slides erm-cea-ia

117
Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management Explain and demonstrate the importance of the tails of the distributions, tail correlations and low frequency/high severity events Arthur Charpentier Universitยด e de Rennes 1 & ยด Ecole Polytechnique http ://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/ 1

Upload: arthur-charpentier

Post on 15-Jul-2015

1.095 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Explain and demonstrate the importanceof the tails of the distributions,

tail correlations andlow frequency/high severity events

Arthur Charpentier

Universite de Rennes 1 & Ecole Polytechnique

http ://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/

1

Page 2: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

SCR and Solvency

2

Page 3: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

SCR and Solvency

3

Page 4: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

SCR and Solvency

4

Page 5: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

SCR and Solvency

5

Page 6: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On risk dependence in QISโ€™s

http ://www.ceiops.eu/media/files/consultations/QIS/QIS3/QIS3TechnicalSpecificationsPart1.PDF

6

Page 7: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On risk dependence in QISโ€™s

http ://www.ceiops.eu/media/files/consultations/QIS/QIS3/QIS3TechnicalSpecificationsPart1.PDF

7

Page 8: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On risk dependence in QISโ€™s

http ://www.ceiops.eu/media/files/consultations/QIS/QIS3/QIS3TechnicalSpecificationsPart1.PDF

8

Page 9: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On risk dependence in QISโ€™s

http ://www.ceiops.eu/media/files/consultations/QIS/QIS3/QIS3TechnicalSpecificationsPart1.PDF

9

Page 10: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On risk dependence in QISโ€™s

http ://www.ceiops.eu/media/files/consultations/QIS/QIS3/QIS3TechnicalSpecificationsPart1.PDF

10

Page 11: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

How to capture dependence in risk models ?

Is correlation relevant to capture dependence information ?

Consider (see McNeil, Embrechts & Straumann (2003)) 2 log-normal risks,

โ€ข X โˆผ LN(0, 1), i.e. X = exp(X?) where X? โˆผ N (0, 1)โ€ข Y โˆผ LN(0, ฯƒ2), i.e. Y = exp(Y ?) where Y ? โˆผ N (0, ฯƒ2)

Recall that corr(X?, Y ?) takes any value in [โˆ’1,+1].

Since corr(X,Y ) 6=corr(X?, Y ?), what can be corr(X,Y ) ?

11

Page 12: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

How to capture dependence in risk models ?

0 1 2 3 4 5

โˆ’0

.50

.00

.51

.0

Standard deviation, sigma

Co

rre

latio

n

Fig. 1 โ€“ Range for the correlation, cor(X,Y ), X โˆผ LN(0, 1) ,Y โˆผ LN(0, ฯƒ2).

12

Page 13: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

How to capture dependence in risk models ?

0 1 2 3 4 5

โˆ’0

.50

.00

.51

.0

Standard deviation, sigma

Co

rre

latio

n

Fig. 2 โ€“ cor(X,Y ), X โˆผ LN(0, 1) ,Y โˆผ LN(0, ฯƒ2), Gaussian copula, r = 0.5.

13

Page 14: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

What about official actuarial documents ?

14

Page 15: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

What about official actuarial documents ?

15

Page 16: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

What about official actuarial documents ?

16

Page 17: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

What about regulatory technical documents ?

17

Page 18: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

What about regulatory technical documents ?

18

Page 19: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

What about regulatory technical documents ?

19

Page 20: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

What about regulatory technical documents ?

20

Page 21: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Motivations : dependence and copulas

Definition 1. A copula C is a joint distribution function on [0, 1]d, withuniform margins on [0, 1].

Theorem 2. (Sklar) Let C be a copula, and F1, . . . , Fd be d marginaldistributions, then F (x) = C(F1(x1), . . . , Fd(xd)) is a distribution function, withF โˆˆ F(F1, . . . , Fd).

Conversely, if F โˆˆ F(F1, . . . , Fd), there exists C such thatF (x) = C(F1(x1), . . . , Fd(xd)). Further, if the Fiโ€™s are continuous, then C isunique, and given by

C(u) = F (Fโˆ’11 (u1), . . . , Fโˆ’1

d (ud)) for all ui โˆˆ [0, 1]

We will then define the copula of F , or the copula of X.

21

Page 22: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Copula density Level curves of the copula

Fig. 3 โ€“ Graphical representation of a copula, C(u, v) = P(U โ‰ค u, V โ‰ค v).

22

Page 23: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Copula density Level curves of the copula

Fig. 4 โ€“ Density of a copula, c(u, v) =โˆ‚2C(u, v)โˆ‚uโˆ‚v

.

23

Page 24: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Some very classical copulas

โ€ข The independent copula C(u, v) = uv = CโŠฅ(u, v).

The copula is standardly denoted ฮ , P or CโŠฅ, and an independent version of(X,Y ) will be denoted (XโŠฅ, Y โŠฅ). It is a random vector such that XโŠฅ L= X and

Y โŠฅL= Y , with copula CโŠฅ.

In higher dimension, CโŠฅ(u1, . . . , ud) = u1 ร— . . .ร— ud is the independent copula.

โ€ข The comonotonic copula C(u, v) = min{u, v} = C+(u, v).

The copula is standardly denoted M , or C+, and an comonotone version of(X,Y ) will be denoted (X+, Y +). It is a random vector such that X+ L= X and

Y + L= Y , with copula C+.

(X,Y ) has copula C+ if and only if there exists a strictly increasing function h

such that Y = h(X), or equivalently (X,Y ) L= (Fโˆ’1X (U), Fโˆ’1

Y (U)) where U isU([0, 1]).

24

Page 25: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Some very classical copulas

In higher dimension, C+(u1, . . . , ud) = min{u1, . . . , ud} is the comonotoniccopula.

โ€ข The contercomotonic copula C(u, v) = max{u+ v โˆ’ 1, 0} = Cโˆ’(u, v).

The copula is standardly denoted W , or Cโˆ’, and an contercomontone version of(X,Y ) will be denoted (Xโˆ’, Y โˆ’). It is a random vector such that Xโˆ’ L= X and

Y โˆ’L= Y , with copula Cโˆ’.

(X,Y ) has copula Cโˆ’ if and only if there exists a strictly decreasing function h

such that Y = h(X), or equivalently (X,Y ) L= (Fโˆ’1X (1โˆ’ U), Fโˆ’1

Y (U)).

In higher dimension, Cโˆ’(u1, . . . , ud) = max{u1 + . . .+ ud โˆ’ (dโˆ’ 1), 0} is not acopula.

But note that for any copula C,

Cโˆ’(u1, . . . , ud) โ‰ค C(u1, . . . , ud) โ‰ค C+(u1, . . . , ud)

25

Page 26: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

0.2

0.40.6

0.8

u_10.2

0.4

0.6

0.8

u_2

00.

20.

40.

60.

81

Frec

het lo

wer b

ound

0.2

0.4

0.6

0.8

u_10.2

0.4

0.6

0.8

u_2

00.

20.

40.

60.

81

Inde

pend

ence

copu

la

0.2

0.40.6

0.8

u_10.2

0.4

0.6

0.8

u_2

00.

20.

40.

60.

81

Frec

het u

pper

bou

nd

Frรฉchet Lower Bound

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Independent copula

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Frรฉchet Upper Bound

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Scatterplot, Lower Frรฉchet!Hoeffding bound

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Scatterplot, Indepedent copula random generation

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Scatterplot, Upper Frรฉchet!Hoeffding bound

Fig. 5 โ€“ Contercomontonce, independent, and comonotone copulas.

26

Page 27: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Elliptical (Gaussian and t) copulas

The idea is to extend the multivariate probit model, X = (X1, . . . , Xd) withmarginal B(pi) distributions, modeled as Yi = 1(X?

i โ‰ค ui), where X? โˆผ N (I,ฮฃ).

โ€ข The Gaussian copula, with parameter ฮฑ โˆˆ (โˆ’1, 1),

C(u, v) =1

2ฯ€โˆš

1โˆ’ ฮฑ2

โˆซ ฮฆโˆ’1(u)

โˆ’โˆž

โˆซ ฮฆโˆ’1(v)

โˆ’โˆžexp

{โˆ’(x2 โˆ’ 2ฮฑxy + y2)

2(1โˆ’ ฮฑ2)

}dxdy.

Analogously the t-copula is the distribution of (T (X), T (Y )) where T is the t-cdf,and where (X,Y ) has a joint t-distribution.

โ€ข The Student t-copula with parameter ฮฑ โˆˆ (โˆ’1, 1) and ฮฝ โ‰ฅ 2,

C(u, v) =1

2ฯ€โˆš

1โˆ’ ฮฑ2

โˆซ tโˆ’1ฮฝ (u)

โˆ’โˆž

โˆซ tโˆ’1ฮฝ (v)

โˆ’โˆž

(1 +

x2 โˆ’ 2ฮฑxy + y2

2(1โˆ’ ฮฑ2)

)โˆ’((ฮฝ+2)/2)

dxdy.

27

Page 28: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Archimedean copulas

โ€ข Archimedian copulas C(u, v) = ฯ†โˆ’1(ฯ†(u) + ฯ†(v)), where ฯ† is decreasing convex(0, 1), with ฯ†(0) =โˆž and ฯ†(1) = 0.

Example 3. If ฯ†(t) = [โˆ’ log t]ฮฑ, then C is Gumbelโ€™s copula, and ifฯ†(t) = tโˆ’ฮฑ โˆ’ 1, C is Claytonโ€™s. Note that CโŠฅ is obtained when ฯ†(t) = โˆ’ log t.

The frailty approach : assume that X and Y are conditionally independent, giventhe value of an heterogeneous component ฮ˜. Assume further that

P(X โ‰ค x|ฮ˜ = ฮธ) = (GX(x))ฮธ and P(Y โ‰ค y|ฮ˜ = ฮธ) = (GY (y))ฮธ

for some baseline distribution functions GX and GY . Then

F (x, y) = ฯˆ(ฯˆโˆ’1(FX(x)) + ฯˆโˆ’1(FY (y))),

where ฯˆ denotes the Laplace transform of ฮ˜, i.e. ฯˆ(t) = E(eโˆ’tฮ˜).

28

Page 29: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

0 20 40 60 80 100

020

4060

80100

Conditional independence, continuous risk factor

!3 !2 !1 0 1 2 3

!3

!2

!1

01

23

Conditional independence, continuous risk factor

Fig. 6 โ€“ Continuous classes of risks, (Xi, Yi) and (ฮฆโˆ’1(FX(Xi)),ฮฆโˆ’1(FY (Yi))).

29

Page 30: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Some more examples of Archimedean copulas

ฯˆ(t) range ฮธ

(1) 1ฮธ

(tโˆ’ฮธ โˆ’ 1) [โˆ’1, 0) โˆช (0,โˆž) Clayton, Clayton (1978)

(2) (1 โˆ’ t)ฮธ [1,โˆž)

(3) log 1โˆ’ฮธ(1โˆ’t)t

[โˆ’1, 1) Ali-Mikhail-Haq

(4) (โˆ’ log t)ฮธ [1,โˆž) Gumbel, Gumbel (1960), Hougaard (1986)

(5) โˆ’ log eโˆ’ฮธtโˆ’1eโˆ’ฮธโˆ’1

(โˆ’โˆž, 0) โˆช (0,โˆž) Frank, Frank (1979), Nelsen (1987)

(6) โˆ’ log{1 โˆ’ (1 โˆ’ t)ฮธ} [1,โˆž) Joe, Frank (1981), Joe (1993)

(7) โˆ’ log{ฮธt + (1 โˆ’ ฮธ)} (0, 1]

(8) 1โˆ’t1+(ฮธโˆ’1)t [1,โˆž)

(9) log(1 โˆ’ ฮธ log t) (0, 1] Barnett (1980), Gumbel (1960)

(10) log(2tโˆ’ฮธ โˆ’ 1) (0, 1]

(11) log(2 โˆ’ tฮธ) (0, 1/2]

(12) ( 1tโˆ’ 1)ฮธ [1,โˆž)

(13) (1 โˆ’ log t)ฮธ โˆ’ 1 (0,โˆž)

(14) (tโˆ’1/ฮธ โˆ’ 1)ฮธ [1,โˆž)

(15) (1 โˆ’ t1/ฮธ)ฮธ [1,โˆž) Genest & Ghoudi (1994)

(16) ( ฮธt

+ 1)(1 โˆ’ t) [0,โˆž)

30

Page 31: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Extreme value copulas

โ€ข Extreme value copulas

C(u, v) = exp[(log u+ log v)A

(log u

log u+ log v

)],

where A is a dependence function, convex on [0, 1] with A(0) = A(1) = 1, et

max{1โˆ’ ฯ‰, ฯ‰} โ‰ค A (ฯ‰) โ‰ค 1 for all ฯ‰ โˆˆ [0, 1] .

An alternative definition is the following : C is an extreme value copula if for allz > 0,

C(u1, . . . , ud) = C(u1/z1 , . . . , u

1/zd )z.

Those copula are then called max-stable : define the maximum componentwise ofa sample X1, . . . , Xn, i.e. Mi = max{Xi,1, . . . , Xi,n}.

Remark more difficult to characterize when d โ‰ฅ 3.

31

Page 32: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On copula parametrization

โ€ข Gaussian, Student t (and elliptical) copulas

Focuses on pairwise dependence through the correlation matrix,X1

X2

X3

X4

โˆผ N0,

1 r12 r13 r14

r12 1 r23 r24

r13 r23 1 r34

r14 r24 r34 1

Dependence in [0, 1]d โ†โ†’ summarized in d(d+ 1)/2 parameters,

32

Page 33: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On copula parametrization

โ€ข Archimedean copulas

Initially, dependence in [0, 1]d โ†โ†’ summarized in one functional parameters on[0, 1]. But appears less flexible because of exchangeability features.

It is possible to introduce hierarchical Archimedean copulas (see Savu & Trede(2006) or McNeil (2007)). Let U = (U1, U2, U3, U4),

C(u1, u2, u3, u4) = ฯ†โˆ’11 [ฯ†1(u1) + ฯ†1(u2) + ฯ†1(u3) + ฯ†1(u4)],

which, if ฯ†i is parametrized with parameter ฮฑi, can be summarized through

A =

1 ฮฑ2 ฮฑ4 ฮฑ4

ฮฑ2 1 ฮฑ4 ฮฑ4

ฮฑ4 ฮฑ4 1 ฮฑ3

alpha4 ฮฑ4 ฮฑ3 1

33

Page 34: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On copula parametrization

โ€ข Archimedean copulas

Initially, dependence in [0, 1]d โ†โ†’ summarized in one functional parameters on[0, 1]. But appears less flexible because of exchangeability features.

It is possible to introduce hierarchical Archimedean copulas (see Savu & Trede(2006) or McNeil (2007)). Let U = (U1, U2, U3, U4),

C(u1, u2, u3, u4) = ฯ†โˆ’14 (ฯ†4

[ฯ†โˆ’1

2 (ฯ†2(u1) + ฯ†2(u2))]

+ ฯ†4

[ฯ†โˆ’1

3 (ฯ†3(u3) + ฯ†3(u4))]),

which, if ฯ†i is parametrized with parameter ฮฑi, can be summarized through

A =

1 ฮฑ2 ฮฑ4 ฮฑ4

ฮฑ2 1 ฮฑ4 ฮฑ4

ฮฑ4 ฮฑ4 1 ฮฑ3

alpha4 ฮฑ4 ฮฑ3 1

34

Page 35: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On copula parametrization

โ€ข Archimedean copulas

Initially, dependence in [0, 1]d โ†โ†’ summarized in one functional parameters on[0, 1]. But appears less flexible because of exchangeability features.

It is possible to introduce hierarchical Archimedean copulas (see Savu & Trede(2006) or McNeil (2007)). Let U = (U1, U2, U3, U4),

C(u1, u2, u3, u4) = ฯ†โˆ’14 (ฯ†4

[ฯ†โˆ’1

2 (ฯ†2(u1) + ฯ†2(u2))]

+ ฯ†4

[ฯ†โˆ’1

3 (ฯ†3(u3) + ฯ†3(u4))]),

which, if ฯ†i is parametrized with parameter ฮฑi, can be summarized through

A =

1 ฮฑ2 ฮฑ4 ฮฑ4

ฮฑ2 1 ฮฑ4 ฮฑ4

ฮฑ4 ฮฑ4 1 ฮฑ3

alpha4 ฮฑ4 ฮฑ3 1

35

Page 36: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On copula parametrization

โ€ข Archimedean copulas

Initially, dependence in [0, 1]d โ†โ†’ summarized in one functional parameters on[0, 1]. But appears less flexible because of exchangeability features.

It is possible to introduce hierarchical Archimedean copulas (see Savu & Trede(2006) or McNeil (2007)). Let U = (U1, U2, U3, U4),

C(u1, u2, u3, u4) = ฯ†โˆ’14 (ฯ†4

[ฯ†โˆ’1

2 (ฯ†2(u1) + ฯ†2(u2))]

+ ฯ†4

[ฯ†โˆ’1

3 (ฯ†3(u3) + ฯ†3(u4))]),

which, if ฯ†i is parametrized with parameter ฮฑi, can be summarized through

A =

1 ฮฑ2 ฮฑ4 ฮฑ4

ฮฑ2 1 ฮฑ4 ฮฑ4

ฮฑ4 ฮฑ4 1 ฮฑ3

ฮฑ4 ฮฑ4 ฮฑ3 1

36

Page 37: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On copula parametrization

โ€ข Archimedean copulas

Initially, dependence in [0, 1]d โ†โ†’ summarized in one functional parameters on[0, 1]. But appears less flexible because of exchangeability features.

It is possible to introduce hierarchical Archimedean copulas (see Savu & Trede(2006) or McNeil (2007)). Let U = (U1, U2, U3, U4),

C(u1, u2, u3, u4) = ฯ†โˆ’14 (ฯ†4[ฯ†โˆ’1

3 (ฯ†3

[ฯ†โˆ’1

2 (ฯ†2(u1) + ฯ†2(u2))]

+ ฯ†3(u3))] + ฯ†4(u4)),

which, if ฯ†i is parametrized with parameter ฮฑi, can be summarized through

A =

1 ฮฑ2 ฮฑ3 ฮฑ4

ฮฑ2 1 ฮฑ3 ฮฑ4

ฮฑ3 ฮฑ3 1 ฮฑ4

ฮฑ4 ฮฑ4 ฮฑ4 1

37

Page 38: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On copula parametrization

โ€ข Archimedean copulas

Initially, dependence in [0, 1]d โ†โ†’ summarized in one functional parameters on[0, 1]. But appears less flexible because of exchangeability features.

It is possible to introduce hierarchical Archimedean copulas (see Savu & Trede(2006) or McNeil (2007)). Let U = (U1, U2, U3, U4),

C(u1, u2, u3, u4) = ฯ†โˆ’14 (ฯ†4[ฯ†โˆ’1

3 (ฯ†3

[ฯ†โˆ’1

2 (ฯ†2(u1) + ฯ†2(u2))]

+ ฯ†3(u3))] + ฯ†4(u4)),

which, if ฯ†i is parametrized with parameter ฮฑi, can be summarized through

A =

1 ฮฑ2 ฮฑ3 ฮฑ4

ฮฑ2 1 ฮฑ3 ฮฑ4

ฮฑ3 ฮฑ3 1 ฮฑ4

ฮฑ4 ฮฑ4 ฮฑ4 1

38

Page 39: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On copula parametrization

โ€ข Archimedean copulas

Initially, dependence in [0, 1]d โ†โ†’ summarized in one functional parameters on[0, 1]. But appears less flexible because of exchangeability features.

It is possible to introduce hierarchical Archimedean copulas (see Savu & Trede

(2006) or McNeil (2007)). Let U = (U1, U2, U3, U4),

C(u1, u2, u3, u4) = ฯ†โˆ’14 (ฯ†4[ฯ†โˆ’1

3 (ฯ†3

[ฯ†โˆ’1

2 (ฯ†2(u1) + ฯ†2(u2))]

+ ฯ†3(u3))] + ฯ†4(u4)),

which, if ฯ†i is parametrized with parameter ฮฑi, can be summarized through

A =

1 ฮฑ2 ฮฑ3 ฮฑ4

ฮฑ2 1 ฮฑ3 ฮฑ4

ฮฑ3 ฮฑ3 1 ฮฑ4

ฮฑ4 ฮฑ4 ฮฑ4 1

39

Page 40: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On copula parametrization

โ€ข Extreme value copulas

Here, dependence in [0, 1]d โ†โ†’ summarized in one functional parameters on[0, 1]dโˆ’1.

Further, focuses only on first order tail dependence.

40

Page 41: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Natural properties for dependence measures

Definition 4. ฮบ is measure of concordance if and only if ฮบ satisfies

โ€ข ฮบ is defined for every pair (X,Y ) of continuous random variables,

โ€ข โˆ’1 โ‰ค ฮบ (X,Y ) โ‰ค +1, ฮบ (X,X) = +1 and ฮบ (X,โˆ’X) = โˆ’1,

โ€ข ฮบ (X,Y ) = ฮบ (Y,X),

โ€ข if X and Y are independent, then ฮบ (X,Y ) = 0,

โ€ข ฮบ (โˆ’X,Y ) = ฮบ (X,โˆ’Y ) = โˆ’ฮบ (X,Y ),

โ€ข if (X1, Y1) ๏ฟฝPQD (X2, Y2), then ฮบ (X1, Y1) โ‰ค ฮบ (X2, Y2),

โ€ข if (X1, Y1) , (X2, Y2) , ... is a sequence of continuous random vectors thatconverge to a pair (X,Y ) then ฮบ (Xn, Yn)โ†’ ฮบ (X,Y ) as nโ†’โˆž.

41

Page 42: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Natural properties for dependence measures

If ฮบ is measure of concordance, then, if f and g are both strictly increasing, thenฮบ(f(X), g(Y )) = ฮบ(X,Y ). Further, ฮบ(X,Y ) = 1 if Y = f(X) with f almost surelystrictly increasing, and analogously ฮบ(X,Y ) = โˆ’1 if Y = f(X) with f almostsurely strictly decreasing (see Scarsini (1984)).

Rank correlations can be considered, i.e. Spearmanโ€™s ฯ defined as

ฯ(X,Y ) = corr(FX(X), FY (Y )) = 12โˆซ 1

0

โˆซ 1

0

C(u, v)dudv โˆ’ 3

and Kendallโ€™s ฯ„ defined as

ฯ„(X,Y ) = 4โˆซ 1

0

โˆซ 1

0

C(u, v)dC(u, v)โˆ’ 1.

42

Page 43: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Historical version of those coefficients

Similarly Kendallโ€™s tau was not defined using copulae, but as the probability ofconcordance, minus the probability of discordance, i.e.

ฯ„(X,Y ) = 3[P((X1 โˆ’X2)(Y1 โˆ’ Y2) > 0)โˆ’ P((X1 โˆ’X2)(Y1 โˆ’ Y2) < 0)],

where (X1, Y1) and (X2, Y2) denote two independent versions of (X,Y ) (seeNelsen (1999)).

Equivalently, ฯ„(X,Y ) = 1โˆ’ 4Qn(n2 โˆ’ 1)

where Q is the number of inversions

between the rankings of X and Y (number of discordance).

43

Page 44: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

!2.0 !1.5 !1.0 !0.5 0.0 0.5 1.0

!0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Concordant pairs

X

Y

!2.0 !1.5 !1.0 !0.5 0.0 0.5 1.0

!0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Discordant pairs

XY

Fig. 7 โ€“ Concordance versus discordance.

44

Page 45: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Alternative expressions of those coefficients

Note that those coefficients can also be expressed as follows

ฯ(X,Y ) =

โˆซ[0,1]ร—[0,1]

C(u, v)โˆ’ CโŠฅ(u, v)dudvโˆซ[0,1]ร—[0,1]

C+(u, v)โˆ’ CโŠฅ(u, v)dudv

(the normalized average distance between C and CโŠฅ), for instance.

The case of the Gaussian random vector

If (X,Y ) is a Gaussian random vector with correlation r, then (Kruskal (1958))

ฯ(X,Y ) =6ฯ€

arcsin(r

2

)and ฯ„(X,Y ) =

2ฯ€

arcsin (r) .

45

Page 46: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

From Kendallโ€™tau to copula parameters

Kendallโ€™s ฯ„ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Gaussian ฮธ 0.00 0.16 0.31 0.45 0.59 0.71 0.81 0.89 0.95 0.99 1.00

Gumbel ฮธ 1.00 1.11 1.25 1.43 1.67 2.00 2.50 3.33 5.00 10.0 +โˆž

Plackett ฮธ 1.00 1.57 2.48 4.00 6.60 11.4 21.1 44.1 115 530 +โˆž

Clayton ฮธ 0.00 0.22 0.50 0.86 1.33 2.00 3.00 4.67 8.00 18.0 +โˆž

Frank ฮธ 0.00 0.91 1.86 2.92 4.16 5.74 7.93 11.4 18.2 20.9 +โˆžJoe ฮธ 1.00 1.19 1.44 1.77 2.21 2.86 3.83 4.56 8.77 14.4 +โˆž

Galambos ฮธ 0.00 0.34 0.51 0.70 0.95 1.28 1.79 2.62 4.29 9.30 +โˆž

Morgenstein ฮธ 0.00 0.45 0.90 - - - - - - - -

46

Page 47: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

From Spearmanโ€™s rho to copula parameters

Spearmanโ€™s ฯ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Gaussian ฮธ 0.00 0.10 0.21 0.31 0.42 0.52 0.62 0.72 0.81 0.91 1.00

Gumbel ฮธ 1.00 1.07 1.16 1.26 1.38 1.54 1.75 2.07 2.58 3.73 +โˆž

A.M.H. ฮธ 1.00 1.11 1.25 1.43 1.67 2.00 2.50 3.33 5.00 10.0 +โˆž

Plackett ฮธ 1.00 1.35 1.84 2.52 3.54 5.12 7.76 12.7 24.2 66.1 +โˆž

Clayton ฮธ 0.00 0.14 0.31 0.51 0.76 1.06 1.51 2.14 3.19 5.56 +โˆž

Frank ฮธ 0.00 0.60 1.22 1.88 2.61 3.45 4.47 5.82 7.90 12.2 +โˆž

Joe ฮธ 1.00 1.12 1.27 1.46 1.69 1.99 2.39 3.00 4.03 6.37 +โˆž

Galambos ฮธ 0.00 0.28 0.40 0.51 0.65 0.81 1.03 1.34 1.86 3.01 +โˆž

Morgenstein ฮธ 0.00 0.30 0.60 0.90 - - - - - - -

47

Page 48: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Marges uniformes

Cop

ule

de G

umbe

l

!2 0 2 4!

20

24

Marges gaussiennes

Fig. 8 โ€“ Simulations of Gumbelโ€™s copula ฮธ = 1.2.

48

Page 49: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Marges uniformes

Cop

ule

Gau

ssie

nne

!2 0 2 4!

20

24

Marges gaussiennes

Fig. 9 โ€“ Simulations of the Gaussian copula (ฮธ = 0.95).

49

Page 50: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Tail correlation and Solvency II

50

Page 51: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Tail correlation and Solvency II

51

Page 52: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Strong tail dependence

Joe (1993) defined, in the bivariate case a tail dependence measure.

Definition 5. Let (X,Y ) denote a random pair, the upper and lower taildependence parameters are defined, if the limit exist, as

ฮปL = limuโ†’0

P(X โ‰ค Fโˆ’1

X (u) |Y โ‰ค Fโˆ’1Y (u)

),

= limuโ†’0

P (U โ‰ค u|V โ‰ค u) = limuโ†’0

C(u, u)u

,

and

ฮปU = limuโ†’1

P(X > Fโˆ’1

X (u) |Y > Fโˆ’1Y (u)

)= lim

uโ†’0P (U > 1โˆ’ u|V โ‰ค 1โˆ’ u) = lim

uโ†’0

C?(u, u)u

.

52

Page 53: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Gaussian copula

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

L and R concentration functions

L function (lower tails) R function (upper tails)

GAUSSIAN

โ—

โ—

Fig. 10 โ€“ L and R cumulative curves.

53

Page 54: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Gumbel copula

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

L and R concentration functions

L function (lower tails) R function (upper tails)

GUMBEL

โ—

โ—

Fig. 11 โ€“ L and R cumulative curves.

54

Page 55: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Clayton copula

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

L and R concentration functions

L function (lower tails) R function (upper tails)

CLAYTON

โ—

โ—

Fig. 12 โ€“ L and R cumulative curves.

55

Page 56: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Student t copula

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

L and R concentration functions

L function (lower tails) R function (upper tails)

STUDENT (df=5)

โ—

โ—

Fig. 13 โ€“ L and R cumulative curves.

56

Page 57: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Student t copula

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

L and R concentration functions

L function (lower tails) R function (upper tails)

STUDENT (df=3)

โ—

โ—

Fig. 14 โ€“ L and R cumulative curves.

57

Page 58: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Estimation of tail dependence

58

Page 59: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Estimating (strong) tail dependence

From

P โ‰ˆP(X > Fโˆ’1

X (u) , Y > Fโˆ’1Y (u)

)P(Y > Fโˆ’1

Y (u)) for u closed to 1,

as for Hillโ€™s estimator, a natural estimator for ฮป is obtained with u = 1โˆ’ k/n,

ฮป(k)U =

1n

โˆ‘ni=1 1(Xi > Xnโˆ’k:n, Yi > Ynโˆ’k:n)

1n

โˆ‘ni=1 1(Yi > Ynโˆ’k:n)

,

hence

ฮป(k)U =

1k

nโˆ‘i=1

1(Xi > Xnโˆ’k:n, Yi > Ynโˆ’k:n).

ฮป(k)L =

1k

nโˆ‘i=1

1(Xi โ‰ค Xk:n, Yi โ‰ค Yk:n).

59

Page 60: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Asymptotic convergence, how fast ?

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(Upper) tail dependence, Gaussian copula, n=200

Exceedance probability

0.001 0.005 0.050 0.500

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Log scale, (lower) tail dependence

Exceedance probability (log scale)

Fig. 15 โ€“ Convergence of L and R functions, Gaussian copula, n = 200.

60

Page 61: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Asymptotic convergence, how fast ?

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(Upper) tail dependence, Gaussian copula, n=200

Exceedance probability

0.001 0.005 0.050 0.500

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Log scale, (lower) tail dependence

Exceedance probability (log scale)

Fig. 16 โ€“ Convergence of L and R functions, Gaussian copula, n = 2, 000.

61

Page 62: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Asymptotic convergence, how fast ?

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(Upper) tail dependence, Gaussian copula, n=200

Exceedance probability

0.001 0.005 0.050 0.500

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Log scale, (lower) tail dependence

Exceedance probability (log scale)

Fig. 17 โ€“ Convergence of L and R functions, Gaussian copula, n = 20, 000.

62

Page 63: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Weak tail dependence

If X and Y are independent (in tails), for u large enough

P(X > Fโˆ’1X (u), Y > Fโˆ’1

Y (u)) = P(X > Fโˆ’1X (u)) ยท P(Y > Fโˆ’1

Y (u)) = (1โˆ’ u)2,

or equivalently, log P(X > Fโˆ’1X (u), Y > Fโˆ’1

Y (u)) = 2 ยท log(1โˆ’ u). Further, if Xand Y are comonotonic (in tails), for u large enough

P(X > Fโˆ’1X (u), Y > Fโˆ’1

Y (u)) = P(X > Fโˆ’1X (u)) = (1โˆ’ u)1,

or equivalently, log P(X > Fโˆ’1X (u), Y > Fโˆ’1

Y (u)) = 1 ยท log(1โˆ’ u).

=โ‡’ limit of the ratiolog(1โˆ’ u)

log P(Z1 > Fโˆ’11 (u), Z2 > Fโˆ’1

2 (u)).

63

Page 64: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Weak tail dependence

Coles, Heffernan & Tawn (1999) defined

Definition 6. Let (X,Y ) denote a random pair, the upper and lower taildependence parameters are defined, if the limit exist, as

ฮทL = limuโ†’0

log(u)log P(Z1 โ‰ค Fโˆ’1

1 (u), Z2 โ‰ค Fโˆ’12 (u))

= limuโ†’0

log(u)logC(u, u)

,

and

ฮทU = limuโ†’1

log(1โˆ’ u)log P(Z1 > Fโˆ’1

1 (u), Z2 > Fโˆ’12 (u))

= limuโ†’0

log(u)logC?(u, u)

.

64

Page 65: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Gaussian copula

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Chi dependence functions

lower tails upper tails

GAUSSIAN

โ—โ—

Fig. 18 โ€“ ฯ‡ functions.

65

Page 66: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Gumbel copula

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Chi dependence functions

lower tails upper tails

GUMBEL

โ—

โ—

Fig. 19 โ€“ ฯ‡ functions.

66

Page 67: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Clayton copula

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Chi dependence functions

lower tails upper tails

CLAYTON

โ—

โ—

Fig. 20 โ€“ ฯ‡ functions.

67

Page 68: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Student t copula

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Chi dependence functions

lower tails upper tails

STUDENT (df=3)

โ—

โ—

Fig. 21 โ€“ ฯ‡ functions.

68

Page 69: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Application in risk management : Loss-ALAE

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—โ—โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Loss

Allo

cate

d E

xpe

nse

s

Fig. 22 โ€“ Losses and allocated expenses.

69

Page 70: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Application in risk management : Loss-ALAE

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

L and R concentration functions

L function (lower tails) R function (upper tails)

โ—โ—โ—

โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—

Gumbel copula

โ—

โ—

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

.00

.20

.40

.60

.81

.0

Chi dependence functions

lower tails upper tails

โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—

Gumbel copula

โ—

โ—

Fig. 23 โ€“ L and R cumulative curves, and ฯ‡ functions.

70

Page 71: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Application in risk management : car-household

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ— โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ— โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Car claims

Ho

use

ho

ld c

laim

s

Fig. 24 โ€“ Motor and Household claims.

71

Page 72: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Application in risk management : car-household

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

L and R concentration functions

L function (lower tails) R function (upper tails)

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—

โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

Gumbel copula

โ—

โ—

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

.00

.20

.40

.60

.81

.0

Chi dependence functions

lower tails upper tails

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—โ—

โ—โ—โ—โ—โ—

โ—

โ—

โ—

Gumbel copula

โ—

โ—

Fig. 25 โ€“ L and R cumulative curves, and ฯ‡ functions.

72

Page 73: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Case of Archimedean copulas

For an exhaustive study of tail behavior for Archimedean copulas, seeCharpentier & Segers (2008).

โ€ข upper tail : function of ฯ†โ€ฒ(1) and ฮธ1 = โˆ’ limsโ†’0

sฯ†โ€ฒ(1โˆ’ s)ฯ†(1โˆ’ s)

,

โ—ฆ ฯ†โ€ฒ(1) < 0 : tail independence

โ—ฆ ฯ†โ€ฒ(1) = 0 and ฮธ1 = 1 : dependence in independence

โ—ฆ ฯ†โ€ฒ(1) = 0 and ฮธ1 > 1 : tail dependence

โ€ข lower tail : function of ฯ†(0) and ฮธ0 = โˆ’ limsโ†’0

sฯ†โ€ฒ(s)ฯ†(s)

,

โ—ฆ ฯ†(0) <โˆž : tail independence

โ—ฆ ฯ†(0) =โˆž and ฮธ0 = 0 : dependence in independence

โ—ฆ ฯ†(0) =โˆž and ฮธ0 > 0 : tail dependence

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.005

1015

20

73

Page 74: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Measuring risks ?

the pure premium as a technical benchmark

Pascal, Fermat, Condorcet, Huygens, dโ€™Alembert in the XVIIIth centuryproposed to evaluate the โ€œproduit scalaire des probabilites et des gainsโ€,

< p,x >=nโˆ‘i=1

pixi =nโˆ‘i=1

P(X = xi) ยท xi = EP(X),

based on the โ€œregle des partiesโ€.

For Quetelet, the expected value was, in the context of insurance, the price thatguarantees a financial equilibrium.

From this idea, we consider in insurance the pure premium as EP(X). As inCournot (1843), โ€œlโ€™esperance mathematique est donc le juste prix des chancesโ€(or the โ€œfair priceโ€ mentioned in Feller (1953)).

Problem : Saint Peterburgโ€™s paradox, i.e. infinite mean risks (cf. naturalcatastrophes)

74

Page 75: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

the pure premium as a technical benchmark

For a positive random variable X, recall that EP(X) =โˆซ โˆž

0

P(X > x)dx.

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Expected value

Loss value, X

Pro

babi

lity

leve

l, P

Fig. 26 โ€“ Expected value EP(X) =โˆซxdFX(x) =

โˆซP(X > x)dx.

75

Page 76: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

from pure premium to expected utility principle

Ru(X) =โˆซu(x)dP =

โˆซP(u(X) > x))dx

where u : [0,โˆž)โ†’ [0,โˆž) is a utility function.

Example with an exponential utility, u(x) = [1โˆ’ eโˆ’ฮฑx]/ฮฑ,

Ru(X) =1ฮฑ

log(EP(eฮฑX)

),

i.e. the entropic risk measure.

See Cramer (1728), Bernoulli (1738), von Neumann & Morgenstern

(1944), Rochet (1994)... etc.

76

Page 77: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Distortion of values versus distortion of probabilities

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Expected utility (power utility function)

Loss value, X

Pro

babi

lity

leve

l, P

Fig. 27 โ€“ Expected utilityโˆซu(x)dFX(x).

77

Page 78: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Distortion of values versus distortion of probabilities

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Expected utility (power utility function)

Loss value, X

Pro

babi

lity

leve

l, P

Fig. 28 โ€“ Expected utilityโˆซu(x)dFX(x).

78

Page 79: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

from pure premium to distorted premiums (Wang)

Rg(X) =โˆซxdg โ—ฆ P =

โˆซg(P(X > x))dx

where g : [0, 1]โ†’ [0, 1] is a distorted function.

Exampleโ€ข if g(x) = I(X โ‰ฅ 1โˆ’ ฮฑ) Rg(X) = V aR(X,ฮฑ),โ€ข if g(x) = min{x/(1โˆ’ ฮฑ), 1} Rg(X) = TV aR(X,ฮฑ) (also called expected

shortfall), Rg(X) = EP(X|X > V aR(X,ฮฑ)).See Dโ€™Alembert (1754), Schmeidler (1986, 1989), Yaari (1987), Denneberg

(1994)... etc.

Remark : Rg(X) might be denoted Egโ—ฆP. But it is not an expected value sinceQ = g โ—ฆ P is not a probability measure.

79

Page 80: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Distortion of values versus distortion of probabilities

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Distorted premium beta distortion function)

Loss value, X

Pro

babi

lity

leve

l, P

Fig. 29 โ€“ Distorted probabilitiesโˆซg(P(X > x))dx.

80

Page 81: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Distortion of values versus distortion of probabilities

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

โ—

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Distorted premium beta distortion function)

Loss value, X

Pro

babi

lity

leve

l, P

Fig. 30 โ€“ Distorted probabilitiesโˆซg(P(X > x))dx.

81

Page 82: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

some particular cases a classical premiums

The exponential premium or entropy measure : obtained when the agentas an exponential utility function, i.e.

ฯ€ such that U(ฯ‰ โˆ’ ฯ€) = EP(U(ฯ‰ โˆ’ S)), U(x) = โˆ’ exp(โˆ’ฮฑx),

i.e. ฯ€ =1ฮฑ

log EP(eฮฑX).

Esscherโ€™s transform (see Esscher ( 1936), Buhlmann ( 1980)),

ฯ€ = EQ(X) =EP(X ยท eฮฑX)

EP(eฮฑX),

for some ฮฑ > 0, i.e.dQdP

=eฮฑX

EP(eฮฑX).

Wangโ€™s premium (see Wang ( 2000)), extending the Sharp ratio concept

E(X) =โˆซ โˆž

0

F (x)dx and ฯ€ =โˆซ โˆž

0

ฮฆ(ฮฆโˆ’1(F (x)) + ฮป)dx

82

Page 83: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Risk measures

The two most commonly used risk measures for a random variable X (assumingthat a loss is positive) are, q โˆˆ (0, 1),

โ€ข Value-at-Risk (VaR),

V aRq(X) = inf{x โˆˆ R,P(X > x) โ‰ค ฮฑ},

โ€ข Expected Shortfall (ES), Tail Conditional Expectation (TCE) or TailValue-at-Risk (TVaR)

TV aRq(X) = E (X|X > V aRq(X)) ,

Artzner, Delbaen, Eber & Heath (1999) : a good risk measure issubadditive,

TVaR is subadditive, VaR is not subadditive (in general).

83

Page 84: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Risk measures : a pratitionner (mis)understanding

84

Page 85: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Risk measures : a pratitionner (mis)understanding

85

Page 86: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Risk measures : a pratitionner (mis)understanding

86

Page 87: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Risk measures : a pratitionner (mis)understanding

87

Page 88: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Risk measures : a pratitionner (mis)understanding

88

Page 89: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Risk measures and diversification

Any copula C is bounded by Frchet-Hoeffding bounds,

max

{dโˆ‘i=1

ui โˆ’ (dโˆ’ 1), 0

}โ‰ค C(u1, . . . , ud) โ‰ค min{u1, . . . , ud},

and thus, any distribution F on F(F1, . . . , Fd) is bounded

max

{dโˆ‘i=1

Fi(xi)โˆ’ (dโˆ’ 1), 0

}โ‰ค F (x1, . . . , xd) โ‰ค min{F1(x1), . . . , Ff (xd)}.

Does this means the comonotonicity is always the worst-case scenario ?

Given a random pair (X,Y ), let (Xโˆ’, Y โˆ’) and (X+, Y +) denotecontercomonotonic and comonotonic versions of (X,Y ), do we have

R(ฯ†(Xโˆ’, Y โˆ’))?โ‰ค R(ฯ†(X ,Y ))

?โ‰ค R(ฯ†(X+, Y +)).

89

Page 90: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Tchenโ€™s theorem and bounding some pure premiums

If ฯ† : R2 โ†’ R is supermodular, i.e.

ฯ†(x2, y2)โˆ’ ฯ†(x1, y2)โˆ’ ฯ†(x2, y1) + ฯ†(x1, y1) โ‰ฅ 0,

for any x1 โ‰ค x2 and y1 โ‰ค y2, then if (X,Y ) โˆˆ F(FX , FY ),

E(ฯ†(Xโˆ’, Y โˆ’)

)โ‰ค E (ฯ†(X,Y )) โ‰ค E

(ฯ†(X+, Y +)

),

as proved in Tchen (1981).

Example 7. the stop loss premium for the sum of two risks E((X + Y โˆ’ d)+) issupermodular.

90

Page 91: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Example 8. For the n-year joint-life annuity,

axy:nq =nโˆ‘k=1

vkP(Tx > k and Ty > k) =nโˆ‘k=1

vkkpxy.

Thenaโˆ’xy:nq โ‰ค axy:nq โ‰ค a+

xy:nq,

where

aโˆ’xy:nq =nโˆ‘k=1

vk max{kpx + kpy โˆ’ 1, 0}( lower Frchet bound ),

a+xy:nq =

nโˆ‘k=1

vk min{kpx, kpy}( upper Frchet bound ).

91

Page 92: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Makarovโ€™s theorem and bounding Value-at-Risk

In the case where R denotes the Value-at-Risk (i.e. quantile function of the P&Ldistribution),

Rโˆ’ โ‰ค R(Xโˆ’ + Y โˆ’)6โ‰คR(X + Y ) 6โ‰คR(X+ + Y +) โ‰ค R+,

where e.g. R+ can exceed the comonotonic case. Recall that

R(X + Y ) = VaRq[X + Y ] = Fโˆ’1X+Y (q) = inf{x โˆˆ R|FX+Y (x) โ‰ฅ q}.

Proposition 9. Let (X,Y ) โˆˆ F(FX , FY ) then for all s โˆˆ R,

ฯ„Cโˆ’(FX , FY )(s) โ‰ค P(X + Y โ‰ค s) โ‰ค ฯCโˆ’(FX , FY )(s),

whereฯ„C(FX , FY )(s) = sup

x,yโˆˆR{C(FX(x), FY (y)), x+ y = s}

and, if C(u, v) = u+ v โˆ’ C(u, v),

ฯC(FX , FY )(s) = infx,yโˆˆR

{C(FX(x), FY (y)), x+ y = s}.

92

Page 93: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

!4!2

02

4

Bornes de la VaR dโ€™un portefeuille

Somme de 2 risques Gaussiens

Fig. 31 โ€“ Value-at-Risk for 2 Gaussian risks N (0, 1).

93

Page 94: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00

01

23

45

6

Bornes de la VaR dโ€™un portefeuille

Somme de 2 risques Gaussiens

Fig. 32 โ€“ Value-at-Risk for 2 Gaussian risks N (0, 1).

94

Page 95: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

05

1015

20

Bornes de la VaR dโ€™un portefeuille

Somme de 2 risques Gamma

Fig. 33 โ€“ Value-at-Risk for 2 Gamma risks G(3, 1).

95

Page 96: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00

05

1015

20

Bornes de la VaR dโ€™un portefeuille

Somme de 2 risques Gamma

Fig. 34 โ€“ Value-at-Risk for 2 Gamma risks G(3, 1).

96

Page 97: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

The more correlated, the more risky ?

Will the risk of the portfolio increase with correlation ?

Recall the following theoretical result :

Proposition 10. Assume that X and X โ€ฒ are in the same Frechet space (i.e.

XiL= X โ€ฒi), and define

S = X1 + ยท ยท ยท+Xn and Sโ€ฒ = X โ€ฒ1 + ยท ยท ยท+X โ€ฒn.

If X ๏ฟฝX โ€ฒ for the concordance order, then S ๏ฟฝTV aR Sโ€ฒ for the stop-loss orTVaR order.

A consequence is that if X and X โ€ฒ are exchangeable,

corr(Xi, Xj) โ‰ค corr(X โ€ฒi, X โ€ฒj) =โ‡’ TV aR(S, p) โ‰ค TV aR(Sโ€ฒ, p), for all p โˆˆ (0, 1).

See Muller & Stoyen (2002) for some possible extensions.

97

Page 98: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

The more correlated, the more risky ?

Considerโ€ข d lines of business,โ€ข simply a binomial distribution on each line of business, with small loss

probability (e.g. ฯ€ = 1/1000).

Let

1 if there is a claim on line i

0 if not, and S = X1 + ยท ยท ยท+Xd.

Will the correlation among the Xiโ€™s increase the Value-at-Risk of S ?

Consider a probit model, i.e. Xi = 1(X?i โ‰ค ui), where X? โˆผ N (0,ฮฃ), i.e. a

Gaussian copula.

Assume that ฮฃ = [ฯƒi,j ] where ฯƒi,j = ฯ โˆˆ [โˆ’1, 1] when i 6= j.

98

Page 99: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

The more correlated, the more risky ?

Fig. 35 โ€“ 99.75% TVaR (or expected shortfall) for Gaussian copulas.

99

Page 100: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

The more correlated, the more risky ?

Fig. 36 โ€“ 99% TVaR (or expected shortfall) for Gaussian copulas.

100

Page 101: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

The more correlated, the more risky ?

What about other risk measures, e.g. Value-at-Risk ?

corr(Xi, Xj) โ‰ค corr(X โ€ฒi, X โ€ฒj) ; V aR(S, p) โ‰ค V aR(Sโ€ฒ, p), for all p โˆˆ (0, 1).

(see e.g. Mittnik & Yener (2008)).

101

Page 102: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

The more correlated, the more risky ?

Fig. 37 โ€“ 99.75% VaR for Gaussian copulas.

102

Page 103: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

The more correlated, the more risky ?

Fig. 38 โ€“ 99% VaR for Gaussian copulas.

103

Page 104: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

The more correlated, the more risky ?

What could be the impact of tail dependence ?

Previously, we considered a Gaussian copula, i.e. tail independence. What if therewas tail dependence ?

Consider the case of a Student t-copula, with ฮฝ degrees of freedom.

104

Page 105: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

The more correlated, the more risky ?

Fig. 39 โ€“ 99.75% TVaR (or expected shortfall) for Student t-copulas.

105

Page 106: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

The more correlated, the more risky ?

Fig. 40 โ€“ 99% TVaR (or expected shortfall) for Student t-copulas.

106

Page 107: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

The more correlated, the more risky ?

Fig. 41 โ€“ 99.75% VaR for Student t-copulas.

107

Page 108: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

The more correlated, the more risky ?

Fig. 42 โ€“ 99% VaR for Student t-copulas.

108

Page 109: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

The more correlated, the more risky ?

109

Page 110: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On the CEIPS recommendations

110

Page 111: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On the CEIPS recommendations

111

Page 112: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On the CEIPS recommendations

112

Page 113: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On the CEIPS recommendations

113

Page 114: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On the CEIPS recommendations

114

Page 115: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

On the CEIPS recommendations

115

Page 116: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

A first conclusion

116

Page 117: Slides erm-cea-ia

Arthur CHARPENTIER - Extremes and correlation in risk management

Another possible conclusion

โ€ข (standard) correlation is definitively not an appropriate tool to describedependence features,โ—ฆ in order to fully describe dependence, use copulas,โ—ฆ since major focus in risk management is related to extremal event, focus on

tail dependence meausres,โ€ข which copula can be appropriate ?โ—ฆ Elliptical copulas offer a nice and simple parametrization, based on pairwise

comparison,โ—ฆ Archimedean copulas might be too restrictive, but possible to introduce

Hierarchical Archimedean copulas,โ€ข Value-at-Risk might yield to non-intuitive results,โ—ฆ need to get a better understanding about Value-at-Risk pitfalls,โ—ฆ need to consider alternative downside risk measures (namely TVaR).

117