sistemas dinámicos - semana 7

Introduccion Leyes de Elementos Leyes de Interconexion Ejemplos Sistemas de Rotacion Elementos Interconexion Ejemplos Referencias

Sistemas DinamicosCapıtulo 3 - Modelos de Sistemas Fısicos

Semana 7

Ing. Gerardo Becerra B, M.Sc.

Pontificia Universidad Javeriana

Marzo 10, 2015

Objetivos

1 Preparar y ejecutar el plan de accion para formular y resolverun modelo. (CDIO 2.1.1.4)

2 Calcular ordenes de magnitud, lımites y tendencias (CDIO2.1.3.1)

3 Obtener modelos conceptuales y cualitativos de diversossistemas fısicos. (CDIO 2.1.2.2)

4 Establecer las conexiones entre los fenomenos fısicos y elmodelo. (CDIO 2.1.2.3)

5 Usar modelos cuantitativos y soluciones. (CDIO 2.1.2.4)

Objetivos

6 Generalizar suposiciones para simplificar ambientes y sistemascomplejos (CDIO 2.1.2.1)

7 Discutir una aproximacion desde varias disciplinas paraasegurar que el sistema se entienda desde todas lasperspectivas relevantes. (CDIO 2.3.1.2)

8 Establecer prioridades dentro de las metas generales (CDIO2.1.1.3)

9 Identificar sistemas propios y sistemas con interaccion entreareas (CDIO 2.3.2.4)

Agenda1 Introduccion2 Leyes de Elementos

MasaFriccionRigidezTransformador

3 Leyes de InterconexionLey de D’AlembertLey de las fuerzas de reaccionLey de los desplazamientos

4 EjemplosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 4

5 Sistemas de Rotacion6 Elementos7 Interconexion8 Ejemplos9 Referencias

Modelos de Sistemas Mecanicos de Traslacion

Objetivos

Definir la estrategia para plantear y solucionar modelos desistemas mecanicos de traslacion.

Definir las variables y los componentes utilizados en lossistemas mecanicos de traslacion.

Definir y emplear las leyes de interconexion que describen alos sistemas mecanicos de traslacion.

Desarrollar modelos de sistemas mecanicos de traslacion.

Objetivos

Procedimiento

1 Definir claramente el sistema y sus subsistemas, identificandolos componentes individuales y las variables a emplear.

2 Obtener un conjunto de ecuaciones diferenciales a partir de lasleyes fısicas de los componentes individuales y de las leyes deinterconexion y de conservacion.

3 Resolver el conjunto de ecuaciones para diferentes tipos deexcitaciones y de condiciones iniciales. Para la solucion sepueden usar procedimientos analıticos o numericos (Simulink,Matlab).

Procedimiento

4 Resolver el conjunto de ecuaciones para diferentes tipos deexcitaciones y de condiciones iniciales. Para la solucion sepueden usar procedimientos analıticos o numericos.

5 Obtener las funciones de transferencia de cada subsistema yemplear los diagramas de bloques y flujo para encontrar lafuncion de transferencia total.

6 Para el analisis se emplean tambien Simulink y Matlab, eneste caso se pueden realizar simultaneamente los pasos 4 y 5.

Procedimiento

Variables de traslacion y unidades

Variable mecanica de traslacion Unidades SI

Desplazamiento, x metros: [m]Velocidad, v metros por segundo: [m/s]

Aceleracion, a metros por segundo por segundo: [m/s2]Fuerza, f Newtons: [N]

Energıa, w Joules: [J] = [Nm]Potencia, p Watts: [W ] = [J/s]

Marco de referencia

Los desplazamientos se miden respecto a una posicion dereferencia, o a la posicion de equilibrio.

Desplazamiento respecto a unapared vertical fija.

Posicion de referencia x = 0 nomostrada especıficamente.

Las flechas indican el sentido positivo para desplazamiento,velocidad, aceleracion, fuerza.

Marco de referencia

Leyes de Elementos

Los dispositivos fısicos se representan por elementos ideales

Leyes que involucran las variables asociadas a los elementos

Elementos presentes en sistemas traslacionales:1 Masa2 Friccion3 Rigidez4 Palanca

Leyes de Elementos

Relacion algebraica entre la aceleracion dvdt = v y la fuerza

externa f .

v y f tienen la misma direccion

La energıa se almacena en dos formas:

Energıa cinetica, si la masa se encuentra en movimiento.

Energıa potencial, asumiendo un campo gravitacional uniforme.

wp = Mgh

externa f .

wp = Mgh

externa f .

wp = Mgh

externa f .

wp = Mgh

De la segunda ley de Newton: “La resultante de las fuerzasactuantes sobre una partıcula es igual a la tasa de cambio delmomento lineal de la partıcula”

f =d(Mv)

Cuando la masa es constante y no se consideran efectosrelativistas

f = Mdv

dt, f = Ma

De la segunda ley de Newton: “La resultante de las fuerzasactuantes sobre una partıcula es igual a la tasa de cambio delmomento lineal de la partıcula”

f =d(Mv)

Cuando la masa es constante y no se consideran efectosrelativistas

f = Mdv

dt, f = Ma

Friccion

Fuerzas que dependen de la velocidad relativa entre doscuerpos

Friccion viscosa: se desarrolla entre capas de fluidos que semueven a diferentes velocidades, basica en el analisis de flujode fluidos y mecanismos lubricados. Relacion lineal:

f = B∆v = B(v2 − v1)

Cuerpos con friccion viscosa Cuerpos con friccion despreciable

Friccion

f = B∆v = B(v2 − v1)

Friccion

f = B∆v = B(v2 − v1)

Cuerpos con friccion viscosa

Cuerpos con friccion despreciable

Friccion

f = B∆v = B(v2 − v1)

Friccion

Friccion de Coulomb o Seca: aparece entre cuerpos rıgidoscuyas superficies no lubricadas estan en contacto.

La friccion de Coulomb no depende de la velocidad relativasino de la componente normal N de la fuerza de reaccion de lasuperficie.

Friccion

Friccion de Coulomb o Seca: aparece entre cuerpos rıgidoscuyas superficies no lubricadas estan en contacto.

La friccion de Coulomb no depende de la velocidad relativasino de la componente normal N de la fuerza de reaccion de lasuperficie.

Friccion de Coulomb

Para fuerza externa Fapp

pequena el bloque no semueve: debe existir unafuerza de friccion estatica Fque balancee a Fapp.

Si Fapp sigue aumentando,el bloque permanecerainmovil hasta que Fapp

alcance un valor mınimo Fs ,a partir del cual el bloque sedesliza. (Se asume que elbloque no gira). Coeficientes de friccion estatica

Friccion de Coulomb

µs : Coeficiente de friccionestatica (adimensional)

µd : Coeficiente de fricciondinamica (adimensional)

µs y µd dependen de lanaturaleza y de la condicionde las superficies encontacto, y por tanto elmargen de error essignificativo (± 5 %)

La relacion velocidad /fuerza de friccion es no lineal

Friccion de Arrastre

Fuerza mecanica generadapor un objeto solido que semueve en un fluido

No lineal

Amortiguador

Rigidez

Elemento mecanico que sufre un cambio de forma cuando seencuentra sujeto a una fuerza

Se establece una relacion estatica entre una variable deesfuerzo y un desplazamiento

Rigidez

Elemento mecanico que sufre un cambio de forma cuando seencuentra sujeto a una fuerza

Rigidez

Todo elemento mecanico que se deforme cuando se somete auna fuerza externa se puede modelar por el elemento rigidez

d = d0 + x(t)

Para un resorte lineal, operado en su rango dinamico, larelacion en el plano (f , x) esta dada por la ley de Hooke:

f = K ∆x

Rigidez

Todo elemento mecanico que se deforme cuando se somete auna fuerza externa se puede modelar por el elemento rigidez

d = d0 + x(t)

Para un resorte lineal, operado en su rango dinamico, larelacion en el plano (f , x) esta dada por la ley de Hooke:

f = K ∆x

Resorte

Cuando se aplica una fuerza externa en un extremo del resorteideal, sin masa, una fuerza de igual magnitud pero de sentidocontrario se debe ejercer en el otro extremo

La masa del resorte se modela aparte

Resorte

Cuando se aplica una fuerza externa en un extremo del resorteideal, sin masa, una fuerza de igual magnitud pero de sentidocontrario se debe ejercer en el otro extremo

La masa del resorte se modela aparte

Resorte

Cuando el resorte esta fuera de posicion relajada, d0, sealmacena una energıa potencial:

2K (∆x)2

Por lo tanto se requiere una variable de estado para describirel estado de la energıa en el elemento

Para determinar la respuesta dinamica se debe conocer x(t0),la posicion inicial

Resorte

2K (∆x)2

Resorte

2K (∆x)2

Resorte

Resorte de compresion

Resorte de extension

Resorte

Resorte de compresion

Resorte de extension

Palanca

Palanca ideal

Barra rıgida

Sin masa

Sin friccion

Sin momentum

No almacena energıa

Palanca

Si la rotacion es pequena (θ < 0.25rad), el movimiento puedeconsiderarse estrictamente translacional.

sin(θ) =x1

d1⇒ x1 = d1 sin(θ)

sin(θ) =x2

d2⇒ x2 = d2 sin(θ)

d1x2 =

Palanca

Diferenciando:

Dado que la suma de momentos en el pivote debe anularse alasumir una palanca ideal, se tiene que:

Ley de D’Alembert

La segunda ley de Newton para una partıcula sometida amultiples fuerzas externas:∑

(fext)i = Mv∑i

(fext)i −Mv = 0

Ley de D’Alembert

Si se adiciona el vector −Mv a las fuerzas que actuan sobre lapartıcula se obtiene un sistema de vectores equivalentes a cero

Este vector de magnitud y direccion opuesta a la aceleracionrepresenta una fuerza inercial o “Fuerza de D’alambert”

Bajo el efecto de las fuerzas externas y la fuerza inercial, sepuede considerar que la partıcula se encuentra en equilibrio

Ley de D’Alembert

Ley de las fuerzas de reaccion

La tercera ley de Newton establece que, junto con cualquier fuerzade un elemento sobre otro, existe una fuerza de reaccion sobre elprimer elemento de igual magnitud pero de direccion opuesta

Ley de los desplazamientos

Cuando los extremos de dos elementos estan conectados sedesplazan la misma distancia y con la misma velocidad

La suma algebraica de los desplazamientos a lo largo de unatrayectoria cerrada es cero

∆xi = 0

Los desplazamientos se deben medir respecto a la mismareferencia

Cada desplazamiento xi lleva asociado su signo de acuerdocon la direccion en la cual se recorre la trayectoria cerrada

∆xi = 0

Ejemplo 1

Dibujar el diagrama del cuerpo libre y plantear la ecuacion quedescribe el movimiento de la masa M

Ejemplo 1

Dibujar el diagrama del cuerpo libre y plantear la ecuacion quedescribe el movimiento de la masa M

Ejemplo 2

Para el sistema mecanico de la figura:

Plantear los diagramas de cuerpo libre

Plantear la ecuacion de estado, tomando como salida v2

Obtener la funcion de transferencia

Ejemplo 2

Ejemplo 3

El sistema de suspension de un automovil (la cuarta parte) sepuede modelar como:

Mcarro = 1580 kg (total con4 ruedas)

Mrueda = 20 kg (cada una)

M2 = 1580kg−80kg4 = 375kg

M1 = 20 kg

Ejemplo 3

M2 = 1580kg−80kg4 = 375kg

M1 = 20 kg

Ejemplo 3

M2 = 1580kg−80kg4 = 375kg

M1 = 20 kg

Ejemplo 3

M2 = 1580kg−80kg4 = 375kg

M1 = 20 kg

Ejemplo 3

M2 = 1580kg−80kg4 = 375kg

M1 = 20 kg

Ejemplo 3

Experimentalmente se determina que al colocar un peso conocido,la deflexion del cuerpo del carro M2 da un equivalenteKs = F

∆x ≈ 130000 N/m y la deflexion de la llanta corresponde a

un equivalente Kw = F∆x ≈ 106 N/m. De la respuesta transitoria

del desplazamiento (x1 − x2) cuando hay un disturbio se encuentraque el coeficiente de friccion B ≈ 9800 Nm/s

Plantear las ecuaciones de estado, donde la variable de salidaes x2

Evaluar la funcion de transferencia

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Plantear el modelo en variables de estado del sistema mecanicodado. Encontrar la ecuacion de salida si se tiene como de salida lafuerza que se ejerce sobre el pivote. La entrada es eldesplazamiento x4(t) aplicado al resorte K2. Se asume que elangulo de rotacion es pequeno, de tal forma que el movimiento sepuede considerar horizontal unicamente.

Variables y unidades de rotacion

Variable mecanica de rotacion Unidades SI

Desplazamiento Angular, θ Radianes: [rad ]Velocidad angular, ω Radianes por segundo: [rad/s]

Aceleracion angular, α Radianes por segundo por segundo: [rad/s2]Torque, τ Newton metro: [Nm]Energıa, w Joules: [J] = [Nm]Potencia, p Watts: [W ] = [J/s]

Marco de referencia

1rpm = 1rev

2πrad

60s= 0.105rad/s

θ = θ0 +

0ω(t ′)dt ′, α =

p(t) = ω(t)τ(t)

w(t) = w(t0) +

p(λ)dλ

Siempre se asume la direccionpositiva de θ, ω, α en la mismadireccion.

Momento de inercia

Inercia: Medida de la resistencia u oposicion al cambio.

dt(Jω) = τ

Considerando sistemas no relativistas y momentos constantes:

Jω = τ

Energıa cinetica:

Energıa potencial:wp = Mgh

Si el eje de rotacion es vertical, no hay cambio en la energıapotencial cuando el cuerpo rota.

Momento de inercia

Cilindro

Prisma regular

Momento de inercia

Esfera

Friccion

En el elemento friccion las variables de torque y velocidadangular relativa entre dos superficies estan relacionadas poruna funcion estatica

Friccion viscosa: se desarrolla entre capas de fluidos que semueven a diferentes velocidades, basica en el analisis de flujode fluidos y mecanismos lubricados.

Relacion lineal:

τ = B(ω2 − ω2) = B∆ω

Amortiguador rotacional

Rigidez

Todo elemento mecanico que se deforme cuando se somete auna fuerza externa se puede modelar por el elemento rigidez.

τ = K ∆θ

Existe almacenamiento de energıa

Entrega energıa sin disipacion

Rigidez rotacional → se asocia con un resorte de torsion o conun eje flexible

Rigidez

La variable de esfuerzo es funciondel desplazamiento

θ es la posicion angulardefinida respecto a laposicion cuando el torqueaplicado es igual a cero:

τ = Ktθ

Si los dos extremos del ejese pueden mover entonces:

τ = Kt(θ2 − θ1)

Rigidez

Cuando se asume que elmomento de inercia del eje oresorte de torsion es despreciable,el torque ejercido sobre los dosextremos del elemento debe serde igual magnitud y sentidoopuesto.

Resorte

Energıa almacenada:

2K (∆θ)2

Resorte

Se require una variable de estado para describir el estado de laenergıa en el elemento

Para determinar la respuesta dinamica se debe conocer laposicion inicial θ(t0)

Engranajes

Son el equivalente rotacional de la palanca

Se asumen engranajes ideales, J = 0, B = 0, sin energıainicial almacenada y un perfecto acople con los dientes

La relacion de engranajes es

Engranajes

Las longitudes de los arcos deben ser iguales

PA′ = PB ′

θ1r1 = θ2r2

Las direcciones positivas de los engranajes son opuestas. Delo contrario aparecerıa un signo negativo en la relacion.

Engranajes

Asumiendo J = 0:

−τ1 + r1fc = 0

τ2 + r2fc = 0τ2

τ1= − r2

r1= −N

El signo menos aparece porque los momentos se asumieron ambosexternos: valores positivos tienden a mover los engranajes en ladireccion positiva.

Engranajes

Tipo Spur

Puede tener una o masetapas

Cada etapa conformada pordos ruedas dentadas

Empleados para bajostorques

Alta eficiencia

Bajo ruido

Pinon y cremallera

Transforma movimientorotatorio y traslacional

x1 = θ2r2

Para el caso ideal (sindisipacion de energıa)

fx = τθ

τ2 = f1r2

Interconexion

Para una lamina rıgida de masa m que se mueve bajo laaccion de varias fuerzas externas contenidas en el mismoplano de la lamina, se plantean dos conjuntos de ecuaciones:una para el movimiento del centro de masa G respecto aO(x , y , z) dada por: ∑

F = ma

Otra para el movimiento de rotacion respecto a G :∑MG = HG

En el diagrama de cuerpo libre las fuerzas individuales sepueden representar por ma y Hg

Interconexion

Para cuerpos que estan rotando alrededor del mismo eje,cualquier momento o torque ejercido por un elemento sobreotro esta acompanado por un torque de reaccion de igualmagnitud y direccion opuesta.

Para cuerpos que no rotan sobre el mismo eje la magnitud delos dos torques no es necesariamente igual, como es el caso dela caja de engranajes

Ley de desplazamientos angulares

En un sistema rotatorio se pueden expresar los movimientosde algunos de los elementos en terminos de los movimientosde los otros

La suma algebraica de las diferencias de desplazamientoangular alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero:∑

∆θi = 0

Ejemplo 2-5

Obtener las ecuaciones de estado para el sistema de la figura.La salida es θ2.

Evaluar la funcion de transferencia θs(s)θa(s)

Ejemplo 2-6

La masa M esta suspendida del torno de radio R por medio de uncable flexible con una constante K2. Plantear el modelo devariables de estado. Las entradas son la fuerza externa y la masadel bloque. La variable de salida es la posicion de la masa M.

Ejemplo 3-7

Una bascula de gramos opera mediante un sistema de engranajes depinon y cremallera. La cremallera esta unida a la plataforma de pesado yel indicador esta unido al pinon. El movimiento de la cremallera estalimitado por guıas verticales. Se emplea un resorte para devolver laplataforma a su posicion original. Plantear el modelo de estado delsistema. Tomar como salida el angulo de giro del indicador. Asumir quela masa a pesar M1 no cambia durante el experimento.

Aplicaciones

Referencias I

[1] Matlab documentation center.http://www.mathworks.com/help/matlab/.Accessed: 2014-02-10.

[2] System Dynamics: Modeling and Simulation of MechatronicSystems.John Wiley & Sons, 2000.

[3] C. Chen.Linear System Theory and Design.Oxford series in electrical and computer engineering. OxfordUniversity Press, 1984.

[4] C. Close, D. Frederick, and J. Newell.Modeling and Analysis of Dynamic Systems.Wiley, 2001.

Referencias II

[5] C. Desoer and E. Kuh.Basic Circuit Theory.McGraw-Hill Education (India) Pvt Limited, 2009.

[6] R. Dorf and R. Bishop.Modern Control Systems.Pearson, 2011.

[7] C. Smith and A. Corripio.Principles and practice of automatic process control.Wiley, 2006.

[8] S. Zak.Systems and Control.Engineering & Technology. Oxford University Press, 2003.

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