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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES HIDRODINÁMICAS EN LAS PAREDES DE TANQUES DE

ALMACENAMIENTO

Héctor A. Sánchez Sánchez,1 Víctor Flores Cobos,2 María Jesús Pérez de la Cruz2

RESUMEN

Este trabajo presenta un estudio acerca del comportamiento estructural de tanques de almacenamiento, debido a una excitación horizontal en su base, y cuyo objetivo es estudiar mediante planteamientos teóricos y numéricos la distribución de presiones hidrodinámicas en las paredes de contenedores. Por consiguiente, en esta investigación se plantea un procedimiento basado en el método de los elementos finitos (MEF), así mismo, se revisan algunos planteamientos teóricos que se encuentran disponibles en la literatura. Además, se realizan modelos numéricos que toman en cuenta, las propiedades mecánicas del material, las características del fluido y la geometría real de tanques de almacenamiento. Los resultados de los modelos numéricos son comparados con aquellos obtenidos de planteamientos teóricos, obteniendo una buena aproximación entre ellos.

ABSTRACT

This work studies the structural behavior of storage tanks under horizontal action at the base. For which it is propose a numerical procedure, based in the finite element method (FEM), also are reviewed others theoretical expositions that they are in Literature. The objective is to study numerical and theoretically the distribution of the hydrodynamics pressures on the walls of containers, for which numerical models are made, that consider the properties of the material, the fluid characteristics and the real geometry of storage tanks. The numerical results of the models are compared with the other procedures obtained ones from theoretical expositions.

INTRODUCCIÓN

La experiencia obtenida en los desastres naturales sobre depósitos, revela que para disminuir la vulnerabilidad a niveles aceptables se necesitan de acciones preventivas y de diseños adecuados. Los tanques de almacenamiento son estructuras que debido a su naturaleza y comportamiento requieren criterios de análisis que consideren los efectos hidrodinámicos, que actúan sobre las paredes y el fondo del recipiente. Con el propósito de responder a estas necesidades, ha sido necesario llevar a cabo la revisión y evaluación de los desarrollos analíticos empleados en el análisis y diseño de este tipo de estructuras. Por tanto, el objetivo de este trabajo es mostrar mediante un planteamiento numérico, basado en el método del elemento finito (FEM), la distribución de presiones en contenedores generadas por una aceleración horizontal. En este análisis se desprecia la viscosidad del fluido y la turbulencia, satisfaciendo la ecuación de la Laplace.

1 Profesor de la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la ESIA - UZ, Instituto Politécnico

Nacional, U. P. Adolfo López Mateos, Gustavo A. Madero, 07738, México, D. F., Teléfono: (55)5729-6000, Exts. 46183 y 53087; [email protected], [email protected]

2 Estudiante de maestría de la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la ESIA - UZ, Instituto

Politécnico Nacional, U. P. Adolfo López Mateos, Gustavo A. Madero, 07738, México, D. F., Teléfono: (55)5729-6000, Exts. 53087; [email protected]

2 Estudiante de maestría de la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la ESIA - UZ, Instituto

Politécnico Nacional, U. P. Adolfo López Mateos, Gustavo A. Madero, 07738, México, D. F., Teléfono: (55)5729-6000, Exts. 53087; [email protected]

XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Veracruz, Ver, 2008 .

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Por otra parte, se evalúan las recomendaciones de la normatividad (CFE-93 y API-650) y se desarrollan modelos numéricos con la ayuda del programa ANSYS, con la finalidad de estudiar la influencia de paredes flexibilidad en la distribución de presiones hidrodinámicas.

ANTECEDENTES Los progresos tempranos de las teorías sísmicas en la respuesta de los tanques de almacenamiento de líquidos consideraban las paredes rígidas y centraron su atención en el comportamiento dinámico del líquido contenido. Housner formuló una idealización para estimar la respuesta del fluido en tanques rígidos rectangulares y cilíndricos bajo una excitación sísmica. El estudio presentó valores para masas equivalentes y sus localizaciones, que representan los efectos hidrodinámicos debidos al movimiento de cuerpo rígido del recipiente y los efectos hidrodinámicos debidos al modo fundamental de vibración del líquido. La solución para el diseño de contenedores propuesta por Housner, considera que la respuesta sísmica para problemas típicos de contenedores pueden ser separadas en un sistema de ecuaciones las cuales gobiernan el sloshing de la superficie libre del líquido, y un sistema acoplado el cual gobierna los modos estructurales que son influenciados por la masa y por la fuerza generada por la presión del líquido. Debido a la separación de la frecuencia de la superficie típica del slosh, el líquido y la respuesta de la pared del contenedor, el acercamiento es dado en términos de dos problemas separados. El slosh de la superficie del líquido ocurre con la frecuencia más baja en relación a la respuesta de las paredes El sismo de Alaska en 1964 causó grandes daños en tanques de diseño moderno por lo que se iniciaron nuevas investigaciones considerando las características dinámicas de contenedores flexibles. Además, el desarrollo de potentes ordenadores y técnicas numéricas asociadas tienen perceptiblemente capacidad de la solución. Varios estudios se llevaron a cabo para investigar la interacción dinámica entre la pared deformable del tanque y el líquido mediante el método del elemento finito. Una consideración diferente a la solución del problema fue realizada por Veletsos. El tanque fue considerado que se comporta como un sistema con un solo grado de libertad y que vibra en un modo prescrito. Veletso y Yang obtuvieron la frecuencia natural del recipiente con líquido por el método de Rayleigh-Ritz. Más adelante, Veletsos y Yang obtuvieron resultados probando a escala reducida; sin embargo, la mayor parte de estos estudios fueron referidos a los problemas dinámicos asociados a los usos aeroespaciales (Haroum, 1983).

En nuestro país este tipo de estructuras son diseñadas en su gran mayoría con los criterios y recomendaciones que se especifican en el Manual de Diseño de Obras Civiles de la Comisión Federal de Electricidad, el cual retoma las expresiones derivadas del modelo de Housner, y la industria petrolera nacional emplea las normas del American Petroleum Institute (API 650) para el diseño de los tanques de almacenamiento. (Flores et al., 2007).

PLANTEAMIENTOS TEORICOS Método de los elementos finitos Para el estudio de las presiones hidrodinámicas empleando el Método de los Elementos Finitos (MEF), se considera un dominio como el que se muestra en la figura 1. Por lo que, para un sistema de aceleraciones dado y un movimiento de pequeña amplitud, se puede demostrar que, prescindiendo de la compresibilidad del fluido, las presiones satisfacen la ecuación de la Laplace (Zienkiewicz, 1980).

0 (1) Por lo que, en los contornos, fijos o móviles, las condiciones de frontera están dadas por:

∂∂n (2)

3


Donde, es la densidad del fluido y es la componente normal de la aceleración en los puntos de la pared, en la superficie libre. La condición de frontera se establece ignorando las ondas de superficie (ver figura 1), es decir;

0 (3)

Figura 1 Dominio en estudio Mediante la aplicación del método de los elementos finitos, la solución de la ecuación 1, se puede obtener a través de la discretización del dominio con elementos triangulares (ver figura 2).

Figura 2 Tipos de elementos 1 y 2

Cuya solución del sistema tiene la siguiente forma:

0 para 1,2, , (4)

donde, es el número de nodos que mantienen la aproximación a las condiciones límites de Dirichlet y es formada por la contribución de los elementos con:

ΩΩ

(5)

Las funciones de forma empleadas para el elemento 1 y 2 son, respectivamente:

1 ; ; (6)

∂∂n

0

∂∂n


4

1 ; ; (7)

Al resolver el sistema de ecuaciones 4 se obtienen las presiones que actúan en cada nodo del dominio discretizado. Por otra parte, con el propósito de comparar los resultados obtenidos de este planteamiento, se presentan a continuación diferentes desarrollos que se encuentran en la literatura, referente a la determinación de presiones hidrodinámicas en reservorios. Planteamiento de Zienkiewicz Para una distribución de aceleraciones arbitrarias, las presiones que se producen en los nodos del contorno se pueden agrupar en forma de una matriz, función de la aceleración, de los puntos en la pared, como:

(8) donde es una matriz de influencia que relaciona las presiones en los nodos con sus aceleraciones. De esta forma, se pueden calcular las presiones correspondientes a una distribución de aceleraciones cualquiera. La matriz M es dada por (Zienkiewicz, 1980):

6

0 0 0 0 0 0 00 0.7249 0.3685 0.2466 0.1963 0.1743 0.08400 0.3685 0.9715 0.5648 0.4210 0.3644 0.17440 0.2466 0.5648 1.1459 0.7329 0.5954 0.28040 0.1996 0.4210 0.7329 1.3203 0.9292 0.42100 0.1744 0.3644 0.5954 0.9292 1.5669 0.64890 0.1680 0.3488 0.5607 0.8420 1.2977 1.1459

(9)

Planteamiento de Rosenblueth El problema de la presión hidrodinámica es idealizado como un problema bidimensional, en el que se considera la dimensión en la dirección de la aceleración como seminfinita ⁄ . .1 , donde el movimiento del terreno se supone armónico y puramente horizontal (Rosemblueth y Newmark, 1976). Además bajo la hipótesis de fluido incompresible, el fenómeno se representa por la ecuación:

0 (10)

al sustituir las condiciones de frontera de paredes rígidas y líquido incompresible en la ecuación 10, se trasforma en la siguiente solución:

2 1

exp (11)

donde: 2 1

2 Planteamiento de Westergaard El problema de dos dimensiones resuelto por Westergaard fue el de una presa rígida rectangular con aceleración normal a la pared vertical, considerando un tirante de agua h con longitud infinita. La presión

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hidrodinámica calculada en el depósito tiene una distribución elíptica sobre la altura, proponiendo una expresión sencilla para obtener las presiones y que tiene la siguiente forma (Housner, 1990):

0.692 2 / (12) La ecuación 12 se puede tomar como representación del efecto de una “masa aparente” del agua que acelera hacia adelante y hacia atrás como si fuera un sólido apoyado en la cara de la presa.

CRITERIOS DE DISEÑO ESTABLECIDOS EN LA NORMATIVIDAD En los criterios de diseño de reservorios incluyen requisitos que tiene por objeto asegurar el buen comportamiento ante las diferentes acciones a que se encuentra sometido el tanque, como es el caso cuando la estructura se encuentra parcial o complementa llena y es excitada por una acción sísmica, provocando momentos de volteo, que involucran el efecto de la interacción fluido estructura. Código API Cuando se deseen analizar las paredes del tanque para incrementar la tensión circunferencial debido a sismo; el incremento en la tensión circunferencial p por unidad de la altura del cascarón, se puede obtener mediante la siguiente expresión:

(13) donde, es la tensión debida a la fuerza impulsiva y es debida a la fuerza convectiva Para los tanques circulares donde la relación D/h ≥ 1.333, se puede determinar mediante la siguiente expresión:

4.512 tangh 0.866 (14)

Manual de diseño de obras civiles, diseño por sismo de la comisión federal de electricidad CFE – 93 Se considera que es necesario tomar en cuenta los efectos hidrodinámicos del líquido almacenado en adición a los efectos de inercia de la masa del conjunto ante la presencia de aceleraciones en la base. Y que dichas presiones hidrodinámicas influyen en el diseño de las paredes y del fondo del recipiente, para que sean capaces de resistir los movimientos del fluido. Por lo que, considera que el fluido almacenado se puede reemplazar por dos masas virtuales ligadas al recipiente: una masa impulsiva, ligada rígidamente; y una masa convectiva, ligada de forma flexible. Las que representan los efectos hidrodinámicos debidos al movimiento de cuerpo rígido del recipiente y los efectos hidrodinámicos debidos al modo fundamental de vibración del líquido, respectivamente (CFE, 1993). Considerando dos tipos de solicitaciones:

• Presiones hidrodinámica sobre las paredes y el fondo del tanque, y • Fuerzas de inercia de la masa del tanque

Debido a que las máximas respuestas impulsivas y convectivas no ocurren simultáneamente, la fuerza cortante y el momento de volteo máximo probable se obtienen mediante la combinación de los efectos impulsivos y convectivos, de acuerdo a la regla de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (SRSS).


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ESTRUCTURAS ESTUDIADAS Las estructuras en estudio corresponden a tanques de almacenamiento de geometría rectangular y circular de 55Mbls con diferentes espesores de pared, los cuales son sometidos a diferentes aceleraciones con el propósito de estudiar y conocer la distribución de presiones hidrodinámicas de cada uno de ellos, (ver figura 3).

Figura 3 Tanque rectangular y circular de 55 Mbls Las características geométricas y mecánicas de los modelos de tanques de almacenamiento se muestran a continuación (ver tablas 1 y 2).

Tabla 1 Características geométricas de los tanques de almacenamientos

Características geométricas

Circular Rectangular

55 Mbls 55 Mbls H(m)TOTAL 12.192 12.19 h(m)LÍQUIDO 10.99 10.99

R(m) 15.24 ---- A(m) ---- 23.93 L(m) ---- 30.48

Tabla 2 Características mecánicas de los materiales de los tanques de almacenamiento

206,000 Módulo de Young del acero Mpa 0.3 Relación de Poisson del material 76,910.4 Peso por unidad de volumen del acero / 7,840 Masa por unidad de volumen del acero / / 9,810 Peso por unidad del líquido / 1,000 Masa por unidad de volumen del líquido / / 2,206 Módulo de compresibilidad del fluido Mpa

RESULTADOS DE LOS PLATEAMIENTOS TEÓRICOS Método de los elementos finitos. La figura 4.a muestra el modelo geométrico bidimensional y la figura 4.b muestra la malla de elementos finitos del depósito rectangular, el cual es excitado con una aceleración de 0.16g. Para la determinación de las presiones hidrodinámicas el dominio es discretizado con los elementos triangulares (ver figura 2), los cuales tienen una longitud de aristas de 1 m. Por lo que, el mallado está constituido por 300 nodos y 528 elementos

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conectados, de manera que el ancho de banda del sistemas de ecuaciones planteadas, es el número de nodos que se encuentran en una columna mas la unidad.

a. Modelo geométrico b. Modelo de elementos finitos

Figura 4 Modelo geométrico y de elementos finitos

La figura 5 muestra el resultado obtenido derivado de la aplicación de las ecuaciones 1 a la 7. Estos resultados muestran una distribución de presiones elípticas sobre la pared, con un valor nulo en la superficie libre, consecuencia de las condiciones de fronteras impuestas al modelo, y un valor máximo en el fondo.

Figura 5 Distribución de presiones hidrodinámicas en la pared mediante el MEF En las figuras 6.a y b. se representa la variación de las presiones en forma esquemática.

Figura 6 Distribución de presiones hidrodinámicas y superficie de presiones


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Comparación de resultados analíticos A continuación se muestran una comparación de los resultados obtenidos en este trabajo con los métodos mencionados anteriormente, (ver la figura 7).

Figura 7 Comparación de la distribución de presiones hidrodinámicas en la pared (1Mpa=10.19kg/cm2)

En la figura 7 se muestra que la distribución de presiones hidrodinámicas tiene una variación de tipo elíptica para todos los casos en estudio, en particular se observa que la variación de presiones obtenida del planteamiento desarrollado en este trabajo, está dentro de un valor promedio del planteamiento de Rosenblueth y Zienkiewicz.

MODELO NUMERICO DE ANALISIS En esta sección se presentan modelos numéricos empleando el programa Ansys, el cual resuelve numéricamente una amplia variedad de problemas mecánicos mediante el Método de los Elementos Finitos (MEF). Para la elaboración del modelo numérico, en las paredes y el fondo del depósito se emplea el elemento Shell 63, el cual tiene la capacidad de comportarse como membrana y considera efectos de flexión. Para representar el comportamiento del líquido se usó el elemento Fluid80, dado que su formulación modela líquidos contenidos dentro de recipientes (ver figura 8).

Figura 8 Elemento Shell63 y Fluid80

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Resultados de los análisis numéricos A continuación se presentan los resultados numéricos de la distribución de presiones hidrodinámicas obtenidas para diferentes niveles de aceleración, que se aplicaron a los tanques en estudio. La tabla 3 muestra estas aceleraciones.

Tabla 3 Aceleraciones aplicadas a los modelos

Nomenclatura Aceleración (an) Acel 1 0.16g Acel 2 0.32g Acel 3 0.40g Acel 4 0.45g2

Tanque rectangular En figura 9 se observa, que la distribución de presiones tiene una variación lineal y aumenta gradualmente en función de la magnitud de la aceleración.

Figura 9 Distribución de presiones hidrodinámicas obtenidas para las diferentes aceleraciones (1Mpa=10.19kg/cm2)

Con el objetivo de estudiar la influencia de las paredes en la magnitud de las presiones hidrodinámicas, se realizó una serie de análisis considerando la misma aceleración (Acel 1), para diferentes espesores de pared (ver figura 10).

Figura 10 Distribución de presiones hidrodinámicas para diferentes espesores (1Mpa=10.19kg/cm2)


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En la figura 10 se observa, que la distribución de las presiones cuando la aceleración aplicada a los modelos es la misma y los espesores cambian, las presiones hidrodinámicas disminuyeron y los desplazamientos aumentaron. Tanque circular En la figura 11 se observa una distribución de forma similar a la obtenida en la geometría rectangular, y de igual forma las magnitudes de las presiones aumentan conforme se incrementa la aceleración.

Figura 11 Distribución de presiones hidrodinámicas obtenidas para las diferentes aceleraciones (1Mpa=10.19kg/cm2)

COMPARACIÓN DE RESULTADOS ANALÍTICOS Y NUMÉRICOS Para la geometría rectangular, se comparan los resultados obtenidos en este trabajo, con las diferentes metodologías presentadas y con los obtenidos de los análisis numéricos (Ansys), ver figura 12.

Figura 12 Comparación de la distribución de presiones del depósito rectangular (1Mpa=10.19kg/cm2)

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Finalmente, para la geometría circular se aplican los criterios de las normas de mayor uso en nuestro país para el análisis y diseño de tanques de almacenamiento (CFE-93 y API 650), ver figura 13.

Figura 13 Comparación de la distribución de presiones CFE, API y Ansys para un depósito circular (1Mpa=10.19kg/cm2)

CONCLUSIONES Y COMENTARIOS En este trabajo se realizó un estudio acerca del comportamiento estructural de tanques de almacenamiento, debido a una excitación horizontal en su base, y cuyo objetivo fue estudiar mediante planteamientos teóricos y numéricos la distribución de presiones hidrodinámicas en las paredes de contenedores. Los resultados de los modelos numéricos fueron comparados con aquellos obtenidos de planteamientos teóricos, obteniendo una buena aproximación entre ellos. Se pudo observar que los resultados obtenidos del planteamiento desarrollado en este trabajo, aplicado a los tanques rectangulares, proporcionan valores similares a los obtenidos de los diferentes criterios analíticos revisados. En particular, se observa que la variación de presiones obtenidas del planteamiento desarrollado en este trabajo, se encuentra dentro de un valor promedio de lo propuesto por Rosenblueth y Zienkiewicz. Para el caso cuando se estudió la variación del espesor de las paredes de los tanques, considerando una misma aceleración, las presiones hidrodinámicas disminuyeron y los desplazamientos aumentaron. En las figuras 9 y 11 se puede ver que al aplicar diferentes niveles de aceleraciones al modelo considerando un solo espesor, se incrementaron las presiones. Cuando se aplica la regla de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados a los valores obtenidos correspondiente al depósito circular calculado mediante CFE-93, se obtiene una reducción de aproximadamente un 40% en la superficie libre y un 11% en el fondo del depósito. Finalmente, para los valores recomendados por el API-650 correspondiente a C=0.8, se observa que el valor obtenido en el fondo del depósito se ajusta con el calculado con CFE-SRSS. Para el valor C=0.6 ocurre lo mismo con los obtenidos del modelo numérico (Ansys).


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NOMENCLATURA

Presión hidrodinámica Densidad del fluido Aceleración normal

g Aceleración de la gravedad l Arista del elemento triangular

Matriz de rigidez del elemento Números de nodos Matriz de influencia Altura del tanque Tirante del fluido Longitud del depósito Radio del depósito

D Diámetro del depósito Ancho del depósito Módulo de Young del acero

Relación de Poisson del material Peso por unidad de volumen del acero Masa por unidad de volumen del acero Peso por unidad del líquido Masa por unidad de volumen del líquido Módulo de compresibilidad del fluido

Presión impulsiva Presión convectiva

C Coeficiente de fuerza sísmica lateral Y Distancia en pies de la superficie del líquido al punto bajo considerado I Factor de importancia L Longitud del depósito en dirección de la aceleración Eje vertical del depósito

Aceli Magnitud de aceleración

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo es parte de la tesis de grado de maestría de Víctor Flores Cobos. y deriva del proyecto de Investigación SIP-20060825 apoyado por la Secretaría de Investigación y Posgrado del IPN, el cual fue realizado en la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, ESIA-UZ, del IPN.

REFERENCIAS

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