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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

MÉTODO EMPÍRICO DE ESCALADO QUE CONSIDERA LOS CONTENIDOS DE

ENERGÍA Y DE FRECUENCIAS DE LOS MOVIMIENTOS DEL TERRENO

Arturo Quiroz Ramírez1 y Amador Terán Gilmore2

RESUMEN

Los métodos actuales para el escalado de registros sísmicos pueden resultar en movimientos sintéticos del

terreno que no caracterizan adecuadamente las propiedades dinámicas y energéticas de los movimientos del

terreno esperados en la Zona del Lago del D.F. En particular, el contenido de energía de acelerogramas

sintéticos suele no corresponder al esperado para ellos conforme a la evidencia instrumental disponible.

Debido a lo anterior, es necesario desarrollar metodologías de escalado que consideren explícitamente la

variación del contenido de energía de los movimientos del terreno de acuerdo a su intensidad. Este artículo

presenta un procedimiento empírico que, con base en la curva acumulada de Arias, permite escalar

acelerogramas registrados en sismos de baja intensidad para obtener movimientos del terreno representativos,

en términos de contenidos de energía y frecuencias, de movimientos del terreno esperados en la Zona del

Lago del D.F. durante eventos sísmicos severos.

INTRODUCCIÓN

La respuesta de las estructuras ante sismos de diferente intensidad puede estimarse a partir de métodos de

análisis dinámico paso a paso. Los diferentes parámetros de respuesta estimados a partir de este tipo de

análisis, tal como las distorsiones máximas de entrepiso, el desplazamiento máximo de azotea, y las

ductilidades máximas a niveles local y global, suelen utilizarse para evaluar el desempeño estructural de una

estructura particular, o para establecer y calibrar los procedimientos normativos de diseño sísmico. Especial

interés recibe dentro de este contexto el análisis dinámico incremental (ADI) propuesto por Vamvatsikos y

Cornell (2002), concebido para aportar una caracterización adecuada de la respuesta estructural de estructuras

sujetas a sismos de diferente intensidad.

Vamvatsikos y Cornell indican que el ADI ofrece un mejor entendimiento del comportamiento estructural

para el rango completo de niveles potenciales de movimiento del terreno, y observan que identificar el cambio

en la naturaleza de la respuesta estructural con un incremento en la intensidad del movimiento de terreno es

fundamental para la correcta toma de decisiones alrededor de un proyecto estructural. Como parte del

procedimiento que plantean, sugieren que los acelerogramas bajo consideración deben escalarse

progresivamente para representar excitaciones sísmicas que abarquen el rango de intensidades de interés. El

factor usado en cada proceso de escalado debe ser tal que al multiplicarse por la historia de aceleraciones del

registro se obtenga un valor dado para la ordenada espectral correspondiente al periodo fundamental de la

estructura. Dicha ordenada suele asociarse a un periodo de retorno.

Es posible sustentar en dos supuestos la consideración hecha para el escalado de un movimiento del terreno

dentro del contexto de un ADI: A) Que los contenidos de energía y de frecuencias de los movimientos del

terreno son razonablemente independientes de su intensidad; o B) Las respuestas estructurales comúnmente

utilizadas para definir el desempeño estructural no se ven significativamente afectadas por la posible

variación en dichos contenidos. Vamvatsikos y Cornell justifican el procedimiento de escalado que proponen

con base en el segundo supuesto.

1 Estudiante de Doctorado en Ingeniería Civil, División de Estudios de Posgrado de la Facultad de

Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México. [email protected], (55)5582-8698,

México D.F.

2 Profesor Investigador, Departamento de Materiales, Universidad Autónoma Metropolitana.

[email protected], [email protected] , (55)5318-9459, México D.F.

XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Veracruz, Ver. 2008.

2

Varios autores, entre los que destacan Ordaz et al. (1995) y Kohrs et al. (2005), han desarrollado algoritmos

para generar movimientos del terreno de gran intensidad en la Zona del Lago del D.F. a partir de semillas que

corresponden a movimientos de baja intensidad registrados en dicha zona. Para tal fin se requiere caracterizar

la falla donde se genera el sismo, la transmisión de las ondas sísmicas hasta el sitio de interés, y los efectos de

sitio. Entre la información que se requiere para caracterizar la falla, suele utilizarse el momento sísmico y la

caída de esfuerzos. Los algoritmos se basan en la suma estocástica de movimientos registrados durante

eventos sísmicos de baja intensidad ocurridos en la zona epicentral de interés.

Estudios relativamente recientes indican que las estructuras desplantadas en la Zona del Lago del D.F.,

particularmente aquellas cuyo periodo dominante de vibración se acerca al periodo dominante del terreno,

pueden verse sujetas a una acumulación progresiva y severa de deformación plástica. Varios estudios

analíticos muestran la preocupación de investigadores mexicanos alrededor de este tema (Terán 1998, Rodríguez

y Aristizabal 1999, Huerta y Reinoso 2002, Bojórquez y Ruiz 2004, Arroyo y Ordaz 2007, Terán y Bahena

2008). Lo anterior implica que la aplicación de metodologías como el ADI a estructuras desplantadas en esta

zona requiere considerar otros parámetros de respuesta, tal como las demandas de energía plástica.

Dado que los contenidos de frecuencia y energía exhiben cambios significativos en función de la intensidad

de los movimientos del terreno que se generan en la Zona del Lago, el escalado de un acelerograma de baja

intensidad mediante el uso de un factor, o la generación de acelerogramas sintéticos a partir de movimientos

semilla registrados durante sismos menores, puede resultar en movimientos del terreno cuyos contenidos de

energía y frecuencias no corresponden a los esperados para ellos conforme a la evidencia instrumental

disponible. Este artículo propone un procedimiento sencillo y empírico de escalado que considera

explícitamente el contenido de energía del movimiento del terreno. Dicha consideración se hace a partir de

caracterizar la historia de liberación de energía de los registros por medio de una distribución de probabilidad

lognormal que varía en términos de la aceleración máxima del terreno.

LOS MOVIMIENTOS SISMICOS Y SUS CARACTERÍSTICAS

Cuando se fractura la corteza terrestre se genera una gran cantidad de energía. Mientras la mayor parte se

disipa como calor, el resto se libera como ondas sísmicas. Normalmente se distinguen en un registro ondas de

cuerpo y superficie. Las ondas de cuerpo, que son las primeras en llegar y en ser captadas por los aparatos de

registro, se dividen en primarias (P) y secundarias (S). Posteriormente llegan las ondas de superficie, que se

dividen en ondas Love (L) y Rayleigh (R). A pesar de que la propagación de las ondas depende de la densidad

y otras propiedades de la roca y demás materiales por donde se transmiten, la distancia al sitio donde se ubica

el aparato y la profundidad del foco generador son los principales factores que permiten que estas puedan ser

o no identificadas en un registro.

Para el caso de la Ciudad de México, los principales focos generadores se ubican a lo largo de una longitud

importante de la costa del Pacífico, y se ubican entre 300 y 400 km de distancia (Figura 1). Lo anterior resulta

en que los movimientos registrados hasta la fecha han sido registrados en su mayoría en eventos sísmicos de

foco lejano y profundidad somera.

Las medidas de magnitud e intensidad suelen usarse para caracterizar el tamaño y fuerza de un sismo,

respectivamente. La magnitud es una medida instrumental del tamaño del evento, y puede considerarse como

un parámetro cuantitativo por relacionarse con la energía sísmica liberada durante el proceso de ruptura de la

falla. La magnitud es una constante única que se asigna a un sismo dado y es independiente del sitio de

observación. La intensidad mide la fuerza del movimiento del terreno a través de caracterizar el grado de

vibración registrada en determinada localidad, así como sus efectos (daños). La intensidad es una variable que

depende del sitio de observación, y generalmente disminuye con la distancia epicentral. Entre las medidas

más importantes de intensidad están los valores máximos de aceleración y velocidad del terreno, así como

diferentes valores pico asociados a los espectros de respuesta utilizados para el análisis y diseño sísmico.


3

Figura 1 Ubicación de los eventos sísmicos más importantes de México

La aceleración máxima del terreno (AMT) y la intensidad de Arias (IA) son parámetros utilizados

frecuentemente para caracterizar la severidad del movimiento sísmico y su contenido de energía,

respectivamente. La intensidad de Arias se define como una medida directa de la integral en el tiempo del

cuadrado de la aceleración del terreno:

2 ( )2

AI t dtg

πυ= ∫ ɺɺ

(1)

donde 2 ( )tυɺɺ es la aceleración del terreno y t denota tiempo. En su formulación original,

AI cuantifica la

energía total de movimiento contenida en las dos componentes direccionales de una población de osciladores

distribuidos uniformemente en el dominio de la frecuencia.

EVENTOS SELECCIONADOS

Para llevar los estudios reportados aquí, se consideraron 45 movimientos del terreno registrados en sitios de

suelo blando considerados como arcillas compresibles o de alta peligrosidad sísmica y contenidos en la Base

Mexicana de Datos de Sismos Fuertes (Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica 2000). Cada registro fue

procesado por medio del programa DEGTRA con un filtrado pasa – banda de 0.1 a 10Hz y la corrección de su

línea base (Ordaz et al, 2005). La Tabla 1 resume la fecha, coordenadas epicentrales, así como la ubicación y

algunas propiedades relevantes de los registros. Note que todos los movimientos fueron registrados en sitios

con periodo fundamental del suelo alrededor de los 2 segundos. Para cada registro, el período fundamental Tg

corresponde al valor pico de su espectro de energía de entrada para un porcentaje de amortiguamiento crítico

de 5%.

PROBLEMAS CON LOS METODOS ACTUALES DE ESCALADO

El escalado de movimientos del terreno por un factor o la generación de acelerogramas sintéticos por medio

de modelos estocásticos son temas ampliamente estudiados. Mientras, que el primer método plantea el uso de

un factor de escalado para todas las aceleraciones del acelerograma por escalar, los segundos suelen enfocarse

en el uso de modelos estocásticos que intentan reproducir el fenómeno de distribución de ondas sísmicas bajo

la consideración de leyes de atenuación y el mecanismo de fractura en las fuentes generadoras (Boore 1983,

Ordaz et al. 1995, Flores 2004 y Kohrs et al. 2005).


4

Tabla 1 Movimientos registrados en sitios con Tg cercano a 2 segundos

I A T g

Lat N Long W Lat N Long W cm/s2 s1 24/10/1993 Liv 9.4246 19.426 99.157 16.54 98.98 1.41 1.832 11/01/1997 SCT1 11.924 19.393 99.147 17.9 103 2.27 1.973 24/10/1993 Liv 13.253 19.426 99.157 16.54 98.98 1.63 2.204 09/10/1995 Liv 16.413 19.426 99.157 18.74 104.67 4.58 2.145 11/01/1997 Liv 16.633 19.426 99.157 17.9 103 2.93 2.186 10/12/1994 Cor 17.136 19.422 99.159 18.02 101.56 5.64 2.207 10/12/1994 Cor 17.546 19.422 99.159 18.02 101.56 5.59 2.268 09/10/1995 Cor 18.928 19.422 99.159 18.74 104.67 8.02 2.289 30/09/1999 SCT1 20.584 19.393 99.147 15.95 97.03 5.76 1.6310 11/01/1997 Cor 20.825 19.422 99.159 17.9 103 7.75 2.2411 11/01/1997 Cor 21.712 19.422 99.159 17.9 103 6.26 2.2812 11/01/1997 Liv 22.233 19.426 99.157 17.9 103 6.93 2.1813 15/06/1999 Cor 23.935 19.422 99.159 18.18 97.51 9.01 2.0414 25/04/1989 Liv 26.021 19.426 99.157 16.603 99.4 16.81 2.3015 30/09/1999 Liv 26.021 19.426 99.157 15.95 97.03 9.14 2.1016 15/06/1999 Liv 26.08 19.426 99.157 18.18 97.51 6.07 2.0417 15/06/1999 Liv 26.967 19.426 99.157 18.18 97.51 7.35 2.3618 30/09/1999 Cor 30.54 19.422 99.159 15.95 97.03 14.30 2.1819 15/06/1999 SCT1 31.082 19.393 99.147 18.18 97.51 6.08 1.8720 25/04/1989 Liv 31.09 19.426 99.157 16.603 99.4 16.49 2.3421 30/09/1999 Liv 31.09 19.426 99.157 15.95 97.03 10.12 2.1622 15/06/1999 Cor 32.547 19.422 99.159 18.18 97.51 11.77 2.2023 30/09/1999 SCT1 36.458 19.393 99.147 15.95 97.03 7.99 2.0624 25/04/1989 SCT2 38.049 19.393 99.147 16.603 99.4 13.07 2.0625 25/04/1989 Cor 39.094 19.422 99.159 16.603 99.4 16.97 2.3626 30/09/1999 Cor 42.504 19.422 99.159 15.95 97.03 14.57 2.3227 25/04/1989 GA 45.427 19.439 99.14 16.603 99.4 16.81 2.1628 25/04/1989 DFRO 46.081 19.405 99.166 16.603 99.4 16.17 1.1929 21/09/1985 TLHD 49.277 19.293 99.035 18.021 101.479 14.88 1.9730 25/04/1989 CUE 50.381 19.294 99.104 16.603 99.4 34.43 2.9831 21/09/1985 TLHD 51.448 19.293 99.035 18.021 101.479 19.37 1.9132 15/06/1999 CUE 52.041 19.294 99.104 18.18 97.51 12.33 1.2133 25/04/1989 GA 52.223 19.439 99.14 16.603 99.4 20.50 2.1234 25/04/1989 CUE 53.661 19.294 99.104 16.603 99.4 22.90 2.7035 25/04/1989 Cor 73.102 19.422 99.159 16.603 99.4 41.79 2.4636 19/09/1985 CDAF 77.206 19.366 99.086 18.081 102.942 51.40 1.9337 19/09/1985 CDAF 90.133 19.366 99.086 18.081 102.942 73.98 2.1438 19/09/1985 SCT1 93.434 19.393 99.147 18.081 102.942 119.77 2.0639 19/09/1985 TXS 102.89 19.58 99.019 18.081 102.942 95.59 1.8140 19/09/1985 TXS 103.03 19.58 99.019 18.081 102.942 71.25 1.5741 19/09/1985 TLHB 105.71 19.279 99.008 18.081 102.942 102.00 2.0242 19/09/1985 TLHD 111.25 19.293 99.035 18.081 102.942 68.37 2.2443 19/09/1985 TLHD 117.3 19.293 99.035 18.081 102.942 61.65 1.9144 19/09/1985 TLHB 135.29 19.279 99.008 18.081 102.942 146.51 1.9145 19/09/1985 SCT1 160.03 19.393 99.147 18.081 102.942 222.57 2.04

Estación EpicentroNo de evento Fecha Est AMT

La Figura 2 muestra espectros elásticos de resistencia y la evolución del valor normalizado de IA para dos

movimientos del terreno registrados en estaciones ubicadas en SCT durante eventos sísmicos de diferente

magnitud generados en la zona de subducción de las costas de Michoacán y Guerrero. Note en la Figura 2a

que el contenido de frecuencias de los movimientos cambia en función de su aceleración máxima (ordenada al

origen en los espectros). En particular, mientras el valor de periodo en que ocurre el valor máximo en los

espectros (primer máximo) es similar, el valor del segundo máximo observado para periodos cercanos a 0.7

segundos crece en términos relativos con respecto al primer máximo conforme decrece AMT. El cambio en la

historia de liberación de energía puede apreciarse en la Figura 2b. Conforme se incrementa AMT, un mayor

porcentaje de la energía del movimiento se libera en un intervalo menor de tiempo.


5

0

200

400

600

800

1000

0 1 2 3 4

Sa (cm/s2)

T (s)

SCT85

SCT89

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

IA norm

tt

SCT85

SCT89

a) Espectro elástico de resistencia b) Historia de disipación de energía

Figura 2 Características del movimiento del terreno en función de AMT

Dada la variación en los contenidos de frecuencia y energía de los movimientos generados en un sitio dado de

la Zona del Lago del D.F., es importante plantear una serie de interrogantes que surgen cuando se desea

escalar un movimiento del terreno o generar acelerogramas sintéticos para dicha zona:

• En cuanto al contenido de frecuencias: A) ¿Es necesario alterar el contenido de frecuencias cuando se

escala o genera un acelerograma? Los estudios previos y las tendencias indicadas por los espectros

incluidos en la Figura 2a sugieren que si. Por tanto, es entendible que se hayan propuesto varios métodos

para la generación de acelerogramas sintéticos que consideran la posible variación en el contenido de

frecuencias de los movimientos del terreno (Ordaz et al. 1995, Kohrs et al. 2005).

• En cuanto al contenido de energía: A) ¿Es necesario alterar el contenido de energía cuando se escala o

genera un acelerograma? Una respuesta a esta pregunta se encuentra en las tendencias ilustradas en la

Figura 3, que incluye la dependencia de IA con respecto a AMT para los movimientos incluidos en la

Tabla 1. La línea continua representa la tendencia central de dicha dependencia. La figura incluye

además puntos asociados a movimientos del terreno generados a partir de los algoritmos de Ordaz et al

(1995) y Kohrs et al. (2005) para eventos sísmicos generados en las costas de Guerrero, Michoacán y

Oaxaca; y puntos asociados a acelerogramas de baja intensidad escalados por un factor de amplificación

uniforme (marcados como Lineal). Es notorio que el contenido de energía de los acelerogramas

generados, expresado en términos de IA, tiende a sobreestimar de manera importante la tendencia central

derivada de la evidencia instrumental disponible. Para valores grandes de AMT, los acelerogramas

sintéticos exhiben contenidos de energía que duplican lo esperado. En el caso de los acelerogramas

escalados con factores uniformes, se observa una aproximación mejor con la tendencia central aunque de

forma similar, los contenidos de energía se sobrestiman significativamente en algunos casos,

particularmente conforme se incrementa el valor de AMT.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 50 100 150 200 250 300

IA (cm/s)

AMT(cm/s2)

Evidencia

InstrumentalKohrs, et al

Ordaz, et al

Propuesta

Tendencia Central

Figura 3 Comparacion de contenidos de energia


6

CARACTERIZACIÓN DE MOVIMIENTOS DEL TERRENO GENERADOS EN LA ZONA DEL LAGO

Un primer paso para establecer un método que dé lugar a movimientos del terreno severos cuyas propiedades

sigan las tendencias marcadas por la evidencia instrumental, consiste en identificar la variación de las

características de los movimientos del terreno, en función de una medida de su intensidad. En términos de su

intensidad, los movimientos se caracterizarán a partir de su AMT. Una manera simple (aunque incompleta) de

caracterizar el contenido de frecuencias de una excitación es a partir de: A) El periodo en que se ubica el

máximo de su espectro elástico de energía de entrada para un porcentaje de amortiguamiento crítico de 5%

(Tg); y B) Los valores de el primer y el segundo máximo normalizados por AMT (Sa1N y Sa2N,

respectivamente). En cuanto a la discusión del contenido de energía en términos absoluto y relativo, se

utilizaran IA y el cociente IA/AMT2, respectivamente.

La Figura 4 muestra la dependencia de Tg con respecto a AMT. Aparte de los puntos correspondientes a cada

uno de los movimientos bajo consideración en la Tabla 1, la figura muestra una línea continua, que

corresponde a la tendencia central de los datos. A pesar de la alta dispersión y de un factor de correlación bajo

(cercano a 0.3), es posible observar una ligera tendencia a que Tg se reduzca con un incremento en AMT.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 50 100 150 200

Tg(s)

AMT (cm/s2)

Evidencia Instrumental

Figura 4 Dependencia de Tg respecto a AMT

La Figura 5 muestra la dependencia de dos cocientes de aceleración (Sa1N/AMT y Sa2N/AMT) con respecto a

AMT; Sa1N y Sa2N denotan las aceleraciones que corresponden al pico máximo y al segundo pico ubicado en

periodos cercanos a 0.7 segundos, respectivamente. Se aprecia una clara reducción en el valor de los cocientes

con un incremento de AMT, y una mayor influencia de AMT en el valor de Sa2N/AMT.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 50 100 150 200

Sa1N/AMT

AMT(cm/s2)0

1

2

3

4

5

6

7

0 50 100 150 200

Sa2N/AMT

AMT(cm/s2)

Figura 5 Dependencia de cocientes de valores máximos respecto a AMT


7

En cuanto al contenido de energía en términos absolutos, la Figura 6 muestra la dependencia de IA con

respecto a AMT. Mientras que la Figura 6a incluye movimientos del terreno registrados durante eventos

sísmicos de baja y mediana intensidad generados en Guerrero, Oaxaca, Jalisco, Michoacán y México Central;

la Figura 6b incluye, además de los anteriores, los movimientos del terreno registrados durante los sismos de

1985, cuyos epicentros se ubicaron en las costas de Michoacán. La línea continua mostrada en las figuras

corresponde a la tendencia central. De acuerdo a la Figura 6a, la IA de movimientos generados durante eventos

con epicentro en el Pacífico Mexicano tiende a seguir la línea de tendencia central. Lo anterior implica que el

contenido de energía de dichos movimientos, exhibe una fuerte dependencia con respecto a su intensidad

medida en términos de AMT. En cuanto a los movimientos generados en México Central, el contenido de

energía tiende a ser menor que el indicado por la línea de tendencia central. La Figura 6b muestra que los

movimientos registrados durante 1985 siguen la misma tendencia central que lo movimientos incluidos en la

Figura 6a. Puede decirse que la evidencia instrumental sugiere la existencia de una dependencia bien definida

de IA con respecto a AMT, y que esta dependencia trasciende las características de la falla que originan el

evento sísmico, así como los mecanismos de transmisión de ondas que llevan el movimiento del terreno al

sitio de interés.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 10 20 30 40 50 60

IA (cm/s2)

AMT (cm/s2)

Guerrero

Oaxaca

Mexico Central

Jalisco

Michoacan

TENDENCIA

0

50

100

150

200

250

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

IA (cm/s2)

AMT (cm/s2)

Guerrero

Oaxaca

Mexico Central

Jalisco

Michoacan

TENDENCIA

a) Sin inclusión de eventos de 1985 b) Con inclusión de eventos de 1985

Figura 6 Dependencia de IA respecto a AMT

En cuanto al contenido de energía en términos relativos, la Figura 7 muestra la dependencia de Σ(a(t))2/AMT

2

con respecto a AMT. Mientras que la Figura 7a incluye movimientos del terreno registrados durante eventos

sísmicos de baja y mediana intensidad, en la Figura 7b se presentan, además de los anteriores, los

movimientos del terreno registrados durante los sismos de 1985. La línea continua corresponde a la tendencia

central. Para ambos casos es posible apreciar que el contenido de energía relativo disminuye con un

incremento de AMT. Lo anterior indica que los movimientos del terreno generados en eventos de baja a

mediana intensidad exhiben en términos relativos un mayor contenido de energía que aquellos generados en

eventos más intensos. Note una vez más que esta observación trasciende las características de la falla que

originan el evento sísmico, así como los mecanismos de transmisión de ondas que llevan el movimiento del

terreno al sitio de interés. Lo anterior implica que es necesario tener mucho cuidado cuando se elige un

acelerograma, ya sea para escalarlo mediante un factor o para usarlo como sismo semilla para la generación

de acelerogramas sintéticos.


8

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 20 40 60

AMT (cm/s2)

Guerrero

Oaxaca

Mexico Central

Jalisco

Michoacan

Tendencia

ΣΣΣΣ(a(t))2/AMT2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

AMT (cm/s2)

Guerrero

Oaxaca

Mexico Central

Jalisco

Michoacan

Tendencia


a) Sin inclusión de eventos de 1985 b) Con inclusión de eventos de 1985

Figura 7 Dependencia de ΣΣΣΣ(a(t))2/AMT2 respecto a AMT

En términos de juzgar la pertinencia de escalar acelerogramas por un factor o de utilizar los algoritmos

disponibles para generar acelerogramas sintéticos, es importante contrastar sus contenidos de frecuencia y de

energía con las tendencias centrales y los intervalos de confianza aportados por la evidencia instrumental

(Figuras 4 a 7). Las Figuras 8 a 10 establecen esta comparación en términos de frecuencias y energía. En

cuanto a los algoritmos de generación de acelerogramas sintéticos, se usaron los valores indicados en la Tabla

2 correspondientes a los eventos que dieron lugar a los registros 23, 24 y 29 para caracterizar las fallas que los

generan.

Tabla 2 Valor de parametros involucrados en los modelos de generacion

Zona Epicentral Ordaz et al. (1995) Kohrs et al. (2005)

Mo

(dn·cm) ∆σ

(bar)

Fecha Mo ∆σ Fecha

Oaxaca (23) 1.72x1027 660 30/09/1999 1.72x10

27 660 30/09/1999

Guerrero (24) 2.4x1026 150 25/04/1989 2.4x10

26 150 25/04/1989

Michoacan (29) 3.8x1027 45 21/09/1985 3.8x10

27 45 21/09/1985

La Figura 8, que presenta valores correspondientes a los dos máximos observados en los espectros de

resistencia sugiere que los métodos de generación de acelerogramas sintéticos llegan a sobreestimar de

manera importante las tendencias centrales derivadas de la evidencia instrumental (adicionalmente a la línea

de tendencia central, se incluyen dos límites de confianza establecidos por un modelo de varianza condicional

a nivel de AMT y que es no constante). Lo anterior debido a que al obtener de la misma forma valores a

límites establecidos por medio de la desviación estándar estos resultan en una diferencia mínima con respecto

de la tendencia central.

En cuanto al primer máximo, la sobreestimación es particularmente evidente para los acelerogramas sintéticos

con zona epicentral en Guerrero y valores grandes de AMT. En lo que respecta al segundo pico, dicha

sobrestimación es igualmente apreciable, aunque ahora para los acelerogramas sintéticos con zona epicentral

en Guerrero y Michoacán, y para un intervalo más amplio de AMT. En cuanto al método de escalado por un

factor (denotado lineal en las figuras), se utilizaron los registros 9, 19, 23, 24, 29 y 45 de la Tabla 1. Note que

por un lado los valores de Sa1N de los acelerogramas escalados siguen razonablemente bien la tendencia

instrumental, mientras que existe una tendencia a sobreestimar el valor de la aceleración en el caso de Sa2N.

La Figura 9 resume el contenido de frecuencias, en términos de los valores asociados a los dos máximos

distinguibles en los espectros de amplitud de Fourier. Se observa una tendencia a sobreestimar los valores

pico con respecto a lo indicado por la evidencia instrumental; tendencia que es más notoria que la discutida

para la Figura 8. La sobrestimación se hace particularmente más notoria para los acelerogramas sintéticos


9

generados para la zona epicentral de Guerrero, y para el valor del segundo máximo. Puede decirse que no

considerar cuidadosamente el contenido de frecuencias del sismo semilla o del acelerograma que se escala

linealmente resulta en acelerogramas que no reflejan adecuadamente el contenido de frecuencias de los

movimientos del terreno severos generados en la Zona del Lago del D.F.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 40 80 120 160 200 240 280

Sa (cm/s2)

AMT (cm/s2)


Kohrs_G

Kohrs_M

Kohrs_O

0

200

400

600

800

0 40 80 120 160 200 240 280

Sa (cm/s2)

AMT (cm/s2)


Kohrs_G

Kohrs_M

Kohrs_O

a) Sa1N Kohrs b) Sa2N Kohrs

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 40 80 120 160 200 240 280

Sa (cm/s2)

AMT (cm/s2)


Ordaz_G

Ordaz_M

Ordaz_O

0

200

400

600

800

0 40 80 120 160 200 240 280

Sa (cm/s2)

AMT (cm/s2)


Ordaz_G

Ordaz_M

Ordaz_O

c) Sa1N Ordaz d) Sa2N Ordaz

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 40 80 120 160 200 240 280

Sa (cm/s2)

AMT (cm/s2)


Lineal

0

200

400

600

800

0 40 80 120 160 200 240 280

Sa (cm/s2)

AMT (cm/s2)


Lineal

e) Sa1N lineal f) Sa2N lineal

Figura 8 Dependencia de cocientes de valores máximos respecto a AMT


10

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 50 100 150 200 250

Amplitud

AMT (cm/s2)


Kohrs_G

Kohrs_M

Kohrs_O

0

100

200

300

400

500

600

700

0 50 100 150 200 250 300

Amplitud

AMT (cm/s2)


Kohrs_G

Kohrs_M

a) Amplitud máximo Kohrs b) Segundo máximoKohrs

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 50 100 150 200 250

Amplitud

AMT (cm/s2)


Ordaz_G

Ordaz_M

Ordaz_O

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 50 100 150 200 250 300

Amplitud

AMT (cm/s2)


Ordaz_G

Ordaz_M

Ordaz_O

c) Amplitud máximo Ordaz d) Segundo máximo Ordaz

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 50 100 150 200 250

Amplitud

AMT (cm/s2)


Lineal

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250 300

Amplitud

AMT (cm/s2)


Lineal

e) Amplitud máximo lineal f) Segundo máximo lineal

Figura 9 Dependencia de amplitudes máximas respecto a AMT

La Figura 10 resume el contenido de energía, en términos absoluto y relativo. Mientras que los métodos de

generación de acelerogramas sintéticos llegan a sobreestimar significativamente las tendencias central y

superior derivada a partir de la evidencia instrumental, los acelerogramas escalados linealmente tienden a

incrementar su contenido de energía conforme se incrementa el valor de AMT. Note, a partir de los resultados

resumidos en la Figura 10, lo importante que es considerar cuidadosamente el contenido de energía del sismo

semilla o del acelerograma que se escala linealmente.


11

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250

IA(cm/s )

AMT (cm/s2)


Kohrs_G

Kohrs_M

Kohrs_O

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 50 100 150 200 250 300

AMT (cm/s2)


Kohrs_G

Kohrs_M

Kohrs_O


a) Absoluto (IA) Kohrs b) Relativo (IA/AMT

2) Kohrs

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250

IA(cm/s )

AMT (cm/s2)


Ordaz_G

Ordaz_M

Ordaz_O

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 50 100 150 200 250 300

AMT (cm/s2)


Ordaz_G

Ordaz_M

Ordaz_O


c) Absoluto (IA) Ordaz d) Relativo (IA/AMT

2) Ordaz

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250

IA(cm/s )

AMT (cm/s2)


Lineal

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 50 100 150 200 250 300

AMT (cm/s2)


LinealΣΣΣΣ(a(t))2/AMT2

e) Absoluto (IA) lineal f) Relativo (IA/AMT

2) lineal

Figura 10 Dependencia del contenido de energía respecto a AMT

A partir de lo descrito en los párrafos previos es posible concluir que, el método de escalado lineal así como

los procedimientos usados comúnmente para generar registros sintéticos, pueden llegar a dar lugar a

movimientos del terreno que no reflejan adecuadamente los contenidos de frecuencia y de energía de los

movimientos del terreno severos registrados en la Zona del Lago del D.F. Por tanto, se vuelve importante

plantear criterios a partir de los cuales escoger el movimiento semilla o por escalar linealmente. Además, es

igualmente relevante desarrollar una herramienta que sea capaz de corregir dichos contenidos en caso que así

se requiera.


12

BASES PARA EL MODELO DE ESCALADO PROPUESTO

A partir de la evolución del valor de la Intensidad de Arias en el tiempo, es posible caracterizar la forma en

que un movimiento del terreno libera su contenido de energía. En términos del modelo que se presenta, se

consideró conveniente, tal como se muestra en la Figura 11a, normalizar el valor de IA de tal manera que el

valor de la intensidad de Arias normalizada (IAnorm) al final de la excitación sísmica sea igual a uno. También

se consideró conveniente, conforme lo muestra la misma figura, normalizar los valores de tiempo, de tal

manera que el tiempo normalizado (tt) al final del evento también exhiba un valor unitario.

Es posible ajustar una función de probabilidad log-normal a curvas como la mostrada en la Figura 11a

mediante las siguientes expresiones (Ang y Tang, 1975):

( )T

ti

t t i Arias t i

t

t I tµ = ∑ (2)

2( ) ( )

T t

ti

t t i t Arias t i

t

t I tσ µ= −∑ (3)

donde:

21

2T T Tt t tLnλ µ ζ= − (4)

2

2

21 T

T

T

t

t

t

Lnσ

ζµ

= +

(5)

La Figura 11b muestra la caracterización numérica de la curva normalizada de Arias a través de las

Ecuaciones 2 a 5. La Figura 12a muestra las curvas lognormales correspondientes a una serie de registros que

exhiben diferente intensidad en términos de AMT. Cada curva se caracteriza por su valor medio (µtt) y su

desviación estándar (σtT), los que a su vez pueden caracterizarse, tal como lo muestra la Figura 12b, en

función de valores característicos de los registros, como lo son su AMT y el tiempo en el que ésta se presenta

tAMT. Conforme muestra la Figura 12, el valor de σtT muestra una clara tendencia a reducirse conforme se

incrementa AMT.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

IA norm

tt

Arias

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

IA norm

tt

Arias

Logn

a) IA normalizado b) IA con curva log-normal Figura 11 Ejemplo de curva de Arias normalizada y su caracterización

Esto físicamente implica que existe una tendencia a que los movimientos del terreno liberen un mayor

porcentaje de su contenido de energía en lapsos de tiempo más cortos conforme se incrementa su AMT. Esto


13

puede expresarse matemáticamente a través de una expresión como la siguiente (indicada en línea continua en

la Figura 12b):

( ) 0.20

0 0.305Tt

AMTσ −= (6)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 50 100 150

σσσσtT

AMT (cm/s2)

a) Funciones log – normal b) σσσσtT vs AMT

Figura 12 Serie de funciones log-normal obtenidas de ajustar las derivadas de las curvas normalizadas de Arias

La Figura 13 presenta la relación existente entre µtt y tAMT. Es posible apreciar que existe una alta correlación

entre estos dos parámetros que hace posible estimar el primero en función del segundo a través de una

ecuación lineal:

0 0.882 0.096Tt AMTtµ = + (7)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

µµµµtt

tAMT

Figura 13 Relación entre tAMT vs µµµµtt

Una vez que se define la dependencia de los valores de µtt y σtT con respecto a la intensidad del movimiento

del terreno expresada en términos de AMT, es posible plantear un método de escalado que permita aportar a

un acelerograma por escalarse una evolución realista de liberación de energía de acuerdo al valor de AMT al

cual se le quiera escalar. La anterior constituye la base del método de escalado que se describe a continuación.


14

MÉTODO EMPÍRICO DE ESCALADO

El método de escalado propuesto consta de los siguientes pasos:

1. Se selecciona un registro que desee escalarse; y se obtiene su AMTI así como el tiempo en que ésta se

presenta tAMT.

2. Se define la aceleración máxima a la cual debe escalarse el evento (AMTF).

3. A partir de la Ecuación 7 y los valores de AMTI y AMTF se obtienen los valores de desviación

estándar correspondientes a los registros original y escalado, respectivamente. Estas se denotan σtTI

y σtTF, respectivamente.

4. A partir de la Ecuación 10 y el valor de tAMT se estima el valor medio (µtt) de las distribuciones

lognormales que caracterizarán al registro original y al registro escalado.

5. Se establecen las distribuciones lognormales para ambos registros (original y escalado) a partir de las

Ecuaciones 2 a 6. Cada una de las dos distribuciones así establecidas, se modifica a partir de un

procedimiento iterativo hasta que el tiempo normalizado que corresponde a su moda sea igual, dentro

de cierta tolerancia, a tAMT. Para ello se ajusta en cada paso el valor medio de la distribución a través

de sumarle progresivamente la diferencia entre el valor de tAMT y el valor de tt asociado a la moda. El

valor de σtT correspondiente a la distribución que se ajusta se mantiene constante en todas las

iteraciones.

6. Se obtiene la raíz cuadrada de cada una de las dos distribuciones bajo consideración. Cada una de

ellas se normaliza respecto a su valor máximo, de tal manera que el máximo de ambas distribuciones

sea igual a uno. Después se multiplica cada distribución por su correspondiente valor de AMT, de tal

manera que la distribución correspondiente al registro original exhibe un valor máximo igual a AMTI

y la correspondiente al sismo escalado, un máximo de AMTF.

7. Se adiciona un valor pequeño con respecto a los valores de AMTI y AMTF, a cada una de las

ordenadas de ambas distribuciones, y se obtiene para distintos valores de tt el cociente de la ordenada

del registro escalado entre la ordenada correspondiente del registro original. Para el caso de este

artículo se uso un valor unitario que en unidades de cm/seg2 es significativamente menor que los

valores de AMTI y AMTF, pero que estabiliza de manera adecuada el valor de los cocientes de

aceleración para valores pequeños de aceleración.

8. Los cocientes obtenidos para cada valor de tt se usan para escalar el valor de aceleración que

corresponde a ese instante en el registro original.

9. Se verifica que los contenidos de frecuencias y energía del registro escalado sean congruentes con la

información aportada por la evidencia instrumental.

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

0 50 100 150 200

Co

cie

nte

de

ace

lera

ció

n

t(s)

Figura 14 Ejemplo de los coeficientes de aceleración resultantes


15

La Figura 14 muestra tres curvas correspondientes a los cocientes utilizados para escalar el registro original.

Se observa que mientras los cocientes exhiben un valor muy cercano a uno al principio y al final del registro,

su valor se incrementa de manera importante hasta alcanzar su máximo en tAMT. La Figura 15 presenta de

manera esquemática el procedimiento de escalado propuesto.

INICIO

Es tt (moda) = tAMT

NO SI

Dtt = tt(moda) - tAMT

•Cálculo de

nuevas

distribuciones de

aceleraciones

•Cálculo de

coeficientes de

amplificación

•Cálculo de los

valores del

nuevo registro

•Verificación

de contenido

de frecuencias

y energía

FINAL

•Cálculo de las

funciones

lognormal de

distribución de

aceleraciones

Obtención

de:σtTI ,

σtTF

•Selección de

registro, AMTI,

tAMT, AMTF

Figura 15 Diagrama de flujo del método de escalado propuesto

EJEMPLO DE APLICACIÓN

Para estudiar la validez de la metodología propuesta, se decidió escalar por medio de ella los mismos seis

registros que previamente fueron escalados linealmente. Vale la pena mencionar que las propiedades de uno

de estos registros son tales que su contenido de frecuencias y de energía salen de los límites de los intervalos

de confianza establecidos a partir de la evidencia instrumental.

La Figura 16a muestra el contenido de energía en términos absolutos de los registros escalados, y lo compara

con la tendencia derivada de la evidencia instrumental. Se aprecia que la dispersión de este contenido se

reduce en forma importante, de tal manera que los puntos que más se alejan de la tendencia central se ubican

justo por encima del límite de confianza superior. Puede verse a partir de la figura 16, que a pesar de que los

eventos retienen sus características propias, el método de escalado propuesto resulta en que sus contenidos de

energía para diferentes valores de AMT sigan las tendencias instrumentales. El método propuesto puede

refinarse para que los contenidos de energía mostrados se acerquen más a la evidencia experimental. Sin

embargo, no se considera conveniente ya que los registros perderían aquellas características propias que los

vuelven únicos. La Figura 16b presenta el contenido relativo de energía; note que aunque algunos puntos aún

caen fuera de los intervalos de confianza, el contenido de energía de los registros se corrige sustancialmente

conforme se incrementa AMT, siguiendo así mismo la tendencia de la evidencia instrumental.


16

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250

IA

AMT (cm/s2)


Propuesta

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 50 100 150 200 250 300

AMT (cm/s2)


PropuestaΣΣΣΣ(a(t))2/ATM2

a) Absoluto (IA) b) Relativo (ΣΣΣΣ(a(t))2/AMT2) Figura 16 Dependencia del contenido de energía respecto a AMT

Las Figura 17 y 18 resumen los contenidos de frecuencias de los acelerogramas escalados con el método

propuesto en términos de los valores pico de los espectros de pseudoaceleración y de amplitud de Fourier,

respectivamente. Se aprecia una reducción significativa de la dispersión de los contenidos de frecuencias, de

tal manera que se observa una mejora importante en cuanto a dichos contenidos conforme se incrementa el

valor de AMT.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 40 80 120 160 200 240 280

Sa (cm/s2)

AMT (cm/s2)

Evidencia Intrumental

Propuesta

0

200

400

600

800

0 40 80 120 160 200 240 280

Sa (cm/s2)

AMT (cm/s2)


Propuesta

a) Primer Máximo b) Segundo Máximo Figura 17 Dependencia de valores espectrales máximos respecto a AMT

Lo anterior es particularmente cierto para los máximos de los espectros de amplitud de Fourier. Note una vez

más que a pesar de la corrección que sufren los registros, estos mantienen sus características individuales.

0

200

400

600

800

1000

0 50 100 150 200 250

Amplitud

AMT (cm/s2)


Propuesta

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250 300

Amplitud

AMT (cm/s2)


Propuesta

a) Amplitud máximo b) Segundo máximo Figura 18 Dependencia de amplitudes máximas respecto a AMT


17

CONCLUSIONES

Es posible plantear un método empírico de escalado a través de: A) Caracterizar la evolución de liberación de

energía de varios acelerogramas a través de su curva normalizada de intensidad de Arias; B) Modelar dichas

curvas a través de distribuciones de probabilidad lognormal; y C) Ajustar las propiedades de las distribuciones

de acuerdo a una medida de intensidad, como lo es la aceleración máxima del terreno (AMT).

Los contenidos de frecuencias y de energía de registros escalados conforme al método empírico propuesto se

ajustan bastante bien a las tendencias derivadas de la evidencia instrumental. Otros métodos resultan en

registros escalados cuyos contenidos se alejan de dicha evidencia, particularmente conforme se incrementa su

valor de AMT.

Es posible que los movimientos que se registren en la Zona del Lago tengan su origen en eventos que exhiban

características muy diferentes. Podría hablarse en términos de que la AMT corresponda a pulsos de alta o baja

frecuencia, lo que significaría velocidades del terreno y contenidos de energía significativamente diferentes.

Sin embargo, la evidencia instrumental sugiere la existencia de una dependencia bien definida de los

contenidos de frecuencias y de energía de los movimientos registrados en la Zona del Lago con respecto al

valor de AMT. De hecho esta dependencia trasciende las características de la falla que originan el evento

sísmico, así como los mecanismos de transmisión de ondas que llevan el movimiento del terreno al sitio de

interés. Lo anterior implica que para caracterizar de forma general las propiedades de un movimiento

generado en la Zona del Lago, bastaría establecer, con las herramientas de peligro sísmico disponibles, su

valor esperado de AMT.

Es muy recomendable seguir con estudios como los presentados aquí. Por ejemplo, se pudieran considerar

sitios del terreno con otros valores de periodo dominante del terreno, así como la consideración de un mayor

número de registros y eventos sísmicos.

Los estudios presentados aquí forman parte de un contexto mayor, en el que se pretende estudiar el efecto que

en la estimación de pérdidas tenga la variación de las características de los movimientos del terreno en

función de su intensidad. Además, se pretende estudiar el efecto de dicha variación en la contribución de los

modos superiores en la respuesta dinámica de las estructuras, así como verificar el correcto uso de un análisis

dinámico incremental que considere las demandas de energía.

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