sistema e transformação de coordenadas
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Apresenta os sistemas de cooTRANSCRIPT
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Teoria Eletromagnética
Profa. Úrsula do Carmo Resende
2014
SISTEMA E TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
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Teoria Eletromagnética
Introdução
� Em eletromagnetismo as variáveis são funções do espaço e dotempo. Assim para descrever corretamente as variações espaciaisdeve-se definir qualquer ponto de maneira única e adequada,através de um sistema de coordenadas apropriado.
� A escolha do sistema de coordenadas apropriado pode facilitar asolução do problema.
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Teoria Eletromagnética
Sistema de Coordenadas Cartesiano
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Teoria Eletromagnética
Sistema de Coordenadas Cartesiano
z
y
x
P(x, y, z)
Intervalos de variação:
- ∞ < x < ∞
-∞ < y < ∞
- ∞ < z < ∞
Vetor:
(Ax, AY, AZ) ou Ax ax + Ay ay + Az az
Para os vetores unitáriosortogonais tem-se:
1
0
x x y y z z
x y y z z x
x y z
y z x
z x y
⋅ = ⋅ = ⋅ =
⋅ = ⋅ = ⋅ =
× =
× =
× =
a a a a a a
a a a a a a
a a a
a a a
a a a
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Teoria Eletromagnética
Sistema de Coordenadas Cilíndrico
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Teoria Eletromagnética
Sistema de Coordenadas Cilíndrico
z
y
x
P(r, φ, z)
ρφ
Intervalos de variação:
0 < ρ < ∞
0 < φ < 2π
- ∞ < z < ∞
Vetor:
(Aρ, A φ, AZ) ou Aρ a ρ + A φ aφ + Az az
aφ não é dado em graus
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Teoria Eletromagnética
Sistema de Coordenadas Cilíndrico
2 2 2zA A Aρ ϕ= + +A
Para os vetores unitáriosortogonais tem-se:
1
0z z
z z
z
z
z
ρ ρ ϕ ϕ
ρ ϕ ϕ ρ
ρ ϕ
ϕ ρ
ρ ϕ
⋅ = ⋅ = ⋅ =
⋅ = ⋅ = ⋅ =
× =
× =
× =
a a a a a a
a a a a a a
a a a
a a a
a a a
z
y
x
P(r, φ, z)
ρφ
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Teoria Eletromagnética
Sistema de Coordenadas Cilíndrico
Pode ser demonstrado que:
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Teoria Eletromagnética
Sistema de Coordenadas Cilíndrico
As relações entre os unitários são:
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Teoria Eletromagnética
Sistema de Coordenadas Esférico
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Teoria Eletromagnética
Sistema de Coordenadas Esférico
z
y
x
P(r, φ, θ)
r
φ
θ
Intervalos de variação:
0 < r < ∞
0 < θ < 2π
0 < φ < 2π
Vetor:
(Ar, A θ, Aφ) ou Ar ar + Aθ aθ + A φ aφ
aθ e aφ não é dado em graus
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Teoria Eletromagnética
Sistema de Coordenadas Esférico
Para os vetores unitáriosortogonais tem-se:
1
0r r
r r
r
r
r
θ θ ϕ ϕ
θ θ ϕ ϕ
θ ϕ
θ ϕ
ϕ θ
⋅ = ⋅ = ⋅ =
⋅ = ⋅ = ⋅ =
× =
× =
× =
a a a a a a
a a a a a a
a a a
a a a
a a a
z
y
x
P(r, φ, θ)
r
φ
θ
2 2 2rA A Aθ ϕ= + +A
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Teoria Eletromagnética
Sistema de Coordenadas Esférico
Pode ser demonstrado que:
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Teoria Eletromagnética
Sistema de Coordenadas Esférico
As relações entre os unitários são:
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Teoria Eletromagnética
Transformação de Sistemas de Coordenadas
A transformação de uma quantidade vetorial de um sistema decoordenadas em outro é feita em duas etapas. Na primeira, Faz-se asubstituição das coordenadas de um sistema para a do outrosistema, empregando as relações apresentadas. Na segunda etapa,faz-se a transformação dos vetores unitários.
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Teoria Eletromagnética
Vetor Posição
O vetor posição, r, de um ponto P é o vetor que começa na origem O dosistema de coordenadas e termina no ponto P, ou seja:
zyx zyxOP aaar ++==
z
y
x
P(x, y, z)
Diferença de ponto e vetor !!!
O
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Teoria Eletromagnética
Vetor Distância
O vetor distância é o deslocamento de um ponto a outro.
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Teoria Eletromagnética
Vetor Distância
( ) ( ) ( )212
212
212
2 zzyyxxd −+−+−=
12 rrd −=
( ) ( )2121221
21
22
2 cos2 zzd −+−−+= φφρρρρ
)cos(sinsin2coscos2 12122112212
12
22 φφθθθθ −−−+= rrrrrrd
O vetor distância é o deslocamento de um ponto a outro.
P1
O
d
P2
r1
r2