En éste capítulo aplicaremos conceptos vistos en el tema anterior para determinar las dimensiones de mecanismos de

barras articuladas que satisfagan condiciones de posición, velocidad y

aceleración, así como para conducir cuerpos rígidos y

generar trayectorias, además se aplicaran métodos para obtener el circulo de inflexión, la

cubica de curvatura estacionaria y los mecanismos cognados

Síntesis de Mecanismos con Pares Cinemáticos Inferiores

SINTESIS DE MECANISMOS CON PARES INFERIORES.

INTRODUCCIÓN

El diseño es el proceso de establecer tamaños, formas, composiciones de los materiales y disposiciones de las piezas de tal modo que la máquina resultante desempeñe las tareas específicas

Al proceso de idear un patrón o un método para lograr un propósito dado podría llamarse adecuadamente Síntesis.

Dentro de este proceso existen diversas fases, que permiten que éste pueda plantearse de un modo científico y bien ordenado, por lo que podría considerarse como arte o ciencia, ya que requiere imaginación, creatividad, sentido común y experiencia.

El papel de la ciencia dentro del proceso de diseño es proveer las herramientas que proporcionen información exacta y digna de confianza que utilice el diseñador para poner en práctica su arte. Sin embargo estas, no pueden tomar decisiones suplantando a los diseñadores quienes ponen en práctica su imaginación y capacidad creativa, al grado de pasar en algunas ocasiones por encima de las predicciones matemáticas.

Para propósitos del curso nos vamos a referir básicamente a algunos métodos de síntesis que se aplican a los mecanismos de 4 barras articuladas (RRRR) y algunos mecanismos pistón biela manivela (RRRP), de los cuales se tiene el antecedente de algunas ecuaciones que serán aplicadas como la ecuación de Freudenstein y sus derivadas.

Posteriormente se aplica el teorema de Robert-Chebychev a los mecanismos Cognados, en seguida la aplicación de la ecuación de Euler-Savary en el Circulo de Inflexión y finalizando con la Cúbica de Curvatura Estacionaria.

-2

SINTESIS DE ESLABONAMIENTOS

El término síntesis cinemática se refiere al diseño o creación de un mecanismo para obtener un conjunto deseado de características de movimiento. Es muy amplia la variedad de técnicas disponibles, algunas de las cuales suelen ser en extremo abrumadoras en este tema se presentan algunos de los procedimientos más útiles para ilustrar la aplicación.

SINTESIS DEL TIPO, DEL NUMERO Y DIMENSIONAL

La síntesis del tipo se refiere a la clase de mecanismos seleccionado, por ejemplo eslabonamientos, sistema de engranes, bandas y poleas o un sistema de levas: ésta fase del problema total del diseño comprende factores de diseño tales como los procesos de manufactura, materiales, seguridad, confiabilidad, espacio y economía.

La síntesis del número se ocupa de la cantidad de eslabones, articulaciones o pares, que se requieren para obtener una movilidad determinada, puede decirse que es el segundo paso en el diseño. Recibe el nombre de Síntesis dimensional a la determinación de las dimensiones de los eslabones individuales y es el propósito en este capítulo.

En el estudio del procedimiento para obtener las dimensiones de mecanismos con barras articuladas que produzcan un movimiento deseado, se considera que los parámetros a determinar forman un conjunto finito, lo que implica que las ecuaciones obtenidas son de carácter algebraico.

Pueden presentarse algunos defectos, como son el de rama y de orden los cuales pueden presentarse y confundir al diseñador.

El primero se refiere a un eslabonamiento que satisface todas las necesidades de posición, pero tiene puntos del acoplador en ambas ramas de la curva del acoplador.

El defecto de orden se refiere a un eslabonamiento desarrollado que satisface todas las necesidades de posición pero no en el orden correcto.

Los alcances que se tienen para el tema de síntesis comprenden cuatro casos básicos:

- Generación de funciones de una variable independiente.- Condiciones de posición velocidad y aceleración.- Conducción de cuerpo rígido.- Generación de trayectorias.

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SINTESIS DE MECANISMOS PARA GENERACION DE FUNCIONES.

Una de las necesidades en el diseño es la de hacer que un elemento de salida gire, oscile, o tenga un movimiento alternativo según una función de tiempo, o bien, una función de entrada especificada. Eso se conoce con el nombre de generación de la función. Un primer ejemplo es generar la función de y= f(x). En este caso x podría representar el movimiento de la manivela de entrada y el eslabonamiento se diseñaría de tal modo que el movimiento del elemento de salida, sea una aproximación de la función y.

Contaremos con datos siguientes:

a) La función que se va a generar.b) Un intervalo para el ángulo de entrada o para el ángulo de salida, o bien, para

ambos, o bien, una ecuación del comportamiento.c) La ecuación de Freudenstein será la ecuación de diseño.d) En algunos casos unos puntos específicos llamados de precisión que se pueden

obtener mediante la ecuación de Chebyshev

La mejor manera de entender ésta metodología y desarrollar la habilidad de planteamiento es mediante ejemplos ilustrativos.

Ejemplo:

Diseñar un mecanismo RRRR que genere la función φ = π - 3

2ψ

para un intervalo del

ángulo de entrada30o≤ψ≤60o

Para solucionar este problema tomamos en cuenta que no se especifican puntos de precisión, por lo tanto, escogemos arbitrariamente tres valores deψ del intervalo que al sustituirlos en la función a generar, darán origen a tres valores de φ siendo estos:

ψ1=30 ° ϕ1=π−32

ψ1=34

π

ψ2=45° ϕ2=π−32

ψ2=58

π

ψ3=60 ° ϕ3=π−32

ψ3=π2

Como se puede observar, se forman tres pares de valores de ángulos de entrada y salida. Además con la ecuación de Freudenstein podemos formar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

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K1 cosθ4 - K2 cosθ2 + K3 = cos (θ2 - θ4 )

Siendo:

K1 = da

; K2 = dc Y

K3 = a2 - b2 + c2 + d2

2ac

Si se considera a ψ y φ los ángulos de entrada y salida respectivamente, la ecuación de Freudenstein puede escribirse como:K1 cos φ - K2 cosψ + K3 = cos(ψ - φ )

K1 = a1

a2 K2 =

a1

a4 K3 =

a22−a3

2+a42+a1

2

2 a2 a4

K1 cos (112 .5o ) - K2cos (45o ) + K3 = cos(45o - 112 . 5o )

K1 cos (135o ) - K2 cos (30o ) + K3 = cos ( 30o - 135o )

K1cos (90o ) - K2cos (60o ) + K 3 = cos (60o - 90o )

- 0.71 K1 - 0.87 K2 + K3 = - 0.26 I- 0.38 K1 - 0.71 K2 + K3 = 0.38 II 0.00 K1 - 0.50 K2 + K3 = 0.87 III

Resolviendo el sistema tenemos: K1 = 8.79 K2 = -13.911 K3 = - 6.089

Asignando un valor unitario al elemento fijo, los demás elementos tendrán valores en base a ese, además con los valores de las constantes finalmente se tienen las dimensiones delas barras del mecanismo siendo estas:

a2 = 1K1

= 0 .1137

a4 = a1

K2 = 0 .07189

a3 = √a12+a2

2+a42 -2 K3 a2 a4 = 0 .935

FIG(II-01)

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Otra manera de solución del problema es la siguiente; como es un mecanismo RRRR, la ecuación de diseño es la de Freudenstein expresada como sigue. K1 - K2 cos φi + K3 cosψ i + cos (φi - ψ i) = 0 Además como la función a generar

esφ = π - 3

2ψ

, y además el intervalo es 30o≤ψ≤60o escogemos arbitrariamente

tres valores de ψ se obtienen tres valores de φ, siendo estos

ψ1 = π6

, φ1 = 34

π ; ψ2 = π4

, φ2 = 58

π ; ψ3 = π3

, φ3 = π2 Sustituyendo estos

valores deψ i yφ i , i=1,2, 3 en la ecuación de Freudenstein, se tiene:

K1 - K2 cos135o + K3 cos 30o + cos( 135o - 30o ) = 0

K1 - K2 cos 112 .5o + K3 cos45o + cos (112 .5o - 45o ) = 0

K1 - K2 cos 90o + K3 cos60o + cos(90o - 60o ) = 0

Resolviendo el sistema anterior se obtiene:

K1 = 6.05 ; K2 = 8.75 ; K3 = -13.83 haciendo a1= 1, además las constantes

K1 = a3

2−a12−a2

2−a42

2 a2 a4 ; K2 =

a1

a2 ; K3 =

a1

a4Finalmente las dimensiones del mecanismo son:

a1 = 1.0 a2 = 0.114 a3 = 0.96 a4 = - 0.072

Por tanto el mecanismo resultante será el mismo en dimensiones que el obtenido por el método anteriormente empleado

-6

-7

Determine las dimensiones del mecanismo 4R que genere la función: φ = ψ para un

intervalo 30o≤φ≤60o

φ1 = 30o ψ1 = 30o ; φ2 = 45o ψ 2 = 45o

; φ3 = 60o ψ3 = 60o

K1 cos φ - K2 cosψ + K3 = cos(ψ - φ )

K1 = a1

a4 ; K2 =

a1

a2 ; K3 =

a12 + a2

2 - a32 + a4

2

2 a2 a4

K1 cos 30o - K2 cos 30o + K3 = cos( 30o - 30o )

K1 cos 45o - K 2 cos 45o + K 3 = cos (45o - 45o )

K1 cos 60o - K2 cos 60o + K3 = cos (60o - 60o )

0.866 K1 - 0.866 K2 + K3 = 1 I0.707 K1 - 0.707 K2 + K3 = 1 II0.500 K1 - 0.500 K2 + K3 = 1 III

Restando I menos II y simplificando tendremos

0.159 K1 - 0.159 K2 = 0 0.159 K1 = 0.159 K2

K1 = K2

Restando II menos III se tiene 0.207 K1 - 0.207 K2 = 0 K1 = K2

Sustituyendo en III 0.5 K1 - 0.5 K2 + K3 = 1 K3 = 1 ya que K1 = K2

Lo que implica que K1 y K2, pueden tener cualquier valor.

Si hacemos a1 = 1 y  tenemos:

a4 =

a1

K1 = 1 ; a2 =

a1

K2 = 1

El mecanismo que cumple las condiciones tiene el mismo tamaño de barras, por lo que en general cualquier mecanismo de paralelogramo cumplirá con la función φ = ψ

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Ejemplo:

Sintetizar un mecanismo generador de la función: y = 1

x

para un intervalo 1 ≤ x ≤ 2Empleando tres puntos de precisiónEl ángulo de entrada inicial será ψ 0= 30o tendrá un giro total de 90o El ángulo de salida inicial será φo = 240o tendrá un giro total de 90o

La variación de los ángulos es lineal y puede describirse mediante las ecuaciones:ψ = ax + b para el ángulo de entrada y φ = cy + d para el de salida.

Para obtener los puntos de precisión se empleara la ecuación de Chebyshev.

x j = 12( xo + xn+1) - 1

2( xn+1 - xo )cos π (2j - 1)

2n Siendo:n = número de puntos exigidos xo = valor inferior del intervaloxn+1 = valor superior del intervalo j = 1, 2, 3, 4,........, n

x1 = 12(1 + 2 ) - 1

2( 2 - 1 )cos π [ 2(1 ) - 1 ]

2(3 ) ; x1 = 3

2 - 1

2cos π

6 = 1 .06

x2 = 12(1 + 2 ) - 1

2( 2 - 1 )cos π [ 2(2) - 1 ]

2(3) = 3

2 - 1

2cos 3 π

6 x2 = 1.5

x3 = 12(1 + 2 ) - 1

2( 2 - 1 )cos π [ 2(3) - 1 ]

2(3) = 3

2 - 1

2cos 5π

6 x3 = 1.93

Sustituyendo los valores de x1, x2, x3 en la ecuación que define la función, se obtienen los valores que utilizaremos en las ecuaciones correspondientes, siendo estos:

x1 = 1.067 y1 = 0.933; x2 = 1.50 y2 = 0.667; x3 = 1.933 y3 = 0.517

Representemos en una tabla los valores que se obtengan de X, ψ, Y y φ

X ψ y φ

Como sabemos que ψ = ax + b además 30o≤ψ≤120o formamos un sistema de

ecuaciones simultáneas para obtener el valor de las constantes quedando:

30 = axi + b 30 = a (1) + b I120 = axf + b 120 = a (2) + b II

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que b = -60 y a = 90 por lo que

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la ecuación resultante será ψ i = 90 x i - 60 de manera análoga se determinarán las constantes c y d con la ecuación φi = cyi + d obteniéndose c = -180 y d = 420

entonces, φ i = -180 y i + 420 con las ecuaciones anteriores obtendremos los valores de los ángulos de ψ y φψ1 = 90 (1 .067 ) - 60 = 36 .03o

φ1 = -180 (0 .937 )+ 420= 251 .34o

ψ2 = 90 (1 . 5) - 60 = 75 . 00o φ2 = -180 (0 . 667 ) + 420 = 300o

ψ3 = 90 (1 . 933 ) - 60 = 113 . 97 o φ3 = -180 (0 . 517 ) +420 =326 .94o

Con todos los valores antes obtenidos podemos elaborar la tabla, quedando:

X ψ y φ

1 30 1 240

1.067 36.03 0.937 251.34

1.50 75.00 0.667 300

1.933 113.97 0.517 326.94

2 120 0.50 330

Empleando la ecuación de Freudenstein K1 + K2 cosψ + K3 cosφ = cos (ψ - φ ) y sus constantes, podemos sustituir valores y resolver el sistema de ecuaciones simultáneas resultante

K1 + K2 cos 36.03o + K3 cos 251.34o = cos (36.03o - 251.34o)

K1 + K2 cos 75.00o + K3 cos 300.00o = cos (75.00o - 300.00o)

K1 + K2 cos 113.97o + K3 cos 326.94o = cos (113.97o - 326.94o)

K1 + 0.81 K2 - 0.32 K3 = -0.82 IK1 + 0.26 K2 + 0.50 K3 = -0.71 IIK1 - 0.41 K2 + 0.84 K3 = -0.84 III

I menos II 0.55 K2 - 0.82 K3 = -0.11 _____ IV K2 =

0 . 82 K3 - 0 . 110 . 55 _____ VI

II menos III 0.67 K2 - 0.34 K3 = 0.13 V K2 =

0 .13 + 0 . 34 K3

0 . 67 _______ VII

-10

Igualando VI y VII y efectuando operaciones 0.5494 K3 - 0.187 K3 = 0.715 + 0.0737

K3 = 0.40066; sustituyendo K3 en VI K2 = 0.39735

Sustituyendo K3 y K2 en I K1 = -1.01364

Seleccionamosa1 = 1 y sustituyendo obtenemos los valores de las dimensiones de las barras

K2 = a1

a2 a2 = 1

0 .39735 a2 = 2 . 51667

K3 = a1

a4 a4 = 1

0 . 40066 a4 = 2 . 49588

K1 = a3

2−a12−a2

2−a42

2a2 a4 ; a3

2 = 2 K1 a2 a4 + a12 + a2

2+ a42 = 0 . 82902 ; a3 = 0 . 91054

-11

Ejemplo:

Determine las dimensiones un mecanismo 4R como el mostrado en la figura para

generar la función φ = eψ con puntos de precisión en los siguientes valores de ψ :

0, π6

, π4 el intervalo debe ser 0 ≤ψ≤45o

K1 cos φ - K2 cosψ + K3 = cos(ψ - φ )

K1 = a1

a2 ; K2 =

a1

a4 ; K3 =

a22−a3

2+a42+a1

2

2 a2 a4

ψ1 = 0 φ1 = 1

ψ2 = π6

φ2 = 1 .69

ψ3 = π4

φ3 = 2 .19

K1 cos 1 - K2cos 0 + K 3 = cos (0 - 1)

K1 cos 1 .69 - K 2cos π6

K 3π6

K1 cos 2 . 19 - K2 cos π4

+ K3 = cos( π4

- 2 . 19 )

0.54 K1 - K2 + K3 = 0.54 I

- 0.12 K1 - 0.87 K2 + K3 = 0.39 II

- 0.58 K1 - 0.71 K2 + K3 = 0.17 III

Restando I menos II 0.66 K1 - 0.13 K2 = 0.15K 1 =

0 . 15 + 0 . 13 K2

0 . 66

Restando II menos III 0.46 K1 - 0.16 K2 = 0.22K1 =

0 . 22 + 0 .16 K2

0 . 46Igualando las dos ecuaciones anteriores y efectuando operaciones tenemos

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690 + 598 K2 = 1452 + 1056 K2; 458 K2 = -762 ; K2 = -1.66; K1 = -0.1; K3 = -1.07

Con estos valores podemos determinar las dimensiones de las barras del mecanismo

a1 = 1 ; a2 = - 10 . 1

= -10 ; a4 = - 11.66

= -0 . 6

a3 = √a12 + a2

2 + a42 - 2 K3 a2 a4 = 10 . 6

El mecanismo resultante será:

SINTESIS DE MECANISMOS PARA SATISFACER CONDICIONES DE VELOCIDAD Y ACELERACION ADEMAS DE LAS DE DESPLAZAMIENTO

http://www.emc.uji.es/d/IngMecDoc/Mecanismos/index.html

Para la determinación de las dimensiones del mecanismo que pueda cumplir con condiciones de velocidad y aceleración, pueden pedirse que el mecanismo cumpla con condiciones de:

1 desplazamiento 1 de velocidad 1 de aceleración2 desplazamiento 1 de velocidad ó 1 de aceleración

Para obtener las ecuaciones de desplazamiento, velocidad y aceleración, que serán las ecuaciones de diseño, partiremos de la ecuación de Freudenstein, que de antemano sabemos que esta será la ecuación de diseño que debe satisfacerse para que el mecanismo cumpla con determinado desplazamiento.

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K1cos φ - K2 cosψ + K3 - cos (ψ - φ )= 0

K1 = a1

a2 ; K2 =

a1

a4 ; K3 =

a22−a3

2+a12+a4

2

2 a2 a4Derivando la ecuación anterior obtenemos la ecuación de diseño para satisfacer condiciones de velocidad, quedando:−φ̇ K1 sen φ + { ψ̇ K2 sen ψ + (ψ̇ - { φ̇ ¿ ) sen (ψ - φ) = 0 ¿Derivando la expresión anterior obtenemos la ecuación para la aceleración

−K1 [ φ̈ senφ+ φ̇2 cos φ ]+K2[ ψ̈ senψ+ψ̇2 cosψ ]+ ( ψ̈−φ̈ )sen(ψ−φ)+( ψ̇−φ̇ )2 cos (ψ−φ )=0

Tomando otra orientación de vectores de manera similar obtenemos las ecuaciones de diseño.K1 + K2 cosψ + K3 cosφ - cos(ψ - φ )= 0

K1 = a3

2−a12−a2

2−a42

2a2 a4 ; K2 =

a1

a4 ; K3 =

a1

a4Derivando la expresión anterior, obtenemos:−ψ̇ K2 sen ψ - { φ̇ K3 sen φ + ( ψ̇ - { φ̇ ¿) sen (ψ - φ ) = 0 ¿

Derivando la expresión de velocidad, obtenemos la ecuación de diseño de aceleración.

−K2 [ ψ̈ senψ+ψ̇2cosψ ]−K3 [ φ̈ senφ+ φ̇2cos φ ]+ [ ψ̈−φ̈ ]sen(ψ−φ )+( ψ̇−φ̇ )2cos (ψ−φ )=0Ejemplo:

Diseñar un mecanismo de barras articuladas que satisfaga las siguientes condiciones:

ψ1 = 0o ; φ1 = 90o; ψ2 = 90o ; φ2 = 135o ψ 1̇ = -10 rad

seg ; φ1̇ = 1 rad

segPara determinar las dimensiones de los eslabones aplicamos la ecuación de Freudenstein para cada una de las condiciones de desplazamiento quedando:

K1 cos 90o - K2 cos 0o + K3 - cos (-90o) = 0; -K2 + K3 = 0 K2 = K3 ________ I

K1 cos 135 - K2 cos 90o + K3 - cos (-45o) = 0; -0.707 K1 + K3 (-0.707) = 0 ________ II

Aplicando la ecuación de ecuación de velocidad para tener una tercera ecuación

-K1 sen 90o + (-10) K2 sen 0o + (-10 -1) sen (-90o) = 0; -K1 + 11 = 0; K1 = 11

Sustituyendo K1 en II podemos obtener el valor de K3 siendo este

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K3 = 0.707 + 0.707 (11) = 8.49 K2 = K3 = 8.49

K1 = a1

a2 ; K2 =

a1

a4 ; K3 =

a22−a3

2+a42+a1

2

2 a2 a4Haciendo a1 = 1, podemos determinar las dimensiones de las barras

a2 = 111

= 0.0909 a41

8 .49¿0 .1177 ¿

a3 = √a12+a2

2+a42 - 2 K3a2 a4 = 0 . 92

Diseñar un mecanismo de barras articuladas que satisfaga las siguientes condiciones:

ψ1 = 0o ; φ1 = 90o ψ̇1 = -10 radseg

; φ̇1 = 1 radseg

ψ̈1 = 0 ; φ̈1 = 10 radseg2

Sustituyendo en la ecuación de Freudenstein los datos proporcionados

K1 cos 90o - K2 cos 0 + K3 = cos (-90o) _______ I

Sustituimos en la ecuación de la derivada de la ecuación de Freudenstein

-K1 sen 90o - 10 sen 0 + (-10 -1) sen (-90o) = 0 ________II

Sustituimos valores en la ecuación de aceleración para tener el sistema de ecuaciones

-(1)2 K1 cos90o -10 K1 sen90o + (-10)2 K2 cos 0 +0 K2 sen 0 + (-10-1)2 cos (0-90)+ (0-10) sen -90 = 0 ___ III

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtendremos los valores de las constantes

De la ecuación I tenemos -K2 + K3 = 0 K2 = K3;

Con la ecuación II -K1 = -11 K1 = 11

Sustituyendo datos en la ecuación III - 10 K1 +100 K2+ 10 = 0 K2 = 1

-15

Considerando los valores de las constantes

K1 = a1

a2 ; K 2 =

a1

a4 ; K3 =

a22−a3

2+a42+a1

2

2a2 a4

y haciendo a1 = 1

a2 = 1K1

= 0 .09 ; a4 = 1K2

= 1; a3 = √a2

2+a42+a1

2 - 2 K3 a2 a4 = 1 . 35

Obsérvense las diferencias de las barras al cambiar una condición del problema

-16

SINTESIS DE MECANISMOS PARA CONDUCCION DE CUERPOS RIGIDOS

El problema de conducción de cuerpo rígido consiste en determinar las dimensiones de mecanismos que durante su movimiento transporten un cuerpo rígido por posiciones definidas previamente, las cuales tengan una separación finita.

La figura muestra un cuerpo rígido en tres posiciones.

Diseñaremos un mecanismo de 4 barras articuladas que lleve al cuerpo C a tres posiciones separadas finitamente

Podemos localizar la posición del cuerpo C valiéndonos de números

complejos, siendo r⃗ i = ri eiδi

la posición del punto Pi, pero además debemos conocer el ángulo que forma uno de sus lados respecto al marco de referencia, o sea, θi

r e iδ = r 4 e iβ + r5 e iφ + r6 e iγ

De la figura observamos que hay dos trayectorias que nos llevan al punto P es decir

OM + MA + AP = OP

OQ + QB + BP = OPo bien

r⃗ 1 + r⃗ 2 + r⃗ 3 = { r⃗ ¿r⃗ 4 + r⃗5 + r⃗ 6 = { r⃗ ¿

empleando notación compleja las expresiones anteriores quedan de la forma siguiente:

r e iδ = r1 eiα + r2 eiψ + r 3 eiθ

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Sustituyendoe iθ = cosθ + isenθ , y separando la parte real de la compleja da una

ecuación de la forma:a + ib = 0 + i0 además sabiendo quecos2 θ + sen2 θ = 1 podemos eliminar ψ y φ quedando las ecuaciones de la manera siguiente:[ r2

2−r12−r3

2 ] + r1 [ 2r cos(δ−α )] + r3 [ 2r cos (δ−θ )] = r2+r3r1 [2 cos (θ−α ) ][ r5

2−r42−r6

2 ] + r4 [ 2r cos (δ−β ) ] + r6 [ 2r cos (δ−γ ) ] = r2+r 4 r 6[ 2cos (γ−β )]haciendo:

K1 = r1 K5 = r4

K2 = r3 K6 = r6

K3 = r22 - r1

2 - r32 K7 = r5

2 - r42 - r6

2 K4 = r3 r1 K8 = r4 r6

finalmente las ecuaciones de diseño serán:K1 [ 2r cos( δ−α )] + K2 [ 2r cos (δ−α ) ] + K3 = r2 + K 4 [ 2 cos(θ−α ) ] --- IK5 [ 2r cos( δ−β ) ] + K 6[ 2r cos (δ−γ )] + K7 = r2 + K8 [ 2 cos( γ−β ) ] --- IIEl procedimiento conveniente para solucionar el problema de conducción de cuerpo rígido será considerar lo siguiente:

-Dados r, δ y θ 3 valores para cada uno de ellos.

-Considerar α, β y γ1

-Calcular.- r1, r2, r3 empleando la ecuación I.

-Determinar ψ1 ,ψ2 yψ3 usando los valores de r1, r2 y r3 en las ecuaciones:r1 cos α + r2 cos ψ + r3 cosθ = r cos δr1 senα + r2 senψ + r3 senθ = rsenδ

-Calcular γ2 = γ1 + (θ2 - θ1) y γ3 = γ1 + (θ3 - θ1)

- Obtener r4, r5, y r6 mediante la ecuación II

Mediante un ejemplo de aplicación ilustraremos este método de síntesis

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Ejemplo:

Diseñar un mecanismo de 4 barras articuladas que guíe un cuerpo rígido a través de tres posiciones separadas finitamente. Estas son descritas por los valores de r, δ, y θ de la manera siguiente: (4.50, 30o, 80o) (1.98, 52o, 91o) (3.80, 68o, 98o); considerar α = 40o β = 34o γ1 = 95o

K1 [2(r) cos (δ-α)] + K2 [2(r) cos (δ-θ)] + K3 = r2 + K4 [2 cos (θ-α)]

K1 [2(4.5) cos (30o-40o)] + K2 [2(4.5) cos (30o-80o)] + K3 = (4.5)2 + K4 [2 cos (80o-40o)]

K1 [2(1.98) cos (52o-40o)] + K2 [2(1.98) cos (52o-91o)] + K3 = (1.98)2 + K4 [2 cos (91o-40o)]

K1 [2(3.8) cos (68o-40o)] + K2 [2(3.8) cos (68o-98o)] + K3 = (3.8)2 + K4 [2 cos (98o-40o)]

K1 [9 cos (-10o)] + K2 [9 cos (-50o) + K3 = 20.25 + K4 [2 cos (40o)] (a)

K1 [3.96 cos 12o] + K2 [3.96 cos (-39o) + K3 = 3.92 + K4 [2 cos (51o)] (b)

K1 [7.6 cos 28o] + K2 [7.6 cos (-30o)] + K3 = 14.44 + K4 [2 cos (58o)] (c)

De las ecuaciones anteriores puede pensarse que son 4 incógnitas y solamente 3 ecuaciones; pero esas cuatro incógnitas son compatibles, es decir, una de ellas esta en función de otras. K4 = r1 r3 = K1 K2

Para resolver este tipo de sistema de ecuaciones, se emplea un método que consiste en:haciendo K4 = K1 K2 = λ definimos Ki = li +λ mi, i = 1, 2, 3,...

λ = K1 K2 = (l1 + λ m1) (l2 + λ m2)

haciendo las sustituciones correspondientes de Ki en la ecuación de diseño, posteriormente podremos agrupar en dos grupos de ecuaciones, uno que contenga términos con l, y otros con términos en λ, resultando dos grupos de ecuaciones lineales en l1, l2, y l3 y en m1, m2 y m3

l1 [2r cos (δ-α)] + l2 [2r cos (δ-θ)] + l3 = r2

λ [m1 [2r cos (δ-α)] + m2 [2r cos (δ-θ)] + m3] = [2 cos (θ-α)] λ

efectuando operaciones en las ecuaciones (a), (b) y (c)

8.86 K1 + 5.78 K2 + K3 = 20.25 + 1.53 K4

3.87 K1 + 3.08 K2 + K3 = 3.92 + 1.258 K4

6.7 K1 + 6.58 K2 + K3 = 14.44 + 1.06 K4

-19

Aplicando el método antes mencionado para este sistema se tiene:8.86 l1 + 5.78 l2 + l3 = 20.253.87 l1 + 3.08 l2 + l3 = 3.926.7 l1 + 6.58 l2 + l3 = 14.44

resolviendo lo anterior, obtenemos:

l1 = 3.76 , l2 = 0.43 , l3 = -9.808.86 m1 + 5.78 m2 + m3 = 1.533.87 m1 + 3.49 m2 + m3 = 1.266.7 m1 + 6.58 m2 + m3 = 1.06

resolviendo el sistema de ecuaciones simultaneas y obtenemos:m1 = 0.12 ; m2 = -0.14 ; m3 = 1.28

Regresando a λ = K1 K2 = (l1 + λm1) (l2 + λm2)λ = l1 l2 + λ (l2 m1 + l1 m2) + λ2m1m2 = 0

procedemos a calcular ψ con los valores de r1, r2, r3 y las ecuaciones

r1 cos α + r2 cos ψ + r3 cosθ = rcos δr1 senα + r2 senψ + r3 senθ = rsenδ

obtención deψ1 ,ψ2 yψ3 con θ1, θ2, θ3, α1, α2, α3, δ1, δ2, δ3 finalmente γ2 = γ1 + (θ2 - θ1 ), γ3 = γ1 + ( θ3 - θ1)

Procediendo de manera similar obtendremos los parámetros requeridos con la ec. II.

-20

Una forma alternativa de solución del problema de conducción de cuerpo rígido es mediante la utilización de números complejos, para ello nos referimos a la figura siguiente en la cual se representa a un cuerpo rígido en sus posiciones inicial y final

De la figura Z0 = Zj ; j = 1,2,3, ...

Como sabemos, el efecto de multiplicar cualquier efecto Z1 por eiθ, equivale a girar el complejo Z1 un ángulo θ, entonces Z j = ei(θ j - θo) Zo _____A ya que αj = αo = cte. por propiedades del cuerpo rígido; además de la figura se puede observar que Z0 =a 0- r0 I y Zj =aj - rj ____II Por otro lado, ya que los puntos Ao, Aj están sobre una circunferencia, se cumple que: ‖a j - b‖ = ‖ao - b ‖

______B magnitud del eslabón.

De la ecuación II a j = r j + Z j ______III;

Sustituyendo A en la ecuación III se tiene a j = r j + e i(θ j - θo )Zo _______ IV

Sustituimos I en IV a j = r j + e i (θ j - θo )(ao - ro ), por otra parte, de la

ecuación B ‖a j - b‖ = ‖r j + e i(θ j - θo )( ao - r o)- b‖≡‖ao - bo‖

NOTA: puede demostrarse que ‖Z‖ = √u2 + v2 siendo Z = u + iv en base a

esto es conveniente escribir la ecuación de diseño de la siguiente forma.

‖r j + ei (θ j - θo)( ao - r o)- b ‖2 = ‖ao - bo‖2

Ecuación de diseño

-21

EJEMPLO:

Sea el punto R un punto de un cuerpo rígido; se desea que el cuerpo ocupe las posiciones mostradas. Diseñar el mecanismo que ejecute esta operación.

De la figura se observa quero = -1 + ir1 = 0 + 2ir2 = 1 + i θo = θ1 = θ2 =

‖r j + e i(θ j - θo)( ao - r o) - b ‖2 = ‖ao - bo‖2

tanto para el elemento de entrada como para el de salida se tienen dos posiciones aparte de la inicial, si sustituimos en la ecuación de diseño, podremos formar dos ecuaciones y se tendrán cuatro incógnitas siendo estas ao = XA + iYA y b = XB + iYB , por lo que debemos fijar dos de las cuatro incógnitas. Asignemos b = -1 - i para la entrada y b* = 1 - i con estos valores y los datos proporcionados sustituimos en la ecuación de diseño quedando para j=1 y b la ecuación:

‖2i + ei ( o )( X A +iY A +1-i )+1+i‖2

= ‖X A +iY A +1+i‖2

efectuando operaciones se tiene‖2i+ X A +iY A +1-i+1+i‖2

= ‖X A +iY A + 1+ i‖2

agrupamos parte real y parte imaginaria para posteriormente elevar al cuadrado‖( X A +2 )+(Y A +2 )i‖2

= ‖( X A+1)+(Y A+1)i‖2

desarrollando términos obtenemos una ecuación en la que cancelamos términos cuadráticos queda;

1+Y2+Y+1+Y2+X = 4+Y4+Y+4+X4+X A2AA

2AA

2AA

2A

simplificamos y pasamos a un lado de la igualdad se tiene 2 X A +2 Y A +6 = 0 y finalmente X A + Y A + 3 = 0 ________ ( ã )de manera análoga procedemos con j = 2 y b obteniéndose‖1+i+ X A+iY A +1-i+1+i ‖2

= ‖( X A +1 )+(Y A +1 )i‖2

Agrupamos ( X A + 3 )2+(Y A + 1 )2 = ( X A + 1 )2+(Y A+ 1 ) i 2

-22

Desarrollamos X2 + 6 X A + 9 = X A

2 + 2X + 1 4X + 8 = 0 , X = - 8

4 = -2

Sustituyendo en la ecuación anterior ( ã ), podemos obtener el valor de Y A = -1 por

tanto, el valor del punto circular será ao = (-2, -1)

A continuación determinaremos las coordenadas del otro punto circular y como en el caso anterior, fijaremos las coordenadas del punto central definidas por el vector. b* = 1 -i las incógnitas serán ao

* = XA* + iYA

* procedemos de manera similar

‖2 i + ei ( o )( X A +i Y A+1 -i )−1+i‖2

= ‖X A +i Y A−1+i‖2

‖2i + X A +i Y A +1-i −1+i‖2

= ‖X A +iY A−1+i‖2

( X A )2+(Y A + 2)2 = ( X A - 1 )2+(Y A+ 1 )2;

Elevamos al cuadrado X A2 + Y A

2 + 4 Y A+ 4 = X A2 - 2 X A+ 1+Y A

2 + 2 Y A + 1

Simplificamos 2 Y A + 2 X A + 2 = 0 ; X A + Y A+ 1 = 0 . ----------------(>)

Para j=2 y b* se tiene: ‖1+ i + X A + iY A + 1- i- 1+ i‖2 = ‖X A+ iY A - 1+ i‖2

( X A + 1 )2+(Y A + 1)2=( X A−1 )2 + (Y A+ 1 )2 X A

2 + 2 X A+ 1 = X A2 - 2 X A+ 1

2 X A = - 2 X A se cumple para X A = 0

Sustituyendo en la ecuación (>) se tiene Y A = - 1 ao¿ = ( 0,-1 )

-23

EJEMPLO:

Sea el punto P un punto de un cuerpo rígido que representa un limpiador de parabrisas, se desea que el cuerpo ocupe las posiciones mostradas. Diseñe el mecanismo que ejecute esta operación.

Datos incógnitasro = -1 + i ao = XA + iYA r1 = 0 + 2i b = XB + iYB r2 = 1 + i

θ = se obtiene de la figura

‖r j+e i (θ j−θo )(ao−ro )-b‖2 = ‖ao -b‖2

Se tienen dos posiciones aparte de la inicial, por lo que al hacer las sustituciones se dará lugar a dos ecuaciones con cuatro incógnitas, para la unión del eslabón de entrada y acoplador, y otra para la unión de acoplador y barra de salida.

asignando los puntos centrales b y b* , se puede eliminar a dos incógnitas. quedando dos ecuaciones con dos incógnitas tanto para el elemento de entrada como de salida.

Podemos asignar convenientemente el valor del punto central b = 0 + i0 ; aplicando estos valores en la ecuación de diseño.

‖2i+ ei (

π2−

π2

)( X A+ iY A + 1-i ) -0 ‖2 = ‖X A + iY A -0 ‖2

║ 2i + XA + iYA + 1 - i ║ = ║ XA + iYA ║

║ (XA + 1) + (YA + 1) i ║2 = ║ XA + iYA ║2

(XA + 1)2 + (YA + 1)2 = XA2 + YA

2 ; XA2 + 2XA + 1 + YA

2 + 2YA + 1 = XA2 + YA

2

2 (XA + YA + 1) = 0 finalmente se obtiene XA + YA + 1 = 0 I

Aplicamos nuevamente para la segunda posición con j=2 y b

║ 1 + i + eo (XA + iYA + 1 - i) - 0 ║2 = ║ XA + iYA - 0 ║2

║ 1 + i + XA + iYA + 1 - i ║2 = ║ XA + iYA ║2

-24

║ (XA + 2) + iYA ║2 = ║ XA + iYA ║2; elevando al cuadrado parte real e imaginaria-(XA + 2)2 + YA

2 = XA2 +YA

2, desarrollando XA2 + 4XA + 4 + YA

2 = XA2 +YA

2 4 (XA + 1) = 0 XA = -1Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos: YA = 0

Para localizar el punto en el que esta alojada la articulación entre el eslabón de salida hagamos b* = 1 - i y procedamos de manera análoga, es decir:

‖2i +e i(θ j−θo)( ao−ro )-b‖2 = ‖ao-b‖2

‖ 2i+eo( X A+iY A+1-i ) -1+i ‖2 = ‖X A+iY A -1+i ‖2

‖2i+ X A+iY A +1-i-1+i ‖2 = ‖X A+iY A -1+i ‖2

XA2 + (YA + 2)2 = (XA - 1)2 + (YA + 1)2

XA2 + YA

2 + 4YA + 4 = XA2 - 2XA + 1 + YA

2 + 2YA + 1Simplificando 2YA + 2XA + 2 = 0 finalmente XA + YA + 1 = 0 ICon los valores de j = 2 b*, sustituimos en la ecuación de síntesis

‖1+ i+ X A +iY A + 1-i-1+ i ‖2 = ‖( X A -1 )+(Y A+1 ) i ‖2

Agrupamos parte real e imaginaria quedando:

‖( X A +1 )+(Y A + 1 ) i ‖2 = ‖( X A - 1 )+(Y A +1 )i ‖2;

elevamos al cuadrado ( XA + 1 )2 + ( YA + 1 )2 = ( XA - 1 )2 + ( YA + 1 )2 ;Eliminamos el segundo término de cada lado de la ecuación obteniéndose: XA

2 + 2XA + 1 = XA2 - 2XA + 1 lo que lleva a concluir que XA = -XA lo anterior solo se

cumple cuando XA* = 0 por lo que sustituyendo en I, tenemos YA*= -1

SINTESIS DE MECANISMOS PARA GENERACION DE TRAYECTORIAS

-25

Para este método de síntesis utilizaremos la misma ecuación que para la conducción de cuerpo rígido con la variante de que en la descripción de cualquier trayectoria por un punto trazador que pertenezca a un cuerpo, no importan el ángulo que este pueda ir tomando en cada posición ya que lo que importa es la trayectoria misma. por lo que los diferentes ángulos serán incógnitas.

En la figura se ilustra un punto trazador en un mecanismo en el que se indican dos posiciones diferentes, como se puede observar el punto R debe pasar por n posiciones sucesivas desde una posición inicial Ro hasta una posición Rj.

En cada posición del punto R se tendrá un ángulo θ con respecto a una referencia de θo

hasta θj

Para el eslabón de entrada fijando θo, y rj, las incógnitas que se generan están dadas en la siguiente forma:

El ángulo θj da origen a n incógnita cada punto central Ao y circular B, dará origen a dos incógnitas generándose en total 4 + n incógnitas

-26

Dados rj pueden con la ecuación de síntesis, formarse n ecuaciones.

De manera análoga, para el eslabón de salida fijamos θo y rj ; el ángulo θj propicia n incógnitas, el punto central Ao

* y el punto central B* originan dos incógnitas, cada uno totalizando 4 + n incógnitas pero con la ecuación de síntesis con r j se forman n ecuaciones por lo que, en total tenemos 2(4 + n) incógnitas y solamente 2n ecuaciones pero puede visualizarse que n incógnitas son comunes; las generadas por θj : quedando solamente 8 + n finalmente igualando las ecuaciones con las incógnitas se obtiene:2n = 8 + n o bien n + n = 8n quedando finalmente n = 8

Esta expresión indica las incógnitas a determinar, pero también el número de puntos que de la trayectoria se satisfacen aparte del inicial.

Si asignamos B y B* reduciremos 4 incógnitas, teniéndose solamente 4 + n incógnitas y 2n ecuaciones, o sea,

2n = 4 + n n = 4Podemos asignar los valores de Ao, B y B* con lo que reduciremos el número de incógnitas en seis, o sea,

2n = 2 + n n = 2

Ejemplo:

Diseñe una grúa que transporte una carga por los puntos Ro, R1, R2 de manera que el eslabón de entrada (B Ao) tenga la configuración mostrada, y el eslabón de salida este articulado en B*

ro = -2 + 0ir1 = -1 + 0ir2 = 1 + 0i

ao = -2 - 2ib = -1 - 2ib* = 1 - 2i

Tomando en cuenta la ecuación de diseño¿ r j + e i(θ j−θo)(ao−ro ) - b ¿2 = ¿ - b ¿2

-27

podemos determinar las dimensiones del mecanismo que cumpla las condiciones Para el eslabón de entrada sabemos ║ ao - b ║ es la magnitud del eslabón de entrada, por lo que de la figura se cumple que ║ ao - b ║2 = 1Para j = 1

¿ -1 + ei (θ1−θo)( - 2 - 2i + 2 ) + 1 + 2i ¿2 = 1por facilidad llamemos β1 a la diferencia (θ1 - θ2) y sustituyamos en la ecuación de diseño

║ -2i (cos β1 + i sen β1 + 2i ║2 = 1, simplificando queda ║ -2i cos β1+2 sen β1+ 2i ║2 = 1

Agrupamos parte real e imaginaria y elevaremos al cuadrado para simplificar la expresión

(2 sen β1)2 + (2 - 2 cos β1)2 = 1; 4 sen2 β1 + 4 - 8 cos β1 + 4 cos2 β1 = 1

4 [ sen2 β1 - cos2 β1 ]+ 4 - 8 cos β1 = 1, 4 + 4 - 8 cos β1 = 1

Finalmente obtenemos la primer ecuación, siendo ésta 8 cos β1 - 7 = 0De donde β1 = cos -1(7/8) = 28.96º

De manera similar, para j = 2 hacemos un cambio de variable por simplicidad

¿ 1 + ei β2(-2 - 2i + 2 ) +1 + 2i ¿2 = 1 ; ║2 + 2i + [-2i [cos β2 + i sen β2 ] ] ║2 = 1

║ 2 + 2i - 2i cos β2 + 2 sen β2 ║2 = 1 ║ 2 + 2 sen β2 + [2 - 2 cos β2 ] i ║2 = 1

[2 + 2 sen β2 ] 2 + [2 - 2 cos β2 ] 2 = 1 realizando operaciones se tiene:

4 + 8 sen β2 + 4 sen2 β2 + 4 - 8 cos β2 + 4 cos2 β2 = 1

4 + 8 sen β2 + 4 [ sen2 β2 + cos2 β2 ] + 4 - 8 cos β2 = 1

12 + 8 sen β2 - 8 cos β2 = 1; obteniéndose finalmente 8 sen β2 - 8 cos β2 +11 =0

64 sen 2 β2 + 64 cos 2 β2 - 128 sen β2 cos β2 = 121 simplificado podemos escribir

sen 2 β2 + cos 2 β2 - 2 sen β2 cos β2 = 121/64 o bien

- 2 sen β2 cos β2 = 57/64 o también se puede expresar como - sen 2 β2 = 57/64

cuya solución para β2 será

Se procede de manera análoga para determinar el punto circular Ao* (XA*, iYA*)

-28

Para j = 1

¿ -1 + ei β1 ( X A

¿ + iY A¿ + 2 ) - 1 + 2i ¿2 = ¿

¿ + iY ASUP * - 1 + 2i ¿2

║-2 + 2i + ( XA* + iYA*+ 2) [cos β1 + i sen β1 ] ║2 = ║ XA* + iYA* - 1 + 2i ║2

║ -2 + 2i + XA* cos β1 + i XA*sen β1 + iYA*cos β1 + i2 YA*sen β1 + 2 cos β1 + 2i sen β1

║2 = = ║ ( XA*- 1) + (2 + YA* i) ║2

║ -2 + XA*cos β1 - YA* sen β1 + 2 cos β1 + [2 + XA*sen β1 ] +YA *cos β1 +2 sen β1 i ║2 =

= ( XA*+ 1)2 + (2 + YA )2

[-2 + ( XA*+ 2) cos β1 - YA*sen β1]2 + [2 + ( XA*+ 2) sen β1 + YA*cos β1]2 =

= ( XA*- 1)2 + (2 + YA*2 )

Desarrollando los términos se tiene:

4 + ( XA*+ 2)2 cos2 β1 +YA*2 sen2 β1 + 4 YA* sen β1- 4 ( XA*+ 2) cos β1+ 4 +( XA*+ 2)2

sen2β1+ + YA*2 cos2 β1 + 4 YA * cos β1 + 4 ( XA*+ 2) sen β1 + 2 ( XA*+ 2) cos β1 - YA*sen β1 +

+2 ( XA*+ 2) YA*sen β1 cos β1 = XA*2 - 2 XA* + 1 + 4 + 4YA* + YA*2

simplificando y agrupando términos podemos escribir

4 + 4 + ( XA*+ 2)2 + YA2 + 4YA*[sen β1 + cos β1] - 4 ( XA*+ 2) cos β1 + 4 ( XA*+ 2) sen

β1=

= XA*2 - 2 XA*+ 1 + 4 + 4YA*+ YA*2

4 + 4 + XA*2 + 4 XA*+ 4 + 4YA*[sen β1 + cos β1] + 4 ( XA*+ 2) cos β1 + 4 ( XA*+ 2) sen β1= = XA*2 - 2 XA*+ 1 + 4 + 4YA*

4 + 4 XA*+ 4 + 4YA* [sen β1 + cos β1 ] - 4XA* cos β1 - 8 cos β1 + 4 XA* sen β1 + 8 sen β1=

= 2XA* - 1 + 4 - 4YA*

-29

[6 + 4 sen β1 - 4 cos β1 ] XA* + 4 [sen β1 + cos β1 - 1 ] YA

* - 8 cos β1 + 8 sen β1 + 7 = 0

Para j = 2¿ 1 + e

i β2( X A¿+ iY A

¿+ 2 ) - 1 + 2i ¿2 = X A

¿ + iY A¿+ 2i - 1 ¿2

( X A¿+ 2 )2 +Y A

2 ¿+ 4 + 4 X A¿ sen β2 + 8 sen β2 + 4 Y A

¿ cos β2 =

X A¿2 + 4 X A

¿+ 4 + Y A¿2 + 4 + 4 X A

¿ sen β2 + 8 sen β2 + 4 Y A¿cos β2 =

6 X A¿ + 8 + 4 X A

¿ sen β2 + 8 sen β2 + 4 Y A¿cos β2 - 5 - 4Y A

¿ = 0(6 + 4 sen β2 ) X A

¿ + 4 (cos β2 - 1)Y A¿ + 8 sen β2 + 3 = 0

con los valores de los ángulos y las ecuaciones planteadas se procede a la solución del sistema para determinar el valor de las dimensiones de las barras del mecanismo RRRR que cumpla con las condiciones siendo:

-30

= X A¿2 + 1 - 2 X A

¿ + 4 + 4 Y A¿ + Y A

¿2

USO DE TRAYECTORIAS DE LOS PUNTOS DE LA BARRA ACOPLADORA EN LA SÍNTESIS DE MECANISMOS.

Debido a la continuidad de la ecuación de Freudenstein, la barra de salida de un mecanismo de 4 eslabones, solo puede alcanzar un estado estacionario instantáneamente cuando la barra de entrada gira sin interrupción.

En algunas aplicaciones se requiere que un mecanismo en alguno de sus eslabones permanezca en estado estacionario durante intervalos finitos. En estos casos se procede como sigue:

a) Diseñar un mecanismo de tal forma que uno de los puntos de la barra acopladora describa un arco de círculo AB de su trayectoria. Este diseño puede hacerse mediante el método de generación de trayectorias o bien, seleccionarse del manual de Hrones y Nelson.

b) Determinar el centro c del arco AB

c) Unir los puntos trazador de la trayectoria T y centro c mediante un quinto eslabón rígido.

d) Conéctese el punto c con un punto D adecuado mediante un sexto eslabón.

Mientras el punto T describe el arco AB, el eslabón 6 permanece estacionario.

-31

Teorema de Roberts - Chebyshev y sus aplicaciones. Mecanismos cognados

"Dado un mecanismo plano de 4 barras R.R.R.R., y un punto del eslabón acoplador que describe una trayectoria dada, existen otros dos mecanismos de la misma clase que tienen un punto de su barra acopladora que describe esa misma trayectoria."

Los tres mecanismos mencionados se conocen con el nombre de mecanismos "COGNADOS". Para poder determinar las dimensiones de ellos dado un mecanismo, podemos proceder de la manera siguiente:

- Considerar alineados sobre una línea imaginaria los elementos de entrada, acoplador y de salida, respetando las dimensiones originales.

- Transportar las dimensiones del elemento acoplador y prolongar líneas en cada lado del elemento acoplador.

- Trazar líneas paralelas a cada lado del elemento acoplador, las cuales pasen por las articulaciones de los elementos fijo-entrada, fijo-salida y el punto trazador, hasta intersectarse formándose los correspondientes mecanismos cognados con sus respectivas dimensiones.

- Mediante el uso de instrumentos de dibujo transportar las dimensiones hacia el mecanismo original conservando los paralelogramos que entre ellos se formaron.

-32

CENTRODAS

Dado que los centros instantáneos de rotación sólo están definidos instantáneamente y que cambian conforme se mueve el mecanismo si localizamos los centros instantáneos para todas las fases posibles del movimiento del mecanismo, se verá que describen curvas o lugares geométricos denominados Centrodas o Polodias. Considerando al elemento AD como fijo, al determinar diferentes centros instantáneos (13), se dará origen a la llamada Centroda fija.

Si el elemento fijo se considera BC, al determinar los diversos centros instantáneos podremos obtener la llamada Centroda móvil.

El movimiento plano de un cuerpo rígido en relación con otro es completamente equivalente al movimiento de rodadura de una Centroda sobre la otra, siendo el punto de contacto el centro instantáneo.

-33

CUBICA DE CURVATURA ESTACIONARIA

Al lugar geométrico de los puntos de la barra acopladora que describen trayectorias de circunferencia recibe el nombre de Cúbica de curvatura estacionaria. Dos puntos que pertenecen a ella son las articulaciones del elemento acoplador con las barras de entrada y de salida, otro punto es el centro instantáneo (13), en el cual la cúbica es tangente a la recta normal y a la recta tangente.

A continuación se describe el método para determinar de manera gráfica dicho lugar geométrico, dado un mecanismo de cuatro barras articuladas.

- Determinar los centros instantáneos (13) y (24), uniéndolos mediante una recta para determinar α.

- Trasportar este ángulo, al lado opuesto de donde fue formado, dando como resultado la línea tangente (T), a la cual se le puede trazar una línea perpendicular que pasa por el centro instantáneo originándose la recta normal (N).

- Trazar líneas perpendiculares a los segmentos PA y PB en los puntos A y B prolongándose hasta intersectar a las rectas normal y tangente; en las intersecciones se obtienen los puntos AN, AT, BN y BT, a partir de éstos trazamos perpendiculares a la normal y la tangente para determinar los puntos AG y BG los cuales al unirse darán origen a la recta generatriz (G), a partir de la cual procediendo de manera inversa podemos obtener los correspondientes puntos de la cúbica.

-34

CIRCULO DE INFLEXION

“El lugar geométrico de los puntos sobre la barra acopladora que localmente tienen curvatura infinita (aproximan a una trayectoria recta) es un círculo tangente a la centroda de la barra acopladora."

Cuando dos cuerpos se mueven relativamente uno con respecto a otro con movimiento plano, algún punto A escogido arbitrariamente describe una trayectoria o lugar geométrico con respecto al sistema coordenado fijo del otro. En algún instante dado, existe un punto A' fijo al otro cuerpo que es el centro de curvatura de la trayectoria del punto A.

Haciendo la inversión del mecanismo podemos considerar que A' también describe una trayectoria relativa al cuerpo que contiene al punto A. De lo anterior se desprende que A y A' son simultáneamente centros instantáneos de curvatura. Estos puntos se les llaman "conjugados".

La figura siguiente muestra dos círculos con centros C y C'. Consideremos al círculo con centro C' como centroda fija, mientras que el centro C será la centroda móvil. La centroda fija, no necesariamente lo estará, además no tienen que tener la forma circular, pero lo que nos interesa son valores instantáneos, entonces, podemos considerarlas como tales en la vecindad del punto P que es el centro instantáneo de rotación.

Consideremos ahora que la centroda móvil se mueve con rodamiento puro sobre la fija, lo que nos indica que tendrá una velocidad angular (ω) relativa a la centroda fija, entonces podemos afirmar que:V C = ω RCP ----------- (a) V A = ω R AP --------------- (b)Así como el movimiento progresa, el punto de contacto entre las dos centrodas y de esta forma la localización de P se mueve a lo largo de ambas centrodas con una velocidad V perpendicular al segmento PC'; la magnitud de V se determina uniendo el extremo de V C con el punto C' y por tanto podemos escribir:

V = RP ' C

RC' C

V C ------------- (c)

-35

Nótese que el radio de curvatura ρ de la trayectoria de A está definido por: ρ = RAA'

A continuación localizaremos el punto A' empleando la construcción de Hartmann.

Sea u la componente de la velocidad del centro instantáneo de rotación, la cual es paralela a VA y tiene como magnitud:

u = V senψ ------------ (d)Donde ψ es el ángulo medido desde la recta tangente a las centrodas y la recta AP. Una vez determinada la magnitud de u obtenemos A' prolongando las rectas AP y la que une los extremos de VA y u en cuya intersección se obtiene A'. Además de la figura anterior por triángulos semejantes se obtiene

u = RP ' A

RA ' A

V A------------(e)

Igualando d y e y sustituyendo a, b, y c podemos escribir:

u = RP' C RCP

RC ' C

ω Sen ψ = RP ' A R AP

RA ' A

ω

Dividiendo entre ω Sen ψ y reagrupando se tiene:RA ' A

RP ' A

RAPSen ψ =

RC ' C

RP ' C

RCP =ωOVERv

Tomando en cuenta que RA ' A ¿ RAP - RA ' P

RC ' C

RCP - RC ' P¿ finalmente la ecuación puede escribirse como: ( 1

R AP¿ 1

R A ' P

( 1RCP

1RC ' P

¿ --------- (I) Ecuación de Euler Savary

Ya que el radio de curvatura de las dos centrodas es conocido, esta ecuación es empleada para determinar la posición de los dos puntos conjugados A y A' relativos al centro instantáneo P

Es conveniente escoger un sentido positivo para las rectas normal y tangente al punto P y en la figura se indica. Esto establece un sentido positivo para la línea CC' la cual puede ser empleada para asignar un signo apropiado a RCP y RC'P. Similarmente una dirección positiva arbitraria puede escogerse para la línea AA'. Por tanto el ángulo ψ es positivo medido en el sentido anti horario a partir de la recta tangente positiva hacia el sentido positivo de la línea AA'. El sentido de la línea AA' también da el signo apropiado para RAP y RA'P.

Existe una gran desventaja en la ecuación de Euler-Savary que anteriormente se obtuvo, ya que se necesita conocerse previamente el radio de curvatura de la centroda. Sin embargo, esta dificultad puede ser sobrepasada pensando en una nueva forma de

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la ecuación.

De la figura consideremos un punto particular I que se localiza en la normal a la centroda en un lugar definido por:

1R IP

= 1RCP

= 1RC' P --------- ( II )

Si este punto particular es escogido para A en la ecuación de Euler-Savary, encontramos que su conjugado I' debe estar localizado en el infinito. El radio de curvatura de la trayectoria del punto I y la trayectoria de I entonces tiene un punto de inflexión en I, el punto I es llamado "Polo de inflexión".

Consideremos ahora que existe otro punto IA del cuerpo móvil que también tiene radio de curvatura infinito en el instante considerado. Entonces para cada uno de estos

puntos R I '

A P = 0 y, a partir de las ecuaciones I y II se llega a

R I A P = RIP senψ---------- (III).

Esta ecuación define un círculo llamado "Círculo de Inflexión" cuyo diámetro es RIP, como se ilustra en la figura.

Todo punto de este círculo tiene su punto conjugado en el infinito y por lo tanto en cada uno de ellos tiene radio de curvatura infinito en el instante considerado.

Con ayuda de la ecuación (III), la ecuación de Euler-Savary puede escribirse como:1

R AP = 1

RA ' P = 1

R I A P ----------- (IV)También, después de algunas manipulaciones, esta puede ser escrita como sigue:

ρ = RA ' A

= R2

AP

R I A P ------------- (V) Cualquiera de estas dos formas de la ecuación de Euler-Savary es más empleada en forma práctica ya que ellas no requieren del conocimiento de la curvatura de las dos centrodas.

Ejemplo:

Determine el círculo de inflexión para el movimiento del mecanismo pistón biela

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corredera mostrado en la figura y determine el radio instantáneo de curvatura del acoplamiento del punto C.

RAO2= 2 y { size 12{R} } rSub { ital BA } size 12{ ital =2 . ital 5 ¿

Solución:

En la figura localizaremos el centro instantáneo P en la intersección de la línea prolongada de O2A y la línea perpendicular en el punto B a la dirección del deslizamiento de la corredera. Los puntos B y P están contenidos por definición en el círculo de inflexión, por lo que requerimos de un tercer punto para poder construir el círculo.

El centro de curvatura de A es por supuesto O2 al que llamemos ahora A’. tomando el sentido positivo de la línea AP hacia abajo y a la izquierda, podemos medir obteniéndose:

RAA' = - 2 " y RAP = 2.64";

Valores que al ser sustituidos en la ecuación de Euler-Savary da como resultado

RA I A =

R2AP

RA ' A

= 2 .642-2 .00

= - 3 . 48 }} { ¿¿

Con este valor de 3.48" a partir de A localizamos IA un tercer punto del círculo de inflexión. El círculo podrá ser construido con los tres puntos no colineales B, P e IA y su diámetro podrá ser determinado siendo: RIP = 6.28"La normal y la tangente a la centroda también podrán ser trazadas si se desea como se muestra en la figura.

A continuación dibujemos el radio RCI C y tomemos su sentido positivo como

descendente y hacia la izquierda podemos medir RCP =3.1" y RCI C = -1.75".

Sustituyendo estos valores en la ecuación III podemos obtener el radio instantáneo de curvatura del punto C.

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ρ = RC ' C

= RCP

2

R IC P = 3 . 12

-1 .75 = -5 . 49 } {¿

Condiciones para que el elemento de entrada y el de salida de un mecanismo RRRR giren una revolución completa.

Supongamos que los elementos: a2 > a1 y que a4 > a1

Considerando que el eslabón de entrada como el de salida pueda efectuar rotaciones completas es necesario que ambos elementos ocupen las posiciones de 0o y 180o

cuando estén girando a una velocidad angular

De la figura: a4 + a1 < a2 + a3

o bien: a4 < a3 + (a2 - a1)

a4 = a3 + (a2 - a1)

a1 + a2 < a3 + a4

a4 < -a3 + (a2 + a1)

a4 = -a3 + (a2 + a1)

a3 < a2 + (a4 - a1)

a4 > a3 - (a2 - a1)

a4 = a3 - (a2 - a1)

-39

a3 + a4 > (a2 - a1)

a4 > -a3 + (a2 - a1)

a4 = -a3 + (a2 - a1)

RESTRICCIONES EN EL DISEÑO DE MECANISMOS CON PARES INFERIORES.

Teorema de Relación de Velocidades

C

En la figura C24 es el polo común a las barras 2 y 4; la velocidad de C24 considerado como perteneciente al elemento 2 es V(24)= p2 21 y considerado como perteneciente al elemento 4 es: V(24)= p4 41

ω21

ω41=

p4

p2 Esta expresión es el enunciado matemático de la relación de velocidades angulares

“La relación de velocidades angulares de dos sólidos cualesquiera respecto a un tercer sólido, es inversamente proporcional a los segmentos que determina el polo común sobre la línea de centros”. La relación es positiva cuando el polo común está fuera de los polos fijos y negativa cuando se presenta entre los dos polos fijos.

La relación se obtiene para cualquier mecanismo al construir un par de eslabones efectivos (“dos líneas

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mutuamente paralelasintersectándose con al acopladorextendido y trazadas por los puntos centrales O2 y O4”)Estos se muestran como en la figura como: O2A’y O4B’ figura (+)

Existe una infinidad de posiblespares de eslabones efectivos ya pueden formar cualquier ángulo con el eslabón acoplador con lacondición de ser paralelos entresi como se observa en la siguientefigura

figura (++)

considerando la figura (+) el ángulo entre los eslabones 2 y 3 es y el ángulo de transmisión entre los elementos 3 y 4 es.Por geometría O2A’= (O2A)sen y O4B’= (O4B)sen

VA’ = (O2A’)2 y VB’ = (O4B’)4

Ya que la proyección de VA sobre la recta AB es igual a la proyección de VB sobre la misma recta por el principio de transmisibilidad por lo que se pueden igualar VA’ = VB’

(O2A’)2 = (O4B’)4

ω 4

ω 2=O2 A '

O 4 B 'ω 4

ω 2=O2 A sen ν

O 4 B senμ . . . . .(+++)

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Por otro lado la potencia en un mecanismo P se define como el producto del vector fuerza F por el vector velocidad V

P=FV

En un sistema rotatorio la potencia se transforma en el producto de la torsión T por el vector velocidad angular

P=T

La potencia fluye de un sistema pasivo Pent= Psal + Perdidas

Como todos sabemos la eficiencia de una máquina puede expresarse como

eficiencia η = Pot . de salida

Pot . a la entrada < 1

Los sistemas de mecanismos articulados pueden ser muy eficientes si están bien hechos con cojinetes de baja fricción en todos los pivotes. Las pérdidas con frecuencia son menores al 10 %.

Por simplicidad consideremos en el análisis pérdidas igual a cero

Pent = Tent ent ; Psal = Tsal sal además si hacemos que la

Pent = Psal entonces, Tent ent = Tsal sal por lo que finalmente se obtiene

T sal

T ent=

ωentωsal . . . . . (***)

Puede observarse que la relación del par de torsión es la inversa de la relación de velocidad angular.

La ventaja mecánica matemáticamente se define comoV= F sal

F ent si se supone que se aplican las fuerzas de entrada y de salida con los radios rent y rsal normales a sus vectores de fuerza respectivos

F sal=T salr sal

F ent =T ent

r ent

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Al substituir las expresiones anteriores en la definición de ventaja mecánica se tiene:

V=( T sal

T ent )( r ent

r sal )

Sustituyendo en la ecuación ( ***) se obtiene :

V=( ω ent

ω sal )( r entr sal )

Además si se sustituye la ecuación (+++) en la anterior obtenemos:

V=( O 4 B sen μO 2 A sen ν )( r ent

r sal )De ésta expresión se deduce que con cualquier elección de rent y rsal, la ventaja mecánica responde a los de los ángulos y de manera opuesta a la de la relación de velocidad angular.

Como se mencionó antes, el ángulo formado entre el eslabón acoplador y la barra de salida se le conoce como "ángulo de transmisión" y se le representa por ; este ángulo es variable, por lo tanto, puede dar valores de (sen μ) -1 y +1

Cuando μ = 0 ó μ = 180 se dice que hay un punto muerto y la ventaja mecánica es nula, lo que es indiferente para la suma de fuerzas de torque de entrada aplicada; pero cuando el ángulo vale a cero lo que puede y hace dos veces por ciclo en mecanismos que cumplen la ley de Grashof, la ventaja mecánica se vuelve infinita.

En la figura se ilustra un mecanismo triturador de rocas en el que una fuerza moderada

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se aplica al elemento de entrada y puede generar una enorme fuerza en el elemento de salida para triturar la roca. Desde luego no se puede alcanzar la salida teórica de una fuerza o par infinito por las perdidas que se generan entre los eslabones y las juntas.

Otro ejemplo común son las pinzas de presión

Todo mecanismo no se queda trabado cada vez que pasa por un punto muerto, debido a la inercia de sus eslabones o el uso de volantes almacenadores de energía cinética

Los diseñadores han acordado mantener el ángulo de transmisión

40o≤μ≤140o para mantener una buena calidad de movimiento.

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Ventaja mecánica de un mecanismo.-

Es la relación en un instante dado de la fuerza o par de salida y la fuerza o par de entrada.

Ventaja mecánicaV = S

E S = par o fuerza obtenida en la salidaE = par o fuerza alimentado

Como todos sabemos la eficiencia de una máquina puede expresarse como

η = Pot . de salidaPot . a la entrada

< 1Por simplicidad llámese a S y E "Fuerzas Generalizadas" y representémoslas por Fs, Fe

A sus desplazamientos (para fuerza será lineal y para par será angular), los identificaremos por qs y qe respectivamente

A las velocidades de salida y entradaq̇s yq̇e respectivamente

La potencia quedara definida porF s q̇s yFe q̇e para salida y entrada respectivamente

Por lo tanto, la eficiencia de una transmisión de potencia es

e = F s q̇s

Fe q̇e O bien e = v m

Siendo v = ventaja mecánicam =

q̇s

qe

Si no hay rozamiento

T 2 W 2 = T 4 W 4

T 4

T 2 = V

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Determinar la ventaja mecánica de un mecanismo RRRR supongamos inercia despreciable, no hay pérdidas por fricción

El eslabón acoplador esta sujeto solamente a las fuerzas que actúan en las articulaciones R23 y R34

Analizando el eslabón de entrada∑ M O1

= O +

M ψ - Fd1 = 0M ψ - F a2 sen (ψ−θ ) = 0M ψ = F a2 sen (ψ−θ ) = 0

Analizando el eslabón de salida∑ M O2

= 0

F d2 - M φ = 0M φ = F d2

Mφ = F a4 sen (φ−θ)

∴ V = Mφ

M ψ =

F a4 sen (φ−θ )F a2 sen (ψ−θ )

V = a4 sen μa2 sen ν

El ángulo formado entre el eslabón acoplador y la barra de salida se le conoce como "ángulo de transmisión" y se le representa por μ = (φ - θ); este ángulo es variable, por lo tanto, puede dar valores de (sen μ) -1 y +1

Cuando μ = 0 ó μ = 180 la ventaja mecánica es nula, se dice que hay un punto muerto.

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Todo mecanismo no se queda trabado cada vez que pasa por un punto muerto, debido a la inercia de sus eslabones o el uso de volantes almacenadores de energía cinética

Los diseñadores han acordado mantener el ángulo de transmisión

40o≤μ≤140o

Ventaja mecánica nula

Ventaja mecánica máxima

Se tiene ventaja mecánica infinita cuando se logra un mecanismo "acodillado" o sea, cuando están alineados el eslabón de entrada y el eslabón acoplador

Ejercicio.-

Despreciando las perdidas en la transmisión del mecanismo de la figura, su eficiencia resulta ser la unidad. Con esta información y con la relación de velocidad del mismo mecanismo, obtener la expresión de ventaja mecánica sin recurrir al análisis de fuerzas.

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TEOREMA.

La relación de velocidades angulares de dos sólidos cualesquiera respecto de un tercer sólido es inversamente proporcional a los segmentos que determina el polo común sobre la línea de centros.

ω21

ω41 =

P4

P2 --------- Iω4

ω2 =

P2

P4

Como teóricamente no hay rozamiento, la potencia aplicada a la entrada debe ser igual a la de salida

T2 ω2 = T4 ω4 o bien,

T 4

T 2 =

ω2

ω4 ---------- II

Trazando ┴ a la recta ABP , desde A y BPor triángulos semejantes

P2

O2 A ' = P4

O4 B'

Pero de la figura vemos queO2 A' = a2 sen νO4 B ' = a4 sen μ

Podemos agrupar

P4

P2 =

a4 senμa2 senν

De I y II tenemos que

T 4

T 2 =

P4

P2

T 4

T 2 =

a4 sen μa2 sen ν

∴ T 4

T 2 = V =

a4 sen μa2 senν

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Newton-Raphson para determinar la raíz aislada de una función.

F(x) = 0 ; es función continuaPARA COMPRENSION:

2x - y = -1 a) Suma o restab) Sustitución

x + 2y = 7 c) Igualaciónd) Método gráfico

Considerando los dos últimos métodos. El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones.

y = 2x + 1 y = 7 - x

2Igualando

2x + 1 = - 12

x + 72

x = 1

Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones anteriores obtenemos el valor de y y = 3

El método gráfico consiste en tabular las ecuaciones y graficar las curvas o rectas, en la intersección de dichas curvas dan la solución F(x) = 0

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NEWTON - RAPHSONDeterminación de la raíz cuadrada de un número a.

El problema consiste en determinar un valor de x tal que: x = √aElevando al cuadrado ambos miembros x2 = a

y = x2 y = a

F(x) = 0 ; o sea, F(x) = x2 - a = 0

El método Newton - Raphson está definido por

X i+1 = X i - F ( X i )

F '( X i) I

F'(Xi) = 1a derivada de F(X) cuando X = Xi

En el caso particular: F(X) = X2 - a F'(X) = 2X

Sustituyendo en la ecuación I

X i+1 = X i - X i

2 - a2 X i

= X i + 12[ a

X i - X i ]

Obsérvese que F (Xi) = Xi2 - a es el

error en la iésima aproximación y que la corrección a la aproximación está dada por

Δi = 12[ a

X i - X i ]

NEWTON - RAPHSON

Empleado para resolver un sistema algebraico no lineal de la forma

F⃗ ( X⃗ ) = { 0⃗ ¿ AEl método iterativo Newton-Raphson para resolver el sistema A es el algoritmo

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X⃗ K+1 = X⃗K - J -1( X⃗ K ) F⃗ ( X⃗ K ) B

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Siendo XK la Kaésima aproximación a la raíz buscada deF⃗ ( X )J es la matriz jacobiana deF⃗ definida como:

Jem = ∂Fm

∂ Xe J em =

∂ f e

∂ X m El cálculo del incremento XK en la ecuación B esΔ XK = XK+1 - XK1

= - J -1( X K )F ( XK )Se calcula resolviendo el sistemaJ ( X⃗ K ) X⃗K = - { F⃗ ( X⃗ K ) J ( X⃗K ) Δ X⃗ K ¿El cual es un sistema algebraico lineal de la formaA { x⃗ = { b⃗¿¿ C x⃗ ,b⃗ son vectores de la misma dimensión n y A es una matriz cuadrada de orden n

Existen diversos métodos para resolver el sistema Ca) directos

b) iterativos

De los métodos directos el más popular es el de descomposición de Gauss, que consiste en factorizar la matriz A en el producto A = L U

L = Matriz triangular inferior con la unidad en la diagonal.U = Matriz triangular superior.

La matriz L es invertible

U X⃗ = { C⃗ { C⃗ ¿ = L-1 b¿

El algoritmo de Gauss no requiere invertir la matriz en forma directa.SUBRUTINAS

DECOMP Y SOLVE El problema se resuelve en 2 pasos.

DECOMP. Descompone a la matriz A en LU

SOLVE. Resuelve el sistemaU x⃗ = { C⃗ ¿

DECOMP. Utiliza pivoteo parcial con objeto de garantizar un mínimo error de redondeo

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