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Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 1
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Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. System of Linear Equations
1.
=−
=+
4
18
yx
yx
soluzione
=+
=
84
2
yx
xy
soluzione
2.
−=
=+
9
27
xy
yx
soluzione
=+
=+
xy
yx
22
40
soluzione
3.
=−
=
51
4
xy
xy
soluzione
=−
=+
4
20
yx
yx
soluzione
4.
+=
=+
33
99
xy
yx
soluzione
=
=+
xy
yx
8
5
52
soluzione
5.
=
=−
xy
yx
7
5
24
soluzione
=
=+
xy
yx
8
7
135
soluzione
6.
=
=+
xy
yx
9
4
91
soluzione
=
=−
xy
yx
4
3
20
soluzione
7.
=−
=+
3
5
yx
yx
soluzione
−−=
−=
1
12
xy
xy
soluzione
8.
−−=
+=
12
42
1
xy
xy
soluzione
=−
=+
6
1
6
5
yx
yx
soluzione
9.
=+
−=
1284
23
yx
yx
soluzione
=+
−=
1084
23
yx
yx
soluzione
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 2
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10.
+=
+=
=++
4
13
75
yz
xy
zyx
soluzione
=++
=
=
18
3
2
zyx
yz
xy
soluzione
11.
=++
+=
+=
28
7
3
yxz
xy
zx
soluzione
=++
=
=
126
3
2
zyx
yz
xy
soluzione
12.
=++
=
=
44
2
4
zyx
zy
yx
soluzione
=++
+=
+=
62
4
2
zyx
yz
xy
soluzione
13.
−=++
=++
=−+
141797
0943
0
zyx
zyx
zyx
soluzione
14.
=+++−
=+++
=+++
=−++
31523
101295
92532
532
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
soluzione
15.
=
=
245
49
125
xy
y
x
soluzione
16.
=+
=
4
24
18
22 yx
y
x
soluzione
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 3
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Soluzioni
Metodo di sostituzione
=−
=+
4
18
yx
yx
Esplicito rispetto a 𝑥 la prima equazione.
Sostituisco a nella seconda equazione a 𝑥 l’espressione trovata.
=−−
−=
418
18
yy
yx
Procedo con la sola seconda equazioni usando i metodi dela calcolo lettereale e delle
equazioni.
=−
−=
=−=−=
−=−
−=
−=−−
−=
72
14
1171818
142
18
184
18
y
yx
y
yx
yy
yx
Metodo di riduzione
=−
=+
4
18
yx
yx
Sottraggo membro a membro ottengo
2𝑦 = 14
𝑦 =14
2= 7 → 𝑥 + 7 = 18 → 𝑥 = 18 − 7 = 11
…
Metodo di Cramer
∆= |𝑎 𝑏𝑎1 𝑏1
| = |1 11 −1
| = 1 ∙ (−1) − 1 ∙ 1 = −1 − 1 = −2
∆𝑥 = |𝑐 𝑏𝑐1 𝑏1
| = |18 14 −1
| = 18 ∙ (−1) − 1 ∙ 4 = −18 − 4 = −22
∆𝑦 = |𝑎 𝑐𝑎1 𝑐1
| = |1 181 4
| = 1 ∙ 4 − 1 ∙ 18 = 4 − 18 = −14
𝑥 =∆𝑥
∆=
−22
−2= 11 𝑦 =
∆𝑦
∆=
−14
−2= 7
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 4
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Metodo di sostituzione
=+
=
84
2
yx
xy
Sostituisco a nella seconda equazione a 𝑥 l’espressione corrispondente.
=+
=
842
2
xx
xy
Procedo con la sola seconda equazioni usando i metodi dela calcolo lettereale e delle
equazioni.
=
===
=
=
=
=
28
562822
384
2
843
2
x
xy
x
xy
x
xy
Metodo di riduzione
=+
=+−
=+
=
84
02
84
2
yx
yx
yx
xy
Sottraggo membro a membro ottengo
−3𝑥 = −84
𝑥 =84
3= 28
…
Metodo del confronto
=+
=
84
2
yx
xy
{𝑦 = 2𝑥 𝑦 = 84 − 𝑥
Posso ora passare al confronto
2𝑥 = 84 − 𝑥
2𝑥 + 𝑥 = 84
3𝑥 = 84
𝑥 =84
3= 28
…
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 5
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Metodo di sostituzione
−=
=+
9
27
xy
yx
=−=−=
==
−=
+=
−=
=+−
99189
182
36
9
9272
9
279
xy
x
xy
x
xy
xx
Metodo di riduzione
=−
=+
−=
=+
9
27
9
27
yx
yx
xy
yx
Sottraggo membro a membro ottengo
2𝑦 = 18
𝑦 =18
2= 9
…
Metodo di Cramer
𝑥 + 𝑦 = 27
𝑥 − 𝑦 = 9
∆= |𝑎 𝑏𝑎1 𝑏1
| = |1 11 −1
| = 1 ∙ (−1) − 1 ∙ 1 = −1 − 1 = −2
∆𝑥 = |𝑐 𝑏𝑐1 𝑏1
| = |27 19 −1
| = 27 ∙ (−1) − 1 ∙ 9 = −27 − 9 = −36
∆𝑦 = |𝑎 𝑐𝑎1 𝑐1
| = |1 271 9
| = 1 ∙ 9 − 1 ∙ 27 = 9 − 27 = −18
𝑥 =∆𝑥
∆=
−36
−2= 18 𝑦 =
∆𝑦
∆=
−18
−2= 9
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 6
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Metodo di sostituzione
=−=−=
==
−=
+=
−=
=+−
−=
=+
=+
=+
2622822
143
42
22
2403
22
4022
22
40
22
40
xy
x
xy
x
xy
xx
xy
yx
xy
yx
Metodo di riduzione
=+
=+
xy
yx
22
40
−=+−
=+
22
40
yx
yx
Sottraggo membro a membro ottengo
3𝑥 = 42
𝑥 =42
3= 14
…
Metodo del confronto
=+
=+
xy
yx
22
40
{𝑦 = 40 − 𝑥𝑦 = 2𝑥 − 2
Posso ora passare al confronto
2𝑥 − 1 = 40 − 𝑥
2𝑥 + 𝑥 = 40 + 1
3𝑥 = 42
𝑥 =42
3= 14
…
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 7
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Metodo di sostituzione
==
===
=
=
=−
=
=−
=
173
51
681744
513
4
514
4
51
4
x
xy
x
xy
xx
xy
xy
xy
Metodo del confronto
=−
=
51
4
xy
xy
{𝑦 = 4𝑥 𝑦 = 51 + 𝑥
Posso ora passare al confronto
4𝑥 = 51 + 𝑥
4𝑥 − 𝑥 = 51
3𝑥 = 51
𝑥 =51
3= 17
𝑦 = 4𝑥 = 4 ∙ 17 = 68
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 8
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Metodo di sostituzione
=−
−=
=−=−=
−=−
−=
−=−−
−=
=−−
−=
=−
=+
82
16
1282020
162
20
204
20
420
20
4
20
y
yx
y
yx
yy
yx
yy
yx
yx
yx
Metodo grafico
=−
=+
4
20
yx
yx
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 9
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Metodo di sostituzione
==
=−=−=
=
−=
−=+
−=
+=−
−=
+=
=+
244
964
75249999
964
99
3993
99
3399
99
33
99
x
xy
x
xy
xx
xy
xx
xy
xy
yx
Metodo di Cramer
𝑥 + 𝑦 = 99
−3𝑥 + 𝑦 = 3
∆= |𝑎 𝑏𝑎1 𝑏1
| = |1 1
−3 1| = 1 ∙ 1 − 1 ∙ (−3) = 1 + 3 = 4
∆𝑥 = |𝑐 𝑏𝑐1 𝑏1
| = |99 13 1
| = 99 ∙ 1 − 1 ∙ 3 = 99 − 3 = 96
∆𝑦 = |𝑎 𝑐𝑎1 𝑐1
| = |1 99
−3 3| = 1 ∙ 3 − 99 ∙ (−3) = 3 + 297 = 300
𝑥 =∆𝑥
∆=
96
4= 24 𝑦 =
∆𝑦
∆=
300
4= 75
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 10
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====
==
=
=
=
=
=
=+
=
=+
=
=+
2045328
5
8
5
3284
8
5
13
852
8
5
528
13
8
5
528
58
8
5
528
5
8
5
52
xy
x
xy
x
xy
x
xy
x
xy
xx
xy
yx
====
==
=
=
=
=
=
=−
=
=−
=
=−
60125847
5
7
5
84712
7
5
2
724
7
5
247
2
8
5
247
57
7
5
247
5
7
5
24
xy
x
xy
x
xy
x
xy
x
xy
xx
xy
yx
====
==
=
=
=
=
=
=+
=
=+
=
=+
6397728
7
8
7
7289
8
7
15
8135
8
7
1358
15
8
7
1358
78
8
7
1358
7
8
7
135
xy
x
xy
x
xy
x
xy
x
xy
xx
xy
yx
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====
==
=
=
=
=
=
=+
=
=+
2874639
4
9
4
6397
9
4
13
991
9
4
919
13
9
4
919
4
9
4
91
xy
x
xy
x
xy
x
xy
xx
xy
yx
( )
==
=+=+=
=
+=
=−
+=
+=
+=
+=
+=
=
=−
604154
1
80602020
154
1
20
154
3
20
4
315
20
204
3
20
4
3
20
y
yx
y
yx
yy
yx
yy
yx
yy
yx
xy
yx
==
=−=−=
=
−=
−=−
−=
−=−−
−=
=−−
−=
=−
=+
12/2
4155
22
5
22
5
53
5
35
5
3
5
y
yx
y
yx
y
yx
yy
yx
yy
yx
yx
yx
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 12
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==
==−=−=
=
−=
−=−
−=
−=−−
−=
=−−
−=
=−
=+
3
1
2
1
3
2
2
1
6
3
3
1
6
5
6
5
3
22
6
5
6
42
6
5
6
5
6
1
6
5
6
1
6
5
6
5
6
1
6
5
y
yx
y
yx
y
yx
yy
yx
yy
yx
yx
yx
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 13
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Metodo di sostituzione
=
−=
=+−
−=
=+−
−=
=+
−=
00
23
128812
23
128)23(4
23
1284
23
y
yx
yy
yx
yy
yx
yx
yx
Sistema indeterminato
Metodo di Cramer
𝑥 + 2𝑦 = 3
4𝑥 + 8𝑦 = 12
∆= |𝑎 𝑏𝑎1 𝑏1
| = |1 24 8
| = 1 ∙ 8 − 2 ∙ 4 = 8 − 8 = 0
∆𝑥 = |𝑐 𝑏𝑐1 𝑏1
| = |3 2
12 8| = 3 ∙ 8 − 2 ∙ 12 = 24 − 24 = 0
∆𝑦 = |𝑎 𝑐𝑎1 𝑐1
| = |1 34 12
| = 1 ∙ 12 − 3 ∙ 4 = 12 − 12 = 0
Il sistema è indeterminato.
∆ = 0 ∧ ∆𝑥 = 0 ∧ ∆𝑦 = 0
Lo è con ∆= 0 essendo sia ∆𝑥 sia ∆𝑦 uguali a zero.
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 14
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Metodo di sostituzione
−=
−=
=+−
−=
=+−
−=
=+
−=
20
23
108812
23
108)23(4
23
1084
23
y
yx
yy
yx
yy
yx
yx
yx
Il sistema è impossibile
Metodo di Cramer
𝑥 + 2𝑦 = 3
4𝑥 + 8𝑦 = 10
∆= |𝑎 𝑏𝑎1 𝑏1
| = |1 24 8
| = 1 ∙ 8 − 2 ∙ 4 = 8 − 8 = 0
∆𝑥 = |𝑐 𝑏𝑐1 𝑏1
| = |3 2
10 8| = 3 ∙ 8 − 2 ∙ 10 = 24 − 20 = 4
∆𝑦 = |𝑎 𝑐𝑎1 𝑐1
| = |1 34 10
| = 1 ∙ 10 − 3 ∙ 4 = 10 − 12 = −2
Il sistema è impossibile.
∆ = 0 ∧ ∆𝑥 ≠ 0 ∧ ∆𝑦 ≠ 0
Lo sarebbe con ∆= 0 anche se uno tra ∆𝑥 e ∆𝑦 fosse diverso da zero
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 15
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Metodo grafico
Le rette sono parallele!
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+=
+=
=++
4
13
75
yz
xy
zyx
=+=+=
=+=+=
==
+=
+=
−=
++=
+=
=++++
32171517
28131513
153
45
17
13
30753
413
13
751713
xz
xy
x
xz
xy
x
xz
xy
xxx
[𝑥 = 15 ∧ 𝑦 = 28 ∧ 𝑧 = 32]
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==
===
===
=
=
=
=++
=
=
=++
=
=
=++
=
=
209
18
12433
4222
189
2
2
1862
3
2
18322
3
2
18
3
2
x
yz
xy
x
yz
xy
xxx
yz
xy
xxx
yz
xy
zyx
yz
xy
[𝑥 = 20 ∧ 𝑦 = 4 ∧ 𝑧 = 12]
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 18
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==
=++=
=+=
=
++=
+=
−−−=++
++=
+=
=+++++
++=
+=
=++
+=
+=
5315
1573
83
153
73
3
73328
73
3
28733
73
3
28
7
3
z
zy
zx
z
zy
zx
zzz
zy
zx
zzz
zy
zx
yxz
xy
zx
[𝑥 = 8 ∧ 𝑦 = 15 ∧ 𝑧 = 5]
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 19
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==
===
===
=
=
=
=++
==
=
=++
=
=
149126
741466
281422
1269
6
2
12662
623
2
126
3
2
x
xz
xy
x
xz
xy
xxx
xxz
xy
zyx
yz
xy
[𝑥 = 14 ∧ 𝑦 = 28 ∧ 𝑧 = 74]
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 20
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==
===
===
=
=
=
=++
=
=
=++
=
=
=++
=
=
411
44
8422
32488
4411
2
8
4428
2
8
44
2
24
44
2
4
z
zy
zx
z
zy
zx
zzz
zy
zx
zyx
zy
zx
zyx
zy
yx
[𝑥 = 32 ∧ 𝑦 = 8 ∧ 𝑧 = 4]
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 21
Copyright© 1987-2019 owned by Ubaldo Pernigo, www.ubimath.org - contact: [email protected] Il presente lavoro è coperto da Licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate 4.0 Internazionale
=++
+=
+=
62
4
2
zyx
yz
xy
=+++++
+=
+=
=++++
+=
+=
62422
4
2
6242
4
2
xxx
yz
xy
yxx
yz
xy
=
+=
+=
543
4
2
x
yz
xy
==
+=
+=
183/54
4
2
x
yz
xy
[𝑥 = 18 ∧ 𝑦 = 20 ∧ 𝑧 = 24]
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 22
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−=++
=++
=++
141797
0943
0
zyx
zyx
zyx
−=−−++
=−−++
−−=
14)(1797
0)(943
yxyx
yxyx
yxz
−=−−+
=−−+
−−=
14171797
09943
yxyx
yxyx
yxz
−=−−
=−−
−−=
14810
056
yx
yx
yxz
−=−
−−
−=
−−=
1486
510
6
5
yy
yx
yxz
−=−
−=
−−=
1483
25
6
5
yy
yx
yxz
−=−
−=
−−=
422425
6
5
yy
yx
yxz
…
−=
=−−=
=+−=−−=
42
35)42(6
5
74235
y
x
yxz
[𝑥 = 35 ∧ 𝑦 = −42 ∧ 𝑧 = 7]
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 23
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=+++−
=+++
=+++
=−++
31523
101295
92532
532
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
=++++−−−
=++++−−
=++++−−
+−−=
3152)325(3
10129)325(5
9253)325(2
325
tzytzy
tzytzy
tzytzy
tzyx
=+++−++−
=++++−−
=++++−−
+−−=
315239615
101295151025
925326410
325
tzytzy
tzytzy
tzytzy
tzyx
=−+
−=+−−
−=+−−
+−−=
468108
1563
14
325
tzy
tzy
tzy
tzyx
=−++−
−=+−+−−
+−=
+−−=
46810)41(8
1563)41(
41
325
tztz
tztz
tzy
tzyx
…
Algebra elementare ad uso dei Licei. Francesco G.Tricomi - G. Principato, 1940
[𝑥 = −28
3 ∧ 𝑦 = −4 ∧ 𝑧 = −
23
3∧ 𝑡 = −
2
3]
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 24
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===
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
5
49
25
4949
255
49
49
125
49
125
255
49549
49
125
255
49549
49
125
125
49245
49
125
24549
125
49
125
245
49
125
245
49
125
2
y
yx
y
yx
y
yx
y
yx
yy
yx
xy
yx
xy
y
x
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 25
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=
=
=
=
=+
=
=+
=
=+
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=+
=
5
8
15
24
30
242
15
18
5
1
3
18
5
8
24
18
24
18
30
244
24
18
4576
900
24
18
4576
576324
24
18
4576
324
24
18
424
18
24
18
4
24
18
2
2
2
2
22
2
2
22
y
yx
y
yx
y
yx
y
yx
yy
yx
yy
yx
yx
y
x
Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 26
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Keywords
Algebra, equazioni, sistemi di equazioni di primo grado equazioni di primo grado,
problemi traducibili in equazioni, esercizi con soluzioni
Algebra, equation, linear systems, linear equations, Algebraic Equations solved,
Systems of Linear Algebraic Equations, linear systems solved, Problems and equations,
Problem solving, exercises with solution
Algebra, ecuación, ecuaciones de primero grado
Algèbre, équations, système d'équations, équations en première
Algebra, Gleichung, die Gleichung
Arabic: ُمعادَلَه
Chinese (Simplified): 方程式
Chinese (Traditional): 等式
Czech: rovnice
Danish: ligning
Estonian: võrrand
Finnish: yhtälö
Greek: εξίσωση
Hungarian: kiegyenlítés; egyenlet
Icelandic: jafna
Indonesian: persamaan
Italian: equazione
Japanese: 方程式
Korean: 방정식
Latvian: vienādojums
Lithuanian: lygtis
Norwegian: likning, det å betrakte som lik
Polish: równanie
Portuguese: equação
Romanian: ecuaţie
Russian: уравнение
Slovak: rovnica
Slovenian: enačba
Swedish: ekvation
Turkish: eşitlik