Ion PETRESCU

Victoria PETRESCU

SISTEME

PLANETARE

Publisher

London Uk 2011 London Uk

2

Scientific reviewer:

Prof. Consul. Dr. Ing. Pun ANTONESCU

Copyright

Title book: Planetary Trains

Author book: Ion PETRESCU & Victoria PETRESCU

2011, Florian PETRESCU

petrescuflorian@yahoo.com

ALL RIGHTS RESERVED. This book contains material protected under International and Federal Copyright Laws and Treaties. Any unauthorized reprint or use of this material is prohibited. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording, or by any information storage and retrieval system without express written permission from the authors / publisher.

ISBN 978-1-4476-0696-3

3

SCURT DESCRIERE

Prezenta carte i propune s realizeze o

grupare tiinific a mecanismelor de tip planetar

cunoscute.

Mecanismele planetare n general sunt

compuse din angrenaje cu roi dinate i bare.

Acestea sunt prezentate constructiv,

structural i cinematic.

La cteva sisteme planetare, se va determina

n premier i randamentul mecanic real al

mecanismelor, pentru a rezolva astfel i o latur

important aparinnd dinamicii acestor sisteme.

Primele capitole realizeaz o prezentare

sintetic a sistemelor mecanice i mecanismelor

existente, care utilizeaz mecanisme cu bare i

roi dinate, i care sub aspectul lor constructiv

pot prezenta i caracterul de sisteme planetare.

4

CUPRINS

D. Scurt descriere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 03

C. Cuprins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 04

I. Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07

1. Stadiul actual al cercetrilor n domeniul

mecanismelor cu b. i r.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1. Scurt istoric asupra apariiei mecanismelor . . 11

1.2. Cercetri privind analiza cinematic a mecanismelor cu b. i rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

1.3. Evoluii n analiza mecanismelor

complexe cu b. i r.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4. Cercetri privind sinteza

mecanismelor cu b. i r.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2. Sinteza structural-topologic a

mecanismelor cu bare i roi dinate . . . . . . . . . . . . . . .51

2.1. Mecanisme plane cu bare i roi dinate. . . . . 52

2.1.1.Mecanismele plane cu bare i roti

dinate cu lan cinematic deschis. . . . . . . . . 52

2.1.2.Mecanisme plane cu bare i roi

dinate cu contur nchis. . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.2. Mecanisme spaiale cu bare i roi dinate. . 64

2.2.1. Mecanismele spaiale cu bare

i rd cu lan deschis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.2.2. Mecanisme spaiale cu bare

i rd cu contur nchis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3. Analiza cinematic a mecanismelor plane

cu bare, cu 2 contururi i un angrenaj. . . . . . . . . . . . . 79

5

3.1. Mecanismul cu b. i r.d. tip R+RRR+RRR . . . 79

3.1.1. Mecanismul R+RRR+RRR(3,0) . . . . . 79

3.1.2. Mecanismul R+RRR+RRR(2,0) . . . . 89

3.1.3. Mecanismul R+RRR+RRR(2,3) . . . . . 96

3.1.4. Mecanismul R+RRR+RRR(1,3) . . . . 101

3.1.5. Mecanismul R+RRR+RRR(1,2) . . . . . 107

3.2. Mecanismul R+RRR+RRT(3,0)+C(3,4)a . . . . 113

3.3. Mecanismul R+RRR+RTR(2,3)+C(2,4)a . . . . 114

3.4. Mecanismul R+RRR+TRT(2,3)+C(2,4)a . . . . 116

3.5. Mecanismul R+RRR+RTT(3,0)+C(3,4)a . . . . 118

4. Analiza cinematic a mecanismelor cu bare i angrenaje multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121

4.1. Mecanismul patrulater articulat cu dou angrenaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.2. Mecanismul patrulater articulat cu

trei angrenaje n serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

4.3. Mecanismul patrulater articulat cu

trei angrenaje n paralel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.4. Mecanismul patrulater articulat cu patru angrenaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5. Sinteza i analiza geometro-cinematic

a mec. cu bare i rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

5.1. Sinteza i analiza geo-cinematic a mecanismelor b+rd simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.1.1. Mecanismul b+rd simplu cu

diad de tip RRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.1.2. Mecanismul b+rd simplu cu

diad de tip RRT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

6

5.2. Sinteza i analiza geometro-cinematic

a mec b+rd complexe . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140

5.2.1. Mecanism b+rd complex cu triad . . 140

5.2.2. Mecanism b+rd complex cu tetrad . 145

5.2.3. Mecanism b+rd complex

cu dubl-triad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.2.4. Mecanism b+rd complex cu

tetrad de ordinul 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6. Sinteza structurilor planetare clasice. . . . . . . . . . . .158

6.1. Sinteza cinematic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158

6.2. Sinteza dinamic, pe baza

randamentului realizat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7. Analiza i sinteza mec. cu B. i R.D. utilizate la

manipulatoare-roboi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

7.1. Mecanisme complexe cu bare i roi dinate specifice roboilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

7.2. Mecanisme cu B i RD din str. MPz. . . . . . . . 169

7.3. Mec. cu B i RD cilindrice din structura MOr. . 178

7.4. Mec. cu B i RD cilindro-conice din str. MOr. . 180

7.5. Mec. sferice cu B i RD conice din str. MOr. . 182

7.6. Mec. cu B i RD con. din str. Mor vertebroid. . 187

B. Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

7

INTRODUCERE

Dezvoltarea i diversificarea mainilor i mecanismelor cu aplicaii n toate domeniile reclam noi cercetri tiinifice pentru sistematizarea i perfecionarea sistemelor mecanice existente, prin crearea de noi mecanisme adaptate cerinelor moderne, ceea ce implic structuri topologice tot mai complexe.

Industria modern, practica proiectrii i realizrii construciilor de maini se bazeaz tot mai mult pe rezultatele cercetrilor tiinifice i aplicative.

Fiecare realizare industrial are n spate activitatea de cercetare teoretic i experimental asistat de calculator, prin care se rezolv probleme tot mai complexe cu programe de calcul performante, utiliznd software tot mai specializat.

Robotizarea proceselor tehnologice determin i influeneaz tot mai mult apariia de noi industrii, aplicaii n condiii speciale de mediu, abordare de noi tipuri de operaii tehnologice, manipularea de obiecte n spaiul extraterestru, teleoperatori n disciplinele de vrf precum medicina, roboi care acoper un domeniu tot mai mare al prestaiilor de servicii n societatea noastr, modern i computerizat.

n acest context lucrarea de fa ncearc s aduc o contribuie tiinific i tehnic aplicativ n analiza cinematic i sinteza geometro cinematic a mecanismelor cu bare i roi dinate, att ca structuri plane ct i spaiale.

8

Prin definiie, aceste mecanisme complexe sunt compuse din mecanisme cu bare (prghii) i mecanisme cu elemente dinate (roi dinate i cremaliere).

Au fost considerate numai mecanismele cu elemente cinematice rigide, att barele ct i roile dinate fiind considerate nedeformabile.

La elaborarea acestei lucrri s-au avut n vedere urmtoarele exigene:

- realizarea unei lucrri unitare n ceea ce privete documentarea i contribuiile tiinifice personale;

- modul sintetic al prezentrii diferitelor aspecte analizate;

- scoaterea n eviden a realizrilor deosebite ale cercettorilor i specialitilor din domeniul mecanismelor;

- alctuirea unei lucrri de nalt nivel tiinific, dar cu posibilitatea de a fi urmrit uor de specialiti;

- formularea unor concluzii menite a fixa ceea ce este esenial i totodat de a fi generatoare de noi idei.

O problem remarcabil n folosirea angrenajelor conice este materializarea cuplei sferice prin mecanisme sferice cu trei axe concurente.

Aceast modelare este extrem de util n construcia i cinematica roboilor, cu deosebire a mecanismelor de orientare, ceea ce explic interesul deosebit pentru utilizarea mecanismelor cu bare i roi dinate.

9

Metodele de studiu cinematic al mecanismelor complexe cu bare i roi dinate sunt deosebit de diverse, dar o metod unitar permite adaptarea i utilizarea unor algoritmi de rezolvare analitic i numeric mult mai eficieni.

Cap. 1 prezint stadiul actual al cercetrilor i realizrilor practice n domeniul mecanismelor cu bare i roi dinate, scond n eviden polarizarea cercetrilor spre colile de teoria mecanismelor i a mainilor din Germania i Rusia.

n cap. 2 se prezint o nou sintez structural-topologic a mecanismelor cu bare i roi dinate, prin considerarea att a mecanismelor monomobile ct i a celor multimobile realizate ca lan cinematic deschis.

De-a lungul cap. 3 se prezint n detaliu analiza cinematic a mecanismelor cu bare i roi dinate, pornind de la schemele cinematice ale mecanismelor plane cu bare bicontur, la care se ataeaz un angrenaj cilindric n diverse variante topologice.

Pe parcursul cap. 4 se studiaz cinematica unui grup de patru mecanisme complexe realizate prin ataarea la patrulaterul articulat a dou, trei i patru angrenaje cilindrice montate n serie sau n paralel.

n cap. 5 se prezint sinteza mecanismelor cu bare i roi dinate simple (de clasa a 2-a) i complexe (de clasa a 3-a, a 4-a etc.) cu un angrenaj i dou angrenaje, folosind echivalarea structural-geometric a unei angrenri plane cu o bar i dou articulaii.

10

Cap. 6 cuprinde mai multe probleme de sintez a principalelor tipuri de mecanisme planetare cu bare i roi dinate. Se analizeaz n premier i randamentul mecanic exact (real) al acestor sisteme (randamentul mecanic exact al planetarelor).

Prin coninutul su, cap. 7 reprezint o noutate n abordarea sintezei i analizei cinematice a celor mai reprezentative mecanisme cu bare i roi dinate folosite ca mecanisme de poziionare sau ca mecanisme de orientare n structura roboilor industriali.

Pentru reprezentarea schematic a articulaiilor fixe s-au folosit dou simboluri grafice: un cerc cu punct central (cap. 1, 2, 6, 7) i un cerc cu nnegrirea a dou sferturi de cerc (cap. 3, 4, 5). De asemenea, pentru solidarizarea roilor dinate de bare s-au folosit trei simboluri grafice: un arc de cerc la intersecia barei cu cercul roii, dou linii paralele cu bara n interiorul cercului roii sau prin sudarea barei de cercul roii printr-o zon nnegrit.

Apreciem c rezultatele obinute n prezenta lucrare tiinific, viznd analiza i sinteza mai multor clase de mecanisme de tip planetar, cu bare i roi dinate, constituie o born n drumul spre abordarea altor aspecte de analiz dinamic i optimizri, prin programe de calcul adecvate cerinelor practice.

Autorii

11

Cap. 1. STADIUL ACTUAL AL CERCETRILOR N DOMENIUL

MECANISMELOR CU BARE I ROI DINATE

1.1. SCURT ISTORIC ASUPRA APARIIEI

MECANISMELOR

nceputul utilizrii mecanismelor cu bare i roi dinate trebuie cutat n Egiptul antic cu cel puin o mie de ani nainte de Christos. Aici s-au utilizat, pentru prima dat, transmisiile cu roi pintenate la irigarea culturilor i angrenajele melcate pentru prelucrarea bumbacului.

Cu 230 de ani .Ch., n oraul Alexandria din Egipt, se folosea roata cu mai multe prghii i angrenajul cu cremalier.

De asemenea, angrenajele planetare cu roi dinate satelit au fost utilizate nc din perioada anilor 100-80 .Ch. la un astrolab din Grecia antic. Acest mecanism ingenios afia micarea soarelui i a lunii, cu ajutorul a zeci de roi dinate de diferite dimensiuni, a cror micare venea de la un singur element cinematic de intrare.

Transmiterea micrii cu ajutorul angrenajelor cu roi dinate a cunoscut un progres substanial ncepnd cu anul 1300 d.Ch., cnd meterul italian Giovani da Dondi a realizat un orologiu astronomic, n a crui componen se aflau angrenaje interioare i roi dinate eliptice.

n secolul XV Leonardo da Vinci a pus bazele cinematicii i dinamicii moderne, enunnd printre altele principiul superpoziiei micrilor independente. Acest principiu al nsumrii micrilor independente se va aplica cu succes, n prezenta lucrare, la analiza i sinteza cinematic a mecanismelor complexe cu bare i roi dinate multimobile.

12

Primele transmisii reglabile cu roi dinate au fost folosite n 1769 de ctre Cugnot la echiparea primului autovehicul propulsat de un motor cu abur.

n perioada 1778 1784, J. Watt a proiectat i realizat o nou main cu abur [D7], avnd pistonul cu dubl acionare, la care micarea alternativ de translaie a pistonului este transformat ntr-o micare de rotaie continu i uniform a unui volant. Pentru transformarea micrii de rotaie oscilant a balansierului n micare de rotaie continu a manivelei (solidar cu volanul), Watt a creat mai multe mecanisme distincte, printre care i mecanismul planetar cu roi dinate cilindrice.

Englezul E. Cartwright a creat i brevetat n 1800 un mecanism de ghidare rectiliniar, cu bare i roi dinate plasate simetric, n scopul transformrii micrii pistonului (acionat cu abur) n micare de rotaie a volantului.

n aceeai perioad, la nceput de secol XIX, un alt englez, J. White, a descoperit c ghidarea rectiliniar a unui punct se poate face cu un mecanism planetar cilindric, cu angrenaj interior, cu ajutorul cruia se genereaz o hipocicloid particular degenerat n dreapt.

La sfritul secolului XIX, n 1886, germanul Carl Benz a realizat primul autovehicul pe trei roi propulsat de un motor termic cu un cilindru plasat orizontal. Deoarece volantul avea axul vertical, pentru a transmite cuplul motor, de la volant la roile de propulsie, s-a utilizat un angrenaj cu roi dinate conice.

n secolul XX, odat cu dezvoltarea industrial modern, la mainile textile i metalurgice, la automatele de mpachetare i mai recent la manipulatoare i roboi industriali apar ca necesare transmisii ale micrii de rotaie ntre arbori cu distana variabil ntre axe.

Adesea se cere ca prin rotaia nentrerupt i uniform, a arborelui conductor de micare, s se obin la arborele condus micare de rotaie reversibil, micare cu opriri n timpul limit dat, micare n pas de pelerin etc.

13

La o serie de maini i manipulatoare-roboi sunt necesare obinerea de traiectorii complexe ale unor puncte ale elementelor, care nu pot fi obinute cu ajutorul mecanismelor cu bare obinuite.

Astfel de cerine tehnice pot fi satisfcute dac se folosesc mecanisme cu bare i roi dinate i transmisii cu roi dinate.

n acest scop pot fi construite mecanisme, n care sunt cuprinse (montate n paralel, suprapuse) sisteme de bare i sisteme de roi dinate, iar elementele mecanismului cu bare poart pe axele lor roi dinate. De asemenea sunt realizate mecanisme complexe, cu bare i roi dinate, n care roile dinate reprezint pri componente ale schemei structurale generale.

Ca exemple de astfel de mecanisme combinate, se pot urmri cteva scheme cinematice de mecanisme cu bare i roi dinate, prezentate de S. N. Kojevnikov [K2], J. Volmer [A17], A.S. akin [1], [2], D.Maros [M16], W. Rehwald [R3], [R4], P. Antonescu [A10], [A12].

Principalele probleme referitoare la mecanismele cu bare i roi dinate plane i spaiale se refer la analiza cinematic i la sinteza geometro-cinematic n anumite condiii impuse de procesele tehnologice, ADR. BRUJA [B7], L. BUDA [B4], K. LUCK [L4], J. NIEMEYER [N3], I. TEMPEA [T6], D. TUTUNARU [T4], I. POPESCU [P9], R. BRAUNE [B3], Fl. DUDI [D7], W. LICHTENHELDT [L1], P. LEDERER [L2], S. LIN [L5], AL. MODLER [M11], [M13], [M19], R. NEUMANN [N1], [N2], I. STOICA [S7].

1.2. CERCETRI PRIVIND ANALIZA CINEMATIC

A MECANISMELOR CU BARE I R.D.

Cele mai reprezentative coli de mecanisme, care s-au dezvoltat i au iniiat cercetri tiinifice teoretice i practice, n

14

domeniul mecanismelor cu bare i roi dinate, au fost coala german (K. Hoecken, W. Jahr, P. Knechtel, K. Hain, W. Mayer zur Cappellen, W. Rath, O. Tolle, J. Volmer, R. Neumann, W. Rehwald, K. Luck, K.H. Modler) i cea rus (S.O. Dobrogurski, I.I. Artobolevski, S.N. Kojevnikov, L.B. Maisiuk, S.A. Cerkudinov, A.S. akin).

n figura 1.1a se arat [K2] mecanismul cu r. d. condus z3 a crei micare se transmite de la r.d. z2 de pe balansierul c al mecanismului patrulater tip manivel balansier. R. d. z2 angreneaz cu r.d. z1 care se rotete n raport cu o ax excentric.

a) b)

Fig. 1.1

n funcie de dimensiunile corelate ale elementelor bare i numrul dinilor al r.d. z3 la arborele de ieire, rotaia obinut poate fi continu (nentrerupt), cu grad de neuniformitate dat, micare cu opriri, micare nainte cu ntoarcere parial (pas de pelerin), fig. 1.1b.

n figura 1.2 se arat cteva scheme de mecanisme cu bare i r.d., construite pe baza mecanismului patrulater cu

c

b a

zz

z

A

A

B

B

1

18

3

3

00

15

bare, ale cror r.d. conduse se rotesc n jurul axei fixe a balansierului, iar acionarea se face de la manivela a.

Fig. 1.2

Diverse combinaii de mecanisme cu bare i transmisii cu r.d. cu roi circulare i necirculare pot fi construite n numr foarte mare, ns din toate variantele practice se folosete un numr redus.

n legtur cu cele menionate s considerm numai 2 tipuri de mecanisme cu bare i r.d. i anume: mecanismele pentru transmiterea micrii de rotaie ntre arbori cu distana variabil ntre axe i mecanisme folosite la obinerea traiectoriilor cu aspect complex i transformarea micrii.

Din punctul de vedere al elementelor structurii, toate mecanismele cu bare i r.d. cu roi circulare pot fi privite ca lanuri cu r.d. n serie cu configuraia variabil a liniei centrelor, variaie care determin poziia elementelor, a axelor r.d. neimportante.

Se poate ca transmiterea micrii de la r.d. a lanului la alt element r.d. de la elementul vecin s se realizeze numai n cazul cnd r.d. de legtur sau r.d. a grupei are axa suprapus cu axa articulaiei format de aceste elemente bare.

16

n cazul general se poate considera c mecanismul cu bare i r.d. are 2 sau mai multe mobiliti.

Ca exemplu de mecanism multimobil cu bare i r.d. se consider schema cinematic din figura 1.3a; acest mecanism are 3 mobiliti.

Astfel, viteza unghiular a oricreia dintre roi se poate determina dac se impun vitezele unghiulare ale barelor a i b i a uneia dintre roile dinate.

Numrul mobilitilor i prin urmare numrul elementelor conductoare poate fi micorat dac se leag elementele ntre ele.

De exemplu, dac se leag roata 1 la baz, iar roata 2 cu elementul b, se obine mecanismul monomobil (fig. 1.3.b), n care roile 2 i 3 nu se rotesc n raport cu bara b, dar punctul C descrie ceea ce se numete epicicloida alungit. Un astfel de mecanism mai este denumit tren diad [M3], [M12], [M13], [M16].

a) b)

Fig. 1.3

Micarea punctului B (fig. 1.3a) poate fi controlat prin condiionarea deplasrii punctului B, de exemplu (fig. 1.4) pe arcul de cerc cu raza BD i centrul n D fix.

A 3

B C a

b 2

1 A

3

B C

1

b 2

0

17

Fig. 1.4

Mecanismul astfel rezultat posed dou mobiliti; n micarea sa roata condus 4 depinde de viteza unghiular a uneia din roile dinate ale lanului cu roi n serie i de viteza unghiular a uneia din barele mecanismului patrulater articulat.

Acest mecanism patrulater poate fi admis ca mecanism de baz. Acest caz, pornind de la relaia cinematic a acestuia, se poate extinde la diferite cazuri particulare.

Se pune problema de a determina viteza unghiular a uneia din roile lanului dinat, de exemplu z3, n funcie de 1 i a date.

Mecanismul cu bare i r.d., reprezentat n fig. 1.4, poate fi considerat ca dou mecanisme difereniale cu micrile barelor a i c cunoscute, la care vitezele unghiulare ale roilor 2 i 3 se gsesc ntr-un raport determinat.

Dac se presupune c legtura dintre roile 2 i 3 este ntrerupt, atunci se pot scrie relaiile:

a

aai

=

2

112 ;

c

cci

=

4

334 (1.1)

A

B C

D

c

b

a 1

2 3

4 z

z

zz

z

18

unde rapoartele de transmitere ai12 i ci34 sunt calculate n

ipoteza angrenajului exterior cu axe fixe:

1

212

z

zi a = ;

3

434

=z

zi c (1.2)

Din formulele (1.1) se expliciteaz vitezele unghiulare ale roilor 2 i 4:

)1( 212112a

aa ii += ; (1.3)

)1( 434334c

cc ii += . (1.4)

Raportul de transmitere al angrenajului 2, 3 se scrie n raport cu biela b:

2

3

3

223

z

zi

b

bb =

=

(1.5)

Din formula (1.5) se deduce:

)1( 323223b

bb ii += (1.6)

Observnd formulele (1.3) i (1.6), din formula (1.4) se obine expresia vitezei unghiulare a roii 4 n funcie de viteza unghiular a roii 1 i a celor trei bare a, b i c:

)1()1(

)1(

434332

43322143322114

c

c

cb

b

cba

a

cba

iii

iiiiii

++

++=

(1.7)

n aceast ecuaie (1.7) b i c sunt funcii de a i pot fi determinate ca funcii de transmitere ntre barele mecanismului patrulater:

baab i= ; caac i= (1.8)

De aceea 4 este funcie de dou variabile independente

1 i a .

19

Pentru toate schemele de mecanisme cu bare i roi dinate din fig. 1.2, n care roata 2 este blocat cu braul a, condiia necesar este a =2 .

n aceste cazuri din ecuaia (1.3) rezult a =1 , ceea ce nseamn c roata z1 este blocat cu manivela a, iar formula (1.7) devine:

)1()1( 43433243324c

ccb

bcb

a iiiii ++= (1.9)

Dac roile 2 i 3 sunt blocate pe biela b, atunci

b == 32 , astfel c din ecuaiile (1.3) i (1.4) se deduc relaiile:

)1( 12121a

aa

b ii += ; (1.10)

)1( 43434c

cc

b ii += . (1.11)

Formula (1.10) poate fi folosit pentru calculul vitezei unghiulare a elementului condus [D7] al mecanismului motorului Watt (fig. 1.5), n care lipsesc roile z3 i z4 i

0=c .

Fig. 1.5

De menionat c J. Watt a folosit o astfel de schem pentru maina cu abur pe care a brevetat-o n anul 1784 [D7].

A0

A

B z1

z2

a b

c

20

Urmrind transformarea micrii de rotaie oscilant n micare de rotaie continu, J. Watt a imaginat un nou mecanism, n care a combinat mecanismul cu bare tip balansier-manivel cu un mecanism planetar cu dou roi dinate (fig. 1.6).

Fig. 1.6

De observat c micarea de translaie a pistonului este aproximativ meninut de punctul M de pe biela unui patrulater articulat, de tip balansier-balansier, care fusese deja inventat de J. Watt.

Micarea de translaie a pistonului n cilindrul vertical (fig. 1.6) se transform mai nti n micare de rotaie oscilant a balansierului BB0C, dup care micarea de balans este transformat n micare continu de rotaie cu ajutorul mecanismului planetar cu o roat central i o roat satelit solidar cu biela AB.

Englezul E. Cartwright inventeaz n 1800 [D7], [K2] un mecanism de ghidare cu bare articulate i dou roi dinate aezate simetric (fig. 1.7a), n scopul transformrii micrii

B0

A0

A

B C

D

DM

21

rectiliniare a pistonului (pus n micare de abur) n micare de rotaie a volantului.

a) b)

Fig. 1.7

Tija pistonului 1 este articulat cu bara 2 n punctul E, care este situat pe mediatoarea segmentului CD. Traiectoriile punctelor C i D sunt rectiliniare paralele cu tija pistonului 1. Manivelele A0A i B0B sunt montate solidar fiecare pe roata dinat respectiv 5 i 6, n poziie simetric fa de verticala punctului E, ceea ce le asigur unghiuri de rotaie egale.

Din analiza schemei cinematice echivalente (fig. 1.7b), n care se precizeaz elementul conductor 1, simetria este pus i mai mult n eviden.

A

A0 B0

C0 B

D C E

1

2

3 4

5 6

7

0

D

A B

A0 B0

E0

E

C

1

2

3 4

5 6

22

n structura topologic a acestui mecanism se identific un lan cinematic pasiv (cu mobilitate nul) a crui configuraie este hexagonal [A11].

1.3. EVOLUII N ANALIZA MECANISMELOR COMPLEXE CU B. I R.D.

J. Volmer [A17] folosete noiunea de mecanism combinat, acesta putnd fi realizat prin angregarea sau cuplarea a dou sau mai multe mecanisme simple cu: bare, roi dinate, came i elemente flexibile sau deformabile.

Sunt definite trei feluri de agregri (cuplri) de mecanisme simple: cuplare n serie, cuplare n paralel i cuplare prin suprapunere.

Agregarea n serie a dou mecanisme simple implic alungirea primului mecanism cu un al doilea mecanism, astfel c micarea elementului de ieire din primul mecanism este folosit ca micare de intrare pentru al doilea mecanism.

Cel mai adesea agregarea n serie se folosete n cazul mecanismelor cu roi dinate de tipul reductoarelor de turaie cilindrice, conice, melcate sau cu angrenaje mixte (conico-cilindrice, melcate-conice). Astfel pot fi agregate n serie dou angrenaje cilindrice (fig. 1.8a) sau un angrenaj conic cu unul cilindric (fig. 1.8b), obinndu-se un reductor cu dou trepte cu un raport de demultiplicare egal cu produsul rapoartelor pariale.

a) b)

Fig. 1.8

23

Dou mecanisme cu bare, de tip patrulater articulat, pot fi agregate n serie (fig. 1.9a), ceea ce permite obinerea unei amplificri a unghiului de rotaie al balansierului B0B pn la o valoare realizat de balansierul D0D (fig. 1.9b).

a) b)

Fig. 1.9

n practic se realizeaz adesea o agregare n serie, ntre un mecanism cu roi dinate (angrenaj cilindric) i un mecanism cu bare (fig. 1.10), n care manivela A0A este solidar cu roata dinat 2.

Fig. 1.10

A0 B0

A B

C

D

D0

00

1800 3600

A

A0

B

2 1

24

Fig. 1.11

Agregarea n paralel a dou mecanisme simple se realizeaz atunci cnd fluxul de micare se mparte mai nti, prin ramificarea puterii, fiind dirijat prin dou mecanisme cuplate n paralel, la care se produce transformarea micrii, dup care cele dou fluxuri se reunesc ntr-un mecanism sumator (ca de exemplu mecanismul planetar bimobil).

O astfel de agregare n paralel se ntlnete la tandurile de ncercri cu circuit nchis, precum i la unele transmisii mecanice de la automobile (fig. 1.11).

De la arborele de intrare fluxul de micare / putere se ramific prin transmisia variabil continu (CVT) cu discuri tronconice [A4] i reductorul cilindric (RC). Apoi cele dou fluxuri de putere / micare se reunesc n mecanismul planetar diferenial (MPD), a crui bra portsatelit transmite micarea /

CVT

MPD

RC

25

puterea nsumat spre arborele de ieire, printr-un angrenaj cilindric.

Agregarea prin suprapunere a dou mecanisme simple, dintre care unul este cu bare (considerat ca mecanism de baz) i cellalt este un mecanism cu roi dinate ce primete micarea de la una din barele primului mecanism.

Ca exemplu se consider un mecanism cu bare i roi dinate (fig. 1.12a), obinut prin cuplarea prin suprapunere a mecanismului cu bare tip manivel-balansier i a unui angrenaj cilindric, ale crui axe de rotaie coincid cu cele ale articulaiilor balansierului B0B.

Mecanismul cu roi dinate, care se suprapune mecanismului patrulater cu bare, este un angrenaj cilindric format dintr-un sector dinat ca satelit (solidar cu biela AB) i o roat dinat cu axul fix n B0.

Variaia deplasrii unghiulare a balansierului (bra portsatelit) se amplific, prin intermediul rotaiei bielei AB, obinndu-se la roata central unghiul (fig. 1.12b).

Acest mecanism cu bare i roi dinate (fig. 1.12a) servete la transformarea micrii de rotaie uniforme a manivelei A0A ntr-o micare de rotaie oscilant neuniform, care poate fi realizat cu oprire sau poate fi realizat cu ntoarcere parial (n pas de pelerin).

a) b)

Fig. 1.12

A B

B

A

00

1800

3600

A

B

m

ma

26

n afar de aceasta, mecanismele cu bare i roi dinate (obinute prin suprapunere) sunt potrivite pentru generarea curbelor plane.

Un alt tip de mecanism cu bare i roi dinate se poate alctui prin suprapunerea unui angrenaj cilindric pe una din bielele mecanismului pentalater articulat (fig. 1.13).

Fig. 1.13

Prin solidarizarea celor dou roi dinate de barele 1 respectiv 3, angrenajul cilindric este suprapus bielei 2 (fig. 1.13), avnd centrele roilor dinate n articulaiile A i C.

Mecanismul pentalater este bimobil, unghiurile i fiind independente, dar prin suprapunerea angrenajului cilindric pe biela 2, mecanismul rezultat (cu bare i roi dinate) devine monomobil, astfel c unghiurile i sunt dependente.

A0

A

B

B0

C

1

3 2

4

27

Exist o mulime de variante de astfel de mecanisme cu bare i roi dinate, aceste mecanisme agregate prin suprapunere avnd la baz numrul mare al mecanismelor cu bare, precum i numrul de dou sau mai multe roi dinate folosite pentru angrenajele suprapuse.

Foarte frecvent sunt utilizate mecanisme cu bare i roi dinate de tip planetare (fig. 1.14), care realizeaz la roata central 5 o micare de rotaie cu grad mare de neuniformitate [A17], [1], [2].

Fig. 1.14

Mobilitatea mecanismului patrulater (de baz) cu bare articulate se menine egal cu unu i dup suprapunerea celor dou angrenaje cilindrice pe lanul diadic (2,3).

Astfel angrenajul (1, 4) se ataeaz bielei 2 i angrenajul (4, 5) se ataeaz la balansierul 3.

A0

A

B0

B

1

2

3

4

5

28

De asemenea, mecanismele cu bare i roi dinate, care sunt agregate prin suprapunere peste un patrulater articulat tip dubl manivel (fig. 1.15a), pot realiza la roata central micarea de rotaie unisens cu oprire limitat. n anumite situaii roata central poate realiza o rotaie cu o mic ntoarcere parial (pas de pelerin).

a) b)

Fig. 1.15

Micarea n pas de pelerin este utilizat la mainile textile specializate (pentru pieptnatul bumbacului i a firelor de rafie) precum i la mainile de mpachetat [A17].

Rotaia cu ntoarcere limitat reprezentat prin curba * (fig. 1.15b) se obine prin interferena dintre micarea planetar a roii dinate solidar cu biela 2 i micarea de rotaie relativ din articulaia A (fig. 1.15a).

Mecanismele cu bare i roi dinate realizeaz funcii similare cu cele ale mecanismului patrulater cu dubl manivel.

Curbele cicloidale sunt generate cu ajutorul mecanismelor cu bare i roi dinate tip planetare, cu angrenare exterioar sau interioar.

1

2

3

4

A

A0 B0 B*0

B

3*

*

max

00 1800 3600

29

De exemplu, curba hipocicloid este folosit la unele maini unelte tip pres, la care patina translant realizeaz o curs cu oprire prelungit la captul exterior din dreapta (fig. 1.16), [A17].

Fig. 1.16

W. Lichtenheldt [L1] rezolv cinematica mecanismelor cu b. i r.d. prin metoda grafic a centrelor instantanee de rotaie, considernd ca exemplu un mecanism manivel-patin centric, la care se ataeaz trei roi dinate (3, 4, 5), formnd dou angrenaje exterioare (fig. 1.17).

Fig. 1.17

A

A0

B

C (B)

BI

BII

CI,CII

sC

A0

A

B 1 2

3 3 4 5 1

30

R. Neumann [N1] studiaz mecanismul cu b. i r.d. alctuit din mecanismul manivel-balansier la care s-au ataat trei roi dinate formnd dou angrenaje (fig. 1.18a).

a) b)

Fig. 1.18

n funcie de raportul de transmitere dintre roile 1 i 5 rezult funcia deplasrii unghiulare () al crei grafic (fig. 1.18b) poate fi:

- o linie dreapt (K) cnd A0B0 = 0; - o curb continuu cresctoare (U) cu punct de

inflexiune la jumtatea cursei; - o curb continu cu un palier (R) ceea ce implic

oprirea momentan a rotaiei elementului condus 5; - o curb continu cu linie punct (P) prezint o

poriune de ntoarcere dup care revine la rotaia n sensul iniial; este micarea n pas de pelerin.

W. Rehwald i K. Luck [R3], [R4] au realizat un program de simulare a mecanismelor plane cu b. i r.d. fiind analizate

A0 B0

A

B

1

2 3

4

5

P R U

K

31

cinematic i dinamic o serie de scheme cinematice (fig. 1.19), alturi de care sunt prezentate diagramele de variaie a forelor i momentelor de echilibru dinamic.

Fig. 1.19

Schema cinematic are elementele cinematice numerotate n ordinea alctuirii mecanismului; acesta reprezint un mecanism plan manivel-patin (0, 1, 2, 3) amplificat cu un lan diad (4, 5), avnd urmtoarea formul structural-topologic [A11]:

M = MF(0, 1) + LD(2, 3) + LD(4, 5) (1.12)

La mecanismul cu bare s-au ataat patru roi dinate care formeaz dou angrenaje cilindrice exterioare, avnd roile 6 i 7 ca elemente cinematice distincte cu centrele n articulaiile E i F de pe barele 1 respectiv 4.

P. Antonescu [A9], [A11], [A12], prezint un mecanism complex cu b. i r.d. folosit ca tergtor de parbriz cu bra telescopic (fig. 1.20).

A0

D0 A

B

C

D

E

F

4

1 2

3

5

6

7

0 B

32

a) b)

Fig. 1.20

Mecanismul cu bare este un pentalater (0, 1, 2, 3, 4) cu baza de lungime zero, avnd articulaia din A0 dubl (fig. 1.20a) i cele dou elemente 1 (manivel) i 4 (balansier) cu rotaie absolut fa de aceeai ax fix 1 (fig. 1.20b).

Mobilitatea mecanismului pentalater este M = 2, dar prin ataarea celor trei roi dinate cilindrice (1, 4, 5) cu dou angrenaje, mobilitatea devine M = 1.

De menionat c roata 1 este solidar cu manivela 1, iar roata 4 cu dantur interioar este solidar cu balansierul 4, fiind realizat sub forma de sector dinat cu unghiul la centru de 1200.

A0

B0 A A

A0

B0

B B

C C

3 3

2 2

1

5

4

4

5

1

4

0

M M

33

Cu ajutorul celor dou angrenaje (1, 5) i (5, 4) se obine corelarea micrilor manivelei 1 i balansierului 4. Analiza geometro - cinematic urmrete determinarea poziiei, vitezei i acceleraiei unui punct trasor M (fig. 1.20) de pe bara 3, a crei micare este de roto-translaie.

De bara 3 se fixeaz un segment, reprezentnd lama tergtorului de parbriz, ale crui capete descriu traiectorii foarte apropiate de conturul parbrizului unui autovehicul.

D. Maros [M16] prezint o aplicaie a mecanismului plan cu b. i r.d. denumit tren de angrenaje diad la mainile textile de nfurare a firului pe mosor (fig. 1.21a) i pentru optimizarea sistemului propune folosirea mecanismului tip Fergusson (fig. 1.21b).

A.S. akin [1] consider mecanismele cu bare i roi dinate ca fiind combinaii complexe de lanuri cinematice articulate i lanuri cinematice de roi dinate.

Aceste combinaii complexe de bare i roi dinate pot fi mprite n: nseriate i paralele.

a) b)

Fig. 1.21

A0

A

B

2

3

a b

3

4

5

6

4

0

0

A

A0

B

1 1

2 3 a

b

34

Mecanismele nseriate sunt o reuniune de lanuri cinematice cu bare i roi dinate, n care elementul conductor al lanului articulat transmite rotaia ctre elementul condus al lanului articulat, n care nici unul din elemente nu este fix, asigurnd distana constant dintre centrele perechilor de roi dinate.

Mecanismele paralele sunt o reuniune de lanuri cinematice cu bare i roi dinate, n care roile dinate sunt situate pe axele lanului cinematic cu bare articulate, elemente care asigur distana constant dintre centrele fiecrei perechi de roi dinate.

Elementul conductor n acest mecanism poate fi primul sau al doilea element al lanului cinematic sau elementul care aparine ambelor lanuri cinematice n acelai timp.

Mecanismele de tipul al doilea, care realizeaz asamblarea paralel a lanurilor cinematice cu bare i roi dinate ntr-un mecanism, n care numrul elementelor mobile ale lanului cu bare este mai mare de unu, se vor numi mecanisme cu bare i roi dinate.

n cazul asamblrii nseriate, legarea lanului cu roi dinate la cel cu bare nu schimb ultimul grad de mobilitate.

La asamblarea paralel, n procesul de formare a mecanismelor cu bare i roi dinate se disting dou cazuri: mecanisme multimobile i mecanisme monomobile.

Mecanismele multimobile au lanul cinematic cu bare cu M>1, iar elementele acestuia au micri nedeterminate.

Se asigur asamblarea paralel, a lanului cu bare de lanul cu roi dinate, numai cnd, prin solidarizarea uneia sau ctorva roi dinate, la elementele lanului cinematic cu bare, se obine un mecanism cu bare i roi dinate cu mobilitatea M=1. Aceasta implic posibilitatea determinrii legii de micare la lanul cinematic cu bare i deducerea diferitelor traiectorii de micare descrise de punctele acestora.

Prin aceast caracteristic a legii de micare sau a traiectoriilor se determin tipul ambelor lanuri cinematice i

35

modul asamblrii paralele. La aceste mecanisme cu bare i roi dinate, ntotdeauna se poate distinge lanul de roi dinate care transform lanul cu bare n mecanism cu o singur mobilitate.

Acest lan i roile aferente este numit lan fundamental [1], iar lanul cinematic care este pus n micare de la cel fundamental este denumit lan complementar.

La un mecanism cu bare i roi dinate, roile dinate ale lanului de completare nu schimb mobilitatea lanului fundamental, comportndu-se ca un lan cinematic pasiv (grup assuric) a crui mobilitate este nul.

n schimb, roile dinate ale lanului fundamental modific mobilitatea lanului cu bare i n final a ntregului mecanism cu bare i roi dinate.

Mecanismele monomobile au lanul cinematic cu bare cu mobilitatea unu (M=1). Dac prin intermediul lanului cinematic cu roi dinate trebuie realizat, la roata condus, o lege de micare impus neuniform, atunci una sau cteva roi dinate trebuie solidarizate de barele lanului cinematic, astfel nct mecanismul cu bare i roi dinate s-i menin mobilitatea unu.

Caracteristica legii de micare depinde de tipul ambelor lanuri cinematice ca i de modul de asamblare paralel.

n cazul mecanismului cu bare i roi dinate, care este format numai cu ajutorul lanului cinematic cu roi dinate complementar, ndeprtarea oricrui numr de roi dinate conduse nu schimb mobilitatea mecanismului cu bare i nici a mecanismului cu bare i roi dinate (M=1).

Prezena, n mecanismul cu bare i roi dinate, a dou sau mai multe mobiliti, la ambele lanuri cinematice, arat c elementele acestora nu sunt solidarizate reciproc.

Ca exemplu [1] se d mecanismul cu bare i roi dinate care realizeaz la elementul condus (roat dinat) o lege de micare neuniform.

36

Se consider schema cinematic a mecanismului cu bare i roi dinate (fig. 1.22), considerat a fi cea mai des aplicat [1].

Fig. 1.22

Fig. 1.23

A

O C

B

1 3 2

l

l l

za

zc

zb zb

1=a

c

1800

1800 3600

3600

00

37

Lanul cinematic cu bare este reprezentat de patrulaterul articulat OABC cu o singur manivel OA. Axele geometrice ale roilor dinate cu numerele de dini za, zb, zb i zc coincid cu axele articulaiilor A, B i C.

Acest ir de roi dinate succesive formeaz lanul cinematic cu roi dinate complementar care este paralel cu lanul cinematic cu bare (fig. 1.22).

Roata dinat za este solidar cu manivela OA de lungime l1, iar roile dinate zb i zb sunt solidarizate.

Lungimea l1 a manivelei mecanismului patrulater poate fi modificat. La limit l1 =0, ceea ce transform mecanismul cu bare i roi dinate ntr-o transmisie de roi dinate ordinare, n care, prin rotaia uniform a roii conductoare za, roata dinat condus zc se rotete de asemenea uniform.

Odat cu mrirea lungimii l1, prin rotirea uniform a roii za, roata dinat condus zc ncepe s se roteasc neuniform, astfel c pe msur ce se mrete l1 crete gradul de neuniformitate al rotaiei roii conduse.

Unghiul de rotaie curent al manivelei l1 este notat 1 = a, iar unghiurile de rotaie ale celorlalte bare i roi dinate (fig. 1.22) sunt notate semnificativ cu 2, 3, b i c.

Variaia unghiului de rotaie c al roii conduse (fig. 1.23) arat o cretere continu pe prima poriune, dup care se schimb sensul de rotaie pn la valoarea , iar pe ultima poriune rotaia se face n sensul iniial.

n aceeai lucrare [1] se prezint o sistematizare a mecanismelor cu bare i roi dinate, fcndu-se afirmaia c toate mecanismele cu bare i roi dinate pot fi mprite n 22 grupe.

Toate mecanismele din cele 22 grupe au gradul de mobilitate unu, iar roile dinate formeaz cel puin un angrenaj cilindric sau conic.

Grupa 1 cuprinde mecanisme complexe (b. + r.d.) care sunt construite pe baza mecanismului patrulater plan articulat.

38

Sunt evideniate trei subgrupe de mecanisme complexe, acestea fiind funcie de numrul articulaiilor care poart roile dinate suplimentare. Roile dinate nu influeneaz gradul de mobilitate al mecanismului patrulater articulat.

Grupa 2 cuprinde mecanisme complexe (b. + r.d.) care sunt construite pe baza mecanismului pentalater plan articulat. Sunt menionate patru subgrupe de mecanisme complexe, acestea depinznd de numrul articulaiilor pentalaterului care poart roile lanului cinematic cu roi.

Grupa 3 cuprinde mecanisme complexe (b. + r.d.) care sunt construite pe baza mecanismului hexalater plan articulat. Sunt considerate trei subgrupe de mecanisme complexe, dup unele criterii ce nu sunt riguroase i nici unitare.

Grupa 4 cuprinde numai dou mecanisme complexe (b. + r.d.) care sunt construite pe baza mecanismului manivel-piston.

Grupa 5 cuprinde numai trei mecanisme complexe (b. + r.d.) care sunt construite pe baza unor mecanisme manivel-culis.

Grupa 6 este reprezentat de un singur mecanism complex (b. + r.d.) cu urub melc.

Grupa 7 cuprinde numai 3 mecanisme complexe (b. + r.d.) cu lan cinematic deschis.

Grupa 8 cuprinde 3 mecanisme complexe (b. + r.d.), dintre care numai dou sunt scheme distincte denumite mecanisme planetare.

Grupa 9 este reprezentat de un singur mecanism complex (b. + r.d.), definit ca mecanism planetar cu culis, dar de fapt este construit pe baza unui pentalater cu o cupl de translaie.

Grupa 10 are un singur mecanism complex (b. + r.d.), care de fapt este un mecanism din grupa 1, la care a fost ataat un lan diadic RRR.

39

Grupa 11 cuprinde un singur mecanism complex (b. + r.d.), care este un mecanism din grupa 1 prevzut cu dispozitiv unisens.

Grupa 12 se refer la un singur mecanism complex (b. + r.d.), realizat din combinarea unui mecanism din grupa 1 cu un cuplaj Oldham.

Grupa 13 cuprinde un singur mecanism complex (b. + r.d.), identificat a fi din grupa 2, prevzut ns cu un dispozitiv de reglare.

Grupa 14 este reprezentat de un singur mecanism complex (b. + r.d.), acesta fiind un mecanism din grupa 1 la care o roat este incomplet (sector circular).

Grupa 15 cuprinde ase mecanisme complexe (b. + r.d.) care sunt mprire arbitrar n dou subgrupe. Patru din aceste mecanisme sunt construite pe baza patrulaterului sferic articulat.

Grupa 16 cuprinde numai patru mecanisme complexe (b. + r.d.), acestea fiind construite pe baza pentalaterului sferic articulat.

Grupele 17, 18, 19, 20, 21 i 22 sunt reprezentate prin cte un singur mecanism complex (b. + r.d.). Astfel cel cu numrul 17 este numai una din multiplele variante de construire a mecanismelor complexe pe baza hexalaterului articulat.

Mecanismul complex (b. + r.d.) cu numrul 18 este construit pe baza mecanismului sferic manivel-piston. Mecanismul complex (b. + r.d.) cu numrul 19 este construit prin legarea unui angrenaj conic cu un mecanism sferic cu bare tip manivel-culis.

Mecanismul complex (b. + r.d.) cu numrul 20 este construit cu angrenaje conice pe baza unui lan cinematic deschis. Mecanismul complex (b. + r.d.) cu numrul 21 este construit prin legarea unui mecanism complex sferic la un mecanism planetar cilindric.

40

Mecanismul complex (b. + r.d.) cu numrul 22 este un mecanism complex cu pentalater sferic, prevzut cu un sistem specific de reglare.

ntr-o lucrare anterioar [2] se consider cteva probleme de sintez a dou variante de mecanisme cu bare i roi dinate, care au ca lan fundamental mecanismul patrulater plan articulat de tip manivel-balansier (fig. 1.24a) respectiv balansier-balansier (fig. 1.24b).

a) b)

Fig. 1.24

Mecanismul prezentat n figura 1.24a este o combinaie a patrulaterului articulat cu o singur manivel peste care s-a suprapus lanul cinematic format din roile dinate z1, z4 i z5.

Manivela l1 a patrulaterului A0ABB0 formeaz un excentric cu roata z1. Dac se alege l1 = 0, atunci mecanismul se transform ntr-o transmisie cu roi dinate obinuite (cu axe fixe).

Roata dinat z1 se rotete fa de baz cu viteza unghiular constant. Prin aceasta roata dinat z5 se rotete ntr-un singur sens cu oprire periodic momentan.

Acest mecanism a fost analizat n mai multe lucrri de coala german de mecanisme [A17] n care se propun diferite metode de proiectare a acestuia.

A0

A0 B0 B0

B B A

A

41

n lucrrile tiinifice publicate nainte de 1960 nu s-a pus problema proiectrii acestor mecanisme cu o anumit precizie pentru staionarea (oprirea de lung durat) a roii dinate z5.

1.4. CERCETRI PRIVIND SINTEZA MECANISMELOR CU B. I R.D.

nceputul cercetrilor de sintez a mecanismelor cu b. i r.d. poate fi considerat a fi n 1960, odat cu publicarea unor lucrri tiinifice, consacrate metodei de rezolvare a problemelor de sintez specifice acestor mecanisme, de ctre S.A. Cerkudinov, L.B. Maisiuk i A.S. akin [1].

O metod de sintez aproximativ a mecanismelor plane cu bare i roi dinate a fost prezentat de A.S. akin [2], cu referire la schema cinematic prezentat anterior (fig. 1.24a).

Se consider o schem cinematic (fig. 1.25a) pentru care s-a calculat funcia de transmitere a vitezei unghiulare a roii conduse 5 (fig. 1.25b).

n formularea problemei de sintez aproximativ a mecanismului patrulater manivel-balansier (fig. 1.25a) se parcurg urmtoarele etape:

1) Deducerea curbei (fig. 1.25b) care reprezint variaia vitezei unghiulare reduse (5/1), a roii dinate conduse 5, n funcie de unghiul 1 de poziionare a manivelei 1.

Aceast curb taie axa absciselor n dou puncte, n care are loc oprirea momentan a roii dinate 5. Segmentul de pe aceast ax situat ntre cele dou puncte se noteaz cu *1 (fig. 1.25b). Pe aceast poriune, roata 5 are viteza unghiular negativ, ceea ce nseamn c se rotete n sens contrar.

Cu ct este mai mare unghiul *1 cu att este mai mare viteza acestei micri.

42

a)

b)

Fig. 1.25

43

2) Se pune problema proiectrii unui astfel de mecanism cu b. i r.d. (fig. 1.25a) care s realizeze aproximativ 5 = 0 n poriunea de oprire. Pentru staionarea (oprirea) momentan a unui element cinematic, din componena mecanismului, se poate formula urmtoarea condiie geometric necesar: toate centrele instantanee de rotaie se suprapun cu CIR absolut al elementului cinematic, a crui oprire momentan este cerut.

Pentru a determina grafic poziia centrului instantaneu I40, pentru unghiul 1 dat, se aplic teorema celor trei CIR, astfel acest punct se obine la intersecia liniilor care trec prin punctele A0C i B0B (fig. 1.25a). Pentru o rotaie complet a manivelei 1 se obin grafic sau analitic poziiile punctului I40, care unite determin curba loc geometric )(

40I a acestui CIR

absolut.

Oprirea momentan a roii dinate 5 e posibil n acel caz cnd CIR-ul relativ I54 = D, corespunztor angrenajului exterior (4, 5) sau 54I = D, n cazul angrenajului interior (4, 5), se suprapune cu CIR-ul absolut I40.

Intersecia cercului de rostogolire al roii 5 cu curba centroid )(

40I determin dou puncte care reprezint locul

opririi momentane a roii 5. Se definete cursa opririi momentane, intervalul de timp n cursul cruia roata 5 se ntoarce i revine la poziia de staionare. Acest timp corespunde unghiului cursei de staionare *1 care se obine la manivela 1.

Dac cercul de rostogolire al roii 5 se suprapune pe curba centroid )(

40I pe o poriune, atunci n acest interval este

ndeplinit condiia 5 = 0. Aceast condiie determin lungimea cutat pentru raza roii 5, al crui cerc este trasat cu linie ntrerupt (fig. 1.25a), corespunztor angrenrii interioare cu roata 4 solidar cu 4.

Angrenarea interioar conduce la soluii de oprire a roii 5 (prevzut cu dantur interioar), iar pentru acest caz s-a

44

calculat funcia adimensional 5/1 reprezentat prin curba (fig. 1.25b).

Se menioneaz c aceast curb se apropie de axa absciselor, dar nu coincide cu ea, aa cum cercul de rostogolire al roii 5 nu se suprapune n ntregime cu poriunea respectiv a centroidei fixe.

3) n acest fel s-a stabilit metoda de aproximare a centroidei fixe pe cteva poriuni, cu arcul de cerc descris cu centrul n punctul B0 al roii 5.

Cnd, n toate aceste poriuni, centrele instantanee I54 i I40 vor coincide aproximativ i roata dinat 5 va realiza oprirea momentan.

O metod analitic de sintez aproximativ a mecanismului cu b. i r.d., pentru realizarea de opriri momentane, este cea a aproximrii ptratice [B3], [1].

Se utilizeaz funcia celei mai bune aproximaii, n acele cazuri cnd trebuie obinut minimul posibil pentru valoarea maxim a abaterii de la funcia dat )(xFy = n tot intervalul de variaie a argumentului considerat. Pentru fiecare din parametrii sistemului npppp ,,,, 210 L , pentru care se

determin funcia de aproximare )(xP , poate fi gsit pe

segmentul considerat ),( 0 mxx maximul modulului mrimii

diferen:

)]()(max[max xPxF = (1.13)

Se poate gsi sistemul coeficienilor de sistem

npppp ,,,, 210 L prin care expresia max din (1.13) este minim.

Din teoria funciilor de aproximare se cunoate c dac funcia de aproximare poate fi stabilit sub forma unui polinom generalizat:

)()()()( 1100 xfpxfpxfpxP nn +++= L (1.14)

45

unde npppp ,,,, 210 L sunt coeficienii ce trebuie

determinai, iar )(,),(),(),( 210 xfxfxfxf nL sunt funcii

nedependente liniar de argumente variabile, care nu conin mrimi necunoscute, semnificaia coeficienilor

npppp ,,,, 210 L const n cutarea minimului expresiei

max .

Pentru polinomul generalizat, care formeaz sistemul funciei Cebev, exist teorema Cebev care d posibilitatea calculului coeficienilor necunoscui

npppp ,,,, 210 L ai funciei de aproximare, extremul derivatei

funciei E (reprezentnd minimul lui max ) i mrimea argumentului x prin care acesta se atinge.

Conform teoremei Cebev, calculul nemijlocit al coeficienilor funciei de aproximare din ecuaie este posibil numai n cteva cazuri particulare, cnd funciile

)(,),(),(),( 10 xfxfxfxF nL sunt stabilite analitic n forma

destul de simpl.

n cazul sintezei mecanismelor cu b. i r.d. cu opriri, metoda Cebev se aplic foarte greu, pentru c ecuaia centroidei este o funcie foarte complex.

Dac funcia )(xF este dat n forma grafic sau printr-un ir de valori numerice, abaterea ptratic medie se definete prin mrimea (1.15), unde S se calculeaz cu formula (1.16).

1+=

m

Sm (1.15)

=

=m

i

ii xPxFS0

2)]()([ (1.16)

46

Dac funcia de aproximare este polinom generalizat, coeficienii npppp ,,,, 210 L se pot gsi din condiia

minimului abaterii ptratice medii n m puncte alese. Aceste condiii corespund n vecintatea minimului sumei S, care n cazul considerat are urmtoarea form:

=

=m

i

inniii xfpxfpxfpxFS0

21100 )]()()()([ L (1.17)

Egalnd cu zero derivatele pariale ale sumei S n funcie de coeficienii ),,2,1,0( nkpk L= , se obin ecuaiile care formeaz sistemul liniar:

=+++

=+++

=+++

.

;

;

1100

11111010

00101000

nnnnnn

nn

nn

bpcpcpc

bpcpcpc

bpcpcpc

L

LLLLLLLLLLLL

L

L

(1.18)

n sistemul de ecuaii (1.18) coeficienii klc i kb au

urmtoarele semnificaii:

.,1,0;,,1,0;)()(0

nlnkxfxfccm

i

iliklkkl LL ==== =

(1.19)

.,,1,0;)()(0

nkxfxFbm

i

ikik L===

(1.20)

Sistemul de ecuaii (1.18) se poate rezolva prin metoda eliminrii succesive, dup ce se verific urmtoarele formule:

47

=++++

=++++

=++++

=

=

=

.)(

;)(

;)(

0

10

0

1111110

0

0000100

m

i

iinnnnnn

m

i

iin

m

i

iin

Sxfbccc

Sxfbccc

Sxfbccc

L

LLLLLLLLLLLLLL

L

L

(1.21)

n relaiile (1.21) funcia Si se definete prin relaia.

)()()()( 10 iniiii xfxfxfxFS ++++= L (1.22)

Funcia, care trebuie realizat de mecanismul manivel - balansier, poate fi scris sub forma (1.23). n realitate, mecanismul patrulater realizeaz efectiv o alt funcie (1.24).

)( 13 f= (1.23)

)( 13 fe = (1.24)

Pe intervalul ),( )(1)0(1 m se poate evalua mrimea abaterii.

333 = e (1.25)

Printr-o alegere corect a parametrilor cutai, aceast abatere trebuie s difere puin de zero pe segmentul indicat. Pentru acest scop trebuie ndeplinite i mai multe condiii generale, cunoscute sub denumirea diferenelor cantitative

48

3== qqq (1.26)

Cu condiia ca ponderea q s difere cel puin de mrimile constante.

Expresia pentru diferena cantitativ q poate fi obinut

astfel. Se consider schema cinematic a mecanismului manivel - balansier cu dou angrenaje (fig. 1.26).

Aa cum parametrii bcab ii , i k trebuie s rmn invariabili

i roile dinate sunt dispuse pe elementele l2 i l3, tot aa lungimile l2 i l3 n procesul de aproximare trebuie s rmn invariante. Dar n rezultatul calculelor trebuie s fie obinute noi semnificaii ale parametrilor l1 i l0.

Se introduc urmtoarele rapoarte ntre lungimile barelor mecanismului patrulater, lungimea de referin fiind l2:

dl

lconstc

l

lb

l

la

l

l======

2

0

2

3

2

2

2

1 .;;1; (1.27)

Abaterea 3 este influenat de abaterea lungimii manivelei ( a ), pentru care se stabilete expresia (1.28). Se nmulete aceast funcie cu coeficientul aa + care este

foarte aproape de o mrime constant, egal cu a2 , ceea ce determin diferena (1.29).

aaa = (1.28)

22 aaq = (1.29)

49

Fig. 1.26

Pentru a obine expresia analitic a funciei q se

proiecteaz conturul A0ABB0 (fig. 1.26) pe axele de coordonate x i y:

.sinsinsin

;coscoscos

231

231

=

+=

ca

dca (1.30)

Eliminnd unghiul 1 din ecuaiile (1.30) se obine pentru 2a expresia:

23

23

222

cos2cos2

)cos(21

+

+++=

ddc

cdca (1.31)

Cu aceasta, funcia (1.29) capt expresia:

A0 B0

A

1 3 za

zb

zb zc

B

l0

l1

l2

l3

Ib0

x

y

50

)}1(2

1

]cos1

[cos){cos(2

222

2323

adcc

cdcq

++

= (1.32)

Ecuaia (1.32) are forma unui polinom generalizat care se scrie:

)]()()([ 1111001 fpfpFAq = (1.33)

n care: A este un coeficient constant; funciile F(1), f0(1) i f1(1) nu conin parametri necunoscui; coeficienii p0 i p1 depind de parametri necunoscui.

Din comparaia relaiilor (1.31) i (1.32) rezult urmtoarele corespondene:

;1)(;cos1

cos)(

);cos()(;2

112310

231

==

==

fc

f

FcA

(1.34)

).1(2

1; 22210 adc

cpdp ++== (1.35)

Sistemul de ecuaii (1.18), din care se pot determina coeficienii p0 i p1 se scrie:

=+

=+

.

;

1111010

0101000

bpcpc

bpcpc (1.36)

n ecuaiile sistemului (1.36) coeficienii klc i kb se

calculeaz cu formulele:

.1.0;1,0;)()(0

11 ==== =

=

lkffccmi

i

iliklkkl (1.37)

.1,0;)()(0

11 ===

=

kfFbmi

i

ikik (1.38)

51

Cap. 2. SINTEZA STRUCTURAL-TOPOLOGIC A MECANISMELOR

CU BARE I ROI DINATE

Mecanismele cu bare i roi dinate au n componen cel

puin o bar articulat mobil i unul din angrenajele cilindric, conic sau hipoid (melcat).

n continuare se vor considera numai angrenajele cu elemente dinate circulare sau drepte, la care poziia relativ a axelor de rotaie sau translaie nu se modific.

Structura topologic a mecanismelor cu bare i roi dinate este caracterizat de un lan cinematic cu bare articulate i cel puin un lan cinematic cu elemente dinate.

Lanul cinematic cu bare poate fi lan deschis (cu o articulaie fix de rotaie) sau lan nchis (cu cel puin dou articulaii fixe).

Lanul cinematic cu elemente dinate este ataat lanului cinematic cu bare, astfel ca cel puin dou roi dinate s aib centrele n articulaiile barelor, iar unele roi pot fi solidare cu barele respective.

n practic o parte din aceste mecanisme cu bare i roi dinate sunt cunoscute sub denumirea de mecanisme planetare cu angrenaje cilindrice, conice sau hipoide.

Montajul roilor dinate n aceste mecanisme complexe se realizeaz sub forma trenurilor de angrenaje n serie, paralel sau serie-paralel [A6], [A11].

52

2.1. MECANISME PLANE CU BARE I ROI DINATE

Sistematizarea se face n funcie de lanul cinematic plan cu bare articulate, acesta putnd fi realizat ca lan cinematic deschis sau nchis.

2.1.1. Mecanismele plane cu bare i roi dinate cu lan cinematic deschis

Acestea se mpart n mecanisme elementare (cu o singur bar articulat) i mecanisme complexe etajate, cu cel puin dou bare articulate. Mecanismele cu bare i roi dinate din prima categorie sunt denumite mecanisme planetare, fiind folosite ca transmisii mecanice planetare [A4], [M12].

La rndul lor mecanismele elementare sunt realizate cu roat central, cu ax fix de rotaie (fig. 2.1) i cu dou roi centrale (fig. 2.2), ale cror axe coincid cu cea fix a barei articulate.

a) b) c)

Fig. 2.1

Mecanismele elementare cu o roat central (fig. 2.1) au roata central notat cu cifra 1 i o roat satelit 2 cu axul

A A A A

AAA A

2 2

2 2

1 1 1 1

3 3 3 3

0 0 0 0

A A

AA

2 2 1 1

3 3

0

53

mobil. Bara este notat cu cifra 3, iar articulaiile sunt notate cu litera A0 (articulaie dubl) respectiv A (articulaie simpl).

Cele dou roi 1 i 2 formeaz un angrenaj cilindric, acesta fiind exterior (fig. 2.1a) sau interior (fig. 2.1b,c). Fiecare roat dinat se reprezint prin cercul de rostogolire care n schemele cinematice se simbolizeaz cu linie continu.

Mobilitatea acestui mecanism cu bare i roi dinate este egal cu 2, ceea ce se deduce cu ajutorul formulei structural-numerice [A1]:

==

=6

2

5

1

)()(r

r

m

m NrCmM (2.1)

n formula (2.1) s-au folosit notaiile urmtoare:

51L=m este clasa funcional a cuplei cinematice (gradul de libertate);

mC este numrul cuplelor cinemtice de clasa m;

62L=r este rangul spaiului asociat unui contur cinematic nchis;

rN este numrul contururilor cinematice nchise independente de rangul r.

Numrul total Nc al contururilor nchise independente se calculeaz cu formula:

nCNm

mc ==

5

1

(2.2)

n formula (2.2) s-a notat cu n numrul total al elementelor cinematice mobile din componena mecanismului.

n cazul mecanismelor elementare cu bare i roi dinate (fig. 2.1) elementele cinematice sunt sub forma de bar i de roat dinat, iar cuplele cinematice sunt de rotaie (m = 1), reprezentate de articulaii plane i de roto-translaie (m = 2), reprezentate de angrenaje cilindrice.

54

Urmrind schemele cinematice (fig. 2.1) se identific urmtoarele valori numerice:

.1,3,3

;1,2;3,1

3

21

===

====

Nnr

CmCm (2.3)

Cu aceste valori numerice introduse n formula (2.1) se obine:

.21.3)1251( =+=M (2.4)

Prin imobilizarea roii cetrale, mecanismul va avea mobilitatea M = 1, situaie n care bara 3 poate fi element conductor i roata dinat 2 va deveni element condus.

n acest caz, un punct de pe roata 2 va descrie o curb epicicloidal (fig. 2.1a), hipocicloidal (fig. 2.1b) sau pericicloidal (fig. 2.1c).

Mecanismele elementare cu dou roi dinate centrale (fig. 2.2) se obin din cele anterioare prin adugarea unei roi dinate 4 care se afl n angrenare cu roata 2 solidar cu 2.

a) b) c)

Fig. 2.2

Deoarece o roat dinat este echivalent structural-topologic cu un lan cinematic tip diad, mobilitatea noilor mecanisme (fig. 2.2) se conserv, deci M = 2.

Valoarea mobilitii se calculeaz cu formula (2.1) n care se introduc valorile numerice specifice acestui mecanism cu dou roi centrale:

A

A

2 1 3

A

A

2

1 3

0 0 A

2 1

3

0 0

A

A

2

1 3

A

A

2

1 3

0

1

2

4

0

4

2A

4

4

4 A

A

2

1 3 2

4

2

55

.2,4,3;2,2;4,1 321 ======= NnrCmCm (2.5)

Astfel mobilitatea mecanismelor elementare, prezentate mai sus, rezult:

223)2241( =+=M (2.6)

Cele dou angrenaje cilindrice sunt ambele exterioare (fig. 2.2a), unul interior i cellalt exterior (fig. 2.2b) sau ambele interioare (fig. 2.2c).

La montajul celei de a doua roi centrale 4 se ine seama de condiia geometric ca distana dintre axele celor dou angrenaje s fie aceeai:

)()( 4'24'22112 zzmzzm = (2.7)

Mecanisme complexe cu bare i roi dinate etajate se obin prin operaia de supraetajare a mecanismelor elementare analizate anterior.

Supraetajarea se refer la lanul cinematic cu bare, acesta putnd avea dou bare (fig. 2.3a) sau mai multe bare (fig. 2.3b).

a) b)

Fig. 2.3

A A A A

B

AAAA

B B B

C

C C

A

D

D

1

2 3

4 5

6 6

6

6 2

3 5

4 1 1

3 2 4

5 2

6

6

7 7

2

6

3

2

2

5 4

1 0 0 0 0

2

6

B

56

n analiza schemei cinematice a mecanismului cu dou bare (fig. 2.3a), trebuie menionat c roata 3 este solidar cu bara A0A, iar roata 2 este solidar cu bara AB. Aceste solidarizri sunt evideniate n ambele proiecii, att n cea din planul axial, ct i n proiecia transversal, corespunztor planului de micare a barelor i roilor dinate.

Exist patru angrenaje cilindrice exterioare, cte dou la fiecare nivel, ceea ce necesit verificarea urmtoarelor relaii deduse din egalitatea distanei dintre axe:

)()( 54452112 zzmzzm +=+ (2.8)

)()( '63'366556 zzmzzm +=+ (2.9)

Mobilitatea mecanismului simplu etajat (fig. 2.3a) este M = 2, aceasta rezultnd prin calcul cu ajutorul formulei (2.1), n care scop se determin valorile numerice specifice:

.4,6,3

;4,2;6,1

3

21

===

====

Nnr

CmCm (2.10)

Cu aceste date introduse n formula (2.1) rezult:

243)4261( =+=M (2.11)

Mecanismul complex supraetajat (fig. 2.3b) este compus din lanul cinematic cu bare deschis A0ABCD (la care ultima bar CD este solidar cu roata dinat 7) i lanul cinematic cu roi dinate situate n plane paralele cu lanul principal.

Se observ c roile dinate 2 i 2 sunt solidare cu bara AB, iar roata dinat 6 este solidar cu bara BC a lanului articulat.

Pentru primele dou angrenaje cilindrice, montate n paralel la nivelul zero, exist relaia (2.8), avnd n vedere notaiile identice cu cele din schema cinematic analizat mai sus.

Mobilitatea mecanismului supraetajat (fig. 2.3b) este M = 3, ceea ce se verific folosind formula (2.1):

57

343)4271( =+=M (2.12)

n formula (2.12) s-au introdus urmtoarele valori numerice specifice mecanismului analizat:

4,7,3;4,2;7,1 321 ======= NnrCmCm (2.13)

Structura geometric a acestui mecanism complex (fig. 2.3b) corespunde unui manipulator plan redundant cu trei mobiliti, la care punctul D poate ajunge n poziia D pe o traiectorie dat.

2.1.2. Mecanisme plane cu bare i roi dinate cu contur nchis

Aceste mecanisme plane au ca lan principal cu bare un contur cinematic de tip patrulater articulat, pentalater articulat, hexalater articulat etc. Lanul cinematic cu roi dinate este ataat lanului cu bare, prin poziionarea fiecrei roi circulare cu centrul ntr-o articulaie a conturului poligonal.

2.1.2.1. Mecanismul cu lan cu bare tip patrulater se realizeaz cu dou, trei sau patru roi dinate, acestea fiind elemente cinematice distincte sau fiind montate solidar cu anumite bare ale conturului cinematic nchis. n anumite situaii se folosesc i roi dinate cu centrele plasate n anumite puncte ale barelor, altele dect articulaiile acestora.

Dup caz, patrulaterul articulat este de tip manivel-balansier, manivel dubl i balansier dublu (cu variantele simplu i complex).

Se consider n continuare lanul cinematic cu bare tip manivel-balansier (fig. 2.4), la care se ataeaz lanul cinematic cu dou, trei sau patru roi dinate respectiv unu, dou sau trei angrenaje cilindrice exterioare sau interioare [K2], [N1], [M13].

58

a) b) c)

Fig. 2.4

n ipoteza c mobilitatea mecanismului complex cu bare i roi dinate este M = 1, una din roile dinate ale angrenajelor ataate se solidarizeaz cu una din barele articulate 1, 2 sau 3.

Varianta 1 (fig. 2.4a) se obine cnd roata 2 este solidar cu biela 2 de lungime AB = l2, iar roata dinat 4 are axa de rotaie fix n B0, fiind roat condus.

Deoarece roata dinat 4 este un element cinematic distinct, echivalent unui lan diadic de mobilitate zero, prin adugarea acesteia, la patrulaterul articulat (0, 1, 2, 3) respectiv A0ABB0, se conserv mobilitatea mecanismului.

Pentru verificare, mobilitatea se calculeaz cu formula general (2.1), n care se introduc valorile numerice specifice acestui mecanism complex (fig. 2.4a):

2,4,3;1,2;5,1 321 ======= NnrCmCm (2.14)

123)1251( =+=M (2.15)

Distana dintre axele celor dou roi dinate 2 i 4 ale angrenajului cilindric exterior, care este montat pe balansierul 3, de lungime B0B = l3, trebuie s ndeplineasc condiia geometric:

)( 422421

024 zzmBBa +== (2.16)

Varianta 2 (fig. 2.4b) are dou angrenaje cilindrice, montate pe barele 2 i 3, la care roata 1 cu centrul n A este solidar cu manivela 1, de lungime A0A = l1, iar roile 4(4) i 5 sunt

A

A B

B

2

3 1

2 A

A B

B

4

3 1

2 A

A B

B

5

3 1

2

4

0

5

59

elemente cinematice distincte, avnd centrele n B respectiv B0. Cele dou roi dinate 4(4) i 5 sunt echivalente cu dou lanuri diadice, ceea ce conserv mobilitatea mecanismului patrulater M = 1.

Varianta 3 (fig. 2.4c) conine trei angrenaje cilindrice, montate pe barele 1, 2 i 3, la care roata dinat 0 cu centrul n A0 este solidar cu baza patrulaterului. Roile 4(4), 5(5) i 6 sunt elemente distincte ce echivaleaz cu trei lanuri diadice, astfel c mobilitatea M = 1 este conservat.

2.1.2.2. Mecanisme cu lan cu bare tip pentalater se pot realiza cu unul sau mai multe angrenaje cilindrice ataate pentalaterului articulat (fig. 2.5), la care, pentru a obine mobilitatea unu (M = 1), se introduc dou condiii care vizeaz solidarizarea a dou roi dinate cu bare distincte [1], [2].

a) b) c)

Fig. 2.5

Se menioneaz c din fiecare variant prezentat mai sus, prin fixarea altei bare a pentalaterului articulat se obin alte dou variante de mecanisme cu bare i roi dinate, ceea ce nseamn 9 variante distincte.

Varianta 1 (fig. 2.5a) se obine prin folosirea a dou roi dinate (cu numerele dinilor z3 i z0), avnd centrele n articulaiile C i C0 ale barei 4 i solidarizate de bara mobil 3 respectiv cea fix 0.

A

A C

B

C

1

2 3

4

0

z

z

A

A C

B

C

1

2 3

4

0

z

z

z

zA

A C

B

C

1

2 3

4

0

z

z

z

z

z

z

60

n acest fel angrenarea celor dou roi echivaleaz cu introducerea unei legturi suplimentare ntre barele 3 i 0, ceea ce echivaleaz cu o bar i dou articulaii, a crei mobilitate este 1.

Mobilitatea mecanismului rezultat (fig. 2.5a) este cea a pentalaterului articulat (M = 2) la care se adaug mobilitatea conexiunii introduse de angrenare (- 1), adic M = 2 - 1 = 1.

Acelai rezultat se obine dac se calculeaz mobilitatea mecanismului complex cu formula structural - topologic (2.1), a crei form particular este:

12312532 321 =+=+= NCCM (2.17)

Condiia de montaj a celor dou roi dinate (fig. 2.5a) este:

)( 033021

030 zzmCCa +== (2.18)

Dac bara 1 este element conductor, mecanismul complex este de clasa 3, ceea ce poate stabili prin evidenierea triadei odat cu nlocuirea cuplei superioare a angrenrii printr-o bar binar (cu dou articulaii).

Urmrind celelalte dou scheme cinematice, obinute din varianta 1 (fig. 2.5a, 2.6a) prin schimbarea bazei, acestea reprezint fiecare un mecanism complex de clasa 2 (fig. 2.6b) i un mecanism complex de clasa 4 (fig. 2.6c).

a) b) c)

Fig. 2.6

A

A C

B

C

1

2 3

4

0

z

z

A

A C

B

C

1

2 3

4

0

z

z

A

A C

B

C

1

2 3

4

0 z z

61

Varianta 2 (fig. 2.5b) se obine din lanul pentalater articulat bimobil, prin ataarea lanului de roi dinate cu dou angrenaje cilindrice montate pe barele 3 i 4. ntre roile cu centrele n articulaiile B i C0 (solidare cu barele 2 respectiv 0) se afl roata dinat 5(5), cu centrul n C, aceasta fiind un element cinematic distinct.

Mobilitatea mecanismului complex este calculat cu formula (2.1):

13322632 321 =+=+= NCCM (2.19)

unde s-au fcut urmtoarele nlocuiri:

3,5,3;2,2;6,1 321 ======= NnrCmCm (2.20)

Condiiile de montaj ale celor dou angrenaje cilindrice sunt (fig. 2.5b):

)( 522521

25 zzmBCa +== (2.21)

)( '50'0521

0'05 zzmCCa +== (2.22)

i din aceast schem cinematic (fig. 2.5b, 2.7a) de clasa 4 se obin, prin schimbarea bazei, alte dou scheme cinematice distincte una de clasa 3 (fig. 2.7b) i cealalt de clasa 4 (fig. 2.7c).

a) b) c)

Fig. 2.7

A

A C

B

C

1

2 3

4

0

z

z

z

z

A

A C

B

C

1

2 3

4

0 z

z

z

z

A

A C

B

C 1

2 3

4

0

z

z

z

62

Varianta 3 (fig. 2.5c) rezult din lanul pentalater bimobil, prin operaia de ataare a unui lan cinematic de roi dinate cu trei angrenaje cilindrice montate pe barele 2, 3 i 4. Roile dinate cu centrele n articulaiile A i C0 sunt solidare cu barele 1 respectiv 0, iar roile dinate 5(5) i 6(6) cu centrele n articulaiile B respectiv C sunt elemente cinematice distincte.

Mobilitatea este M = 1, ceea ce se verific folosind formula (2.1):

14.332732 321 =+=+= NCCM (2.23)

Din aceast schem cinematic (fig. 2.5c, 2.8a) de clasa 4 ord. 4 se obin alte dou scheme cinematice, prin schimbarea bazei, una de cls. 4 ord. 3 (fig. 2.8b) i alta de cls. 7 ord. 4 (fig. 2.8c).

a) b) c)

Fig. 2.8

2.1.2.3. Mecanismele cu lan cu bare tip hexalater se obin prin ataarea unui lan de roi dinate, cu dou sau mai multe angrenaje, la un hexalater articulat (fig. 2.9), la care, pentru realizarea unei mobiliti unitare (M = 1), cel puin patru roi sunt solidarizate cu barele respective.

A

A C

B

C

1

2 3

4

0

z

z

z

z

z

z

A

A C

B

C 1

2 3

4

0

z

z

z

z

z

A

A C

B

C 1

2 3

4

0

z

z

z

z

z

zz

63

a) b) c)

Fig. 2.9

S-au considerat (fig. 2.9) trei scheme cinematice de astfel de mecanisme complexe cu bare i roi dinate, fiecare avnd cte dou angrenaje cilindrice.

Dac se folosesc roi dinate egale, prima i a treia schem cinematic (fig. 2.9a,c) prezint o simetrie geometric, situaie n care bara 3 execut o micare de translaie rectiliniar.

De altfel, n condiiile menionate mai sus i cu a doua schem cinematic (fig. 2.9b) se obine micarea de translaie rectiliniar a barei 3, chiar dac structura topologic nu este simetric.

Mobilitatea acestor mecanisme complexe este M = 1, ceea ce se verific prin calcul cu formula (2.1):

13322632 321 =+=+= NCCM (2.24)

2.1.2.4. Mecanisme cu lan cu bare tip heptagonal i octogonal

Pentru aceste mecanisme se prezint cte un exemplu de schem cinematic cu structur geometric simetric (fig. 2.10).

A

A

B C

D

D

0

1

2

3

4

5

A

A

B C

D

D

0

1

2

3

4

5

A

A

B C

D

D

0

1

2

3

4

5

64

a) b)

Fig. 2.10

Mecanismul complex cu lan heptagonal (fig. 2.10a) este realizat cu trei angrenaje dintre care unul cu axe fixe (1, 6) i alte dou cu axe mobile (1, 2) i (5, 6). Mecanismul complex cu lan octogonal (fig. 2.10b) are n componen cinci angrenaje montate simetric fa de axa de simetrie vertical a octogonului. Ambele mecanisme au mobilitatea unu M=1.

2.2. MECANISME SPAIALE CU BARE I ROI DINATE

Se consider mai nti mecanismele spaiale care au lanul cinematic cu bare deschis i apoi mecanismele spaiale la care lanul cinematic cu bare este nchis.

A E

A

B

C

D

E

0

1

2

3 4

5

6

A F0

A

B

C D

E

0

1

2

3

4

5

6

7

F

65

2.2.1. Mecanismele spaiale cu bare i roi dinate cu lan deschis

Se cunosc dou grupe de astfel de mecanisme spaiale: mecanismele elementare (cu o singur bar articulat) i mecanismele complexe etajate (cu dou sau mai multe bare articulate).

Mecanismele spaiale elementare pot fi realizate cu o singur roat central (fig. 2.11) respectiv cu dou roi centrale (fig. 2.12) ale cror axe fixe coincid cu axa articulaiei fixe a barei.

Roile dinate folosite la mecanismele spaiale sunt roi conice (fig. 2.11a) i roi hipoide [A6], [A11], cu urub melc i roat melcat (fig. 2.11b).

n cazul mecanismului spaial sferic (fig. 2.11a), roata conic central 1 angreneaz cu roata conic satelit 2, axele acestora fiind concurente n punctul S, acesta fiind vrful comun al conurilor de rostogolire. Bara 3 are dou articulaii, una fix n A0 (comun cu cea a roii 1) i alta mobil n A prin care se leag cu roata 2.

Dac axele celor dou roi conice sunt perpendiculare, angrenajul conic este denumit ortogonal, n aceast form fiind utilizat cel mai adesea n practic.

a) b)

Fig. 2.11

A

A

S 3 1

2

0 A A

A A

1

2 2

1 3 3

0 0 A

A

3 1

2

S

A

66

Mobilitatea mecanismului sferic este M = 2, ceea ce se deduce prin calcul cu formula (2.1) particularizat:

21312332 321 =+=+= NCCM (2.25)

Rangul spaiului asociat acestui contur cinematic este r = 3, deoarece axele cuplelor de rotaie (m = 1) i roto-translaie (m = 2) sunt concurente n punctul S.

Un astfel de mecanism spaial cu o bar i un angrenaj conic este echivalent unui pentalater sferic cu articulaii monomobile, la care toate axele sunt concurente n centrul S al sferei.

n cazul mecanismului spaial melcat (fig. 2.11b), roata melc 1 este roat central i formeaz un angrenaj hipoid (melcat) cu roata melcat 2, axele celor dou roi dinate fiind ncruciate n poziie ortogonal. Bara 3 are axul fix (notat cu A0) comun cu cel al roii melc 1, iar axul mobil al articulaiei A (cu roata melcat) este ortogonal fa de cel fix.

Mobilitatea mecanismului spaial cu axe ncruciate este M = 2, aceasta rezultnd din aplicarea formulei (2.1) particularizat contururilor de rang 6:

21615365 651 =+=+= NCCM (2.26)

n aplicarea formulei (2.1) se menioneaz c angrenarea celor dou roi melcate (1, 2) formeaz o cupl cinematic pentamobil (m = 5), la care contactul celor dou suprafee este realizat ntr-un punct. Unui mecanism care include o cupl cinematic pentamobil (de clas maxim), i se asociaz spaiul de rang maxim (r = 6).

Mecanismul spaial echivalent acestui mecanism cu angrenaj melcat este un patrulater spaial ortogonal, ale crui legturi sunt dou cuple sferice trimobile i dou cuple de rotaie monomobile.

Mecanismele spaiale elementare cu dou roi conice centrale (fig. 2.12) se obin din cel anterior (fig. 2.11a) prin operaia de adugare a unei roi dinate conice 4, a crei ax este comun cu cea fix [A11].

67

a) b)

Fig. 2.12

Primul mecanism spaial (fig. 2.12a) conine bara 3 i dou angrenaje conice (1, 2) i (2, 4) montate n paralel. Mobilitatea mecanismului este M = 2, aceasta fiind calculat cu formula (2.1) pentru cazul particular al mecanismelor sferice:

22322432 321 =+=+= NCCM (2.27)

Al doilea mecanism spaial (fig. 2.12b) este un caz particular al primului mecanism din care se obine prin orientarea axei mobile pe direcie perpendicular pe axa fix.

n acest ultim caz roile dinate 1 i 4 sunt egale, iar roile 2 i 2 coincid, astfel c cele dou angrenaje sunt montate n serie.

Dac se imobilizeaz bara 3, raportul de transmitere ntre roile 1 i 4 se obine ca produsul rapoartelor de transmitere pariale care se scrie, n cazul general (fig. 2.12a), n funcie de numerele de dini sub forma:

A0

A

S 3 1

2

4 2

0 0

1

2 3 4

A

A0 0 0 S

68

'21

4234'2

312

314

zz

zziii

== (2.28)

Pentru cazul particular (fig. 2.12b), cnd '22 zz = i

41 zz = , din formula (2.28) rezult 1314 =i , adic roile

centrale 1 i 4 se rotesc n sens invers n ipoteza c bara 3 este imobilizat.

Rotaia barei 3 se transmite roilor centrale 1 i 4, astfel c din formula

134

31314 =

=

i (2.29)

se deduce relaia:

341 2 =+ (2.30)

Prin imobilizarea uneia din cele dou roi centrale 1 sau 4, mobilitatea mecanismului spaial devine M = 1. De exemplu, dac roata 4 este imobilizat, prin acionarea barei 3 micarea se transmite multiplicat la roata central 1, a crei vitez unghiular este

31 2 = (2.31)

ceea ce se obine din (2.30), pentru 04 = .

n acest caz, viteza unghiular relativ a roii 2 fa de bara 3 se deduce scriind raportul de transmitere ntre roile 2 i 4 n ipoteza imobilizrii barei 3:

3

23

34

32324

=

=i (2.32)

din care rezult 324323 i= .

69

a) b)

Fig. 2.13

Mecanismele spaiale complexe cu roi dinate conice se obin, din cele analizate anterior, prin operaia de supraetajare a lanului cinematic cu bare [A10].

Prin supraetajare [A10], mecanismul spaial are cel puin dou bare articulate (fig. 2.13), n care angrenajele conice sunt oarecare (fig. 2.13a) sau ortogonale (fig. 2.13b).

Cele dou scheme cinematice (fig. 2.13a,b) sunt izomorfe, avnd aceeai structur topologic, cu dou bare (3 i 5) i cu trei angrenaje conice (1, 2), (4, 5) i (2, 6).

Se observ c primele dou angrenaje conice (1, 2) i (4, 5) au axele confundate, acestea fiind concurente n punctul S1, iar la cel de al treilea angrenaj conic (2, 6) axele se intersecteaz n S2.

De asemenea, roata dinat 5 este solidar cu bara 5 care realizeaz articulaia cu roata 6. Mobilitatea celor dou mecanisme spaiale complexe este M = 3, valoare ce rezult din calcul cu ajutorul formulei (2.1) particularizat:

33332632 321 =+=+= NCCM (2.33)

A0

A

B

C

0

1 2

3

4

5

2 6

5

S

S

S

S

A0 0

1 4

3 2 5

2 6

5

70

Pentru calculul numeric din formula (2.33) s-au identificat, pentru fiecare din cele dou scheme cinematice (fig. 2.13), urmtorii parametrii structural-topologici:

3,6,3;3,2;6,1 321 ======= NnrCmCm (2.34)

Corespunztor fiecrei mobiliti exist un lan cinematic distinct: lanul cu bare (0, 3), lanul cu bare i roi dinate conice (0, 4, 55) i lanul cu roi dinate conice (0, 1, 2-2, 6).

Cele trei lanuri cinematice sunt legate ntre ele prin axele comune, una mobil pentru trei elemente (2, 3, 5) i alta fix pentru patru elemente (0, 1, 3, 4).

Se constat c cele trei contururi cinematice deschise sunt cuplate parial, astfel la acionarea lanului cinematic (0, 1, 2-2, 6) celelalte 2 lanuri nu sunt antrenate n micare.

Acionarea lanului cinematic (0, 4, 55) influeneaz numai lanul (0, 1, 22, 6), cruia i imprim o prim micare suplimentar.

Prin acionarea lanului cinematic (0, 3), micarea se transmite la celelalte dou lanuri cinematice (0, 4, 55) i (0, 1, 22, 6), dintre care ultimul lan primete o a doua micare suplimentar. Algoritmul de calcul n analiza cinematic a acestui mecanism spaial complex (fig. 2.13), cu mobilitate M = 3, evideniaz trei faze de lucru:

I) 0,0,0 431 == , cnd se calculeaz

62

'21

15,3

16165 zz

zzI i == (2.35)

II) 0,0,0 431 == , pentru care rezult:

6

'2

5

4

5365153 ; zzIIII

z

zII == (2.36)

III) 0,0,0 431 == , care duce la:

IIIz

zIII

z

zIII6532353 ;;

2

1

5

4 == (2.37)

71

2.2.2. Mecanisme spaiale cu bare i roi dinate cu contur nchis

Aceast clas de mecanisme spaiale au, ca lan principal cu bare, un contur cinematic articulat de tip patrulater sferic 4R, patrulater spaial RCCR i RCCC, pentalater sferic i spaial RRCCR, hexalater spaial RRRCRR i heptalater spaial 7R.

2.2.2.1. Mecanisme spaiale cu patrulater sferic. Se formeaz prin suprapunerea lanului format din dou, trei i patru roi dinate conice. Roile dinate sunt elemente cinematice distincte sau sunt montate solidar cu unele bare ale conturului patrulater sferic. Se consider mecanismul sferic tip manivel balansier (fig. 2.14) la care se ataeaz un angrenaj conic, dou sau trei angrenaje conice [A6]. Bara balansier 3 (BB0) este perpendicular pe axa fix de rotaie ce se proiecteaz n punctul B0.

Varianta 1 (fig. 2.14a) se obine prin ataarea la patrulaterul sferic (0, 1, 2, 3) a angrenajului conic ortogonal (2, 4), astfel nct roata 2 este solidar cu bara 2 i roata 4 are axul fix comun cu cel al barei 3, cu micare oscilant de balansier.

a) b) c)

Fig. 2.14

Mobilitatea mecanismului spaial sferic este M = 1, aceasta se calculeaz cu formula (2.1) sub forma particular:

A

A

B

B0

1

2 3

4

5

5 6 7 A

A

B

B0

1

2

4 A

A

B

B0

1

2 3

5 3

2

1

4

4

72

12312532 321 =+=+= NCCM (2.38)

unde s-au folosit valorile numerice specifice schemei cinematice (fig. 2.14a):

2,4,3;1,2;5,1 321 ======= NnrCmCm (2.39)

Viteza unghiular a roii 4 se calculeaz n funcie de vitezele unghiulare ale barelor 2 i 3 i raportul de transmitere al angrenajului conic (2, 4).

Varianta 2 (fig. 2.14b) se obine prin ataarea la patrulaterul sferic articulat a lanului cinematic format din dou angrenaje conice (1, 4) i (4, 5), n care roata 1 este solidar cu bara 1. Angrenajul conic (1, 4) are unghiul dintre axele roilor 1 i 4 egal cu (ABoB) format de axele articulaiilor din A i B. Angrenajul (4, 5) este ortogonal i el. Mobilitatea mecanismului spaial cu dou angrenaje este M = 1, valoarea respectiv rezultnd prin calcul din formula (2.1) sub forma particular:

13322632 321 =+=+= NCCM (2.40)

n care s-au nlocuit valorile numerice ale parametrilor structural-topologici:

3,5,3;2,2;6,1 321 ======= NnrCmCm (2.41)

Varianta 3 (fig. 2.14c) are n componen trei angrenaje conice, la care roata 4 este element distinct cu axa fix comun cu a barei 1, roile 5(5) sunt montate liber pe axa articulaiei din A, roata 6 este montat liber pe axa articulaiei din B, iar roata 7 condus este montat liber pe axul fix al articulaiei din B0. Mobilitatea acestui mecanism spaial complex este M =2, aa cum rezult din calculul numeric, folosind formula (2.1) particularizat:

24332832 321 =+=+= NCCM (2.42)

unde s-au nlocuit valorile specifice schemei cinematice (fig. 2.14c):

73

4,7,3;3,2;8,1 321 ======= NnrCmCm (2.43)

2.2.2.2. Me