc = 40 perc = h23

v (km/h)

48

72 x 72x

t (h) s (km)

teheraut

szgk.

x +23

48 x +23

8h 5 8h 45

TallkoznakKistelek Budapest

132 km

48 20kmh

ms

Ell.:


25

Mregkevers egyenletekkel

1. Egy keresked a kt legkedveltebb gumicukorbl keverket lltott ssze, s azt kimrve rulja. Mennyirtadjon 100 gramm cukrot, ha a keverkben 8 kg macis s 12 kg trps cukor van, s a macis cukorbl 1 kg1500 Ft-ba, a trpsbl 1 kg 1800 Ft-ba kerlt? (A keresked se drgbban, se olcsbban nem szeretnadni a keverket, mint az eredeti ra.)

A keverk kilogrammjt ....................... forintrt rulja, 100 g keverk ra ....................... forint.

2. A tengerek startalma kztt nagy klnbsgek lehetnek. Nhnynak az tlagos startalmt tblzatbafoglaltuk. Tltsk ki a tblzat hinyz rszeit! (Hasznlhatunk zsebszmolgpet!)

*3. A frissen szedett vargnyagomba vztartalma 90%, a szrtott vargnya vztartalma azonban csak 10%.

a) Hny dekagramm szrtott vargnyt kszthetnk 5 kg frissen szedett gombbl?

Vlasz: .....................................................................................................................................................................................................................

b) Hny kilogramm frissen szedett gombbl kszthetnk 1 kg szrtott vargnyt?

Vlasz: ...................................................................................................................................................................................................

4. Fejes salthoz savanyt ntetet ksztnk. Hny deciliter 10%-os ecetet higtsunk fel fl liter vzzel, hogy2%-os saltantetet kapjunk?

Az oldott anyag:

...................................................... + ...................................................... = ......................................................

Vlasz: .........................................................................................................................................................................................................

vz ecet ntet

+ =................. dl 0%-os ................. dl 2%-osx dl 10%-os

tlagosstartalom

20 tonna vzbl hny kilogramm stlehet leprolni?

Hny kilogramm vzbl lehet 1 kgst kinyerni?

Balti-tenger 1%

Kaszpi-tenger 1,2%

Adriai-tenger 3,5%

Vrs-tenger 4,1%

Holt-tenger 32%


macis 8 1500 12 000trps 12 1800 21 600keverk 20 x 20x

1680 168

33 600 = 20x

1680 = x

tmeg (kg) egysgr (Ft/kg) vtelr (Ft)Ell.:

12 000 + 21 600 = 33 600

20 1680 = 33 600

20 t 0,01 = 0,2 t = 200 kg 1 kg 0,01 = 100 kg

1 kg 0,012 = 83 kg13

1 kg 0,035 28,57 kg1 kg 0,041 24,39 kg

1 kg 0,32 = 3,125 kg

20 t 0,012 = 0,24 t = 240 kg

20 t 0,035 = 0,7 t = 700 kg

20 t 0,041 = 0,82 t = 820 kg

20 t 0,32 = 6,4 t = 6400 kg

friss: vztartalom: 5 kg 0,9 = 4,5 kgrosttartalom: 5 kg 0,1 = 0,5 kg Ez 90%-a a szrtott vargnynak.

szrtott: 0,5 kg 0,9 = 0,5

kg 0,5

kg = 55,5

dkg

friss gomba: 0,9 kg 10 = 9 kg

55,5 dkg szrtott vargnyt kszthetnk 5 kg frissbl.

9 kg frissen szedett gombbl lesz 1 kg szrtott vargnya.

1,25 dl 10%-os ecetet kell felhasznlni a saltantethez.

5 5 + x

5 0 x 0,1 (5 + x) 0,02

0,1x = 0,1 + 0,02x / 0,02x

0,08x = 0,1 / 0,08

x = 1,25

szrtott: vztartalom: 1 kg 0,1 = 0,1 kgrosttartalom: 1 kg 0,9 = 0,9 kg Ez 10%-a a frissnek.

Ell.:1,25 dl 10%-os ecet0,125 dl tmny ecet.

6,25 dl 2%-os ecet0,125 dl tmny ecet


SZVEGES FELADATOK

26

5. Mennyi 36%-os soldatot kell a 100 gramm 30%-os soldathoz nteni, hogy 34%-os soldatot kapjunk?

Vlasz: ............................................................................................................................................................................................................................

6. Milyen tmnysg cukoroldatot kapunk, ha 20 dkg 20%-os s 30 dkg 30%-os cukoroldatot sszekevernk?

Vlasz: ............................................................................................................................................................................................................................

7. Egy laboratriumban egy ksrlet elvgzshez 22%-os ssavra van szksg. Hny gramm 10%-os s hnygramm 30%-os ssavat kell sszekeverni, hogy 120 gramm oldatot kapjunk?

Vlasz: ............................................................................................................................................................................................................................

+ =

+ =


20 dkg 20%-os 30 dkg 30%-os 50 dkg x%

20 dkg 0,2 = 4 dkg 30 dkg 0,3 = 9 dkg

x g 36%-os 100 g 30%-os

x g 10%-os (120 x) g 30%

(100 + x) g 34%-os

120 g 22%-os

Az oldott anyag:

Ellenrzs:

0,36x g 100 0,3 g (100 + x) 0,34 g

Az oldott anyag:

Az sszefggs egyenlettel felrva:

26%-os cukoroldatot kapunk az sszekeverssel.

48 g 10%-os s 72 g 30%-os ssav kell a ksrlethez.

200 g 36%-os soldatot kell hozznteni.

+ =

=48 g 10%-os 72 g 30%-os 120 g 22%

4,8 g 21,6 g 26,4 g

Az oldott anyag:

+

=20 dkg 0,2 30 dkg 0,3 50 dkg 0,26

4 dkg 9 dkg 13 dkg+

50100

dkg =2

dkg x x

x 0,1 + (120 x) 0,3 = 120 0,22

0,1x + 36 0,3x = 26,4

36 0,2x = 26,4 / 36

0,2x = 9,6 / (0,2)

x = 48

0,36x + 100 0,3 = (100 + x) 0,34

0,36x + 30 = 34 + 0,34x / 30

0,36x = 4 + 0,34x / 0,34x

0,02x = 4 / 0,02

x = 200

4 + 9 =

13 = x / 2

26 = x

12

x2

Ellenrzs: oldott anyag

102 g

1. 200 g 36%-os 200 0,36 g = 72 g

2. 100 g 30%-os 100 0,3 g = 30 g

Keverk 300 g 34%-os 300 0,34 g = 102 g


27

Egyttes munkavgzs

1. Egy res kerti medenct az els csapon keresztl 40 perc, a msodik csapon keresztl 60 perc alatt lehetteleengedni vzzel, mg a teli medence a lefolyn kt ra alatt rl ki.

a) Ha mindkt csapot egyidben nyitjuk meg, s a lefoly zrva van, akkor a kt csap egytt hny perc alatttlti meg az res medenct?

b) Ha a lefoly zrva van, s a msodik csapot 10 perccel ksbb nyitjuk meg, mint az elst, akkor hnyperc alatt telik meg az res medence?

c) Hny perc alatt tudjuk leengedni a harmadig teli medence vizt, ha a csapok zrva vannak?

d) Megtelhet-e az res medence, ha a lefolyt elfelejtjk elzrni, s mindkt csapot egyidben nyitjuk meg?Ha igen, akkor mennyi id alatt?

e) Az res medence feltltshez megnyitjuk az els csapot, majd 20 perccel ksbb vesszk szre, hogya lefolyt nem zrtuk el, ekkor elzrjuk a lefolyt, s megnyitjuk a msodik csapot is. Innentl szmtvahny perc alatt lesz tele a medence?

2. Mkus papa a tlire gyjttt mogyorkszletet egyedl 75 nap, Mkus mama egyedl 100 nap, mg a kisMkus Balzs egyedl 150 nap alatt enn meg. Kitart-e 30 napig a mkuscsald kszlete, ha csak ezt ehetik?

Vlasz: ............................................................................................................................................................................................................................

egyedl 1 nap alatt bizonyos id alatt

Mkus papa

Mkus mama

Mkus Balzs

Az egszet egyedl ennyi idalatt tlti fel vagy rti ki

Egy idegysg alatt ennyiedrszt tlt fel vagy rt ki

A krdses id alatt ennyiedrszt tlt fel vagy rt ki

els csap

msodik csap

lefoly


40 perc

60 perc

120 perc

75 nap

100 nap

150 nap

140

rsz

160

rsz

1120

rsz

x40

rsz

x60

rsz

x120

rsz

175

rsz

1100

rsz

1150

rsz

x75

rsz

x100

rsz

x150

rsz

+ = 1 / 120

3x + 2x = 1205x = 120

x = 24

x60

x40

Az res medenct egytt 24 perc alatt tltik meg.

Ell.: 1. csap rsz = 0,6 rsz

2. csap rsz = 0,4 rsz2460

2440

+ = 1 / 120

3x + 2x 20 = 1205x = 140

x = 28

x 1060

x40

Az res medence 28 perc alatt telik meg.


2. csap rsz = 0,3 rsz1860

2840

0,6 + 0,4 = 1

+ = 1 / 120

3x + 2x x = 1204x = 120

x = 30

x120

x60

x40

Az res medence 30perc alatt telhet meg.


2. csap rsz = 0,5 rsz

lefoly rsz = 0,25 rsz30

120

3060

3040

0,75 + 0,5 0,25 = 1

= 1 / 120

3x + 60 20 + 2x = 1205x + 40 = 120

5x = 80x = 16

x x+40

20 20120 60

+

6 perc kell a feltltshez a 2. csapmegnyitsa utn.

Ell.: 1. csap rsz = rsz

2. csap rsz = rsz

lefoly rsz = rsz8

301660

16

20120

910

3640

0,7 + 0,3 = 1

Az egsz 120 perc alatt folyik le.

Az rsz 120 perc 3 = 40 perc alatt folyik le.13

910

16

830

2730

530

830

3030

1 + = + = =

A mkuscsaldnak a kszlet 33 napig elg, gy kitart 30 napig.13

= 1 / 300

4x + 3x + 2x = 3009x = 300

x = 3313

x x x75 100 150

+ + Ell.: nap alatt: Mkus papa

Mkus mama

Mkus Balzs 100

3150

29

= rsz

1003

10013

39

= = rsz

1003

7549

= rsz100

3

49

39

29

+ + =1


SZVEGES FELADATOK

28

Szgek, oldalak, tlk: geometriai szmtsok

1. Egy szget jelljnk a -val, a mellkszgt pedig a-vel! Szmtsuk ki a szget, a mellkszgt, vagy rjuk felaz arnyukat! Tltsk ki a tblzatot!

2. Szgei szerint milyen fajta lehet az a hromszg, amelyben a bels szgek arnya a kvetkez? Szmtsukki a kls szgek arnyt!

a) a b g = 2 3 5 b) a b g = 3 : 4 : 5 c) a b g = 2 : 3 : 7

............................. szg hromszg ............................. szg hromszg ............................. szg hromszg

a b g = ...................................... a b g = ...................................... a b g = ......................................

3. Mekkora annak a tglalapnak a terlete, amelynek a kerlete 1 mter, s a szomszdos oldalai kzlaz egyik 15 cm-rel nagyobb, mint a msik? Ksztsnk vzlatrajzot!

Vlasz: ............................................................................................................................................................................................................................

4. Egy teleplsen kt-kt prhuzamos utca egy paralelogramma alaprajz hztmbt zr kzre. A hztmbkerlete 530 mter, s a szomszdos oldalai kzl az egyik 135 mterrel nagyobb, mint a msik. A hosszabbutcarszek tvolsga 65 mter. Hny hektr terletet foglal el a hztmb? Milyen tvolsgra vannakegymstl a rvidebb utcarszek?

Vlasz: ............................................................................................................................................................................................................................

a a 1 2 1 11 3 2 5 3 4 11

a 30 54 96

a 140 100


60

120

15

165

108 40

2 7 3 7 4 5

72

112,5 80 48

132 84

8 7

67,5 126

1 5

150

a + a = 180

a aPl.:

40140

414

27

7= = = 2 54

1266

1437

= =9684

87

=

18058

112 522 5

1

,, = 180

415

4812

1 =

8 7 5 9 8 7

tompahegyesderk

10 9 5

A tglalap terlete 568,75 cm2.

A hztmb 1,3 ha terletet foglal el, a rvidebb utcarszek 200 m-re vannak egymstl.

3x + 4x + 5x = 18012x = 180

x = 15

2x + 3x + 7x = 18012x = 180

x = 15

a = 3x = 45 a = 135b = 4x = 60 b = 120g = 5x = 75 g = 105

a = 2x = 30 a = 150b = 3x = 45 b = 135g = 7x = 105 g = 75

a = 180 = 36 a = 144

b = 180 = 54 b = 126

g = 180 = 90 g = 90510

310

210

a + b + g + = 144 126 90

1 arnyos rsz: x 1 arnyos rsz: x

b

a

K = 2(a + b)100 =100 = 2(2x + 15)100 = 4x + 30

= x

17,5 = x

100 304

2 15x x+ +( )[ ]

K = 2a + 2b530 = 2x + 2(x + 135)530 = 4x + 270260 = 4x

65 = x

T = a ma = b mbT = b mbT = 200 65T = 13 000 (m2) = 1,3 (ha)

13 000 = 65 ma200 = ma

100 = 2x + 2(x + 15)100 = 2x + 2x + 30100 = 4x + 30

70 = 4x17,5 = xK = 1 m = 100 cm

a = xb = x + 15T = ?

K = 530 ma = xb = x + 135mb = 65 mT = ?ma = ?

vagy a = 17,5 cmb = 32,5 cmT = 17,5 32,5T = 568,75 (cm2)

Ell: 2 17,5 cm + 2 32,5 cm = 35 cm + 65 cm = 100 cm = 1 m

a = 65 cmb = 200 cm

b

ama

mb


29

5. Az egyik utcban hrtrapz keresztmetszet rkot snak. Milyen mly lesz az rok, ha a keresztmetszete flngyzetmter, az alja 6 dm, a teteje pedig 140 cm szles? Hny teheraut fldet kell elszlltani, ha az utca160 mter hossz, s egy teherautra 8 kbmter fld fr?

Vlasz: ............................................................................................................................................................................................................................

6. Mekkora annak a tglatest alak tmr ptelemnek a trfogata, amelynek a felszne 108 dm2, hosszsga0,6 mter, szlessge 300 mm? Ksztsnk rajzot!

Vlasz: ............................................................................................................................................................................................................................

7. Egy szablyos sokszgnek htszer annyi tlja van, mint ahny oldala. Mekkora a sokszg bels szgeineksszege?

Vlasz: ............................................................................................................................................................................................................................


Az rok fl mter mly lesz. 10 teheraut fldet kell elszlltani.

Az ptelem trfogata 72 dm3.

A szablyos tizenht oldal sokszg bels szgeinek sszege 2700.

Az rok keresztmetszetnek vzlata:

a = 6 dm = 0,6 mc = 140 cm = 1,4 mm = ?T = 0,5 m2

M = 160 mV = ?

T =

0,5 = m

0,5 = m

0,6+142

,

a+cm

2 V = T M

V = 0,5 160V = 80 (m3)

8 m3 1 teheraut80 m3 10 teheraut

utcahossz: 160 m

1 autra: 8 m3

Hny fordul?

140 cm

6 dm

T = 0,5 m2m

a = 0,6 m = 6 dmb = 300 mm = 3 dmc = ?A = 108 dm2

V = ?c = 4 dm

A = 2(ab + bc + ca)A = 2ab + 2bc + 2caA = 2ab + c(2b + 2a)

108 = 2 6 3 + c(2 3 + 2 6)108 = 36 + c 18 / 36

72 = c 18 / 184 = c

V = a b cV = 6 3 4V = (72 dm3)

V = ?

0,6 m300 mm

oldalak szma: n > 3sszes tl szma: 7 na bels szgek sszege: ?

sszes tl: = 7 n / 2

n (n 3) = 14n / n

n 3 = 14 / + 3

n = 17

n n ( )32

A sokszg tizenht oldal.

bels szgek sszege:(n 2) 180 = (17 2) 180 = 15 180 = 2700


HALMAZOK

30

3. HALMAZOKHalmazok

1. A szmolgp kijelzjn a szmokat 7 cskkal (szegmenssel) jelzik. Tekintsk a megfelel szmjegyekjelzsekor vilgt cskokat egy-egy halmaznak, s brzoljuk ket az albbi brkkal!

a) Sznezssel brzoljuk azokat a halmazokat, amelyeknek az rszhalmaza!

b) brzoljunk nhny olyan halmazprt, melyek kzl az egyik halmaz a msiknak rszhalmaza!

c) brzoljuk a kvetkez mveletek eredmnyt!

= = =

d) brzoljuk a hinyz halmazokat gy, hogy az egyenlsg helyes legyen!

= = =

e) Ptoljuk a hinyz mveleti jelet (a s az kzl) gy, hogy az egyenlsg helyes legyen!

= = =

2. Az brkon a termszetes szmok hrom rszhalmazt brzoltuk, s minden halmazrszbe bertunk egy-egy elemet. rjuk be a megfelel helyre az albbi cmkk betjelt:

Mindegyik halmazrszbe rjunk tovbbi elemeket!

NN

F 4-gyel nem oszthat szmokE 4-gyel oszthat szmokD 3-mal nem oszthat szmok

C 3-mal oszthat szmokB 100-nl nem kisebb szmokA Hromjegy szmok

2958

74

586

200

8

24

348

5232

54

468

426

518

728

86

93

3956


5 6 8 9

pl.:

0 8; 1 0; 3; 4; 7; 8; 9 2 8 3 8; 9 4 8; 9 5 6; 8; 9 6 8 7 0; 3; 8; 9 9 8

81 9

5; 9 5; 9 0; 4; 5; 6; 8; 9

B

D

E

C

A

F

(B is lehet)


31

3. A 8. b osztlyban mindenki tanul angolul vagy franciul. Angolul 25-en, franciul 14-en tanulnak.

a) brzoljuk az angolul tanulk halmazt s a franciul tanulk halmazt, rjuk be minden halmazrszbeaz elemek szmt, s adjuk meg az osztlyltszmot, ha

mindkt nyelvet 3-an tanuljk mindkt nyelvet 12-en tanuljk

az osztly ltszma a lehet legkisebb az osztly ltszma a lehet legnagyobb

b) Hnyan tanuljk mindkt nyelvet, ha az osztlyltszm 30? ..................................................................................................

*4. Az A s B halmazokrl azt tudjuk, hogy az A elemszma 6 (A = 6); a B elemszma 4 (B = 4). rjunk Ibett a megfelel oszlopba, ha az llts minden ilyen A, B halmazra igaz, s H-t, ha hamis! Indokoljunk!

5. rjunk a tblzat megfelel mezjbe 3-t, ha az oszlopba tartoz minden ngyszg rendelkezik az adotttulajdonsggal.

Igaz/Hamis Indokls

A B 10A B = 0

B AA-nak legalbb 2 olyaneleme van, amely B-nek

nem eleme

Ngyzet Rombusz Tglalap Paralelogramma Deltoid Hrtrapz

a) Van prhuzamos oldalprja.

b) Kt prhuzamos oldalprja van.

c) Minden oldala egyenl.

d) Van kt egyenl oldala.

e) Minden szge egyenl.

f) Van kt egyenl szge.

g) tli egyenlk.

h) tli felezik egymst.

i) tli merlegesek egymsra.

j) Tengelyesen szimmetrikus.

k) Kzppontosan szimmetrikus.

osztlyltszm:

...................................

osztlyltszm:

...................................

osztlyltszm:

...................................

osztlyltszm:

...................................


3 3 33 3

3 3 3 3

3 3

3 3 3 33 3

3 3

3 3 3 33 3

3 33

3 3 3 3

3 3 3

3 3 3 33

3 3 3 3

I Ha van kzs elem, akkor a kt halmaz egyestsnek elemszmakisebb 10-nl, ha nincs kzs elem, akkor 10.A kt halmaznak lehet kzs eleme.

A B halmaznak lehet olyan eleme, amely nem eleme A-nak.

Mivel A elemszma |A| = 6; B elemszma |B| = 4, ezrt A-nak

legfeljebb 4 olyan eleme lehet, amely eleme B-nek is.

H

H

I

39 30 = 9. 9 tanul tanulja mindkt nyelvet.

25

25 14 = 1111 + 14 = 25

25 + 14 14 = 25

25 3 = 2214 3 = 11

22 + 3 + 11 = 3625 + 14 3 = 36

13 + 12 + 2 = 2725 + 14 12 = 27

25 + 14 = 39

36

39

27

AF

22

113

AF

AF

A

F

25

14


HALMAZOK

32

6. Az albbi igaz lltsokbl kirepltek a felsorolt szavak. rjuk ket a helykre! (Nem kell minden pontozotthelyre rni valamit.)rombusz, minden, minden, van olyan, amelyik, van olyan, amelyik, ngyzet

a) ........................................................ paralelogramma, ........................................................ tengelyesen szimmetrikus.

b) ........................................................ rombusz, ........................................................ nem ngyzet.

c) ........................................................ tglalap ........................................................ trapz.

d) ........................................................ ngyzet ........................................................ deltoid.

e) Minden ........................................................ deltoid.

f) Minden ........................................................ tglalap.

7. rjuk az lltsok mell azoknak a kereteknek a betjelt, amelyekben lv skidomokra igaz az llts!

a) Minden skidom tengelyesen szimmetrikus. .....................................................................................................................................

b) Van olyan skidom, amelyik nem konvex. ...........................................................................................................................................

c) Van olyan skidom, amelyik kzppontosan szimmetrikus. ....................................................................................................

d) Nincs olyan skidom, amelyik nem sokszg. ....................................................................................................................................

e) Nem minden skidom sokszg. ................................................................................................................................................................

8. Rajzoljunk skidomokat a keretbe gy, hogy a 7. feladat lltsai kzl

A) csak az e) legyen igaz; B) legalbb 4 igaz legyen; C) mind hamis legyen.

1. 1. 1.

2.2. 2.

3.

3.3.

4.

4.

4.

5.

5.5.

A B C


Van olyan amelyik

Van olyan amelyik

Minden

Minden

rombusz

ngyzet

A

A; C

B; C

A; B

C

Ilyet nem lehet, mert ad) s e) llts kizrjkegymst.

(Nem lehet mindkettegyszerre hamis vagyegyszerre igaz.)

Pl.: Pl.: a), b), c), d) igaz


33

Beszljnk helyesen a matematika nyelvn!

1. Az brn a pontok egy trsasg tagjait jelentik. Kt pont akkor van sszektve, ha a nekik megfelelemberek ismerik egymst (az ismeretsg klcsns).

a) rjuk a nevek mell, ki hny embert ismer a trsasgbl!

rjuk az albbi lltsok mell, hogy igaz (I) vagy hamis (H)az brn lthat trsasgra!

Mindenki mindenkit ismer. Mindenki legalbb kt embert ismer. Van olyan, aki mindenkit ismer. Van olyan, aki senkit sem ismer.

b) Ksztsnk brt egy ttag trsasgrl gy, hogy a keretbe rt llts igaz legyen! (Ha ez nem lehet-sges, azt indokoljuk meg!)

c) rjuk az lltsok mell azoknak a kereteknek a betjelt, amelyekben brzolt trsasgra az llts igaz!

Nincs olyan ember, aki mindenkit ismer. .............................................................................................................................................

Nincs olyan ember, akit senki sem ismer. ...........................................................................................................................................

Nem igaz, hogy senki sem ismer mindenkit. ....................................................................................................................................

Nem igaz, hogy van olyan, aki mindenkit ismer. ............................................................................................................................

Nem igaz, hogy mindenki mindenkit ismer. ......................................................................................................................................

A B C D E

Van aki 4 embert ismer, s

nincs olyan akit senki sem ismer.

,

,

Legalbb kt ember van, aki

legfeljebb hrom embert ismer.

Van olyan, aki senkit

ismer.

sem

Legfeljebb kt ember van, aki

legalbb hrom embert ismer.

Mindenki mindenkit ismer.

Van olyan, aki mindenkit ismer, de van

kt ember, aki nem ismeri egymst.

gnes

Gbor

Tibor Flra

N ra


B; D; E

A; C; D; E

A; C

B; D; E

A; B; C; D; E

H

I

I

H

4

22

3 3

A keretekbe egy-egy pldt rajzoltunk.

4

4

44

4

4

4

33

4

4

2

32

3

4

2

12

3

1

1

32

3

0

3

22

3


HALMAZOK

34

2. Zsfi az osztlykirndulson tbb fnykpet ksztett az osztly tanulirl. Ezekre a kpekre vonatkoznak azalbbi lltsok. Kssnk ssze minden A) oszlopbeli lltst a B) oszlopbeli tagadsval!

A) B)

3. rjuk be a hinyz mondatokat gy, hogy mindegyik llts alatt ott legyen a tagadsa! Mindegyikhez rjunkI-t, ha igaz, s H-t, ha hamis!

a) llts: Minden 12-vel oszthat szm oszthat 24-gyel. Tagadsa: .....................................................................................................................................................................................................

b) llts: Van olyan tglatest, amelyik nem kocka. Tagadsa: .....................................................................................................................................................................................................

c) llts: ............................................................................................................................................................................................................. Tagadsa: Minden termszetes szm nemnegatv.

d) llts: ............................................................................................................................................................................................................. Tagadsa: Van olyan egyenlet, amelyiknek nincs megoldsa.

4. Egy teniszszakrt a kvetkezket lltja:Ha egy frfi teniszez 20 ves kora eltt legalbb ngy tornt nyer egy vben, akkor vilgels lesz.Ngy teniszezrl a kvetkezket tudjuk:

ROGER: Nem nyert 20 ves kora eltt legalbb ngy tornt egy vben, mgis vilgels lett.RAFAEL: 20 ves kora eltt legalbb ngy tornt nyert egy vben, s vilgels lett.ANDY: 20 ves kora eltt legalbb ngy tornt nyert egy vben, de nem lett vilgels.GEORGE: Nem nyert 20 ves kora eltt legalbb ngy tornt egy vben, s nem lett vilgels.

rjuk fel azoknak a nevt, akikre igaz a szakrt lltsa!

..............................................................................................................................................................................................................................................

5. Az albbi Ha ..., akkor ... tpus lltsokban hzzuk al kkkel a felttelt, pirossal a kvetkezmnyt, majdrjuk le az llts megfordtst! Mindegyikhez rjunk I-t, ha igaz, s H-t, ha hamis!

a) llts: Ha egy szm oszthat 6-tal s 4-gyel, akkor a szm oszthat 24-gyel. Megfordtsa: .............................................................................................................................................................................................

b) llts: Ha egy ngyszg tli felezik egymst, akkor a ngyszg kzppontosan szimmetrikus. Megfordtsa: .............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................. c) llts: Ha kt pros szmot adunk ssze, akkor az sszeg pros.

Megfordtsa: ............................................................................................................................................................................................. d) llts: Ha kt szm sszege pozitv, akkor a szorzatuk is pozitv.

Megfordtsa: .............................................................................................................................................................................................

Van olyan kp, amelyiken van, aki nincs rajta.Van olyan kp, amelyiken senki sincs.

Minden kp olyan, hogy van, aki nincs rajta.Minden kpen mindenki rajta van.

Minden kpen van valaki.Van olyan kp, amelyiken mindenki rajta van.


Van olyan 12-vel oszthat szm, amely nem oszthat 24-gyel.Nem minden 12-vel oszthat szm oszthat 24-gyel. VAGY

Nincs olyan tglatest, amelyik nem kocka. VAGY Minden tglatest kocka.

Nem minden termszetes szm nemnegatv. VAGY Van olyan termszetes szm, amelyik negatv.

Nincs olyan egyenlet, amelyiknek nincs megoldsa. VAGY Minden egyenletnek van megoldsa.

H

I

I

H

H

I

H

I

I

H

I

I

I

H

H

H

Roger, Rafael, George

Ha egy szm oszthat 24-gyel, akkor oszthat 6-tal s 4-gyel.

Ha egy ngyszg kzppontosan szimmetrikus, akkor tli felezik egymst.

Ha egy kttag sszeg pros, akkor kt pros szmot adtunk ssze.

Ha kt szm szorzata pozitv, akkor az sszegk is pozitv.


35

Hnyfle tvonal lehet? Az sszegzsi mdszer

1. Rajzoljuk le a sakktbln az sszes klnbz, 5 lpsbl ll tvonalat, amely az A mezrl a B mezrevezet! Egy lps egy mezrl egy vele oldalszomszdos mezre val lpst jelent. Kt tvonal klnbz,ha van eltr lps bennk. Minden brba egy tvonalat rajzoljunk!

A klnbz tvonalak szma: ............................

2. Hnyflekppen juthatunk A-bl B-be, ha csak a nyilaknak megfelelen haladhatunk? Minden keresztez-dsbe rjuk be, hogy hnyflekppen juthatunk oda az A-bl!

a)

b)

3. Hnyflekppen lehet kiolvasni a ZONGORA, GORDONKA, TUBA, GITR szavakat az brrl, ha mindigvalamilyen irnyba szomszdos betre lphetnk, de egy betre legfeljebb egyszer? Rajzoljuk be a nyilakat,s mindegyik bethz rjuk oda, hogy hnyflekppen lehet hozz eljutni az elz bettl!

a) b)

c) d)G

I

T

R

I

T

R

T

R

R

RT

U

B

A

U

B

A

B

A

A

G

O

R

D

O

R

D

O

R

D

O

N

D

O

N

K

O

N

K

A

Z

O

N

O

N

G

N

G

O

G

O

R

O

R

A

A B

A

B

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

A klnbztvonalakszma:

............................

A klnbztvonalakszma:

............................

A klnbzkiolvassok

szma:

............................

A klnbzkiolvassok

szma:

............................

A klnbzkiolvassok

szma:

............................

A klnbzkiolvassok

szma:

............................


X X

X X

X

X

X X

X

X X

X XX X X

XX

X

XX

X

XX

X X

X X

X X X 1 2 3

1 3

1 4

6

11

X

X X

X X

X

X X

X

Ennek alapjn meghatroz-hat az tvonalak szma

10

1

2

1

1

3

6

3

1

4

10

1

5

1

10 + 515

16

8 + 8

2

2 8 8

8 8

8 8

2

1

1 1

11

3

3

15 35

1681 + 3 + 3 + 1 = 8

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16

1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 5

3 6 10 15

4

1

1

1 10 20 35

1 1 1

21 3

31

41

1

6

4

1

21 3 4 5

31 6 10 15

1 1 1

2 3

3

1

1

1

10


HALMAZOK

36

4. Jtsszunk! A koordinta-rendszer O pontjbl indulunk, s ha egyrmvel fejet dobunk, akkor az y tengellyel, ha rst, akkor az x tengellyelprhuzamosan lpnk egyet pozitv irnyban.

a) Vgezznk 6 dobsbl ll dobssorozatokat! A tblzatba jegyez-zk fel a dobsokat, majd annak a pontnak a koordintit, ahov a 6lpssel jutottunk!

b) Jelljk meg a koordinta-rendszerben az sszes olyan pontot, ahov 6 dobs utn juthatunk!

c) rjuk a tblzatba a pontokat koordintikkal, s azt, hogy melyik pontba hnyfle dobssorozattal leheteljutni! Kt dobssorozat klnbz, ha van olyan sorszm, amelynek megfelel dobs a kt sorozatbanklnbz.

d) Melyik pontba juthatunk a legnagyobb valsznsggel? ........................................................................................................

e) Melyik pontba juthatunk a legkisebb valsznsggel? .............................................................................................................

5. Az bra egy kis park statjait mutatja. Hnyflekppen stlhatunk a szk-kttl a szoborig, ha minden tszakaszon legfeljebb egyszer mehetnk vgig,de lehet olyan keresztezds, amelyen tbbszr is thaladunk? Rajzoljuk megaz sszes lehetsget! (Kt sta tvonala klnbz, ha van eltr szakaszuk.)

A klnbz statvonalak szma: ...................

Vgpontok

Dobssorozatok szma

Sorozat

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

1. dobs

2. dobs

3. dobs

4. dobs

5. dobs

6. dobs

A vgpontkoordinti

y

x1 5

1

5

O

SzoborSzk-

kt


I I F I I F F F I I

I I I I I F I F F I

soksz n matek munkaf zet 010450

Documents