slab waveguide

8/8/2019 Slab Waveguide

1/11

C h a p t e r 1

D i e l e c t r i c S l a b W a v e g u i d e

W e w i l l s t a r t o f f e x a m i n i n g t h e w a v e g u i d e p r o p e r t i e s o f a s l a b o f d i e l e c t r i c s h o w n i n F i g . 1 . 1 .

z

d

x

n1

n2

n1

F i g u r e 1 . 1 : C r o s s - s e c t i o n a l v i e w o f a s l a b w a v e g u i d e .

n(x) =

n2, |x| < d/2n1, e l s e

( 1 . 1 )

1 . 1 P r o p a g a t i n g R a y

W e w i l l i n i t i a l l o o k a t t h e l i g h t t r a v e l i n g i n t h e s l a b a s a p r o p a g a t i n g r a y . E v e n t h o u g h t h i s i s n o t t e c h n i c a l l y

a c c u r a t e , i t p r o v i d e s s o m e i n t u i t i v e f e e l f o r w h a t i s g o i n g o n . F i g u r e 1 . 2 s h o w s t h a t i f t h e p r o p a g a t i o n a n g l e

i s g r e a t e r t h a n t h e c r i t i c a l a n g l e t h e n t h e r a y w i l l b o u n c e o f f o f t h e s u r f a c e a n d w i l l b e c o n n e d t o t h e c o r e

r e g i o n . T h e r e f o r e , t h e p r o p a g a t i o n i s c o n n e d t o b e

1 > c = sin1

n2n1

. ( 1 . 2 )

I n o r d e r t o m a i n t a i n t h a t t h e p r o p a g a t i o n a n g l e i s g r e a t e r t h a n t h e c r i t i c a l a n g l e , t h e e n t r a n c e a n g l e i n t o t h e

o p t i c a l b e r m u s t b e l e s s t h a n a .

sin a = n2 sin (90 1) ( 1 . 3 )

= n2 cos(1) ( 1 . 4 )

E C E n 5 6 2 1 J a n u a r y 1 7 , 2 0 0 7


2/11

core n2

cladding n1

cladding n1

1=c1c

F i g u r e 1 . 2 : C r o s s - s e c t i o n a l v i e w o f a s l a b w a v e g u i d e .

S i n c e 1 > c

sin a < n2 cos c ( 1 . 5 )

< n2

1 sin2 c ( 1 . 6 )

< n2

1 n1

n22

( 1 . 7 )

< n2

n22 n

21

n22( 1 . 8 )

sin a d/2) ni = n1 a n d t h e s o l u t i o n i s g i v e n b y

Em = Aejgx + Bejgx, ( 1 . 3 8 )

w h e r e

g =

k2on21

2. ( 1 . 3 9 )

H o w e v e r , s i n c e > kon1 t h e a r g u m e n t o f t h e s q u a r e r o o t i s a c t u a l l y n e g a t i v e r e s u l t i n g i n

Em = Aeqx + Beqx, ( 1 . 4 0 )

w h e r e

q = 2 k2on21. ( 1 . 4 1 ) T h e t o t a l e l e c t r i c e l d o f t h e m o d e i s g i v e n b y

Em(x) =

A sin hx + B cos hx |x| < d2Cexp(qx) x > d2D exp(qx) x < d2

( 1 . 4 2 )

T h e u n k n o w n s a r e A , B , C, D , q , a n d h. T h e s o l u t i o n o f t h e u n k n o w s r e q u i r e s a p p l y i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . S i n c e t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s d e p e n d o n t h e v e c t o r q u a n t i t i e s , w e w i l l b r e a k u p t h e m o d e

i n t o t w o o r t h o g o n a l p o l a r i z a t i o n c a s e s . T h e d i r e c t i o n s o f b o t h t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c e l d s n e e d t o b e

p e r p e n d i c u l a r t o t h e r a y s s h o w n i n F i g . 1 . 4 .

O n e p o s s i b l e s o l u t i o n i s t o h a v e t h e e l e c t r i c e l d i n t h e y - d i r e c t i o n . I n t h i s c a s e t h e e l e c t r i c e l d i s p e r - p e d i c u l a r t o t h e d i r e c t i o n o f p o w e r o w ( z - d i r e c t i o n ) . T h i s c a s e i s c a l l e d T r a n s v e r s e E l e c t r i c ( T E ) . F o r T E - p o l a r i z a t i o n t h e m a g n e t i c e l d h a s b o t h x a n d z c o m p o n e n t s .

T h e o t h e r c a s e i s w h e n t h e m a g n e t i c e l d i s i n t h e y - d i r e c t i o n . I n t h i s c a s e t h e m a g n e t i c e l d i s p e r - p e d i c u l a r t o t h e d i r e c t i o n o f p o w e r o w ( z - d i r e c t i o n ) . T h i s c a s e i s c a l l e d T r a n s v e r s e M a g n e t i c ( T M ) . F o r T M - p o l a r i z a t i o n t h e m a g n e t i c e l d h a s b o t h x a n d z

E C E n 5 6 2 5 J a n u a r y 1 7 , 2 0 0 7


6/11

1 . 3 . 1 T E M o d e s

T h e e l e c t r i c e l d f o r T E p o l a r i z a t i o n i s i n t h e y - d i r e c t i o n a s g i v e n b y

Ey(x) = (A sin hx + B cos hx) ejz |x| < d2

Cexp(qx jz) x > d2D exp(qx jz) x < d2

. ( 1 . 4 3 )

T h e m a g n e t i c e l d i s

H = E

j( 1 . 4 4 )

r e s u l t i n g i n

Hz(x) =j

Eyx

. ( 1 . 4 5 )

T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e t h a t t h e t a n g e n t i a l c o m p o n e n t s o f b o t h E a n d H a r e e q u a l a c r o s s a b o u n d a r y .

T h e t a n g e n t i a l c o m p o n e n t o f t h e e l e c t r i c e l d a t x = d/2 i s g i v e n b y

A sin

1

2hd

+ B cos

1

2hd

= Cexp

1

2qd

( 1 . 4 6 )

a n d a t x = d/2 i t i s g i v e n b y

A sin

1

2hd

+ B cos

1

2hd

= D exp

1

2qd

( 1 . 4 7 )

T h e c o n t i n u i t y o f t h e t a n g e n t i a l c o m p o n e n t s o f t h e m a g n e t i c m a g n e t i c e l d e s s e n t i a l l y b e c o m e s c o n t i n u i t y

o f t h e d e r i v a t i v e o f t h e e l e c t r i c e l d a c r o s s t h e b o u n d a r y r e s u l t i n g i n

hA cos

1

2hd

hB sin

1

2hd

= qCexp

1

2qd

( 1 . 4 8 )

a t x = d/2 a n d

hA cos

1

2hd

+ hB sin

1

2hd

= qD exp

1

2qd

( 1 . 4 9 )

a t x = d/2.

T h e s e f o u r e q u a t i o n s c a n b e c o m b i n e d t o p r o d u c e

2A sin

12

hd

= (C D)exp

12

qd

( 1 . 5 0 )

2hA cos

1

2hd

= q (C D)exp

1

2qd

( 1 . 5 1 )

2B cos

1

2hd

= (C+ D)exp

1

2qd

( 1 . 5 2 )

2hB sin

1

2hd

= q (C+ D)exp

1

2qd

( 1 . 5 3 )

E C E n 5 6 2 6 J a n u a r y 1 7 , 2 0 0 7


7/11

T h e s o l u t i o n s o f t h e T E m o d e s m a y b e d i v i d e d i n t o t w o c l a s s e s :

( a ) S y m m e t r i c ( A = 0 a n d C = D ) :

h tan

1

2hd

= q ( 1 . 5 4 )

( b ) A n t i s y m m e t r i c ( B = 0 a n d C = D ) :

h cot

1

2hd

= q ( 1 . 5 5 )

T h e r e a r e n o w f o u r u n k n o w n s ( A o r B , C, h, a n d q ) . T h e r s t t e r m ( A o r B ) c a n b e t h o u g h t o f a s t h e a m p l i t u d e o f t h e m o d e . L e t c a l l t h i s t e r m Eo . T h e l a s t t w o t e r m s ( h a n d q ) a r e b o t h r e l a t e d t o s o t h e y a r e a c t u a l l y o n l y o n e u n k n o w n . L e t ' s c o m b i n e t h e s e t w o t o g e t h e r a s g i v e n b y

h2 + q2 =

k2on22

2

+

2 k2on21

2

( 1 . 5 6 )

= k2on22 k

2on

21 ( 1 . 5 7 )

a n d C i s j u s t t h e c o n t i n u t i t y o f t h e e l e c t r i c e l d a t t h e b o u n d a r y . P u t t i n g a l l o f t h i s t o g e t h e r w e g e t

Ey =

E1eqxjz x > d2

E0

sin hxcos hx

ejz |x| d

+

E1e

+qxjz x < d2

( 1 . 5 8 )

w h e r e

E1 exp

qd2

= Eo

sin

hd

2cos hd2

( 1 . 5 9 )

E1 = Eo exp

qd

2

sin hd2cos hd2

. ( 1 . 6 0 )

S o n o w t h e o n l y u n k n o w n i s . W e d e t e r m i n e b y s o l v i n g t h e s e t w o e q u a t i o n s

h2 + q2 = k2o

n22 n21

( 1 . 6 1 )

h tan

hd

2

= q O R h cot

hd

2

= q ( 1 . 6 2 )

W e c a n s o l v e t h e s e n o n l i n e a r t r a n s c e n d e n t a l e q u a t i o n s u s i n g a n o n l i n e a r s o l v e r o n a c o m p u t e r o r c a l c u l a t o r .

H o w e v e r , t h e y c a n a l s o b e s o l v e d g r a p h i c a l l y t o c a l c u l a t e t h e n u m b e r o f m o d e s a n d e s t i m a t e t h e a p p r o x i m a t e

s o l u t i o n s .

S i n c e t h e a r g u m e n t o f t h e tan a n d cot i s i n t e r m s o f hd/2 w e w i l l p l o t t h e t e r m qd/2 a l o n g t h e x- a x i s a n d hd/2 a l o n g t h e y - a x i s . T h e r s t e q u a t i o n s b e c o m e s

hd

2

2+

qd

2

2=

1

22

(kon2d)2 (kon1d)

2

( 1 . 6 3 )

=

d2

n22 n21

V2 ( 1 . 6 4 )

E C E n 5 6 2 7 J a n u a r y 1 7 , 2 0 0 7


8/11

T h i s i s t h e e q u a t i o n o f a c i r c l e w i t h a r a d i u s o f V a s g i v e n b y x2 + y2 = V2 .

T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n e q u a t i o n f o r t h e s y m m e t r i c m o d e s i s

h tan

hd

2

= q ( 1 . 6 5 )

hd2

tan

hd2

= qd

2( 1 . 6 6 )

w h i c h b e c o m e s

x tan(x) = y. ( 1 . 6 7 )

a n d f o r t h e a n t i s y m m e t r i c m o d e s i t i s

h cot

hd

2

= q ( 1 . 6 8 )

hd

2cothd

2 = qd

2( 1 . 6 9 )

w h i c h b e c o m e s

x cot(x) = y. ( 1 . 7 0 )

I n s u m m a r y t h e e q u a t i o n s a r e

h2 + q2 = k2o

n22 n21

x2 + y2 = V2 ( 1 . 7 1 )

h tan

hd

2

= q x tan(x) = y ( 1 . 7 2 )

h cot

hd2

= q x cot(x) = y ( 1 . 7 3 )

T h e z e r o c r o s s i n g o f t h e tan a r e 0,,...m a n d t h e z e r o s o f t h e cot a r e 2 ,2 ,

32 ,...

2 (1 + 2m) .

1 . 3 . 2 T M M o d e s

W e c a n r e p e a t t h e w h o l e p r o c e s s f o r T M m o d e s . I n t h i s c a s e , w e h a v e

Hy(x,z ,t) = hm(x)exp(j (t z)) ( 1 . 7 4 )

Ex(x,z ,t) = j z Hy ( 1 . 7 5 )

Ez(x,z ,t) = j

xHy ( 1 . 7 6 )

a n d

Hm(x) =

A sin hx + B cos hx |x| < d2Cexp(qx) x > d2D exp(qx) x < d2

( 1 . 7 7 )

E C E n 5 6 2 8 J a n u a r y 1 7 , 2 0 0 7


9/11

T h e e i g e n e q u a t i o n s b e c o m e

h tan

1

2hd

=

n22n21

q ( 1 . 7 8 )

h cot12

hd = n22

n21

q ( 1 . 7 9 )

1 . 3 . 3 P a r a m e t e r M e a n i n g s

W h a t a r e t h e p h y s i c a l m e a n i n g s o f h , q , a n d ? I f w e l o o k b a c k a t t h e r a y o p t i c s t r e a t m e n t , t h e n i s t h e z - c o m p o n e n t o f t h e w a v e , h i s t h e x- c o m p o n e n t , a n d q s p e c i e s t h e r a t e a t w h i c h t h e e l d d e c a y s w i t h d i s t a n c e a w a y f r o m t h e c o r e .

kz ( 1 . 8 0 )

h kx ( 1 . 8 1 )

q ( 1 . 8 2 )

D i e l e c t r i c W a v e g u i d e E x a m p l e

H o w m a n y m o d e s e x i s t i n a d i e l e c t r i c w a v e g u i d e t h a t h a s t h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r s ? i n d e x o f r e f r a c t i o n o f

t h e c o r e n1 = 1.6 , i n d e x o f r e f r a c t i o n o f t h e c l a d d i n g n2 = 1.5, w a v e l e n g t h = 1.0m, w a v e g u i d e c o r e t h i c k n e s s 2d = 10m.

T h e e q u a t i o n s a r e

d = kyd tan(kyd) ( 1 . 8 3 )

d = kyd cot(kyd)( 1 . 8 4 )

(kyd)2 + (d)2 = (kod)

n21 n

22

( 1 . 8 5 )

U s i n g kyd = x a n d d = y t h e s e e q u a t i o n s b e c o m e

y = x tan x ( 1 . 8 6 )

y = x cot x ( 1 . 8 7 )

x2 + y2 = (kod)2 n21 n22 ( 1 . 8 8 )

F o r t h i s e x a m p l e t h e r a d i u s o f t h e c i r c l e i s g i v e n b y

r = 21.0

102

n21 n22 ( 1 . 8 9 )

r = 17.5m ( 1 . 9 0 )

T h e e q u a t i o n x tan x i s e q u a l t o z e r o w h e n x = 0 , 2 , 3 , . . . m a n d i s e q u a l t o w h e n x = 2 ,32 ,

52 ,

. . .

2 + m .

T h e e q u a t i o n x cot x i s e q u a l t o z e r o w h e n x = 2 ,32 ,

52 , . . .

2 + m a n d i s e q u a l t o w h e n x = , 2 ,

3 , . . . m . A n d w h e n x = 0 x cot x = 1.

E C E n 5 6 2 9 J a n u a r y 1 7 , 2 0 0 7


10/11

T h e r a d i u s o f t h e c i r c l e f o r t h i s p r o b l e m i s r = 17.5 = 5.56 . T h e r e a r e 6 e v e n m o d e s ( 0 , , 2 , 3 , 4 , 5) a n d 6 o d d m o d e s ( 0.5 , 1.5 , 2.5 , 3.5 , 4.5 , 5.5 ) .

W h a t i s t h e w a v e g u i d e t h i c k n e s s f o r s i n g l e m o d e o p e r a t i o n ? W e n e e d

r < 0.5 ( 1 . 9 1 )

21.0

d

1.62 1.52 < 2

( 1 . 9 2 )

d < 0.449 ( 1 . 9 3 )

1 . 4 A s y m m t r i c S l a b W a v e g u i d e s

I n p r a c t i c e m o s t s l a b w a v e g u i d e s a r e a s y m m e t r i c . A n a s y m m e t r i c s l a b w a v e g u i d e i s g i v e n b y

n(x) =

n1, x < 0n2, t < x < 0

n3, x < t

( 1 . 9 4 )

S o m e t i m e s r a t h e r t h a n u s i n g n1 , n2 , a n d n3 t h e s e i n d i c e s a r e l a b e l e d a s c o v e r i n d e x nc , w a v e g u i d e i n d e x nw ,a n d s u b s t r a t e i n d e x ns . I f w e a s s u m e t h a t n1 < n3 < n2 t h e n t h e r a n g e f o r i s g i v e n b y kon3 < < kon2 .T h e p r o c e s s u s e d t o c a l c u l a t e t h e m o d e e l d p r o l e i s s i m i l a r t o t h e p r o c e s s d e s c r i b e a b o v e e x c e p t t h a t t h e

b o u n d a r y c o n d i t i o n s w i l l b e d i f f e r e n t a t t h e t o p a n d b o t t o m b o u n d a r y .

F o r a T E m o d e t h e e l e c t r i c e l d i s g i v e n b y

Ey(x,z ,t) = Em(x)ej(tz), ( 1 . 9 5 )

w h e r e t h e m o d e p r o l e i s g i v e n b y

Em(x) =

Cexp qx x > 0

C

cos(hx) qh sin(hx)

t < x < 0C

cos(ht) + qh

sin(ht)

exp[p(x + t)] x < t, ( 1 . 9 6 )

w h e r e

h =

k22 2

( 1 . 9 7 )

q =

2 k21 ( 1 . 9 8 )

p =

2 k23. ( 1 . 9 9 )

T h e m o d e c o n d i t i o n e q u a t i o n i s g i v e n b y

h sin(ht) q cos(ht) = p

cos(ht) +q

h sin(ht)

( 1 . 1 0 0 )

F o r a T M m o d e t h e e l d s a r e g i v e n b y

Hy(x,z ,t) = Hm(x)ej(tz)

( 1 . 1 0 1 )

Ex(x,z ,t) =i

Hyz

=

hm(x)e

j(tz)( 1 . 1 0 2 )

Ez(x,z ,t) = j

Hyx

( 1 . 1 0 3 )

E C E n 5 6 2 1 0 J a n u a r y 1 7 , 2 0 0 7


11/11

w h e r e t h e m o d e p r o l e i s g i v e n b y

Hm(x) =

Chq

exp(qx) x > 0

C

hq

cos(hx) + sin(hx)

t < x < 0

Chq cos(ht) + sin(ht) exp[p(x + t)] x < t, ( 1 . 1 0 4 )

w h e r e

q n22n21

q ( 1 . 1 0 5 )

p n22n23

p ( 1 . 1 0 6 )

T h e m o d e c o n d i t i o n e q u a t i o n i s g i v e n b y

tan(ht) =h(p + q)

h2 pq( 1 . 1 0 7 )

1 . 5 E f f e c t i v e I n d e x T h e o r y

A s l a b w a v e g u i d e o n l y c o n n e s l i g h t i n o n e d i m e n s i o n . I n p r a c t i v e i t i s n e c e s s a r y t o c o n n e l i g h t i n b o t h d i -

r e c t i o n s . E x a c t a n a l y t i c t r e a t m e n t o f r e c t a n g u l a r d i e l e c t r i c w a v e g u i d e s i s n o t p o s s i b l e f o r a r b i t r a r y s t r u c t u r e s .

T h e s e t y p e o f w a v e g u i d e s c a n b e a n a l y z e d u s i n g n u m e r i c a l t e c h n i q u e s . T h e r e a r e a l s o s e v e r a l a p p r o x i m a t e

a n a l y t i c a l a p p r o a c h e s . O n e o f t h e s i m p l e s t a p p r o a c h e s i s t h e e f f e c t i v e i n d e x t h e o r y .

F i g u r e 1 . 5 s h o w s a r i d g e w a v e g u i d e . T h e t h r e e r e g i o n s o f t h e r i d g e w a v e g u i d e ( I , I I , I ) a r e t r e a t e d a s s l a b

w a v e g u i d e s r e s u l t i n g i n t h r e e d i f f e r e n t e f f e c t i v e i n d i c e s ( neff,I, neff,II, a n d neff,I) . R e f e r r i n g t o F i g . 1 . 5 neff,I i s c a l c u l a t e d b y s o l v i n g f o r t h e m o d e o f a s l a b w a v e g u i d e w i t h a t h i c k n e s s o f d a n d f o r neff,II t h ew a v e g u i d e t h i c k n e s s i s

t. T h e r i d g e w a v e g u i d e e f f e c t i v e i n d e x i s t h e n c a l c u l a t e d b y t r e a t i n g t h e e f f e c t i v e

i n d i c e s a s t h e c o v e r , w a v e g u i d e , a n d s u b s t r a t e i n d i c e s w i t h t h e w a v e g u i d e t h i c k n e s s b e i n g t h e r i d g e w i d t h a .

n1

n2

n3

t

d

a

y=-a/2 y=a/2

I II I

F i g u r e 1 . 5 : R e c t a n g u l a r w a v e g u i d e .

E x a m p l e : C o n s i d e r a r i d g e w a v e g u i d e m a d e o f G a A s ( n = 3.5) w a v e g u i d i n g l a y e r o n a n A l G a A s ( n = 3.2)s u b s t r a t e . T h e t h i c k n e s s e s a r e t = 0.4, d = 0.25, a n d a = 0.5.

E C E n 5 6 2 1 1 J a n u a r y 1 7 , 2 0 0 7

slab waveguide

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