sistemlerin matematik modeli...
TRANSCRIPT
![Page 1: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/1.jpg)
Prof. Neil A.Duffie
University of Wisconsin-Madison
ÇEVİRİ
Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU
2012
Fiziksel Sistemlerin
Matematik Modeli
![Page 2: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/2.jpg)
Matematik Modele Olan İhtiyaç
2
Karmaşık denetim sistemlerini anlamak için
sayısal matematik model gereklidir.
Bir çok fiziksel sistemlerin modellenmesinde esas
yöntemdir:
Mekanik
Elektrik
Hidrolik
Biyolojik
![Page 3: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/3.jpg)
Modelleme Adımları
3
Fiziksel sistemi ve elemanlarını anlamak
Basitleştirmek için uygun kabuller yapmak
Matematik modeli formüle etmek için temel
prensipler kullanmak
Modelini tanımlayan cebirsel veya diferansiyel
denklemleri yazmak.
Modelin geçerliliğini test etmek.
![Page 4: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/4.jpg)
Modeli ne amaçla kullanacağız?
4
Diferansiyel veya cebirsel denklemlerin çözülmesi
sistem tepkisinin, performans analizinin ve
tasarımının yapılmasına imkan verir.
Modele Laplace dönüşümlerinin uygulanması;
uygun yönlendirmelere ve dinamik analize imkan
verir.
Sistemler ve elemanları için giriş-çıkış ilişkileri
alınabilir.
Denetleyici modelleri donanıma uygun şekilde
tasarlanabilecektir.
![Page 5: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/5.jpg)
Mekanik Yay-Kütle Sistemi
5
Kütlesi M olan bir cismin sürtünmesiz ortamda sabit bir
duvara, katsayısı k olan bir yay ile bağlandığını kabul
edelim:
Kütlenin zamana bağlı konum pozisyonu için bir
modele ihtiyaç vardır.
![Page 6: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/6.jpg)
Fiziksel Sistemin Analizi
6
Yay kuvveti yalnızca kütle kuvvetinden etkilenir.
Yay kütleye ters yönde oransal bir kuvvet uygular:
Newton Kanunu: F=M.a
![Page 7: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/7.jpg)
Diferansiyel Eşitliğin Çıkarılması
7
n : Doğal frekans (Sönümleşmemiş)
n genel anlamı ile soyut bir terimdir.
İkinci dereceden işlem
![Page 8: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/8.jpg)
Sistem Karakteristikleri
8
Türev eşitliğinde sağ tarafta sıfır ile gösterilir. Türev eşitliğinde bu birinci terimin ihmal edilmesiyle gösterilir.
Sistem girişe sahip değildir. Kütleyi dışarıdan etkileyen bir kuvvet yoktur.
Sistem sönümlemeye sahip değildir. Sistemde enerji salınımı yoktur.
Kütle yay sabiti k olan bir yayın son konumundan x(t) gerilir.
Sönümleme katsayısı c olan amortisör harekete hızla orantılı direnç gösterir.
![Page 9: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/9.jpg)
Yay-Kütle-Damper Sistemi
9
![Page 10: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/10.jpg)
Yay-Kütle-Damper Sistemi
10
![Page 11: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/11.jpg)
İkinci Derecede İşlem Cevabı
11
Sistem girişi: x(t)=1 m n=2 r/s
![Page 12: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/12.jpg)
12
![Page 13: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/13.jpg)
13
![Page 14: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/14.jpg)
Hidrolik Silindir
14
![Page 15: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/15.jpg)
Hidrolik Silindir
15
![Page 16: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/16.jpg)
Entegral İşlem Cevabı
16
Adım giriş: q(t)=1 cm3/s
![Page 17: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/17.jpg)
RC Devre
17
![Page 18: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/18.jpg)
RC Devre
18
![Page 19: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/19.jpg)
Birinci Derece İşlem Cevabı
19 Adım girişi: x(t)= 1 Volt = 1 saniye
![Page 20: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/20.jpg)
Karışım Vanası ve Boru
20
![Page 21: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/21.jpg)
Yaygın İşlem Tipleri
21
![Page 22: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/22.jpg)
Bileşen Kombinasyon Örneği
22
![Page 23: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/23.jpg)
Bileşen Kombinasyon Örneği
23
![Page 24: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/24.jpg)
Bileşen Kombinasyon Örneği
24
![Page 25: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/25.jpg)
Çalışır Model Oluşturulması
25
Hedef düşük dereceden doğrusal modeli geçerli
kılmak ve “bir bakışta” hissetmektir.
Fiziksel bileşenleri anlamak.
Uygun kabuller yapmak.
Model için basit bağıntıları kullanmak.
Gerektiğinde doğrusal hale getirmek.
Diferansiyel ve cebirsel eşitlikler yazmak.
Bağıntıları birleştirmek ve basitleştirmek.
Modelin geçerliliğini test etmek.
![Page 26: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/26.jpg)
Yaygın İşlem Tipleri
26
![Page 27: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/27.jpg)
Yay-Kütle Modeli İçin Varsayımlar
27
Yay sola doğru aşırı sıkıştırılırsa model doğru mudur?
Yay sağa doğru aşırı uzatılırsa model doğru mudur?
Tüm modeller bir yaklaşım öngörür ve böylelikle bazı hatalar içerir.
Bir aralıkta, belli bir çalışma noktası etrafında, sistem davranışlarını doğrusal bir modele yaklaştırılır.
![Page 28: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/28.jpg)
Doğrusallaştırma
28
Bir sistemin doğru bir bileşeni için;
Şayet x1 giriş için y1 çıkış alınıyor ve
Şayet x2 girişi için y2 çıkışı alınıyorsa sonra x1+x2 girişi
için y1+y2 çıkışı alınır.
![Page 29: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/29.jpg)
Taylor Serisi Açılımı-Tek değişkenli
29
X0 yapılan açılımdaki çalışma noktasıdır.
x-x0 değerinin küçük kademelerinde çalışma noktasının
yansıması fonksiyona iyi bir yaklaşım gösterir.
![Page 30: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/30.jpg)
Taylor Serisi Açılımı-Çok değişkenli
30
x0, y0, yapılan açılımdaki çalışma noktasıdır.
(x-x0), (y-y0) değerinin küçük kademelerinde çalışma noktasının yansıması fonksiyona iyi bir yaklaşım gösterir (yüksek dereceden terimler ihmal edilmiştir).
![Page 31: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/31.jpg)
Doğrusal Olmayan Yay
31
![Page 32: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/32.jpg)
Bileşen Kombinasyonu Örneği
32
![Page 33: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/33.jpg)
Karıştırıcı ve Boru
33
![Page 34: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/34.jpg)
Hidrolik Silindir
34
![Page 35: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/35.jpg)
Bileşen Kombinasyonu Örneği
35
![Page 36: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/36.jpg)
Bileşen Kombinasyonu Örneği
36
![Page 37: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/37.jpg)
Bileşen Kombinasyonu Örneği
37
![Page 38: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/38.jpg)
Model Basitleştirilebildi mi?
38
Doğal frekans n beklenen çalışma frekanslarıyla karşılaştırıldığında çok yüksek ise sönümleme ne çok yüksek ne de çok düşük olur (1),
•D gecikmesi, beklenen cevap zamanıyla
karşılaştırıldığında çok küçükse,
![Page 39: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/39.jpg)
Laplace Dönüşümlerine Olan İhtiyaç
39
Diferansiyel bağıntıları basitleştirip birleştirerek
kullanışlı hale getirir.
Modelleri sadeleştirip kolaylaştırır.
Sistem ve bileşenlerin blok diyagramlarının
çiziminde kolaylık sağlar.
Diferansiyel bağıntıların çözümünü kolaylaştırır
(Çeşitli girişler için çıkışlar bulunur).
Kararlılık analizi, frekans cevabı, vb.
hesaplamalarda kolaylık sağlar.
Denetim cihazı tasarımını kolaylaştırır.
![Page 40: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/40.jpg)
40
TABLO-1.1 İdeal sistem elemanlarının temel özellikleri
![Page 41: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/41.jpg)
41
TABLO-1.1 İdeal sistem elemanlarının temel özellikleri (devam)
![Page 42: Sistemlerin Matematik Modeli 446-2deneysan.com/Content/images/documents/bolum-8_60186237.pdfMatematik Modele Olan İhtiyaç 2 Karmaık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040807/5e4958fa1fc4a753fb56ace3/html5/thumbnails/42.jpg)
42
TABLO-1.1 İdeal sistem elemanlarının temel özellikleri (devam)