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Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 1 / 60
Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Sistemas Discretos LTISistemas Discretos LTI
MSc. Bioing Rubén [email protected]
Bioingeniería I
Carrera: BioingenieríaFacultad de Ingeniería - UNER
06 de Abril de 2009
Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 2 / 60
Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Organización
1 Sistemas
2 Convolucion
3 Deconvolucion
3 Autocorrelación
Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 3 / 60
Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Sistemas
DefinicionesDefiniciones
• “Una colección de objetos que están dispuestos de una forma ordenada, de acuerdo a su finalidad”.
• “Un ente formado por un conjunto de elementos que evolucionan coordinadamente según determinadas reglas”.
• “Cualquier parte de un ambiente que causa que ciertas señales que existen en él se encuentren relacionadas”.
• “Cualquier proceso que produce una transformación de señales”.
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Sistemas
DefinicionesDefiniciones
La interrelación de las señales impuesta por las
leyes que gobiernan al sistema se denomina
Regla ó Dinámica del sistemaRegla ó Dinámica del sistema
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Sistemas
DefinicionesDefiniciones
Sistemas como entidades abstractas → caja negra.
h [n] y [n]x [n]
Sistemas de tiempo discreto
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Sistemas
ClasificaciónClasificación
Cantidad de entradas y salidas
Causales o no causales
Parámetros concentrados o distribuidos
Inversibles o no inversibles
Estables o inestables
Con memoria o sin memoria
Variantes o invariantes en el tiempo
Lineales o no lineales
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Sistemas
ClasificaciónClasificación Cantidad de entradasCantidad de entradas
h[n] y[n]x[n]Single Input Single Output
x1[n]x2[n] h[n] y[n]Multiple Input Single Output
y1[n]y2[n]h[n]x[n]Single Input Multiple Output
y1[n]y2[n]
x1[n]x2[n] h[n]Multiple Input Multiple Output
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Sistemas
ClasificaciónClasificación CausalesCausales
Un sistema es causal si la salida en cualquier instante depende únicamente de los valores presentes y/o pasados de la entrada, y de valores pasados de la salida.
Suele llamarse no anticipativo ya que la salida del sistema no se anticipa considerando valores futuros de la entrada.
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Sistemas
ClasificaciónClasificación Parámetros concentradosParámetros concentrados
La entrada afecta en forma simultánea a cada elemento del sistema.
Se pueden describir por ecuaciones diferenciales ordinarias.
Parámetros distribuidosParámetros distribuidos
Los efectos se distribuye en las dimensiones espaciales del sistema.
Se describen por ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Sistemas
ClasificaciónClasificación InversiblesInversibles
Un sistema es inversible si a partir de la salida sepuede encontrar determinísticamente la entrada.
Ejemplo: y[n] = 2. x[n] → z[n] = 0,5.y[n]
h[n] h-1[n]y(n) z[n] = x(n)x(n)
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Sistemas
ClasificaciónClasificación EstabilidadEstabilidad
Si la entrada a un sistema estable está acotada, entonces la salida también debe ser acotada (no diverge).
x[n] entrada
y[n] salida
x[n]
y[n]
Sistema inestable Sistema estable
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Sistemas
ClasificaciónClasificación Con memoriaCon memoria
La salida en un instante de tiempo depende de la
entrada en ese instante y en instante anteriores.
Sin memoriaSin memoria
La salida en un instante de tiempo depende
únicamente de su entrada en ese instante.
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Sistemas
ClasificaciónClasificación Invariante en el tiempoInvariante en el tiempo
Es aquel en el cual sus parámetros no se modifican con el tiempo.
Un desplazamiento de la entrada causa el mismo desplazamiento de la salida
Variante en el tiempoVariante en el tiempo
Un desplazamiento de la entrada causa el mismo desplazamiento de la salida,
pero la respuesta es diferente de la que se obtiene con desplazamiento nulo.
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Sistemas
ClasificaciónClasificación LinealesLineales
Son los sistemas que cumplen con el principio de superposición.
a.x1[n] + b.x2[n] → a.y1[n] + b.y2[n]
La salida de un sistema lineal a una entrada nula es también nula.
Un sistema lineal sólo modifica el espectro de frecuencias de la entrada.
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Sistemas
Sistemas LTISistemas LTI
La dinámica de los sistemas de tiempo discreto lineales e
invariantes en el tiempo (LTI) se representan mediante
ecuaciones en diferencias lineales y de coeficientes constantes.
La dinámica de los sistemas de tiempo discreto lineales e
invariantes en el tiempo (LTI) se representan mediante
ecuaciones en diferencias lineales y de coeficientes constantes.
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Sistemas
Sistemas LTISistemas LTI TiposTipos
Sistemas Moving Average (MA) Sistemas de respuesta finita al impulso (FIR)
Sistemas Auto Regresivos (AR)
Sistemas ARMA
Sistemas de respuesta infinita al impulso (IIR)
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Sistemas
Sistemas LTISistemas LTI RepresentaciónRepresentación
Una forma de representar sistemas LTI discretos es mediante diagramas de bloques.
Estos facilitan la interpretación de su comportamiento en forma gráfica.
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Sistemas
Sistemas LTISistemas LTI RepresentaciónRepresentación
+x1[n]
x2[n]
x1[n] + x2[n]Suma
Multiplicación por escalar
Retardo
x1[n]a
a.x1[n]
Dx[n] x[n-1]
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Sistemas
Sistemas LTISistemas LTI RepresentaciónRepresentación
Ejemplo: diagrama de bloques del sistema y[n] = 3x[n] + 5x[n-1] - 2y[n-1]
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Sistemas
Sistemas LTISistemas LTI RepresentaciónRepresentación
Serie
Paralelo
Mixto
Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 21 / 60
Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Convolucion
DefiniciónDefinición
x[n]: entrada al sistema.
h[n]: respuesta al impulso del sistema.
y[n]: salida del sistema a la entrada x[n].
x[n] y[n]h[n]
Sistema LTI
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Convolucion
DefiniciónDefinición Propiedades de sistemas LTIPropiedades de sistemas LTI
x1[n] → y1[n] x2[n] → y2[n]
a.x1[n] + b.x2[n] → a.y1[n] + b.y2[n] Linealidad
x[n]→ y[n]
x[n-k] → y[n-k]Invariancia temporal
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Convolucion
DefiniciónDefinición Sumatoria de impulsosSumatoria de impulsos
x[n]
n
∑∞
−∞=−δ=
k]kn[].k[x]n[x
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Convolucion
DefiniciónDefinición
∑1N
0i
)]ik[(h)i(x)k(y=
=
Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 25 / 60
Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Convolucion
PropiedadesPropiedades
• Conmutativasi existe x ∗ y → x ∗ y = y ∗ x
• Asociativasi existe (x ∗ y) ∗ z → (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
• Distributivasi existen x ∗ y y x ∗ z → x ∗(y+z) = x ∗ y + x ∗ z
• Conmutativa con respecto al producto por un escalarsi existe x ∗ y → a.(x ∗ y) = (a.x) ∗ y = (a.y) ∗ x
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Convolucion
CálculoCálculo
Sistema: y[n] = 0,5. y[n-1] +2. x[n]
Entrada: x[n] = [1, 2, 2]
x[n] h[n]
2 2 2
1 10,5
n nn
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Convolucion
CálculoCálculo
• Multiplicación término a término
• Sumatoria de convolución
• Matricialmente
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Convolucion
CálculoCálculo Multiplicación término a términoMultiplicación término a término
h[n]
h1[n] = h[n-1].x[1] = [0, 4, 2, 1, 0]
h2[n] = h[n-2].x[2] = [0, 0, 4, 2, 1]
x[n]
x [1].δ[n-1]
x[2].δ[n-2]
x [0].δ[n]
y[n] = h0[n] + h1[n] + h2[n]
y[n] = [2, 5, 6.5, 3, 1]
h0[n] = h[n].x[0] = [2, 1, 0.5, 0, 0]
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Convolucion
CálculoCálculox[-n]
x[1-n]
x[2-n]
h[n]Sumatoria de convoluciónSumatoria de convolución
y[-2] = x[-n-2] . h[n] = 0
y[-1] = x[-n-1] . h[n] = 0
y[0] = x[-n] . h[n] = 2
y[1] = x[1-n] . h[n] = 5
y[2] = x[2-n] . h[n] = 6.5
y[3] = x[3-n] . h[n] = 3
y[4] = x[4-n] . h[n] = 1
y[5] = x[5-n] . h[n] = 0
y[6] = x[6-n] . h[n] = 0
x[3-n]
x[4-n]
Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 30 / 60
Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Convolucion
CálculoCálculo MatricialMatricial
y[0] = h[0].x[0]y[1] = h[1].x[0] + h[0].x[1]y[2] = h[2].x[0] + h[1].x[1] + h[0].x[2]y[3] = h [3].x[0] + h[2].x[1] + h[1].x[2] + h[0].x[3]...
(0) (0) 0 0 0 .. (0)(1) (1) (0) 0 0 .. (1)
•(2) (2) (1) (0) 0 .. (2)
...... ................................. .......
y h xy h h xy h h h x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
y = H.x
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Convolucion
Convolucion circularConvolucion circular
TFx(t) ∗ y(t) → X(f) . Y(f)
TDFx[n] ∗ y [n] → X [k] . Y[k]x
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Convolucion
h[n]xp[-n]
n
xp[1-n]
n
xp[2-n]
Convolucion circularConvolucion circular
xp[3-n]
n
y[-2] = xp[-n-2] . h[n] = 6.5
y[-1] = xp[-n-1] . h[n] = 3
y[0] = xp[-n] . h[n] = 3
y[1] = xp[1-n] . h[n] = 5
y[2] = xp[2-n] . h[n] = 6.5
y[3] = xp[3-n] . h[n] = 3
y[4] = xp[4-n] . h[n] = 3
y[5] = xp[5-n] . h[n] = 5
y[6] = xp[6-n] . h[n] = 6.5
n
n
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Convolucion
Convolucion circularConvolucion circular Convolucion lineal vía TDFConvolucion lineal vía TDF
x1[n] → N muestras
x2[n] → N muestras
x1m[n] → N+N-1 muestras
x2[n] → N+N-1 muestras
x1[n] → x1m[n] → X1m[k]
→ X1m[k].X2m[k] → x1m[n] x2m[n] → x1[n] ∗ x2[n]
x2[n] → x2m[n] → X1m[k]
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Deconvolucion
DefiniciónDefinición
h [n] ?y [n]x [n]Identificación
Problema inverso
h [n]y [n]x [n] ?Control
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Deconvolucion
DefiniciónDefinición
h [n]
x [n]
h-1 [n]
y[n] = x[n] ∗ h[n] x[n] = y[n] ∗ h-1[n]
Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 36 / 60
Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
• Matricialmente
• División término a término
• Vía Transformada Discreta de Fourier
CálculoCálculo
Deconvolucion
Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 37 / 60
Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Deconvolucion
CálculoCálculo MatricialMatricial
Identificación: y[n] = X[n].h [n] → h [n] = X [n] -1..y[n]
Control: y[n] = H[n].x[n] → x[n] = H[n] -1.y[n]
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Deconvolucion
CálculoCálculo División término a términoDivisión término a término
y[n] h[n]
2 5 6.5 3 1 2 1 0.5Derecha a izquierda:
y[n] h[n]
2 1 0.52 5 6.5 3 1Izquierda a derecha:
Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 39 / 60
Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Deconvolucion
CálculoCálculo Vía TDFVía TDF
x[n] N muestras ⇒ X[k] N muestras
h[n] M muestras ⇒ H[k] M muestras
y[n] N+M-1muestras ⇒ Y[k] N+M-1 muestras
Convolucion circular
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Deconvolucion
CálculoCálculo Vía TDFVía TDF
Paso 1: calcular la respuesta al impulso del sistema inverso h-1[n]
Paso 2: modificar h-1[n] agregando N-1 ceros
Paso 3: calcular H-1[k]
Paso 4: multiplicar Y[k] con H-1[k]
Paso 5: antitransformar con TDFI
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Deconvolucion
Efectos del ruidoEfectos del ruido
h [n]y [n]x [n]
y[n] = -0,8231.y[n-2] + 1,7959.y[n-1] + 0,0272.x[n]
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Deconvolucion
Efectos del ruidoEfectos del ruido
x[n]
h[n]
y[n]
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Deconvolucion
Efectos del ruidoEfectos del ruido
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Deconvolucion
Efectos del ruidoEfectos del ruido Ruido en la entradaRuido en la entrada
r[n]
x[n] y[n] xd[n]h[n] -1h[n]
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Deconvolucion
Efectos del ruidoEfectos del ruido Ruido en la salidaRuido en la salida
r[n]= sin(2.π.1.T)
r[n]= sin(2.π.5.T)
r[n]= sin(2.π.10.T)
r[n]
x[n] y[n] xd[n]h[n] -1h[n]
Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 46 / 60
Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Deconvolucion
Efectos del ruidoEfectos del ruido Ruido en la salidaRuido en la salida
Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 47 / 60
Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Autocorrelación
DefiniciónDefinición
Electroencefalograma
Electromiograma
Potenciales evocados auditivos
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Autocorrelación
DefiniciónDefinición
t1 t2
X1[n]
X2[n]
XM[n]
Proceso aleatorio
, τ = t2 - t1)]t(X)t(X[E)(xx 21=τγ
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Autocorrelación
DefiniciónDefinición
Asumiendo que X(n) es estacionario y ergódico
∫∞
∞−
∗ τ+=τ dt)t(x)t(x)(Rxx
[ ] [ ]∑∞
−∞=
∗ +=n
xx knx.nx)k(r
Función de autocorrelación
[ ] [ ]∑∞
−∞=
∗ +=n
xy kny.nx)k(r
∫∞
∞−
∗ τ+=τ dt)t(y)t(x)(R xy
Función de correlación cruzada
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Autocorrelación
InterpretaciónInterpretación
Espacio de señales + Producto interno
[ ] [ ]∑∞
−∞=+=
nxx knx.nx)k(r , para -∞ ≤ k ≤ ∞
[ ] [ ]∑−−
=+=
1
0
1 mN
nxx knx.nx
N)k(r , para 0 ≤ k ≤ N-1
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Autocorrelación
PropiedadesPropiedades
• x[n], y[n] son reales ⇒ rxx(k), ryy(k), rxy(k) son reales.
• rxy(k) = ryx(-k)
• rxx(k) = rxx(-k)
• si x[n] = x[n+T], T ∈ N ⇒ rxx(k) = rxx(k+T)
• |rxx(k)| ≤ rxx(0)
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Autocorrelación
AplicacionesAplicaciones Medición de tiemposMedición de tiempos
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Autocorrelación
AplicacionesAplicaciones Detección de señalesDetección de señales
Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 54 / 60
Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Autocorrelación
AplicacionesAplicaciones
Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 55 / 60
Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Autocorrelación
AplicacionesAplicaciones Detección de señalesDetección de señales
0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 1 1 . 2 1 . 4
T i e m p o ( s e g )
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
2
2 . 5
3
Am
plitu
d (m
V)
Artefacto del estímulo Onda MSEMG voluntario
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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Autocorrelación
AplicacionesAplicaciones Extracción de señalesExtracción de señales
Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 57 / 60
Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Autocorrelación
AplicacionesAplicaciones Estimación espectralEstimación espectral
Teorema de Wiener – Khintchine
222
21
τ=ττ= π−
−
π−
−∫∫ d.e).t(x
Td.e).(R)f(P ftj
To
Too
ftjTo
Toxxxx
Método de Bartlett
Método de Welch
Método de Blackman - Tukey
[ ]∑−
−−=
π−=1
1
2N
)N(m
mfjxxxx e.mr)f(P
Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 58 / 60
Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Autocorrelación
Correlación - ConvolucionCorrelación - Convolucion
[ ] [ ]∑∞
−∞=+=
nxy kny.nx)k(r Correlación cruzada de y[n] y x[n].
∑∞
−∞=−=
kxy ]kn[y].k[x]n[conv Convolución lineal de y[n] y x[n].
Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 59 / 60
Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Autocorrelación
Correlación - ConvolucionCorrelación - Convolucion
Paso 1: reflejar una de las secuencias.
Paso 2: desplazamiento de una secuencia.
Paso 3: producto de las secuencias.
Paso 4: suma de la secuencia producto.
Convolución
Paso 1: desplazamiento de una secuencia.
Paso 2: producto de las secuencias.
Paso 3: suma de la secuencia producto.
Correlación
rxy(k) = x(k)∗y(-k)
Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 60 / 60
Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion
Fin de la claseFin de la clase