sistem linear dalam aljabar maks-plus - digilib.uns.ac.id · jika suatu sistem persamaan linear...
TRANSCRIPT
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
oleh
ANITA NUR MUSLIMAH
M01009009
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2013
i
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRAK
Anita Nur Muslimah. 2013. SISTEM LINEARDALAMALJABARMAKS-PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas SebelasMaret.
Aljabar maks-plus adalah aljabar linear atas semiring R dengan R = R ∪{−∞} yang dilengkapi dengan operasi “⊕” yang menyatakan maksimum dan“⊗” yang menyatakan plus. Sistem linear dalam aljabar maks-plus terdiri atassistem persamaan linear dan sistem pertidaksamaan linear. Penelitian ini ber-tujuan mengkaji ulang penyelesaian dari sistem linear dalam aljabar maks-plusdan kaitannya dengan himpunan bayangan dan matriks reguler kuat. Metodeyang digunakan dalam skripsi ini adalah studi literatur. Jika matriks A ada-lah matriks reguler kuat maka banyaknya penyelesaian sistem A⊗ x = b adalah0, 1, atau ∞. Jika suatu sistem persamaan linear memiliki penyelesaian tunggalmaka himpunan bayangan dari matriks A adalah himpunan bayangan sederhana.
Kata kunci: sistem linear aljabar maks-plus, himpunan bayangan, matriksreguler kuat
iii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRACT
Anita Nur Muslimah. 2013. LINEAR SYSTEM INMAX-PLUS ALGEBRA.Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Max-plus algebra is the linear algebra over the semiring R where R =R ∪ {−∞}, with the operations “⊕” which is maximum and “⊗” which is plus.There are two linear systems in the max-plus algebra. These are system of linearequations and system of linear inequalities. The purpose of this research is toreview the solution of linear system in max-plus algebra and its relation withthe image set and the strongly regular matrices. This essay method is study ofliterature. If A is a strongly regular matrix then the solution of system A⊗x = bis 0, 1 or ∞. If a system of linear equations has a unique solution then the imageof matrix A is a simple image set.
Key words: linear system of max-plus algebra, image set, strongly regularmatrices
iv
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat selesai. Penulis
menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini, penulis mendapat bimbingan, du-
kungan dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan
terima kasih kepada
1. Bapak Drs. Siswanto, M.Si. selaku Pembimbing I yang telah membimbing
dalam penelitian ini dan Ibu Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. se-
laku Pembimbing II yang telah membimbing dalam penulisan skripsi ini,
dan
2. semua pihak yang telah membantu.
Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.
Surakarta, Desember 2013
Penulis
v
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
MOTO
Lakukan yang terbaik.
(Penulis)
vi
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
PERSEMBAHAN
Skripsi ini saya persembahkan kepada Bapak, Ibu dan kakakku.
vii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
HALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
I PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II LANDASAN TEORI 4
2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 Aljabar Min-Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Kerangka Berpikir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
IIIMETODE PENELITIAN 11
IVPEMBAHASAN 13
viii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
4.1 Sistem Persamaan Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Sistem Pertidaksamaan Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Himpunan Bayangan dan Matriks Reguler Kuat . . . . . . . . . . 25
V PENUTUP 38
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
DAFTAR PUSTAKA 39
LAMPIRAN 41
ix
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Bab I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Tam [13] menyebutkan bahwa banyak teknologi pada bidang produksi yang
dikembangkan dalam periode 1970-an dan 1980-an. Di bidang produksi terdapat
penjadwalan mesin, antrian dan proses jaringan. Tiga hal tersebut adalah contoh
discrete event system (DES ). Menurut Schutter dan Boom [11], DES adalah
nonlinear dalam (R,+,×). Namun, DES dapat diubah menjadi sistem linear
dalam aljabar maks-plus. Tam [13] menyebutkan bahwa aljabar maks-plus adalah
aljabar linear atas semiring R dengan R = R ∪ {−∞} yang dilengkapi dengan
operasi “⊕” yang menyatakan maksimum dan “⊗” yang menyatakan plus.
Penjadwalan mesin di pabrik adalah contoh DES yang linear dalam aljabar
maks-plus. Misalkan aij adalah lamanya mesin Mj memproduksi komponen Pi
yang dibutuhkan mesin Mi untuk tahap selanjutnya, xj(k) adalah waktu mu-
lai mesin Mj untuk tahap ke-k, dengan i = 1, . . . ,m dan j = 1, . . . , n. Jadi,
waktu selesai setiap mesin memproduksi komponen Pi untuk tahap ke-k ada-
lah aij + xj(k − 1). Oleh karena itu, waktu mulai mesin Mi untuk tahap ke-k
adalah maksimum dari waktu selesai setiap mesin Mj memproduksi komponen
Pi (maks{ai1 + x1(k − 1), . . . , ain + xn(k − 1)}, dengan k = 2, 3, . . .). Dengan
demikian, waktu mulai setiap mesin Mi untuk tahap ke-k + 1 adalah
xi(k + 1) = maks{ai1 + x1(k), . . . , ain + xn(k)}. (1.1)
Di dalam (R,+,×), persamaan (1.1) adalah nonlinear. Namun, di dalam maks-
plus persamaan (1.1) dapat disajikan sebagai
xi(k + 1) = ai1 ⊗ x1(k)⊕ . . .⊕ ain ⊗ xn(k)
1
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
yang linear. Jadi, sistem yang memuat waktu mulai setiap mesin Mi untuk tahap
ke-k + 1 dapat ditulis sebagaix1(k + 1)
x2(k + 1)...
xm(k + 1)
=
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
......
...
am1 am2 . . . amn
⊗
x1(k)
x2(k)...
xn(k)
atau x(k + 1) = A ⊗ x(k), dengan x(k) =
(x1(k) x2(k) . . . xn(k)
)T
adalah
vektor yang memuat waktu mulai setiap mesin Mj untuk tahap ke-k.
Menurut Tam [13], ide aljabar maks-plus ditemukan pertama kali pada ta-
hun 1950-an. Pada tahun 1960, Cuninghame-Green mempublikasikan metode
kolom maksimum untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear. Setelah
itu, Cuninghame-Green [8] mempublikasikan buku yang salah satu bahasannya
adalah metode residu untuk menyelesaikan suatu sistem linear pada tahun 1979.
Kemudian, publikasi tentang sistem linear dilakukan lagi pada tahun 2000 dan
2003 oleh Butkovic [4, 5]. Pada artikelnya tersebut dibahas himpunan bayangan
sederhana pada pemetaan linear (maks,+) dan hubungan antara aljabar maks-
plus dengan kombinatorik. Lalu pada tahun 2010, Tam [13] mempublikasikan
tesisnya yang memuat sistem linear pada aljabar maks-plus, himpunan bayangan
serta matriks reguler kuat.
Sebagaimana yang ditulis oleh Tam [13], himpunan bayangan dinotasikan
dengan Im(A), yaitu Im(A) = {A ⊗ x|x ∈ Rn}. Kemudian, untuk vektor-
vektor A1, A2, . . . , An ∈ Rm yang bebas linear kuat, jika m = n maka matriks
A = (A1, A2, . . . , An) disebut matriks reguler kuat. Tam [13] dan Butkovic [4]
menyebutkan bahwa penyelesaian sistem persamaan linear dalam aljabar maks-
plus memiliki kaitan dengan himpunan bayangan dan matriks reguler kuat. Oleh
karena itu, dalam skripsi ini dikaji ulang sistem linear dalam aljabar maks-plus,
termasuk himpunan bayangan dan matriks reguler kuat dari sistem persamaan
linear aljabar maks-plus yang telah dibahas dalam Tam [13] dan Butkovic [4]. Se-
lain itu, penulis juga memberikan pembuktian yang belum dijelaskan dan contoh-
contoh dari teorema.
2
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut dapat dirumuskan tiga masalah yaitu
1. bagaimana menentukan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus
dan penyelesaiannya?
2. bagaimana menentukan sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-
plus dan penyelesaiannya?
3. bagaimana kaitan antara penyelesaian dari sistem persamaan linear aljabar
maks-plus dengan himpunan bayangan dan matriks reguler kuat?
1.3 Tujuan
Penelitian ini bertujuan untuk
1. menentukan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus dan penye-
lesaiannya,
2. menentukan sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-plus dan pe-
nyelesaiannya, dan
3. menjelaskan kaitan antara penyelesaian dari sistem persamaan linear alja-
bar maks-plus dengan himpunan bayangan dan matriks reguler kuat.
1.4 Manfaat
Skripsi ini diharapkan dapat memberikan penjelasan yang rinci mengenai
sistem linear dalam aljabar maks-plus dan penyelesaiannya berdasarkan hasil
penelitian yang telah dilakukan oleh peneliti sebelumnya.
3