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Sistemas de Controle 2Cap.7 - Erros de Estado Estacionário
Pontifícia Universidade Católica de Goiás
Escola de Engenharia
Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro
Sistemas de Controle 2Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro
Cap.7 - Erros de Estado Estacionário
7. Erros de Estado Estacionário
7.1 Introdução
7.2 Erro de Estado Estacionário de Sistemas com Retroação Unitária
7.3 Constantes de Erro Estático e Tipo de Sistema
7.4 Especificações de Erro de Estado Estacionário
7.5 Erros de Estado Estacionário Devidos a Perturbações
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
7.7 Sensibilidade
7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados
Bibliografia principal:
Engenharia de Sistemas de Controle – Norman S. Nise
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
Muitos sistemas não possuem retroação unitária devido a diversos fatores:- Compensação não unitária para melhorar desempenho.- Tipo do modelo físico do sistema.- Retroação dinâmica
Sistema Genérico
Transdutorde entrada
Controladore processo
retroação
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
Sistema Genérico Transdutorde entrada
Controladore processo
retroação
Movendo G1 para depois da junção de adição:
G(s)=G1(s)G2(s)
H(s)=H1(s)/G1(s)
Sinal atuante 𝐸𝑎(𝑠) (não mais o “erro”)
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
Mostrando explicitamente E(s)=R(s)-C(s)
Somando e subtraindo ramounitário
Operações de blocos atésobrar uma realimentaçãounitária
*Unidades de entrada e saída precisam seras mesmas
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
• Tipo?• Constante de erro?• Erro de estado estacionário para u(t)?
Converter para um Sistema com retroação unitária
Solução:
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
100s s + 10
1 +100
s s + 101
𝑠 + 5− 1
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
100s s + 10
1 +100
s s + 101
𝑠 + 5− 1
100s s + 10
1 +100
s s + 101
𝑠 + 5− 1
100s s + 10
1 +100
s s + 101
𝑠 + 5−
100s s + 10
Ge(s)
Ge(s)
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
Ge(s)
Ge s =
100s s + 10
1 +100
s s + 101
𝑠 + 5−
100s s + 10
MATLABT=feedback(G,1)polos=pole(T)
polos =
-11.3780 + 0.0000i-1.8110 + 2.3472i-1.8110 - 2.3472i
Sistema Estável
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
Ge(s)
Sistema do tipo 0
MATLABr=roots(p)r =
-16.56075.7565
-4.1958
𝐺𝑒 𝑠 =100(𝑠 + 5)
(𝑠 + 16.56)(𝑠 − 5.75)(𝑠 + 4.19)Ge s =
100s s + 10
1 +100
s s + 101
𝑠 + 5−
100s s + 10
Constate de erro apropriada: Kp
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
𝐺𝑒 𝑠 =100(𝑠 + 5)
(𝑠 + 16.56)(𝑠 − 5.75)(𝑠 + 4.19)Sistema do tipo 0
Constante de erro de posição
erro de posição
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
Sistema com retroação não unitária e perturbação
Entradas e perturbação em degrau
Deduzindo equação geral para erro estacionário
**Demonstração completa comoexercício do final do capítulo
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
Sistema com retroação não unitária e perturbação
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
Sistema com retroação não unitária e perturbação
Essas condições podem sempre ser atendidas se:1) O Sistema for estável2) G1(s) for um Sistema do tipo 1.3) G2(s) for um Sistema do tipo 0.4) H(s) for um Sistema do tipo 0.
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
Sistema com retroação não unitária e perturbação
Demonstração como exercício no final do capítulo
Obtenção do valor de estado estacionário do sinal atuante 𝐸𝑎1(𝑠)
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
Degrau unitário
𝑒𝑎1 ∞ = 𝑒𝑎(∞)Pois 𝐺1 𝑠 = 1
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
Fórmula para o sinal atuante
Erro Cálculado com a função de transferência em malha aberta com o Sistema depois de transformado para realimentação unitária
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
He(s)
=100(𝑠 + 1)
(𝑠 − 94.95)(𝑠 − 0.0421)
𝐾𝑝 =100(0 + 1)
0 + 0 + 4= 25 𝑒𝑎 ∞ =
1
1 + 𝐾𝑝=
1
1 + 25=
1
26= 3.84.10−2
7.6 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Não-unitária
He(s)
= 0
𝑒𝑎 ∞ =1
𝐾𝑣
𝐾𝑣 = lim𝑠→0
𝑠. 100(𝑠 + 1)
(𝑠 − 94.95)(𝑠 − 0.0421)=
0 .100(0 + 1)
(0 − 94.95)(0 − 0.0421)
= ∞
7.7 Sensibilidade
Sensibilidade grau que as alterações nos parâmetros causam nas funções de transferência.
Ideal: Sensibilidade zero
Exemplo:
𝐹 =𝐾
𝐾 + 𝑎𝐾 = 10
𝒂 = 𝟏𝟎𝟎𝐹 = 0.091
Cenário 1
𝐾 = 10
𝒂 = 𝟑𝟎𝟎𝐹 = 0.032
Cenário 2
300 − 100
100= 2 = 200%
Mudança relativa de “a”
Mudança relativa de “F”
0.032 − 0.091
0.091= −0.65 = −65%
“F” possui sensibilidade reduzida à mudanças de “a”.
A adição de retroação no sistema reduz a sua sensibilidade
7.7 Sensibilidade
Definição formal:Sensibilidade é a relação entre a variação relativa de uma função e a variação relativa de um parâmetro quando esta variação tende a zero.
7.7 Sensibilidade
= ?
Dicas:
Regra de derivação
Função de transferência a malha fechada
Sensibilidade
7.7 Sensibilidade
G(s)
𝑇 𝑠 =𝐺 𝑠
1 + 𝐺(𝑠)
𝑇 𝑠 =
𝐾𝑠(𝑠 + 𝑎)
1 +𝐾
𝑠(𝑠 + 𝑎)
𝑆𝑇,𝑎 =𝑎
𝐾𝑠2 + 𝑎. 𝑠 + 𝐾
(𝜕𝑇
𝜕𝑎)
Regra de derivação
=
𝐾𝑠(𝑠 + 𝑎)
𝑠 𝑠 + 𝑎 + 𝐾𝑠(𝑠 + 𝑎)
=𝐾
𝑠 𝑠+𝑎 +𝐾 =𝐾
𝑠2+𝑎.𝑠+𝐾
7.7 Sensibilidade
G(s)
𝑆𝑇,𝑎 =𝑎
𝐾𝑠2 + 𝑎. 𝑠 + 𝐾
(𝜕𝑇
𝜕𝑎)
Regra de derivação
𝜕𝑇
𝜕𝑎=
K′. 𝑠2 + 𝑎. 𝑠 + 𝐾 − 𝐾. 𝑠2 + 𝑎. 𝑠 + 𝐾 ′
𝑠2 + 𝑎. 𝑠 + 𝐾 2=0. 𝑠2 + 𝑎. 𝑠 + 𝐾 − 𝐾. 𝑠
𝑠2 + 𝑎. 𝑠 + 𝐾 2
𝑇 𝑠 =𝐾
𝑠2+𝑎.𝑠+𝐾
Derivando:
𝑆𝑇,𝑎 =−𝑎. 𝑠
𝑠2 + 𝑎. 𝑠 + 𝐾
Aumentar K reduz a sensibilidade
7.7 Sensibilidade
Sistema Tipo ?
Regra de derivação
Dicas:
7.7 Sensibilidade
Sistema Tipo 1 sinal de teste Rampa
G(s)
𝑑𝑒
𝑑𝑘=
𝑑
𝑑𝑘
𝑎
𝑘=
𝑎′.𝑘−𝑎.𝑘′
𝑘2
=0. 𝑘 − 𝑎. 1
𝑘2=−𝑎
𝑘2
A retroação não produz nem aumento nemredução de sensibilidade nesse sistema
7.7 Sensibilidade
Regra de derivação
7.7 Sensibilidade
Se “a” e “b” forem positivos a sensibilidadepara variações de “K” e “a” será menor que 1. Portanto a retroação reduz a sensibilidade.
Sistema Tipo 0 sinal de teste: degrau
7.7 Sensibilidade
7.7 Sensibilidade
- Sistema tipo 0- Entrada de teste: degrau
7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados
Aplicação de dois métodos para o cálculo do erro de estado estacionário:
1) Análise através do teorema do valor final
2) Análise através da substituição da entrada
7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados
Sistema a malha fechada representado espaço dos estados:
Transformada de Laplace do erro:
Saída do Sistema:
T(s) função de transferência a malha fechada
Logo: Cap. 3
Aplicando o Teorema do valor final:
Exemplo para facilitar visualização:
7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados
Aplicando o Teorema do valor final:
7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados
MATLAB
syms s A B C R
A=[-5, 1, 0; 0, -2, 1; 20, -10, 1]B=[0;0;1]C=[-1,1,0]
R=1/s % degrau
result= s*R*(1-C*inv(s*eye(3)-A)*B)
limit(result, s, 0)
Aplicando o Teorema do valor final:
Result = limit = 4/5 (erro degrau)
7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados
MATLAB
% rampaR=1/(s^2)
result= s*R*(1-C*inv(s*eye(3)-A)*B)
limit(result, s, 0, 'right')
Aplicando o Teorema do valor final:
Result =
limit = Inf (erro rampa)O Sistema se comporta como tipo 0
7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados
- Método para análise do erro que evita a obtenção da inversa de (sI-A)- Pode ser usado para múltiplas entradas e múltiplas saídas (Hostetter, 1989)
Dado as equações de estado:
Se a entrada for um degrau unitário (r=1), uma solução para x em estado estacionário será:
Onde:
Derivada de 𝑥𝑠𝑠 é zero
7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados
𝑦𝑠𝑠 é o valor estacionário da saída
7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados
- O erro de estado estacionário é a diferença entre a entrada em estado estacionárioe a saída em estado estacionário.
Resultado final do erro para uma entrada em degrau unitário:
7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados
Entradas em rampa:
Derivada das entradas em rampa:
Representação do Sistema no espaçodos estados:
Substituindo x e ሶ𝑥
7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados
Igualando matrizes que possuem t e matrizes que não possuem t.
𝟎 = 𝑨𝑽 + 𝑩−𝑩 = 𝑨𝑽 + 𝑩 − 𝑩
−𝑩 = 𝑨𝑽−𝑨−𝟏𝑩 = 𝑨−𝟏𝐀𝐕−𝑨−𝟏𝑩 = 𝐕
Matrizes que possuem t: Matrizes que não possuem t (termos constantes):
𝑽 = 𝑨𝑾𝑨−𝟏𝑽 = 𝑨−𝟏AW𝑨−𝟏𝑽 = W
7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados
Substituindo:
𝑽 = −𝑨−𝟏𝑩
𝑾 = 𝑨−𝟏𝑽
Em:
Resulta:
…
7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados
**Para se usar esse método é preciso que a inversa de A exista, ou seja, o determinante de Adeve ser diferente de zero.
7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados
7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados
7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados
7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados
7.8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados
Lista do cap.7
• Todos os ímpares
• Gabarito e resoluções no site
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