sisteme de ecuatii liniare
DESCRIPTION
Sisteme de ecuatii liniare. Prof. FLORESCU NICOLAE GSIA FETESTI. Notiuni generale. Definitia 1: Sistemul (1) unde a ij , b i ∈ R , i ∈ {1,…,m}, j ∈ {1,…,n} se numeste sistem de m ecuatii liniare cu n necunoscute. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Sisteme de ecuatii Sisteme de ecuatii liniare liniare
Prof. FLORESCU Prof. FLORESCU NICOLAE NICOLAE
GSIA FETESTIGSIA FETESTI
Notiuni generaleNotiuni generale
Definitia 1:Definitia 1: Sistemul Sistemul
(1)(1)
unde aunde aijij , b , bi i ∈∈R , i R , i ∈∈ {1,…,m}, j {1,…,m}, j ∈∈{1,…,n} se {1,…,n} se numeste numeste sistem de m ecuatiisistem de m ecuatiiliniare cu n necunoscute.liniare cu n necunoscute.
Definitia 2:Definitia 2: Numerele reale Numerele reale xx11, x, x22, x, x33, … , x, … , xnn care verifica fiecare care verifica fiecare ecuatie a sistemului (1) reprezinta solutia sistemului (1).A rezolvaecuatie a sistemului (1) reprezinta solutia sistemului (1).A rezolvasistemul (1) inseamna a-i determina toate solutiile.sistemul (1) inseamna a-i determina toate solutiile.
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
2211
22221121
11212111
.............................................
Definitia 3: Un sistem de ecuatii liniare care :Definitia 3: Un sistem de ecuatii liniare care : are solutie unica se numeste sistem compatibil are solutie unica se numeste sistem compatibil
determinat;determinat;are o infinitate de solutii se numeste sistem are o infinitate de solutii se numeste sistem
compatibil nedeterminat;compatibil nedeterminat;nu are solutii se numeste sistem incompatibil.nu are solutii se numeste sistem incompatibil.
Definitia 4. Sistemul (1) se numeste omogen daca toti Definitia 4. Sistemul (1) se numeste omogen daca toti termenii liberi sunt egali cu zero.termenii liberi sunt egali cu zero.
NotatiiNotatii
MatriceaMatricea
se numeste matricea sistemului (1)se numeste matricea sistemului (1)
MatriceaMatricea
se numeste matricea extinsase numeste matricea extinsa
a sistemului (1).a sistemului (1).
mmnm2m1
22n2221
11n 1211
b a a a.....................................
b a a ab a a a
A
mnm3m2m1
2n232221
1n131211
a a a a ......................................
a a a a a a a a
A
se numeste matricea termenilor liberi se numeste matricea termenilor liberi
se numeste matricea se numeste matricea necunoscutelornecunoscutelor
Observatie:Observatie: AX = B este forma matriceala a sistemului (1).AX = B este forma matriceala a sistemului (1).
n
m
x
xx
X
b
bb
B
2
1
2
1
Rezolvarea matriceala a sistemelor liniare de n ecuatii cu n Rezolvarea matriceala a sistemelor liniare de n ecuatii cu n necunoscutenecunoscute
Fie sistemulFie sistemul
Etapa1: -se scrie sistemul sub forma AX = B si se calculeaza detA;Etapa1: -se scrie sistemul sub forma AX = B si se calculeaza detA;
Etapa 2:-daca detA ≠ 0, se calculeaza AEtapa 2:-daca detA ≠ 0, se calculeaza A-1 -1 ;;
Etapa 3: -solutia sistemului este X =AEtapa 3: -solutia sistemului este X =A-1-1B. B.
Observatie: daca detA = 0, atunci sistemul poate fi compatibil Observatie: daca detA = 0, atunci sistemul poate fi compatibil nedeterminat sau incompatibil.nedeterminat sau incompatibil.
Exemplu: Sa se rezolve sistemul urmator utilizind metoda matriceala:Exemplu: Sa se rezolve sistemul urmator utilizind metoda matriceala:
244422
12
zyxzyxzyx
nnnnn
nn
bxaxa
bxaxa
11
11111..................................
Sistemul dat se scrie astfel:Sistemul dat se scrie astfel:
Deci , Deci ,
241
4 1 42 1- 22 1 1
zyx
1024 1 42 1- 22 1 1
det
AA
333231
232221
131211
a a a a a a
A ; 4 2 21 1- 14 2 1
aaa
At
4222 21- 1)1(
2)24(4 21 1)1(
6244 2 1 1)1(
3113
2112
1111
a
a
a
2)42(2 22 1)1(
4844 24 1)1(
0)88(4 24 2)1(
3223
2222
1221
a
a
a
3211 - 12 1)1(
3)41(1 14 1)1(
6421 1-4 2 )1(
3333
2332
1331
a
a
a
3- 3 6 2 4- 0 4 2- 6
A
3- 3 6 2 4- 0 4 2- 6
2
1
det
11 AA
A
241
1Azyx
6 63
zyx
6
63
zyx
Aplicatii 1. Utilizind metoda matriceala sa se rezolve sistemele:
a). b).
c).
2. Utilizind metoda matriceala , sa se rezolve sistemele urmatoare in functie de parametrul real m:
a). b).
34532
yxyx
244422
12
zyxzyxzyx
442112
zyxzyxzyx
1212
myxymx
321
mzyxzmyxzymx
Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor de n ecuatii cu Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor de n ecuatii cu n necunoscuten necunoscute
Fie sistemul Fie sistemul
(1)(1)
Teorema:Teorema: Daca pentru sistemul de ecuatii liniare (1) d = Daca pentru sistemul de ecuatii liniare (1) d = detA detA ≠≠ 0 atunci sistemul este 0 atunci sistemul este compatibil determinatcompatibil determinat , iar solutia este data de formulele , iar solutia este data de formulele
(2)(2)
unde este determinantul obtinut din d prin inlocuirea coloanei i cu coloana termenilorunde este determinantul obtinut din d prin inlocuirea coloanei i cu coloana termenilor
liberi , celelalte coloane raminind neschimbate.liberi , celelalte coloane raminind neschimbate.
Obs: 1). – in conditiile teoremei de mai sus , sistemul (1) se numeste sistem de tip Cramer;Obs: 1). – in conditiile teoremei de mai sus , sistemul (1) se numeste sistem de tip Cramer;
2). – formulele (2) se numesc formulele lui Cramer. 2). – formulele (2) se numesc formulele lui Cramer.
nnnnn
nn
bxaxa
bxaxa
11
11111..................................
d
dx
d
dx
d
dx n
n ,,, 22
11
id
ExempleExemple 1.Sa1.Sa se rezolve urmatorul sistem cu ajutorul regulii lui Cramer: se rezolve urmatorul sistem cu ajutorul regulii lui Cramer:
Rezolvare: determinantul sistemului esteRezolvare: determinantul sistemului este
d =d = = = = 10 = 10
= = -10 = -10(-14 – 60) = 740= = -10 = -10(-14 – 60) = 740
643242436324
22432
4321
4321
4321
4321
xxxxxxxxxxxxxxxx
1- 4 3 2 2 1- 4 3 3 2 1 4-4 3 2- 1
14
13
12
432
cccccc
9- 2- 7 2 10- 10- 10 3 19 14 7- 4-0 0 0 1
9- 2- 7 10- 10- 10 19 14 7
9- 2- 7 1- 1- 1
19 14 7
2- 5 7 0 0 1
12 7 7
2- 512 7
Pentru ca d Pentru ca d ≠ ≠ 0 , sistemul este compatibil determinat. Avem:0 , sistemul este compatibil determinat. Avem:
Deci, Deci,
SSolutia sistemului este S={(1, -2, 3 , 2 )}olutia sistemului este S={(1, -2, 3 , 2 )}
740
1- 4 3 6 2 1- 4 4-3 2 1 6 4 3 2- 22
1 d 1480
1- 4 6 2 2 1- 4- 3 3 2 6 4-4 3 22 1
2 d
1480
6 4 3 2 4- 1- 4 3 6 2 1 4-
22 3 2- 1
4 d2220
1- 6 3 2 2 4- 4 3 3 6 1 4-4 22 2- 1
3 d
1740
74011
d
dx 2
740
148022
d
dx
3740
222033
d
dx 2
740
148044
d
dx
2. Sa se arate ca sistemul are solutie unica daca si numai daca 2. Sa se arate ca sistemul are solutie unica daca si numai daca
Rezolvare: determinantul sistemului esteRezolvare: determinantul sistemului este
= -2= -2αβγαβγ
Sistemul este compatibil determinat d Sistemul este compatibil determinat d ≠ ≠ 0 0 αβγαβγ ≠ ≠ 0 .In acest caz solutia 0 .In acest caz solutia sistemului este data de formulele lui Cramer. Avemsistemului este data de formulele lui Cramer. Avem
= = = =
= =
Deci, , , Deci, , ,
zyzxyx
0
0
0
d
0
0 xd
223
0
0 yd
223
0 0
zd223
2
222 x
2
222 y
2
222 z
Aplicatii 1. Sa se rezolve sistemele urmatoare utilizind regula lui Cramer:
a). b).
2. Sa se determine parametrul real m astfel incit sistemele de mai jos sa aiba solutie unica:
a). b).
c).
722732
03
zyxzyx
zyx
3ty 3x2t-2y 2x2t2z2y
2tzyx
3235222
zyxmztxzymx
111
mzyxzmyxzymx
00022
zmyxzmymxzymx
Rezolvarea sistemelor de m ecuatii cu n necunoscuteRezolvarea sistemelor de m ecuatii cu n necunoscute
Fie sistemulFie sistemul
(1).(1).
Teorema lui Kronecker-Capelli:Teorema lui Kronecker-Capelli: Sistemul de ecuatii liniare (1) este compatibil Sistemul de ecuatii liniare (1) este compatibil
daca si numai daca rangA = rangdaca si numai daca rangA = rangĀ.Ā.
Metoda de lucru:Metoda de lucru:
- fie rangA = rangĀ = r- fie rangA = rangĀ = r
- din rangA = r - din rangA = r in A in A minorul d = minorul d = ≠ ≠ 0 numit minor principal0 numit minor principal
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
2211
22221121
11212111
.............................................
mnm3m2m1
2n232221
1n131211
a a a a ......................................
a a a a a a a a
A
mmnm2m1
22n2221
11n 1211
b a a a.....................................
b a a ab a a a
A
rr1
1r11
a ..................
a
ra
a
- necunoscutele ale caror coeficienti apar in d se numesc necunoscute principale;- necunoscutele ale caror coeficienti apar in d se numesc necunoscute principale;
-ecuatiile ale caror coeficienti apar in d se numesc ecuatii principale;-ecuatiile ale caror coeficienti apar in d se numesc ecuatii principale;
-necunoscutele ale caror coeficienti nu apar in d se numesc necunoscute secundare; lor -necunoscutele ale caror coeficienti nu apar in d se numesc necunoscute secundare; lor li se vor atribui valori arbitrare (li se vor atribui valori arbitrare ( , , , , , , , etc.).; , etc.).;
-rezulta un sistem de r ecuatii cu r necunoscute care se rezolva cu regula lui Cramer.-rezulta un sistem de r ecuatii cu r necunoscute care se rezolva cu regula lui Cramer.
Exemplu: 1. Sa se rezolve sistemul: Exemplu: 1. Sa se rezolve sistemul:
Rezolvare: A= Rezolvare: A= Ā = Ā =
d = = 3 d = = 3 ≠ ≠ 0 si = 0 , =0 0 si = 0 , =0 rangA = 2 rangA = 2
d este minor principal; deoarece = 0 d este minor principal; deoarece = 0 rangĀ = 2 rangĀ = 2
132322122
tzyxtzyxtzyx
3 1 2- 31 2 1 12 1 1- 2
1 3 1 2- 32 1 2 1 11 2 1 1- 2
1 11- 2
1 2- 32 1 11 1- 2
3 2- 31 1 12 1- 2
1 2- 32 1 11 1- 2
deoarece rangA = rangdeoarece rangA = rangĀ Ā sistemul este compatibil nedeterminat; sistemul este compatibil nedeterminat;
x , y sint necunoscute principalex , y sint necunoscute principale
z , t sint necunoscute secundare; notam z = z , t sint necunoscute secundare; notam z = , t = , t = , unde , unde , ,
Avem sistemul cu solutiile x =1 - Avem sistemul cu solutiile x =1 - - - si y = 1 - si y = 1 -
Solutia sistemului dat este Solutia sistemului dat este
2. Rezolvati sistemul : 2. Rezolvati sistemul :
Avem A = si Ā = Avem A = si Ā =
22212
yxyx
, ,
11
tzyx
0915411112
032132
zyxzyxzyxzyx
9 15- 411 12- 13- 2 11 3- 2
0 9 15- 41- 11 12- 10 3- 2 11- 1 3- 2
d = = 28 d = = 28 ≠ ≠ 0 0 rangA = 3 iar d este minor principal rangA = 3 iar d este minor principal
= 14 = 14 ≠ ≠ 0 0 rang rangĀ = 4Ā = 4
Deoarece rangA Deoarece rangA ≠ ≠ rangĀ rangĀ sistemul este incompatibil. sistemul este incompatibil.
Observatie:Observatie: In exemplul anterior se observa ca pentru a calcula rangul matricei Ā am In exemplul anterior se observa ca pentru a calcula rangul matricei Ā am bordat minorul principal cu elementele corespunzatoare coloanei termenilor liberi si bordat minorul principal cu elementele corespunzatoare coloanei termenilor liberi si elementele de pe linia ramasa in Ā. De aici deducem urmatoarea definitie:elementele de pe linia ramasa in Ā. De aici deducem urmatoarea definitie:
Definitie:Definitie: Minorul obtinut prin bordarea minorului principal cu elementele corespunzatoare Minorul obtinut prin bordarea minorului principal cu elementele corespunzatoare coloanei termenilor liberi si elementele corespunzatoare unei linii ramase in Ā se coloanei termenilor liberi si elementele corespunzatoare unei linii ramase in Ā se numeste minor caracteristic.numeste minor caracteristic.
Teorema lui Rouche:Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuatii liniare este compatibil Un sistem de ecuatii liniare este compatibil toti minorii toti minorii caracteristici sint nuli.caracteristici sint nuli.
Obs: metoda de determinare a solutiilor sistemului este cea descrisa la teorema lui Obs: metoda de determinare a solutiilor sistemului este cea descrisa la teorema lui Kronecker- Capelli.Kronecker- Capelli.
9 15- 411 12- 1
3- 2 1
0 9 15- 41- 11 12- 10 3- 2 11- 1 3- 2
AplicatiiAplicatii
1.Sa se rezolve sistemul1.Sa se rezolve sistemul
Rezolvare: avem d= = -5Rezolvare: avem d= = -5≠ ≠ 0 si , ,0 si , ,
Deci d este minor principal. Minorii caracteristici sint:Deci d este minor principal. Minorii caracteristici sint:
si , deci sistemul este compatibil.si , deci sistemul este compatibil.
Avem: xAvem: x11 , x , x22 necunoscute principale si x necunoscute principale si x33 , x , x44 necunoscute secundare. necunoscute secundare.
Notam xNotam x33 = = , x , x44 = = . Avem sistemul de tip Cramer . Avem sistemul de tip Cramer
Cu solutiile xCu solutiile x11 = -2 - = -2 - + + si x si x22 = 3 + = 3 + - - . Solutia generala a sistemului dat este:. Solutia generala a sistemului dat este:
32233223
522532
4321
4321
4321
4321
xxxxxxxxxxxxxxxx
1- 13 2
02 1 32 1- 11- 3 2 0
2- 1 32- 1- 11 3 2 0
2- 1- 3-2 1- 1 1- 3 2
03- 1 35- 1- 15 3 2 0
3 1- 3-5- 1- 1 5 3 2
225
53221
21xxxx
, ,
32
4
3
2
1
xxxx
2. Sa se determine 2. Sa se determine si si astfel incit urmatoarele sisteme sa fie compatibile astfel incit urmatoarele sisteme sa fie compatibile
a). b). a). b).
Rezolvare: a). A = si Rezolvare: a). A = si Ā =Ā =
Avem d= = 6 Avem d= = 6 ≠ ≠ 0 iar si 0 iar si rangA = 2 iar d este rangA = 2 iar d este
minor principal.Sistemul este compatibil minor principal.Sistemul este compatibil toti minorii caracteristici sint nuli.Exista un toti minorii caracteristici sint nuli.Exista un singur minor caracteristic, deci trebuie sa avem singur minor caracteristic, deci trebuie sa avem
- 4 = 0- 4 = 0
= 4. = 4.
b). A= ; Ā = b). A= ; Ā =
1323222
122
tzyxtzyxtzyx
yxyxyxyx
23
3223
3 1 2- 32 4 2 22 1 1- 2
1 3 1 2- 3 2 4 2 2
1 2 1 1- 2
2 21- 2 0
1 1- 34 2 21 1- 2 0
3 2- 32 2 22 1- 2
01 2- 3
2 21 1- 2
1 21- 3
2 13- 1
1 2 1- 3
3 2 12- 3- 1
Avem d = = 5 Avem d = = 5 ≠ ≠ 0 0 rangA = 2 iar d este minor principal. Sistemul este rangA = 2 iar d este minor principal. Sistemul este
compatibil compatibil toti minorii caracteristici sint nuli.Avem toti minorii caracteristici sint nuli.Avem
= 2 si = 2 si = 3. = 3.
3. Sa se rezolve sistemul , 3. Sa se rezolve sistemul ,
Solutie: Solutie: d = d = = (= ( - 1) - 1)22
(( + 2) + 2)
Cazul 1. daca Cazul 1. daca ≠ ≠ 1 si 1 si ≠ ≠ -2 atunci d -2 atunci d ≠ ≠ 0 iar sistemul este compatibil determinat, solutia fiind 0 iar sistemul este compatibil determinat, solutia fiind data de formulele lui Cramer.data de formulele lui Cramer.
ddxx = = ( = = ( - 1) - 1)22 , ,,, ddyy = = ( = = ( - 1) - 1)22,, ddzz = = ( = = ( - 1) - 1)22
2 13- 1
0 1- 3
3 2 12- 3- 1
0
1 23 2 12- 3- 1
111
zyxzyxzyx
1 11 11 1
1 1
1 11 1 1
1 11 1 11 1
1 1 11 11 1
solutia sistemului este x = y = z =solutia sistemului este x = y = z =
Cazul 2. daca Cazul 2. daca = 1 , sistemul se reduce la ecuatia x + y + z = 1 iar solutia sistemului este = 1 , sistemul se reduce la ecuatia x + y + z = 1 iar solutia sistemului este
x = 1- x = 1- - - , y = , y = , z = , z = unde unde , ,
Cazul 3. daca Cazul 3. daca = -2 avem sistemul = -2 avem sistemul
d = 0 si minorul = 3 d = 0 si minorul = 3 ≠ ≠ 0 este minor principal. Singurul minor caracteristic este0 este minor principal. Singurul minor caracteristic este
= 9 = 9 ≠ ≠ 0 deci sistemul este incompatibil.0 deci sistemul este incompatibil.
2
1
1212
12
zyxzyxzyx
2- 1 1 2
1 1 1 1 2- 1 1 1 2
Aplicatii1. Sa se rezolve sistemele urmatoare:
a). b). c).
2. Sa se rezolve si sa se discute dupa valorile parametrilor reali m si n sistemele:
a). b).
124032122
zyxzyxzyx
3320332
14523
zyxtzyxtzyx
1236
324223
32
zyxzyxzyxzyxzyx
1252123122
nzymxzymxzymx
11
zynxzmyxnzyx
Sisteme de ecuatii liniare omogeneSisteme de ecuatii liniare omogene
Sistemul se numeste sistem omogen.Sistemul se numeste sistem omogen.
Observatii: 1. – un sistem omogen este intotdeauna compatibil ( intotdeauna rangA = Observatii: 1. – un sistem omogen este intotdeauna compatibil ( intotdeauna rangA =
rangrangĀ, deci conform teoremei lui KroneckerĀ, deci conform teoremei lui Kronecker – Capelli sistemul este – Capelli sistemul este
compatibil);compatibil);
2. – daca rangA = r atunci avem urmatoarele situatii:2. – daca rangA = r atunci avem urmatoarele situatii:
a). pentru r = n singura solutie a sistemului omogen este solutia nula;a). pentru r = n singura solutie a sistemului omogen este solutia nula;
b). pentru r < n sistemul are si solutii nenule ; se utilizeaza metodele b). pentru r < n sistemul are si solutii nenule ; se utilizeaza metodele
invatate anterior pentru determinarea solutiilor sistemului .invatate anterior pentru determinarea solutiilor sistemului .
3. –daca m = n atunci sistemul are solutii nenule 3. –daca m = n atunci sistemul are solutii nenule detA = 0; detA = 0;
4. –daca m < n atunci sistemul are solutii nenule.4. –daca m < n atunci sistemul are solutii nenule.
Exemplu: Sa se determine Exemplu: Sa se determine astfel incit sistemul urmator sa aiba solutii astfel incit sistemul urmator sa aiba solutii nenule si , in acest caz sa se rezolve:nenule si , in acest caz sa se rezolve:
0................................0
11
1111
nmnm
nn
xaxa
xaxa
d= = … = -d= = … = -
Cazul 1. daca Cazul 1. daca ≠≠0 0 sistemul are solutia unica x = y =z = t = 0 ; sistemul are solutia unica x = y =z = t = 0 ;
Cazul 2. daca Cazul 2. daca = 0 = 0 sistemul are solutii nenule; in acest caz avem sistemul sistemul are solutii nenule; in acest caz avem sistemul
Minorul d’ = = -3 Minorul d’ = = -3 ≠ ≠ 0 este principal; 0 este principal;
02)1(20
033202
tzyxtzyxtzyx
tzyx
2 1- 21 1 1 13- 3 1- 21- 1 2- 1
0220
033202
zyxtzyxtzyx
tzyx
1 1 13 1- 21 2- 1
- - x , y , z sint necunoscute principalex , y , z sint necunoscute principale
t = t = - necunoscuta secundara; avem de rezolvat sistemul de tip Cramer - necunoscuta secundara; avem de rezolvat sistemul de tip Cramer
Solutia este x = , y = , z = 3Solutia este x = , y = , z = 3
Deci , pentru Deci , pentru = 0 solutia generala a sistemului omogen dat este: = 0 solutia generala a sistemului omogen dat este:
zyxzyxzyx
3322
3
103
2
,3
3
23
10
tz
y
x
Aplicatii 1.Sa se rezolve sistemele urmatoare:
a). b). c).
2.Se considera sistemul
a). Sa se determine parametrul real m astfel incit sistemul sa aiba solutie unica..
b). Pentru m = 1 determinati solutia sistemului.
02505430332
zyxzyxzyx
051050484
02
zyxzyx
zyx
0272013135
075
tzyxtzyx
tzyx
000
zymxmyxymx