sobre a representação física das superposições quânticas _ cosmos e contexto

() o problema da Cincia no pode ser abordado no

domnio da Cincia.

F. Nietzsche

ISSN 2358-9809

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ARTIGO /

Newton da Costa* e Christian de Ronde** //

A possibilidade de no haver uma realidade preexistente s nossas percepes faz da mecnica quntica um

tema de intensa discusso nos campos do saber. Em particular, no mbito da lgica, Newton da Costa e Christian

de Ronde apresentam-nos seus estudos, ainda em desenvolvimento, da relao entre a lgica paraconsistente e

a mecnica quntica.

- - -

1 Introduo

As superposies fsicas existem tanto na fsica clssica quanto na quntica. Entretanto, o que significa

exatamente superposio em cada caso algo extremamente diferente. Na fsica clssica, possvel haver

superposies de ondas ou campos. Uma onda (campo) pode ser acrescentada a uma onda (campo)

diferente e a soma dar uma nova onda (campo) = + . No h estranheza alguma neste caso, pois a soma

de vrios estados d como resultado um nico estado. Na mecnica quntica, pelo contrrio, a soma de estados

no pode ser reduzida a um nico estado. No existe uma interpretao bvia de tal superposio de estados.

Hoje, as superposies qunticas desempenham um papel central nos desenvolvimentos tcnicos mais

interessantes como a teleportao quntica, a criptografia quntica e a computao quntica (Leibfried et al.,

2005; Ourjoumtsev et al., 2007). A questo que pretendemos tratar neste artigo concerne ao significado das

superposies qunticas e sua representao fsica. H muitas interpretaes da mecnica quntica, cada qual

fornecendo uma resposta melhor para esta pergunta. Em seguida, analisaremos algumas dessas propostas. E

argumentaremos em favor da importncia de desenvolver uma nova interpretao das superposies qunticas

em termos da lgica paraconsistente.

A lgica paraconsistente a lgica das teorias inconsistentes mas no triviais. As origens da lgica

paraconsistente remontam aos primeiros estudos sistemticos que tratavam da possibilidade de rejeitar o princpio

da no contradio. A lgica paraconsistente foi elaborada, independentemente, por S. Jaskowski, na Polnia, e

pelo primeiro autor deste artigo, no Brasil, por volta de meados do sculo passado (a respeito de lgica

paraconsistente, ver, por exemplo: da Costa, Krause e Bueno, 2007). Uma teoria T fundamentada na lgica L, que

contm um smbolo para negao, chamada inconsistente se tiver, entre seus teoremas, uma sentena A e

sua negao A; caso contrrio, diz-se que consistente. T chamado trivial se qualquer sentena de sua

linguagem tambm for um teorema de T; caso contrrio, diz-se que T no trivial. Na lgica clssica e na maioria

das lgicas usuais, uma teoria inconsistente se, e somente se, ela for trivial. L paraconsistente quando pode

ser a lgica subjacente de teorias inconsistentes mas no triviais. Claro, nenhuma lgica clssica

paraconsistente. A importncia da lgica paraconsistente no se limita ao mbito da lgica pura, tendo sido

estendida a vrios campos de aplicao, como controle robtico, controle de trfego areo (Nakamatsu et al.,

2002), sistemas de controle para mquinas autnomas, raciocnio dentico anulvel (Nakamatsu et al., 2001),

sistemas de informao (Akama e Abe, 2001) e medicina. A seguir, tentamos chamar ateno para a importncia

de estender o mbito da lgica paraconsistente ao relato formal das superposies qunticas. Discutiremos o

significado do termo superposio, bastante diferente tanto na fsica clssica, quanto na fsica quntica. Na

seo 3, apresentaremos diferentes interpretaes da superposio quntica, tais como aquelas propiciadas pela

interpretao emprica de van Fraassen, a mecnica Bohmiana, a interpretao de vrios mundos e a abordagem

de Genebra para a lgica quntica. Na seo 4, argumentaremos em favor da importncia de considerar uma

interpretao da superposio em termos da lgica paraconsistente.

2 O que a superposio quntica?

Na fsica clssica, todo sistema fsico pode ser descrito exclusivamente atravs de suas propriedades atuais,

sendo que a atualidade expressa o modo pr-existente de ser das prprias propriedades, independentemente da

observao, onde o pr se refere sua existncia anterior medio. Cada sistema tem um estado

matematicamente determinado, caracterizado em termos de um ponto no espao de fase. A mudana do sistema

pode ser descrita pela mudana de suas propriedades atuais. Propriedades potenciais ou possveis so

consideradas como os pontos onde o sistema pode chegar num instante futuro. Conforme observado por Dieks:

Na fsica clssica, a descrio mais fundamental de um sistema fsico (umponto no espao de fase) reflete apenas o atual e nada que seja meramentepossvel. verdade que s vezes ocorrem, na fsica clssica, estadosenvolvendo probabilidades: pense nas distribuies de probabilidade namecnica estatstica. Mas a ocorrncia de possibilidades em tais casosmeramente reflete nossa ignorncia sobre o que atual. Os estados

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Sobre a representao fsica das superposies qunticas

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estatsticos no correspondem a caractersticas do sistema atual (o que no o caso com as superposies da mecnica quntica), mas quantificamnossa falta de conhecimento acerca dessas caractersticas atuais (Dieks,2010, p. 125).

A mecnica clssica nos diz atravs da equao de movimento como o estado do sistema se desloca ao longo da

curva determinada pelas condies iniciais no espao de fase. A representao do estado do sistema fsico

dada por um ponto no espao de fase e as magnitudes fsicas so representadas pelas funes reais sobre .

Essas funes comutam umas com as outras e podem ser interpretadas como possuidoras de valores definidos

independentemente da observao fsica; ou seja, cada magnitude pode ser interpretada como sendo de fato

pr-existente para qualquer medio possvel. Na formulao ortodoxa da mecnica quntica, a representao do

estado de um sistema dada por um raio no espao Hilbert H. Mas, ao contrrio do esquema clssico, as

magnitudes fsicas so representadas por operadores em H que, em geral, no comutam. Esse fato matemtico

tem consequncias interpretativas extremamente problemticas, pois assim fica difcil afirmar que essas

magnitudes qunticas sejam simultaneamente pr-existentes. Para restringir o discurso a diferentes conjuntos de

magnitudes comutantes, precisam ser escolhidos alguns Conjuntos Completos de Observveis Comutantes

(CSCO). A escolha de uma representao particular (dada por um CSCO) determina a base onde os observveis

diagonalizam e onde o raio pode ser expresso. Assim, o raio pode ser escrito como diferentes combinaes

lineares dos estados:

| > + | >= | >= | > + | > + | > (1)

As combinaes lineares dos estados tambm so chamadas de superposies qunticas.

A natureza das relaes que o princpio da superposio requer para existirentre os estados de qualquer sistema de um tipo que no pode serexplicado em termos dos conceitos familiares da fsica. No sentido clssico,no se pode retratar um sistema como estando parcialmente em cada umdos dois estados e ver a equivalncia disso com o sistema estandocompletamente em algum outro estado. Existe uma ideia totalmente novaenvolvida, qual preciso se acostumar e em termos da qual deve-seproceder construo de uma teoria matemtica exata sem que se tenhaum cenrio clssico detalhado (Dirac, 1974, p. 12).

A diferena formal de se usar vetores em H em vez de pontos em parece implicar que, na mecnica quntica

afora a possibilidade que se encontra na mecnica clssica haja outro mbito diferente que precise ser

considerado e se refira, a cada instante, s propriedades contraditrias. Para ver isso, considere o seguinte

exemplo: dado um sistema de spin 1/2 cujo estado seja | >, deixamos que ele interaja com um campo magntico

na direo z. Todos os resultados que possam ser atuais no futuro so propriedades potenciais do sistema, de

maneira anloga como todas as posies que podem ser atingidas por um pndulo esto no caso clssico. Mas, a

cada instante, por exemplo, no instante inicial, se considerarmos a direo z e o operador de projeo | >

Schrdinger (nos estados morto e vivo), que diz: o vetor estado que est numa superposio, no o prprio

gato. Vetor estado e gato so dois conceitos em diferentes nveis do discurso. A partir de uma tica realista

geral, que considera a fsica como fornecedora de uma expresso do mundo, surge a questo se essa

representao formal ou matemtica dada por superposies, a saber equao (1) que nos permite calcular a

probabilidade dos possveis resultados da medio pode estar conceitualmente relacionada com uma noo que

nos permita pensar, independentemente dos resultados da medio, sobre a superposio de estados no espao

de Hilbert de maneira anloga ao que pensamos sobre um ponto no espao de fase (no nvel formal) como

descrevendo um objeto no espao-tempo (no nvel conceitual). O que est descrevendo uma superposio?

Ser que podemos criar ou encontrar conceitos adequados capazes de fornecer um relato realista

representacional de uma superposio quntica independente dos resultados da medio? Conforme tambm

veremos, a partir de uma perspectiva emprica geral, ningum se compromete a responder esse conjunto de

perguntas.

3.1 Superposies qunticas como um dispositivo terico para prever os resultados da medio

A ideia de que a funo de onda quntica relacionada a uma superposio apenas um dispositivo terico sem

contedo ontolgico remonta interpretao dada por Bohr mecnica quntica. A impossibilidade de interpretar

a funo de onda quntica de forma ontolgica pode ser compreendida em relao sua caracterizao de em

termos de um dispositivo algortmico que compute os resultados da medio.[i] Essa posio tratada de forma

radical parece acabar no relato instrumentalstico compartilhado implicitamente por muitos e desenvolvido

explicitamente por Fuchs e Peres (2000). Bas van Fraassen, que consideramos seguidor ferrenho das ideias de

Bohr, tambm assumiu uma posio anti-metafisica com respeito interpretao da funo de onda quntica. Sua

justificativa se baseia em seu relato empirista tanto da fsica quanto da filosofia (van Fraassen, 1991; seo 9.1).

Num dos seus mais recentes artigos, e em sintonia com van Fraassen, Dieks argumenta a favor da posio

Humeana:

Os Humeanos sustentam que precisamos assumir a existncia de apenasum mundo, o qual seja o atual e comum; que as regularidades deste mundoso expressas em nossas leis e teorias; e que introduzamos outros possveismundos e circunstncias contra-factuais puramente como construo deraciocnios de forma a extrairmos as peculiaridades das leis queformulamos. Mundos possveis so ferramentas mentais e no entidadesque existam realmente. Modalidades, como a necessidade e a possibilidade,so conceitos que introduzimos com base em nossas teorias e nocorrespondem a caractersticas da realidade que transcendam a descriocomum em termos de eventos atuais (Dieks, 2010, p. 126).

A partir de uma tica empirista, o formalismo no precisa fornecer uma descrio do que existe. As

superposies podem, assim, ser consideradas como um dispositivo terico atravs do qual podemos nos dar

conta das probabilidades de cada observao atual. O empirismo pode ser ligado probabilidade em termos da

interpretao de frequncia que se baseia, contrrio ao conceito original de probabilidade, no na ideia de que a

probabilidade descreve, em termos de ignorncia, um estado de coisas existente, mas, sim, no conjunto de

resultados empricos encontrados numa srie de medies repetidas. Entretanto, e independentemente dos

problemas encontrados em tais posturas empiristas, se as superposies so consideradas apenas como um

dispositivo terico, a questo da interpretao parece perder sua importncia. Pois, por que deveramos seguir

uma interpretao se, conforme destacam Fuchs e Peres, a mecnica quntica cumpre a funo e j fornece um

algoritmo para computar as probabilidades para eventos macroscpicos? H outras razes que podem ser

apresentadas a partir de uma tica empirista conforme argumenta o prprio van Fraassen (1980) , mas elas

permanecero apenas secundrias da busca da cincia.

3.2 Superposies qunticas como descrio de campos qunticos

Conforme observado por Bacciagaluppi (1996, p. 74), o programa da varivel oculta tenta restaurar uma maneira

clssica de pensar no que existe. Nesse sentido, a proposta de Bohm transforma a mecnica quntica numa

teoria que restaura a possibilidade de discutir em termos de um estado de coisas definido (descrito em termos de

um conjunto de propriedades definidas valorizadas). Na mecnica Bohmiana, o estado de um sistema dado pela

funo de onda junto com a configurao de partculas. A funo de onda quntica deve ser compreendida em

analogia com um campo clssico que movimenta as partculas em conformidade com a seguinte relao

funcional: dx/dt = S, onde S = h ( sendo a fase de ). Assim, as partculas sempre tm uma posio bem

definida em conjunto com o resto de suas propriedades e a evoluo depende do campo quntico. Segue-se que

no h superposies de estados; a superposio dada apenas no nvel do campo e permanece to misteriosa

quanto a superposio dos campos clssicos. Dado um campo quntico (x), a partcula se mover conforme

esse campo. Se mudarmos o campo quntico acrescentando outro campo (x) tal que o novo campo quntico

seja agora a superposio (x) + (x), no h peculiaridade ontolgica envolvida, pois agora a partcula tambm

tem uma posio bem definida e evoluir conforme o novo campo. Presume-se que, devido ao fato de que o novo

campo diferente do original, a partcula se mover de maneira diferente e seguir uma trajetria diferente em

comparao com o primeiro caso. O campo no s tem um carter dinmico como tambm determina a

probabilidade epistmica da configurao de partculas via a regra usual de Born.

3.3 Superposies qunticas descrevendo vrios mundos

As interpretaes de vrios mundos so interpretaes de no-colapso que respeitam a formulao ortodoxa da

mecnica quntica. A interpretao de vrios mundos considerada uma concluso direta da primeira, proposta

de Everett em termos de estados relativos (Everett, 1957). A ideia de Everett era deixar a mecnica quntica

encontrar sua prpria interpretao, fazendo justia s simetrias inerentes ao formalismo do espao Hilbert de

forma simples e convincente. A principal ideia por trs das interpretaes de vrios mundos que as

superposies se relacionam a colees de mundos, em cada uma das quais realizado um valor de uma

observvel, que corresponde a um dos termos na superposio (DeWitt e Graham, 1973). Alm de ser simples,

alega-se que ela possui um encaixe natural com o formalismo, respeitando suas simetrias. A soluo proposta

para o problema da medio fornecida assumindo-se que cada um dos termos na superposio real em seu

prprio mundo correspondente.


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Toda a questo da transio do possvel para o atual tratada na teoriade maneira muito simples no existe essa transio, tampouco ela necessria para que a teoria esteja de acordo com nossa experincia. Doponto de vista da teoria, todos os elementos de uma superposio (todas asramificaes) so atuais, no sendo nenhum mais real que o resto. desnecessrio supor que todos menos um sejam destrudos, j que todos oselementos separados de uma superposio obedecem individualmente equao da onda com total indiferena presena ou ausncia (atualidadeou no) de quaisquer outros elementos. Essa total falta de efeito de umaramificao sobre outra tambm implica que nenhum observador tercincia de qualquer processo de diviso (Everett, 1973, p. 146-147, grifosnossos).

Assim, no apenas o nico valor visto em nosso mundo que atualizado, mas, sim, a ocorrncia de uma

ramificao em cada medio, dando surgimento a uma multiplicidade de mundos com seus correspondentes

valores atuais. As possveis divises dos mundos so determinadas pelas leis da mecnica quntica, mas cada

mundo se torna um mundo clssico.

3.4 As superposies qunticas descrevendo potenciais resultados da medio

A escola de Genebra para a lgica quntica e abordagens semelhantes tentam considerar a fsica quntica como

sendo relacionada aos mbitos de atualidade e potencialidade de maneira anloga fsica clssica. Conforme

essa escola, tanto na fsica clssica quanto na quntica, as medies provocaro mudanas fundamentais no

estado do sistema. O especial para um sistema clssico que os observveis podem ser descritos por funes

no espao de estados. Essa a razo principal pela qual uma medio correspondente a tal observvel pode ser

deixada de fora da descrio da teoria caso no se esteja interessado na mudana de estado provocada pela

medio, mas apenas interessado nos valores dos observveis. nesse sentido que a situao difere bastante

para um sistema quntico. Os observveis tambm podem ser descritos como medies valoradas da projeo no

espao Hilbert, mas nenhum valor definido pode ser atribudo a tal observvel especfico para uma parte

substancial dos estados do sistema. Para um sistema quntico, ao contrrio de um sistema clssico, no

verdade que tanto uma propriedade quanto sua negao seja atual.[ii] Continuando com as consideraes de

Heisenberg na nova fsica, Constantin Piron foi uma das figuras pioneiras no desenvolvimento da noo de

potencialidade dentro da estrutura lgica da mecnica quntica (Piron, 1976; 1983). Segue-se (Smets, 2005) que

uma propriedade fsica, sem importar ser ela clssica ou quntica, especificada como o que corresponde a um

conjunto de projetos experimentais definidos. Um projeto experimental definido (PED) um procedimento

experimental (de fato, uma classe de equivalncia de procedimentos experimentais) que consista numa lista de

aes e uma regra que especifique de antemo o que precisa ser considerado como resultado positivo, em

correspondncia com a resposta afirmativa a uma questo dicotmica.

Cada PED testa uma propriedade. Um dado PED dito certo (por correspondncia, uma questo dicotmica

dita verdade) se houver certeza de que uma resposta positiva ser obtida quando o experimento for realizado ou,

mais precisamente, no caso em que, onde quer que o sistema seja colocado numa situao de medio, ele far

acontecer um certo fenmeno definido. Uma propriedade fsica dita atual no caso dos PEDs que a testam

estarem certos e dita potencial quando no for este o caso. A propriedade ser atual ou potencial vai depender

do estado no qual se considera o sistema. Embora nesta abordagem tanto a atualidade, quanto a potencialidade

sejam consideradas modos de ser, as propriedades atuais so consideradas atributos que existem, como

elementos de uma realidade fsica, enquanto as propriedades em potencial no so consideradas existentes da

mesma forma que as reais. So, sim, consideradas como possibilidades com respeito atualizao, porque as

propriedades em potencial podem ser atualizadas devido a alguma mudana no estado do sistema. Neste caso, a

superposio fornece a medio dada pelos nmeros reais que aparecem no mesmo termo que o estado

sobre as propriedades irracionais em potencial que poderiam se tornar atuais numa dada situao. Assim, a

potencialidade, conforme a noo da fsica clssica, pode ser vista como potencialidade, referindo-se a uma futura

atualidade.

4 Superposies qunticas e lgica paraconsistente

Embora as interpretaes que discutimos na seo anterior a partir de seus comprometimentos tanto formal,

quanto metafsico tenham muitas diferenas, ainda h algo que compartilham em comum: todas tentam evitar

contradies. De fato, a contradio tem sido vista com descrena no pensamento ocidental devido a certas

pressuposies metafsicas que remontam a Plato, Aristteles, Leibniz e Kant. Mesmo depois do

desenvolvimento da lgica paraconsistente em meados do sculo XX e o subsequente progresso tcnico que

essa teoria permitiu, tal averso contradio ainda est presente nos dias de hoje. A famosa declarao de

Popper de que a aceitao da inconsistncia significaria o colapso completo da cincia continua sendo um

desafortunado preconceito na atual filosofia da cincia (ver: da Costa e French, 2003, cap. 5).

Deixando de lado as posies instrumentalistas, algum de ns argumentou noutra instncia (de Ronde, 2010)

que, na farta literatura voltada para a interpretao da mecnica quntica, possvel encontrar duas estratgias

principais que tentam achar uma resposta para a charada que pergunta do que trata a mecnica quntica. A

primeira estratgia comear com um pressuposto conjunto de princpios metafsicos e avanar no sentido de um

novo formalismo. Dentre os exemplos dessa estratgia encontram-se a mecnica Bohmiana, que foi discutida

acima (seo 3.2), ou GRW (Ghirardi et al., 1986), que introduz termos no lineares na equao de Schrdinger.

A segunda estratgia aceitar o formalismo ortodoxo da mecnica quntica e avanar no sentido de criar e

elucidar os princpios metafsicos que nos permitiriam considerar a pergunta: do que trata a mecnica quntica?.

Dentre os exemplos desta segunda estratgia encontram-se a lgica quntica e suas diferentes linhas de

desenvolvimento, como a Escola de Genebra de Jauch e Piron (seo 3.4), a interpretao modal (ver, por

exemplo, Dickson e Dieks, 2002; Vermaas, 1999; de Ronde, 2011). Atravs dessa tica, a importncia

concentrar-se no formalismo da teoria e tentar aprender com as simetrias, as caractersticas lgicas e relaes

estruturais. A ideia que, aprendendo sobre tais aspectos da teoria, podemos tambm desenvolver as condies

metafsicas que devem ser levadas em conta numa interpretao ontolgica coerente da mecnica quntica.

A computao quntica lana mo do variado fluxo de informaes na superposio considerando, inclusive (em


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princpio), os caminhos contraditrios. Tambm a criptografia usa a relao entre termos contraditrios para enviar

mensagens que evitem espies clssicos. No nvel formal, a abordagem via integrais de trajetria tambm

considera as vrias trajetrias contraditrias dentro de dois pontos (Feynman e Hibbs, 1965). J que tanto o

formalismo quanto os experimentos parecem considerar elementos contraditrios dentro da mecnica quntica,

ns argumentamos que pode ser profundamente interessante desenvolver um formalismo que leve a contradio

em conta desde o princpio.[iii] Nossa proposta se concentra na ideia de que valeria a pena desenvolver uma

nova interpretao das superposies qunticas em termos da lgica paraconsistente. Deixamos o assunto para

um artigo futuro onde possamos apresentar um esquema formal explcito para as superposies qunticas (da

Costa e de Ronde, 2011). Entretanto, deve ficar claro que no consideramos que a lgica paraconsistente seja a

lgica verdadeira que deva substituir a lgica clssica; da mesma forma que no enxergamos a mecnica

quntica como uma teoria que deva substituir a mecnica clssica (da Costa e Frenc, 2003; de Ronde, 2011).

Neste sentido, o fsico deve reconhecer a possibilidade de usar novas formas de lgica como a paraconsistente

que possam ajudar a compreender caractersticas de diferentes domnios da realidade, caractersticas que no

possam ser acomodadas por meio da lgica clssica. No acreditamos que haja uma lgica verdadeira, mas,

sim, que distintos sistemas lgicos possam ser usados para elaborar e compreender aspectos complementares da

realidade.

Relembrando as palavras de Albert Einstein, dizendo que somente a teoria capaz de dizer o que pode ser

observado[iv], pode-se argumentar que somente dentro de uma teoria possvel considerar e responder pelos

fenmenos. A partir dessa tica, o desenvolvimento do formalismo pode ser visto no apenas como uma mera

melhoria tcnica, mas tambm como uma maneira para abrir novos caminhos de compreenso e mesmo

desenvolver novos fenmenos. O desenvolvimento formal no compreendido aqui como algo que vai alm da

teoria, mas, sim, como uma maneira de melhorar e mostrar algo que no estava aqui antes no formalismo

conforme o caso do GRW ou da mecnica Bohmiana. Esse desenvolvimento, como visto aqui, leva a srio as

caractersticas que a teoria parece nos mostrar, expondo-as em toda a sua fora, desde o incio.

- - -

*Newton A. C. da Costa lgico, matemtico, filsofo e criador da lgica paraconsistente, que envolve o conceito

de quase verdade. Atualmente professor da Universidade Federal de Santa Catarina.

**Christian de Ronde pesquisador do Centre Leo Apostel (CLEA) e Foundations of the Exact Sciences (FUND);

professor da Vrije Universiteit Brussel e Universidad de Buenos Aires.

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Leituras sugeridas

Aerts, D., 1999, Quantum mechanics; structures, axioms and paradoxes, in Quantum Structures and the Nature

of Reality: The Indigo Book of the Einstein meets Margritte Series, D. Aerts and J. Pykacz (Eds.), Kluwer

Academic, Dordrecht.

Akama, S. and Abe, J. M., 2001, The role of inconsistency in information systems, Proc. Of the 5th World

Multiconference on Systemics, Cybernetics and Informatics (SCI2001), pp. 355-360, Orlando.

Bacciagaluppi, G., 1996, Topics in the Modal Interpretation of Quantum Mechanics, Doctoral dissertation,

University of Cambridge, Cambridge.

da Costa, N. C. A. and French, S., 2003, Partial Truth: a unitary approach to models and scientic reasoning,

Oxford University Press, Oxford.

da Costa, N. C. A., Karuse, D., and Bueno, O., Paraconsistent logics and paraconsistency, in Handbook of the

Philosophy of Science (Philosophy

of Logic), D. Jacquette editor, Elsevier, 2007, pp. 791-911.

da Costa, N. C. A. and de Ronde, C., 2011, The Paraconsistent Logics of Quantum Superpositions, in

preparation.

DeWitt, B. and Graham, N., 1973, The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, Princeton University

Press, Princeton.

Dickson, M. and Dieks, D., 2002, Modal Interpretations of Quantum Mechanics, The Stanford Encyclopedia of

Philosophy (Winter 2002 Edition), E. N. Zalta (Ed.), URL: http://plato.stanford.edu/archives/win2002/entries

/qm-modal/.

Dieks, D., 1988, The Formalism of Quantum Theory: An Objective description of reality, Annalen der Physik, 7,

174-190.

Dieks, D., 2010, Quantum Mechanics, Chance and Modality, Philosophica, 82,

Dirac, P. A. M., 1974, The Principles of Quantum Mechanics, 4th Edition, Oxford University Press, London.

Everett, H., 1957, Relative State Formulation of Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics, 29, 454-462.

Everett, H., 1973, The Theory of the Universal Wave Function, In The Many-Worlds Interpretation of Quantum

Mechanics, DeWitt and Graham (Eds.), Princeton University Press, Princeton.

Feynman, R. P. and Hibbs, A. R., 1965, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, New York.

Fuchs, C. and Peres, A., 2000, Quantum theory needs no interpretation, Physics Today, 53, 70.

Ghirardi, G. C., Rimini A. and Weber, T., 1986, Unified Dynamics for Microscopic and Macroscopic Systems,

Physical Review D, 34, 470-491.

Haag, R., Local Quantum Physics, Springer, 1992.

Heisenberg, W., 1927, Uber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanic,

Zeitschrift fr Physik, 43, 172- 98; reprinted as The Physical Content of Quantum Kinematics and Mechanics,

translation by J.A. Wheeler and W.H. Zurek, in Quantum Theory and Measurement, J.A. Wheeler and W.H. Zurek

(Eds.).

Krause, D., 1992, On a quasi-set theory, Notre Dame Journal of Formal Logic, 33, 402-11.


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Leibfried, D., Knill, E., Seidelin, S., Britton, J., Blakestad, R. B., Chiaverini, J., Hume, D. B., Itano, W. M., Jost, J.

D., Langer, C., Ozeri, R., Reichle R. and Wineland, D. J., 2005, Creation of a six-atom Schrdinger cat state,

Nature, 438, 639-642.

Nakamatsu, K., Abe, J. M. and Suzuki, A., 2001, Annotated semantics for defeasible deonti reasoning, in W.

Ziarko and Y. Yao (eds.), RCCTC 2000, pp. 470-478, Springer Verlag, Berlin.

Nakamatsu, K., Abe, J. M. and Suzuki, A., 2002, A railway interlocking safety verication systems based on

abductive paraconsistent logic programming, Soft Computing Systems: Design, Management and Applications,

Eds. A. Abraham, J. Ruiz-del-Solar & M. Koppen, Frontiers in Articial Intelligence and Its Applications, IOS Press,

pp. 775-784, Amsterdan, Ohmsha, Tokyo.

Nakamatsu, K., Abe, J. M. and Suzuki, A., 2002, Defeasible deontic robot control based on extended vector

annotated logic programming, In Computer Antecipatory Systems: SASYS 2001 Fifth International Conference,

ed. D. M. Dubois, American Institute of Physics, 490-500.

Ourjoumtsev, A., Jeong, H., Tualle-Brouri, R. and Grangier, P., 2007, Generation of optical Schrdinger cats from

photon number states, Nature, 448, 784-786.

Piron, C., 1976, Foundations of Quantum Physics, W.A. Benjamin Inc., Massachusetts.

Piron, C., 1983, Le realisme en physique quantique: une approche selon Aristote, In The concept of physical

reality. Proceedings of a conference organized by the Interdisciplinary Research Group, University of Athens.

Plantinga, A., 2003, Essays in the Metaphysics of Modality, Oxford University Press, Oxford.

de Ronde, C., 2010, For and Against Metaphysics in the Modal Interpretation of Quantum Mechanics,

Philosophica, 83, 85-117.

de Ronde, C., 2011, The Contextual and Modal Character of Quantum Mechanics: A Formal and Philosophical

Analysis in the Foundations of Physics, PhD dissertation, Utrecht University.

Schrdinger, E., 1935, The Present Situation in Quantum Mechanics, Naturwiss, 23, 807. Translated to english in

Quantum Theory and Measurement, J. A. Wheeler and W. H. Zurek (Eds.), 1983, Princeton University Press,

Princeton.

Smets, S., 2005, The Modes of Physical Properties in the Logical Foundations of Physics, Logic and Logical

Philosophy, 14, 37-53.

Van Fraassen, B. C., 1980, The Scientific Image, Clarendon, Oxford.

Van Fraassen, B. C., 1991, Quantum Mechanics: An Empiricist View, Clarendon, Oxford.

Von Weizscker, C. F., 1974, La Imagen Fsica del Mundo, Biblioteca de Autores Cristianos, Madrid.

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Notas

[i] Segundo Bohr (Von Weizscker, 1974, p. 338), a questo da onda de Schrdinger apenas uma magnitude

abstrata de clculo e no designa por si s fenmeno algum.

[ii] Discusso particular com Diederik Aerts em 2010.

[iii] De maneira anloga quela em que Dcio Krause desenvolveu uma Q-teoria de conjuntos, que leva em

considerao partculas indistinguveis com um clculo formal desde o incio (Krause, 1992).

[iv] Tais palavras, conforme o prprio Heisenberg, o levaram ao desenvolvimento do princpio da incerteza em seu

artigo fundamental de 1927.

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