sistem persamaan linierishaq.staff.gunadarma.ac.id/downloads/files/43833/sistem+persamaan... · spl...
TRANSCRIPT
Sistem Persamaan linier
Persamaan linier Definisi N buah variable x1, x2, …, xn yang dinyatakan dalam bentuk :
a1x1 + a2x2+…+ an xn=b
disebut persamaan linier, dengan a1, a2, … ,an dan b adalah konstanta-
konstanta riil.
Sekumpulan nilai/ harga sebanyak n yang disubtitusikan ke n variable :
a1=k1, x2=k2 … xn=kn sedemikian sehingga persamaan tersebut
terpenuhi, maka himpunan nilai tersebut (k1, k2, … kn) disebut
himpunan penyelesaian (solusi set). Contoh
2x1 + x2 + 3x3=5 x1=1; x2=0; x3=1 (1,0,1) solusi
x1=0; x2=5; x3=0 (0,5,0) solusi
x1=2; x =1; x3=0 (2,1,0) solusi
suatu persamaan linier bisa mempunyai solusi >1.
Definisi
Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier didalam n variable: x1, x2, …, xn disebut sistem persamaan linier.
Sistem persamaan linier yang tidak mempunyai solusi
disebut inconsisten. Sedangkan sistem persamaan linier yang mempunyai paling sedikit sebuah solusi disebut consisten.
Misal ada 2 persamaan dengan 2 variabel. P1: a1x1+ a2x2=b1 (a1, a2≠0) P2: a1x1+ a2x2=b2 (c1, c2≠0)
Jika kedua persamaan tersebut dinyatakan dalam grafik, maka:
U2
X1
U2
X1
U2
X1
P1
P2
Inconsisten
P1 P2 P2
Konsisten
Penyajian SPL dengan persamaan matriks
a11x1 + a12x2 + a13x3 +…+a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+a2nxn = b2 :
am1x1 + an2x2 + an3x3 + …+annxn = bm
x = b =
matriks koefisien
SPL umum:
a11 a12 a13 a1n
a21 a22 a23 a2n
:
am1 am2 am3 amn
x1
x2
:
xm
b1
b2
:
bm
A =
Ax = b
Penyajian SPL sebagai matriks augmented
a11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +… + a2nxn = b2
:
am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm
matriks augmented
a11 a12 a13 … a1n b1
a21 a22 a23 … a2n b2
:
.
am1 am2 am3 … amn bm
SUSUNAN PERSAMAAN LINIER
HOMOGEN
AX=0
NON HOMOGEN
AX=B, B≠0
SELALU ADA JAWAB
TAK PUNYA JAWAB
R(a)≠r(A,B)
MEMPUNYAI JAWAB
JAWAB HANYA
JAWAB TRIVIAL
(NOL);R=N
SELAIN JAWAB TRIVIAL,
ADA JUGA JAWAB
NONTRIVIAL R<N
JAWAB UNIK
(TUNGGAL)
R=N
BANYAK
JAWAB
R<N
Untuk menyelesaikan persamaan linier menggunakan metode ”Gauss. Jordan” yaitu: merubah matriks augmented (A|B) menjadi matriks eselon terreduksi dengan cara melakukan transformasi elementer.
Bentuk umum: Ax = B, dimana B≠0
Sistem Persamaan linier non homogen akan mempunyai jawab bila :
Rank(A) = Rank(A|B)
Contoh ;
1. carilah titik persekutuan garis. -3x+6y = -9 dengan garis. x-2y = 3
Jawab:
-3x+6y=-9
x-2y=3
Dalam bentuk matriks=
0:00
3:21B
9:63
3:21B
3:21
9:63-B)|(A
BxA 3
9
21
63
~
(3)
21~12
atauy
x
R(a)=r(A|B)=1 r<n Jumlah variabel=2 1<2 Jadi jawabnya tidak tunggal.
Sistem Persamaan Linier Non Homogen
Contoh 2. Selesaikan sistem persamaan linier non homogen
Di bawah ini :
Jawab :
4 2x 4x 2x
3 x 3x 4x
1 2x x 3x
2 x 2x x
321
321
321
321
B xA
4
3
1
2
x
x
x
242
134
213
121
3
2
1
4242
3134
1213
2121~
)3(
21B
~
)4(
31B
~
)2(
41B
0000
55110
5550
2121
~
)5/1(
2B
0000
55110
1110
2121
0000
55110
1110
2121~
)2(
12B
)11(
32B
0000
6600
1110
0101~
)6/1(
3B
0000
1100
1110
0101~
)1(
13B
)1(
23B
0000
1100
0010
1001
Rank (A) = R (A|B) = 3 =banyaknya variabel
Jadi jawabnya tunggal
Matriks lengkap di atas menyatakan:
Sehingga sebagai penyelesaiannya :
1 x 1 x 0x 0x
0 xatau 0 0x x 0x
1 x 1 0x 0x x
3321
2321
1321
1
0
1
x
x
x
x
3
2
1
Sistem Persamaan Linier Homogen
Bentuk umum: Ax = 0, yaitu:
a11 x1 + a12 x2 + ... a1n xn = 0
a21 x2 + a22 x2 + ... a2n xn = 0
am1 xm+am2 xm + ... amn xn = 0 Atau=
0
0
0
2
1
2
22221
11211
nmnmmn
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
Matriks A berukuran (m x n) Matriks x berukuran (n x 1) Matriks o berukuran (m x 1) Karena matriks lengkapnya (A|Õ) maka akan selalu berlaku rank (A)=rank (A|Õ). Sehingga sistem persamaan linier homogen selalu mempunyai jawab (konsisten).
Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan linier dibawah ini :
Jawab :
Sehingga solusinya :
Yaitu solusi trivial atau
0 x 2x x
0 2x x x
0 x x x
321
321
321
0
0
0
x
x
x
121
211
111
atau
3
2
1
0121
0211
0111
0)|(A~
)1(
21B
)1(
31B
0010
0100
0111~23B
0100
0010
0111~
)1(
12B
)1(
13B
0100
0010
0001
0 x 0x 0x
0 0x x 0x
0 0x 0x x
321
321
321
0 x, 0 x, 0 x 321
0 x
2. Selesaikan sistem persamaan linier di bawah ini :
Jawab :
0 x x2x
0 4x 2x 3x x
0 x x x x
431
4321
4321
0
0
0
x
x
x
x
1102
4231
1111
atau
4
3
2
1
01102
04231
01111
0)|A(~
)1(
21B
)2(
31B
03120
03120
01111~
)1(
32B
Rank (A) = (A|0) = 2< n = 4
jadi solusinya tidak tunggal
(banyak)
00000
03120
01111~
)2/1(
2B
00000
02/32/110
01111~
)1(
12B
00000
02/32/110
02/12/101
0 x2
3 x
2
1 x 0x
0 x2
1 x
2
1 0x x
4321
4321
432
431
x2
3 x
2
1 x
x2
1 x
2
1x
Dimana : x3 dan x4 bebas.
Sehingga :
Berlaku untuk setiap bilangan riil a & b
b 2
3 a
2
1- x
b 2
1 a
2
1- didapat x
b dan x a untuk x
2
1
43
1
0
3/2-
1/2
b
0
1
1/2-
1/2-
a
b0a
0ba
3/2b-1/2a-
1/2b1/2a-
x
x
x
x
x
4
3
2
1