sistemas de controle 2 - sol - professor
TRANSCRIPT
![Page 1: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/1.jpg)
Sistemas de Controle 2Cap.10 – Técnicas de Resposta em Frequência
Pontifícia Universidade Católica de Goiás
Escola de Engenharia
Prof.: Filipe Fraga
![Page 2: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/2.jpg)
Sistemas de Controle 2Cap.10 – Técnicas de Resposta em Frequência
10. Técnicas de Resposta de Frequência
10.1 Introdução
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
10.3 Introdução ao Critério de Nyquist
10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist
10.5 Estabilidade por Intermédio do Diagrama de Nyquist
10.6 Margem de Ganho e Margem de Fase por Intermédio do Diagrama de Nyquist
10.7 Estabilidade, Margem de Ganho e Margem de Fase por Intermédio dos Gráficos de Bode
10.8 Relação entre Resposta Transitória a Malha Fechada e Resposta de Frequência a Malha Fechada
10.9 Relação entre Respostas de Frequência a Malha Aberta e a Malha Fechada
10.10 Relação entre Respostas Transitória a Malha Fechada e de Frequência a Malha Aberta
10.11 Características de Erro do Estado Estacionário a Partir da Resposta de Frequência
10.12 Sistemas com Retardo
10.13 Obtendo Funções de Transferência Experimentalmente
![Page 3: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/3.jpg)
10.1 Introdução
Cap.8 e 9 Método do lugar das raízes para o projeto da resposta transitória, do erro de estado estacionário e da estabilidade
Cap. 8 Projeto através do ajuste de ganho Solução de compromisso entre a resposta transitória e o erro de estado estacionário.
Cap. 9 Mudança do local das raízes para o ponto desejado através da inserção de pólos e zeros Sem a necessidade de manter uma relação de compromisso entre erro de
estado estacionário e resposta transitória.
Cap. 10 e 11 Projeto de sistemas de controle com retroação através do ajuste de ganho e de estruturas de compensação a partir da resposta em frequência.
Os resultados das técnicas de compensação por meio de resposta de frequência não são novos ou diferentes dos resultados das técnicas de lugar das raízes.
![Page 4: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/4.jpg)
10.1 Introdução
Os métodos de resposta em frequência são mais antigos que o método do lugar das raízes.
Contudo apresentam uma visão diferente do sistema e algumas vantagens em algumas situações:
1. Quando se modelam funções de transferência a partir de dados físicos.
2. Quando se projetam compensadores de avanço de fase para atender o erro de estado estacionário requerido e a resposta transitória requerida;
3. Ao se determinar a estabilidade de sistemas não-lineares4. Na remoção de ambiguidades ao se esboçar o lugar das raízes
![Page 5: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/5.jpg)
10.1 Introdução
Considerando o estado estacionário:
Entradas senoidais geram Saídas senoidais - Com a mesma frequência- Diferenças de amplitude e de fase
O Conceito da Resposta de Frequência
Sinais senoidais
Números complexos
Fasores
(a+jb)
Representação de sinais senoidais
![Page 6: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/6.jpg)
10.1 Introdução
Sistema
- Produz alterações de amplitude e fase- Pode ser representado por um número complexo
Fasor de entrada x sistema fasor de saída
Considere o sistema com uma entrada senoidal:
Resposta no regime permanente
![Page 7: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/7.jpg)
10.1 Introdução
Resposta no regime permanente
Função de sistema:
resposta de frequência em magnitude
resposta de frequência em fase
Resposta de frequência:
![Page 8: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/8.jpg)
10.1 IntroduçãoExpressões Analíticas da Resposta de Frequência
Entrada do sistema no tempo:
Representação da entrada como fasor:
![Page 9: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/9.jpg)
10.1 IntroduçãoExpressões Analíticas da Resposta de Frequência
Expansão em frações parciais
![Page 10: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/10.jpg)
10.1 IntroduçãoExpressões Analíticas da Resposta de Frequência
Cálculo das constantesForma retangular
Fórmula de Euler
Conjugado de 𝐾1
![Page 11: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/11.jpg)
10.1 IntroduçãoExpressões Analíticas da Resposta de Frequência
Sistema
Resposta em estado estacionário: Depende apenas dos pólos da entrada.
Demais termos são exponenciais que decrescem a zero no estado estacionário
Resposta em estado estacionário(ss = steady state)
![Page 12: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/12.jpg)
10.1 IntroduçãoExpressões Analíticas da Resposta de Frequência
Substituindo K1 e K2:
𝐾1
𝐾2
Aplicando a transformada de Laplace inversa e usando a fórmula de Euler
![Page 13: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/13.jpg)
10.1 IntroduçãoExpressões Analíticas da Resposta de Frequência
Representação na forma de fasor:
função resposta de frequência
A resposta de frequência de um sistema cuja função de transferência é G(s) é:
Logo:
![Page 14: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/14.jpg)
10.1 Introdução
Plotando a Resposta de Frequência
Formas de se representar graficamente a resposta em frequência:
1) Gráficos separados de magnitude e de fase, em função da frequência.
• Magnitude em decibéis (dB)
• Ângulo de fase em logaritmo (log 𝜔)
𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔𝑀 𝑀 = 10𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑚 𝑑𝐵
20
Diagrama de Bode
Cálculos de magnitude e fase:
Traçar vetores dos pólos e zeros percorrendo todo o eixo imaginário 𝑗𝜔.
Magnitude: Calcular produto das magnitudes dos vetores dos zeros dividido pelo produto das magnitudes dos pólos.Fase: Calcular soma dos ângulos dos vetores dos zeros subtraído pela soma dos ângulos dos pólos.
![Page 15: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/15.jpg)
10.1 Introdução
Plotando a Resposta de Frequência
Formas de se representar graficamente a resposta em frequência:
2) Gráfico polar, onde o comprimento do fasor é a magnitude e o ângulo do fasor é a fase.
Usado para gerar o Diagrama de Nyquist
Para ambos os gráficosO valor de K para cada frequência é o inverso da magnitude em escala.O valor do ângulo calculado é o próprio valor da fase referente àquela frequência.
Gráfico polar
Diagrama de Nyquist
![Page 16: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/16.jpg)
10.1 Introdução
1) Substituir s=j𝜔
𝐺 𝑗𝜔 =1
(𝑗𝜔 + 2)=
(𝑗𝜔 − 2)
(𝑗𝜔 + 2)(𝑗𝜔 − 2)=(2 − 𝑗𝜔)
(𝜔2 + 4)𝐺 𝑠 =
1
(𝑠 + 2)
𝐺 𝑗𝜔 = 𝑀 𝑗𝜔 =1
(𝜔2 + 4)Magnitude
𝜙 𝑗𝜔 = − tan−1(𝜔/2)Ângulo de fase
2
(𝜔2 + 4)
−𝜔
(𝜔2 + 4)
2) Calcular magnitude e fase
![Page 17: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/17.jpg)
10.1 Introdução
Gráficos de resposta em frequênciaMagnitude
Fase
versus
versus
![Page 18: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/18.jpg)
10.1 Introdução
Gráficos de resposta em frequênciaPolar
Ainda não é o diagrama de Nyquist
![Page 19: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/19.jpg)
10.1 IntroduçãoÉ possível obter o gráfico de magnitude e fase a partir do gráfico polar, e vice versa.
Exemplo:
Em 1 rad/s
Gráfico de magnitude = -7dB = 10−7/20 = 0.447
Gráfico de fase = −26°
Gráfico polar ponto de raio 0.0447 com ângulo de−26°
Exemplo 1
![Page 20: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/20.jpg)
10.1 IntroduçãoExemplo:
Em 1 rad/s
Gráfico de magnitude = -7dB = 10−7/20 = 0.447
Gráfico de fase = −26°-7dB
−26°
![Page 21: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/21.jpg)
10.1 Introdução
Exemplo:
Em 1 rad/s
Gráfico de magnitude = -7dB = 10−7/20 = 0.447
Gráfico de fase = −26°
-7dB=0.447
−26°
![Page 22: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/22.jpg)
10.1 Introdução
É possível obter o gráfico de magnitude e fase a partir do gráfico polar, e vice versa.
Em 2 rad/sExemplo 2
0.3520log(0.35)=-9.12dB
−45°
![Page 23: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/23.jpg)
10.1 Introdução
É possível obter o gráfico de magnitude e fase a partir do gráfico polar, e vice versa.
Em 2 rad/sExemplo 2-9.12dB
−45°
![Page 24: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/24.jpg)
Fim da Introdução do capítulo 10
![Page 25: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/25.jpg)
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Gráficos ou Diagramas de Bode
Podem ser aproximados como uma sequência de linhas retas.
![Page 26: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/26.jpg)
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Gráficos ou Diagramas de Bode
Função de transferência do sistema
Cálculo da magnitude
Simplificando o cálculo da magnitude pela aplicação do logaritmo (resposta em dB):
Sabendo a resposta de cada termo é possível traçar uma reta para cada um deles e em seguida somar a resposta no gráfico.
![Page 27: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/27.jpg)
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Gráficos ou Diagramas de Bode
Função de transferência do sistema
Cálculo da fase
Soma das curvas de fase dos termos relativos aos zeros menos a soma das curvas de fase dos termos referentes aos pólos
![Page 28: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/28.jpg)
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Gráficos ou Diagramas de Bode
1) Gráficos de Bode para G(s) = (s + a)
2) Gráficos de Bode para G(s) = 1/(s + a)
3) Gráficos de Bode para G(s) = s
4) Gráficos de Bode para G(s) = 1/s
Função de transferência do sistema
Estudo da aproximação do Diagrama de Bode
5) Gráficos de Bode para G(s) = 𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2
6) Gráficos de Bode para G(s) = 1
𝑠2+2𝜁𝜔𝑛𝑠+𝜔𝑛2
![Page 29: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/29.jpg)
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Estudo da aproximação do Diagrama de Bode
1) Gráficos de Bode para G(s) = (s + a)
Baixa frequência, 𝜔 → 0:constante
Alta frequência, 𝜔 ≫ 𝑎:
Em dB:
Em dB:
Constante reta constante
20𝑙𝑜𝑔𝑀 = 20. 𝑙𝑜𝑔𝜔
Como o gráfico é expresso em dB por 𝑙𝑜𝑔𝜔, ele se torna uma reta crescente:
(20 𝑙𝑜𝑔𝑀) = 20. (𝑙𝑜𝑔𝜔)
![Page 30: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/30.jpg)
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Estudo da aproximação do Diagrama de Bode
Cada vez que a frequência dobra (aumento de uma oitava) a função aumenta 6dB.
20 𝑙𝑜𝑔2. 𝜔 = 20𝑙𝑜𝑔2 + 20𝑙𝑜𝑔𝜔 = 6𝑑𝐵 + 20𝑙𝑜𝑔𝜔
O aumento começa em 𝜔 = 𝑎 com inclinação de 6dB/oitavaAssíntota de alta frequência
Assíntota de baixa frequência
Cada vez que a frequência aumenta 10 vezes (aumento de uma década) a função aumenta 20dB (inclinação equivalente a 6dB/oitava).
![Page 31: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/31.jpg)
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Estudo da aproximação do Diagrama de Bode
Diagrama de fase
Alta frequência, 𝜔 ≫ 𝑎:
Baixa frequência, 𝜔 → 0: Fase 0°
Frequência de quebra, 𝜔 = 𝑎: 𝐺 𝑗𝜔 = 𝑗𝑎 + 𝑎 Fase 45°
Para desenhar a curva, comece uma década (1/10) abaixo da frequência de quebra, 0.1a, com fase de 0°, e desenhe uma linha de inclinação +45°/década passando por 45° na frequência de quebra e continuando até 90° uma década acima da frequência de quebra, em 10a.
![Page 32: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/32.jpg)
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Estudo da aproximação do Diagrama de Bode
Normalização da magnitude
A magnitude da função costuma ser normalizada para facilitar a comparação entre sistemas de primeira e segunda ordem pois ambos terão a mesma assíntota de baixa frequência e a mesma frequência de quebra depois de colocada em escala.
Normalizando (s+a):
(s+a) = 𝑎𝑠
𝑎+ 1
Nova variável de frequência: 𝑠1 = 𝑠/𝑎
Portanto: 𝑎𝑠
𝑎+ 1 𝑎 𝑠1 + 1
Magnitude é dividida por “a” para produzir a frequência de 0dB de quebra.
Função colocada em escala: (𝑠1 + 1)
Para obter a resposta de frequência original, a magnitude e a frequência são multiplicadas pela grandeza a.
![Page 33: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/33.jpg)
Frequência de quebra
Real normalizada em 3dB
![Page 34: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/34.jpg)
Resposta assintótica e real normalizada de magnitude em escala
Diferença máxima de 3dB
(s+a)
![Page 35: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/35.jpg)
Resposta assintótica e real normalizada de fase em escala
Diferença máxima de 5.71 graus(s+a)
![Page 36: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/36.jpg)
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Estudo da aproximação do Diagrama de Bode
2) Gráficos de Bode para G(s) = 1/(s + a)
Alta frequência, s → ∞:
Assíntota de baixa frequência, s → 0:
Frequência de quebra, s = 𝑎 rad/s.
![Page 37: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/37.jpg)
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Estudo da aproximação do Diagrama de Bode
2) Gráficos de Bode para G(s) = 1/(s + a)
![Page 38: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/38.jpg)
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Estudo da aproximação do Diagrama de Bode
3) Gráficos de Bode para G(s) = s
![Page 39: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/39.jpg)
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Estudo da aproximação do Diagrama de Bode
4) Gráficos de Bode para G(s) = 1/s
![Page 40: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/40.jpg)
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
O gráfico de Bode é a soma dos gráficos de Bode de cada termo de primeira ordem. Usar o gráfico normalizado para cada um dos termos exceto o do pólo na origem.
Dividindo em cima por 3
Dividindo em baixo por 2
Frequências de quebra ocorrem em 1, 2 e 3
![Page 41: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/41.jpg)
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Frequências de quebra ocorrem em 1, 2 e 3
O gráfico de magnitude deve começar uma década abaixo da menor frequência de quebra e se estender até uma década acima da maior frequência de quebra.
De 0,1 a 100 radianos, ou três décadasIntervalo escolhido:
Em baixa frequência: 𝜔 = 0 para todos os termos (s/a +1) 𝜔 = 0.1 (frequência real) para termo “s” no denominador.
𝐺 𝑗0.1 =
32𝐾
0.1= 15𝐾 Escolhendo K=1 (normalização)
![Page 42: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/42.jpg)
2 3
Início do gráfico
![Page 43: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/43.jpg)
2 3Início do gráfico
Segundo ponto em (decréscimo de 20dB)
![Page 44: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/44.jpg)
2 3
A fase é tratada de modo semelhante. Contudo, a existência de quebras uma década abaixo e uma década acima da frequência de corte requer um pouco mais de cálculo.
0,2 20
![Page 45: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/45.jpg)
![Page 46: Sistemas de Controle 2 - SOL - Professor](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022080214/62e8044529e33c279912a732/html5/thumbnails/46.jpg)
Estudar Exemplo 10.2 em detalhes