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Sistemas Multivariaveis: conceitos fundamentais
Departamento de Engenharia Química e de Petróleo – UFFDisciplina: TEQ102- CONTROLE DE PROCESSOS
Profa Ninoska Bojorge
São sistemas com várias entradas e saídas, em que uma entrada afeta a várias saídas e reciprocamente uma saída é afetada por várias entradas.
SISO
MIMO
Sistemas multivariáveis
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Outra maneira de vê-lo
)(11 sG)(1 sm )(1 sy
)(22 sG)(2 sm )(2 sy
Neste sistema cada entrada afeta só uma saída
Não há interação!!
+)(11 sG
)(12 sG
)(22 sG
)(21 sG
)(1 sm
+
+
+
)(2 sm
)(1 sy
)(2 sy
Neste sistema uma variável de entrada afeta a mais de uma variável de saída.
apresenta interaçãoEste é o efeito mais importante no projeto de ajust e das malhas de controle para esses sistemas.
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)()()()()(
)()()()()(
2221212
2121111
smsGsmsGsy
smsGsmsGsy
+=+=
+)(11 sG
)(12 sG
)(22 sG
)(21 sG
)(1 sm
+
++
)(2 sm
)(1 sy
)(2 sy
Sua representação matricial de estado é:
=
=
=
)()(
)()()(
)(
)()(
)(
)()(
2221
1211
2
1
2
1
sGsG
sGsGsG
sm
smsM
sy
sysY
)()()( sMsGsY =
Controle de processos de mistura
Exemplos de sistemas multivariáveis :
Controle de evaporador
Controle de robô
Controle de uma coluna de destilação
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1.- Qual é o efeito da interação sobre a resposta do sistema controlado?
2.- Quanta interação existe entre as malhas, e qual é a melhorforma de parear as variáveis manipuladas e controladas para
reduzir o efeito da interação?
3.- Pode ser eliminada ou reduzida essa interação através doprojeto do sistema de controle?
Três perguntas se devem fazer quando se deseja controlarum sistema multivariável
Tipos de interação :
Positiva
Negativa
Quando a interação provoca que asduas malhas se ajudem mutuamente.
ou
Quando se fecham as outras malhasa mudança é na mesma direção que quando estavam abertos.
Quando as duas malhas brigam entre si
ou
Quando se fecham as outras malhasa mudança é na direção contrária que quando estavam abertos.
1.- Qual é o efeito da interação sobre a resposta dosistema controlado?
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Pareamento de variáveis controladas e manipuladas em sistemas de controle multivariáveis .
Para selecionar que sinal de mando (entrada) se relacionará comcada saída controlada, se precisa determinar quais de essasentradas e saídas têm uma relação mais estreita e quais têmforte interação ou se é desprezível .
A medição da interação pode se estabelecer medindo a variação das saídas (variáveis controladas) com respeito a cada uma das entradas (variáveis manipuladas), o que se conhece como ganhos relacionais entre os pares de variáveis controladas e manipuladas do sistema.
Sistema multivariável 2x2
Ganho relacional E/S de sistemas multivariável em m alha aberta(quando as outras variáveis manipuladas são mantidas constantes)
De aqui são definidas:
j
iij m
yK
∆∆= 21
1
m
ij m
cK
∆∆=
12
112
mm
cK
∆∆=
21
221
mm
cK
∆∆=
12
222
mm
cK
∆∆=
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Ganho relacional E/S de sistemas multivariável em m alha fechada(quando as outras variáveis controladas são mantidas constantes)
21
112
cm
cK
∆∆=′
22
112
cm
cK
∆∆=′
11
221
cm
cK
∆∆=′
12
222
cm
cK
∆∆=′
A medição da interação proposta por Bristol é a relação entre o ganho em malha aberta e o ganho em malha fechada, definido como ganho relativo na seguinte equação
Para este caso
Matriz de ganhorelativos
Conceito de Ganho Relativo / medição de interação
fechadamalhaganho
abertamalhaganho
K
K
ij
ijij =
′=λ
11
1111 K
K′
=λ12
1212 K
K′
=λ
21
2121 K
K′
=λ22
2222 K
K′
=λ
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Experimental : realizam-se medições experimentais nas condiçõesestabelecidas na definição dos ganhos por meio da simulação de seusmodelos físico-químicos em estado estacionário.
Analítica no tempo: se faz por simples balanço de massa ou energia emestado estacionário e são obtidos os limites das variações das variáveiscontroladas com relação as manipuladas para quando as variaçõestendem a zero (estado estacionário) ou diretamente pela derivada parcial
Cálculo de Matriz de Ganho relativo de sistemas 2x2
Pode se determinar de várias formas:
cj
j
mi
i
j
i
jkmkj
i
mjij
mcmc
mc
m
cK
∂∂
∂∂
=∂∂
=∆∆=
≠→∆ 0
lim
A forma mais rápida de achar a matriz é
[ ] [ ]T-1G(0)*G(0)=µ
EXEMPLO
Um sistema multivariavel tem o seguinte modelo:
212
11
14
4)(
13
3(s)
)(1
1(s)
mS
sms
Y
sms
Y
++
+=
+=
Este produto é o produto doHadamard (elemento por elemento)
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Representado em blocos é
)(14
4)(
13
3(s)
)(1
1(s)
212
11
sms
sms
Y
sms
Y
++
+=
+=
Determinemos agora a matriz de ganho relativo
Profª Ninoska Bojorge - TEQ–UFF
� Lembrete de operações com matrizes
TcofGG
G )(det
11 =−
Onde: G-1 = matriz inversa de G;
det G = ∆= determinante da matriz G;
(cof G)T = matriz transposta da matriz
dos cofatores de A .
TcofGG
G )(det
11 =−
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14
4)(
13
3(s)
)(1
1(s)
12
11
++
+=
+=
ssm
sY
sms
Y
A partir do modelo, a matriz de transferências é
14s
4
13s
3
01s
1
(s)
++
+=G43
01(0) =G
[ ] [ ]T-1G(0)*G(0)=µ
4/14/3
01
4
13
04
cof(0)
T1-
−=
−=
∆=
∆= Adj
G
[ ]4/10
4/31(0) 1- −
=TG
10
01
4/10
4/31*
43
01=
−=µ
Observações sobre esta matriz
È o arranjo mxn definido pelos ganhos relativos entre as diferentes variáveis controladas e manipuladas do sistema multivariável. As variáveis controladas definem as filas, e as variáveis manipuladas definem as colunas da matriz.
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A soma de todas suas filas e colunas sempre resulta a unidade
Para minimizar o efeito da interação em um sistema de controle multivariável, a dupla de variável controlada e manipulada se deve obter um ganho relativo o mais perto possível da unidade.
m1 deve controlar a C1
m2 deve controlar a C2
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Nos sistemas com ganho relativo negativo devem ser evitados de qualquer forma.
m1 nunca deve controlar a C1
m2 nunca controlar a C2
1.8
1.8
Não é recomendável utilizar ganho relativo nulo , pois significa que a variável manipulada não efeito direto na variável controlada e dependeda interação com outras malhas para se controlar.
m1 nunca deve controlar a C1
m2 nunca controlar a C2
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EXEMPLO
Selecionar os acoplamentos entrada / saída que minimizam a interaçãoentre malha nas seguintes matrizes de ganho relativo
8.02.0
2.08.0 ) 1 =λa
3.07.0
7.03.0 ) 2 =λb
3.03.1
3.13.0 ) 3 −
−=λc
Fica uma pergunta por responder das três que fizemos ao início
3. Pode ser eliminada ou reduzida essa interacção através do projecto do sistema de controle?
SIM…
Podemos usar os chamados ¨desacopladores¨
)()()()()(
)()()()()(
2221212
2121111
smsGsmsGsy
smsGsmsGsy
+=+=
A partir da equação do sistema
Suponha que acoplamos 11 my →
22 my →desejamos que
não troque quandotrocar
1y
2m
2y não troque quandotrocar 1m
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)()(
)()(
)()()()(
0)()()()(
0)(
211
121
212111
212111
1
smsG
sGsm
smsGsmsG
smsGsmsG
sy
−=
−==+
=
)()(
)()(
)()()()(
0)()()()(
0)(
122
212
121222
222121
2
smsG
sGsm
smsGsmsG
smsGsmsG
sy
−=
−==+
=¨desacopladores¨
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Problemas que podem apresentar-se
Pode necessitar-se desacopladores não realizáveis fisicamente.
Os erros que tenha o modelo com o que se calcula o desacoplemento influem e podem afetar a estabilidade gravemente
Análise dinâmica de um sistema MIMO de 2x2
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Aplicando as técnicas conhecidas da álgebra de blocos ou a fórmula do Mason
Que informação dão estas equações?
� O ajuste de cada controlador afeta a resposta de ambas as variáveis controladas porque seu efeito está na equaçãocaracterística que é comum
� A estabilidade dos laços independentes não garante a estabilidade do conjunto
Se tirarmos a interação entre as malhas
Pondo em manual o controlador 2 Pondo em manual o controlador 1
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� Para que a interacção afecte a resposta das malhas esta deve atuar em ambos os sentidos, se alguma das duas FT entre malhas é zero
As raízes desta equação são quão mesmas as das duas anteriores
� Quando as malhas estão fechadas e em modo automáticos a estabilidade dependerá também dos ramos que unem as malhas
EXEMPLO
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Malha 1
33.315.0
5.0
05.015.0
05.005.01.0
00.1S
10.1S0.51
01*1.0
115.01
−=−=
=+=++
=
++
=
++
S
S
SS
S
Raiz negativa, malha estável
jS
S
SSS
SSSS
SSSS
SS
SSS
49.01087.0
0827.0
05.12162180600
05.1215012180600
0)112(*5.12)15)(110(12
0)15)(110(
5.0*
12S
112S521
0)15)(110(
5.0*
12
11251
23
23
±−=−=
=+++=++++
=++++
=++
++
=++
++
Malha 2
Raízes negativas, laço estável
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0)15)(110(
5.0*
12
1125*1*
1.0
115.0
)15)(110(
5.0*
12
11251*
1.0
115.01 =
++−
+
+−
++
++
++SSSSSSSS
( )0
)15)(110(
)112(11.05.2
)15)(110(12S
5.12162180600*
1.0
5.015.02
23
=++++−
++++++
SSS
SS
SS
SSS
S
S
( )0
)15)(110(
)112(11.05.2
)15)(110(1.2S
25.687.823.1143279022
234
=++++−
++++++
SSS
SS
SS
SSSS
02.258.5185.22801.504810635177004500 2345678 =−−−+++ SSSSSSS
0 0 -3.3388 -0.3820 + 0.6467i-0.3820 - 0.6467i0.3529
-0.0917 + 0.0041i-0.0917 - 0.0041i
Raízes da equação característica do sistema
Concluindo
A estabilidade das malhas independentes não garante a estabilidade do conjunto multivariável
Mudança de sinais, (raizpositiva): sistema instável
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Profª Ninoska Bojorge - TEQ–UFF