sistemas lineares cálculo numérico prof. wellington d. previero [email protected] aula de...
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Sistemas Lineares
Cálculo Numérico
Prof. Wellington D. Previero
www.pessoal.utfpr.edu.br/previero
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Sites de Buscas
2
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Sites de Buscas Objetivo dos sites de buscas: atribuir a uma página uma
nota com relação a uma dada consulta, bem como retornar os resultados com as páginas com notas maiores em primeiro lugar.
3
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Classificação Baseada em Conteúdos
Frequência de palavras Quantidade de vezes que uma determinada palavra
aparece em uma página Web. Aquelas com frequência maior são consideradas mais relevantes.
.
4
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Classificação Baseada em Conteúdos
.
5
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Classificação Baseada em Conteúdos
Posição no documento classificar páginas com notas maiores se os termos
aparecerem mais próximo do topo da página.
6
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Classificação Baseada em Links Externos
Links externos
levar em consideração as informações que outras páginas fornecem a respeito de uma determinada página (quem criou o link e o que disseram a respeito dela);
páginas com conteúdos duvidosos provavelmente não serão mencionadas (não terão links externos).
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Classificação Baseada em Links Externos
Contagem Simples de Links
usar como critério de classificação o número total de links que apontam para uma página em questão.
problema: alguém pode criar diversos sites apontando para uma página que queira promover.
o usuário pode estar interessado em resultados que tenham atraído a atenção de páginas populares.
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Classificação Baseada em Links Externos
O Filipe é um excelente jogador de futebol! Esse tem futuro!
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Classificação Baseada em Links Externos
O Renan também tem futuro. O Israel, o Sandro e Wellington então, entende Jô?
Alex, o que você colocou na caneca?
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Classificação Baseada em Links Externos
Google - Pagerank desenvolvido por Larry Page e Sergey Brin; é um método que classificada documentos da web por sua
importânca ou relevância através de um número; essa importância dá pelo número de votos (links) que uma
página recebe; também analisa a página que envia o voto.
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Classificação Baseada em Links Externos
Google – Pagerank fórmula:
PR(P) = pagerank da página P
Pi = página Pi que tem link para a página P
c(Pi) = número de links da página Pi
p = fator de amortecimento (damping)
)1()(
)()( p
Pc
PPRpPPR
i
i
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Classificação Baseada em Links Externos
Exemplo: p=0.85
)1()(
)()( p
Pc
PPRpPPR
i
i
15.0)(85.0)( CPRAPR
15.02
)(85.0)(
APRBPR
15.0)(2
)(85.0)(
BPR
APRCPR
Sistema com três incógnitas: PR(A), PR(B) e PR(C).Solução: PR(A) = 1,16
PR(B) = 0,64PR(C) = 1,19
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Classificação Baseada em Links Externos O sistema pode ter milhões ou bilhões de variáveis;
Métodos para resolução de sistemas lineares: Métodos diretos: Método de Eliminação de Gauss e
Fatoração LU
Métodos iterativos
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Sistemas LinearesConsidere o sistema linear
Onde: aij são os coeficientes do sistema
xj são as incógnitas
bj são as constantes
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
......
......
......
2211
22222121
11212111
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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Sistemas LinearesPodemos escrever o sistema na forma matricial
(Ax=b)
nnnnnn
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
...
...
...
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Método de Eliminação de GaussTeorema: Seja Ax=b um sistema linear. Aplicando sobre as equações deste sistema uma sequência de operações descritas abaixo, obtemos um novo sistema A’x=b’ equivalente ao sistema Ax=b.
a) trocar duas linhas;
157
82
yx
yx
82
157
yx
yx
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Método de Eliminação de Gaussb) multiplicar uma equação por uma constante não nula;
c) adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação;
157
82
yx
yx
157
1624
yx
yx2
157
82
yx
yx
27
82
23 y
yx
2
7
+
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Método de Eliminação de GaussConsidere o sistema
4444343242141
3434333232131
2424323222121
1414313212111
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
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Método de Eliminação de GaussEtapa k=0
onde:
04
03
02
01
044
043
042
041
034
033
032
031
023
023
022
021
013
013
012
011
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
ii
ijij
bb
aaa
0
00 0,11
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)( 21m
Método de Eliminação de GaussEtapa k=1
04
03
02
01
044
043
042
041
034
033
032
031
024
023
022
021
014
013
012
011
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
01111
11
0210
21121 a
a
aaa
11221
022
122 amaa
111
021
21 a
am
11321
023
123 amaa
11421
024
124 amaa
1121
02
12 bmbb
Linha 2
04
03
12
11
044
043
042
041
034
033
032
031
124
123
122
114
113
112
111
0
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaa
aaaa
Linha 1
L11= L0
1
04
03
02
11
044
043
042
041
034
033
032
031
024
023
022
021
114
113
112
111
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa+
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)( 31m
Método de Eliminação de GaussEtapa k=1
04
03
12
11
044
043
042
041
034
033
032
031
124
123
122
114
113
112
111
0
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaa
aaaa
01111
11
0310
31131 a
a
aaa
11231
032
132 amaa
111
031
31 a
am
11331
033
133 amaa
11431
034
134 amaa
1131
03
13 bmbb
Linha 3
04
13
12
11
044
043
042
041
134
133
132
124
123
122
114
113
112
111
0
0
b
b
b
b
aaaa
aaa
aaa
aaaa
+
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)( 41m
Método de Eliminação de GaussEtapa k=1
04
13
12
11
044
043
042
041
134
133
132
124
123
122
114
113
112
111
0
0
b
b
b
b
aaaa
aaa
aaa
aaaa
01111
11
0410
41141 a
a
aaa
11241
042
142 amaa
111
041
41 a
am
11341
043
143 amaa
11441
044
144 amaa
1141
04
14 bmbb
Linha 4
14
13
12
11
144
143
142
134
133
132
124
123
122
114
113
112
111
0
0
0
b
b
b
b
aaa
aaa
aaa
aaaa
+
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)( 32m
Método de Eliminação de GaussEtapa k=2
14
13
12
11
144
143
142
134
133
132
124
123
122
114
113
112
111
0
0
0
b
b
b
b
aaa
aaa
aaa
aaaa
02222
22
1321
32232 a
a
aaa
222
132
32 a
am
22332
133
233 amaa
22432
134
234 amaa
2232
13
23 bmbb
Linha 3
14
23
22
21
144
143
142
234
233
224
223
222
214
213
212
211
0
00
0
b
b
b
b
aaa
aa
aaa
aaaa
Linha 1L2
1= L11
Linha 2L2
2= L12
14
13
22
21
144
143
142
134
133
132
224
223
222
214
213
212
211
0
0
0
b
b
b
b
aaa
aaa
aaa
aaaa
+
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)( 42m
Método de Eliminação de GaussEtapa k=2
14
23
22
21
144
143
142
234
233
224
223
222
214
213
212
211
0
00
0
b
b
b
b
aaa
aa
aaa
aaaa
02221
22
1421
42242 a
a
aaa
222
142
42 a
am
22342
143
243 amaa
22442
144
244 amaa
2242
14
24 bmbb
Linha 4
24
23
22
21
244
243
234
233
224
223
222
214
213
212
211
00
00
0
b
b
b
b
aa
aa
aaa
aaaa
+
![Page 26: Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br Aula de Cálculo Numérico de Wellington](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062223/552fc12b497959413d8d03fd/html5/thumbnails/26.jpg)
)( 43m
Método de Eliminação de GaussEtapa k=3
24
33
32
31
244
243
334
333
323
323
322
313
313
312
311
00
00
0
b
b
b
b
aa
aa
aaa
aaaa
03333
33
2432
43343 a
a
aaa
333
243
43 a
am
33443
244
344 amaa
3343
24
34 bmbb
Linha 4
34
33
32
31
344
334
333
324
323
322
314
313
312
311
000
00
0
b
b
b
b
a
aa
aaa
aaaa
24
23
22
21
244
243
234
233
224
223
222
214
213
212
211
00
00
0
b
b
b
b
aa
aa
aaa
aaaa
Linha 1L3
1= L21
Linha 2L3
2= L22
Linha 3L3
3= L23
+
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Método de Eliminação de GaussAssim, o sistema original
é equivalente
4444343242141
3434333232131
2424323222121
1414313212111
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
344
344
334
3343
333
324
3243
3232
322
314
3143
3132
3121
311
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
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Método de Eliminação de GaussExercício 1: Resolva o sistema linear utilizando o método de Eliminação de Gauss.
5234
6223
7322
10432
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
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Método de Eliminação de GaussEtapa k=0 Etapa k=1
51234
62123
73212
104321 ......
35151050
2410840
135430
104321 ......
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Método de Eliminação de Gauss
Solução:
Etapa k=3Etapa k=2
2
0
1
0
4
3
2
1
x
x
x
x
340
320
310
320
310
38
00
00
135430
104321 ......
5000
00
135430
104321
25
320
310
38
.
.
.
.
.
.
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Método de Eliminação de Gauss Algoritmo
Qual o papel de cada etapa k no método de Eliminação de Gauss?
Quantas etapas são necessárias no método de Eliminação de Gauss num sistema nxn?
Laço de Repetição: k variando de 1 até n-1
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Método de Eliminação de Gauss Algoritmo
Em cada etapa k, as linhas abaixo da diagonal principal são atualizadas. Numa etapa k, quais linhas serão atualizadas? Laço de repetição: i variando de (k+1) até n.
Para cada linha i, deve-se calcular o multiplicador m para que todos os elementos j sejam atualizados, coluna por coluna.
Para a linha i, quais colunas serão atualizadas? Laço de repetição: j variando de k até n.
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Método de Eliminação de Gauss AlgoritmoPara k=1 até n-1
Para i=k+1 até n m=aik/akk
Para j=k até n aij = aij - m* akj
Fim bi = bi – m* bk
FimFim
•Resumo:
k = quantidade de etapas (de 1 até n-1)
i = linhas alteradas na etapa k (de k+1 até n)Para cada linha deve ser calculado o multplicador m
j = elementos que serão alterados na linha i na etapa k (de k até n)Atualizar o coeficiente aij
Atualizar a constante bi
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Método de Eliminação de GaussVamos agora desenvolver o algoritmo para resolver o sistema triangular superior:
4444
3434333
2424323222
1414313212111
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
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Método de Eliminação de Gauss
4444
3434333
2424323222
1414313212111
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
44
444444 a
bxbxa
33
434333434333 a
xabxbxaxa
22
424323222424323222
)(
a
xaxabxbxaxaxa
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Método de Eliminação de Gauss
4444
3434333
2424323222
1414313212111
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
11
414313212111414313212111
)(
a
xaxaxabxbxaxaxaxa
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Método de Eliminação de Gauss
11
414313212111414313212111
)(
a
xaxaxabxbxaxaxaxa
Assim temos:
44
444444 a
bxbxa
33
434333434333 a
xabxbxaxa
22
424323222424323222
)(
a
xaxabxbxaxaxa
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Sistema Triangula Superior
ininiiiiii bxaxaxa ...11,
De modo geral, num sistema nxn o valor de xi é determinado por:
ii
niniiiii a
xaxabx
)...( 11
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Sistema Triangular Superior Algoritmo
xn = bn/ann
Para i = n-1 até 1 soma = 0
Para j = i+1 até n soma = soma + aij* xj
Fim xi = (bi-soma)/aii
Fim
nn
nn a
bx
.
.
.
ii
niniiiii a
xaxabx
)...( 11,
.
.
.
11
121211
)...(
a
xaxabx nn
11
111
)(
nn
nnnnn a
xabx
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Método de Eliminação de Gauss Estratégia de Pivotamento
O algoritmo para o método de Eliminação de Gauss requer o cálculo dos multiplicadores
em cada iteração.
O termo akk é denominado pivô.
O que acontece se o pivô for nulo?
kk
ikik a
am
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Método de Eliminação de Gauss
Pivotamento Parcial no início de cada etapa k, escolher como pivô o elemento
de maior módulo entre os coeficientes aik, i=k,...,n; trocar as linhas k e i se for necessário.