skaičiavimai matematiniu paketu mathcad -...

1 Parengė Vitalija Keršienė PROIN

Skaičiavimai matematiniu paketu Mathcad

1. Mathcad aplinka. Paprasti skaičiavimai Mathcad yra unikali priemonė, leidžianti dirbti su skaičiais, lygtimis, tekstais ir diagramomis. Mathcad viskas pateikiama taip, kad būtų panašu į darbą su rašikliu ir popieriaus lapu. Mathcad programos lange matoma sąsaja yra tuščias lapas, kuriame galima įvesti trijų tipų blokus: matematines išraiškas, tekstą ir grafines sritis. Ir visa tai galima daryti bet kurioje lapo vietoje. Tačiau būtina įsidėmėti, kad netekstinių sričių informaciją Mathcad skaito dviem kryptimis – iš kairės į dešinę ir iš viršaus į apačią. Nereikia mokytis specialios sintaksės, galima naudoti matematikoje priimtą simboliką, kurios užrašymo būdas beveik nesiskiria nuo įprasto.

1.1 Mathcad aplinka

Mathcad objektu gali būti formulė, tekstas, masyvas, grafinis blokas. Objektai pirmiausia aprašomi, o tik po to atliekamos operacijos su jais. Vartotojas kuria objektus vidiniais Mathcad teksto, formulių ir grafiniu redaktoriais, o jie išsaugomi failuose su prievardžiu mcd. Paprastiems skaičiavimams atlikti vartotojui pakanka matematikos žinių ir mokėjimo naudotis vidinėmis (standartinėmis) funkcijomis bei pagrindiniais įrankiais.

1 pav. Mathcad aplinkos langas

7

1 2

3 5

6

4

8 9


Matematinių įrankių rinkinys iškviečiamas taip: View – Toolbars - Math.

Spragtelėjus atitinkamus mygtukus, išskleidžiami:

1) – matematinių simbolių ir formulių įvedimo įrankiai (Calculator);

2) – grafinė paletė (Graph);

3) – vektorių ir matricų paletė (Matrix);

4) – priskyrimo ir rezultatų išvedimo įrankiai (Evaluation);

5) – aukštosios matematikos skaičiavimų paletė (Calculus);

6) – programavimo paletė (Programming);

7) – santykių ženklų paletė (Boolean);

8) – graikiškų simbolių paletė (Programming);

9) – simbolinių skaičiavimų įrankiai (Symbolic).

1.2 Teksto blokai

Šie blokai, skirti komentarams, įvedami komanda Insert - Text Region arba klavišu <”>. Tekstui formuoti skirta įrankių juosta iškviečiama komanda View - Toolbars - Formatting.

Šioje juostoje parenkama (žiūr.iš kairės į dešinę): stilius, šriftas, šrifto dydis, specialieji šrifto formatai (paryškintas, pasviręs, pabrauktas), pastraipų išlyginimo būdai, pastraipų žymėjimas ir numeravimas. Pastraipų parametrai taip pat keičiami meniu komanda Format - Paragraph.

Pašalinti, kopijuoti ar perkelti pažymėtas teksto sritis galima naudojantis Edit meniu komandomis Delete, Copy, Cut arba pagrindinės įrankių juostos, kuri iškviečiama komanda View – Toolbars – Standard, mygtukais:

Tekstas baigiamas redaguoti spragtelėjus pele tuščioje darbalaukio srityje arba paspaudus klavišus <CTRL>+<Shift>+<Enter>. Punktyriniu rėmeliu pažymėtą bloką galima pertempti pele pagriebus už rėmelio, kai žymiklis įgauna rankos pavidalą. Kelis pažymėtus blokus galima

išlygiuoti horizontaliai arba vertikaliai panaudojant įrankius .


1.3 Matematinės išraiškos

Operatoriai – tai Mathcad elementai, kurių pagalba galima kurti matematines išraiškas. Operatoriai yra, pavyzdžiui, aritmetinių operacijų simboliai, sumos, sandaugos, integralo, išvestinės skaičiavimo ženklai.

Operatorius ir operandus galima įvesti naudojantis klaviatūra arba paletės mygtukais:

Pavyzdžiui, išraiškoje 10! / 2 skaičius 2 ir išraiška 10! yra dalybos operatoriaus (/) operandai, o skaičius 5 yra faktorialo (!) operandas. Šią išraišką galima užrašyti taip:

· išraiškos pradžios vieta nurodoma pelės žymikliu, turinčiu pliuso pavidalą (+);

· klaviatūroje paspaudus </>, gaunamas šablonas su dviem žymomis ;

· žymiklis fiksuojamas trupmenos skaitiklyje (žymiklio padėtį bloko viduje galima pakeisti

spragtelėjus pele arba tarpo klavišu) ir iš paletės parenkamas faktorialo ženklas ;

· užpildžius skaitiklį, vardiklį ir spragtelėjus <=> gaunama .

Operacijų ženklai sudėtingesnėms išraiškoms apskaičiuoti išrenkami iš aukštosios matematikos skaičiavimų paletės (Calculus):

pavyzdžiui: 2 1 13990

1

x dx . .

Mathcad naudojami tokie duomenų tipai: skaitinės konstantos, paprasti ir sisteminiai kintamieji, masyvai (vektoriai ir matricos), failai.

Konstantų, kintamųjų ir kitų objektų vardai sudaromi iš raidžių, skaitmenų bei pabraukimo simbolių ir turi prasidėti raide, pavyzdžiui, x1, suma_2. Mathcad yra grupė sisteminių kintamųjų, kurių reikšmės apibrėžtos sistemos. Kai kurių jų reikšmes galima pakeisti Tools meniu komandos Worksheet Options kortelėje Built-In Variables. ORIGIN - pradinio matricų ir vektorių indekso


reikšmė (numatytoji yra 0). Ją galima pakeisti bet kokiu sveiku teigimu arba neigiamu skaičiumi. TOL nurodo integralų ir išvestinių skaičiavimo tikslumą. Numatytoji reikšmė yra 0.001.

CTOL apibrėžia, kokiu tikslumu turi būti tenkinami apribojimai sprendžiant lygtis. Numatytoji reikšmė yra 0.001.

Kitų lango Math Options kortelių pagrindinės funkcijos pateiktos lentelėje.

Calculation Kortelė, skirta skaičiavimų parametrų keitimui.

Display

Kortelė skirta objektų vaizdavimo būdui pakeisti. Čia yra septyni atveriami sąrašai, kuriuose galima pasirinkti įvairių operacijų, pavyzdžiui, daugybos (Multiplication), išvestinių (Derivative) vaizdavimo simbolius.

Unit System Kortelėje galima pasirinkti matavimo vienetų sistemą, numatytoji yra SI sistema.

Dimensions Įjungus Display dimension galima keisti kai kurių matmenų (dimensijų), pavyzdžiui, laiko (Time), ilgio (Length), pavadinimus.


Paprasti kintamieji iš anksto turi būti apibrėžti vartotojo, t.y. jiems būtina nors vieną kartą suteikti reikšmę. Tam naudojami klavišai arba priskyrimo paletės (Evaluation) įrankiai:

Priskyrimo operatoriaus funkciją atlieka ženklas :=, o ženklas = skirtas kintamojo, išraiškos arba konstantos reikšmės išvedimui. Jeigu kintamąjam pradinė reikšmė suteikiama operatoriumi := arba klavišo <:> (dvitaškio) paspaudimu, tai vadinama lokaliuoju priskyrimu. Iki šio veiksmo kintamojo reikšmė yra neapibrėžta ir jo

naudoti negalima. Globalųjį priskyrimą galima atlikti operatoriumi arba klavišu

<>.

2 pav. Priskyrimo ir reikšmių išvedimo operatorių naudojimo pavyzdys

Čia trupmenos skaitikliui ir vardikliui iš pradžių suteikti vardai, o paskui išvestos jų reikšmės. Bet kada galima išvesti sisteminių kintamųjų reikšmes, bet negalima išraiškos dešinėje rašyti paprastojo kintamojo, kuriam nesuteikta reikšmė. Tokiu atveju šis kintamasis nuspalvinamas raudonai iš išvedamas pranešimas “Kintamasis ar funkcija neapibrėžta aukščiau”.

Kintamieji gali turėti matavimo vienetus, kurie įterpiami Insert meniu komanda Unit…1.2 pav. parodytas Omo dėsnio taikymo pavyzdys naudojant matavimo vienetus. Matavimo vienetas priskiriamas taip: po skaitinės kintamojo išraiškos dedamas daugybos ženklas, o tada komanda Insert – Unit… įterpiamas arba į atsiradusios žymos vietą įrašomas matavimo vienetas.

Mathcad skaito dokumentą dukart – iš kairės į dešinę ir iš viršaus žemyn. Pirmojo skaitymo metu vykdomi visi globalieji priskyrimai, antrojo – lokalieji priskyrimai ir išvedami skaičiavimų rezultatai, užduoti operatoriumi = arba klavišu <=>.

Mathcad galima apibrėžti kintamuosius, kurie įgauna diskrečiąsias reikšmes iš apibrėžto intervalo. Šie kintamieji gali kisti vienetiniu žingsniu (1 atvejis), arba bet kokiu užduotu žingsniu (2 atvejis):

1. x := xp .. xg, čia x– kintamojo vardas, xp – jo pradinė reikšmė, xg – jo galinė reikšmė; kitimo žingsnis yra 1. Pavyzdžiui, reikia sudėti skaičius nuo 1 iki 5:

i: .. 1 5 ii

2 55

http://proin.ktu.lt/informatika2/Mathcad/irenos/images/1_3pav.jpg

http://proin.ktu.lt/informatika2/Mathcad/irenos/images/1_3pav.jpg


2. x := xp, xp + xh .. xg, čia xh – kitimo žingsnis, kuris turi būti teigiamas, jei xp < xg ir neigiamas priešingu atveju. Pavyzdžiui, jei argumentas x kinta nuo –1 iki 2 žingsniu 0.1, reikės rašyti: x := -1, -1+0.1 .. 2 arba x := -1, -0.9 .. 2.

Simbolis .. įvedamas paspaudus klaviatūroje <;> (kabliataškį) arba panaudojus matricų paletės įrankį m..n.

1.4 Funkcijos

Mathcad paketas turi daug vidinių (standartinių) funkcijų, kurias galima pasirinkti iš sąrašo naudojantis komanda Insert – Function, klavišų kombinacija <Ctrl>+<E> arba įrankių juostoje esančiu mygtuku f(x). Atveriamas funkcijos įterpimo dialogo langas Insert Function. Šio lango laukelyje Function Category parenkama funkcijų grupė, pavyzdžiui, Trigonometric – trigonometrinės funkcijos, o laukelyje Function Name – funkcijos pavadinimas, pavyzdžiui acos – arccos( ), ir spaudžiamas mygtukas Insert – įterpti.

Vartotojo funkcijas galima apibrėžti priskyrimo ženklo := kairėje pusėje užrašant funkcijos vardą ir skliausteliuose išvardijant argumentus, kurie skiriami kableliais. Dešinėje ženklo pusėje rašoma išraiška, pagal kurią skaičiuojama funkcija. Funkcijos reikšmę galima skaičiuoti tik tada, kai žinomos argumentų reikšmės. Jos turi būti priskirtos arba apskaičiuotos prieš panaudojant funkciją. Kitas būdas argumentams suteikti reikšmes – tiesiog įrašyti jas argumentų vietoje.

3 pav. Kvadratinės lygties diskriminanto skaičiavimo funkcijos pavyzdys (su skirtingais duomenų rinkiniais)


1.5 Lentelės

Užrašius funkcijos analitinę išraišką ir jos argumento (argumentų) kitimo ribas, Mathcad galima išvesti funkcijos reikšmių lenteles, kai argumentas kinta užduotu žingsniu.

Pavyzdžiui, reikia suskaičiuoti funkcijos reikšmes:

1) kai x = 0, o z kinta nuo –5 iki 3 žingsniu 1.5;

2) kai x = 0, o z kinta nuo –2 iki 2,9 žingsniu 0.3.

Uždavinio sprendimas pateiktas 3 pav. Argumentų ir funkcijų reikšmių lentelės išvedamos paspaudus lygybės ženklą. Jei išvedamų funkcijų ar argumentų reikšmių kiekis yra didelis, ne visos šios reikšmės yra matomos. Tokiu atveju spragtelėjus bet kurioje lentelės vietoje atsiranda slinkties juosta. Jeigu reikia, lentelę galima ištempti pagriebus už rėmelio apatinės dalies.

1.6 Grafikų braižymas

Paprasčiausias dvimatis y(x) grafikas gaunamas naudojantis meniu komandą Insert – Graph - X-Y Plot (dvimatė grafika) arba grafinės paletės (Graph) įrankiais.

Prieš kuriant grafiką patartina aprašyti funkcijos argumentų reikšmes (kitimo intervalą). Po to pele parenkama grafiko vieta. Funkcija gali būti aprašyta iš anksto arba tiesiog brėžinyje. Atsivėrusiame grafiko lange įrašoma funkcijos išraiška arba funkcijos vardas su nurodytais skliausteliuose argumentais. Jei viename brėžinyje vaizduojamos kelios funkcijos, jų vardai skiriami kableliu. Funkcijų reikšmės skaičiuojamos brėžimo metu. Mathcad grafikuose kuriami įvairiausi vaizdai: nuo tiesės iki trimačių paviršių, sukinių bei karkasų.

Pavyzdžiui, reikia nubraižyti funkcijų

grafikus, kai argumentas kinta nuo –10 iki 10 žingsniu 0.1. Užrašomas argumento

kitimo intervalas ir funkcijų išraiškos. Tada žymiklis fiksuojamas tuščioje vietoje dešinėje arba apačioje. Iš grafinės paletės Graph parenkamas diagramos tipas X-Y Plot. Argumentas (x) rašomas viduriniame langelyje prie horizontalios ašies, kableliu atskirti funkcijų pavadinimai – prie vertikalios ašies. Diagrama bus nupiešta pele spragtelėjus už grafinio lango ribų. Funkcijų ir argumentų kitimo rėžius diagramoje galima pakeisti ištrynus

esamas reikšmes ir užrašius pageidaujamas tiesiog diagramoje (pavyzdyje rėžiai apvesti skrituliukais).


Pakeisti grafiko vaizdą galima naudojant komandą Format - Graph arba dvigubu pelės spragtelėjimu laisvoje grafiko vietoje. Kortelėje X-Y Axes galima formatuoti ašis, keisti jų stilių:

Log Scale (logaritminė skalė) - logaritminio mastelio nustatymas, Grid Lines (tinklelis) - tinklelio įjungimas, Numbered (numeruotas) - skaitinių reikšmių rodymas prie ašies, Autoscale (automatinė skalė) - automatinis grafiko mastelis, Show Markers (rodyti padalas) - ašyse rodomos padalos, Auto Grid (automatinis tiklelis) - automatiškai nustatomas tinklelio mastelis, Number of Grids (intervalų skaičius) - tinklelio linijų skaičiaus nustatymas. Grupės Axis Style jungikliais nustatomas ašių stilius: Boxed (rėmelis) - stačiakampio pavidalo ašys, Crossed (kryžminis) - ašys per

koordinačių pradžią, None (nieko) - ašys nerodomos.

Kortelėje Traces pažymėjus atitinkamą liniją, nustatoma: Legend Label (kreivės pavadinimas) - linijos tipas, rodomas prie x ašies, kai neįjungta Hide Legend, Symbol (simbolis) - simbolių, iš kurių susideda grafiko linija, parinkimas, Line (linija) - linijos tipo nustatymas (ištisinė, taškinė ir pan.), Color (spalva) - linijos spalvos parinkimas, Type (tipas) - grafiko tipo parinkimas, Weight (storis) - linijos storio nustatymas.

Kortelėje Labels galima užrašyti diagramos (Title) ir ašių (Axis Labels) pavadinimus. Diagramos pavadinimas bus rodomas, kai pažymėtas langelis Show Title.

Kortelėje Number Format keičiamas skaičių vaizdavimo būdas.


1.7 Grafinis lygčių šaknų nustatymas

Norint grafiniu būdu sužinoti, kiek lygtis ar sistema turi šaknų, reikia nubraižyti diagramą ir matysime, kiek kartų grafikas kerta x ašį (lygtis) ar grafikai kertasi tarpusavyje (sistema).

Pavyzdžiui, turime išspręsti lygtį , prieš tai grafiškai nustatę pradinę argumento

reikšmę (4 pav.). Išskaidome ją į dvi lygtis, pavyzdžiui ir , ir nubraižome du grafikus toje pačioje koordinačių sistemoje. Argumento reikšmes diagramai pasirenkame

tenkinančias apibrėžimo sritį, pvz. . Apytikslė argumento reikšmė, esanti grafikų susikirtimo taške, ir yra pradinė lygties sprendimo reikšmė. Matematinis skaidymo korektiškumas užtikrinamas, kai skaidoma paprasčiausiu būdu: kairioji lygybės pusė prilyginama vienai funkcijai, dešinioji - kitai.

4 pav. Grafinis lygties šaknų nustatymas

1.8 Vektoriai ir matricos

Vektorių ir matricų įrankiai įgalina atlikti tokius veiksmus:

– matricos ar vektoriaus šablono sukūrimas,

– masyvo elemento indekso užrašymas,

– atvirkštinės matricos skaičiavimas,

– matricos determinanto skaičiavimas,

– veiksmų su matricomis vykdymas paelemenčiui,

– nurodyto matricos stulpelio išskyrimas,

– matricos transponavimas,

– kitimo intervalo užrašymo mygtukas,

– vektorių skaliarinės sandaugos skaičiavimas,

– vektorių vektorinės sandaugos skaičiavimas,

– vektoriaus elementų sumos skaičiavimas,

– nuorodos į konkretų Mathcad objektą kūrimas.

Dažniau naudojamos šios vidinės funkcijos:


cols(x) – randa matricos x stulpelių skaičių, rows(x) – randa matricos x eilučių skaičių, max(x) – randa maksimalų matricos elementą, rank(M) – randa matricos M rangą, identity(n) – sukuria vienetinę matricą iš n stulpelių ir eilučių, last(M) – nustato vektoriau M stulpelių paskutinio elemento indeksą.

Atkreipiame dėmesį, kad vektoriaus ir matricos elementų indeksai Mathcad pradedami skaičiuoti nuo kortelėje Built-In Variables. nurodytos Array Origin reikšmės. Numatytoji sisteminio kintamojo ORIGIN reikšmė yra 0.

Vektorius ir matricas galima suformuoti trimis būdais:

naudojant komandą Insert - Matrix arba Matrix paletės mygtuką;

skaičiuojant kiekvieną elementą pagal formules;

apibrėžiant kiekvieną elementą.

5 pav. Veismai su matricomis

1. suskaičiuoti matricos A determinantą D ir atvirkštinę matricą; 2. rasti matricos B transponuotą matricą; 3. atskirus matricos C elementus pakelti kvadratu.

1.9 Vektorių ir matricų panaudojimas

1. Lygčių sistemos sprendimas atvirkštinės matricos metodu. Tiesinę lygčių sistemą patogu spręsti naudojant formulę X = A-1*B, čia A – nežinomųjų koeficientų matrica, B – laisvųjų narių vektorius stulpelis.

2. Daugianario šaknys randamos naudojant Mathcad vidinę funkciją polyroots. Iš daugianario koeficientų sudaroma matrica, turinti vieną stulpelį ir (n+1) eilutę, čia n – daugianario eilė. Žymų vietoje įrašomi daugianario koeficientai pradedant laisvuoju nariu.


Jei kurio nors laipsnio nėra, koeficientas lygus nuliui. Tada iš vidinių funkcijų sąrašo mygtuku f(x) parenkama funkcija ir spaudžiamas lygybės ženklas.

6 pav. Lygčių sistemos sprendimas ir daugianario šaknų radimas

2. Simboliniai skaičiavimai

2.1 Simbolinės komandos ir įrankiai

Mathcad aplinkoje galima atlikti operacijas ne tik su įgyjančiais skaitines reikšmes kintamaisiais, bet ir su simboliniais (raidiniais) kintamaisiais, pvz., skaičiuojant išvestines, neapibrėžtinius integralus, prastinant išraiškas, skaidant dauginamaisiais, išreiškiant funkciją vieno ar kito argumento atžvilgiu ir t.t. Tam skirtas meniu Symbolics ir simbolinių įrankių paletė:

Dažniau naudojamos simbolinio procesoriaus operacijos:

Komanda Įrankis Atliekamas veiksmas

Evaluate - Symbolically → apskaičiuoti

Simplify simplify suprastinti

Expand expand išskaidyti dauginamaisiais laipsnine forma

Factor factor išskaidyti dauginamaisiais

Collect* collect išskaidyti į žemesnio lygio išraiškas

Polynomial Coefficients* coeffs rasti polinomo koeficientus

Variable – Differentiate* derivative (Calculus paletėje)

diferencijuoti simbolinio kintamojo atžvilgiu

Variable – Integrate* integral (Calculus paletėje)

integruoti simbolinio kintamojo atžvilgiu

Variable – Solve* solve išspręsti simbolinio kintamojo atžvilgiu


* – operacijos atliekamos padėjus žymiklį kintamojo, kurio atžvilgiu atliekami veiksmai, dešinėje pusėje. Pirmieji keturi Symbolics meniu punktai vykdomi pažymėjus visą reiškinį ir parinkus atitinkamą meniu eilutę.

Naudojant simbolinio meniu komandas, rezultato vieta priklauso nuo Symbolics - Evaluation Style… parinkčių. Pavyzdžiui, jei rezultatas turi būti toje pačioje eilutėje, reikia įjungti Horizontally, jei rezultatas rašomas į kitą įterptą eilutę – Vertically, inserting lines. Naudojant simbolinio skaičiavimo įrankius, rezultatas gaunamas spragtelėjus pele tuščioje lapo vietoje.

Pavyzdžiui, turime atlikti veiksmus su simboliniais kintamaisiais:

sudauginti matricas: 1 2

3 4

x y

y z

x y y z

x y y z

2 2

3 4 3 4,

rasti cos x išvestinę: išrinkti

d

d iš Calculus paletės ir panaudoti simbolinio

skaičiavimo įrankį: d

dxxcos sin x ,

suprastinti išraišką Symbolics – Simplify

a b

a b a b

2 2

, rezultatas lygus 1.

išskaidyti išraišką dauginamaisiais: išrinkti meniu komandą Symbolics – Factor arba panaudoti simbolinio skaičiavimo įrankį

Veiksmus galime atlikti pasinaudoję Symbolics meniu komandomis arba simbolinių įrankių mygtukais. Bet kuriuo atveju žymiklio padėtis nėra svarbi.

Atliekant kitus veiksmus reikia užrašyti išraišką ir žymiklį padėti dešinėje to kintamojo, kurio atžvilgiu atliekame veiksmą, pusėje:

veiksmas, priešingas Factor: Collect:

Tuo pačiu būdu galima diferencijuoti nenaudojant diferencialo ženklo - Variable – Differentiate:

(ln (x))3

32

2

ln x

.

Integravimas atliekamas naudojant Variable – Integrate:

2.2 Simbolinis algebrinių lygčių sprendimas

Daugianario šaknys simboliškai randamos naudojant komandą Variable – Solve (žymiklį padedame kintamojo dešinėje):

6059319 234 xxxx

4

3

1 2

1 2

i

i

.

Tiesinių lygčių sistemos sprendimui galima naudoti:

x3

6 x2

11 x 6 x 3( ) x 1( ) x 2( )

x3

6 x2

11 x 6 factor x 3( ) x 1( ) x 2( )

x 3( ) x 1( ) x 2( ) collect x3

6 x2

11 x 6

6 xln x( )

3

6

ln x( )2

2 ln x( ) 1

ln x( )3


naudoti simbolinės paletės įrankį solve. Jį paspaudus atsiranda struktūra [] solve, . Žymų vietoje įterpiame matricas, turinčias vieną stulpelį ir tiek eilučių, kiek yra lygčių. Kairėje surašome lygčių išraiškas, dešinėje – kintamuosius. Lygtyse naudojamas pastorintas lygybės ženklas, t.y. <Ctrl>+<=> klaviatūroje arba Equal to iš Boolean paletės:

Kitas būdas spręsti lygtį arba lygčių sistemą – Mathcad vidinės funkcijos find panaudojimas. Bendra sprendimo struktūra yra tokia. Pradžioje kintamiesiems priskiriamos pradinės reikšmės, apačioje rašoma given, o tada žemyn – lygtys bei apribojimai. Lygtyse dedamas pastorintas lygybės ženklas (<Ctrl>+<=> klaviatūroje arba Equal to iš Boolean paletės). Sprendžiant vieną lygtį, rašoma: kintamasis:=find(x), pavyzdžiui, x0 :=find(x), žemiau rašoma x0=. Sprendžiant lygčių sistemą naudojama matrica stulpelis.

Pavyzdžiai.

Išspręsti lygtį x·ln(x)=1, kai pradinė sąlyga x=1:

x x ln 1, pradinė sąlyga x 1.

x: 1 given

x x ln =1 (čia pastorinta lygybė!)

x find x0: ( )

Atsakymas:

x0 1763.

Išspręsti lygčių sistemą , kai pradinės sąlygos x=0, y=0.

Jeigu pradinės kintamųjų reikšmės nežinomos, galima jas apytiksliai nustatyti grafiniu metodu (žr. 4 pav.), o tada spręsti naudojantis funkcija find (4 pav.).


2. Tipinė užduotis U1. Apskaičiuokite žemiau pateiktus reiškinius. Blokus eilutėje išlygiuokite horizontaliai. Failą išsaugokite savo kataloge. Nepamirškite, kad funkcijų argumentai rašomi skliaustuose.

cos sin

ln

2 3

2

5 8

1 7

e Ats. -0.086;

x y

x y

5 3

7 123 , kai x:=8, y:=5 Ats. 0.093;

56.2 kai,12.2 kai),3

cos(1

32

xxx

x

xy

Ats. y(x):=1.235, y(x)=1.667;

Naudodami Calculus įrankius apskaičiuokite integralų reikšmes, raskite išvestines, sumas ir sandaugas::

x

xdx

1 54

2

cos

Ats. 0,743 (nepamirškite, kad

funkcijos argumentas rašomas skliaustuose, 5 padauginta iš x).

arccosx

dx30

1

Ats. 1,403 (funkcijos arccos

vardas Mathcad nebūtinai turi toks pats, pasitikrinkite f-cijų sąraše).

x dz dy dxy

x 0

11

0

1

2

Ats. 0,083

x:=1

d

dxxsin( ) Ats. 0.54

x:=3 d

dxx

3

3 2cos Ats.-2.235

i:=1..5 i

i

2 Ats. 55

x: .. 1 10

d

dxx

x

sin( ) Ats. 3,323*10-3

0

3

k

3

k 3 k2

3 k

Ats. 39.5

Naudodami matavimo vienetus apskaičiuokite varžą R(), kai duota srovė I=5A, įtampa

U=37.5V Ats. R=7.5.

U2. Nubraižykite funkcijų grafikus ir pateikite argumentų bei funkcijos reikšmių lenteles. Nepamirškite, kad braižant grafiką užrašoma ne tik funkcija, bet ir argumento kitimo intervalas, nurodant žingsnį (pvz.: jei duotas kitimo intervalas 10)1.0(10x , rašoma x: , . .. 10 9 9 10 , čia

nurodyta: pradinė reikšmė, pradinė reikšmė+žingsnis, galinė reikšmė). Žymiklis fiksuojamas tuščioje vietoje. Iš grafinės paletės parenkamas diagramos tipas. Argumentas rašomas


f x( )

x

1 0 1 2

1

1Funkcijos grafikas

XY

10 5 0 5 1010

0

10

20

f x( )

g z( )

x z

viduriniame langelyje prie x ašies, funkcija - prie y ašies. Jei funkcijos kelios, jos atskiriamos kableliu. Grafikas bus nupieštas pele spragtelėjus už grafinio lango ribų. Funkcijų lentelės pateikiamos, kai jų kintamieji užduodami intervalu. Pradžioje reikia užrašyti argumento x kitimo intervalą, tada funkcijos f(x) išraišką. Žemiau parašius x= ir f(x)= bus išvestos argumento ir funkcijos reikšmių lentelės.

x = -1(0.1)2, f(x) = sin3(2x); (pakoreguokite grafiko vaizdą, kad ašys eitų per koordinačių pradžią, matytųsi grafiko ir ašių pavadinimai);

Ats.:

523)(1 xxxy , 132233)(2 xxxxy , x kinta nuo -2 iki 3,

žingsniu 0,2. Ats.:

x = -5(0.2)5, a = 5, f(x) = sin(2x)+0.5, z = -6(0.2)7, b = 8, g(z) = a·sin(z)-b·cos(2z). Ats.:


0

1

x

x2

1

y

0

1 y

zx

d

d

d1

12

0

1

x

x2

1

y

0

1 y

zx

d

d

d1

12

U3. Atlikite veiksmus su matricomis, kai duota:

A B C=

1

=

5 0 1

-1 3 1

1 -1 1

=

1

- 3

2

2 3

1 1 5

7 2 9

.

Raskite atvirkštinę A matricą; Ats.:

Transponuotą B matricą; Ats.:

A matricos determinantą; Ats. 60;

Apskaičiuokite U = A-A-1·B-A2·B-1+AT. Ats.:

Raskite vektoriaus C elementų skaičių, panaudodami standartinę funkciją. Ats.: 3;

U4. Atlikite simbolinius skaičiavimus naujame faile, kad išraiškos nepanaudotų tų kintamųjų skaitinių reikšmių, kurios buvo priskirtos jiems, atliekant ankstesnes užduotis. Simbolinių skaičiavimų rezultatai gaunami įvykdžius atitinkamą Symbolics meniu komandą arba panaudojus Symbolic paletės įrankį.

Apskaičiuokite panaudojant Symbolic ar Evaluation palečių įrankį Symbolic

Evaluation (). Jei apskaičiuoti nepavyksta, panaudokite Symbolic komandą Evaluate.

limsin( )

x

x

x0; Ats.: 1;

lim ( )x

tg x

2

; Ats.: ;

x

edxx

10

; Ats.:

2

12

1

;

Ats.:

A

1 2

3 4;

xy

yxD ; A

.D Ats.:


y x2

y 8 3 x 0

a xn 1

n 1n 1if

a ln x( ) n 1if

4

3

1 2i

1 2i

d

dxx

2

2

5 2 3

1ln Ats.:

Suprastinkite reiškinį (Simplify):

Ats.: 1

Išskleiskite (Expand)

a b( )5

Ats.:

Išskaidykite daugianariais (Factor):

Ats.:

n x 1( )

Atliekant kitas šio punkto užduotis žymiklis turi būti dešinėje pusėje to argumento, kurio atžvilgiu atliekamas veiksmas.

Užrašykite daugianario koeficientus (Symbolics - Polynomial Coefficients):

Ats.: 1 1 1 0 2 1 5 0 1( )T

Diferencijuokite x atžvilgiu (Symbolics - Variable - Differentiate):

Ats.: -

cos x( )

;

Integruokite x atžvilgiu (Symbolics - Variable - Integrate):

a xn

; Ats.:

U5. Išspręskite lygtis ir jų sistemas

Išspręskite lygtį bei lygčių sistemą naudodami komandą Solve:

Ats.:

Ats.: (2 1)

Išspręskite lygtį bei lygčių sistemą naudojant funkciją Find:

x2*ex=6, pradinė sąlyga x:=0.2; Ats.: x0 1.287

, pradinės sąlygos x=0, y=0 Ats.:

Išspręskite lygčių sistemą atvirkštinės matricos metodu:

Ats.:

n

x n

7201

160

1

130

1

1

3 2 3

2 2

2

4 2 3

2 2

2

4 2 3

2

ln ln lnx

xx

x

xx

x

x


polyroots

1

3

2

3

1.489

0.411 0.234i

0.411 0.234i

y x( ) 3 x3

2 x2

3 x 1

Raskite daugianarių šaknis naudodami funkciją polyroots:

Ats.:

U6. Nubraižykite funkcijos grafiką, naudojant programavimo paletės komandas Add Line, if ir otherwise. Programuojant pirmiausia pasirenkamas Programming paletės įrankis Add Line. Jei reikia n eilučių, įrankis spaudžiamas (n-1) kartų. Eilutėse parenkami operatoriai ir į juodus kvadratėlius įrašomi operandai. Naudojant sąlygos operatorių if, pirmajame kvadratėlyje iš kairės rašomas veiksmas, kuris bus atliekamas, jei išpildyta sąlyga, parašyta dešiniajame kvadratėlyje. Operatoriuje otherwise rašomas tik operandas, kuris bus atliekamas kitais atvejais, kai neišpildyta nei viena iš aukščiau pateiktų sąlygų.

Ats.:

U7. Aprašykite funkciją (funkcijas) ir apskaičiuokite nuspalvintos figūros plotą, kai x=6, y=1.5, z=2;

Ats.: 12,608

skaičiavimai matematiniu paketu mathcad -...

Documents