soal dan pembahasan osn matematika smp tingkat kota 2014 [bagian a]

Pembahasan Soal OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014

Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang

http://m2suidhat.blogspot.com/ 1

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP

SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA

TAHUN 2014

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL

DIREKTORAT JENDERAL PENDID KAN DASAR

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA

BIDANG STUDI MATEMATIKA

WAKTU : 150 MENIT

8 Maret 2014

BAGIAN A: PILIHAN GANDA

1. Sepuluh orang guru akan ditugaskan pada tiga sekolah, yakni A, B, dan C, berturut-turut sebanyak dua, tiga, dan lima. Banyaknya cara yang mungkin untuk menugaskan kesepuluh gusu

tersebut adalah ....

A. 2520

B. 5040

C. 7250

D. 10025

Pembahasan:

Diketahui bahwa terdapat 10 orang guru akan ditugaskan di sekolah A, B, dan C, berturut-turut

sebanyak 2, 3, dan 5. Permasalahan ini termasuk permutasi berulang, karena ada 10 unsur dengan

3 unsur yang muncul yaitu 2 unsur pertama, 3 unsur kedua, dan 5 unsur ketiga, sehingga di

peroleh:

P = !!.!.

!

321 qqq

n P =

!5!.3.!2

!10

P = !5!.3.!2

!6.7.8.9.10

P = !3.!2

6.7.8.9.10

P = 2.3.2

6.7.8.9.10

P = 10 . 9 . 4 . 7

P = 2520 Jadi, banyaknya cara yang mungkin untuk menugaskan kesepuluh orang guru tersebut

adalah 2520 cara




2. Berikut diberikan data siswa kelas VIII SMP Bina Prestasi. Tiga perlima bagian dari seluruh siswa adalah perempuan. Setengah dari siswa laki-laki diketahui pergi kesekolah naik bus

sekolah, sedangkan siswa perempuan hanya seperenamnya yang persegi ke sekolah naik bus

sekolah. Diketahui juga bahwa terdapat 147 siswa pergi ke sekolah tidak naik bus sekolah.

Banyak siswa kelas VIII sekolah tersebut adalah ....

A. 330

B. 245

C. 210

D. 193

Pembahasan:

Misalkan banyak siswa seluruhnya adalah n

banyak siswa perempuan adalah p

banyak siswa laki-laki adalah l

banyak siswa perempuan naik bus adalah pb

banyak siswa laki-laki naik ikut bus adalah lb

banyak siswa perempuan tidak ikut bus adalah pt

banyak siswa laki-laki tidak ikut bus adalah lt

Diketahui: p = 5

3n ......(1)

2

1lb = l ......(2)

6

1pb = p ......(3)

pt + lt = 147 ......(4)

dari persamaan (1) di dapat bahwa banyak siswa laki-laki adalah l = 5

2n ....(5)

dari persamaan (2) di dapat bahwa banyak siswa laki-laki tidak ikut bus adalah lt = 2

1l ....(6)

dari persamaan (3) di dapat bahwa banyak siswa perempuan tidak ikut bus adalah pt = 6

5p ....(7)

sehingga persamaan (4) menjadi:

pt + lt = 147 6

5p +

2

1l = 147 ....... (8)

berdasarkan persamaan (1) dan (5) serta (8) diperoleh

6

5p +

2

1l = 147

6

5

n

5

3 +

2

1

n

5

2 = 147

2

1n +

5

1n = 147

10

25 nn = 147

5n + 2n = 147 10

7n = 1470

n = 210 Jadi, banyak siswa kelas VIII sekolah tersebut adalah 210 siswa




3. Diketahui FPB dan KPK dari 72 dan x berturut-turut adalah 3 dan 1800. Pernyataan berikut yang benar adalah ....

A. x kelipatan 5

B. x kelipatan 72

C. x kelipatan genap

D. x kelipatan faktor dari 3

Pembahasan:

Alternatif (1)

Diketahui FPB dari 72 dan x adalah 3

KPK dari 72 dan x adalah 1800

Untuk menentukan nilai x, kita perlu terlebihdulu mencari faktor prima dari 72 dan mencari pola

untuk mencari faktor prima dari x, yaitu sebagai berikut:

Kemudian kita cari faktor prima dari 72, yaitu 23

32

Karena KPK dari 72 dan x adalah 1800 dan FPB dari 72 dan x adalah 3,

maka faktor prima yang mungkin dari x adalah 3 72

1800 = 3 25 = 75

Dengan demikian nilai x adalah 75

Jadi, x termasuk kelipatan 5 atau 3

Alternatif (2)

Diketahui FPB dari 72 dan x adalah 3

KPK dari 72 dan x adalah 1800

Berdasarkan suatu teorema, yaitu: Misalkan a dan b adalah suatu bilangan bulat, d adalah FPB(a, b), dan l adalah KPK(a, b). Maka ab = FPB(a, b) KPK(a, b)

Sehingga diperoleh

FPB(72, x) KPK(72, x) = 72 x

3 1800 = 72x

x = 72

18003

x = 75

Jadi, x termasuk kelipatan 5 atau 3

4. Diberikan empat bilangan a, b, c, dan d. Jika rata-rata a dan b adalah 50, rata-rata b dan c adalah 75, serta rata-rata c dan d adalah 70, maka rata-rata a dan d adalah ....

A. 35

B. 45

C. 50

D. 55

Pembahasan:

Menurut informasi dari soal, bahwa rata-rata a dan b adalah 50, rata-rata b dan c adalah 75, serta

rata-rata c dan d adalah 70

Sehingga diperoleh:




rata-rata a dan b adalah 50 502

ba

a + b = 100 ....(1)

rata-rata b dan c adalah 75 752

cb

b + c = 150 ....(2)

rata-rata c dan d adalah 70 702

dc

c + d = 140 ....(3)

berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh

a + b = 100

b + c = 150

--------------- a c = 50 ....(4)

berdasarkan persamaan (4) dan (3) diperoleh

a c = 50 c + d = 140

--------------- +

a + d = 90 452

da

Jadi, rata-rata a dan d adalah 45

5. Rata-rata nilai dari 28 siswa adalah 80. Setelah ditambah nilai siswa A dan B, rata-ratanya menjadi 78. Jika nilai A tiga kali nilai B, maka selisih antara nilai A dan B adalah ....

A. 15

B. 25

C. 50

D. 75

Pembahasan:

Alternatif (1)

Diketahui - Rata-rata nilai dari 28 siswa adalah 80

- Setelah ditambah nilai siswa A dan B, rata-ratanya menjadi 78

- Nilai A tiga kali nilai B

Kemudian membuat persamaan matematika dari 3 hal yang diketahui, yaitu sebagai berikut:

- Rata-rata nilai dari 28 siswa adalah 80 8028

28

siswa

28 siswa = 80 28

28 siswa = 2240 .....(1)

- Setelah ditambah nilai siswa A dan B, rata-ratanya menjadi 78

78228

28

BAsiswa 78

30

28

BAsiswa

28 siswa + A + B = 78 30

28 siswa + A + B = 2340 .....(2)

- Nilai A tiga kali nilai B A = 3B .....(3)




Dari persamaan (2) dan (1) diperoleh

28 siswa + A + B = 2340 2240 + A + B = 2340

A + B = 2340 2240

A + B = 100 .....(4) Berdasarkan persamaan (4) dan (3) didapat

A + B = 100 3B + B = 100

4B = 100

B = 25 .....(5)

Sehingga dari persamaan (4) dan (5) diperoleh

A + B = 100 A + 25 = 100

A = 75 Dengan demikian A B = 75 25 = 50 Jadi, selisih antara nilai A dan B adalah 50

Alternatif (2)

Misalkan banyak siswa 28 siswa adalah n1 = 28

Banyak siswa A dan B adalah n2 = 2 = A + B

nilai rata-rata 28 siswa adalah 1x = 80

nilai rata-rata Siswa A dan B adalah 2x

nilai rata-rata seluruhnya adalah x = 78

diketahui nilai A = 3B .....(1)

Maka,

21

2211

nn

xnxnx

228

2802878 2

x

30

2224078 2

x

2222403078 x

2222402340 x

2222402340 x

22100 x

1002 2 BAx

100 BA ....(2)

Berdasarkan persamaan (2) dan (1) didapat

A + B = 100 3B + B = 100

4B = 100

B = 25 .....(3)

Sehingga dari persamaan (2) dan (3) diperoleh

A + B = 100 A + 25 = 100

A = 75 Dengan demikian A B = 75 25 = 50 Jadi, selisih antara nilai A dan B adalah 50




6. Diketahui persamaan kurva y = x3 + 4x2 + 5x + 1 dan y = x2 + 2x 1. Jika kedua kurva digambarkan pada bidang yang sama, maka banyak titik potong kedua kurva tersebut adalah . A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Pembahasan:

Diketahui: y = x3 + 4x

2 + 5x + 1 dan y = x

2 + 2x 1

Untuk menentukan titik potong, maka persamaan kedua kurva harus sama, yakni

x3 + 4x

2 + 5x + 1 = x

2 + 2x 1

x3 + 3x

2 + 3x + 2= 0

(x + 2)(x2 + x + 1) = 0

x = 2 dan x2 + x + 1 = 0 (karena D = 12 4(1)(1) < 0, maka tidak terdapat titik potong)

Jadi, hanya ada 1 titik potong.

Ilustrasi grafik dari kedua kurva, sebagai berikut:

7. Jika 3n adalah faktor dari 1810, maka bilangan bulat terbesar n yang mungkin adalah .

A. 10

B. 15

C. 18

D. 20

Pembahasan:

Diketahui 3n adalah faktor dari 1810

Karena 3n

merupakan faktor dari 1810

, maka ada suatu bilangan bulat yang apabila dikalikan

dengan 3n akan menghasilkan 18

10. Misalkan bilangan tersebut adalah a, yakni sebagai berikut:

1810

= 3n a 1810 = 3n a

(9 2)10 = 3n a

(32 2)10 = 3n a

320 210 = 3n a Hal ini dapat ditulis 3

20 = 3

n dan 2

10 = a

Dengan demikian,

dari persamaan 320

= 3n di dapat bahwa n = 20

Jadi, nilai bilangan bulat terbesar n yang mungkin adalah 20.

y = x2 + 2x 1

y = x3 + 4x2 + 2x 1




8. Pada sebuah bidang terdapat sepuluh titik. Di antara sepuluh titik tersebut tidak ada tiga titik atau lebih yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibentuk dengan menghubungkan sebarang tiga

titik pada bidang tersebut adalah . A. 30

B. 60

C. 100

D. 120

Pembahasan:

Diketahui: sebuah bidang terdapat sepuluh titik dan tidak ada tiga titik atau lebih yang segaris

Artinya adalah ada 10 unsur dari 3 unsur yang akan dibentuk, yakni

10C3 = !3!310

!10

10C3 =

!3!7

!10

= 123

8910

= 10 3 4

= 120

Jadi, Banyak segitiga yang dapat dibentuk dengan menghubungkan sebarang tiga titik

pada bidang tersebut adalah 120

9. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 2 satuan. Titik O adalah titik potong dua

diagonal pada bidang BCFG. Jarak titik O ke bidang BCEH adalah . satuan.

A. 5

2

B. 4

2

C. 3

2

D. 2

2

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.

A B

C

E F

H G

D

P

O

QR

S

P

OS

2

21

1

TT




Karena titik O adalah perpotongan dua diagonal bidang kubus, maka panjang OP = 1 satuan dan

besar sudut OPS = 45o, maka SO = 1 satuan

Dengan demikian

PS2 = PO

2 + SO

2

PS2 = 1

2 + 1

2

PS2 = 2

PS = 2

Luas segitiga POS = 2

1 PO SO

2

1 PS TO =

2

1 1 1

2 TO = 1

TO = 2

1

TO = 2

2

Jadi, Jarak titik O ke bidang BCEH adalah 2

2 satuan.

10. Perhatikan diagram batang berikut.

Pernyataan berikut yang salah adalah . A. Modus pada gambar A < Modus pada gambar B

B. Median pada gambar A < Median pada gambar B

C. Quartil 1 pada gambar A < Quartil 1 pada gambar B

D. Rata rata pada gambar A = Rata rata pada gambar B

Pembahasan:





Berdasarkan ilsutrasi gambar di atas, maka nilai Gambar A dan Gambar B adalah sama.

Sehingga rata-rata kedua gambar tersebut juga sama.

Jadi, Rata rata pada gambar A = Rata rata pada gambar B

11. Banyak pasangan (x, y) dengan x dan y bilangan asli yang memenuhi x2 = y2 + 100 adalah . A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Pembahasan:

Diketahui x2 = y

2 + 100, dengan x dan y bilangan asli

x2 = y

2 + 100 x2 y2 = 100

(x y)(x + y) = 100 artinya adalah (x y)(x + y) merupakan faktor-faktor pasangan dari 100, yaitu 1 dan 100

2 dan 50

4 dan 25

5 dan 20

10 dan 10

Dari kelima pasangan tersebut yang memenuhi adalah 2 dan 50, karena

(x y)(x + y) = 100 (2)(50) = 100

x y = 2 x + y = 50

----------- +

2x = 52

x = 26 y = 24 Jadi, Banyak pasangan (x, y) dengan x dan y bilangan asli yang memenuhi x

2 = y

2 + 100

adalah 1, yaitu (26, 27)

12. Himpunan bilangan bulat dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan jika hasil

penjumlahan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat dikatakan tidak

tertutup terhadap operasi pembagian karena ada hasil bagi dari sepasang bilangan bulat yang

bukan bilangan bulat. Jika A = {0,2,4,6,....} adalah himpunan bulat positif genap, maka

pernyataan berikut yang benar adalah

A. Himpunan A tertutup terhadap operasi perkalian saja

B. Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan saja

C. Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian

D. Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan pengurangan




Pembahasan:

Diketahui

- Himpunan bilangan bulat dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan jika hasil penjumlahan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat

- Himpunan bilangan bulat dikatakan tidak tertutup terhadap operasi pembagian karena ada hasil bagi dari sepasang bilangan bulat yang bukan bilangan bulat.

Jadi, pernyataan yang paling benar adalah Himpunan A tertutup terhadap operasi

penjumlahan dan pengurangan

13. Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi sisinya 2 satuan. Selanjutnya, dibentuk segitiga kedua dengan menghubungkan tiga titik tengah pada masing masing sisi segitiga ABC. Dengan cara serupa, dibentuk segitiga ketiga, keempat, kelima, keenam, dan

seterusnya. Luas seluruh segitiga segitiga tersebut adalah .

A. 3

3

B. 3

32

C. 3

34

D. 2

35

Pembahasan:


Kemudian mencari luas segitiga ke-1, ke-2, ke-3,....

Luas segitiga ke-1 = 2

1 a t

= 2

1 2 3

= 3

Dengan demikian Luas segitiga ke-2 = 4

1 Luas segitiga ke-1



2

2

2

2

2

2 t

t = 312 22






......

......

......

Sampai tak terhingga.....

Dengan demikian dapat disimpulkan: pola seperti ini membentuk deret geometri tak hingga,

Dimana U1 = 3 dan r = 4

1

Sehingga luas seluruh segitiga adalah sebagai berikut:

S = r

U

11 L =

r

U

11

L =

4

11

3

L =

4

3

3

L = 33

4

Jadi, Luas seluruh segitiga segitiga tersebut adalah 33

4satuan luas

14. Sepuluh titik pada suatu lingkaran diberi nomor 1, 2, , 10. Seekor katak melompat searah

jarum jam satu satuan. Jika katak berada pada nomor yang merupakan bilangan prima, dan tiga

satuan jika bukan bilangan prima. Jika mula-mula katak berada pada posisi nomor 1, di manakah

posisi katak setelah melompat 2014 kali?

A. 1

B. 4

C. 7

D. 8

Pembahasan:


10 1

2

3

4 5

6

7

8

9




Diketahui: seekor katak melompat searah jarum jam satu satuan

Jika katak berada pada nomor yang merupakan bilangan prima, dan tiga satuan jika

bukan bilangan prima.

Berikut langkah-langkah lompatan katak yang akan dilalui

Urutan lompatan ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...

Posisi katak 4 7 8 1 4 7 8 1 4 7 ...

Bilangan prima ...

Berdasarkan tabel di atas, dapat kita simpulkan bahwa langkahnya berulang setiap 4 kali

langkah, yakni 2014 : 4 = 503 + 2

Artinya adalah setelah melompat 2014 kali sama dengan urutan lompatan yang ke-2, yaitu pada

posisi 7.

Jadi, posisi katak setelah melompat 2014 kali ada di posisi 7

15. Diketahui garis L1 sejajar garis L2 dan garis L3 sejajar garis L4 .

Besar sudut y x adalah .

A. 0o

B. 10o

C. 30o

D. 50o

Pembahasan:


Berdasarkan ilustrasi gambar di atas, maka didapat sebagai berikut:

x + 35 = 180 110 x + 35 = 70

x = 35 .....(1)

x + y + 60 = 180 x + y = 180 60

x + y = 120 .....(2)


x 35o

Sudut sehadap

Sudut bertolak belakang




x + y = 120 35 + y = 120

y = 120 35

y = 85

Dengan demikian, y x = 85 35 = 50

Jadi, besar sudut y x adalah 50o

16. Suatu survey dilakukan terhadap 100 siswa peserta OSN tingkat kabupaten/kota berkaitan dengan frekuensi pengiriman sms pada suatu hari. Hasil yang diperoleh sebagai berikut.

Jumlah sms Persentase

1 10 11 20 21 30 31 40 41 atau lebih

5%

10%

15%

20%

25%

Sisanya dilaporkan tidak mengirim sms. Jika dipilih seorang siswa secara acak, maka peluang

siswa tersebut mengirim sms tidak lebih dari 30 kali adalah

A. 0,55

B. 0,30

C. 0,25

D. 0,15

Pembahasan:

Perhatikan kembali pada tabel hasil survey.

Jumlah sms Persentase

1 10 11 20 21 30

5%

10%

15%

Persentase siswa yang mengirim sms tidak lebih 30 kali adalah 5% + 10%+15% = 30%

Dengan demikian peluang siswa tersebut mengirim sms tidak lebih dari 30 kali = 100

30 = 0,30

Jadi, peluang siswa tersebut mengirim sms tidak lebih dari 30 kali adalah 0,30

17. Diketahui titik E, F, dan G pada trapezium ABCD. Sisi FE sejajar dengan sisi AB. Jika AB = 7,

DC = 14, DG = 8, FG = 4, GB = x , dan GE = y , maka nilai x + y adalah

A. 10

B. 11

C. 12

D. 13




Pembahasan:

Perhatikan segitiga FGD dan segitiga ABD. Dengan menggunakan konsep kesebangunan

didapat:

AB

FG

DB

DG

x8

8 =

7

4

8 7 = 4(8 + x)

56 = 32 + 4x

56 32 = 4x

24 = 4x

x = 6 Kemudian Perhatikan segitiga BEG dan segitiga BCD. Dengan menggunakan konsep

kesebangunan didapat:

BD

BG

DC

EG

14

y =

86

6

y 14 = 6 14

y = 6

Dengan demikian nilai x + y = 6 + 6 = 12

Jadi, nilai x + y adalah 12

18. Dari survey terhadap 75 orang diperoleh hasil sebagai berikut.

50 orang berumur lebih dari 25 tahun, sisanya berumur tidak lebih dari 25 tahun

27 orang menyukai masakan pedas, 7 diantaranya berumur tidak lebih dari 25 tahun

28 orang menyukai masakan manis, 25 diantaranya berumur lebih dari 25 tahun

5 orang menyukai masakan pedas dan juga masakan manis

25 orang tidak menyukai masakan pedas maupun masakan manis, 7 diantaranya berumur lebih dari 25 tahun

Banyak orang yang berumur tidak lebih dari 25 tahun yang menyukai masakan pedas dan juga

masakan manis adalah . A. 2

B. 3

C. 4

D. 7

Pembahasan:

Perhatikan diagram Venn berikut.

Misalkan orang yang menyukai masakan Pedas = P

orang yang menyukai masakan Manis = M

Diketahui a + b + c + 7 = 50 ....(1)

a + b = 20 ....(2)

b + c = 25 ....(3)

b + e = 5 ....(4)

a + d = 22 ....(5)

c + f = 23 ....(6)

d + e + f + 18 = 25 ....(7)

7

18

75

25umurP M

25umur

a b c

d e f

5




dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

a + b + c + 7 = 50 20 + c + 7 = 50

c = 50 27

c = 23 ....(8)


b + c = 25 b + 23 = 25

b = 2 ....(9)


b + e = 5 2 + e = 5

e = 3

Jadi, Banyak orang yang berumur tidak lebih dari 25 tahun yang menyukai masakan

pedas dan juga masakan manis adalah 3 orang

19. Jika luas satu persegi kecil adalah 4 m2, maka luas bangun datar pada gambar di bawah adalah ...

A. 36

B. 96

C. 144

D. 162

Pembahasan:


Gambar yang asli di geser ke kiri setengah kotak, kemudian buatlah garis bantu yang berwarna

merah. Sehingga terbentuk 4 segitiga, selanjutnya geserlah 2 segitiga bagian atas kebagian

bawah seperti pada gambar di atas.

Dengan demikian akan tampak seperti pada gambar samping kanannya dan bangun tersebut

membentuk jajar genjang dengan alas AB = 4,5 dan tinggi EC = 8, sehingga di dapat

t

A

B

D

C E




Luas jajargenjang = a t

= AB EC

= 4,5 8

= 36 satuan luas

Karena setiap persegi kecil luasnya adalah 4 m2, maka luas bangun jajar genjang menjadi

Luas jajargenjang = 36 4

= 144 m2

Jadi, luas bangun datar pada gambar yang dimaksud adalah 144 m2

20. Seorang guru memiliki 3 kantong permen yang akan dibagikan kepada para siswanya. Masing masing kantong terdiri dari beberapa permen yang memiliki warna sama. Kantong pertama berisi

permen berwarna merah, kantong kedua berisi permen berwarna kuning, dan kantong ketiga

berisi permen berwarna hijau. Masing masing siswa mendapatkan 7 permen dengan dua warna dan kombinasi yang berbeda untuk setiap siswa. Sebagai contoh, bila siswa A mendapat 3

permen berwarna merah dan 4 permen berwarna hijau, maka tidak ada siswa lain yang mendapat

bagian seperti siswa A. Maksimal banyak siswa yang ada di kelas tersebut adalah

A. 15

B. 18

C. 21

D. 24

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi kantong permen berikut.

Diketahui masing-masing siswa mendapatkan 7 permen dengan dua warna dan kombinasi yang

berbeda.

Banyak pasangan yang mungkin dari 2 warna yang berbeda adalah ada 6, yakni

(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), dan (6,1)

Dari ke-3 kantong permen tersebut akan diambil 2 warna kombinasi berbeda, artinya terdapat 3

unsur berbeda dari 2 unsur yang akan di ambil, yakni menggunakan formula kombinasi

Sehingga banyak cara yang mungkin adalah ada 3C2 = !3!.23

!3

= 3

Karena pengambilannya ada 3 cara dari 6 pasangan yang mungkin, maka banyak siswa yang

mungkin juga dari kelas tersebut adalah 6 3 = 18 orang

Jadi, maksimal banyak siswa yang ada di kelas tersebut adalah 18 orang

Disusun oleh : Mohammad Tohir

Jika ada saran, kritik maupun masukan

silahkan kirim ke- My email: [email protected]

Terima kasih.

My blog : http://m2suidhat.blogspot.com/

Kantong 1 Kantong 2 Kantong 3

soal dan pembahasan osn matematika smp tingkat kota 2014 [bagian a]

Documents