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Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 1
Stabilità dei sistemi
Retroazionati
G(s)
H(s)
-
+ G(s)G(s)G(s)G(s)
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SommarioIn questa lezione si tratteranno:
La funzione di trasferimento dei sistemi retroazionati (di controllo)
La funzione di trasferimento ad anello aperto Concetto di stabilità Condizioni di stabilità Criterio di stabilità di Bode I margini di fase e di ampiezza
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La funzione di trasferimento di un sistema retroazionato (o anche a catena chiusa) è, com’è noto:
)()(1
)()(
sHsG
sGsW
Premessa
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Il prodotto che compare al denominatore della W(s)
)()( sHsG
è la cosiddetta funzione di trasferimento ad anello aperto
Premessa
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Cos’è la stabilità? La stabilità è un concetto basilare della fisica Tale concetto, pienamente applicabile nel caso
dei sistemi di controllo in esame, si riferisce alla tendenza di un sistema a ritornare verso lo stato di equilibrio dal quale il sistema è stato allontanato con una perturbazione
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Cos’è la stabilità?
stabilità
perturbazione
sistema
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Cos’è la stabilità? Naturalmente, le grandezze in gioco nella
stabilità sono quelle che definiscono il sistema e cioè le variabili di stato oppure le uscite u(s)
Inoltre, come risalta nell’esempio che segue, la stabilità dipende anche dall’entità delle perturbazioni (o sollecitazioni)
Una perturbazione troppo grande può portare il sistema a stati instabili
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Cos’è la stabilità?
instabilità
perturbazione eccessiva
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Cos’è la stabilità? Si può allora così specificare la stabilità nello
studio dei sistemi lineari invarianti (p. es. i sistemi di controllo):un sistema è stabile se, in
conseguenza di una sollecitazione limitata, la sua
risposta (variazione dell’uscita) è limitata
(Bounded Input Bounded Output)
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La stabilità di un sistema può essere verificata studiando la sua funzione di trasferimento W(s)
Come si verifica la stabilità?
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Lo studio della funzione di trasferimento W(s) di un sistema retroazionato è però pesante perché richiede lunghi calcoli
matematici si operano somme,
prodotti e divisioni con polinomi complessi di ordine qualsiasi!
Come si verifica la stabilità?
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Esiste un modo più semplice per studiare la stabilità di un sistema
retroazionato?
Fortunatamente sì!
Come si verifica la stabilità?
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Si studia la sola funzione di trasferimento ad anello aperto H(s)•G(s)
È sicuramente più semplice; non c’è da fare minimi comuni multipli fra polinomi complessi
Trovata la chiave!
Come si verifica la stabilità?
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Un sistema si dice stabile se a variazioni limitate dell’ingresso corrispondono variazioni limitate dell’uscita
In altre parole se il sistema è in uno stato stabile e lo si perturba (senza esagerare!), l’uscita varierà in modo limitato
La stabilità di un sistema retroazionato (di controllo) può essere verificata studiando la funzione di trasferimento ad anello aperto H(s)•G(s)
Riepilogo
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Condizioni di stabilità Una condizione necessaria, ma non
sufficiente, perché un sistema sia stabile è che i poli e gli zeri della sua funzione di trasferimento ad anello aperto G(s)•H(s) siano a parte reale non positiva
Tali sistemi sono detti a sfasamento minimo La suddetta condizione si presenta molto
frequentemente nella pratica dei sistemi di controllo
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Condizioni di stabilità Se dunque siamo in presenza di un sistema a
sfasamento minimo, si può considerare quale condizione di stabilità il criterio di stabilità ristretto di Nyquist o, più semplicemente, il cosiddetto criterio di stabilità di Bode che è una conseguenza diretta del suddetto criterio di Nyquist
Il criterio di stabilità di Bode può essere enunciato come segue:
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Criterio di stabilità di BodeUn sistema a sfasamento
minimo è stabile se la funzione di trasferimento
ad anello aperto G(s)•H(s), alla pulsazione di taglio t,
ha una fase con valore assoluto
minore di 180°
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Cos’è t?t è la pulsazione (detta di crossover) per la quale il
modulo del guadagno vale 1; tale valore equivale a 0
dB e quindi t è la pulsazione che si individua
nell’intersezione fra il diagramma di Bode del modulo e l’asse delle
pulsazioni
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Cos’è la pulsazione di crossover (o di taglio) t?
Questo è il valore di t
|G(s)•H(s)|
E questa è la
fase della G(s)•H(s) alla pulsazione t
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Condizioni di stabilità In realtà, il criterio di Bode individua
condizioni di stabilità che spesso, nella pratica, sono insufficienti a garantire una adeguata stabilità dei sistemi di controllo
Nella pratica è quindi utile introdurre due parametri che permettono una definizione più adeguata delle condizioni di stabilità di un sistema di controllo: il margine di fase il margine di ampiezza (o di guadagno)
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Cos’è il margine di fase? Il margine di fase può essere definito:
m= 180° + (t)
Il margine di fase è quindi un angolo che si ricava dalla somma di 180° più la fase della funzione di trasferimento ad anello aperto alla pulsazione di crossover
L’individuazione del margine di fase è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nell’esempio che segue
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Cos’è il margine di fase?
|G(s)•H(s)|
si trova (t)
In corrispondenza di t
che, in questo
esempio, vale
-135°Il margine di fase m
dell’esempio considerato, vale dunque
180°-135°=+45°
-90°
-180°-135°
(t)
m
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Condizioni di stabilità
Si può dire in definitiva che il sistema di controllo è sufficientemente stabile se il margine di fase è maggiore di 30° (m> 30°)
Il sistema di controllo è, viceversa, instabile se il margine di fase è negativo (m< 0°)
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Cos’è il margine di ampiezza?
Il margine di ampiezza può essere definito:
mgdB= 0 - |G(s)•H(s)|dB(=-180°)
Il margine di ampiezza è, cioè, la differenza fra 0 ed il valore in dB del modulo della G(s)•H(s) quando la fase della stessa funzione di trasferimento ad anello aperto è pari a -180°
L’individuazione del margine di ampiezza è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nell’esempio che segue
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Cos’è il margine di ampiezza?
|G(s)•H(s)|
2. si rileva il modulo del guadagno in dB
1. In corrispondenza di = -180°
3. che, in questo esempio, è negativo
Il margine di ampiezza mgdB dell’esempio
considerato, è dunque positivo
-180°
mgdB = 0-|G(s)•H(s)|dB(=-180°)
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Condizioni di stabilità Concludendo, si può dire che un sistema di
controllo (retroazionato) a sfasamento minimo (cioè avente poli e zeri della F.d.T. ad anello aperto a parte reale non positiva) è stabile se i margini di fase m e di ampiezza mgdB sono entrambi positivi
Per avere una adeguata stabilità bisogna però verificare che m sia maggiore di 30° e che mgdB sia maggiore di 1020 dB