sistemi di condotte: la verifica idraulica
TRANSCRIPT
Università degli Studi di Pavia
Dipartimento di Ingegneria Idraulica e Ambientale
SISTEMI DI CONDOTTE:
La verifica idraulica
Carlo Ciaponi
Posizione del problemaPosizione del problema
Rete esistente di cui è nota la geometria
E’ prefissata l’erogazione (approccio DDA: Demand Driven Analysis)
SCOPO:
calcolare le pressioni nei nodi al fine di accertare che assumano valori conformi ai
requisiti richiesti
DatiDati
- dati relativi alla rete: L, N, M
- dati relativi ai lati: li, Di, ai, bi, di (i = 1,L)
- dati relativi ai nodi: H1, Qj, zj (j = 1,N)
IncogniteIncognite
-incognite relative ai tronchi: qi (i = 1,L)
il numero delle incognite è L
-incognite relative ai nodi: Hj (j = 2, N)
il numero delle incognite è N-1
EquazioniEquazioni
- equazioni di continuità ai nodi:
0=+∑ ji Qq (1)
in numero pari a N-1
- equazioni del moto per i tronchi:
a
2N1N qrsHHH =−=∆ (2)
in numero pari a L
- equazioni di continuità ai nodi:
0=+∑ ji Qq (1)
in numero pari a N-1
- equazioni del moto per i tronchi:
a
2N1N qrsHHH =−=∆ (2)
in numero pari a L
Bilancio fra:
n° equazioni e n° incognite
Bilancio fra:
n° equazioni e n° incognite
NUMERO INCOGNITE = L + N -1
NUMERO EQUAZIONI = L +N-1
IL PROBLEMA
E’ IDRAULICAMENTE DETERMINATO
Occorre risolvere il sistema non lineare di equazioni
Metodi di risoluzioneMetodi di risoluzione
Metodi del bilanciamento delle portate
individuano come incognite fondamentali le portate
circolanti nei tronchi
si riconducono alla classica impostazione di Hardy
Cross (1936)
Metodi dei carichi ai nodi
individuano come incognite fondamentali le quote
piezometriche ad ogni nodo della rete
Metodo del bilanciamento
delle portate (H.Cross)
Metodo del bilanciamento
delle portate (H.Cross)
1a FASE:
determinazione delle portate qi circolanti (L)
2a FASE:
calcolo delle quote piezometriche Hj nei nodi (N-1)
PROBLEMA:
Posso risolvere la 1a fase con le sole equazioni di continuità ?
Numero incognite = L
Numero equazioni = N-1
Grado di indeterminazione = L – (N-1) = M
Reti ramificateM = 0
Reti ramificateM = 0
Il problema è determinato: le portate qi sono determinate
univocamente dalle equazioni di continuità
Reti a maglieM ≠≠≠≠ 0
Reti a maglieM ≠≠≠≠ 0
Il problema è indeterminato: esistono infinite configurazioni
di portate qi che soddisfano le equazioni di continuità
Principio di unicità della quota
piezometrica in un nodo
Principio di unicità della quota
piezometrica in un nodo
322113 −− ∆−∆−= HHHH
344113 −− ∆−∆−= HHHH
∑ =∆=∆−∆−∆+∆ −−−− 041343221 HHHHH
Ricerca delle portate
circolanti
Ricerca delle portate
circolanti
)1(0 −=+∑ NQq ji
)M(0qrsHa
iiii ==∑∑∆
Procedura di calcolo
Metodo di H. Cross -1
Procedura di calcolo
Metodo di H. Cross -1
Si assume una distribuzione di portate qi di primo tentativo
che soddisfi la continuità ai nodi.
In generale, per ogni maglia:
)1(oqrsa
iiii ≠∑
Per soddisfare le equazioni di bilanciamento dei carichi (1),
occorre introdurre una portata correttiva ∆∆∆∆q, costante per
tutti i tronchi della stessa maglia, in modo che:
)2(oqrsa
i
*ii
*i =∑
ki*i qqq ∆+=
Procedura di calcolo
Metodo di H. Cross - 2
Procedura di calcolo
Metodo di H. Cross - 2
N.B. qi è affetta da segno (si)
N.B. ∆qk è affetta da segno
N.B. qi* è affetta da segno (si*)
Problema: come esprimere il valore assoluto di qi* in funzione
di qi e di ∆qk ?
Soluzione: sommando o sottraendo al valore assoluto di qi il
valore di ∆qk a seconda che siano concordi o discordi:
kii*i qsqq ∆+=
ki*i qqq ∆+=
Procedura di calcolo
Metodo di H. Cross -3
Procedura di calcolo
Metodo di H. Cross -3
[ ] 0......qqsaqrs k
1a
ii
a
ii
*
i =+∆+−
∑
La condizione di bilanciamento diventa:
)3(0qsqrsa
kiii
*
i∑ =∆+
Linearizzando la (3) mediante uno sviluppo in serie
arrestato ai termini di primo ordine si ottiene:
[ ] 0......qqsaqrs k
1a
ii
a
ii
*
i =+∆+−
∑
∑∑
∑∑
−−−=−=∆
1a
ii
a
iii
1a
ii
*
i
a
ii
*
i
k
qra
qrs
qass
qrsq
Procedura di calcolo
Metodo di H. Cross -4
Procedura di calcolo
Metodo di H. Cross -4
∑∑
∑
∑∆
∆−=
∂
∆∂
∆−=∆
i
i
i
i
i
kS
H
q
H
Hq
∑
∑−
−=∆
i
1a
ii
a
iiii
k
qra
qrs
q
Sviluppo in serieSviluppo in serie
......qq2
)1a(aqqaq)qq( 22a1aaa +∆
−+∆+=∆+ −−
1a
a
qa
−−=∆
arrestando ai termini di primo ordine si ottiene:
Formule risolutive:
tronchi di solo trasporto
Formule risolutive:
tronchi di solo trasporto
aqrsH =∆
1aqraS
−=∆
Formule risolutive:
tronchi con erogazione distribuita
Formule risolutive:
tronchi con erogazione distribuita
( )121
1
2
1
1
+−
−=∆
++
aqq
qqrH
aa
21
a
2
a
1
qqrS
−
σ−=∆
(σ = + 1 se q1 e q2 hanno segno concorde; σ = -1 in caso contrario)
Formule risolutive:
tronchi fittizi
Formule risolutive:
tronchi fittizi
0
.cos
=∆
=∆
S
tH
Formule risolutive:
impianti di pompaggio in linea
Formule risolutive:
impianti di pompaggio in linea
( )
−
−
−+−=∆ 1
12
121 QPq
QPQP
HTHTHTH
12
12
QPQP
HTHTS
−
−=∆
Alimentazione plurimecon serbatoi
Alimentazione plurimecon serbatoi
?Q?Q
datoHdatoH
21
21
==
==
Alimentazione plurimecon impianti pompaggio
Alimentazione plurimecon impianti pompaggio
?Q?Q
)Q(fHdatoH
21
221
==
==
EsempioEsempio