siruri
DESCRIPTION
ujujTRANSCRIPT
2.1. SIRURI. LIMITE DE SIRURI. CRITERII DE CONVERGENTA.
2.1.1. NOTUNEA DE SIR. PROPRIETATI.
BREVIAR TEORETICDefinitie: Fie .},1,..1,0{\ NppNN p = Functia pnnRanfRNf np = ,,)(,:se numeste sir de numere reale si se noteaza prin . Indicele n al termenilor siruluise numeste rangul termenului.
pnna )(
Definitie: Fie o functie strict crescatoare,pNNg : pk Nnkg =)( . Atunci functiase numeste subsir al sirului si se noteaza prin
.
RakgfRNgfkn=))((,: oo pnna )(
0)( knka
Exemplu:.!)(,)( 1 naRa n
nnn = Atunci subsiruri ale siruluidat sunt, spre exemplu:)!2(,)( 212 naa nnn = adica subsirul termenilor de rang par ;
)!12(,)( 12112 = naa nnn adica subsirul termenilor de rang impar.Studiul sirurilor comporta urmattoarele patru aspecte majore:
Monotonie;Marginire;Convergenta;Limita;
Intre acestea exista relatii de dependenta si subordonare .
2.1.2. DEFINIREA SI STUDIUL MONOTONIEI SIRURILOR.
Fie Ra nn 0)(
Spunem ca este .0)( nna0,,
tan 1
1
1
1
1
=
<
>
+
+
+
+
+
nn
aatconsaaordescrescatmonotonaaordescrescatstrictaacrescatormonotonaacrescatorstrict
nn
nn
nn
nn
nn
In aplicatii, utilizam, de obicei , doua criterii:
Criteriul diferentei: .
=
<
>
+
.00
0,000
1
ctmsnnms
aa nn
Criteriul raportului:
=
<
>
+
.11
0,111
1
ctmsnnms
aa
n
n(numai in cazul sirurilor strict pozitive)
2.1.3. DEFINIREA SI STUDIUL MARGINIRII SIRURILOR.
Fie Ra nn 0)( .
Atunci este0)( nna
n
n
n
aninitmManRMeriorinitmmanRmeriorinitm
0,0arg0,suparg0,infarg
.
Fata de studiul monotoniei, studiul marginirii nu se bazeaza pe o modaltate generala deabordare ci difera de la caz la caz. Totusi, este de preferat ca studiul marginirii sa se facadupa stabilirea monotoniei, dupa cum se observa in exemplele urmatoare:
0,1
1,)( 0 += n
naRa nnn . Evident 0,0> nan , deci sir strict pozitiv si, in
consecinta, marginit inferior. Utilizand criteriul raportului pentru stabilirea
monotoniei, obtinem: 121
11
211 <
++
=+
+=+
nnn
naa
n
n , deci sirul este strict
descrescator, de unde avem:0,10 0 =< naan , deci alegand 1= avem indeplinita conditia marginirii sirului.
1,1)1(,)( 1 = nn
aRb nnnn .se poate remarca usor ca sirul dat contine doua
subsiruri: 1,21
2 = nn
b n si 1,12
112 = n
nb n , cu proprietatile:
=11212 )()( nnnn bb si 111212 )()()( = nnnnnn bbb .Se verifica usor ca este un subsir strict descrescator, strict pozitiv, deci marginit,)( 2nb
1,210 22 =< nbb n , iar sirul )1( 2nb este un subsir strict crescator, strict negativ,
deci marginit, .01 121 <= nbb
In concluzie, nu este monoton, dar este marginit,)( nb 1,211 nbn .
Observatii:In stabilirea marginirii putem utiliza ingalitati algebrice, prelucrari ale formuleigenerale ce defineste sirul sau proprietati de marginire ale unor functii;Orice sir periodic este marginit si nemonoton.
2.1.4. DEFINIREA LIMITEI DE SIR.
Fie . Reamintim caRa nn 0)( }{= RR semnifica dreapta reala incheiata.
Spunem ca are limita0)( nna Rl daca NnVV Vl , astfel incat avem. (definitia cu vecinatati).
VnnVan
In cazul in care (deci in cazul limitelor finite) avem conditia echivalenta:Rl0)( nna are limita 0,0> nRl astfel incat nn avem <lan .
In cazul existentei limitei , utilizam scrierea: lan =limAsupra limitei de sir se pot face doua tipuri de analize:
analiza calitativa, ce consta in stabilirea existentei limitei de sir; analiza cantitativa, ce consta in determinarea valorii limitei, atunci cand exista.
In fapt, analiza calitativa a limitei se intrepatrunde cu studiul convergentei sirurilor.Observatie:
Pentru a arata ca un sir nu are limita, este suficient sa demonstram ca existadoua subsiruri distincte ale sirului dat care au limite diferite;
0)( nna
Orice sir periodic neconstant nu are limita.Exemplu:
0)( nna , . Se pot identifica subsirurile:0,)1(= nna nn = n
nnn naa 2,)( 202
si , deci sirul nu are limita.= nnnn naa )12(,)( 12012 0)( nna
2.1.5. DEFINIREA CONVERGENTEI SIRURILOR.
Spunem ca este un sir convergent daca admite limita finita.Ra nn 0)(Un sir care nu are limita finita spunem ca este divergent, avand doua tipuri de divergenta:
divergent cu limita (infinita); divergent fara limita (nu exista limita).
2.1.6. STUDIUL LIMITEI DE SIR.
In aplicatii, stabilirea existentei si valorii limitei unui sir apeleaza mai rar la definitiile cuvecinatati sau cu , deoarece, plecand de la definitii, au fost stabilite urmatoareledirectii:A) Criterii de comparatie si alte criterii;
Criteriul majorarii: Fie doua siruri de numere reale,nn yx , 0n si . Daca astfel incat
NkRl kn avem nn ylx si , atunci .0n
ny lx nn
Criteriul clestelui: Fie trei siruri de numere reale,nnn zyx ,, 0n si . DacaNk
Rl astfel incat kn avem nnn zyx si , atunci.
lzlx nn
nn ,
ly nn
Criteriul raportului: Fie sir de numere strict pozitive. Daca*0)( +Rx nn Rl
astfel incat lx
x
n
n =+1lim , atunci:
Daca atunci ;)1,0[l 0lim =nx
Daca atunci),1(l =nxlim ;Daca l=1 nu putem afirma nimic despre natura limitei.
Criteriul Stolz-Cesaro: Fie siruri de numere reale astfel incat este
strict monoton si nemarginit (de la un rang incolo) si exista
00 )(,)( nnnn ba )( nb
Rlbbaa
nn
nn =+
+
1
1lim . Atunci
exista lba
n
n =lim .
Criteriul D’Alembert (radical): Fie sir de numere strict pozitive. Daca*0)( +Rx nn
Rl astfel incat lx
x
n
n =+1lim , atunci exista lxnn =lim .
Exemple:
Calculati .1
!sinlim+
+n
nn Bazandu-ne pe marginirea functiei sinus, avem o aplicatie
la criteriul clestelui, astfel:
.0,111
1!sin
111!sin1 =
++
++
+n
nn
nnn
nnn Cum 1
11lim =
+nn , rezulta
ca .11
!sinlim =+
+n
nn
Calculati .!
2limn
n
Utilizand criteriul raportului pentru sirul!
2,)( 0 naa
n
nnn = , cum
sirul este strict pozitiv si =+
=+ 01
2limlim 1
naa
n
n .0!
2lim =n
n
Calculati )1...2
11(1limnn
+++ . Notam 1,1...2
11 +++= nn
an si
, avem o aplicatie la criteriul Stolz-Cesaro, deoarece este strict
crescator si nemarginit, iar
1,= nnbn )( nb
01
1limlim1
1 =+
=+
+
nbbaa
nn
nn . In concluzie,
0)1...2
11(1lim =+++nn
.
Calculati n
nn
521lim
2
++ . Notam 1,
5212
++
= nn
nx nn . Utilizam criteriul radical si cum
132322652lim
112
321)1(limlim 23
23
2
21 =
++++++
=++
+++
=+
nnnnnn
nn
nn
xx
n
n (limita rationala, grade
egale, raportul coeficientilor dominanti este 1), rezulta .1521lim
2
=++
n
nn
B) Operatii cu limite de siruri;In cele mai multe cazuri, avand data o operatie intre doua siruri de numere reale, operatiece poate fi adunarea, inmultirea, impartirea, ridicarea la putere, calculul limiteirezultatului operarii da acelasi rezultat ca si rezultatul operatiei dintre limitele celor douasiruri. Pe scurt notand “*” operatia la care facem referire, in anumite ipoteze care semodifica de la caz la caz , avem )(lim*)(lim)*lim( nnnn baba = . Pentru fiecare tip deoperatie in parte, avem cazuri de nedeterminare:
(pentru adunare); (pentru inmultire);0 ,00 (pentru impartire);
(pentru ridicarea la putere).
00 0,,1
Considerand in cele ce urmeaza ca literele sau numerele utilizate reprezinta limite desiruri,reamintim cateva rezultate de operatii cu limite de siruri:ADUNARE INMULTIRE IMPARTIRE PUTERI
.;;
==+=±a
;))((;))((
;sgn)(
==±=
m
aa
existanu
bb
existanuaa
b
b
a
a
a
b
+
±±±
±
±
+
±
==
±=
=
±=
=
0
00
0
0
0
;;0,sgn
;0
;0,sgn;0,0
m
+
+
+
+
=
=
=
=
<<+>
=
<<>+
=
0)(;)(
;)0(;)0(
10,1,0
10,01,
aa
a
aa
a
C) Siruri tip si formule;
1.<>+
==++++;0,;0,
lim)...lim( 011
1k
kkk
kk
kk a
anaananaana
2. ;=>+
=
1,)1,1(,0
1,11,
lim
aexistanua
aa
a n
3.
>
<=
==++++++++
pkba
pkpk
nn
ba
bnbnbnbananana
p
k
ba
p
k
p
kp
pp
p
kk
kk
p
k
,)sgn(
,0,
lim......
lim01
11
011
1 ;
4. en
n =+ )11lim( ; )(,)11lim( =+ nnn
aeaa
; )0(,)1lim(1
=+ nn aea na ;
5. ),0(,)1lim( lim=+ nnbab
n baea nnn ;
6. )0(,ln1lim = nn
x
xax
a n
; )0(,11lim = nn
x
xx
e n
;
7. )0(,1)1ln(
lim =+
nn
n aa
a;
8. )0(,1limarcsin
limlimsin
lim ==== nn
n
n
n
n
n
n
n aa
arctgaa
aa
tgaa
a;
9. )0(,1)1(
lim =+
nn
rn ar
aa
;
10. 1lim =n n ; 11. 0lnlim =nn ; 12. 0lim =ne
n ; 13. )0(,!lim >= aan
n ;
14. =++++ )1...31
211lim(
n;
15. ...57721,0,)ln1...31
211lim( =++++ ccn
nconstanta lui Euler;
16. en
=++++ )!
1...!2
1!1
11lim( ;
D) Metode de eliminare a nedeterminarilor.
Unele dintre cele mai folosite metode de eliminare a nedeterminarilor sunt: scoaterea de factor comun fortat (pentru cazul )
Exemplu:=== )1lim(lim)lim( nnnn ;
amplificarea cu expresii conjugate (pentru cazul , cand contine radicali)Exemplu:
01
1lim1
1lim)1lim(22
222 =
++=
++
+=+
nnnnnnnn ;
prelucrarea termenilor generali in siruri definite ca suma/produs:Exemplu:
21)
121
11(
21lim
]12
112
1[21lim
)12)(12(1lim)
)12)(12(1...
531
311lim(
1 1
=+
=
=+
=+
=+
+++= =
n
kkkknn
n
k
n
k
prelucrarea nedeterminarilor si aducerea lor la cazurile ,00 :
))(
1(,00
0100
11gg
ffgf ==== ; ))(
1(,1011ff
gggf ==== ;
Utilizand formula algebrica )/1(ln
ln gf
fgg eef == avem ; ; .01 = e )(000 = e = 00 eAceste transformari sunt indicate pentru utilizarea rezultatelor obtinute cu ajutorulRegulii L’Hospital, in cazul limitelor de functii.Exemple:
;==+ 33 2lim)152lim( nnn;===+ )(4)4lim()124lim( 55 nnn
)12
(,)2
lim( >=n ;
0)65lim(
]1)31[(6
]1)54()
53[(5
lim62
543lim ==+
++=
+++ n
nn
nnn
nn
nnn
;
=n)23
12lim( , verficandu-se ca 2312 > prin ridicari succesive la
patrat;
43
1413lim =
+nn ; (raport de polinoame de acelasi grad, raportul coefcientilor dominanti
fiind ¾);
=+14
13lim2
nn ; (grad numarator>grad numitor, ¾>0);
=12
31lim2
nn ; (grad numarator>grad numitor, -3/2<0);
0)3)(52)(3)(1(
)2)(1(lim =++++
nnnnnnn ; (grad numarator<grad numitor);
eeee
nnn
nnn
nnn
nnn
nn
nnn
nn
nn
nn
/1
11lim1
111lim
11lim
112lim
21
lim
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
222
=====
=++
+=++
++=
+++
++
++
++
+++
3ln13lim)13(lim1
1
==n
nnn ;
1)1(
11
)1
11ln(lim
1ln)1lim( =
+
++
=+
+
n
nn
nn ;
011
2lim)11lim( =++
=+nn
nn ; (amplficare cu conjugata);
==+=+ )21(lim1211lim)121lim( nnn
nnn ;
( ) ( )000
213lim
22lim21lim2lim
)221lim()841lim(
=+=
=++
++
=++=
=++=++
nnnnnnnn
nnnnnn
Aplicatii:1. Studiati monotonia, marginirea si convergenta sirurilor:
a)3
2,)( 21 +=
nnaa nnn ; b)
naa
n
nnn)1(1,)( 1
+= ; c) 5,12,)( 1
11 =+= c
caa
nnnn ;
2. Utilizand criterii de comparatie, calculati limitele:
a)n
n++++++
...21sin...2sin1sinlim ; b)
+++
++
+ nnnn 222
1...2
11
1lim ;
3. Utilizand criteriul raportului, calculati Rana n
,!
lim ; discutie dupa parametrul a.
4. Utilizand criteriile Stolz-Cesaro si D’Alembert, calculati limitele:
a) +++ 2
1...211lim
nnn; b)
)2)(1(...33221lim
222
++++++
nnnnn ; c) n n!lim ;
d)nnlnlim ;
5. Calculati limitele:
a) 14342lim++
+nn
nn
; b) ; c)ne)lim( ++++ n21...
21
211lim 2 ; d)
nnn
sin1lim 2
2
+;
e))7)...(2)(1()7)...(2)(1(lim +++
nnnnnnn ; f)
nn
nn
1
1
lim+
; g)2
11lim
n
nn + ; h)
n
nn
1
11lim + ;
i)2
13limn
n+ ; j)
n
n
1
13lim ; k) *,523lim ++
+ Raann
nn
; l)11
2lim++
+nn
nn ;
m) ( )11lim 22 + nnn ; n) ( )[ ]nnnn 11lim 22 + ; o) ( )nnn +3 3 13lim ;p) ( ) Nknnn k + ,11lim , (discutie dupa parametrul k);
r)n
nn
nn
++
4332lim ; s) n
nnnnnn ))...(2)(1(lim +++ ; t) n n
nnn CCC ...lim 21 .