software di geometria dinamica per lo studio della ... · software di geometria dinamica per lo...

Software di geometria dinamica per lo studio della geometria dello spazio Giuseppe Accascina Dipartimento Metodi e Modelli Matematici, Sapienza Università di Roma [email protected] Enrico Pietropoli Liceo Scientifico E. Montale, Roma Enrico Rogora Dipartimento di Matematica, Sapienza Università di Roma [email protected] Riassunto. Viene analizzato l’uso di diagrammi digitali costruiti con Cabri 3D nell’insegnamento - apprendimento della geometria euclidea dello spazio a livello di scuola secondaria superiore. Viene in particolare mostrata l’efficacia del loro utilizzo insieme a modelli concreti di semplice costruzione. La geometria dello spazio è difficile e per questo motivo il suo insegnamento nelle scuole è sempre più trascurato. In letteratura vi sono molti studi dedicati a quest’argomento. Qui ci limitiamo a:

• Mariotti, M.A. (2005) La geometria in classe. Riflessioni sull’insegnamento e

apprendimento della geometria, Pitagora Editrice, Bologna e il capitolo Viviamo nello spazio tridimensionale. Perché l’insegnamento della geometria privilegia la sola geometria del piano? Sono possibili approcci alternativi? di

• V. Villani (2006) Cominciamo dal punto Domande, risposte e commenti per saperne di più sui perché della Matematica (Geometria), Pitagora Editrice, Bologna.

Ciò succede non solo in Italia. In

• Bako, M. (2003) Different projecting methods in teaching spatial geometry, http://ermeweb.free.fr/CERME3/Groups/TG7/TG7_Bako_cerme3.pdf

viene citata un’indagine del Ministero della Pubblica Istruzione francese che

… mostra che la statistica e la geometria dello spazio sono le materie meno amate dagli studenti di 15 anni. Solo il 10 % degli insegnanti insegna geometria dello spazio. Gli insegnanti dicono che non hanno abbastanza tempo per insegnarla, ma la vera ragione è che gli studenti non sanno vedere in 3D. (nostra traduzione).

Turpe Monatto ! 23-3-08 11:02






Comment: Aggiungere e-,ail

Comment: dei

Comment: ,

Comment: osservato come sia necessario affiancare all'uso del software quello di semplici

Comment: per evitare insidiose misconcezioni (fraintendimenti).

Comment: Mettere il riferimento in nota alla citazione,. Non e' un riferimento bibliografico ma un link a un sito che potrebbe scomparire. Lo stesso per il successivo. Bisognerebbe controllare che non sia stata pubblicatto.

Sempre Bako cita un interessante esempio tratto da un’indagine svolta da insegnanti dell’ Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques (I.R.E.M.) di Strasbourg

• Bayart C. (1997) Voir et raisonner: à la conquête de l'espace au collège, IREM, Strasbourg http://130.79.4.117:8080/Record.htm?idlist=1&record=19498083124912162659 )

Agli studenti è stato mostrato il seguente diagramma1 dicendo esplicitamente che rappresenta un cubo. Viene quindi chiesto se i punti G, N, M, e P sono allineati.

Figura 1. Diagramma rappresentante un cubo. I punti G, N, M e P sono allineati? La maggior parte degli studenti ha risposto di sì. Costoro non hanno svolto alcun ragionamento geometrico. Una buona descrizione di cosa sia il ragionamento geometrico si trova in:

• Mariotti. M.A. (1996) Costruzioni in geometria: alcune riflessioni, L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 19B, pp. 261-287

La geometria è quel dominio della Matematica che tratta delle proprietà spaziali; secondo Fischbein i concetti geometrici, o "concetti figurali", presentano una duplice natura in quanto sono caratterizzati dalla fusione di due componenti, una figurale ed una concettuale. La prima trae origine dal mondo fisico in cui i concetti nascono e ne esprime la spazialità, la seconda si riferisce al carattere astratto (ideale, generale ... ) e teorico di tali concetti; in accordo con questa ipotesi, il ragionamento geometrico è caratterizzato da un processo dialettico tra la componente figurale e quella concettuale.

In questo caso il ragionamento geometrico è reso più difficile dal fatto che gli studenti avevano a disposizione solo un diagramma bidimensionale cartaceo. Il software Cabri 3D:

1 Con il termine “diagramma” intendiamo un disegno su un foglio di carta o sullo schermo di un computer (diagramma digitale) rappresentante oggetti e relazioni tra di essi.







Comment: Qui starebbe meglio la percentuale esaatta

Comment: Enfatizzare "ragionamento geometrica" e andare a capo

Comment: Il senso che attribuiamo alle parole "ragionamento geometrico" e' ben sintetizzato in

Comment: Nell'esempio che abbiamo riportato,

Comment: un corretto

Comment: L'intera frase non mi piace perche' non si inserisce bene, come potrebbe, cn il discorso figurale/concettuale. Non mi azzardo a formularne una alternativa

• Bainville, E.e Laborde, J.M. (2004) Cabri3D, v.1.0.3 Cabrilog http://www.cabri.com

permette di costruire diagrammi bidimensionali digitali che rappresentano oggetti tridimensionali. Essi permettono di girare intorno ad un oggetto, cioè di cambiare il punto di vista, e di interpretare correttamente il diagramma stesso.

Figura 2. Cambio del punto di vista con Cabri 3d. Molti programmi di rappresentazione tridimensionale permettono di cambiare il punto di vista. Ma la prerogativa di Cabri 3D è d’essere l’unico programma di geometria dinamica tridimensionale. Spieghiamo cosa s’intende per programma di geometria dinamica introducendo un nuovo diagramma costruito con Cabri 3D.

Figura 3. Un cubo, una sfera, una retta, un piano e la sua intersezione con il cubo.

Abbiamo costruito un cubo con centro in un punto assegnato O. Abbiamo poi costruito una sfera di centro O interna al cubo, un punto V sulla sfera, la retta r passante per i punti O e V, un punto P sulla retta r, il piano passante per il punto P e perpendicolare alla retta r ed infine abbiamo evidenziato l’intersezione del piano con il cubo. Osserviamo che abbiamo scelto un punto V qualsiasi sulla sfera e un punto P qualsiasi sulla retta r. Bene, Cabri 3D permette di “afferrare” il punto P e farlo scorrere sulla retta r. Mentre si muove il punto P, si muove anche il piano; esso continua a passare per il punto P e continua ad essere perpendicolare alla retta r. In altre parole il piano continua a mantenere le condizioni che gli avevamo assegnato. Pertanto, muovendo il punto P sulla retta r, otteniamo piani tutti paralleli tra loro. I programmi che hanno questo tipo di caratteristica si chiamano programmi di geometria dinamica. Cabri 3D è al momento attuale l’unico programma di geometria dinamica 3D.










Comment: Mettere il riferimento come nota

Comment: Mettere di seguito a "il software Cabri3D e togliere il ";"

Comment: Enfatizzato

Comment: Enfatizzato

Comment: Mettere a capo e sostituire con "Per spiegare cosa s'intende per programma di geometria dinamica, consideriamo

Comment: Aggiungere in nota; I file in formato Cabri 3D sono disponibili all'indirizzo web ..... e possono essere visualizzati con un versione DEMO di Cabri3D scaricabile gratuitamente all'indirizzo web ....

Comment: Per realizzare il diagramma a

Comment: Cioe' non determinato da ulteriori costruzioni geometriche,

Comment: Si chiamano programmi di geometria dinamica quelli che: i) permettono la costruzione di un diagramma specificando le relazioni geometriche astratte tra i suoi elementi ii) mantengono le relazioni geometriche tra gli elementi di un diagramma quando si modificano le posizioni degli elementi stessi

Esistono invece vari programmi di geometria dinamica 2D. I capostipiti sono stati Cabri- Géomètre, più diffuso in Europa, e Geometry Sketchpad, più diffuso negli USA. Ad essi ne sono seguiti diversi altri. Alcuni originali, la maggior parte semplici cloni dei due capostipiti. A proposito dei programmi di geometria dinamica, Mariotti a pagina 147 del libro La geometria in classe citato in precedenza osserva:

Questo tipo di software produce, dunque, delle immagini nello schermo che sono controllate logicamente dai comandi disponibili, Nel quadro generale della teoria dei concetti figurali, che abbiamo introdotto all’inizio e preso come riferimento per la nostra discussione, ciò significa che sia la componente figurale che quella concettuale sono evocate in ogni figura di Cabri.

Torniamo al nostro diagramma con Cabri3D. Ora muoviamo il punto V sulla sfera. Contemporaneamente si muove la retta r che continua a passare per O e V, di conseguenza si muove il punto P che continua ad appartenere alla retta r e anche il piano che continua a passare per P e ad essere perpendicolare alla retta r. Il punto P mantiene sempre la stessa distanza dal punto O. Pertanto, muovendo il punto V sulla sfera, otteniamo piani aventi tutti la stessa distanza dal punto O. In definitiva, muovendo i punti V e P possiamo esaminare tutti i piani dello spazio e le loro intersezioni con il cubo. Cabri 3D ci permette quindi di studiare intersezioni di un cubo con un qualsiasi piano. Il problema delle sezioni di un cubo con un piano si presta molto bene per abituare gli studenti a formarsi immagini mentali di configurazioni spaziali. Molto noto a questo proposito è il film d’animazione:

• Banchoff, T. e Strauss, C (1978), The Hypercube: Projections and Slicing [video: VHS format ],Thomas Banchoff Productions, Inc., P.O.Box 2430, Providence RI 02906

il quale inizia con l’esaminare le sezioni piane di un cubo (tridimensionale) per poi passare ad esaminare un ipercubo (quadridimensionale) e le sue sezioni con un iperpiano (tridimensionale). Citiamo alcune proposte didattiche italiane sull’intersezione cubo-piano:

• Seminario Didattico, Dipartimento di Matematica, Università di Pisa (1985), La geometria: dallo spazio al piano Quaderno n.2. per l’aggiornamento degli insegnanti elementari, 1985;

• Villani, V. (1987) La geometria dello spazio, L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 10, n.5, p. 405-440

• Dedò, M., (1995) Modelli di Poliedri, Atti del XVII convegno sull’Insegnamento della Matematica,: L’insegnamento della geometria a cura di Micale, B. e Plachino, S. (Latina 27-29 ottobre 1994), Notiziario UMI, supplemento al n. 8-9, pp. 13-28

• Tomasi, L. e Bernecoli S. (1995) Sezioni piane di un cubo: un problema di geometria dello spazio risolto con Cabri-géomètre Quaderno n.9 di CabriIrrsae http://www.fardiconto.it/cabrirrsae/quaderni/quad09.html

Nel quaderno di Tomasi e Bernecoli viene usato Cabri-Géomètre per rappresentare oggetti tridimensionali. Il problema è che Cabri-Géomètre è un programma di geometria dinamica nato per rappresentare figure piane. Pertanto, per utilizzarlo nella rappresentazione di oggetti




Comment: come Cinderella

Comment: enfatizzato

Comment: Questo diagramma

tridimensionali, è necessario avere una buona conoscenza della geometria descrittiva, materia che studia appunto come rappresentare la geometria tridimensionale nel piano bidimensionale. Con Cabri 3D, nato posteriormente al quaderno di Tomasi e Bernecoli, è invece possibile rappresentare oggetti tridimensionali nel piano senza aver alcuna conoscenza di geometria descrittiva. Nell’insegnamento della geometria dello spazio, poiché le rappresentazioni bidimensionali dello spazio possono creare negli studenti problemi d’interpretazione, viene di salito suggerito ai docenti di fare uso di usare modellini concreti. Nel nostro caso, in cui vogliamo rappresentare intersezioni di un cubo con un piano, non è però così semplice. E’, infatti, facile procurarsi un modellino di un cubo. Non è però altrettanto semplice affettarlo con piani. Per ovviare a ciò in

• Lo Cicero A., Micale B. e Milone C. (2005) Visualizzazione in geometria: previsioni di regolarità fra ombre e colori (parte seconda), L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 18, p. 223-244

viene proposto l’uso di modelli di plexiglas riempito con un liquido.

Figura 4. Modellini di cubi intersecati da piani in plexiglas Sono modelli molto utili, ma non sono di facile realizzazione e, una volta costruiti, non sono modificabili. Sono invece facilmente realizzabili e modificabili i diagrammi costruiti con Cabri 3D

Nel già citato sito di Cabrilog http://www.cabri.com si trovano interessanti diagrammi costruiti con Cabri 3D. Altri esempi si trovano in

• Tomasi, L. e Bainville, L. (2006) Introduzione a Cabri 3D, Mediadirect, Bassano del

Grappa Il sito di Luigi Tomasi



Comment: Spaziare di piu' la frase successiva

Comment: Togliere lo spazio che separa questa frase dalla successiva e la successiva con quella ancora dopo.

• http://www.matematica.it/tomasi/ contiene molti esempi e un elenco di siti dedicati a Cabri 3D. Torniamo al nostro problema dell’intersezione di un cubo con un piano e poniamoci il seguente problema: E’ possibile ottenere triangoli rettangoli intersecando un cubo con un piano?

Abbiamo posto questa domanda a studenti di scuola secondaria superiore, a studenti universitari e a docenti in formazione di matematica. Tutti avevano imparato ad usare Cabri 3D ed avevano a disposizione il file con il quale è stato realizzato il diagramma in figura 3. Gli studenti di scuola erano studenti del Liceo Classico “E.Montale” di Roma che stavano partecipando ad ciclo di lezioni sulla geometria dello spazio svolto dal Professor E. Pietropoli. Degli studenti universitari, alcuni erano iscritti alla Laurea triennale, altri alla Laurea Specialistica di Matematica. Tutti stavano seguendo uno dei corsi di Matematica complementare svolti da G.Accascina negli A.A. 2005-06 e 2006-07 presso l’Università di Roma 3. Gli insegnanti in formazione erano laureati iscritti alla Scuola di Specializzazione all’Insegnamento Secondario (SSIS) del Lazio che stavano seguendo uno dei corsi sulla geometria dello spazio svolti da E. Rogora negli A.A. 2004-05 e 2005-06. In tutti i casi gli studenti, sia quelli di scuola, sia quelli universitari, sia i futuri professori di scuola, hanno avuto grosse difficoltà. Presto gli studenti hanno abbandonato lo schermo poiché dalla semplice osservazione dei diagrammi digitali di Cabri 3D non erano in grado di capire se un particolare angolo fosse retto o meno. Hanno quindi fatto ricorso alle mani e ad un modellino di cubo.

Figura 5. Alla ricerca di un triangolo rettangolo.



Comment: durante una sessione di laboratorio dedicata all'illustrazione di Cabri3D

Comment: Aggiungere una frase con: i) considerazioni sulla fattibilita' e sull'opportunita' di svolgere questo tipo di attivita' all'interno di una scuola media superiore ii) risposta degli studenti a questo genere di attivita'

Figura 6. Forse non esiste un triangolo rettangolo. Questi ed altri esperimenti sono stati descritti in:

• Accascina, G e Rogora, E. (2005) Using Cabri 3D: First Impressions, Proc. of the 7th International Conference on Technology in Mathematics Teaching, Vol. 1, University of Bristol, 2005, ISBN 0-86292-559-2, pp. 53-60

• Accascina, G e Rogora, E. (2006) Using Cabri 3D Diagrams For Teaching Geometry, International Journal for Technology in Mathematics Education, vol. 13, n.1, pp. 11- 22

• Accascina, G e Rogora, E. (2006) La geometria 3D nella formazione degli studenti SSIS, In: La matematica e la fisica nella scuola e nella formazione degli insegnanti, Milano, Ghisetti Corv,i pp. 257-261.

Presto gli studenti si sono resi conto che la domanda sull’esistenza di un triangolo rettangolo è collegata alla seguente domanda: Intersecando due piani perpendicolari con un terzo piano si ottiene sempre un angolo retto? La maggior parte degli studenti, di scuola, universitari, futuri docenti, in un primo momento propendeva per la risposta affermativa. Gli esperimenti svolti mostrano che nasce la necessità di ideare dei modelli concreti che aiutino a rispondere a domande di questo tipo. Luca Piselli, lo studente in primo piano a sinistra nelle figure precedenti, è rimasto talmente coinvolto da questo tipo di domande da svolgere la sua tesi di Laurea su questo argomento:

• Piselli, L. (2005) Geometria euclidea dello spazio: nozioni di base e percorsi didattici, Tesi di Laurea triennale in Matematica, Università Roma 3 (relatore G.Accascina)





Comment: con un'analisi delle insidiose misconcezioni che si possono generare con l'uso di Cabri3D

Comment: Eliminare

Comment: che il solo uso di diagrammi prodotti con Cabri3D non aiuta a rispondere correttamente a numerosi problemi di geometria euclidea e, a differenza di quello che si osserva con CabriGeometre, e' necessario affiancare all'uso del software la disponibilita' di modelli concreti per stimolare la formazione delle corrette immagini figurali degli oggetti tridimensionali.

Comment: la metterei in rete e la renderei disponibile

In esso Luca ha presentato un percorso didattico per studenti di scuola secondaria superiore nel quale, usando una squadra, si fa osservare che intersecando piani perpendicolari con un piano si ottengono non solo angoli retti.

Figure 7 e 8. Uso della squadra. Non si ottengono solo angoli retti. Sostituendo poi la squadra con due listelli snodabili, ci si rende conto non solo che si può ottenere un qualsiasi angolo,

Figure 9 e 10. Uso di listelli. Si ottengono angoli qualsiasi ma anche che si può determinare il piano secante scegliendo tre punti: il punto O sulla retta di intersezione dei due piani perpendicolari, il punto A su uno dei due piani, quello verde, che chiamiamo alfa, e il punto B sul piano rosso, che chiamiamo beta, perpendicolare al piano alfa.



Comment: si indagano gli angoli che si possono ottenere sezionando un diedro con un piano. [Aggiungere riferimento all'articolo di Bernardi su Archimede] . In questo percorso, prima si studiano le configurazioni geometriche con l'ausilio di semplici strumenti e modelli tridimensionale e poi si concettualizzano le immagini formate in questa prima attivita' con l'uso di Cabri3D.

Comment: Mettere questa frase a capo, sostituendo "piani perpendicolari" con "diedro retto"

Figura 11. Diagramma con Cabri 3D. Le interserzioni di due piani perpendicolari con un piano

Capito tutto ciò, si è ora in grado di costruire un diagramma con Cabri 3D che mostra come, fissato un qualsiasi angolo, esiste un piano, il piano blu che chiamiamo gamma, che interseca i piani alfa e beta nell’angolo fissato. Muoviamo il piano gamma muovendo i punti A e B sulle circonferenze gialle crf1 e crf2 . Si è anche in grado di generalizzare tutto ciò al caso in cui i piani alfa e beta non siano più perpendicolari e di costruirne il diagramma con cabri 3D. Muoviamo il piano alfa muovendo il punto P sulla terza circonferenza gialla.

Figura 12. Diagramma con Cabri 3D. Le inteserzioni di due piani qualsiasi con un piano Abbiamo in definitiva mostrato alcuni esempi in cui il solo uso di modellini o il solo uso di diagrammi, sia pur digitali, può non essere efficace per l’apprendimento della geometria dello spazio e un esempio in cui l’uso integrato di modelli e di diagrammi digitali può aiutare nella comprensione di argomenti altrimenti non facili o antiintuitivi. Turpe Monatto ! 23-3-08 7:52

Comment: poco intuitivi

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