sisteme logice
TRANSCRIPT
1
UNIVERSITATEA “SPIRU HARET”FACULTATEA DE FILOSOFIE ŞI JURNALISMCatedra de FilosofieTitular curs: prof. univ. dr. Cornel Popa
SINTEZĂDISCIPLINA: SISTEME LOGICEI. SISTEME AXIOMATICE DE LOGICA PROPOZIŢIILOR ŞI DE
LOGICA PREDICATELOR. TEORIA CONCEPTULUI.II SISTEME MODALE: ALETICE, TEMPORALE, DINAMICE,
DEONTICE, AXIOLOGICE.
.Introducere în problematica cursului
Logica este o disciplină clasică cu o istorie de peste 2400 de ani şi totodată o disciplinămodernă legată de teoria fundamentelor matematicii, de întemeierea disciplinelorexperimentale şi de fundamentarea disciplinelor socio-umane. Prin teoria bazelor decunoştinţe şi a demonstraţiei automatizate, logica predicatelor şi logicile modale au astăziaplicaţii în construirea unor sisteme expert şi de inteligenţă artificială.
Mai recent, prin progresele făcute în logica asertării, în logica epistemică, în logicaopiniilor şi în teoria argumentării, sistemele logice moderne dau seama de aspecte majore aleactelor de comunicare în viaţa publică. Aceste aspecte privesc: asertarea, înţelegerea,evaluarea declaraţiilor, acceptarea sau respingerea acestora, argumentarea, convingerea,sinceritatea, minciuna, argumentele valide şi cele invalide, paralogismele, sofismele,autoconsistenţa şi consistenţa mutuală a declaraţiilor, metodele de verificare a conflictelor deopinie şi căile de soluţionare a acestora.
Apariţia sistemelor modale de ramură cum sunt logica deontică, teleologica, logicadinamică, performantica sau teoria actelor de execuţie şi logica acceptării au permis analizasistemelor de norme, juridice, morale etc, ca şi a relaţiilor dintre stări iniţiale, scopuri şiprograme.
Suntem acum în faţa realizării unor sisteme modale cu agenţi înzestrate cu baze decunoştinţe cu mecanisme inductive de actualizare a bazelor de cunoştinţe, a datelor şiduratelor întemeiate pe logici dinamice cu semantici pe arbori sau automate nedeterministe.
Logica este o disciplină intelectual formativă. Ea îl învaţă pe tânăr să-şi ordoneze şiarmonizeze ideile, să definească şi să clasifice obiecte, acte, conduite şi concepte, să deducăşi să argumenteze, dar şi să descopere viciile de structură şi de conţinut in gândireainterlocutorilor săi.
Tematica manualului tipărit la Editura Fundaţiei noastre , Logică şi metalogică, vol1.,2000 şi Logică şi metalogică, volumul 2, 2002 acopere deopotrivă tematica cursului deIntroducere in logică pentru anul 1 şi a cursului de teoria sistemelor logice prevăzut pentruanul 2 de studii.
În ultimii trei ani am elaborat peste 400 de slaiduri sau diapozitive în Power Point, albnegru sau color care pot fi prezentate la cursurile la zi sub forma unui Show în Power Point,dacă sala va fi înzestrată cu un calculator dotat cu soft-ul corespunzător. În lipsa acestuia,folosesc curent la curs proiecţia unor slaiduri prin retroproiector.
Toate slaidurile elaborate sunt de 6 luni predate la serviciul de tehnoredactarecomputerizată. Acestea pot fi deopotrivă tipărite parţial şi făcute accesibile publicului largprintr-o dischetă anexată la fiecare volum. Slaidurile de logică modernă pot interesa unpublic destul de larg: ingineri şi informaticieni, studenţi ce studiază logica, profesori de liceuce predau logica, utilizatorii de calculatoare.
De ce nu îndrăznim să inovăm cartea didactică universitară printr-un dublu acces laînţelegere ?.
2
Consideraţiile metodologice, definirea obiectivelor, sfaturile şi instrucţiunile date,listele de referate şi indicaţiile bibliografice, subiectele enumerate şi ilustrările graficeprezentate în paginile de Sinteză nu sunt un înlocuitor al cursului în două volume publicat îneditura Fundaţiei “România de Mâine” în 2000 şi în 2002.
.Scopul cursuluiCursul are deopotrivă obiective de instrucţie logică modernă, de cunoaştere a
direcţiilor majore din cercetarea logică în legătură indisolubilă cu teoria filosofică, cu ceea cecolegii din Facultatea de Filosofie de la Universitatea Bucureşti numesc “filosofie teoretică”,cum ar fi epistemologia, filosofia limbajului, teoria sistemului social, dar şi cu axiologia saufilosofia moralei, cu politologia, cu teoria personalităţii şi a educaţiei, cu teoria discursuluipublic.
Cursul are în viziunea noastră şi un rol intelectual formativ, îl ajută pe student sădefinească în termenii logicii predicatelor de ordinul întâi, modern şi cu posibilităţi deaplicaţie, o casă largă de concepte de interes pentru viitoarea sa activitate.
Noţiunile însuşite îi vor putea fi de folos în alcătuirea unor documentare, în ordonareaşi clasificarea informaţiei, ca şi în organizarea ei în articolele pe care le va redacta.
.1. Obiectivele primei părţi a cursului de Teoria sistemelor logice Sistemeaxiomatice de logica propoziţiilor şi de logica predicatelor. Teoria conceptului :
1.Asimilarea sintaxei şi semanticii logicii predicatelor, înţelegerea raporturilor acesteiteorii cu limbile naturale, cu limbajele ştiinţelor particulare, naturale sau sociale, dobândireadeprinderilor de a formaliza raţionamente, date ale unor probleme şi baze cunoştinţe înlimbajul logicii predicatelor de ordinul întâi, precum şi asimilarea tehnicilor şi metodelor deverificare a validităţii şi realizabilităţii formulelor obţinute, a procedeelor de demonstrare,definire, clasificare, interpretare şi argumentare.
2. Prezentarea rolului metodei axiomatice în evaluarea teoriilor logice şi în analizaproprietăţilor oricărei teorii ştiinţifice. În principal vom prezenta axiomatizarea logiciipropoziţiilor şi a logicii predicatelor.
3. Relevarea rolului metodelor logice în analiza teoriilor filosofice, sociologice,juridice sau economice, precum şi evidenţierea rolului acestor metode în documentarea şiinformarea viitorului jurnalist precum şi în argumentarea punctelor de vedere exprimate înarticolele pe care le scrie.
4. Deschiderea interesului viitorului absolvent pentru alcătuirea unor baze decunoştinţe relaţionale şi demonstraţia automatizată.
. 2 . Obiectivele părţii a doua a cursului de Teoria sistemelor logice .Sisteme modale: aletice, temporale, dinamice, deontice, axiologice.
1. Asimilarea sintaxei şi semanticii logicilor modale, dinamice, temporale, epistemice,
deontice şi axiologice; înţelegerea raporturilor acestor teorii cu limbile naturale şi cuactivităţile umane, cu limbajele ştiinţelor particulare, dobândirea deprinderilor de a descriedeciziile, scopurile, programele, sistemele de norme şi conduitele umane, precum şirezultatele obţinute, în termenii acestor teorii.
2. Definirea sistemelor modale normale, a axiomaticii şi semanticii acestora;3. Asimilarea tehnicilor şi metodelor de verificare a validităţii şi realizabilităţii
formulelor modale.4. Relevarea rolului logicilor modale în deosebi a sistemelor modale mixte cu
operatori iteraţi e.g. sistemul asertorico-axiologic cu agenţi în evaluarea discursului public şia conduitelor asertorice.
5. Dezvăluirea semnificaţiilor filosofice, sociologice, juridice sau economice aleacestor teorii pentru înţelegerea organizaţiilor şi instituţiilor sociale.
3
. Cerinţe, precizării şi instrucţiuni asupra disciplinei
Particularitatea oricărui curs modern de logică constă în faptul că utilizează limbajeformale alcătuite din mai multe mulţimi de simboluri care servesc la definirea categoriilorsintactice ale limbajului cu ajutorul unor reguli de bine formare.
Limbajele formale au fost construite de către logicieni pentru a evita imprecizia şiambiguitatea limbilor naturale. De aceea studentul obişnuit să-şi pregătească examenele pebază de memorie mecanică va fi, probabil, dezamăgit şi va trebui să se deprindă cu un alt stilde învăţare. În primul rând va trebui să se deprindă cu “gramatica” limbajelor formale, curegulile de formare a termenilor, a atomilor, a formulelor bine formate “moleculare” saucomplexe. La logică se învaţă cu pixul în mână, construind formule bine formate caredescriu anumite propoziţii din limbile naturale, formalizând şi trecând de la formulele unuilimbaj logic la propoziţiile dintr-o limbă naturală sau din limbajul unei ştiinţe sociale,matematice sau empirice.
Ca şi limbile naturale limbajele simbolice se învaţă “ traducând “ sau codificând în eleinformaţia din limbile naturale sau din limbajele particulare ale ştiinţelor şi “decodificând”sau traducând sau interpretând un limbaj formal într-un domeniu din realitate descris întermenii unei limbi naturale.
Munca pe parcurs, adoptarea unei atitudini active, de exersare, în Caietul de teme şiexerciţii, citirea cu regularitate din cursul tipărit, participarea la cursul oral şi la seminarii vaface disciplina logică accesibilă şi plăcută.
La seminarele de logică nici un student nu va fi notat negativ pentru că întreabă peasistent sau profesor o chestiune pe care, în principiu, ar fi trebuit să o cunoască. Se răspundecu bunăvoinţă la orice întrebare din seminarul la ordinea zilei sau din cele din urmă.
Notele se iau la testele sau extemporalele date de conducătorul de seminar, ca şi pebaza solicitării unuia sau altuia dintre studenţi să răspundă.
Este apreciată rezolvarea de probleme, lectura bibliografiei recomandate pe parcurs saustipulată de la început în programele de curs.
Nu apreciem referatele construite pe baza copierii unor pasaje din alte cărţi sau reviste,dar apreciem perspicacitatea studenţilor care fac observaţii critice judicioase pe margineaunor texte din bibliografie, fac uz de tehnicile şi metodele învăţate la curs pentru a degajaunele concluzii de interes pentru viitoarea lor profesiune.
Apreciem seriozitatea, munca sistematică, stăruinţa şi pasiunea în muncă. Ne facfericiţi întrebările inteligente. Detestăm tentativele de fraudă şi le sancţionăm conformprevederilor legale. Ne întristează notele mediocre şi suntem gata să sprijinim ieşirea prinmuncă din mediocritate.
Formulăm în fiecare am multe teme de referate ştiinţifice sau subiecte de cercetareştiinţifică de specialitate.
Încurajăm elaborarea de către studenţi a unor exerciţii şi probleme de logică.
. Lista de titluri de eseuri (referate).
1. Este logica aristotelică o teorie logică generală ?.2. Scop, program şi eficacitate.3. Sistemele de norme şi conduitele agenţilor într-un spaţiu normat.4. Legalitate şi ilegalitate.5. Geneza şi natura operaţiilor logice.6. Operaţiile logice şi limbile naturale.7. Virtuţile intelectual formative ale logicii moderne.8. Logica simbolică şi teoria definiţiilor.9. regândire a teoriei diviziunii şi clasificărilor.10. Întrebare, problemă, soluţie.11. Teoria demonstraţiei în logica actuală. Demonstraţia automatizată.
4
12. Logică şi programare logică13. Comunicare, argumentare şi convingere.14. Semantica logică şi teoria înţelegerii.15. Logica epistemică şi teoria actelor de înţelegere.16. Logica acceptării şi contractele mutuale dintre agenţi.17. Logica acceptării şi teoria valorilor.18. Tendinţe în cercetarea logică actuală. Logica şi activităţile umane.19. Pragmatizarea logicii20. Rolul logicii în modernizarea învăţământului. Învăţarea mecanică şi învăţarea logică21. Logica epistemică cu agenţi, comunicarea şi teoria învăţării.22. Logica deontică dinamică cu operatori iteraţi şi structurile ierarhice.23. Conceptul de putere şi teoria sistemelor de norme.24. Scopuri şi obligaţii. Din nou despre sistemele teleo-deontice.25. Sistemele teleo-dinamice şi conceptul de eficacitate.26. Logica deontică pe stări şi pe acte. Obligaţia de a atinge o stare şi obligaţia de a
executa o conduită.27. Valori, scopuri, abilităţi şi programe.28. A vrea, a ştii şi a putea să faci.29. Logica acţiunii şi evaluarea calităţii actelor politice.30. Praxiologia, agenţii şi teoria instituţiilor.31. Sistemele modale cu agenţi înzestraţi cu baze de cunoştinţe.32. Limitele logicii deontice standard şi logica deontică dinamică.33. Semantici pe arbori în dezvoltare, logica dinamică şi teoria deciziilor.34. Logica dinamică şi teoria conduitelor eficace.35. Logica deontică standard şi comutativitatea conjuncţiei. Un nou paradox.36. Pragmatizarea logicii o tendinţă şi un program.37. Logica deontică temporală. Obligaţii, date şi durate.38. Arborii, automatele nedeterministe şi semantica logicii acţiunii.39. Nivelele gândirii logice şi ştiinţele cognitive.40. Teoria directivelor practice şi conceptul de metodă.41. Logica acceptării, gândirea critică şi teoria personalităţii.42. Idiolect, stil şi personalitate.43. Comunicare, dialog, opinie şi cunoaştere din perspectiva sistemelor modale cu
agenţi.44. perspectivă acţionalistă asupra teoriei personalităţii45. Decizia între dezirabilitate şi fezabilitate.46. Logica acţiunii pe arbori. Date şi durate. O inducţie simultană.47. Analiza şi sinteză în teoriile logice.48. Agenţii, comunicarea şi acţiunea umană raţională.49. “Deci “ şi “deoarece”. Demonstraţie şi argumentare.50. Statutul logico-semantic şi pragmatic al sinonimiei51. Egalitatea şi echivalenţa ca relaţii logice.52. Implicaţia şi echivalenţa strictă din logicile modale şi relaţiile lor cu implicaţia
materială, echivalenţa şi cu relaţiile de consecinţa logică şi echivalenţa deductivă.53. Agenţii şi teoria sistemelor instituţionale.54. Sincronie şi diacronie în logica dinamică a acţiunilor55. Metoda inducţiei simultane în calcularea datelor şi duratelor.56. Compunerea în serie, în paralel, iterată şi alegerea în logica deontică dinamică.57. Logica dinamică a acţiunilor şi modelarea deciziilor şi conduitelor economice58. Perspectivă pluridimensională asupra teoriei agenţilor( praxiologie, management,
inteligenţă artificială şi argumentare)59. Demersurile cognitive în metodele logice de decizie.60. Metodele logice, bazele de cunoştinţe şi operaţionalizarea teoriilor ştiinţifice.61. Despre dinamica model, experiment şi teorie ştiinţifică.
5
62. Logicile modale epistemice şi doxastice, opiniile creatoare şi geneza teoriilorştiinţifice.
63. Teoria bazelor de cunoştinţe şi cercetarea opiniilor64. Teoria modelelor şi consistenţa opiniilor.65. Consens de opinii şi conflicte de opinii.66. Modelarea demersului argumentativ pe automate nedeterministe.67. Formele normale conjunctive şi o metodă algoritmică de construire a arborilor de
derivare.68. Teoria argumentării pe arbori de întemeiere.69. Semantica logică şi relaţiile dintre cunoştinţe şi opinii.70. Teoria judecăţilor de valoare şi logica acceptării.71. Despre relaţiile dintre scop şi mijloc şi directivele practice. O modelare în Prolog.72. Logica acţiunii, directivele practice şi instrucţiunile Prolog.73. Structuri gramaticale şi structuri logice.74. Gramatica clasică, gramaticile generative şi programarea logică.75. Pronumele indiciale sau de instanţiere şi pragmatica logică.76. Statutul logic al promisiunilor77. Teoria logică a propunerilor.78. Argumentare şi negociere.79. Teoria propoziţiilor prescriptive: ordine, sfaturi şi rugăminţi.80. Logica modală a acţiunilor şi statutul puterii politice.81. Logica modală clasică şi teoria modalităţilor acţionale.82. Nivelele discursului logic şi comunicarea interumană.83. Semantica şi pragmatica logică şi teoria actelor de înţelegere.84. Tipologia eşecurilor în actele de comunicare interumană.85. Argumente elementare şi argumente complexe.86. Operatorii argumentării şi speciile de argumente elementare.87. Modelarea argumentelor complexe pe arbori.88. Exigenţele logice ale unui argument elementar89. Logica epistemică dinamică şi modelarea dinamicii opiniilor.90. Logica dinamică şi evoluţia stărilor de opinie.91. Argumentarea, procedeele de decizie şi tipologia paralogismelor.92. Stările de opinie la nivel individual şi la nivel de grup.93. Logica opiniilor şi anchetele sociologice.94. Tehnicile de manipulare şi teoria argumentării.95. Clasificări elementare şi clasificări compuse.96. Alternative în reprezentarea pe arbori a clasificărilor complexe.97. Partiţie şi clasificare, asemănări şi deosebiri.98. Problema operaţionalizării criteriilor de clasificare.99. Diviziune şi clasificare. Teorema reducerii.100. Diviziunea, formele normale şi rezoluţia duală.101. Logica acceptării, criteriile şi evaluarea calităţii produselor.102. 100. Logica acceptării, normele, criteriile şi standard-urile tehnice.103. Conceptul de calitatea, criteriile calităţii şi producerea calităţii.104. Asemănare şi deosebire. Raţionamentele prin analogie.105. Operatori de asemănare şi de deosebire în limbile naturale.106. Baze de cunoştinţe, predicate, întrebări şi răspunsuri.107. Locul întrebărilor în actele de comunicare.108. Logica erotetică şi teoria întrebărilor.109. Logica acceptării şi conceptul european de calitate.110. Modelarea logico-dinamică a tehnologiilor.111. Modelarea logico-dinamică a activităţilor umane.112. Logica dinamică şi programarea acţiunilor umane.113. Sistemele ierarhice şi logica deontică cu agenţi şi operatori iteraţi.
6
114. Logica modală cu agenţi şi teoria instituţiilor.115. Logica deontică cu agenţi şi conceptul de putere.116. Teoria întrebărilor, bazele de cunoştinţe şi programele de tip test din logica
dinamică.117. Directivele practice şi logica lui C. A. R. Hoare.118. Semantica pe arbori a logicii dinamice şi logica programelor de calculator la C.
A. R. Hoare.119. Metoda diagramelor de decizie în logica acceptării.120. Sisteme modale de logica acceptării.121. Sisteme teleologice dinamice.122. Sistemele teleologice dinamice, logica epistemică şi noţiunea de Know-How123. Tipologia sistemelor modale mixte cu functori iteraţi.124. Axioma de tip S5 a sistemului deontic cu agenţi şi garantarea drepturilor
cetăţeanului125. Sisteme dinamice teleoperformative.126. Axioma O(Op ⊃p) din sistemele Smiley –Hanson şi conceptele de abilitate şi
performanţă.127. Principiul autorităţii în logica acceptării şi în teoria argumentării.128. Logica acceptării şi teoria actelor de convingere.129. Demonstraţie, argumentare şi convingere.130. Logica acceptării şi definirea conceptelor de conflict doxastic.131. Logica acceptării şi teoria actelor de critică.132. Semantica logicilor modale cu agenţi.133. Semantica logicilor modale cu operatori modali iteraţi.134. Sisteme temporale de logica acceptării.135. Logica dinamică a acceptării cu operatori dinamici şi operatori de stări.136. Logica acceptării şi modurile de dictum şi de res137. Logica acceptării, stările de fapt, opiniile şi aserţiunile. Sinceritatea, adevărul şi
minciuna.138. Formele normale conjunctive, situaţiile acţionale, demonstraţia automatizată şi
argumentarea validă.139. Corelaţia dinamică dintre evaluarea aserţiunilor şi evaluarea asertantului.140. Judecăţile de valoare, logica acceptării şi prestigiu.141. Mass-media, manipularea şi distorsiunile imaginii şi prestigiului persoanelor
publice.142. Metoda diagramelor semantice în logica acceptării cu operatori iteraţi.143. Logica acceptării, opiniile şi geneza teoriilor ştiinţifice.144. Logica acceptării şi relaţiile magistru-discipol, mentor-îndrumat145. Logica acceptării , modelarea opiniilor şi anchetele de opinie.146. Logica acceptării, argumentarea şi negocierea.147. Bazele de cunoştinţe întrebările şi logica dinamică.148. Operatorul indecizie sau dubiu din logica acceptării şi noţiunea aristotelică de
problemă.149. Logica acceptării şi teoria atitudinilor propoziţionale.150. Logica dinamică a acceptărilor şi teoria propunerilor şi sfaturilor.151. Acceptare şi acceptabilitate.152. Managementul de personal, logica acceptării şi evaluarea nivelului de
performanţă al agenţilor.153. Logica dinamică a acceptării154. Gândirea logică, dogmatismul şi spiritul critic155. Logica acceptării ca teorie a opiniilor156. Principiul autorităţii şi molipsirea doxastică. Lideri de opinie şi adepţi157. Sisteme de logica acceptării cu agenţi veridici.158. Sistemele asertorico-axiologice şi tipologia declaraţiilor
7
159. Sistemul asertorico-axiologic A5VS şi detectarea automatizată a declaraţiilormincinoase.
160. Sistemele asertorico-axiologice şi verificarea consistenţei mutuale a depoziţiilormartorilor.
161. Logica acceptării, acordul şi conflictul de opinii şi teoria negocierii.162. Logica deontic-axiologică, suprarogaţia şi ofensa163. Logica dinamico-axiologică şi teoria agenţilor eficienţi.
Temele de referate propuse pot fi, în marea lor majoritate, realizate pe baza celor douăvolume ale cursului de Sisteme logice, publicat de noi la Editura Fundaţiei “România demâine” în 2000 şi respectiv în 2002 sau a bibliografiei specificată în Programa analitică.Redactarea referatelor, unele dintre ele cu subiecte inedite, presupune asimilarea de cătreautor a unor cunoştinţe de specialitate şi desigur a unor tehnici şi metode.
Titularul cursului şi colaboratorii lui sunt gată să sprijine pe studenţii înscrişi sărealizeze referate şi să susţină comunicări la sesiunea ştiinţifică anuală a Facultăţii cubibliografie suplimentară, cu asistenţă de specialitate.
Elaborarea unor comunicări de calitate poate duce la creşterea notei finale la disciplinaSisteme logice cu 2 sau trei puncte.
. Bibliografie
a) Obligatorie
1. Cornel Popa, Logică şi Metalogică, vol I, Editura Fundaţiei România de Mâine,2000
2. Cornel Popa, Logică şi Metalogică, vol II, Editura Fundaţiei România de Mâine,2002
1. Hughes, G.H., Cresswell, M. J., A New Introduction to Modal Logic, Routledge,London, New-York 1996
2. Cornel Popa, Teoria acţiunii şi logica formală, 19843. Cornel Popa, Logica simbolică şi bazele de cunoştinţe, vol. II, Universitatea
Politehnică Bucureşti, Partea V-a 19984. Mircea Dumitru, Modalitate şi incompletitudine. Logica modală ca logică de
ordin superior., Paideia, 2001
b) Suplimentară
1. Cornel Popa, Logica predicatelor, Editura Hyperion, 19922. Cornel Popa, Teoria definiţiilor, Editura Ştiinţifică, 19723. Cornel Popa, Logica simbolică şi bazele de cunoştinţe, vol. I , Universitatea
Politehnică Bucureşti, 19984. Gh. Enescu, Dicţionar de logică, Editura Ştiinţifică, 19855. Gh. Enescu, Teoria sistemelor logice, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, 19766. Gh. Enescu, Tratat de Logică, Editura Lider, 19777. C. Popa, Asemănare şi deosebire la nivel filosofic şi la nivel logic, Analele
Universităţii Spiru Haret, Seria de Filosofie, nr. 2, 2000, pp 23-338. Logica acceptării, opiniile şi argumentarea, Analele Universităţii “Spiru Haret”,
Seria studii de Filosofie, nr. 3, 2001, pp 61-78
8
9. An Axiomatic System for the Logic of Acceptance, Noesis, Travaux de ComitéRoumain d’ Histoire et de Philosophie des Sciences, XXV, Editura AcademieiRomâne, Bucureşti 2000, pp 57-72.
c).Facultativă
1. Åqvist, Lennart, Deontic Logic, in D Gabbay and F. Guethner(eds) Handbook ofPhilosophical Logic, vol II, 1984, pp 6o5-714;
2. Bieltz, Petre, Gheorghiu, Dumitru, Logică Juridică, Editura ProTransilvania, Bucureşti,1998
3. Bratko, Ivan, Programming in Prolog for Artificial Intelligence, Addison-Weslwy, 1986.4. Copy, M Irving Gödel’ Proof, Scientific American, 1959, reprodus ]n Contemporary
Readings in Logical Theory, The Macmillan Company, New Yorck, 19675. Ellis, B.Rational Belief Systems. Oxford: Blackwell, 1979.6. Fitting, Melvin, Basic Modal Logic, pp 365-4477. Gabbay,D. Kurucz, Wolter,F.,Zakharyaschev, Many/Dimensional Modal Logic> Theory
and Applications Internet http://www.dcs.kcl.ac.uk/staff/mz/GKWZ/gkwz.html8. Genesereth, M.R., Nilsson, Nils, Logical Foundation of Artificial Intelligence, Morgan
Kaufmann Publ., 1987.9. Gardenfors, Peter, Knowledge in Flux, Modelind the Dynamics of Epistemic States, The
MIT Press, Cambridge, Massashusetts, London , England, 1988.10. Hintikka, J.K.K., Knowledge and Belief, Ithaca, N.Y.: Cornell University Press, 1962.11. G.E. Hughes, M.J.Cressewell, An Introduction to Modal Logic, Metuen and Co lTD,
London12. Ioan, Petru, Logică şi metalogică, Junimea 1983, pp. 93-155.13. Kalinowski, George, Introduction a la Logique Juridique, LCDY, Paris, 1965.14. Kleene, S. C. Introduction to Metamathematics, D. van Nostrand Company 1952, v. rusă
1957din 1955 pp 332-34015. Levi, Isaac, For the Sake of the Argument, Ramsey Test Conditionals, Introductive
Inference, and Nonmanotonic Reasoning, Cambridge University Press, 1996.16. Lewis, C.I., Survey of Symbolic Logic, 191817. Lewis, C.I., Langford, C.H. Symbolic Logic, Dover Publications,Second edition,1959.18. Meyer, Michel, Logique et argumentation, Bruxelles, 1991.19. Mihai, Gheorghe, Papaghiuc, Gheorghe, Încercări asupra argumentării, Editura Junimea,
Iaşi, 1985.20. *Plantin, Cristiana, Essais sur l’Argumentation, Introduction linguistique a l’tude de la
parole argumentative, Edition Kime, 1990.21. Prior, Arthur, Time and Modality, Oxford at theClarendon Press,195722. Prior, Arthur, Past, Present and Future, Oxford at the Clarendon Press,196723. Toulmin, S. The Use of Argument, Cambridge University Press, 1958.24. Turner, Raymond, Logic for Artificial Intelligence, 1984.25. * Von Wright, Georg, Henrik, Explanation and Understanding, Routledge and Kegan
Paul, 1971, vezi şi Explicaţie şi înţelegere, Humanitas, 1995.26. Ziembinski, Z., Practical Logic, D.Reidel Publ. Comp. Dordrecht, Holland, 1976.27. Meyer, J.-J. Ch. A Different Approach to Deontic Logic: Deontic Logic Viewed as
Variant of Dynanic Logic. Notre Dame Journal of Formal Logic, 1991, 29 (1)109-136,28. Wright, von, Georg H, An Essay in Modal Logic , North Holand Publishing Company,
Amsterdam 1951.29. Wright, von, Georg H, Norm and Action , Routledge and Kegan Paul, London, 196330. Wright, von, Georg H. An Essay in Deontic Logic and General Theory of Action, in
Acta Fhilosophica Fennica, fasc. XXI, North Holand Publishing Company,1968
9
31. Wright, von, Georg H A New System of Deontic Logic în Deontic Logic : Introductoryand Systematic Readings (Ed) R. Hilpinen, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht,Holland 1970.
. Note de curs
În această parte a sintezei noastre dorim să prezentăm iconografic scheletul conceptual alunor capitole de curs prezentate în cele două volume. Vom folosi pentru aceasta rezumateleşi schemele incluse slaidurile sau diapozitivele pregătite pentru a fi prezentate în PowerPoint.
OBIECTUL LOGICII. DEFINIŢII ALE LOGICII• Ştiinţa legilor formale ale gândirii corecte;• Ştiinţa adevărurilor analitice sau a enunţurilor adevărate în virtuteaformei lor;• Ştiinţa regulilor gândirii corecte;• Teoria discursului raţional;• Teoria inferenţelor valide;• Teoria operaţiilor sintactice şi semantice prin care se conservăvaliditatea, veridicitatea şi semnificaţia expresiilor;• Teorie logică este o mulţime de formule care include un set de
axiome şi este închisă faţă de regulile de inferenţă;• Un sistem logic sau o teoria logică se defineşte printr-un limbaj
formal, o construcţie semantică şi un sistem axiomatic.
CARACTERISTICI ALE LOGICII
disciplină clasică, umanistă; disciplină modernă; disciplină matematică legată de fundamentele aritmeticii şi
ale teoriei mulţimilor; disciplină legată de construirea bazelor de cunoştinţe, a
sistemelor expert şi de inteligenţă artificială; disciplină intelectual formativă despre legile gândirii şi
schemele de inferenţe care îl ajută pe tânăr să adopte oatitudine activă faţă de cunoştinţele pe care le deţine.
10
LOCUL LOGICII. RELAŢIILE EI CU ŞTIINŢELE ŞIACTELE UMANE
Logica şi limbile naturale Logica şi textele scrise
Logica şi filosofia Logica şi gramatica
Logica şi psihologia Logica şi pedagogia
Logica şi matematica Logica şi actele de înţelegere
Logica şi ştiinţele empirice Logica şi actele intenţionale
Logica şi programarea logică Logica şi planificarea actelorumane
Logica şi actele de vorbire Logica şi relaţia scop mijloc
Logica şi comunicarea Logica, criteriile şi actele dealegere
LIMBAJUL LOGICII PROPOZIŢIILOR. SINTAXA
Alfabet A=A1∪A2 ∪A3; A1=p,q,r,…; A2= -, ∧,∨, ∨ ⊃, ≡ ; A3 = (,),[,] R1 Dacă α∈ A1, atunci α∈ L (limbajul logicii propoz.) R2..Dacă α∈ A10, atunci - α∈ L R3. Dacă α,β∈L, atunci α ∧ β∈L,α ∨ β∈L,
α ⊃ β∈L, α ≡ β∈L. Def.Numim limbaj al logicii propoziţiilor mulţimea formulelor
scrise în alfabetul A obţinute prin aplicarea de un număr finit aregulilor R1, R2 şi R3.
11
LIMBAJUL LOGICII PROPOZIŢIILOR. SEMAMTICA
Simbolul “⇔” se citeşte: “dacă şi numai dacă” şi descrie oechivalenţă semantică, adică două expresii ce semnifică acelaşi obiect.
Definim funcţia de valorizare: v: L →B =0,1 R1. Dacă α∈A1= p,q,r,.., atunci v(α)=1 sau v(α)=0; R2.Dacă α = -β, atunci v(α)=1, dacă v(β)=0 şi v(α)=0, dacă v(β)=1.
Negaţia inversează valoarea propoziţiilor negate. R3. Dacă α = (β∧γ), atunci v(α) =1⇔ v(β)=1 şi v(γ)=1; R4. Dacă α = (β∨γ), atunci v(α) =1 ⇔ v(β)=1 sau v(γ)=1; R5. Dacă α = (β⊃γ), atunci v(α) = 0 ⇔ v(β)=1 şi v(γ)=0;
altfel v(α) = 1; R6. Dacă α = (β≡γ), atunci v(α) = 1 ⇔ v(β)=v(γ); altfel v(α) = 0.
VALIDITATE ŞI CONSECINŢĂ LOGICĂ SEMANTICĂ
O formulă α este realizabilă dacă există o valorizare v datăvariabilelor propoziţionale astfel ca v(α) = 1;
O formulă α este infirmabilă dacă există o valorizare v datăvariabilelor propoziţionale astfel ca v(α) = 0;
O formulă α este validă dacă α este adevărată în orice valorizaredată variabilelor propoziţionale , i.e. v(α) = 1 pentru orice modelsau interpretare;
O formulă este irealirabilă, dacă pentru orice valorizare datăvariabilelor propoziţionale v(α) = 0.
O formulă β este consecinţă logică semantică din mulţimea de formuleα1, α2,…, αn, dacă în orice valorizare sau interpretare v ce faceadevărată pe fiecare dintre formulele din antecedent sau premise αi, n≥ i≥1,i.e. v(αi) = 1, vom avea, de asemenea, adevărată formula dinconsecvent, v(β)=1.
NEGAŢIA
Negaţia este o operaţie logică monadică care schimbă valoarea de adevăra propoziţiei iniţiale cu valoarea opusă acesteia.
12
Dacă v(p) = 1, atunci v(-p) = 0 şi inversDacă v(p) = 0, atunci v(-p) = 1.Operaţia negaţiei poate prefixa şi o formulă negată:-(-p) ≡ p (dublă negaţie).Negaţia poate viza şi formule compuse cu ajutorul conectivelor logiceconjuncţie, disjuncţie, implicaţie sau echivalenţă ( vezi legile lui DeMorgan şi Tabloul funcţiilor logice).
PRINCIPALELE CONECTIVE LOGICE SAU DEFINIREAOPERAŢIILOR LOGICE
pq p∧q p∨q p ⊃q p≡q11 1 1 1 110 0 1 0 001 0 1 1 000 0 0 1 1
PRINCIPII ŞI REGULI DE BAZĂ
R1. Principiul bivalenţei. Orice propoziţie elementară(dinA1) iavaloarea 1 ( adevărat) sau 0 ( fals). R2.Negaţia unei propoziţii ia o valoare opusă propoziţiei iniţiale. R3 Conjuncţia este adevărată, dacă sunt adevărate ambelepropoziţii conectate, altfel este falsă. R4. Disjuncţia este falsă, dacă sunt false ambele propoziţiiconectate; altfel este adevărată. R5.Implicaţia este falsă dacă antecedentul este adevărat şiconsecventul este fals; altfel est adevărată. R6.Echivalenţa este adevărată dacă ambele propoziţii iau aceiaşivaloare de adevăr; altfel este falsă.
DECIZIA MATRICIALĂ
• O matrice este un tablou. de n linii şi m coloane umplute cu simbolurisau cifre.
13
• Pentru înţelegerea metodei matriciale trebuie să cunoaştem mai întâidefiniţiile operaţiilor logice.
Pentru a decide prin metoda matricială asupra unei formuleprocedăm astfel:1. Identificăm lista şi numărul n al variabilelor propoziţionale ce apar în
formulă şi identificăm cele 2n atribuiri de valori ;2. Plasăm variabilele pe prima linie, în stânga, fiecare variabilă fiind
începutul unei coloane;3. Scriem pe linii distincte, sub variabile, cele 2n atribuiri de valori, câte
una pe fiecare linie;4. Identificăm operatorul principal al formulei şi descompunem formula
în subformule, până ce ajungem la literali şi conective logiceelementare (conjuncţii, disjuncţii, etc) şi scriem aceste subformule peprima linie. Calculăm, pe coloane, potrivit atribuirilor de valori datevariabilelor, valorile ce revin fiecărei subformule şi apoi ascendent,rând pe rând, valorile ce revin formulelor compuse;
5. Coloana de valori ce revine operatorului principal va coincide cucoloana de valori a formulei testate.
6. Decidem potrivit definiţiilor din rezumatul anterior despre Principiişi reguli de bază.
Exemplu: α = ((p⊃r) ∧ (q⊃r)) ⊃ (( p∨ q) ⊃ r)
Lista de variabile este p, q, r şi n=3. Numărul atribuirilor de valori distincte este 23=8.Construim plasând variabilele in stânga, pe prima linie şi in ordine, pe aceeaşi linie, agregatelepropoziţionale în ordine ascendentă. În continuare, pe liniile 2---9 scriem atribuirile de valori distinctedate variabilelor şi, corespunzător, valorile calculate pentru subformele.
1 2 3 4 5 6 7 8 9p q r p⊃r q⊃r p∨q (p⊃r)∧ (p⊃r) (p∨q) ⊃r α1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 0 0 1 0 0 11 0 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 0 0 10 1 1 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 1 0 0 10 0 1 1 1 0 1 1 10 0 0 1 1 0 1 1 1
Se observa că valorile coloanelor 4 şi 5 s-au obţinut prin implicaţie între coloanele 1 şi 3 şi 2şi 3iar valorile coloanei 7 s-au obţinut prin conjuncţia dintre valorile coloanelor 4 şi 5, ale coloanei 8 prinimplicaţie între 6 şi 3 şi ale lui α tot prin implicaţie intre 7 şi 8.
Şi mai simplu putem să scriem valorile din coloanele 4 si 5 in coloana 7, in stânga şi în dreaptalui Λ , iar valorile lui 6 în coloana 8, în stânga lui ⊃
14
DECIZIA PRIN ARBORI
Regulile metodei Analiza sau excluderea conectivelor logice
Regulile metodei. Analiza sau excluderea negaţiei conectivelor logice
Exemplul 1
1.-{[(p ∧q2. (p ∧q) ∨3.-(-s ⊃ (-4. -s5. -(-r ∨ q)6. r7. -q -⊃
2
8. p ∧q 9. r
10. p11. q 12. -
# # #
METODA LU
Identifică în formformula în două înlocuind variabregulile:
Elimină valoarea
A ∧ B--------AB
A ∨ B
A B
A ⊃ B
-A B
A ≡ B
A -AB -B
-(A ∧ B )
-A -B
A ≡ B
A -A -B B
-(A ∨ B) -A -B
) ∨ (r ⊃ s)] ⊃ (-s ⊃(-r ∨ q)) (r ⊃ s)
r ∨ q)) -⊃, 1
- ⊃, 3
, 5
⊃ s ∨, 2
r 13. s
I W. O. QUINE
ulă variabila cu ceversiuni: una înlocuila prin 0.Prelucreaz
1, dacă acesta apa
- (A ⊃ B) A -B
}
le mai multe apariţii şi rescrieind variabila prin 1; altaă apoi cele două versiuni după
re ca element al unei conjuncţii;
15
Elimină valoarea 0, dacă acesta apare ca element al unei disjuncţii; Dacă valoarea 1 apare ca element al unei disjuncţii, aceasta se
înlocuieşte cu 1; Dacă valoarea 0 apare ca element al unei conjuncţii, aceasta se
înlocuieşte cu 0; Dacă valoarea 1 apare ca antecedent al unei implicaţii se reţine
numai consecventul; Dacă valoarea 0 apare ca antecedent al unei implicaţii se înlocuieşte
valoarea implicaţiei cu 1; Dacă valoarea 0 apare în consecventul unei implicaţii se reţine doar
negaţia antecedentului. Se aplică regulile negaţiei.
Putem reformula metoda lui Quine sub forma unor reguli de inferenţă alcăror antecedent conţine valori logice: 1,0:
R1. A ∧1⇒Α; R2. A∨ 0 ⇒Α;
R3. A∨ 1 ⇒1; R4. A∧0⇒0;
R5. 1⊃A ⇒Α; R6. A ⊃ 0 ⇒-A
R7. -1⇒ 0; R8. -0 ⇒ 1
Aplicarea metodei lui Quine. Un exemplu
F = ((p∨q) ⊃r) ⊃ ( p ⊃r)Pas1. p = 1 Substituim în F variabila p cu 1: ((1∨q)⊃r) ⊃ ( 1 ⊃r) Obţinem: (1 ⊃r) ⊃ ( 1 ⊃r) r ⊃r = 1Pas2. p = 0 ((0∨ q) ⊃r) ⊃ ( 0 ⊃r)
(q ⊃r) ⊃ 1 ≡ 1F= 1. Formula testată este lege logică.
Citiţi despre celelalte metode de decizie din vol 1 !!!
16
AXIOMATIZAREA LOGICII PROPOZIŢIILOR
Etapele construirii unui sistem axiomatic
Principalele momente ale introducerii unui sistem formal axiomaticpentru o teorie logică sunt: l. definirea alfabetului sau a vocabularului limbajului;2. prezentarea regulilor de formare a formulelor;3. introducerea definiţiilor sau a regulilor de prescurtare;4. enunţarea axiomelor sau a formulelor admise iniţial;5. prezentarea regulilor de inferenţă sau a regulilor de derivare;6. demonstrarea teoremelor.
Limbajul sistemului Hilbert Ackermann Alfabetul A = {p, q, r, p1,p2…, -, ∨, (, )} variabile prop., conective
logice, semne de grupare. Reguli de formare: Daca α este o variabilă propoziţională, atunci α este o formulă. Daca α este o formula, atunci -α este şi ea formulă. Daca α şi β sunt formule, atunci α ∨ β va fi formulă.
Axiomele şi definiţiile sistemului 2.3. Definiţii
2.3.1. p ∧ q := - (- p ∨ - q)
2.3.2. p ⊃q:= - p ∨ q
2.3.3. p ≡ q := (p ⊃q) ∧ (q ⊃ p)
2.4. Axiome
2.4.1. (p ∨ p) ⊃p Ax1
2.4.2. p ⊃ (p ∨ q) Ax2
2.4.3. (p ∨ q) ⊃ (q ∨ p) Ax3
2.4.4. (p ⊃ q) ⊃ ((r ∨ p) ⊃ (r ∨ q)) Ax4
17
Regulile de inferenţă
2.5.l. Regula substituţiei RS Daca A este o teorema din limbajul sistemuluiaxiomatic în care apare variabila p şi B este o formula bine formată în acestlimbaj, atunci dacă substituim fiecare apariţie a lui p în A prin B obţinem oformula A’, de asemenea teoremă.
2.5.2. Modus ponens MP Daca A ⊃ B este teoremă şi A este teoremă, atunci şiB este teoremă. Simbolic: A ⊃ B, A f B
2.5.3. Regula substituirii echivalentelor RE Dacă A este o axiomă în care aparesubformula B şi B ≡ C este o definiţie sau o teoremă anterior demonstrată,atunci este teoremă formula obţinută din A prin substituirea lui B prinechivalenta sa C.
Teoreme
Vom numi teoreme formulele bine formate care sunt axiome în sistem sau suntobţinute din axiome cu ajutorul regulilor de inferenţă.
T1 (p⊃q) ⊃ ((r ⊃ p) ⊃ (r ⊃ q))
1. (p ⊃ q) ⊃ ((- r ∨ p) ⊃ (- r ∨ q)) (RS, 2.4.4., r/ - r)
2. (p⊃ q) ⊃ (( r ⊃ p) ⊃ ( r ⊃ p)) (RE, 1), 2.3.2)
T2 p ⊃ p
1) (( p ∨ p) ⊃ p) ⊃ (( p ⊃ (p ∨ p)) ⊃ ( p ⊃ p)) (RS, T1, p/p ∨ p,q/p, r/p)
T2. p ⊃ p
2) (p ⊃ ( p∨ p )) ⊃ (p ⊃ p ) (MP, 1), 2.4.1)
3) ( p ⊃ (p ∨ p) (RS, 2.4.2. q/p)
4) p ⊃ p (MP, 2),3))
T3 - p ∨ p (RE, T2, Def 3..2)
T4 p ∨ - p
1) (- p ∨ p) ⊃ (p ∨ - p) (RS, 2.4.3.,p/-p, q/p)
2) p ∨ - p (MP, 1), T3)
T5 p ⊃ - - p
18
1) – p ∨ - - p (RS, T4, p/ - p)
2) p ⊃ - - p (RE, l), 2.3.2.)
(A se citi din vol. 2 Axiomatizarea logicii propoziţiilor pp 34-77)
Noncontradicţia sistemului Hilbert Ackermann
Un sistem axiomatic este contradictoriu, daca şi numai dacă, putem demonstraîn cadrul lui doua teze de forma A şi –A.
Un sistem axiomatic este necontradictoriu, dacă şi numai dacă, prin nici osecvenţă de aplicaţii a regulilor de inferenţă nu se pot produce doua teze deforma A si –A.
Pentru a demonstra că un sistem axiomatic este necontradictoriu este suficientsă arătăm că:
1) toate axiomele sale sunt formule valide;
2) că această proprietate se conservă prin regulile de inferenţă admise.
Propunem ca exerciţii banale testarea prin procedeele de decizie cunoscuteaxiomele A1-A4.
Un sistem axiomatic este necontradictorii dacă şi numai dacă toate axiomelesale testate prin metode de decizie se dovedesc a fi tautologii sau legi logice şi apoiputem face proba că prin toate regulile de inferenţă admise în sistem se conservă dela axiome la teoreme caracterul tautologic al formulelor derivate.
Testarea prin metoda respingerii rezolutive a axiomei Ax4
Obţinem clauzele din negaţia lui Ax4.Axioma Ax4 sau 2.4.4 este: (p ⊃ q) ⊃ ((r ∨ p) ⊃ (r ∨ q))Negaţia ei este: -((p ⊃ q) ⊃ ((r ∨ p) ⊃ (r ∨ q)) )Prin aplicarea de mai multe ori a regulii negării unei implicaţii ca şi a reguliiexcluderii implicaţiei obţinem clauzele: 1.-p ∨ q, 2.r ∨ p, 3. -r, 4. -q.Aplicând la acestea metoda respingerii rezolutive, strategia rezoluţiei liniareobţinem:
1. -p ∨ q 4. -q.
5.-p 2.r ∨ p,
6.r 3.-r
7. [ ]
Sugestie. Verificaţi Dv. că şi celorlalte axiome, axiomele Ax1 – Ax3, sunt tautologii.Decideţi una prin metoda lui Quine, alta prin metoda matricială şi ultima prinmetoda arborilor de decizie.
19
Trecem la verificarea celei de a doua cerinţă specificată mai sus. Să arătăm căfiecare dintre regulile de inferenţă conservă validitatea sau caracterul tautologic alFormulelor derivate.
2a) Regula substituţiei, RS conservă caracterul tautologic:Demonstrăm prin reducere la absurd că axiomele cu două variabile (Ax2 şi Ax3)
conservă caracterul tautologic al formulelor derivate prin substituţie.
1) A(p, q)= tautologie ip.respectiv că:2) A (0, 0) = 13) A (0, 1) = 14) A (1, 0) = 15) A (1, 1) = 1
şi că prin substituţia, p/r, q/s, formulele derivate ar putea deveni infirmabile:6) A (r, s) = 0 ip.
Dar pentru ca A(r,s) să devină infirmabile trebuie să existe o atribuire devalori dată variabilelor r, s astfel formula A(r, s) să ia valoarea 0. Dar aceastaînseamnă că:
7) A (0, 0) ∨ A (0, 1) ∨ A (1, 0) ∨ A (1, 1) = 0.Dar 7 contravine lui 1 ) şi respectiv lui 2) – 5).
Prin urmare, substituţia uniformă conservă peste tot, în orice atribuireveridicitatea şi în consecinţă conservă caracterul tautologic.
2a) Regula modus Ponens, MP, conservă caracterul tautologic
Admitem, prin absurd, că A şi A ⊃ B sunt formule valide şi că B, dimpotrivă,este o formulă infirmabilă.
1) A = 1 ip.
2) A ⊃ B = 1 ip.
3) B = 0 ip. dem. indirecte
Substituind în expresia 2) pe A şi pe B prin valorile lor de adevăr stipulate la1) şi la 3 obţinem:
4) 1 ⊃ 0 = 1,
ceea ce contravine definiţiei implicaţiei materiale. În consecinţă, 4) nu poate fiadmisă şi deci nu putem admite că B = 0, când A =1 şi A ⊃ B = 1. În mod necesar,B = 1.
Conchidem că regula de inferenţă Modus Ponens, MP, conservă caracterultautologic.
2c) Regula substituirii într-o formulă dată a unei subformule printr-o subformulăechivalentă cu ea, i.e. regula substituirii echivalentelor, RE, conservă caracterultautologic.
20
Într-o echivalenţă termenul din dreapta ia pentru o valorizare dată aceiaşivaloare ca şi termenul din stânga. Prin urmare, substituirea termenului din stângaprin cel din dreapta sau invers nu schimbă cu nimic valoarea formulei în care se facesubstituţia.
Putem acum conchide că orice teoremă demonstrată este o formulă identicadevărată, tautologică, căci axiomele sunt toate tautologii iar regulile de inferenţăprin care se obţin teoremele conservă veridicitatea.
Completitudinea sistemului Hilbert Ackermann
Teoremă. Orice formula validă în logica propoziţiilor este teoremă în sistemulaxiomatic Hilbert–Ackermann, altfel spus, sistemul este complet.
Demonstraţie. Fie A o formulă validă în logica propoziţiilor. Atunci A poate fiadusă printr-o serie de transformări echivalente la o formă normală conjunctivăA’ = A1 ∧… ∧ An, unde un termen al conjuncţiei Ai, cu 1 ≤ i ≤ n conţine opereche complementară de literali l ∨-l, -l ∨ l, l fiind o variabilapropoziţională. Un termen al conjuncţiei Ai are in mod necesar una dintreformule, l ∨-l -l ∨l, l ∨-l ∨ k, , k ∨ l ∨-l , k ∨ l ∨-l ∨ m. Este uşor deobservat că l ∨-l sau -l ∨ l sunt derivabile din T4 sau T3.
Pe de alta parte, l ∨-l ∨ k, poate fi obţinută ca teorema din T4 şi axioma2.4.2 prin substituţie şi modus ponens. Forma k ∨ l ∨-l poate fi obţinută din l∨-l ∨k prin axioma 2.4.3
Forma k ∨ -l ∨ l ∨ m poate fi adusă prin axioma 2.4.3 la -l ∨ l ∨ m ∨ k, iaraceasta poate fi obţinută printr-o substituţie in axioma 2.4.2 şi aplicarea reguliiMP.
Pe acesta cale orice termen al formei normale conjunctive A’ poate fidemonstrat ca teorema in sistemul Hilbert – Ackermann. În sfârşit, prinsubstituţii in T14 sau prin regula derivată a introducerii conjuncţiei, I&, putemobţine ca teoremă forma normală conjunctivă A’.
Întrucât A’ este echivalentă cu expresia iniţială A, prin regula extensionalităţiisau a substituirii echivalentelor putem obţine direct pe A.
Concluzii 1. Orice tautologie este demonstrabilă ca teoremă. Sistemul HA este complet,
lui nu-i scapă nici o formulă validă pe care să nu o poată capta, cu arcanul, însistem !
2. Demonstraţia de completitudine ne furnizează şi o tehnică de a căuta textuldemonstrativ pentru o teoremă nedemonstrată de noi, dar demonstrabilă.Aceasta constă din următorii paşi: a) Aducem formula pe care vrem să odemonstrăm la F.N.C; b) Dacă aceasta este o tautologie, atunci demonstrăm, perând, fiecare termen al FNC, exact după procedura descrisă în teorema decompletitudine, făcând uz de T3, T4, Ax3, Ax2 şi Ax4; c) Pentru “asamblarea”
21
termenilor FNC în în FNC, facem uz de T14 p ⊃ (q ⊃ (p∧q)); d) Pentrudemonstrarea căTFNC este echivalentă cu T iniţial, folosim regula substituiriiechivalentelor, RE.
Logica predicatelor. Sintaxa sau limbajul formalAlfabetul
• Alfabetul logicii predicatelor conţine 8 subalfabete
• Ac =a,b,c, a1, a2... constante individuale;
• Av = x, y, z, x1,x2... variabile individuale;
• AF = f,g, h, f1,f2,... simboluri funcţionale;
• AP = P,Q,R... simboluri predicative
• AI = = egalitatea
• AQ = ∀, ∃ cuantificatori
• ACL = -, ∧, ∨,⊃, ≡ conective logice
• AG = (, ), [,] semne de grupare
Termenii
• Termenii sunt instrumente de desemnare a obiectelor despre carevorbim.Definim inductiv termenii:
• T1.Dacă α∈Ac, atunci α∈Term;
• T2. Dacă α∈Av, atunci α∈Term;
• T3. Dacă f∈AF şi δ(f) = n şi t1, t2, . . . , tn sunt termeni, atunci f(t1,t2,. .,tn)∈Term
Exemple; a, a1, b, x, z, t, f(x), g(x,y), h(t), f(g(x,y)), g(h(t),f(z)), f(g(h(t),f(z)) )
Atomii
• Atomii sunt cele mai simple formule ce pot exprima propoziţii.Lor li se potatribui valori de adevăr, 1,0.Definim atomii:
• D1. Dacă P este un simbol predicativ, i.e. P∈AP, δ(P) = n, (adică P are nargumente) şi t1,t2,. . . ,tn sunt termeni, atunci P(t1, t2,. . .,tn) este un atom sauformulă elementară in logica predicatelor
22
• D2. Dacă t1 şi t2 sunt termeni, atunci t1 = t2 este un atom.Prin legarea atomilor prin operaţiile logice ¬, ∧,∨, ⊃, ≡ formăm formule compuse înlogica predicatelor.
Limbajul formal al logicii predicatelor
• P1.Dacă α este un atom, atunci α∈L unde L este limbajul logicii predicatelor.
• P2. Dacă α∈L şi x∈Av, atunci∀x(α(x))∈L;
• P3. Dacă α∈L şi x∈Av, atunci ∃x(α(x))∈L;
• P4. Dacă α∈L şi “-” este simbolul negaţiei, atunci -α ∈L;
• P5. Dacă α, β ∈L, * este un conectiv logic binar, i.e. ∧,∨,⊃,≡, atunci α * β ∈L.
• Limbajul logicii predicatelor este mulţimea formulelor scrise în alfabetul Aobţinute prin aplicarea finită a regulilor P1 -P5.
Logica predicatelor. SemanticaConceptul de interpretare. Interpretarea termenilor
• Numim interpretare o tripletă v = (D, Ic, Iv), unde Ic este funcţie care asociazăoricărui simbol funcţional din AF o funcţie de aceiaşi aritate definită pe D şioricărui simbol predicativ din AP mulţimi sau relaţii definite pe D cu valori în 0şi 1. Similar, Iv asociază oricărei variabile individuale din Av un obiect din D.
• I1.Dacă a∈Ac (i.e.δ(f) = 0), atunci v(a) = d∈D;
• I2. Dacă x∈Av, atunci v(x) = Iv(x);
• I3. Dacă f∈AF, δ(f) = n , t1,. . ,tn sunt termeni, atunci: v(f(t1,. . ,tn )) =Ic(f)(v(t1),. . . ,v(tn))
Conceptul de interpretare. Interpretarea formulelor
• I4.Dacă P∈AP sau alfabetului de simboluri predicative, δ(P) = m, t1,t2,. . .,tmsunt termeni, atunci v(P(t1,t2,. . .,tm)) = Ic(P)(v(t1),v(t2),…,v(tm));
• I5. Dacă t1 şi t2 sunt termeni, atunci v(t1 = t2) = 1⇔ v(t1) = v(t2) şi v(t1 =t2) = 0 ⇔ v(t1) ≠ v(t2) ;
• I6. Dacă α, β∈LProp, atunci operaţiile ¬ α, α∧β, α∨β, α⊃β şi α≡β se definescca în Lprop.
• I7. Dacă α∈Lpred, x∈Av atunci v(∀xα(x)) = 1 ⇔ v(x/d(α)) = 1 pentru orice ddin D;
23
• I8. Dacă α∈Lpred, x∈Av atunci v(∃xα(x)) = 1 ⇔ v(x/d(α)) = 1 pentru celpuţin un d din D.
Conceptul de interpretare. Formule adevărate, realizabile,infirmabile, valide şi irealizabile
• I9. O formulă α∈Lpred este adevărată in interpretarea v ⇔ v(α) = 1. Se maiscrie: v α
• I10. O formula α este validă în interpretarea v sau v-validă ⇔ este adevărată înorice atribuire de valori Iv dată variabilelor din α.
I11. O formula α este realizabilă în interpretarea v sau v-realizabilă ⇔ există în Ivcel puţin o atribuire de valori dată variabilelor din α în care α devine adevărată. Înmod analog, definim infirmabilitatea şi irealizabilitatea
Interpretarea conceptelor de validitate, realizabilitate,infirmabilitate şi contradicţie din logica predicatelorîn pătratul logic
Exemplul 1. ∀x(p(x) ∨ q(x)) ⊃ ( ∀xp(x) ∨ ∀xq(x)),
1. - (∀x(p(x) ∨ q(x)) ⊃ (∀x p(x) ∨ ∀x q(x)))2. {∀x(p(x) ∨ q(x)), -(∀x p(x) ∨ ∀x q(x))}3. {∀x(p(x) ∨ q(x)), -∀x p(x), -∀xq(x)}4. {∀x(p(x) ∨ q(x)), ∃x-p(x), ∃x-q(x)}5. {∀x(p(x) ∨ q(x)), ∃x -p(x), -q(a)} (E∃, 4)6. {∀x(p(x) ∨ q(x)), -p(b), -q(a)} (E∃, 5)7. {∀x(p(x)∨q(x), p(a)∨q(a), p(b)∨q(b), -p(b), -q(a)} (R∀, 6)
8. {∀x (p(x)∨q(x)), p(a), p(b)∨q(b), -p(b), -q(a)} 9.{∀x(p(x)∨q(x)), q(a), p(b)∨q(b), -p(b), -q(a)}
#
10. {∀x(p(x)∨q(x)), p(a), p(b), -p(b), -q(a)} 11. {∀x (p(x)∨q(x)), q(b), -p(b), –q(a)} # Ο
v-validă(α)
v-realizabilă(α)
v-irealizabilă(α)
v-irealizabilă(α)∨
/
⊕
24
Exemplul 2
1. (∀xp(x) ⊃ ∀xq(x)) ⊃∀x(p(x) ⊃ q(x))2. {∀xp(x) ⊃ ∀xq(x)), -∀x(p(x) ⊃ q(x))}3. {∀xp(x) ⊃ ∀xq(x)), ∃x -(p(x) ⊃ q(x))}4. {∀x p(x) ⊃ ∀x q(x)), ∃x (p(x) ∧ -q(x))}5. {∀x p(x) ⊃ ∀x q(x), (p(a), -q(a)}
6. {-∀x p(x), (p(a), -q(a)} 7. {∀xq(x), (p(a), -q(a)}8. {∃x -p(x), (p(a), -q(a)} 9. {q(a), -(p(a), -q(a)}10. {-p(b), (p(a), -q(a)}
# O
Formula nu este validă, deoarece are un contramodel CM={-p(b), p(a), -q(a)}.
a) -p(b) ⇒ -∀x p(x) ⇒ -∀x p(x)∨ ∀x q(x) ⇒ ∀x p(x) ⊃ ∀x q(x)
Exemplul 3. ∀x(A(x) ⊃B(x)) ⊃ (∀xA(x) ⊃ ∃xB(x)).
1. -(∀x(A(x) ⊃ B(x)) ⊃ (∀xA(x) ⊃ ∃xB(x))2. {∀x(A(x) ⊃ B(x)), -(∀xA(x) ⊃ ∃xB(x))} (-⊃, 1)3.{ ∀x(A(x) ⊃ B(x)), ∀xA(x), -∃xB(x)} (-⊃, 2)4. {∀x(A(x) ⊃ B(x)), ∀xA(x), ∀x-B(x)} (∃, 3)5. {∀x(A(x) ⊃ B(x)), ∀xA(x), -B(a), ∀x-B(x)} (E∀, 4, III)
6. {∀x(A(x) ⊃ B(x)), A(a), ∀x A(x), -B(a), ∀x -B(x)} (E∀, 5, II) 7.{A(a) ⊃B(a), ∀x(A(x) ⊃ B(x)), A(a), ∀x A(x), -B(a), ∀x -B(x)} (E∀, 6)
8. {-A(a), ∀x(A(x) ⊃ B(x)), A(a), ∀xA(x), 9. {B(a), ∀x(A(x) ⊃ B(x)), A(a),-B(a), ∀x -B(x)} ∀xA(x), -B(a), ∀x-B(x)}(E⊃, 7)
# #
Axiomatizarea logicii predicatelor. Axiome şi definiţiiPresupunem definit limbajul logicii predicatelor
3. DefiniţiiD1. p ∧ q := - (- p ∨ - q)D2. p ⊃q:= - p ∨ qD3. p ≡ q := (p ⊃q) ∧ (q ⊃ p)D4. ∃xP(x) = -∀-P(x)
4. AxiomeAx1. (p ∨ p) ⊃pAx2. p ⊃ (p ∨ q)Ax3. (p ∨ q) ⊃ (q ∨ p)Ax4. (p ⊃ q) ⊃ ((r ∨ p) ⊃ (r ∨ q))
25
Ax5. ∀xP(x) ⊃ P(t)Ax6. P(t) ⊃∃xP(x)
4. Reguli de inferenţă
a. Reguli ale substituţieia1. RS variabilelor propoziţionale. Dacă α∈Lpred şi p este o variabilă propoziţionalăce apare în α iar β∈Lpred, atunci putem substitui pe p prin formula β în toateapariţiile sale în α, dacă în α şi în β nu există nici o variabilă individuală comună.a2. RS variabilelor individuale. Dacă α∈Lpred şi în α apare o variabilă individualăliberă x, atunci x poate fi substituită de orice termen t, dacă aceasta este operată întoate apariţiile lui x în α şi dacă în termenul t nu apare nici o variabilă ce aparelegată în α.a3. RS variabilelor predicative. Dacă α∈Lpred şi în α apare o variabilă predicativăF astfel că δ(F) = n, atunci putem substitui pe F printr-o formulă bine formată β cucel puţin n variabile libere, având grijă să respectăm următoarele cerinţe: Dacăvariabilele libere din formula substituitoare β sunt y1,…,yn+ r, cu r ≥ 0 şi dintreacestea au fost selectate un şir y1,…,y n şi dacă F(v1,…, vn) este o apariţie oarecare alui F în α, atunci noi vom substitui apariţia F(v1,…, vn) prin β( v1,…, vn, yn+1. . .,yn+r ). Substituţia trebuie efectuată în toate apariţiile lui F din α şi numai dacă β şi αnu au nici o variabilă în comun
Reguli ale cuantificatorilor
b1. A⊃ B(x) ⇒ A ⊃ ∀yB(y), dacă x este liber în B şi nu apare în A
(Regula cuantificării universale a consecventului, notată ∀C)
b2. B(x) ⊃ A ⇒ ∃yB(y) ⊃ A, dacă x este liber in B şi nu apare în A, şi y nuapare liber deloc în B
(Regula cuantificării existenţiale a antecedentului notată prin ∃A) .b3. Q1xP(x)⊗Q2xR(x) Q1xP(x)⊗Q2yR(y),
unde Q1 şi Q2 sunt metavariabile pentru cuantificatori distincţi iar ⊗ este ometavariabilă pentru ∧ sau ∨. (Regula redenumirii unei variabile care apare legată dedoi cuantificatori diferiţi. O vom prescurta prin RV).
b. Modus ponens, MP, Daca A ⊃ B este teoremă şi A este teoremă, atunci şiB este teoremă.
Prescurtat: (A ⊃ B) , A___
B
c. Regula substituirii echivalentelor. Dacă A este o axiomă în care aparesubformula B şi B ≡ C este o definiţie sau o teoremă anterior demonstrată,atunci este teoremă formula obţinută din A prin substituirea lui B prinechivalenta sa C.
Regulile de inferenţă din axiomatica logicii predicatelor sunt mai numeroase şimai complicate decât cele din axiomatica logicii propoziţiilor. Logica predicateloreste şi ea, într-un anumit sens o logică a propoziţiilor: o logică a propoziţiilor în careapar cuantificatori.
26
TeoremeT1. ∀x(P(x) ∨ -P(x))
1. p ∨ - p (vezi T4 în Cap.2,)2. P(x) ∨ -P(x) (RS, 1), p/ P(x) )3. (p ∨ - p ) ├ (P(x) ∨ -P(x)) (1, 2)4. (p ∨ - p ) ⊃(P(x) ∨ -P(x)) (TD, 3)5. (p ∨ - p ) ⊃ ∀x(P(x) ∨ -P(x)) (QC, 4)6. ∀x(P(x) ∨ -P(x)) (MP, 5, 1 )
T2 ∀xP(x) ⊃ ∃xP(x)1. ∀xP(x) ⊃ P(t) (Ax5)2. P(t) ⊃ ∃xP(x) (Ax6)3. ∀xP(x) ⊃ ∃xP(x) (Tranz, 1, 2)
T3.∀x(A ∨ P(x)) ⊃ (A ∨ ∀xP(x)) (x nu apare în A)
1. ∀x(A ∨ P(x)) ⊃( A ∨ P(t) ) (RS a3, P/ A∨ P(x),)2. ∀x(--A ∨ P(x)) ⊃( --A ∨ P(t) ) (RS, A/--A, 1)3. ∀x(-A ⊃ P(x)) ⊃( -A ⊃ P(t) ) (RE, D2, 2 )4. ∀x(((-A ⊃ P(x)) ∧ -A) ⊃ P(t) ) (Legea importaţiei,3)5. ∀x(((-A ⊃ P(x)) ∧ -A) ⊃ ∀tP(t) ) (QC, 4)6. ∀x(((-A ⊃ P(x)) ∧ -A) ⊃ ∀x P(x) ) (RR, 5)7. ∀x(((-A ⊃ P(x)) ⊃ (-A ⊃ ∀x P(x) ) (Leg. exportaţ.,6)8. ∀x(A ∨ P(x)) ⊃ (A ∨ ∀xP(x)) (RE, 7, D2 )
Dăm o demonstraţie alternativă a lui T3. Din ipoteză şi mai intuitivă.
1. ∀x(A ∨ P(x)) ip.2. A ∨ P(a1) (E∀ )3. A ∨ P(a2) (E∀ ) -----------4. A ∨ P(an) (E∀ )
5. A ∨ P(a1) ∧ A ∨ P(a2)∧ … ∧A∨ P(an) (I∧,2-4)
6. A ∨ (P(a1)∧P(a2)∧ …∧P(an)) (leg. distrib, 5 )7. A ∨ ∀xP(x)) ( I∀, 6 )8. ∀x(A ∨ P(x)) ⇒ A ∨ ∀xP(x)) (1-7 )9. θ ⇒ ∀x(A ∨ P(x)) ⊃(A ∨ ∀xP(x)) (TD, 8)
D1. Un text demonstrativ pentru demonstrarea consecinţei B este un şir deformule obţinute din axiome sau ipoteze prin aplicarea regulilor de inferenţă, fiecare
27
aplicare a unei reguli constituind un pas, notat de regulă, prin numere naturale, deforma 1. sau 1), 2), ultimul pas, să zicem n, fiind chiar teza de demonstrat: n. B saun) B.
D2. Fie B o consecinţă dintr-un set de ipoteze Γ şi C o ipoteză din Γ. Spunemcă derivarea consecinţei B depinde de ipoteza C, dacă formula C intră în textuldemonstrativ prin care se obţine din axiome şi ipoteze consecinţa B.
D3. Spunem că derivarea consecinţei B este independentă de ipoteza sauformula C, dacă demonstrarea lui B nu depinde de C, respectiv ipoteza sau formula Cnu intră în textul demonstrativ al lui B.
Teorema deducţiei. FormulareFormularea F1. Dacă din Γ, A se deduce B, i.e. Γ, A ⇒ B şi B se deduce numai
din Γ sau dacă deducerea lui B depinde şi de A şi regula introduceriicuantificatorului universal, I∀, nu se aplică asupra formulelor derivate din A,atunci Γ ⇒ A ⊃ B.
Formularea F2. Dacă din Γ, A se deduce B , i.e. Γ, A ⇒ B şi putem construi untext demonstrativ fără să aplicăm regula introducerii cuantificatorului universal lavariabile libere din formula A, atunci din Γ ⇒A ⊃ B.
Formularea 3. Dacă formula A este închisă şi din Γ, A ⇒ B, atunci din Γ ⇒ A⊃ B
Demonstraţie
Dacă Γ = {H1,...,Hn} şi din { Γ, A} ⇒ B, atunci este lege logică: ├ H1⊃(…(Hn-1 ⊃(Hn ⊃ (A⊃ B)))…). ( unde: ⇒ = “se deduce”)
1. Γ = {H1,...,Hn} ip.2. Γ, A ⇒B ip.3. Dacă din H1,...,Hn ⇒ B ≡ (H1∧H2∧...∧Hn) ⊃ B = Τaut. MT ( vol. 1 p68-70)4. {H1,...,Hn, A} ⇒ B (1, 2)
5. H1 ∧ …∧Hn ∧ A ⇒ B ( I∧ )
6. H1∧H2∧...∧Hn∧ A) ⊃ B = Τ (MP, MT3, 5)
7. H1∧H2∧...∧Hn∧ A) ⊃ B ( luată ca formulă )
8. H1⊃ (H2⊃…⊃( Hn⊃(A ⊃ B)))…)) (MP, ≡IE, 7 )
Utilizarea teoremei deducţiei. Exemple
T13. ∀x(P(x) ⊃ Q(x)) ⊃ (∀xP(x) ⊃∀xQ(x))
1. ∀x(P(x) ⊃ Q(x)) ip.2. ∀xP(x) ip.3. P(y) ⊃ Q(y) (E∀, 1)
28
4. P(y) (E∀, 2)5. Q(y) (MP, 3, 4)6. ∀y Q(y) (I∀, 5)7. ∀x Q(x) (RV, 6)8. ∀x(P(x) ⊃ Q(x)), ∀xP(x) ⇒ ∀x Q(x) (1-6)9. ∀x(P(x) ⊃ Q(x)) ⇒ (∀xP(x) ⊃∀x Q(x)) (TD, 8)10. ∅ ⇒ (∀x(P(x) ⊃ Q(x)) ⊃ (∀xP(x) ⊃∀x Q(x)) ( TD, 9)11. (∀x(P(x) ⊃ Q(x)) ⊃ (∀xP(x) ⊃∀x Q(x))
T14. ∀x(P(x) ⊃ Q(x)) ⊃ (∃xP(x) ⊃ ∃xQ(x))
1. ∀x(P(x) ⊃ Q(x)) ip.2. ∃xP(x) ip.3. P(a) (E∃, 2)4. P(a) ⊃ Q(a) (E∀, 1)5. Q(a) (MP, 4, 3)6. ∃xQ(x) (I∃, 5)7. {∀x(P(x) ⊃ Q(x)), ∃xP(x)} ⇒∃xQ(x) ( 1,2- 6)8. {∀x(P(x) ⊃ Q(x))} ⇒ (∃xP(x) ⊃ ∃xQ(x) (TD, 7)9. ∅⇒∀x(P(x) ⊃ Q(x)) ⊃ (∃xP(x) ⊃ ∃xQ(x)) (TD, 8)10. ∀x(P(x) ⊃ Q(x)) ⊃ (∃xP(x) ⊃ ∃xQ(x))
Logica predicatelor şi teoria definiţiei
Definiţia aristotelică şi limitele ei
• C1. Orice definiţie are un termen de definit (definiendum), o expresiedefinitoare (Definiens şi o relaţie de definire ( =df).
• C2.Definiţia trebuie dată prin gen proxim şi diferenţă specifică.
• C3. Definiţia trebuie să fie adecvată sau caracteristică. Definitorul (Dfn)trebuie să fie extensional echivalent cu termenul de definit(Dfd)
• L1.Orice definiţie trebuie dată prin gen proxim şi diferenţă specifică.
• L2.Vizează cu prioritate predicate monadice ce descriu proprietăţi ale unor clasede obiecte şi neglijează relaţiile, funcţiile şi constantele individuale.
• L3.Nu este elaborată in cadrul unui limbaj logic formal apt de a descrie exactlimbajul unei discipline ştiinţifice. Nu este corelată cu teoria ştiinţifică.
• L4.Teoria aristotelică nu dă seama de definiţiile recursive, de cele operaţionale,stipulative, ostensive, etc.
29
1. Definiţia unei relaţiiD6.1. Definirea unei proprietăţi sau relaţii se face prin introducerea unui
simbol predicativ nou, P(x1,x2,…,xn) pe post de definiendum echivalent cu o formulăbine formată S, pe post de definiens:. P(x1,x2,…,xn) =df S, unde formula definiţională S trebuie să satisfacărestricţiile:1.. Variabilele x1, x2, …,xn trebuie să fie distincte una de alta;2. In expresia definitoare S, i.e. în Dfn, nu pot apare alte variabile libere decât cele
care apar în definiendum, i. e. variabilele x1, x2, …, xn;3. În expresia definitoare S nu vor apare alte simboluri predicative, semne
funcţionale sau constante individuale decât cele introduse ca primitive înalfabetul teoriei sau introduse prin definiţiile explicite anterioare.
2.Definiţia unei operaţiiD7.1. O echivalenţă D care introduce un nou simbol funcţional este o definiţiecorectă într-o teorie T, dacă şi numai dacă, este de forma:
D = f (x1, x2, . . . ,xn) = y =df Sşi sunt satisfăcute restricţiile:1. x1, x2, . . . ,xn sunt variabile distincte;2. În expresia definitoare S sau în Dfn nu apar alte variabile libere, decât cele din
definiendum, respectiv, x1, x2, . . . ,xn şi y;3. În expresia definitoare S nu vor apare alte simboluri predicative, semne
funcţionale sau constante individuale decât cele introduse ca primitive înalfabetul teoriei sau introduse prin definiţiile explicite anterioare;
4. Formula ∃!yS este derivabilă din axiome şi din definiţiile anterior introduse înteorie.
3. Definiţia unei constanteD8.1 O echivalenţă D ce introduce o constantă individuală într-o teorie este odefiniţie corectă, dacă şi numai dacă, este de forma:c = x =df Sşi sunt satisfăcute restricţiile: 1. Singura variabilă liberă în S este x;2. În expresia definitoare S nu vor apare alte simboluri predicative, semnefuncţionale sau constante individuale decât cele introduse ca primitive în alfabetulteoriei sau introduse prin definiţiile explicite anterioare;3. Formula ∃ !xS este derivabilă din axiome şi din definiţiile anterior introduse înteorie.
5. Definiţia condiţionalăD9.1 O implicaţie C, ce introduce un nou simbol predicativ P, este o definiţiecondiţională într-o teorie, dacă şi numai dacă, C este de forma:
H ⊃ [ P (x1, x2, . . . , xn)≡ S ]şi sunt satisfăcute restricţiile:1. Variabilele x1, x2, …,xn trebuie să fie distincte una de alta;
30
2. In expresia definitoare S, i.e. în Dfn, nu pot apare alte variabile libere decât celecare apar în definiendum, i. e. variabilele x1,, …, xn;
3. În expresia definitoare S şi in ipoteza H nu vor apare alte simboluri predicative,semne funcţionale sau constante individuale decât cele introduse ca primitive înalfabetul teoriei sau introduse prin definiţiile explicite anterioare;
4. Formula H ⊃ [ P (x1, x2, . . . , xn) S ] este derivabilă din axiomele teoriei şi dindefiniţiile şi faptele anterior introduse.
6. Teoria ştiinţifică şi definiţia Termenii definiţi într-o teorie trebuie să satisfacă proprietăţile: ireflexivitate, - def(T, T) fără bucle asimetrie - (def(T1, T2) ∧ def(T2, T1) fără cicluri tranzitivitate (def(T1, T2)∧ def(T2, T3)) ⊃ def(T1, T3)
7. Definiţia şi realizabilitatea definitoruluiTeorema A. Fie S = P (x1, , . . . , xn) ≡ M o definiţie explicită într-o teorie ştiinţificăsau într-o bază de cunoştinţe, unde M este expresia definitoare sau Dfn. Atuncipredicatul nou introdus P (x1, . . ., xn) este realizabil, dacă şi numai dacă, dinexpresia definitoare M putem construi o mulţime Hintikka.
8. Teoria semiotică a definiţiei
SD = [ h1, h2, Sit, L, At, Lh1, Lh2, Dfd, Dfn, Dom,sem(F), cun(H, F) ] unde:1. h1, h2 sunt agenţii participanţi la procesul definiţional, h1 fiind emitentul
definiţiei iar h2 adresantul sau receptorul definiţiei;2. Sit este o situaţie actională sau discursiv-comunicaţională în care se dă definiţia;3. L este limbajul logicii predicatelor de ordinul întâi;4. At = [A1, A2, …An] este o listă de atomi primitivi ce apar într-o teorie ştiinţifică
sau într-o bază de cunoştinţe, descrisă în limbajul L ;5. Lh1 şi Lh2 sunt idiolectele sau sublimbajele agentilor h1 şi h2 şi satisfac
condiţiile:a) (Lh1∪ Lh2) ⊂ L;b) Lh1 ∩ Lh2 ≠ φ ;c) At ⊂ ( Lh1 ∩ Lh2);d) Dfd ∈ Lh1 şi este un atom derivat;e) Dfd ∉ Lh2;f) Dfn ∈ (Lh1 ∩ Lh2);
Dfd este definiendum-ul definiţiei considerate, iar Dfn este definiens-ul iar Dfd =df Dfn este formula F ce descrie enunţul definiţional;
6. Dfd = P(x1, x2, . . . ,xn)7. Dfn = M( A1, …, An, D1, D2,. . . Dm) ;8. A1, …, An sunt atomi primitivi, cunoscuţi de h1 şi h2, iar9. D1, D2,. . . Dm sunt termeni anterior introduşi prin definiţie şi deci cunoscuţi
de h2. Definitorul definiţiei curente este D m+1, i.e.,10. Dfd = D m+1= P(x1, x2, . . . ,xn)
31
11. Dom este un domeniu nevid în care sunt interpretate simbolurile predicative şisimbolurile funcţionale, constantele individuale, etc
12. Prin funcţia de interpretare sem i se asociază fiecărui atom din At o relaţie deaceiaşi aritate definită pe D cu valori în B = [0.1] astfel că:
a) sem(Dfd) = sem(Dfn)b) cun(h1, Dfn)∧ cun(h1,Dfd)c) cun(h2, Dfn)
Logica predicatelor şi teoria clasificării
1. Clasificare elementară
Definiţia l. Numim clasificare elementară sau cu un singur nivel o structură:K=⟨ Mo, C, cl ⟩ unde:
l) Mo este mulţimea de referinţă sau universul discursului, respectiv obiecteleindividuale ce trebuie clasificate;
2) C este o mulţime de simboluri predicative ce desemnează criteriile după carese face clasificarea ;
3) cl este o operaţie: cl: 2Mo×C→( 2Mo) nrespectiv: a) cl(Mo,c) = [M1,M2,...Mm]ce satisface condiţiile: i=m b) ∪Mi=Mo 1 ≤ i ≤ m) i=1
c) Mi∩ Mj=φ 1≤ i,j≤ m d) nr-cl(cl) = card(cls)=m
4) Apartenenţa la o clasă este condiţionată de satisfacerea unei descripţiispecifice;
a) ∀x(Di(x)→x∈Mi)b) Di = fb(A1,A2,...Ak)c) subcl( Mi,Mo)→(int(Mi)⇒int(Mo))5) Intensiunea clasificandumului este echivalentă cu intersecţia intensiunii
claselor rezultate, iar acestea sunt intensional disjuncte; i=ma) int(Mo)= ∩ int(Mi) 1 ≤ i ≤ m i=1b) (descr(Di,Mi)∧ descr(Dj,Mj))→ (Di/Dj)
32
2. Criteriile de clasificare şi operaţionalizarea lorNumim criteriu un Atribut (Ind,Val) = ⟨ op , S, R ⟩ (Cr)
unde:
l) Atribut(Ind,Val) este o schemă predicativă pe post de definiendum ce poategenera clase de judecăţi de relaţie de forma temperatura (X,Y), i.e. "temperaturaobiectului X este Y"; unde Y este un calificativ, "ridicată");
2) op este o operaţie definită pe Mo cu valori în R, ce corespunde înregistrăriirezultatelor măsurătorilor unei proprietăţi cantitative op : Mo → R
op (X) = Y se citeşte "obiectul X are valoarea Y", iar R este mulţimeanumerelor reale.
3) Definim codomeniul aplicaţiei;
Cop = {y∈R: ∃ x(xεM∧op(x) = y)}
4) Definim o relaţie de ordine parţială S pe mulţimea valorilor codomeniuluioperaţiei op ce descrie intervalul sau spectrul valorilor:
S ⊂ Cop× Copşi satisface condiţiile:
a) ∀xS(x,x)
b) ∀x∀y∀z[(S(x,y) ∧ S(y,z) ) → S(x,z)]
c) ∀ x∀y[(S(x,y) ∧ S(x,y) ) → x = y]5) Segmentăm intervalul valorilor într-un număr de m puncte şi obţinem m+1
subintervale ordonate şi disjuncte: I1, I2,...,Im+1.
6) Definim cele m+1 clase rezultate prin operaţia de clasificare în conformitatecu schema:
Mi = { x∈Mo : op(x)∈Ii } ( l ≤ i ≤ m+1 )
7) Asociem fiecărui subinterval I1,...,Im+l un descriptor specific: D1,D2,...,Dm+1
Evident, clasele Mi, 1≤ i ≤ m+1 satisfac condiţiile 3a-3d, 4a, 4c, 5a, 5bstipulate în definiţia l.
Clasificarea elementară ca relaţie ternarăDefiniţia 2. Numim clasificare elementară sau clasificare cu un singur nivel o
relaţie ternară:Kr ⊆ 2Mo × C × (2Mo) m ( 2.l.)1. a cărei instanţiere: Kr(Mo,c,[M1,...,Mm]) satisface condiţiile : i = ma) ∪ Mi = Mo l ≤ i ≤ m i = 1b) Mi ∩ Mj = ∅ i ≠ j, 1≤ i, j ≤ m
33
2. Pentru orice clasă Mi, l≤ i ≤ m, există un descriptor Di astfel că:a) ∀x( Di(x) → x∈M)b) Di = df fb (Al, A2,...,Ak)
unde fb este o funcţie de adevăr, iar Al,...,Ak sunt atomi predicativi.3. Dacă Do este descriptorul lui Mo şi Dl,D2,...,Dm sunt descriptorii claselor
M1, M2,...,Mm, atunci:a) ( Mi ⊂ Mo) → ( Di ⇒ Do)b) Do = D1 ⊕ D2 ⊕ ,..., ⊕ Dmunde ⊕ este simbolul disjuncţiei exclusive:c) A ⊕ B = (A∨B) ∧ (¬A∨¬B) = (A∧¬ B) ∨ (¬ A∧ B)
3.Clasificare multinivelarăDefiniţia 3. Numim clasificare multinivelară o structură:SC = ⟨ R, R+, niv, sel, T ⟩ unde:1) R descrie o clasificare elementară cle a) R(X,Y) =kr (X,Y)2) R+ este o închidere tranzitivă a lui R a) R (X,Y) ⊃ R+ (X,Y) b) (R(X,Y) ∧ R+ (X, Z ) ) ⊃ R+ (X,Z))3) niv este o relaţie ce defineşte nivelele unei clasificării multinivelare: niv : 2Mo → N a) niv (Mo, 0) b) (niv (X, N) ∧ R (X, Y)) ) ⊃ niv (Y, N+1)4) sel este funcţia ce selectează criteriul de clasificare pentru clasele nou
obţinute:sel : cls → C, unde C este mulţimea criteriilor a) (sel (x) = ci) ) ⊃∀ cj( ( cj < ci ) ) ⊃(ci ≠ cj ))5) T este mulţimea claselor terminale (specii infime). a) ∀x(x ∈T → R+ (Mo,x)) b) ∀x (card(x) =1 → x∈T ) c) ∀x∀y( ( x∈T ∧ y∈T ∧ int(x,D) ∧ int(y,E))→ ( D ⇒¬ E ) ) d) ∀x ∀y ((subcl(x, y) ∧ int(x, D) ∧ int(y, E)) → ( D ⇒ E )) e) ∀x ∀y (( int(x, D) ∧ int(y,E) ∧ R+ ( x,y)) → (E ⇒ D) ) i = card(T) f) ∪ Xi = Mo
i =1
34
Tipuri de clasificări multinivelare
1.
Logica modală
1 Logica modală aletică 2. Logica modală aletică d3. Logica modală aletică e
cele logic posibile.4. Toate formulele valide s
de Kurt Gödel.5. Formulele irealizabile sa6. Toate formulele realizab7. Formulele realizabile şi
sunt nici logic necesare,8. Logica modală presupun
supraetajare a acestora.9. Logica modală este o lo
devenirii, a posibilului şteoriile ştiinţifice empirialtul al lumii reale.
1. Sistemul modal KLimbajul lui K este limb
modal primitiv, Lp = “ Propexemplu, Mp = “Propoziţia
Dacă α este o formulă înmodală.
Axiome Axo, Axiomele logici
Ax1. L(p⊃q) ⊃ (Lp⊃ L
Clasificărimultinivelare
Complete
Unicriteriale la un nivel
Pluricriteriale la un nivel
Incomplete
descrie relaţia de cescrie relaţia de coste o teorie despre a
unt logic necesare.
u contradictorii sunile sunt formule loginfirmabile ( “empi nici logic imposibie logica propoziţiil
gică filosofică semni a necesarului, dar ce dar şi pentru teo
ajul logicii propozioziţia p este logic np este logic posibilă logica propoziţiilo
i propoziţiilorq) (K, axioma
Unicriteriale la un nivel
ond
D
t i
rileor
ifşiri
ţiiec”r
sp
Pluricriteriale la un nivel
nsecinţă logică sintactică. →secinţă logică semantică: ⇒evărurile logic necesare şi despre
e aici şi regula necesitării propusă
logic imposibile.c posibile.ce”) sunt logic contigente, adică nu. Ele au şi modele şi contra-modele. sau logica predicatelor. Este o
icativă pentru teoria existenţei a pentru teoria cunoaşterii, pentruile aplicate într-un domeniu sau
lor la care se adaugă un operatoresară “ şi unii operatori derivaţi, de
, precum şi regula necesitării: , atunci Lα este o formulă de logică
ecifică)
35
DefiniţiiD1. Mp =df -L-p
Reguli de inferenţă Regula substituţiei, RS: α(p1,…,pn) ⇒ α(β1/p1,…, βn/pn)
Regula modus ponens, MP: α, α ⊃β ⇒ βRegula substituirii echivalentelor,RE: α(…β…), β ≡ γ ⇒ α(…γ…)
Regula neccesitării, Nec.: ├LP α ⇒ ├M Lα
TeoremeT1. L(p∧q) ⊃ (Lp∧Lq) 1. (p ∧ q) ⊃ q ( LP),2. L((p∧q) ⊃ p) (Nec, 1),3. L((p∧q) ⊃ p) ⊃ (L(p∧q) ⊃ Lp) (RS, K, p∧q /p , p /q )4. L(p∧q) ⊃ Lp (MP, 2, 3.),5. (p∧q) ⊃ q ( LP )6. .L((p ∧ q) ⊃ q) (Nec, 5.),7. L((p ∧ q) ⊃ q) ⊃ (L(p∧q) ⊃ Lq) (RS,6, p∧q/ p)8. L(p∧q) ⊃ Lq ( MP, 6. 7.)9. (p ⊃ q) ⊃ ((p ⊃ r) ⊃ (p ⊃ (q∧r))) (LP)10. L(p∧q) ⊃ Lp) ⊃ ((L(p∧q) ⊃ Lq) ⊃ (L(p∧q) ⊃ (Lp∧Lq))) (RS,9, L(p∧q)/p, Lp/q, Lq/r),11. (L(p∧q ) ⊃ Lq) ⊃ (L(p∧q)⊃(Lp ∧ Lq)) (MP, 4.,10.)12. L(p∧q) ⊃ (Lp∧Lq) (MP,8., 11.)
T2. (Lp∧Lq) ⊃ L(p∧q)) 1. p⊃ (q⊃ (p∧q)) (LP, import.)2. L( p⊃ (q⊃ (p∧q))) (Nec., 1)3. L (p⊃ (q⊃ (p∧q))) ⊃ (Lp ⊃ L(q⊃ (p∧q))) (K, 2, RS).4. Lp ⊃ L(q ⊃ (p∧q)) (MP, 2,3)5. L(q ⊃ (p∧q)) ⊃ (Lq ⊃ L(p∧q)) (RS, Ax K)6. Lp ⊃ (Lq ⊃ L(p∧q)) (Tranz., 4,5)7. (q⊃ (r ⊃ s)) ⊃ (q∧ r) ⊃ s)) (LP)8. Lp⊃ (Lq ⊃ L(p∧q)) ⊃ (Lp∧Lq) ⊃ L(p∧q)) (LP, RS, 7 )9. (Lp∧Lq) ⊃ L(p∧q)) (MP, 8, 6 )
T3. L(p∧ q) ≡ (Lp∧Lq)1. p⊃q) ⊃ ((q ⊃ p) ⊃ (p≡q)) (LP)2. L(p∧ q)⊃ (Lp∧ Lq) (K1)3. (Lp∧Lq) ⊃ L(p∧q) (K2)4 .L(p∧ q) ≡ (Lp∧Lq) (RS,1,MP de 2 ori)
Lista de teoreme in K
K1 L(p ∧ q) ⊃ (Lp ∧ Lq)K2 (Lp∧Lq) ⊃ L(p∧q) K3. L(p∧ q) ≡ (Lp∧Lq)
36
α ⊃ β ⇒∗ Lα ⊃ Lα (DR1)α ≡ β ⇒∗ Lα ≡ Lα (DR1)K4 (Lp ∨ Lq) ⊃L(p∨ q)K5. Lp≡ -M-pK5.1 L-p≡ -MpK5.2 -Lp≡ M-pK6 M(p∨q) ≡ (Mp∨Mq)D3. α ⊃ β ⇒∗ Mα ⊃ Mα (DR3)K7 M(p ⊃ q) ≡(Lp ⊃ Mq)K8. M(p∧ q) ⊃ (Mp ∧ Mq)K9. L(p∨q) ⊃ (Lp∨ Mq)
2. Sistemul modal TAxiome
Ax0. Axiomele logicii propoziţiilorAx1. L(p⊃q) ⊃(Lp⊃Lq) (Ax. specifică lui K)Ax2. Lp ⊃ p (Ax. specifică lui T)
DefiniţiiD1. Mp =df -L-pD2. p⇒q =df L(p⊃q)D3. p = q =df p⇒q ∧ q⇒pReguli:RS, MP, RE, Nec.
TeoremeT1 p ⊃ Mp L-p ⊃ -p (RS,Lp ⊃ p, -p / p)1. p⊃-L-p (Contrapoz 1.)2. p⊃Mp (RE, 2., Def. 1 Mp= -L-p)
T2 M(p⊃Lp) 1. Lp⊃MLp (RS,T1, Lp / p) 2. M(p⊃Lp) ≡ (Lp⊃MLp) (RS, K7, Lp/ q)3. M(p⊃Lp) (RE, 1., 2., ≡)
Lista de teoreme in T
T1 p ⊃ MpT2 M(p⊃Lp)T2 M(p⊃Lp)T3. Lp ⊃ MpT4. p = q ⊃( Lp=Lq)T5. ( p⇒q) ⊃ (p⊃q)T6. (p⇒q) ⊃(Mp⊃Mq)T7. (-p⇒p) ≡ LpT8. (p⇒-p) ≡ L-pT9. (q⇒p) ∧ (-q⇒p)≡ Lp
37
T10. (p⇒q) ∧ (p⇒-q)≡ L-pT11. Lp⊃(q⇒p)T12. L-p ⊃(p⇒ q)
3. Sistemul modal S4Axiome
Ax0. Axiomele logicii propoziţiilorAx1. L(p⊃q) ⊃ (Lp⊃Lq) (K)Ax2. Lp ⊃ p (T)Ax3 Lp⊃LLp (S4)
Reguli de inferenţă iniţialeRS, MP, RE, Nec ( vezi sistemul K)Se menţin definiţiile sistemului T
Teoreme
T1 MMp ⊃ Mp1. Lp ⊃ LLp2. L-p ⊃ LL-p3. -Mp ⊃ -MMp4. MMp ⊃ Mp
T2. Lp ≡ LLp1 Lp ⊃ p2. LLp ⊃ Lp (RS, 1)3. Lp⊃ LLp (Ax S4)4. Lp ≡ LLp (LP )
A4.6 A(p ⊃Tp)1. A(Ap ⊃ p) (Ax3)2. A(-p ⊃ -Ap) (LP, ≡, contrapoz, 1)3. A(--p ⊃ -A-p) (RS, 2, p/-p)4. A( p ⊃ Tp ) ( RE, 3, LP, D1, D2 )
A4.7. Ap ⊃ ATA p1. A( p ⊃ Tp ) (A4. 6)2. Ap ⊃ ATp ) ( R5, 1 )3. AAp ⊃ ATAp ) (RS, 2, p/Ap)4. Ap ⊃ ATAp ) (RE, 3, A4.2 )
4. Sistemul modal S5Axiome
Ax0.Axiomele logicii propoziţiilorAx1.L(p⊃ q) ⊃ (Lp ⊃ Lq) (K)
38
x2. Lp ⊃ p (T)Ax4. Mp ⊃ LMp (E Ax. lui S5)
ReguliRS, MP,RE, Nec.
S5. 1 MLp ⊃ Lp1. Mp ⊃ LMp2. M-p ⊃ LM-p3. –Lp ⊃ -MLp (LMI 2)4. MLp ⊃ Lp (lP, contrapoz )
S5.2 Mp ≡ LMp ( de aici R1 din S5 )1. p ⊃ Mp ( teoremă în T )2. Lp ⊃ MLp (RS, 1, prin Lp )4. MLp ⊃ Lp (teorema S5.1 de mai sus )5. Mp ≡ LMp Regula R1 în S5
Semantica logicii modaleFie F∈ Fmod o formulă de logică modală s∈W o stare sau o lume posibilă , atunci Feste adevărată în starea s în modelul M” şi scriem prescurtat: (M,s) F. ( Simbolul ţine locul semnului asertării la Frege t mare culcat cu linia de sus în stânga ).(M,s) p ⇔ s∈ v(p) ( unde v este funcţia de valorizare şi p o variabilăpropoziţională )(M,s) T Tautologiile au model în orice stare sau lume posibilă;.not((M,s) ⊥ Contradicţiile nu au model nici într-o stare sau lume posibilă;(M,s) A∧B ⇔ (M,s) A şi (M,s) B ;(M,s) A∨B ⇔ (M,s) A sau (M,s) B ;(M,s) A⊃B ⇔(M,s) A implică (M,s) B ;(M,s) -A ⇔ nu are loc (M,s) A(M,s) LA ⇔ (M,v) A, pentru orice v∈W, astfel că R(s,v);(M,s) MA ⇔ (M,v) A, pentru o stare v, astfel că R(s,v);
Formula (M,s) p ⇔ s∈ v(p) se citeşte. “ formula p este adevărată în modelulM în situaţia sau lumea posibilă s, dacă şi numai dacă starea s aparţine mulţimiistărilor în propoziţia p este adevărată. Putem să ne imaginăm pe v(p), ca îndiagramele Euler ca mulţimea punctelor dintr-un plan ce reprezintă cazurile deadevăr ale propoziţiei p. La fel despre q. Şi atunci vom înţelege intuitiv când într-ostare s din modelul m va fi adevărată conjuncţia dintre p şi q, respectiv dintre A∧B.
Grafuri şi sisteme logice modale
Formula F este validă în graful G, dacă şi numai dacă –F nu este realizabilă îngraful G.
Spunem pentru un set de formule Γ dintr-un limbaj de logică modală că G esteun cadru (şablon) pentru Γ, dacă toate formulele din Γ sunt valide în G. Scriem:G Γ.
39
Despre o formulă F spunem că este Γ-realizabilă, dacă şi numai dacă, F esterealizabilă într-un graf pentru Γ.
În lucrarea lui Dov Gabbay se stabileşte o corespondenţă între limbajeleteoriilor logice şi grafurile sau frame-le ce le descriu.
Fie C o clasă arbitrară de grafuri ce descriu semantica unor teorii logic modale.Atunci putem să asociem clasei de grafic C propria sa logică după cum urmează:
Log C = {F∈LMod|∀G∈C G F}Logica grupului de grafice C va fi alcătuită din mulţimea formulelor de logică
modală Lmod care sunt valide în în grafurile G din C.
Semantici de lumi posibile pentru logicile modale
Fie G =<W,R>, un graf, R o relaţie de accesibilitateM = <G,v>, un modelFie A1 = {p, q, r, p1, p2,. . . , pn} un set de variabile propoziţionale şi W o mulţime delumi posibile. Atunci v: A1 → 2W astfel că v(p) = {L⊆ 2W: w∈L ⊃ p este adevărat în w}.v(p) = {s∈W|s p}Un model M de tip Kripke va fi o pereche M =<G,v>, unde G este, ca mai sus, opereche <W,R> iar v este funcţia de evaluare semantică ce asociază unei variabilepropoziţionale stările sau lumile în care aceasta este adevărată.
Decizia prin diagrame semanticeO formulă modală α este validă în raport cu un graf G = < W, R> şi o
valorizare V, dacă în orice model M = < W, R, V>, bazat pe graful G dintr-o clasă degrafuri vom avea V(α, w) = 1 în orice lume w din W.
Fiecare clasă de grafuri C asociată unui sistem are cerinţe proprii în privinţarelaţiei de accesibilitate R.
În metoda diagramelor o formulă α dintr-un sistem S este validă dacă negaţia einu are model în graful G din clasa C de grafuri asociată sistemului S, respectiv seajunge in graf la o contradicţie. S poate fi K, T, D, S4, S5, B etc.
Redăm o lume posibilă w printr-un dreptunghi în care scriem formulevalorizate. În primul dreptunghi scriem -α
Regulile diagramelor semantice1. Postulăm -α în primul dreptunghi.2. Derivăm potrivit definiţiilor operaţiilor logice consecinţele ce rezultă din ipoteza
de la 1.Regulile asteriscurilor
3. Plasăm câte un asterisc deasupra oricărui L pe care l-am valorizat cu 1 şideasupra oricărui M pe care l-am valorizat cu 0.
4. Plasăm un asterisc sub orice L valorizat cu 0 şi sub orice M pe care l-am valorizatcu 1.
40
Regulile introducerii unor noi lumiA. Dacă într-o lume w apare o formulă Lα cu un asterisc sub L, atunci trebuie să fie
sau să apară o lume s accesibilă din w în care să i se atribuie lui α valoarea 0.B. Dacă într-o lume w apare o formulă Mα cu un 1 sub M, atunci trebuie să fie sau
să apară o lume s accesibilă din w în care să i se atribuie lui α valoarea 1.
Regulile scrierii de formule în lumile nou createC. Dacă într-o lume w apare un asterisc deasupra lui Lα, atunci α trebuie scris în
orice lume accesibilă din w.D. Dacă într-o lume w apare un asterisc deasupra lui Mα, atunci îi vom atribui lui α
valoarea 0 în orice lume s accesibilă din w.
Diagrame S41. Relaţia de accesibilitate în diagramele S4 este reflexivă şi tranzitivă.2. Se adaugă regula: Oridecâteori toate formulele valorizate ale unei diagrame (sau
nod) wj dintr-un drum sunt conţinute într-o diagramă sau nod anterior wi dinacelaşi drum, se taie nodul ultim wj şi se orientează arcele care duceau spre elspre nodul anterior wi.
3. Valorizările atribuite unor părţi din subformule sunt contramodele parţiale aleformulei iniţiale.
4. Dacă eşuăm, în toate alternativele, să construim un contramodel, formula testatăeste validă. Dimpotrivă, dacă reuşim să construim un contramodel, formula esteinfirmabilă şi deci invalidă.
5. Metoda diagramelor este o metodă semantică , întemeiată reducerea la absurd.
Diagrame S5• Relaţia de accesibilitate în diagramele S5 este reflexivă, tranzitivă şi simetrică,
i.e. o relaţie de echivalenţă. În S5 fiecare nod sau diagramă este legată de toatecelelalte şi invers.
• Orice diagramă nou adăugată va fi conectată cu toate celelalte anterior introduseşi dinspre acestea vom avea drumuri spre noua venită.
• Valorizările atribuite unor părţi din subformule sunt contramodele parţiale aleformulei iniţiale.
• Dacă eşuăm, în toate alternativele, să construim un contramodel, formula testatăeste validă. Dimpotrivă, dacă reuşim să construim un contramodel, formula esteinfirmabilă şi deci invalidă.
• Metoda diagramelor este o metodă semantică , întemeiată pe metoda reduceriila absurd.
Un exemplu de T-diagramăFie formula M(p ⊃ Lp). O scriem într-un dreptunghi reprezentând o lume posibilăiniţială.
41
O S5-diagrama pentru L(Lp ∨ q) ⊃ (Lp ∨ Lq)
. Teste (întrebări ) de autoevaluare şi eventual, răspunsuri1. Fiecare dintre titlurile sau subtitlurile capitolului precedent sau dintre titlurile de
capitole, subcapitole sau paragrafe din cuprinsul celor două volume ale cursului nostrude Logică şi Metalogică. Teoria sistemelor logice pot fi înţelese ca tot atâtea întrebărisau teste posibile de autoevaluare.
2. La sfârşitul volumului 1 din Logică şi Metalogică, pag. 259-384 puteţi găsi 8 liste cuclase distincte de întrebări, totalizând 215 întrebări. Toate aceste întrebări sunt şisubiecte de examen.
3. La sfârşitul fiecărui capitol din volumul 2 din Logică şi Metalogică puteţi găsi liste deîntrebări despre conţinutul acelui capitol.
4. În partea a V-a din cursul nostru în două volume Logica simbolică şi bazele decunoştinţe, tipărit la Universitatea “Politehnica” în anul 1998 pag 475-532 găsiţi unnumăr de 25 de probleme de logică care reclamă analiză, formalizare şi probleme de
M(p ⊃ Lp)0 1 0 01 *
w1
p ⊃Lp p1 0 0 1 0
w2
*L(Lp ∨ q) ⊃ (Lp ∨ Lq)1 0 1 1 0 0 0 0
* *
Lp ∨ q) p00 1 1 0
*Lp ∨ q q11 1 0 0
w1
w2 w3
42
decizie pentru a fi rezolvate. Folosiţi problemele propuse acolo ca exerciţii deformalizare, codificare şi decodificare.
5. Reţineţi clasele de exerciţii rezolvate la seminarii.
6. Revedeţi clasele de probleme rezolvate în caietele de exerciţii şi probleme rezolvate peparcurs. Reamintesc că astfel de activităţi pe parcurs v-au fost solicitate din prima oră decurs.
. Subiecte de examenSubiectele de examen nu au constituit niciodată pentru studenţii noştri un secret. Am
publicat de fiecare dată listele lor. A pregătit multe fişiere cu subiecte. Avem în curs depregătire o culegere de probleme, cu ilustrări şi analize de probleme rezolvate.
Din primul volum drept subiecte vor fi cele 215 exerciţii şi probleme.
Problemele teoretice din volumul al doilea vor fi cele enumerate la sfârşitul capitolelor.
Aplicaţiile şi exerciţiile din volumul al doilea privesc: 1 sintaxa limbajelor logiceprezentate; 2 semantica sistemelor logice prezentate; 3. axiomatica acestora; 4. Relaţiiledintre sisteme, ordinea lor de tărie; 5. Decizia formulelor de logici modale prin metodadiagramelor semantice.