slides chap2 stat 422

8/18/2019 Slides Chap2 STAT 422

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Modèles nanciersen temps discret

G. Deelstra

Service Sciences ActuariellesUniversité Libre de Bruxelles

STAT-F-422 (ULB) Modèles nanciers en temps discret 1 / 1

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2 Modèles dynamiques en temps discret


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Le livre de référence estDANA, R.-A. et M. JEANBLANC-PIQUE (1994). Marchés Financiers en Temps Continu. Economica.

Notation: Les vecteurs ne seront plus soulignés.


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Un modèle en horizon ni

2.1 Un modèle en horizon ni

Soit (Ω, F , P ) un espace de probabilité muni d’une ltration (F n )N n = 0 ,c’est-à-dire d’une famille croissante de sous-tribus deF : F 0 ⊆ F 1 ⊆ .... ⊆ F N = F .

Les ω ∈ Ω généralisent la notion d’états du monde. Nous supposonsdans la suite que pour tout ω ∈ Ω: P ({ω}) > 0.

La tribu F 0 est la tribu grossière F 0 = {φ, Ω} .

La tribu F n représente l’information connue à la date n . La croissancede la famille de tribus traduit qu’il n’y a pas de “perte” d’information.

Une suite de variables aléatoires (S n , n ≤ N ) est dite F n -adaptée si S n est F n -mesurable pour tout n ≤ N .


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Une variable F 0 -mesurable est égale (p.s.) à une constante.

Le marché nancier est composé de d + 1 actifs dont les prix, àl’instant n , sont donnés par un vecteur aléatoire S n = S 0n , S 1n , ..., S d n àvaleurs dans IR d + 1+ .

L’actif 0 est supposé sans risque:

S 0n = ( 1 + r )n S 00

où r est le taux d’intérêt que l’on suppose constant. On prendra

S 00 = 1.

On suppose que le vecteur S n est F n -adapté.




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Dénition

Une stratégie de gestion est une famille θ = ( θn )N n = 1 de vecteurs

aléatoires θn = θ0n ,...,θ d n tels que ∀1 ≤ n ≤ N , ∀i ≥ 0 θi n est F n − 1-mesurable.

Le vecteur θn est le portefeuille à l’instant n : θi n représente le nombre

de parts de l’actif i détenues à la date n .

On ne fait pas de restriction de signe sur θi n , ce qui permet d’inclure lesventes à découvert ou un emprunt.

La condition de mesurabilité traduit que θ est “prévisible”. Elle signieque l’investisseur choisit son portefeuille d’actifs θi n “juste avant n ”;donc en ne disposant que de l’information décrite par F n − 1 .

En particulier, il ne connaît pas encore le prix S n .STAT-F-422 (ULB) Modèles nanciers en temps discret 6 / 1

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On note V n (θ) = θn · S n le produit scalaired

i = 0θi n S i n qui représente la

valeur du portefeuille à l’instant n > 0.

La variable V n (θ) est F n -mesurable.


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Dénition

Une stratégie de gestion θ est auto-nançante si θn · S n = θn + 1 · S n , n ∈ {1 , ..., N − 1} .

Cela signie qu’il n’y a pas d’apports de fonds, ni de retrait d’argent etque les transactions se font sans coûts.

Les variations de la valeur du portefeuille ne sont dues qu’à desvariations de prix.

La quantité θn · S n est la valeur du portefeuille après l’instant n et(strictement) avant n + 1 et θn + 1 · S n est la valeur après sonréajustement, strictement avant n + 1, et avant que les prix n’aientchangé (caractère prévisible de θn ).


U dèl h i i



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On note V 0 (θ) = θ1 · S 0 . Cela représente la valeur initiale duportefeuille. On remarque que V 0 est F 0-mesurable.

Si l’on note

G n (θ) =n

k = 1θk · ∆ S k

avec ∆ S k = S k − S k − 1 , G n (θ) représente le gain/la perte dû/due à lavariation des prix à l’instant n que l’investisseur réalise s’il adopte lastratégie θ.On pose G 0 (θ) = 0 et l’on peut écrire la relation d’auto-nancement

sous la forme

V n (θ) = θ1 · S 0 + G n (θ) , n ∈ {0 , ..., N } .


A bit h i i O t ité d’ bit

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Arbitrage en horizon ni Opportunité d’arbitrage

2.2 Arbitrage en horizon ni

2.2.1 Opportunité d’arbitrage

Dénition

Une opportunité d’arbitrage est une stratégie auto-nançante telle que i) P (V 0 (θ) = 0) = 1ii) P (V N (θ) ≥ 0) = 1; P (V N (θ) > 0) > 0.

L’investisseur commence avec un capital nul et termine en N avec unprot positif, strictement positif sur un ensemble de mesure strictementpositive (et donc E [V N (θ)] > 0).



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DénitionDeux mesures de probabilité P et Q dénies sur le même espace de probabilité (Ω, F ) sont équivalentes si pour tout A ∈ F : P (A) = 0 ⇐⇒ Q (A) = 0.

Il est facile de voir que l’ensemble des opportunités d’arbitrage est lemême pour deux probabilités équivalentes.

Dans ce qui suit, on suppose qu’il y a A.O.A. On dit que le modèle estarbitré.

NotationP est la notation pour l’ensemble des probabilités équivalentes à P quifont des prix actualisés une martingale.


Arbitrage en horizon ni Arbitrage et martingales

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2.2.2 Arbitrage et martingales

Nous désirons à présent généraliser le résultat fondamental duchapitre précédent et montrer que l’hypothèse A.O.A. équivaut àl’existence d’une mesure de probabilité équivalente à P sous laquelleles prix actualisés sont des martingales.

NotationOn note Ŝ le vecteur des prix actualisés, c’est-à-dire Ŝ i n = S i n / S 0n .On a

V̂ n (θ) = V n (θ) / S 0n =d

i = 0θi n · Ŝ i n = V 0 (θ) +

n

k = 1θk · ∆ Ŝ k

pour n > 0 et V̂ 0 (θ) = V 0 (θ) .Les opportunités d’arbitrage sont les mêmes pour S et Ŝ .



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LemmeSupposons qu’il existe une mesure martingale, c’est-à-dire une probabilité Q équivalente à P telle que le vecteur Ŝ = 1, Ŝ 1 , Ŝ 2 , ..., Ŝ d soit une martingale sous Q .

Alors V̂ n (θ) est une martingale sous Q .



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DémonstrationSoit Q une probabilité équivalente à P tel que Ŝ soit une martingale

sous Q . Montrons que V̂ n (θ) est une martingale sous Q .

* V̂ n (θ) F n -adaptée et intégrable.* Nous allons utiliser que V̂ n (θ) = θn · Ŝ n = θn + 1 · Ŝ n et que θn + 1 estF n -mesurable:

E Q V̂ n + 1 (θ) − V̂ n (θ) | F n = E Q θn + 1 · Ŝ n + 1 − Ŝ n | F n

= θn + 1 · E Q Ŝ n + 1 − Ŝ n | F n

= 0

car Ŝ n n

est une F n -martingale sous Q .



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g g g

LemmeSupposons qu’il existe une probabilité Q équivalente à P telle que le vecteur des prix actualisés

Ŝ = 1, Ŝ 1 , ..., Ŝ d

soit une martingale sous Q .Alors, il n’existe pas d’opportunité d’arbitrage.





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g g g

Démonstration

Le processus V̂ n étant une martingale, on a

E Q V̂ n (θ) = E Q V̂ 0 (θ) = E Q [V 0 (θ)]

parce que V̂ 0 (θ) = V

0 (θ) .

Si la stratégie est de valeur initiale nulle, on a

E Q V̂ N (θ) = 0

d’où θ ne peut pas être une opportunité d’arbitrage.



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On peut établir la réciproque du lemme.

Théorème

On suppose qu’il n’y a pas d’opportunité d’arbitrage. Alors il existe une probabilité Q équivalente à P telle que sous Q , le vecteur des prix actualisés Ŝ n soit une martingale.

Démonstration

Nous nous plaçons dans le cas où Ω est un espace ni, avec

P ({ω}) > 0, pour tout ω ∈ Ω; nous reproduisons la démonstrationd’Harrison-Pliska. C’est une démonstration analogue à celle duchapitre 1, car on travaille dans un espace ni.





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Soit C l’ensemble des variables aléatoires positives F -mesurablestelles que E [X ] = 1. C’est un convexe compact.

Soit Γ l’ensemble des variables aléatoires X , F -mesurables telles qu’ilexiste une stratégie auto-nançante θ vériant V 0 (θ) = 0 etX = V̂ N (θ) .C’est un espace vectoriel fermé.

S’il n’y a pas d’opportunité d’arbitrage, Γ et C sont disjoints.

Le théorème de séparation de Minkowski permet de séparer unespace vectoriel fermé et un convexe compact et montre qu’il existe

une forme linéaire L telle que

L (X ) = 0, X ∈ Γ,L (X ) > 0, X ∈ C .





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L’espace Ω étant ni, il existe une variable aléatoire l telle que

∀X = V̂ N (θ) ∈ Γω ∈Ω

l (ω) V̂ N (θ) (ω) = 0.

∀X ∈ C ω ∈Ω

l (ω) X (ω) > 0.

La deuxième propriété entraîne que ∀ω ∈ Ω, l (ω) > 0.

Posons Λ =ω ∈Ω

l (ω) et Q ({ω}) = l (ω )Λ .

On vérie que Q est équivalente à P : le seul ensemble négligeable estl’ensemble vide.



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Il reste à verier la propriété de martingale.

Si θ∗

est un processus prévisible à valeurs dans IR d

,θ∗= θ1n , θ2n ,...,θ d n n ≤ N , on peut construire θ0 processus à valeurs

dans IR tel que la stratégie θ0 , θ1 ,...,θ d soit auto-nançante, devaleur initiale nulle.

Il suft de choisir θ01 tel que θ01 S

00 = −

d

i = 1θi 1S

i 0 (valeur initiale nulle) et

θ0n + 1 tel que

θ0n + 1S 0n = θ0n S 0n +d

i = 1S i n θi n − θi n + 1 (auto-nancement),

le caractère prévisible de θ0 , θ∗ étant alors évident.



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On a alors, en notant θ = θ0 , θ∗ , pour tout n ≤ N :

V̂ n (θ) = θ0n + θ1n Ŝ 1n + ... + θd n Ŝ d n .

En utilisant les égalités ∆ Ŝ 0n = 0 et V̂ 0 (θ) = 0, on obtient

V̂ n (θ) =n

j = 1θ1 j ∆ Ŝ

1 j + ... + θ

d j ∆ Ŝ

d j .

On obtient ainsi, en utilisant la dénition de Q , que, pour tout θ∗ :

E Q

N

j = 1 θ1 j ∆

ˆS

1 j + ... + θ

d j ∆

ˆS

d j = E Q

ˆV N (θ)

= 1Λ

ω ∈Ω

l (ω) V̂ N (θ) (ω) = 0.



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Puisque

E Q θi n Ŝ i n = E Q θi n Ŝ i n − 1 pour toute variable θi n , F n − 1-mesurable,

ceci équivaut à la propriété de martingale (sous Q ) de Ŝ i .

Le théorème reste vrai en temps discret si Ω n’est pas ni. Voir parexemple Dalang, Morton, Willinger (1990), Schachermayer (1994) etKabanov et Kramkov (1994).


Marché complet en horizon ni Variables duplicables

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2.3 Marché complet en horizon ni

2.3.1 Variables duplicables

DénitionUne variable aléatoire F N -mesurable X est dite duplicable

(atteignable, “attainable”) s’il existe une stratégie auto-nançante θtelle que V N (θ) = X .

L’A.O.A. permet de valoriser les variables duplicables.

DénitionUn marché est complet si toute variable aléatoire X F N -mesurable est duplicable.


Marché complet en horizon ni Variables duplicables

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Autrement dit, un marché est complet si toute variable aléatoire X

F N -mesurable vérie X =d

i = 0θi N S

i N où θ est une stratégie

auto-nançante.

X =d

i = 0θi N S

i N = V N (θ)

=⇒ X S 0N

= V̂ 0 (θ) +N

n = 1θn · ∆ Ŝ n

ce que nous pouvons écrire sous la forme

S 0N − 1 X = V̂ 0 (θ) +

N 0 θ.d Ŝ

où

N

0 θ.d Ŝ

est dénie comme l’intégrale de la fonction en escalier égale à θn sur]n , n + 1], par rapport à Ŝ , qui est une martingale après un

changement de probabilité si le modèle est ar bitré.STAT-F-422 (ULB) Modèles nanciers en temps discret 24 / 1

Marché complet en horizon ni Etude de P

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2.3.2 Etude de P

Proposition

Un marché arbitré est complet si et seulement s’il existe une seule probabilité Q équivalente à P pour laquelle les prix actualisés sont des martingales.



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Démonstration=⇒ (partie directe)Supposons le marché arbitré et complet et supposons que P 1 et P 2

appartiennent à P .Soit X une variable aléatoire F N -mesurable.Il existe une stratégie θ telle que X = V N (θ) ou

X S 0N

= V̂ N (θ) .

Nous avons remarqué que V̂ N (θ) était une P 1- et P 2-martingale.D’où

E P i V̂ N (θ) = E P i (V 0 (θ)) = V 0 (θ) .

Il s’ensuit queE P 1

X S 0N

= E P 2 X S 0N

.

Cette égalité étant vraie pour tout X F N -mesurable, on a P 1 = P 2 sur

F N . STAT-F-422 (ULB) Modèles nanciers en temps discret 26 / 1

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Si P ∗est une probabilité de P et si l’on munit l’espace des variablesaléatoires du produit scalaire

(X , Y ) −→ E P ∗ (XY ) ,

on obtient qu’il existe une variable aléatoire X non nulle et orthogonaleà toutes les variables aléatoires de E .

Posons alors:

P ∗∗({ω}) = 1 + X (ω )2 X ∞ P ∗({ω})

où X ∞ = supω ∈Ω | X (ω) | .On dénit ainsi une probabilité car P ∗∗(Ω) = 1 car la variable aléatoireconstante égale à 1 appartient à E d’où par orthogonalité E ∗(X ) = 0.La probabilité P ∗∗est équivalente à P ∗, et P ∗∗= P ∗car X = 0.



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En plus parce que P ∗∈ P :

E P ∗∗ N

n = 1θn · ∆ Ŝ n

= E P ∗ N

n = 1θn · ∆ Ŝ n +

12 X ∞ E

P ∗ X

N

n = 1θn · ∆ Ŝ n = 0

car Ŝ n est une P ∗-martingale et car X est orthogonale aux variables

de la forme V 0 +

N

n = 1θn · ∆ˆS n pour tout processus prévisible

θ1n ,...,θ d n 1 ≤ n ≤ N .





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De plus,

E P ∗∗ N

n = 1θn · ∆ Ŝ n = 0

entraîne queE P ∗∗ θi n Ŝ

i n = E P ∗∗ θ

i n Ŝ

i n − 1

pour toute variable θi n F n − 1-mesurable, et on conclut que Ŝ n 0 ≤ n ≤ N est une P ∗∗martingale.

RemarqueCette proposition est vraie en toute généralité, même dans le cas àtemps continu. La démonstration utilise alors un théorème dereprésentation.


Marché complet en horizon ni Valorisation et couverture



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2.3.3 Valorisation et couverture

PropositionSoit X une variable aléatoire duplicable et θ une stratégie

auto-nançante telle que V N (θ) = X .La valeur V 0 (θ) ne dépend pas du choix de θ. On l’appelle “la valeur de X à l’instant 0”.On a V 0(θ) = E Q X S 0N

pour toute stratégie θ auto-nançante et pour toute probabilité Q faisant des prix actualisés une martingale.



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DémonstrationSoit θ1 = θn , 1 n ≤ N et θ2 = θn , 2 n ≤ N deux stratégies

auto-nançantes telles que V N (θ1) = V N (θ2) = X , avec

θn , 1 = θi n , 1 0≤ i ≤ d (resp. θn , 2 = θi n , 2 0≤ i ≤ d

).

Supposons V 0 (θ1) > V 0 (θ2 ) .Soit θ∗ le processus d -dimensionnel correspondant aux parties àrisque de θ2 − θ1

θ∗≡ θ1n , 2 − θ1n , 1 ,...,θ

d n , 2 − θ

d n , 1 n ≤ N

≡ θ̃1n , θ̃2n , . . . , θ̃d n n ≤ N .

On peut construire un processus θ0 tel que la stratégie θ0 , θ∗ soitauto-nançante, de valeur initiale nulle.



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Il suft de choisir θ01 tel que θ01 S

00 = −

d

i = 1θ̃i 1S

i 0 (valeur initiale nulle) et

θ0n + 1 tel que

θ0n + 1S 0n = θ0n S 0n +

d

i = 1S i n θ̃i n − θ̃i n + 1 (auto-nancement),

le caractère prévisible de θ0 , θ∗ étant alors évident.Nous notons ψ0 , 0 = ψ0 , 0 , ..., 0 une stratégie qui n’investit quedans l’actif sans risque. Nous remarquons que V N est linéaire parrapport à la stratégie:

V N θ0 , θ∗ = V N (θ2 − θ1 ) + V N θ0 − θ02 − θ01 , 0= V N θ0 − θ02 − θ

01 , 0 .



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Les stratégies θ1 et θ2 étant auto-nançantes la stratégieθ0 − θ02 − θ

01 , 0 l’est aussi comme différence de stratégies

auto-nançantes et on a, en utilisant la dénition de θ0

V N θ0 , θ∗ = V N θ0 − θ02 − θ01 , 0

= ( 1 + r )N V 0 θ0 − θ02 − θ01 , 0

= − (1 + r )N V 0 (θ2 − θ1) > 0.

On aurait ainsi une stratégie de valeur initiale nulle telle queV N θ0 , θ∗ > 0, ce qui est impossible par l’hypothèse A.O.A.

D’où

V 0 (θ1) = V 0 (θ2 ) .



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Si Q 1 et Q 2 ∈ P et Q 1 = Q 2 , on vient de démontrer que

E Q 1 V̂ N (θ) = E Q 2 V̂ N (θ) = V 0 (θ)

pour toute stratégie θ auto-nançante.

La même démonstration montre que s’il existe une stratégie θ telle queV N (θ) = 0 et V0 (θ) < 0, alors il existe une opportunité d’arbitrage.



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Lorsque le marché est arbitré et complet, on peut valoriser toutes les

variables aléatoires F N - mesurable. On doit calculer

E Q X S 0N = V 0 (θ) .

Plus généralement, en remarquant que V̂ n (θ) est une Q -martingale,on a

V n (θ) = S 0n E Q X S 0N | F n .

On appelle V n (θ) le prix de X à l’instant n . Il est intéressant deremarquer que ces calculs ne dépendent que de Q (et pas de P ).



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En particulier si l’on veut valoriser un call de maturité N sur l’actif S 1 etsi l’actif 0 est sans risque de rendement r , la valeur du call à l ’instant n

est

V n (θ) = ( 1 + r )n E Q (S 1N − K )

+

(1+ r )N | F n .

La stratégie θ qui nous a permis de valoriser X s’interprète commeune stratégie de couverture pour le vendeur de X .

On peut plus généralement valoriser un ux, c’est-à-dire un processus{X n , 1 ≤ n ≤ N } adapté à la ltration. Sa valeur à l’instant n est

V n (θ) = ( 1 + r )n E Q N

t = 1

X t (1 + r )t

| F n .

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