skad chapter 6.pdf
TRANSCRIPT
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
1/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
1
BAGIAN 6
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
6.1.
Kata PengantarSejauh ini kita telah membahas transmisi sinyal deterministik melalui
saluran,dan kita belum menekankan peran sentral yang dimainkan oleh konsep
pengacakandidalam komunikasi. Kata acak berarti terduga. Jika penerima padaakhir saluran tahu di output pesan dari sumber asal, tidak akan ada kebutuhan
untuk komunikasi. Jadi ada pengacakan dalam sumber pesan. Selain itu, sinyal
ditransmisikan oleh suara dalam sistem. Bentuk gelombang suara ini juga tak
terduga. Tujuan dari bab ini adalah untuk menyajikan latar belakang matematika
yang penting untuk studi komunikasi lebih lanjut.
6.2.
ProbabilitasA. Percobaan acak
Dalam studi probabilitas, proses pengamatan dirujuk sebagai percobaan.
Hasil pengamatan disebut hasil percobaan. Percobaan disebut percobaan acak jika
hasilnya tidak dapat diprediksi. Contoh percobaan acak adalah gulungan mati,
pelemparan koin, undian kartu dari dek, atau memilih sinyal pesan untuk
transmisi dari beberapa pesan.
B. Ruang sampel dan peristiwa
Dari semua kemungkinan hasil pecobaan acak disebut ruang sampel S.
Unsur S disebut titik sampel. Setiap hasil percobaan acak sesuai dengan titik
sampel. Satu set A disebut subset dari B, jika dilambangkan oleh jikasetiap elemen A juga elemen B. Himpunan bagian dari ruang sampel S disebut
peristiwa. A titik sampel dari S sering disebut sebagai dasar peristiwa. Keterangan
bahwa ruang sampel S adalah subset dari itu sendiri, yaitu . Karena S adalahhimpunan semua kemungkinan hasil, sering disebut peristiwa tertentu.
C. Aljabar peristiwa
1. Melengkapi peristiwa A, adalah peristiwa yang berisi semua sampel
poin di S tetapi tidak di A.
2. Union peristiwa A dan B, menandakan A u B, adalah peristiwa yang
berisi semua sampel poin baik A atau B atau keduanya.
3. Persimpangan peristiwa A dan B, menandakan A n B, adalah peristiwa
yang berisi semua sampel poin di keduanya A dan B.
4. Peristiwa yang tidak berisi sampel poin sampel disebut peristiwa null,
dilambangkan 0. 0 ini berkaitan dengan suatu peristiwa yang mustahil.
5. Dua peristiwa A dan B disebut Mutually Exclusive atau Disjoint jika
mereka mengandung titik sampel tidak umum, bahwa A n B = 0
Dengan ditetapkan definisi sebelumnya, maka kita mendapatkan
identitas berikut :
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
2/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
2
D. Probabilitas dari peristiwa
Tugas dari bilangan real untuk peristiwa-peristiwa yang didefinisikan pada
S dikenal sebagai ukuran probabilitas. Dalam definisi axiomatic, probabilitas P
(A) peristiwa A adalah bilangan real ditugaskan ke A yang memenuhi aksioma
tiga berikut :
axiom 1 : P(A) 0axiom 2 : P(S) = 1
axiom 3 : P(A B) = P(A) + P(B) if A B = Dengan aksioma sebelumnya, probabilitas properti dapat diperoleh sebagaiberikut :
1. P( ) = 1P(A)2. P( 3. P(A) 4.
P(A) 5. P(A
Perhatikan bahwa property 4 dapat dengan mudah berasal dari aksioma 2
dan properti 3. Karena A kita mempunyai :P(A)
Dengan demikian, kita menggabungkan dengan aksioma 1, kita memperoleh :
0 Property 5 menyiratkan bahwa :
P(A Karena P(A
Satu juga dapat menentukan P(A) secara intuitif, dalam hal frekuensi
relative, anggaplah bahwa percobaan acak diulang beberapa kali. Jika suatu
peristiwa terjadi beberapa kali maka P(A) probabilitas yang mendefinisikan
sebagai:
P(A) =
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
3/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
3
Perhatikan bahwa batas ini mungkin tidak ada.
E. Samasama Mungkin Peristiwa
Mempertimbangkan ruang sampel terbatas S dengan unsur unsur yangterbatas:
S = { }Dimana adalah elemen peristiwa. Lalu P() = . Kemudian :1. 0 i = 1,2.,n2.
= + +. + = 13. Jika A =
, dimana I adalah koleksi subscribe , kemuadian :
P(A) = ) = Ketika semua elemen peristiwa sama-sama mungkinperistiwa, inilah :
Kemudian dari Eq. (6.12) kita mempunyai :
Dan
Dimana n(A) adalah jumlah hasil milik peristiwa A dan n jumlah sampel poin
dalam S.
F. Kondisi Probabilitas
Kondisi probabilitas dari sebuah peristiwa A memberi peristiwa B,
dilambangkan dengan P(AB), didefinisikan :| Dimana P(Apoin probabilitas A dan B. demikian pula :
| Adalah kondisi probabilitas dari peristiwa B memberi peristiwa A. dari Eqs.
(6.16) dan (6.17) kita mempunyai:
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
4/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
4
| |Persamaan (6.18) ini sering sangat berguna dalam komputasi joint
probabilitas peristiwa. Dari persamaan (6.18) kita bias mendapatkan aturan bayes
berikut:
| | G. Peristiwa Independen
Dua peristiwa A dan B menjadi statistic independen jika
| | Kemudian bersama dengan persamaan (6.19) menyiratkan bahwa untuk dua
peristiwa statistic independen: Mungkin kita bisa juga memperpanjang definisi dari kebebasan untuk lebih
dari dua kejadian. Peristiwa A1,A2,....,An independen jika dan hanya jika untuk
setiap bagian {Ai1,Ai2,.....,Aik} (2kn) untuk kejadian ini.
(6.22)H. Peluang Total
Pada Kejadian A1,A2,....,An dinamakan pengganti ekslusif dan lengkap jika dan (6.23)Misal B kejadian di S, maka
| (6.24)Yang diketahui sebagai peluang total dari kejadian B (Prob. 6.13). Maka A=A1 dicontoh. (6.19); menggunakan contoh (6.24) kita simpulkan :
| | | (6.25)Catatan bahwa term pada ruas kanan dikondisikan pada kejadian A1, sedangkan
ruas kiri dikondisikan pada persamaan (6.25).
6.3. Peubah Acak
A. Peubah Acak
Percobaan acak dengan ruang sampel S. Sebuah peubah acak X() adalahnilai real tunggal yang menandai bilangan real disebuat nilai X() untuk setiaptitik sampel di S. Seringkali kita menggunakan X untuk fungsi ini pada tempat
X() dan menggunakan untuk menunjukkan peubah acak sebuah diagram.
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
5/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
5
Gambar 6-1 Variabel Acak X sebagai Fungsi
Ruang sampel S adalah didalam domain dari peubah acak X dan kumpulan
semua bilangan (nilai X()) adalah didalam range dari peubah acak x. Dengandemikian range dari x adalah subset dari kumpulan semua bilangan real dan
biasanya ditujukan oleh Rx. Catatan bahwa 2 atau lebih titik sampel yang berbeda
mungkin memberi nilai sama untuk X(). Tapi dua bilangan berbeda pada rangetidak dapat ditandai ke titik sampel yang sama peubah acak x induces peluangpada garis lengkung berikut.
Jika X bilangan yang dapat dihitung, kemuadian x disebut [[eubah acak
diskrit. Jika x dapat mengangsumsikan beberapa nilai diantara satu atau lebih
interval pada baris real, kemudian X disebut peubah acak lanjutan. Nomor telepon
yang masuk kantor pada waktu yang terbatas adalah contoh peubah acak yangdiskrit , dan waktu yang pasti dari arrival telepon adalah contoh peubah acak
lanjutan.
B. Fungsi Distribusi
Fungsi distribusi atau dungsi distribusi kumulatif dari X adalah fungsi yang
didefinisikan oleh : (6.26)Fungsi dari Fx (x):
1.
(6.27a)
2. if x1 < x2 (6.27b)3. (6.27c)4. (6.27d)5.
(6.27e)Dari definisi (6.26) kita bisa menghitung probabilitas lain, yaitu : (6.28)
(6.29)
(6.30)
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
6/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
6
C. Peubah Acak Diskrit dan Fungsi Massa Peluang
Misal x adalah peubah acak diskrit dengan mod F krmudian Fadalah fungsi staricase. Dan F
mengubah nilai hanya pada loncatan-loncatan
dan constan diantara loncatan-loncatan.
Gambar 6-2
Andaikan loncatan-loncatan pada F
dari peubah acak diskrit. X muncul
pada titik X1,X2,...... dimana peluang muncul mungkin antara terhingga atau tak
terhingga yang dapat dihitung dan kita mengansumsikan xi
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
7/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
7
3. 4. (6.37c)
Mod
dari peubah acak kontinu x dapat diperoleh dengan
(6.38)6.4. Peubah Variabel Dua Dimensi
A. Fungsi Distribusi Gabungan
Misalkan S ruang sampel dari percobaan acak. Misal X dan Y adalah 2
peubah acak padaS didefinisikan,kemuadian pasangan (x,y) disebut peubah acak 2
dimensi. Jika setiap X dan Y mengaitkan bilangan Real dengan setiap elemen di
S. Hubungan fungsi distribusi kumulatif dari x dan y ditunjukkan oleh
.
Fungsinya didefinisikan oleh (6.39)Dua peubah acak x,y dinyatakan bebas jika
(6.40)Untuk setiap nilai x dan y.
B. Fungsi distribusi marginal
Sejak {X } dan {Y} kejadian pasti
Maka (6.41a) (6.41a)Fungsi distribusi kumulatif FX(x) dan FY(y), yang diperoleh dari persamaan
(6.41a) dan (6.41b), masing masing disebut sebagai fungsi distribusi kumulatifmarginal dariXdan Y.
C.
Fungsi Gabungan Probabilitas Massa:(X, Y) menjadi variabel acak diskrit dua dimensi dan(X, Y) mengambil nilai
(xi, yj) untuk beberapa bilangan bulat idanjyang diizinkan. SehinggaPXY(xi, yj) =P(X = xi, Y = yj) (6.42)
Fungsi PXY(xi, yj) disebut fungsi gabungan probabilitas massa (joint pmf)dari (X, Y). Sifat dariPXY(xi, yj):1. 0 PXY (xi, yj) 1
2. XY (xi, yj) = 1
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
8/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
8
Fungsi gabungan distribusi kumulatif dari variabel acak diskrit dua dimensi
(X,Y) diperoleh dari
FXY(x, y) =
XY (xi, yj) (6.44)
D. Fungsi Marginal Probabilitas Massa:
Misalkan untuk setiap nilai tetap X = xi, variabel acak Y hanya bisamengambil nilai yang mungkin yaituyj(j = 1,2,...,n).
Maka px(xi) = XY (xi, yj) (6.45a)Begitu juga py(yj) = XY (xi, yj) (6.45b)
Fungsi probabilitas massa Px(xi) dan Py(yj), yang diperoleh dari persamaan(6.45a) dan (6.45b), masing masing disebut sebagai fungsi probabilitas massamarginal dari X dan Y. Jika X dan Y adalah variabel acak yang berdiri sendiri,
makaPXY(xi, yj) =PX(xi)PY(yj) (6.46)
E. Fungsi Gabungan Probabilitas Kepadatan
(X, Y) menjadi variabel acak dua dimensi terus - menerus dengan fungsidistribusi kumulatifFXY(x, y) dan diperoleh
fXY(x, y) = (6.47)
Fungsi fXY(x, y) disebut fungsi gabungan probabilitas kepadatan (joint pdf)
dari (X, Y). Dengan mengintegrasikan persamaan (6.47), sehingga didapatFXY(x, y) = XY(,)d d (6.48)
Sifat darifXY(x, y):
fXY(x, y) 0 (6.49a) XY(x, y) dx dy = 1 (6.49b)F. Fungsi Marginal Probabilitas Kepadatan:
Dari persamaan (6.41a), (6.41b)dan definisi persamaan (6.36), diperoleh
fX(x) = XY(x, y) dy (6.50a)fY(y) = XY(x, y) dx (6.50b)Fungsi probabilitas kepadatanfX(x) danfY(y), yang diperoleh dari persamaan
(6.50a) dan (6.50b), masingmasing disebut sebagai fungsi marginal probabilitaskepadatan dari Xdan Y. Jika Xdan Y adalah variabel acak yang berdiri sendiri,maka
fXY(x, y) =fX(x)fY(y) (6.51)
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
9/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
9
Fungsi probabilitas kepadatan yang tergantung dariXyang diperoleh dari {Y=y} adalah
fX|Y(x|y) =
fY(y) 0 (6.52)
Dimanafy(y) adalah fungsi marginal probabilitas kepadatan dari Y.
6.5. Fungsi Dari Variabel Acak
A. Variabel Acak g(X):
Mengingat variabel acak Xdan fungsig(x), dinyatakanY =g(X) (6.53)
Definisi variabel acak Yyang baru dengan sejumlah y tertentu, merupakanDysubset dariRx(kisaran X) sehinggag(x
) y. Kemudian
(Y y) = [g(x) y] = (X Dy)
Dimana (X Dy) terdiri dari semua hasil , sehingga titik X() Dy. Olehkarena itu
FY(y) =P(Y y) =P[g(x) y] =P(X Dy) (6.54)
JikaXterus menerus adalah sebuah variabel acak dengan fungsi probabilitaskepadatanfx(x), maka
FY(y) =
X(x) dx (6.55)
Penentuanfy(y) darifx(x):Saat X secara terus - menerus adalah variabel acak dengan fungsi probabilitaskepadatan fx(x). Jika transformasi y = g(x) adalah satu lawan satu maka akanmemiliki transformasi inverse
x =g-1(y)=h(y) (6.56)
Maka fungsi probabilitas kepadatan dari Ydiperoleh dari (persamaan 6.30)
fY(y) =fX(x) =fX[h(y)] (6.57)Perhatikan bahwa jika g(x) selalu meningkat secara terus menerus atau
fungsi menurun, maka transformasiy=g(x) satu lawan satu. Jika transformasiy=g(x) bukan satu lawan satu,fy(y) akan diperoleh sebagai berikut:Yang menunjukkan akar nyata dariy=g(x) oleh xk, yaitu:
y = g(x1) = ... = g(xk) = ...
Maka fY(y) = || (6.58)Dimanag(x) adalah turunan darig(x).
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
10/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
10
B. Satu fungsi Dari Dua Variabel Acak
Mengingat dua variabel acakXdan Yadalah fungsig(x, y), dinyatakanZ =g(X, Y) (6.59)
Adalah variabel acak yang baru. Dengan sejumlah z tertentu, dilambangkandenganDzyang merupakan wilayah darixyplane sehinggag(x, y) z. Kemudian
[Z z] = {g(X, Y) z} = {(X,Y) Dz}
Dimana{(X, Y) Dz} terdiri dari semua hasil sehingga titik {X(),Y()}adalahDz. Oleh karena itu
FZ(z) =P(Z z) =P{(X,Y) Dz} (6.60)
JikaXdan Yadalah variabel acak secara terus menerus dengan joint pdffxy(x, y), maka
FZ(z) = XY(x, y) dx dy (6.61)C. Dua Fungsi Dari DuaVariabel Acak:
Mengingat dua variabel acak X dan Y dan dua fungsi g(x, y) dan h(x, y),dinyatakan
Z =g(X, Y) W =h(X, Y) (6.62)
Definisi dua variabel acak baru Zdan W. Dengan z dan w yang diberikanmenunjukkanDzwsubset dariRXY[kisaran dari (X, Y)] sehinggag(x, y) zdan h(x,
y) w. Kemudian(Z z, W w) = [g(x,y) z, h(x, y) w] = {(X,Y) Dzw}
Dimana {(X, Y) Dzw} terdiri dari semua hasil sehingga titik {X(), Y()} Dzw. Oleh karena itu
FZW(z, w) =P(Z z, W w) =P{(X,Y) Dzw} (6.63)
Secara terusmenerus didapatFZW(z, w) = XY(x, y) dx dy (6.64)
Penentuanfzw(z, w) darifxy(x, y):
Xdan Ymenjadi dua variabel acak dengan joint pdffxy(x, y). Jika transformasiz =g(x, y) w = h(x, y) (6.65)
Adalah satu lawan satu dan memiliki transformasi inverse
x = q(z, w) y = r(z,w) (6.66)
Maka joint pdfZdan Wditetntukan olehFZW(z, w) =fXY(x, y) |J(x, y) |
-1 (6.67)
Dimanax= q(z, w),y= r(z, w) dan
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
11/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
11
J(x, y) = = (6.68)
Yang merupakan transformasi Jacobian (6.65)
6.6. Rata-Rata Statistika
A. Harapan:
Harapan (atau rata-rata) dari r.v. X, dilambangkan dengan E(X) atau x,didefinisikan oleh : X : Diskrit
(6.69)
X : Kontinyu
Harapan dari Y=g(X) ditentukan oleh : (Kasus Diskrit) (6.70) (Kasus Kontinyu)
HarapandariZ = g(X, Y) ditentukan oleh :
(Kasus Diskrit)
(6.71) (Kasus Kontinyu)
Perhatikan bahwa operator harapan adalah linear, yaitu, (6.72) (6.73)
Dimana c adalah konstanta (Pers.6.45)
B. Momen:
Momen nth dari r.v.X ditentukan oleh X : Diskrit (6.74) X : Kontinyu
C. Perbedaan:
Perbedaan dari r.v.X, dilambangkan dengan
atau Var(X), didefinisikan
sebagai
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
12/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
12
(6.75)Jadi,
X : Diskrit
(6.76) X : KontinyuAkar kuadrat positif dari varians, atau X, disebut standar deviasi dari X.
Varians atau standar deviasi adalah ukuran dari "sebaran" nilai X dari rata-rata
x. Dengan menggunakan persamaan (6.72) dan (6.73), pernyataan dalam pers.
(6.75) dapat disederhanakan menjadi :
(6.77)
D. Kofarian dan Koefisien Korelasi:
Momen (k, n)thdari dua dimensi r.v. (X, Y) didefinisikan oleh :
X : Diskrit (6.78) X : Kontinyu
(1,1)th momen bersama (X, Y), (6.79)Disebut korelasi dari X dan Y. Jika E(X Y) = 0, kemudian kita sebut
bahwa X dan Yadalah ortogonal. Kovarians dari X dan Y, didefinisikan olehCov(X, Y) atau , didefinisikan oleh (6.80)
Memperluas Pers. (6.80), kita peroleh
(6.81)
Jika Cov(X, Y)= 0, kemudian kita peroleh X and Y tidak berkorelasi.DariPers. (6.81) kita lihat bahwaX and Y tidak berkorelasi jika (6.82)
Perhatikan bahwa jika X and Y adalah independen, maka dapatmenunjukkan bahwa mereka tidak berkorelasi (Pers. 6.66). Namun, secara umum
hal ini tidak benar, faktanya bahwa X dan Y adalah tidak berkorelasi tidakmengisyaratkaan bahwa mereka independen (Pers.6.67). Koefisien korelasi,
dilambangkan dengan (X,Y)atau
, Hal ini didefinisikan sebagai
(6.83)
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
13/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
13
Ini bisa dilihat pada (Pers. 6.53)|| atau (6.84)6.7. Distribusi Khusus
Ada beberapa distribusi yang sangat sering muncul di masalah komunikasi.Ini termasuk distribusi binomial, distribusi Poisson, dan normal, atau distribusi
Gaussian
A. Distribusi Binomial:
A r.v. X disebut binomial r.v dengan parameter (n,p) jika pmf diperolehdengan () (6.85)Dimana
dan
Yang dikenal sebagai koefisien binomial. Cdf yang sesuai denganX yaitu () (6.86)Rata-rata dan varians dari binomial r.v.X yaitu (6.87)
Variabel binomial acak X adalah variabel acak diskrit bilangan bulat yangterkait dengan percobaan berulang. Melakukan beberapa percobaan dan hanya
mengamati apakah kejadian A terjadi. Jika A terjadi, kita menyebut percobaantersebut sukses;jika iya tidak terjadi (kejadian ), kita sebut ia gagal. Misalkan
probabilitas kejadian A adalah ; karena, .Kami mengulangi percobaan ini hingga n kali (percobaan) dengan asumsi sebagai
berikut :
1. adalah konstan pada percobaan selanjutnya2.
Percobaan ke- n adalah independen.
Sebuah titik dalam sampel yaitu berurutan nA's dan 's.Titik dengan
dan akan diberi probabilitas . JikaX adalah variabel acak yangdikaitkan dengan jumlah kejadian A pada npercobaan, kemudian nilai X adalahbilangan bulat
Dalam studi komunikasi, distribusi binomial berlaku untuk transmisi digital
ketika X berdiri sebagai jumlah kesalahan pesan pada n digit. (Lihat Persamaan.6.17 dan 6.41.)
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
14/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
14
B. Distribusi Poisson:
A r.v. X disebut sebagai Poisson r.v. dengan parameter ( jika pmfdiberikan oleh
(6.88)Cdf dariXyang sesuai adalah (6.89)Rata-rata dan Poisson r.v.X yaitu (Pers. 6.42) (6.90)
Distribusi Poisson muncul dalam beberapa masalah yang melibatkan
perhitungan, contoh, pemantauan jumlah panggilan telepon yang masuk di
tombol pusat pada berbagai interval waktu. Pada komunikasi digital,
distribusi Poisson berhubungan dengan masalah transmisi banyak bit data pada
saat tingkat kesalahan rendah. Distribusi binomial tidak cocok untuk
menangani masalah tersebut. Namun, jika nilai rata-rata dari tingkat kesalahan
tetap dan sama dengan , kita bisa memperkirakan distribusi binomial dengan
distribusi Poisson. (Lihat Persamaan 6.19 dan 6.20.)
C. Distribusi Normal (atau Gaussian):
A r.v.X disebut normal (atau Gaussian) r.v. jika pdf-nya berbentuk :
(6.91)CdfX yang sesuai adalah (6.92)
Integral ini tidak dapat dievaluasi dalam bentuk tertutup dan harus
dievaluasi secara numerik. Hal ini mudah menggunakan fungsi Q (z) yangdidefinisikan sebagai
(6.93)
Persamaan.(6.92) bisa ditulis sebagai (6.94)Fungsi Q (z) dikenal sebagai fungsi kesalahan pelengkap atau
penyederhanaan fungsi Q. Fungsi Q(z) ditabulasi pada tabel C-I (App.C).Gambar 6-3 menggambarkan distribusi normal. Rata-rata dan varian X yaitu(Persamaan. 6.43)
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
15/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
15
Gambar 6-3 Distribusi Normal (6,95)Kami akan menggunakan notasi N( untuk menunjukkan bahwa X
adalah normal dengan nilai mean
dan varian
. Khususnya , X = N (0;1);
yaitu, nilai mean X nol dan satuan varian difinisikan sebagai standar normal r.v.Distribsi normal (gaussian) tugas yang bersignifikan dalam ilmu alam.
Memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam. Alasan lain distribusi normal
adalah teorema limit pusat (central- limit theorem). Teorema ini menyatakan
bahwa suatu variabel disebut variabel acak apabila varibel tersbut menghasilkan
nilai yang selelu berbeda pada setiap peristiwa (trial) dalam kondisi tertentu
dapaat didekati dengan distribusi normal.
PENYELESAIAN MASALAH
Probablity
6.1.
Gunakan axiom probabilitas, Buktikan persamaan (6,4)
S = and Maka penggunaan axiom 1 dan 3 menghasilkan
P(S) = 1 = P (A) + PA ()Jadi P() = 1P (A)
6.2. Buktikan persamaan (6.5)
A= and Jadi, dari axiom 3,P(A) = = P(A) + P
Dan kami menyimpulkan 6.3. Buktikan persamaan (6.6)
Diperoleh A B. kemudian dari diagram venn pada gambar.6-4 dapat kitalihat bahwa
and
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
16/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
16
Maka dari axiom 3
Karena dari axioms 1,
.
Gambar 6-4
6.4. Buktikan persamaan (6.8)
Dari diagram veen pada gambar.6-5, masing masing dan B dapadinyatakan sebagai berikut and Jadi, dari axiom 3,
(6.96)dan (6.97)
Dari persamaan (6.97) kita dapatkan
(6.98)Subtitusi persamaan (6.98) ke persamaan (6.96), kita memperoleh
Gambar 6-5
6.5. Diketahui P(A) = 0.9 dan P(B) = 0,8 Tunjukkan bahwa .Dari persamaan (6.8) kita dapatkan
Dari persamaan (6.9) 0 1. karenanya,
Dengan mensubstitusi nilai yang diberikan dari P (A) dan P (B)
dipersamaan (6.99), kia dapatkan
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
17/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
17
Persamaan (6.99) dikenal sebagai ketidaksetaraan Bonferroni
6.6. Tunjukkan bahwa
(6.100)Dari diagram venn pada gambar.6-6, kita melihat bahwa and (6.101)Jadi, dengan axiom 3 kita punya
Gambar 6-6
6.7. Pertimbangkan sumber telegraph menghasilkan dua simbol: dot dan dash,kami mengamati bahwa titik-titik mungkin terjadi sebagai tanda hubung.
Cari probabilitas dotdan dashini terjadi.Dari pengamatan, kita harus
Kemudian dari persamaan (6.12)
Jadi 6.8. Tunjukkan bahwa P(A|B) didefinisikan oleh persamaan (6.16) memenuhi
tiga axiom probabilitas, yaitu
P (A|B)
(b) P(S|B) = 1 and (c)
|
| |
(a)
Dari persamaan 1, Maka,|(b) Sebab kita dapatkan| (c) Sekarang
( Oleh karena itu, dari axiom 3
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
18/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
18
| | |6.9. Carilah P(A|B) if (a)
, (b)
dan (c)
(b) Jika then Didapat,
Gambar 6-7
P(A\B) = = = 0
(c) Jika A B , lalu AB =A dan
P(A\B) = =
(d) Jika B A, lalu AB = B dan
P(A/B) = = = 1
6.10.
Tunjukkan jika P(A\B) > P (A), lalu P(B\A) > P (B).Jika P(A/B) = >P(A), lalu P(A B) > P(A)P(B).
P(A/B) = > = P(B)
6.11.biarkan A dan B ada dalam contoh ruang S. Menunjukkan jika A dan B
berdiri sendiri, jadi (a) A dan B dan (b) dan B.
(a) dari persamaan (6.100) (kemungkinan 6.6). kita memperoleh
P(A) = P (A B) + P (A B)Sejak A dan B berdiri sendiri , menggunakan persamaan. (6.21) dan (6.4),
kita memperoleh...
P (A B) = P(A)-P (A B) = P(A) - P (A) P (B)= P(A) [1- P (B)] = P (A) P (B)
Kemudian, Dengan persamaan (6.21). A dan B berdiri sendiri.
(b) menukar A dan B dalam persamaan (6.102), kita memperoleh
P ( B ) = P(B)-P ()
Yang menandaibahwa dan B berdiri sendiri.
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
19/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
19
6.12.Letakkan A dan B yang di gambarkan dalam contoh ruang S. Menunjukkan
bahwa antara P(A) and P(B) keduanya nonzero (bernilai), dan meski A dan
B tidak saling berdiri antara satu sama lain dan berdiri sendiri.
Biarkan A dan B berbeda satu sama lain dan P(A)0,lalu P (A B) =
= 0 dan P(A)P(B)0, maka/ oleh karena itu
P (A B) P(A)P(B)Maka, A dan B tidak berdiri sendiri.
6.13.Buktikan persamaan (6.24).
Sejak B S= B {dan menggunakan persamaan (6.23) } , kita memiliki
B= B S = B (
)
= (B ) (B ) (B )Sekarang peristiwa B ^ A (k=1,2,.....n) sendirian satu sama lain, yang dapatdilihat dari diagram venn pada gbr. 6-8. Lalu dengan aksioma 3 dari
kemungkinan pengertian dan persamaan (6.18), kita memperoleh
P(B)= P ( B S) = =
Gambar. 6-8
6.14.Dalam sebuah sistem komunikasi biner (gbr. 6-9), a 0 atau 1 bisa
memancarkan. Karena kegaduhan saluran. A 0 bisa diterima sebagai a1 danbentuk buruk (vice versa). biarkan M0 dan M1 menunjukkan kejadian saat
menerima 0 dan 1, berturut-turut. Biarkan P(m) = 0,5, P(r1|m0) = P = 0.1,
dan P(r0|m1) = q = 0.2
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
20/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
20
Gambar. 6-9 sistem komunikasi biner
(a) Temukan P(r0) dan P (r1).
(b) Jika a0 telah diterima, kemungkinan apa yg telah dikirim a0 ?
(c) Jika a1 telah diterima, kemungkinan apa yang telah dikirim a1?
(d) Perhitungkan kemungkinan kesalahan dari Pe ?
(e)
Perhitungkan kemungkinan dari sinyal pemancar yg tebaca dengan benarpada oenerima.
(a) Dari gambar. 6-9, kita memiliki
P(M1)= 1- P(m0) = 10.5 = 0.5P(r0\M0)= 1- P(r1\m0) = 1p = 1 - 0.1 = 0.9P(r0\M0)= 1- P(r1\m0) = 1p = 1 - 0.2 = 0.8
Dengan menggunakan persamaan (6.24), kita memperoleh
P(r0)=P(r0|m0)P(m0)+P(r0|m1)P(m1)= 0.9(0.5)+ 0.2(0.5)= 0.55
P(r1)=P(r1|m0)P(m0)+P(r1|m1)P(m1)= 0.1(0.5)+ 0.8(0.5)= 0.45
(b)
Dengan menggunakan cara Baye (6.19), kita memiliki
P(m0|r0) =| = = 0.818
(c)
Cara yang sama
P(m1|r1) =| = = 0.889
(d) Pe=P(r1|m0)P(m0)+P(r0|m1)P(m1)= 0.1(0.5)+ 0.2(0.5)= 0.15
(e)
Kemungkinan bahwa sinyal pemancar yang terbaca dengan bengan padapenerima adalah
Pe=P(r0|m0)P(m0)+P(r1|m1)P(m1)= 0.9(0.5)+ 0.8(0.5)= 0.85
Catatan bahwakemungkinan kesalahan pada Pe adalah
Pe=1Pe = 10.85 = 0.15
6.15.Pertimbangkan sistem komunikasi biner pada gbr. 6-9 dengan P(ro|mo)=0.9,
P(r1|m1)=0.6. Untuk menentukan pesan mana yang terkirim dari respon yg
diamati r0 atau r1, kita menggunakan standar dibawah:
Jika r0 diterima:
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
21/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
21
Menentukan M0 jika p(m0|r0) > P(m1|r0)
Menentukan M1 jika p(m1|r0) > P(m0|r0)
Jika r1 diterima:
Menentukan M0 jika P(m0|r1) > P(m1|r1)
Menentukan M1 jika p (m1|r1)> p(m0|r1)
Standar tersebut dikenal sebagai Maximum A Posteriori Probability (MAP)
standar tujuan (lihat kemungkinan 9.1)
(a) Temukan jarak dari P(M0) dalam standar ketentuan MAP saat kita
menentukan M0 jika r0 diterima
(b) Temukan jarak dari P(M0) dalam standar ketentuan MAP saat kita
menentukan M1 jika r1 diterima
(c) Temukan jarak dari P(M0) dalam standar ketentuan MAP saat kita
menentukan M0 tanpa mempersoalkan yg diterima(d) Temukan jarak dari P(M0) dalam standar ketentuan MAP saat kita
menentukan M1 tanpa mempersoalkan yg diterima.
(a) Sejak P(r1)= 1P (r0|m0)danP(r0|m1)= 1P(r1|m1) kita memilikiP (r0|m0)= 0.9 P (r1|m0)= 0.1 P (r1|m1)= 0.6 P (r0|m1)= 0.4
Dengan persamaan (6.24), kita memperoleh
P(r0)=P(r0|m0)P(m0)+P(r0|m1)P(m1)
= 0.9 P(m0)+ 0.4[1- P(m0)]= 0.5 P(m0) + 0.4
Menggunakan cara Baye (6.19), kita memiliki
| | | |
Sekarang dengan aturan pengambilan MAP, kita menentukan jika didapatkan jika
|>
|,yaitu
Atau
Jadi jangkauan kriteria MAP yang bahwa kita yang menentukan if
adalah
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
22/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
22
(b) Demikian juga, kita memiliki | |
| | Sekarang dengan aturan pengambilan MAP, kita menentukan jika didapatkan jika |> |, yaitu atau
Jadi jangkauan kriteria MAP yang bahwa kita yang menentukan if adalah
(c)
dari hasil (b) kita melihat bahwa jangkauan kita yang menentukan
if
adalah
Dengan mengkombinasikan dengan hasil (a), jangkauan kita yangmenentukan yang yang didapatkan oleh
(d) Demikian pula, dari hasil (a) kita melihat bahwa jangkauan kita yangmenentukanjika adalah
Dengan mengkombinasikan dengan hasil (b), jangkauan kita yangmenentukan yang yang didapatkan oleh
6.16.Mempertimbangkan untuk percobaan yang terdiri dari enam pengamatan
posisi pulse berturut-turut pada jalur komunikasi. Misalkan dimasing-masing enam posisipulsemungkin bisa adapulsepositif danpulse negatif,atau tidak ada pulse. Misalkan juga bahwa eksperimen individu yang
menentukan jenispulsepada setiap posisi yang mungkin adalah independen.
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
23/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
23
Mari kita menyumbangkan hal pulse positif oleh , bahwa ituadalah negatif , dan itu adalah nol , mengasumsi bahwa
(a) Carilah probabilitas bahwa semuapulsepositif.(b) Cari probabilitas dari tiga pulsa pertama bernilai positif, dua pulsa
selanjutnya bernilai nol, dan yang terakhir bernilai negatif.
(a) Jika percobaan yang dilakukan bersifat independent, dari persamaan (6.22)
maka probabilitas bahwa semua pulsa yang dihasilkan bernilai positif
adalah;
(b)
Berdasarkan asusmsi yang yang diberikan, bahwa
Dengan demikian, probabilitas dari tiga pulsa pertama bernilai positif, dua
pulsa selanjutnya bernilai nol, dan yang terakhir bernilai negatif adalah
sebagai berikut.
Random Variables
6.17.Sebuah sumber biner menghasilkan angka 0 dan 1 secara acak dengan
probabilitas masing-masing 0,6 dan 0,4.(a) Berapakah probabilitas bahwa angka kedua bernilai 1 dan angka ke tiga
bernilai 0 akan terjadi dalam urutan lima-digit?
(b) Berapakah probabilitas setidaknya terdapat tiga angka bernilai 1 akan terjadi
dalam urutan lima-digit?
(a) Misalkan X variabel acak yang menunjukkan jumlah nilai 1 yang dihasilkan
dalam urutan lima digit. Karena hanya ada dua hasil yang mungkin (1 atau
0) dan probabilitas menghasilkan nilai 1 adalah konstan yang terdapat pada
lima-digit angka, jelas bahwa X memiliki distribusi binomial yang
dijelaskan oleh Persamaan. (6.85) dengan n = 5 dan k = 2. Maka
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
24/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
24
probabilitas bahwa angka kedua bernilai 1 dan angka ke tiga bernilai 0 akan
terjadi dalam urutan lima-digit adalah.
(b) Probabilitas bahwa setidaknya terdapat tiga angka bernilai 1 akan terjadi
dalam urutan lima-digit adalah
Dimana, () Maka,
6.18.
Misalkan X menjadi random variabel binomial dengan parameter (n.p).tunjukkan bahwa px(k) dihasilkan dari Persamaan (6.33c).
Ingat bahawa persamaan ekspansi binomial dihasilkan oleh
Dengan demikian, dari Persamaan (6.85),
6.19.Tunjukkan bahwa ketika n sangat besar (n > k) dan p sangat kecil (p < 1),
distribusi binomial [Persamaan (6.85)] dapat menggunakan pendekatan
distribusi poisson berikut [Persamaan (6.88)]:
Dari Persamaan (6.85)
Ketika n > k dan p < 1, maka
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
25/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
25
Substitusikan dengan Persamaan (6.104), diperoleh
6.20.Sebuah saluran transmisi dengan noise memiliki probabilitas eror (pe) per-
digit = 0,01.
(a) Hitunglah probabilitas jumlah eror lebih dari satu pada 10 digit yang
diterima.
(b) Ulangi (a), menggunakan pendekatan poisson, Persamaan (6.103)
(a) Misalkan X merupakan variabel acak binomial yang menunjukkan jumlah
eror dalam 10 digit yang diterima. kemudian dengan menggunakan
Persamaan. (6.85), diperoleh
(b) Menggunakan Persamaan (6.103) dengan npe = 10(0.01) = 0.1, diperoleh
6.21.
Misalkan X merupakan variabel acak Poisson dengan sebuah parameter,tunjukkan bahwa px(k) yang dihasilkan dari Persamaan (6.88) memenuhi
Persamaan (6.33c).
Dari persamaan (6.88),
6.22.Verifikasi Persamaan (6.35).
Dari Persamaan (6.6) dan (6.28), didapat Untuk setiap c > 0. Sebagai fx (x) secara kontinu, pada sisi kanan nilai 0
sebagai = 0. Jadi, P (X = x) = 0.6.23.Pdf dari variabel acak X yang diberikan oleh:
, Dimana k adalah sebuah konstanta.
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
26/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
26
(a) Tentukan nilai k.
(b) Misalnya a = -1 dan b = 2. Hitung P(|X| < c ) jika c = 0.5.
(a) Berdasarkan properti 1 dari fx (x) [Persamaan. (6.37a)], k harus konstan
positif. Sedangkan properti 2 dari fx (x) [Persamaan. (6.37b)]
Dimana didapat k = 1/(b-a). Maka,
Sebuah variabel acak X memiliki pdf variabel seragam.
(b) Dengan a = -1 dan b = 2 didapat
Dari Persamaan (6.37c)
|| 6.24.Pdf dari X didapat dari
Dimana a adalah sebuah konstanta positif. Tentukan konstanta k. Dengan
nilai 1 dari fx(x) [Persamaan (6.37a)], dengan k > 0 dari nilai fx(x)
[Persamaan (6.37b)]
Diperoleh k = a. Maka,
Sebuah variabel acak X dengan pdf yang diberikan oleh Persamaan. (6,106)
disebut variabel acak eksponensial dengan parameter a.
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
27/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
27
6.25.All Semua perangkat manufaktur dan mesin gagal bekerja cepat atau
lambat. Jika tingkat kegagalan konstan, waktu untuk kegagalan T
dimodelkan sebagai variabel acak eksponensial. Misalkan kelas tertentu dari
chip memori komputer telah ditemukan memiliki hukum kegagalan
eksponensial dari Persamaan. (6,106) per-jam.
(a) Tunjukkan pengukuran bahwa probabilitas waktu untuk kegagalan melebihi
104 jam (h) untuk chip di kelas diberikan adalah e-1(0.368). Hitunglah nilaiparameter untuk kasus ini.
(b) Menggunakan nilai parameter yang ditentukan pada bagian (a), hitunglah
waktu t0 sehingga probabilitas 0,05 bahwa waktu untuk kegagalan kurang
dari t0.
(a)
Gunakan Persamaan (6.38) dan (6.106), kita melihat bahwa fungsi distribusi
dari T didapat dari
Sekarang
( ()) (())
Maka didapatlah a = 10-4.
(b) Didinginkan
Karena, () Atau ( )dari mana kita mendapatkan
6.26.Pada bersama X dan Y diberikan oleh
Yang mana a dan b adalah konstanta posiif. Menetukan nilai konstan K .
nilai K di entukan oleh Eq (6,49b), yaitu
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
28/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
28
Karenanya K=ab
6.27.Dari mana kita mendapatkan
( ) (a) menemukan marjinal pdf (b) yang X dan Y independen?
(a) oleh eqs . (6.50a) dan (6.50) kita memiiliki
( )
Karena simetris terhadap x dan y interchanging x dan y dapatdiperoleh
(b) dari dapat di simpulkan bahwa x dan y independen6.28.Variabel acak x dan y dikatakan sama atau normal jika variabel acak dapat
diperoleh seperti
{
}(a)
menemukan pdf marjinal x dan y
(b)
menunjukkan bahwa x dan y independen ketika (a)
oleh Eq (6.50a) pdf marjinal x adalah
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
29/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
29
Dengan menyelesaikan tahapan tahapan di exsponen yang Eq (6.107) maka
kita memperoleh
* + { }
* +
{ } Membandingkan integran dengan Eq (6.91) kita melihat bahwa integran
adalah pdf normal dengan berarti
Dan varians
Dengan demikian, integral harus kesatuan, dan dapat diperoleh
Dengan cara yang sama, pdf marjinal y adalah
(b) Ketika maka mengurangi { }
Oleh karena itu,Xdan Y independen
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
30/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
30
6.29.jika X adalah kemudian menunjukkan bahwa adalah normal standart rayani r.v.; yaitu N(o;1).
Cdf of Z adalah
Dengan perubahan variabel kita memperoleh
dan
6.30.Memverifikasi Eq (6.57)
Berasumsi bahwa adalah fungsi monotonically meningkat terus-menerus [gambar 6-10(a)] maka dari itu invers yang menujukkan oleh
kemudian
dan
Menerapkan aturan rantai diferensiasi ungkapan ini mengkasilkan
Yang dapat di tulis sebagai
Jika monotonically menurun [gambar. 6-10(b)], kemudian
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
31/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
31
Menggabungkan Esq,(6.111) dan (6.113) kami memperoleh
Yang masih berlaku untuk terus menerus (peningkatan atau penurunan)
fungsi y=g(x).
6.31.biarkan y = 2 x+3 jika x variabel acak merata atas [-1,2],menemukan taDari Eq (6.105) (prob.6.23), kita memiliki
Persamaan y=g(x)=2x+3 memiliki solusi tunggal x 1 =(y=3)/2, kisaran y
adalah [1,7], dan g(x)=2
Dengan demikian, dan oleh Eq (6,58)
6.32.Jika Y=
Buktikan bahwa
maka
.Persamaan mempunyai solusi tunggal dan Batas y adalah seperti persamaan (6.58) || (6.114)
Karena lihat persamaan di (6.91)
* + (6.115)
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
32/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
32
Seperti, persamaan di (6.114)
||
|| * + (6.116)Yang mana pada pdf dari jika maka
6.33.Buktikan Temukan Jika Jika dan persamaan tidak punya solusi yang pasti, maka
Jika kemudian punya dua solusi/penyelesaian Sekarang, dan sepeti persamaan di (6.58)
[( ) ()] (6.117)Karena dari hasil (6.91), kita memiliki
(6.118)Laluadalah sebuah fungsi lengkap dari hasil persamaan (6.117), kitamemiliki
() (6.119)6.34.Masukan pada sebuah noisi saluran komunikasi adalah variabel acak biner
X dengan
Keluaran dari saluran
diberikan
dimana
adalah pengenalan noise tambahan oleh saluran.
Asumsikan bahwa X dan Y adalah independent dan tentukanfungsi ZGunakan persamaan (6.24) dan (6.26), kita memiliki
| | Karena
| | Seperti,
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
33/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
33
| | Seperti Karena
Dan
* + (6.120)6.35.Transformasi sebenarnya
(6.121)Tentukan fungsi kepadatan dengan syarat Jika maka sistem ini
Hanya memiliki satu solusi:
Dimana Seperti [Persamaan (6.68)]
Seperti persamaan (6.67) hasilnya
|| (6.122)6.36.Jika Cari pdf dari adalah variabel acak
independent.
Kami berikan sebuah bantuan variabel acak W, didefinisikan dengan
Dengan cara memiliki solusi tunggal :
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
34/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
34
Karena
Persamaan (6.67) hasilnya [atau dengan aturan dan pada persamaan (6.122)
(6.123)Seperti, persamaan di , didapatkan
(6.124)
Jikadan adalah independent, maka (6.125)Yang mana konvulusi dari fungsi ini
6.37.Andai X dan Y adalah variabel acak normal. Tentukan fungsi kepadatan Z =
X + Y.
Fungsi kepadatan dari X dan Y adalah
Kemudian, lihat persamaan di (6.125), kita memiliki
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
35/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
35
Buktikan Kemudian
Karena integrasi dari integral ini satu kesatuan, dan kita dapatkan (6.126)Yang mana ada di pdf dari ( )Dengan demikian, Z, adalah variabel acak yang normal dengan arti nol dan
varian6.38.
Tranformasi sebenarnya (6.127)Cari dalam persamaan Kita asumsikan bahwa Dengan asumsi sistem ini
Mempunyai solusi tunggal:
Seperti [persamaan di (6.68)]
Pers. (6.67) Hasil
6.39.Tegangan V adalah fungsi dari waktu t dan diperoleh dari
Yang mana adalah konstanta frukuensi angular dan X = Y = N(0;2) danmerupakan fariabel bebas.
(a) Rumus V(t) dapat dilihat pada persamaan berikut
(b)
Diketahui fungsi densitas dari R dan , adalah berdiri sendiri
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
36/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
36
(a)
Dimana
(b)
Jika X = Y = N(0;2) dan berdiri sendiri, dari Pers. (6.51) dan (6.91)
Demikian, penggunaan hasil dari analisa 6.38 [Pers. (6.128)], kita
mempunyai
Menggunakan pers. (6.50a) dan (6.50b) terkadang
Dan
Karena, R dan berdiri sendiriCatatan bahwa 0 adalah bentuk variabel acak, dan R di sebut a bagian
variabel acak.
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
37/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
37
Rata-Rata Statistik
6.40.Variabel acak X ambil nilai 0 dan 1 dengan probabilitas dan = 1 ,berturut-turut menemukan arti dan fariasi dari X.
Memakai Pers.(6.69) dan (6.70) kita miliki
Dari pers. (6.77)
6.41.
Data biner dipancarkan di atas saluran komunikasi noise di dalam sebuahblok dari 16 digit biner. Peluang bhawa penerimaan digit adalah dalam
kondisi error antara saluran noise 0.01. Asumsi bahwa kesalahan terjadi
dalam digit bervariasi yang terletak dalam sebuah blok adalah bebas.
(a)
Carilah sebuah rata-rata kesalahan per blok
(b)
Carilah variasi dari angka kesalahan per blok
(c) Carilah peluang bahwa angka kesalahan per blok paling besar dari atau
sama untuk 4
(a)
Biarkan X menjadi variabel bebas yang mewakili angka kesalahan per blok.Selanjutnya X memiliki sebuah distribusi binomial dengan n= 16 dan p=
0.01. dari persamaan (6,87) angka rata-rata kesalahan per blok adalah
E(X) = np = (16)(0.01) = 0.16
(b) Dari pers. (6.87)
2X= np(1p) = (16)(0.01)(0.99) = 0.158
(c)
P(X 4) = 1- P(X 3)
dengan menggunakan pers. (6.86), kita memiliki
P(X 3) ( ) = 0.986karena itu, P(X 4) = 1 - 0.986 = 0.014
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
38/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
38
6.42.Verifikasi pers. (6.90)
Dari pers. (6.69)
X= E [X] =
dengan cara yang sama,
E[X(X-1)] = =
Atau E [X2X] = E [X2]E[X] = E [X2] = 2
selanjutnya, E[X2] = 2 + setelah menggunakan pers. (6.77) diperoleh
2X= E[X2](E[X])2= (2 + ) - 2 =
6.43.Verifikasi pers. (6.95)
Substitusi pers. (6.91) ke dalam pers. (6.69), kita memiliki
X= E[X] =
Dengan mengganti variabel dari integrasi pada y = (x - ) / , kita memiliki
E [X] =
=
Integral pertama adalah nol, semenjak itu integrasi tersebut adalah sebuah
fungsi ganjil. Integrasi kedua adalah persatuan, oleh karena itu integrasi
tersebut adalah pdf dari N (0;1). Jadi,
X = E[X] =
Dari sifat yang kedua dari fx(x) [pers. (6.37b)], kita memiliki
Turunan dengan respek untuk , kita memperoleh
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
39/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
39
Perkalian dua sisi dari 2/
, kita memiliki
6.44.Biarkan X= N(0;2). Oleh karena itu
Mn= E[Xn] = {
X = N(0;2)fX(x) =
Momen ganjil m2k+1 dari X adalah 0 karena fX(-x) = . fX(-x)Turunan dari
identitas
k waktu dengan respek untuk ketika n= 2k, kita mendapatkan
Pengaturan = 1/(22) , kita memiliki
M2k = E[X2k] =
= 13 (2k1)2k
6.45.Verifikasi persamaan (6.72)
Biarkan fXY (x,y) menjadi fungsi kelipatan dari X dan Y. Selanjutnya
menggunakan pers. (6.71), kita memiliki
E[X+ Y] = =
Dengan menggunakan Pers. (6.50 a) dan (6.69), didapatkan
[ ]
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
40/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
40
Dengan cara yang sama, didapatkan
Dengan demikian 6.46.Jika X dan Y independen, ditunjukkan bahwa (6.140)
Dan (6.141)
Jika X dan Y independen, maka dengan menggunakan Pers. (6.51) dan
(6.71), didapatkan
Dengan cara yang sama
6.47.Tentukan konvarian X dan Y jika (a) X dan Y independen ( maksudnya Xdan Y independen) dan (b) Y berelasi ke X dengan
(a) Jika X dan Y independen, maka dengan menggunakan Pers. (6.81) dan
(6.140)
(6.142)
(b)
Dengan demikian (6.143)
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
41/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
41
Catatan hasilnya yaitu (a) keadaan jika X dan Y independen, maka X dan Y
tidak berkorelasi, tetapi konversnya tidak selalu benar (lihat kemungkinan
6.49)
6.48.Misalkan
, dimana a dan b sebarang konstant. Tunjukkan
bahwa jika X dan Y independen, maka
(6.144)Dengan menggunakan Pers. (6.72) dan (6.73)
Dengan menggunakan Pers. (6.75)
(6.145)
Karena X dan Y independen, dengan menggunakan Pers. (6.141)
Oleh karena itu 6.49.Misalkan X dan Y didefinisikan dengan
and Dimana variabel acak atas distribusi uniform
(a) Tunjukkan bahwa X dan Y tidak berkorelasi
(b)
Tunjukkan bahwa X dan Y tidak independen
(a) Dari Pers. (6.105)
Dengan menggunakan Pers. (6.69) dan (6.70), didapatkan
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
42/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
42
Dengan cara yang sama
Dan Dengan demikian, Dari Pers. (6.82), X dan Y tidak berkorelasi
(b)
Oleh karena itu Jika X dan Y independen, maka dengan menggunakan Pers. (6.141)
dedapatkan . Sebab itu X dan Y tidak independen.6.50.Jika
untuk
maka ditunjukkan bahwa untuk sebarang
(6.146)Dimana . Merupakan ketidaksamaan MarkovDari pers. (6.37c) Karena for ,
Oleh karena itu 6.51.Untuk sebarang ,
|| (6.147)Dimana dan adalah varian X. Ini merupakan ketidaksamaanChebyshev.
Dari pers (6.37c)
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
43/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
43
| | ||
Dengan menggunakan persamaan (6.75) |||| Oleh karena itu, || Atau ||
6.52.Misalkan X dan Y variabel random bilangan real dengan moment kedua
bilangan (finite). Tunjukkan bahwa (6.148)Ini merupakan ketidaksamaan Cauchy-Schwarz.
Karena rata-rata nilai kuadrat variabel acak tidak pernah negatif,
Untuk sebarang nilai
perluasannya, didapatkan
Pilih nilai untuk sisi kiri ketidaksamaan.
Yang mana akan menghasilkan pertidaksamaan berikut :
atau
6.53.Pembuktian dari persamaan 6.84.
Dari pertidaksamaan Cauchy-Schwarz pada persamaan 6.148, didapatkan :
[() ( )] Atau
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
44/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
44
Kemudian Dari persamaan diatas diketahui bahwa :
|| Contoh Permasalahan6.54.Pada sebuah keadaan yang meliputi A, B, dan C, menunjukka bahwa :
Petunjuk : penulisan kemudian terapkan pada
persamaan 6.8.
6.55.Diketahui P(A)=0.9, P(B)=0.8, P(A B)=0.75Ditanya :
a) b)
c)
Jawab : a) 0.95 b) 0.15 c) 0.05
6.56.Diketahui bahwa A dan B berdiri sendiri, maka
Petunjuk : gunakan persamaan 6.102 dan hubungan 6.57.Misal A dan B didefinisikan sebagai himpunan S. maka jika P(A)danP(B)
tidak ama dengan nol, berarti A dan B tidak bisa dikatakan mutuallyexclusive (himpunan yang saling lepas) dan independent (himpunan yang
saling bebas)
Petunjuk : buktikan bahwa kondisi 6.21 tidak akan beratahan selamanya
6.58.Sebuah computer tidak bisa menyala jika komponen A dan B tidak bekerja.
Probabilitas komponen A tidak bekerja(rusak) adalah 0.01, dan probabilitas
komponen B tidak bekerja(rusak) adalah 0.005. Namun probabilitas
kerusakan komponen B bisa meningkat ketika dipengaruhi oleh 3 faktor
dimana keadaan komponen A sudah rusak terlebih dahulu
a) Menghitung probabilitas bahwa computer tidak akan bekerja
b) Cari probabilitas komponen A rusak, jika komponen B telah rusak
terlebih dahulu
Jawab : a) 0.00015 b) 0.03
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
45/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
45
6.59.Sebuah system binari PCM mentransmisi dua binary X = +1, X = -1 dengan
probabilitas yang sama. Namun karena adanya gangguan pada saluran,
penerima membuat pesan error. Jadi akibat dari penyimpangan saluran,
penerima bisa kehilangan kekuatan sinyal yang diperlukan untuk menetukan
kondisi. Dengan demikian ada tiga keadaan yang memungkinkan : Y = +1,
Y = 0 dan Y= -1 dimana Y =0 sesuai dengan loss of signal. Asumsinya | | dan | | (a) Cari probabilitas and (b) Cari probabilitas | AND |
Jawaban:
(a)
(b)
| |
6.60.Misalkan 10000 digits yang dikirim memiliki probabiltas error sebanyak . /digits. Cari probabilitas dimana tidak akan ada kesalahanlebih dari 2 digits
Jawab : 0,9856
6.61.Tampilkan persamaan 6.91 mendefinisikan sebuah probabilitas yang benar.
Kususnya menunjukan bahwa persamaan ini
. Ubah variable dan tampilkan
Yang dapt dibuktikan dengan memasukan nilai I2 dengan menggunkan
kordinat polar.
6.62.Sebuah resisitor menghasilkan tegangan Vn (t). At t = t1, tingkat padagangguan X = Vn (t1). Diketahui sebagai variabel acak gauss dengandensitas.
Hitung probabilitas ketika || untuk k = 1, 2, 3Jawaban :
|| || ||
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
46/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
46
6.63.Perhitungkan transformasi Y = 1/ X(a) Caridengan kondisi(b) Jika
Cari
Jawab :
(a) (b)
Diketahui bahwa X dan Y adalah variabel acak cauchy
6.64.Misal X dan Y adalah 2 variabel acak independen dengan :
Cari fungsi density dariZ = X + YJawaban :
6.65.Misal X adalah sebuah variable acak seragam yang di distribusikan
tterhadap [a,b]. cari rata-rata dan selisih dari X.
Jawab : x = , 6.66.Misal (X,Y) adalah bivariate r.v. jika X dan Y adalah bilangan yang dapat
berdiri sendiri, buktikan bahwa X dan Y tidak berhubungan.
Petunujuk : gunakan persamaan (6.78) dan (6.51)
6.67.Misal (X,Y) adalah bivariate r.v. sesuai dengan pdf
Buktikan bahwa X dan Y tidak berdiri sendiri atau berhubungan
Petunjuk : gunakan persamaan (6.50) dan (6.51)
6.68.Bahwasanya X adalah variable acak yakni x dan x2, cari transformasilinear dari Y = aX + b ketika x= 0 dan x2= 1Jawab : ,
6.69.Buktikan bahwa variable acak dari Z and W dari
,
-
7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf
47/47
PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK
Dimana a adalah bilangan real. Determinan a ketika Z dan W adalah
orthogonal
Jawab :
6.70.Turunan fungsi X adalah pembuktian dari
[] Dimana
adalah bilangan real, kemudian
, dimana |
a)
Cari turunan fungsi X yang sama pada (a,b)
b) Gunakan hasil a untuk mencari E[X] , E[X2], DAN E[X3]
Jawab:
a)
b) 6.71.Buktikan jika X dan Y adalah 0 sama halnya dengan variabel acak, lalu
Petunjuk : gunakan turunan function X dan Y yang didapat dari
[]