soal dan bahas osp matematika sma tahun 2012.pdf
TRANSCRIPT
www.math
zone
.web
.id
SELEKSI TINGKAT PROPINSICALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2012
MATEMATIKA SMA/MA
PETUNJUK UNTUK PESERTA:
1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan tes bagiankedua terdiri dari 5 soal uraian.
2. Waktu yang disediakan untuk menyelesaikan semua soal adalah 210 menit.
(tiga puluh) menit pertama dari keseluruhan waktu tes.
3. Tuliskan nama, kelas, dan asal sekolah Anda di sebelah kanan atas pada setiap halaman.
4. Untuk soal bagian pertama:
(a) Masing-masing soal bagian pertama bernilai 1 (satu) angka.
(b) Beberapa pertanyaan dapat memiliki lebih dari satu jawaban yang benar. Anda dimintamemberikan jawaban yang paling tepat atau persis untuk pertanyaan seperti ini. Nilaihanya akan diberikan kepada pemberi jawaban paling tepat atau paling persis.
(c) Tuliskan hanya jawaban dari soal yang diberikan. Tuliskan jawaban tersebut pada kotakdi sebelah kanan setiap soal.
5. Untuk soal bagian kedua:
(a) Masing-masing soal bagian kedua bernilai 7 (tujuh) angka.
(b) Anda diminta menyelesaikan soal yang diberikan secara lengkap. Selain jawaban akhir,Anda diminta menuliskan semua langkah dan argumentasi yang Anda gunakan untuk sam-pai kepada jawaban akhir tersebut.
(c) Jika halaman muka tidak cukup, gunakan halaman sebaliknya.
6. Jawaban hendaknya Anda tuliskan dengan menggunakan tinta (bukan pensil), kecuali padasketsa gambar.
7. Selama tes, Anda tidak diperkenankan menggunakan buku, catatan, dan alat bantu hitung.Anda juga tidak diperkenankan bekerjasama.
8. Mulailah bekerja hanya setelah pengawas memberi tanda dan berhentilah bekerja segera setelahpengawas memberi tanda.
9. Selamat bekerja.
1
www.math
zone
.web
.id
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
BAGIAN PERTAMA
1. Misalkan O dan I berturut-turut menyatakan titik pusat lingkaran luar dan titik pusat lingkarandalam pada segitiga dengan panjang sisi 3; 4; dan 5: Panjang dari OI adalah...
2. Misalkan x; y; dan z adalah bilangan-bilangan prima yang memenuhi persamaan
34x� 51y = 2012z:
Nilai dari x+ y + z adalah...
3. Diketahui empat dadu setimbang dan berbeda, yang masing-masing berbentuk segi delapan be-raturan bermata 1, 2, 3, ..., 8. Empat dadu tersebut ditos (dilempar) bersama-sama satu kali.Probabilitas kejadian ada dua dadu dengan mata yang muncul sama sebesar ...
4. Fungsi bernilai real f dan g masing-masing memiliki persamaan
f(x) =pbxc � a dan g(x) =
sx2 � x
p2pa
dengan a bilangan bulat positif. Diketahui bxc menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurangdari atau sama dengan x. Jika domain g � f adalah fxj31
2� x < 4g, maka banyaknya a yang
memenuhi sebanyak...
5. Diberikan bilangan prima p > 2: Jika S adalah himpunan semua bilangan asli n yang menye-babkan n2 + pn merupakan kuadrat dari suatu bilangan bulat maka S = :::
6. Untuk sebarang bilangan real x dide�nisikan fxg sebagai bilangan bulat yang terdekat denganx; sebagai contoh f1; 9g = 2; f�0; 501g = �1; dan sebagainya. Jika n adalah suatu bilanganbulat positif kelipatan 2012, maka banyak bilangan bulat positif k yang memenuhi
n3pko= n
adalah...
7. Banyak bilangan bilangan asli n < 100 yang mempunya kelipatan yang berbentuk
123456789123456789:::123456789
adalah...
2
www.math
zone
.web
.id
8. Diberikan parallelogram (jajar genjang) ABCD. Titik M pada AB sedemikian rupa sehinggaAMAB
= 0; 017, dan titik N pada AD sehingga ANAD
= 172009
. Misal- kan AC \MN = P , maka ACAP=
...
9. Dalam sebuah pertemuan, 5 pasang suami istri akan didudukkan pada sebuah meja bundar.Berapa banyak cara untuk mengatur posisi duduk 5 pasang suami istri tersebut sedemikiansehingga tepat 3 suami duduk disamping istrinya?
10. Jika p; q; dan r akar-akar dari x3 � x2 + x� 2 = 0, maka p3 + q3 + r3 = ....
11. Jika m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi m2 + n5 = 252, maka m+ n =...
12. Pada �ABC titik D terletak pada garis BC. Panjang BC = 3, \ABC = 30�, dan \ADC =45�. Panjang AC =...
13. Lima siswa, A;B;C;D;E berada pada satu kelompok dalam lomba lari estafet. Jika A tidakbisa berlari pertama dan D tidak bisa berlari terakhir, maka banyaknya susunan yang mungkinadalah...
14. Diketahui H adalah himpunan semua bilangan asli kurang dari 2012 yang faktor primanya tidaklebih dari 3: Selanjutnya dide�nisikan himpunan
S =
�1
njn 2 H
�:
Jika x merupakan hasil penjumlahan dari semua anggota S dan bxc menya- takan bilanganbulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x, maka bxc = ...
15. Diberikan dua lingkaran �1 dan �2 yang berpotongan di dua titik yaitu A dan B denganAB = 10. Ruas garis yang menghubungkan titik pusat kedua lingkaran memotong lingkaran�1 dan �2 masing-masing di P dan Q. Jika PQ = 3 dan jari-jari lingkaran �1 adalah 13, makajari-jari lingkaran �2 adalah : : :
16. Banyaknya pasangan bilangan bulat (x; y) yang memenuhi
1
x+1
y� 1
xy2=3
4
adalah ......
3
www.math
zone
.web
.id
17. Untuk bilangan real positif x dan y dengan xy = 13, nilai minimum 1
9x6+ 1
4y6adalah ......
18. Banyaknya pasangan bilangan bulat positif (a; b) yang memenuhi
4a + 4a2 + 4 = b2
adalah ......
19. Diberikan segitiga ABC, dengan panjang AB sama dengan dua kali panjang AC. Misalkan Ddan E berturut-turut pada segmen AB dan BC, sehingga \BAE = \ACD. Jika F = AE\CDdan CEF merupakan segitiga sama sisi, maka besar sudut dari segitiga ABC adalah ......
20. Banyaknya bilangan bulat positif n yang memenuhi n � 2012 dan merupakan bilangan kuadratsempurna atau kubik atau pangkat 4 atau pangkat 5 atau ... atau pangkat 10, ada sebanyak...
4
www.math
zone
.web
.id
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
BAGIAN KEDUA
Soal 1. Tentukan semua pasangan bilangan bulat tak negatif (a; b; x; y) yang memenuhi sistempersamaan �
a+ b = xyx+ y = ab
5
www.math
zone
.web
.id
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
Soal 2. Cari semua pasangan bilangan real (x; y; z) yang memenuhi sistem persamaan8<:x = 1 +
py � z2
y = 1 +pz � x2
z = 1 +px� y2:
6
www.math
zone
.web
.id
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
Soal 3. Seorang laki - laki memiliki 6 teman. Pada suatu malam di suatu restoran, dia bertemudengan masing - masing mereka 11 kali, setiap 2 dari mereka 6 kali, setiap 3 dari mereka 4 kali,setiap 4 dari mereka 3 kali, setiap 5 dari mereka 3 kali, dan semua mereka 10 kali. Dia makan diluar9 kali tanpa bertemu mereka. Berapa kali dia makan di restoran tersebut secara keseluruhan ?
7
www.math
zone
.web
.id
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
Soal 4. Diberikan segitiga lancip ABC. Titik H menyatakan titik kaki dari garis tinggi yangditarik dari A. Buktikan bahwa
AB + AC � BC cos\BAC + 2AH sin\BAC
8
www.math
zone
.web
.id
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
Soal 5. Diketahui p0 = 1 dan pi bilangan prima ke-i, untuk i = 1; 2; : : :; yaitu p1 = 2, p2 = 3, : : :.Bilangan prima pi dikatakan sederhana jika
p(n2)i > pi�1(n!)
4
untuk semua bilangan bulat positif n. Tentukan semua bilangan prima yang sederhana!
9
www.math
zone
.web
.id
SELEK
TIM O
KSI OLIM
LIMPIAD
Presta
Disus
MPIADE
DE MATE
asi itu dir
SOLU
BAGIAN
sun oleh :
TINGKA
EMATIKA
raih bukan
USI SOA
N PERTA
Eddy He
AT PROV
A INDON
n didapat
AL
AMA
rmanto, S
VINSI 20
NESIA 20
t !!!
ST
012
013
www.math
zone
.web
.id
Solusi
SMA Neger
BAGIAN PER 1. Tanpa m
Misalkan
Karena ΔJadi, O a
Misalkan12r = 1 Karena OJadi, E a
OE = OD
OI2 = OE
OI = √5
Jadi,
2. 34x 51Karena 3Karena 334x 51x = 1009x + y + z Jadi,
3. Banyakn
Peluang
Jadi,
O
ri 5 Bengkul
RTAMA
mengurangi k
n juga R ada
ΔABC siku-siadalah perte
n D adalah ti
O adalah peadalah titik
ED = AC
2 + IE2 =
5
, panjang OI
1y = 2012z d34 dan 2012 34 dan 51 ha(2) = 2012(1
9 yang memez = 1009 + 2 , nilai dari x
nya kejadian
ada angka y
, peluang ad
Olimpiade
lu
keumuman m
lah jari-jari
iku di A makengahan BC.
itik pada AB
6
rtengahan Bsinggung ga
C r =
1
I = √ .
engan x, y, habis dibagabis dibagi 117) enuhi bahwa + 17 = 1028x + y + z ada
n semua angk
yang sama =
da angka yan
e Matema
misalkan AC
lingkaran lu
ka BC adalah.
B sehingga O
BC maka D aris OD terha
z adalah bilgi 2 maka y h17 maka z ha
a x adalah b
alah 1028.
ka dadu ber
= 1
ng sama =
atika Tk P
= 3 ; AB =
uar dan r ad
h diameter l
D AB dan
dalah perteadap lingkara
langan primahabis dibagi abis dibagi 1
ilangan prim
rbeda = 8 x 7
Provinsi 2
4 ; BC = 5
dalah jari-jar
lingkaran lua
E pada OD s
ngahan AB san dalam. M
a. 2. Karena y17. Karena z
ma.
7 x 6 x 5.
2012
E
.
ri lingkaran
ar ΔABC.
sehingga IE
sehingga AD Maka IE = 2.
y prima makz prima mak
Bagian
Eddy Herma
dalam ΔABC
OD.
= 2.
ka y = 2. ka z = 17.
Pertama
anto, ST
C.
www.math
zone
.web
.id
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 Bagian Pertama
SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST
4. dan 2 √
√ dengan a adalah bilangan bulat positif.
2 2
√
Karena 3 4 maka 3.
Untuk 3 4 maka √3 sehingga
3√6 2
√
Syarat yang harus dipenuhi adalah a 3 (1) dan
3√6 2
√0
a(3 a)2 6 2a (2) Jika a = 1 maka 1 (3 1)2 = 4 dan 6 2(1) = 4 Jika a = 2 maka 2 (3 2)2 = 2 dan 6 2(2) = 2 Jika a = 3 maka 3 (3 3)2 = 0 dan 6 2(3) = 0 Maka nilai a bulat positif yang memenuhi adalah a = 1 atau a = 2 atau a = 3. Banyaknya nilai a yang memenuhi ada 3.
5. Karena n2 + pn bilangan kuadrat sempurna maka 4n2 + 4pn juga merupakan kuadrat sempurna. 4n2 + 4pn = m2 dengan n, m N dan p adalah bilangan prima. (2n + p)2 p2 = m2 p2 = (2n + p + m)(2n + p m) Maka ada 2 kasus : Jika 2n + p + m = p dan 2n + p m = p
Maka didapat 2n + p = 0 dan 2n p = 0 Didapat n = 0 yang tidak memenuhi syarat bahwa n N.
Jika 2n + p + m = p2 dan 2n + p m = 1 Jumlahkan kedua persamaan didapat 4n + 2p = p2 + 1 4n = (p 1)2
Karena p adalah bilangan prima ganjil maka akan didapat n N.
Jadi, dengan p bilangan prima > 2.
6. √ 2012 dengan m N
√
Karena n habis dibagi 2012 maka dan keduanya bilangan asli. Jadi,
www.math
zone
.web
.id
Solusi
SMA Neger
Maka ba
Jadi,
7. Misalkanangka-anm = 1234Jelas baJuga jelKarena 1999 = 33 103 1 (Jadi, jik103 1 (Jadi, jikKarena 3Maka bil Jadi,
8. Perhatik
Tanpa m
Maka ko
Persama
Persama
Perpoto
Maka
Jadi,
9. Misalkanpasangadan C, akasus :
O
ri 5 Bengkul
anyaknya nila
, banyaknya
n m = 12345ngka berula456789(1 + hwa 31234as bahwa 9 12345678912 37 (mod 37) Maka k = 37 ma(mod 27) Maka k = 27 ma3123456789langan asli n, banyaknya
kan gambar.
mengurangi k
ordinat C(b
aan garis AC
aan garis MN
ngan garis A
sehingga
, .
n A, B, C dannya dan xA
antara C dan
Olimpiade
lu
ai k yang me
a nilai k yang
6789123456ng setiap 9 a109 + 1018 + 456789. membagi 1223456789 ha
aka 109n 1 ka 37m = 1
aka 109n 1 ka 271 + 19 dan 271 n < 100 yanga bilangan as
keumuman m
+ a, c). Koo
adalah
N adalah
AC dan MN ad
177
an D adalahA, xB, xC dann D dan anta
e Matema
emenuhi ada
g memenuhi
789…123456angka yaitu + 109(k-1))
23456789. abis dibagi 1
(mod 37) un123456789(1(mod 27) un09 + 1018 + + 109 + 1018
g mempunyasli n < 100 ya
misalkan koo
ordinat
0
dalah titik P
. Jadi,
7
h 4 orang da xD adalah b
ara D dan A.
atika Tk P
a
ada
6789 merupa 123456789.
1 maka 11 j
ntuk n bilang + 109 + 101
ntuk n bilang + 109(k-1) se
+ + 109(k-1
i kelipatan mang memenu
ordinat A(0,
, 0 dan
P
koordinat
alam arah sbanyaknya k. Jelas bahw
Provinsi 2
.
akan bilanga
juga memba
gan bulat ta8 + + 109(k
gan bulat taehingga 271) maka 81mm adalah 1,uhi ada 9.
0), B(a, 0)
n ,
,
searah jarumkursi yang bewa xA, xB, xC
2012
E
an terdiri da
agi m.
k negatif. k-1)) k negatif. m m 3, 9, 11, 27
dan D(b, c).
.
.
m jam yangerada antar dan xD sem
Bagian
Eddy Herma
1 3
ari 9k angka
7, 33, 37, 81
.
g tidak dudura A dan B, auanya gena
Pertama
anto, ST
1.
a dengan
1, 99.
uk dekat antara B p. Ada 4
www.math
zone
.web
.id
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 Bagian Pertama
SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST
Kasus 1, xA = 0, xB = 0, xC = 0 dan xD = 6. A, B, C dan D akan berdekatan. Agar di antara mereka tidak ada sepasang suami isteri maka mereka harus duduk berselang seling. Banyaknya cara memilih A ada 10. Banyaknya cara memilih B hanya 8 sebab B tidak boleh pasangan A. Cara memilih C dan D hanya ada satu cara memilihnya sebab mereka pasangannya A dan B. Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840.
Kasus 2, xA = 0, xB = 2, xC = 2 dan xD = 2. A dan B akan berdekatan sehingga tidak mungkin pasangan suami isteri. Banyaknya cara memilih A dan B adalah 10 x 8. C adalah pasangan A atau B sehingga banyaknya cara memilih C dan D adalah 2 x 1. Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 2 x 1 x 48 = 7680.
Kasus 3, xA = 0, xB = 0, xC = 2 dan xD = 4. A, B dan C akan berdekatan sehingga B bukan pasangan A atau C. Banyaknya cara memilih A ada 10 dan B ada 8. Banyaknya cara memilih C dan D hanya ada 1. Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840.
Kasus 4, xA = 0, xB = 2, xC = 0 dan xD = 4. A dan B akan berdekatan sehingga tidak mungkin pasangan suami isteri. Banyaknya cara memilih A dan B adalah 10 x 8. C adalah pasangan A atau B sehingga banyaknya cara memilih C dan D adalah 2 x 1. Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 2 x 1 x 48 = 7680
Kasus 5, xA = 0, xB = 0, xC = 4 dan xD = 2. A, B dan C akan berdekatan sehingga B bukan pasangan A atau C. Banyaknya cara memilih A ada 10 dan B ada 8. Banyaknya cara memilih C dan D hanya ada 1. Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840
Banyaknya cara menyusun secara keseluruhan = 10 x 8 x 7 x 1 x 48 = 26880. Jadi, banyaknya cara menyusun secara keseluruhan = 26880.
10. x3 x2 + x 2 = 0 akar-akarnya p, q dan r. p + q + r = 1 pq + pr + qr = 1 pqr = 2 Alternatif 1 : (p + q + r)3 = p3 + q3 + 3 + 3p2q + 3p2r + 3pq2 + 3pr2 + 3q2r + 3qr2 + 6pqr (p + q + r)3 = p3 + q3 + r3 + 3(pq + pr + qr)(p + q + ) 3pqr 13 = p3 + q3 + r3 + 3(1)(1) 3(2) p3 + q3 + r3 = 4 Alternatif 2 : p2 + q2 + r2 = (p + q + r)2 2(pq + pr + qr) = 12 2 1 = 1 p, q dan r adalah akar-akar persamaan x3 x2 + x 2 = 0 maka p3 p2 + p 2 = 0 q3 q2 + q 2 = 0
www.math
zone
.web
.id
Solusi
SMA Neger
r3 r2 + Didapat p3 + q3 +p3 + q3 +p3 + q3 + Jadi,
11. m2 + n5 =
n5 252 Jika Jika Jika Maka pa Jadi,
12. Misalkan
AD = 2x
Pada ΔAAC2 = ADAC2 = (2xMaka nil Jadi,
13. Ada 2 ka
Jika Bany5 adBany
Jika BanyBanyBanyBany
Banyakn Jadi,
O
ri 5 Bengkul
r 2 = 0 + r3 (p2 + q+ r3 + 1 + 1 =+ r3 = 4 , p3 + q3 + r3
= 252 denga sehingga n n = 1 maka n = 2 maka n = 3 maka
asangan (m, , m + n = 6.
n panjang BD
cos 15o.
ACD berlaku D2 + DC2 2 x cos 15o)2 +lai AC berga, belum dap
asus : D sebagai pyaknya cara a 1. yaknya cara D bukan sebyaknya cara yaknya cara yaknya cara yaknya cara nya cara men, banyaknya
Olimpiade
lu
2 + r2) + p + = 6
3 = 4.
an m, n N 3 m2 = 251. T m2 = 220. T m2 = 9. Nila n) yang mem
D = x. Karen
AD DC co
+ (3 x)2 2ntung denga
pat ditentuka
pelari pertam memilih pe
= 4x3x2x1 =bagai pelari memilih pel memilih pel memilih pel = 3x3x2x1x3nyusun pelaa cara menyu
e Matema
q + r = 6
Tidak ada m Tidak ada m ai m N yanmenuhi adal
a ADC = 45
s 45o 2(2x cos 15o)an x. an panjang A
ma lari ke-2 ada
= 24 pertama lari ke-1 adalari ke-5 adalari ke-2 ada3 = 54 ri = 24 + 54 usun pelari =
atika Tk P
N yang m N yang m
ng memenuhlah (3, 3).
5o maka AD
)(3 x) cos 4
AC.
a 4, pelari k
a 3. a 3. a 3 dan pela
= 78. = 78.
Provinsi 2
emenuhi. emenuhi.
hi hanya m =
DB = 135o se
45o
ke-3 ada 3, p
ari ke-3 ada
2012
E
= 3.
ehingga BA
pelari ke-4 a
2 dan pelar
Bagian
Eddy Herma
AD = 15o.
ada 2 dan pe
i ke-4 ada 1
Pertama
anto, ST
elari ke-
.
www.math
zone
.web
.id
Solusi
SMA Neger
14. H = {20 36 = 729 210 = 102
∙
p = 36 (32 (210 p = 36 ((24 1) +p = 1492q = 210 2
Jadi, 15. Misalkan
dengan A
Jelas bpersekutKarena MMisalkanAN2 = ARr2 = 52 + 4r = 29
Jadi
16.
Jelas ba Jika
Nilai
Teta
Jika J
N
O
ri 5 Bengkul
30, 20 31, 2 dan 37 = 2124 dan 211 =
∙ ∙
∙
(210 + 29 + + 29 + + 2(211 1) + 3+ 30 29 (22
2263 + 49717 36 = 746.4963
, .
n M dan N beAB di R. Jela
ahwa garis tuan. Jadi, AMA = 13 dann jari-jari Г2 R2 + RN2 (r 2)2
jari-jari ling
deng
hwa x,y 0 x < 0 maka
0
i y yang mem
api untuk y =
x > 0 Jika y < 0
Nilai x yang
Olimpiade
lu
20 32, 20 387 2048.
⋯ ∙
+ 1) + 35 (6) + 31 (210 5 21 (210
2 1) 78 + 165240 6
ertuurt-turuas bahwa R
melalui kAR MR dan AR = 5 mak = r.
gkaran Г2 =
an x, y Z
.
menuhi hany
= 1 maka
memenuhi h
e Matema
33, , 210 30
dengan q
(210 + 25 + + 210 + + 1) + 34 23
+ 54862 + 1
t adalah pusadalah perte
kedua pusatn AR RN. ka MR = 12. J
.
ya y = 1
1
hanya x = 1.
atika Tk P
0)
= 210 36.
+ 21) + 34 27) + 30 (21
(28 1) +
7856 + 5760
sat lingkaranengahan AB
t lingkaran
Jadi, RP = 1
1
Provinsi 2
(210 + 25 + 10 + 29) 33 24 (27
0 + 1536 = 2
n Г1 dan Г2.. Jadi, AR =
akan mem
dan QR = P
2012
E
+ 23) + 33
1) + 32 2
.234.697.
. Misalkan ju RB = 5.
motong teg
Q RP = 3
Bagian
Eddy Herma
(210 + 25 +
6 (25 1) +
uga MN berp
gak lurus t
1 = 2.
Pertama
anto, ST
+ 24) +
+ 31 27
potongan
talibusur
www.math
zone
.web
.id
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 Bagian Pertama
SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST
4y 4 = y2 (y + 2)2 = 8 Tidak ada y bulat yang memenuhi.
Jika y > 0 Jika x y
x 2 Jika x = 1 maka tidak ada y yang memenuhi.
Jika x = 2 maka
4y 2 = y2 (y 2)2 = 2 Tidak ada y bulat yang memenuhi.
Jika y x
y 2 Jika y = 1 maka tidak ada x bulat yang memenuhi.
Jika y = 2 maka yang dipenuhi oleh x = 3. Pasangan (x, y) = (3, 2) memenuhi persamaan.
Banyaknya pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi ada 1. Jadi, banyaknya pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi ada 1.
17. Berdasarkan ketaksamaan AM-GM maka
2 ∙ ∙ ∙ 3 9
Jadi,nilai minimal dari adalah 9.
18. Lemma : Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa 4n > 4n2 untuk n N dan n > 2. Bukti : Jika n = 3 maka 64 = 43 > 4 (3)2 = 36 Andaikan benar untuk n = k maka diangap benar 4k > 4k2 4k+1 = 4 4k > 16k2 = 4k2 + (k 2) 8k + 16k + 4k2 Karena k > 2 maka 4k+1 = 4 4k > 16k2 = 4k2 + (k 2) 8k + 16k + 4k2 > 4k2 + 8k + 4 = 4(k + 1)2 Maka terbukti bahwa jika 4k > 4k2 maka 4k+1 > 4(k + 1)2 untuk k > 2. Jadi, terbukti bahwa 4n > 4n2 untuk n N dan n > 2 4a + 4a2 + 4 = b2. Karena ruas kiri habis dibagi 4 maka b genap. Misalkan b = 2m maka 4a-1 + a2 + 1 = m2 Jika a ganjil maka ruas kiri dibagi 4 akan bersisa 2 atau 3 yang tidak memenuhi syarat. Misalkan a = 2n maka 42n-1 + 4n2 + 1 = m2
www.math
zone
.web
.id
Solusi
SMA Neger
Berdasa(22n-1)2 =(22n-1)2 <(22n-1)2 <Jadi, unyang meJika n = Jika n = Maka pa Jadi,
19. Misalkan
Karena Karena Karena
Berdasa
Karena A2 sin (60
2 ∙ √3 c
√3 cos
cot √ = 30o ABC = Jadi,
20. Bilangan
bilangansetara dpangkat positif nKarena 4Karena 1Karena 4Karena 2
O
ri 5 Bengkul
rkan lemma= 42n-1 < 42n-1 42n-1 + 4n2 + m2 < (22n-1 +
ntuk n > 2 memenuhi. 1 maka 42n-1
2 maka 42n-1
asangan bilan, banyaknya
n BAE = A
CFE = 60o mAFC = 120o
BAC = 60o d
rkan dalil si
AB = 2AC ma0o ) = sin
cos 2 ∙ s
sin
√3
60o = 30, besar AB
n pangkat 2n pangkat 2dengan men 7. Misalkan
n 2012 yan442 = 1936 d123 = 1728 d45 = 1024 da27 = 128 dan
Olimpiade
lu
untuk n > 2 + 4n2 + 1 < 4+ 1 < (22n-1 ++ 1)2 maka m2 ter
1 + 4n2 + 1 =1 + 4n2 + 1 =ngan bulat p
a pasangan b
ACD = . Mis
maka AFC o dan ACF =dan ACB =
nus pada ΔA
aka (60o + )
sin √3 c
0o. C = 30o.
2, pangkat 4. Bilangan
ncarai banyan A, B, C dang merupaka
dan 452 = 202dan 133 = 219an 55 = 3125 n 37 = 2187 m
e Matema
2 maka 42n-1 + 4n + 1 1)2
rletak di an
9 = 32. 81 = 92.
positif (a, b)bilangan bula
salkan juga p
= 120o. = maka C 60o + mak
ABC maka
cos sin
4, pangkat pangkat 9 jaknya bilann D berturutn pangkat 225 maka ban97 maka ban maka banyamaka banyak
atika Tk P
= (22n-1)2 +
tara 2 bilan
) yang memeat positif (a
panjang AC
CAF = 60o ka ABC = 6
6, pangkat juga merupagan pangkat-turut adala, pangkat 3,
nyaknya angnyaknya angaknya anggoknya anggota
Provinsi 2
2 22n-1 + 1
ngan kuadra
enuhi adalah, b) yang me
= x sehingga
sehingga 60o .
8 dan panakan bilang
at 2 atau paah himpunan, pangkat 5
ggota himpunggota himpunota himpunana himpunan
2012
E
= (22n-1 + 1)2
at berurutan
h (2, 6), (4, emenuhi ada
a panjang AB
BAC = 60o
ngkat 10 segan pangkatangkat 3 atn semua ang dan pangkanan A = Anan B = Bn C = C = D = D = 2
Bagian
Eddy Herma
2
n. Maka tida
18). a 2.
B = 2x.
.
muanya me 3. Jadi, petau pangkatggota bilangt 7. = 44. = 12. 4. 2.
Pertama
anto, ST
ak ada n
erupakan ersoalan t 5 atau an bulat
www.math
zone
.web
.id
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 Bagian Pertama
SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST
AB adalah himpunan semua anggota bilangan bulat positif n 2012 yang merupakan pangkat 2 dan juga pangkat 3 yang berarti merupakan himpunan pangkat 6. Karena 36 = 729 dan 46 = 4096 maka banyaknya anggota himpunan AB = AB= 3. Dengan cara yang sama didapat AC = 2 ; AD = 1 ; BC = 1 ; BD = 1 ; CD = 1. ABC = 1 ; ABD = 1 ; ACD = 1 ; BCD = 1. ABCD = 1 ABCD = A + B + C + D AB AC AD BC BD CD + ABC + ABD + ACD + BCD ABCD . ABCD = 44 + 12 + 4 + 2 3 2 1 1 1 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1 = 56 Jadi, banyaknya bilangan yang memenuhi ada 56.
www.math
zone
.web
.id
SELEK
TIM O
KSI OLIM
LIMPIAD
Presta
Disus
MPIADE
DE MATE
asi itu dir
SOLU
BAGIA
sun oleh :
TINGKA
EMATIKA
raih bukan
USI SOA
AN KED
Eddy He
AT PROV
A INDON
n didapat
AL
DUA
rmanto, S
VINSI 20
NESIA 20
t !!!
ST
012
013
www.math
zone
.web
.id
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 Bagian Kedua
SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST
BAGIAN KEDUA 1. a, b, x, y bilangan bulat tak negatif.
a + b = xy x + y = ab Jika salah satu di antara a, b, x dan y sama dengan 0, tanpa mengurangi keumuman misalkan saja a = 0 maka x + y = 0 sehingga x = y = 0 dan membuat b = 0. Jadi, jika salah satu di antara a, b, x atau y sama dengan 0 maka yang lain akan sama dengan 0. Andaikan bahwa tidak ada satupun di antara a, b, x atau y sama dengan 0. Karena a dan b simetris maka dapat diandaikan a b. Karena a bilangan bulat lebih dari 0 maka x + y = ab b 2x + 2y 2b Karena a b maka xy = a + b 2b 2x + 2y 2b a + b = xy Jadi, didapat 2x + 2y xy (x 2)(y 2) 4 Karena x dan y simetris maka tanpa mengurangi keumuman dapat dimisallkan x y. Maka x 4. Jika x = 1
a + b = y dan 1 + y = ab 1 + a + b = ab (a 1)(b 1) = 2 Didapat a = 2 dan b = 3 sehingga y = 5
Jika x = 2 a + b = 2y dan 2 + y = ab 4 + a + b = 2ab (2a 1)(2b 1) = 9 Didapat a = 1 dan b = 5 sehingga y = 3 atau a = 2 dan b = 2 sehingga y = 2
Jika x = 3 a + b = 3y dan 3 + y = ab 9 + a + b = 3ab (3a 1)(3b 1) = 28 Didapat a = 1 dan b = 5 sehingga y = 2
Jika x = 4 Maka y = 4 a + b = 16 dan 8 = ab Tidak ada a dan b bulat yang memenuhi.
Semua tupel (a,b,x,y) yang memenuhi adalah (0,0,0,0), (1,5,2,3), (1,5,3,2), (2,2,2,2), (2,3,1,5), (2,3,5,1), (3,2,1,5), (3,2,5,1), (5,1,2,3), (5,1,3,2).
2. 1
1 1
Karena akar suatu bilangan tidak mungkin negatif maka x, y, z 1. Alternatif 1 : Karena x, y, z 1 maka x2 x ; y2 y dan z2 z
www.math
zone
.web
.id 4
Solusi
SMA Neger
Karena xKarena yDengan Jadi, tri AlternatKarena xJelas baKalikan xyz (xyxyz 1 Karena x Jadi,
3. MisalkanABCS 9 S = 28Maka lakCatatan dengan dipenuhpertemulebih baJika tidabertemuABCS 9 S = 31 Jadi,
4. Andaika
titik-titi
MisalkanJelas baMisalkan
2
ri 5 Bengkul
x real maka y y2 dan y2
cara yang sapel bilangan
tif 2 : x, y, z 1 mhwa y z2 ketiga persayz)2
xyz 1 adan, tripel bilan
n kawan-kawCDEF = 66 90 + 8 ki-laki terse : Penulis btepat tiga di haruslah b
uan dengan nyak dari beak, maka soau dengan emCDEF = 66 + 90 + 18. , laki-laki te
n Ai dengan k tersebut a
n Hi pada BChwa AiHi aka
n AiHi maksim
Olimpia
lu
y z2 z 2 y maka hama didapatn real (x,y,z
maka xyz 1; z x2 danamaan di ata
n xyz 1 mangan real (x
wan laki-laki= 11 6C1 6 80 45 + 18
but pergi keberkeyakinadi antaranyabanyaknya p lima di anertemu dengal harus diar
mpat di antar= 11 6C1 + 680 + 45 + 18
ersebut mak
i = 1, 2, 3, akan membe
C sehingga Ai
an maksimumum = y. Sa
de Matem
x2 x y2 haruslah y = t x = z = 1. ) yang mem
n z y2. as didapat
aka haruysla,y,z) yang m
tersebut ad6 6C2 + 4 68 10 = 19
e restoran sen bahwa ma berarti jugpertemuan taranya. Tegan setiap lirtikan berteranya. 6 6C2 + 4 68 + 10 = 309
an di restora
adalah kuentuk suatu
iHi tegak lurm jika Hi me
aat AiHi = y m
matika Tk
y2 yang dipe
enuhi x = y
h xyz = 1 yamemenuhi x
dalah A, B, C6C3 3 6C4
ebanyak 28 kaksud soal ga bertemu dengan sem
ernyata bertma di antar
emu dengan
6C3 + 3 6C4
an sebanyak
umpulan titilingkaran.
rus BC. erupakan pemaka AB = AC
k Provinsi
enuhi oleh y
= z = 1.
ang dipenuhi = y = z = 1.
C, D, E dan + 3 6C5 1
kali. adalah sepe dengan 2 d
muanya palitemu dengaranya,yaitu 3 setiap lima
+ 3 6C5 + 10
k 28 kali.
ik-titik sehin
ertengahan BC. Misalkan
i 2012
E
y = 1.
i hanya jika .
F, 0 6C6
erti tersebudi antaranyang banyak an semuany3 kali. di antarany
0 6C6
ngga BAiC
BC. saja saat in
Bagia
Eddy Herma
x = y = z = 1
ut di atas. Ba. Persyaratharus sama
ya sebanyak
ya tidak bera
= maka ku
ni AB = AC =
an Kedua
anto, ST
1.
Bertemu tan yang dengan
k 10 kali
arti juga
umpulan
x.
www.math
zone
.web
.id
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 Bagian Kedua
SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST
cos ∙ ∙
2
2
sin 2 sin12
cos12 2
cos 2 sin4 2 2 4
2 2
4 2 2 42 2
cos 2 sin4 2
2 2
2 22 2
Karena bilangan kuadrat tidak mungkin negatif maka cos 2 sin 0 sehingga
cos 2 sin 2 Maka didapat cos 2 sin cos 2 sin 2 Jadi, terbukti bahwa
5. Lemma 1 : Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa 32n+1 > (n + 1)4 untuk n N dan n > 1. Bukti : Jika n = 2 maka 443 = 32(2)+1 > (2 + 1)4= 81 Andaikan bentuk untuk n = k. Maka 32k+1 > (k + 1)4 dianggap benar untuk k N dan k > 1. 32(k+1)+1 = 32 32k+1 > 9(k + 1)4 = 9k4 + 36k3 + 54k2 + 36k + 9 = k4 + 36k3 + 54k2 + 36k + 8k2 + 9
32(k+1)+1 = 32 32k+1 > 9(k + 1)4 = k4 + 36k3 + 54k2 + 36k + 8k2 + 9 > k4 + 8k3 + 24k2 + 32k + 16 32(k+1)+1 = 32 32k+1 > k4 + 8k3 + 24k2 + 32k + 16 = (k + 2)4
Jadi, terbukti bahwa 32n+1 > (n + 1)4 untuk n N dan n > 1 Lemma 2 : Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa ! 3 untuk n N dan n > 1. Bukti : Jika n = 2 maka 16 2! 3 27 Andaikan benar untuk n = k. Maka ! 3 dianggap benar untuk k N dan k > 1. Sesuai lemma 1 maka
1 ! 1 ! 3 ∙ 3 3 Jadi, terbukti bahwa ! 3 untuk n N dan n > 1 Jika i = 1
Pi = 2 dan untuk n = 2 maka ∙ ! Jadi, untuk i = 1 sehingga Pi = 2 tidak termasuk bilangan prima sederhana.
Jika i > 1 Pi 3 Jika n = 1
∙ ! Jadi, untuk n = 1 maka ∙ !
Jika n > 1 Sesuai lemma 2 dan mengingat bahwa Pi > Pi-1 didapat
! 3
! Terbukti bahwa ∙ ! untuk i > 1 dan n N.
Jadi, semua bilangan prima sederhana adalah Pi dengan i N dan i ≠ 1.