sinhrone ma²ine (13e013sim)epp.etf.rs/wp/wp-content/uploads/2018/04/zadaci_sm_2018_i_deo.pdf ·...

Univerzitet u Beogradu

Elektrotehni£ki fakultet

Katedra za energetske pretvara£e i pogone

Sinhrone ma²ine (13E013SIM)

Ra£unske veºbe

I deoNamotaji SM, indukovana ems, polje pobudnog namotaja,

reakcija indukta, reaktanse SM

kolska godina 2017/2018.

1. Prikazati razvijenu ²emu veza namotaja sa slede¢im podacima:

a) Q = 36, 2p = 4, y = 8

b) Q = 9, 2p = 8, y = 1

c) Q = 27, 2p = 6, y = 4

d) Q = 12, 2p = 14, y = 1

gde je Q broj ºlebova, p broj pari polova i y navojni korak. Svi namotaji su trofazni idvoslojni.

Re²enje: Prilikom konstruisanja namotaja, bi¢e kori²¢ena tabelarna predstava zvezdeelektromotornih sila. Radi boljeg razumevanja, za svaki od namotaja bi¢e data i prostorna(vektorska) predstava zvezde ems. Zna£ajni parametri prilikom formiranja tabele su:

t = NZD(Q, p) broj ponavljanja zvezde ems, tj. broj osnovnih namotaja (bi¢eobrazloºeno kasnije);

αs = 2π·pQ

elektri£ni ugao izmeu dva susedna ºleba (ugao izmeu indukovanih emsu provodnicima koji se nalaze u dva susedna ºleba);

αph = 2π·tQ

= tpαs elektri£ni ugao izmeu dva susedna vektora (fazora) u zvezdi

ems

a) U pitanju je namotaj sa celim brojem ºlebova po polu i fazi:

z =Q

2p= 9

m =z

q= 3

Ovakav namotaj bi se mogao konstruisati i bez primene tabelarne ili prostorne zvezdeems, ali ¢e, radi ilustracije, i njegova konstrukcija biti izvedena na ovaj na£in. U slu£ajunamotaja sa celim brojem ºlebova po polu i fazi, ima se da je:

t ≡ p = 2

αs ≡ αph =π

9(20)

Drugim re£ima, kod namotaja sa celim brojem ºlebova po polu i fazi, ems susednihºlebova1 su istovremeno i fazno najbliºe. Kao ²to ¢e se kasnije pokazati, ovo nije slu£ajkod namotaja sa razlomljenim brojem ºlebova po polu i fazi.

Raspored ºlebova u odnosu na osnovni harmonik talasa magnetske indukcije u meugvoºu prikazan je na slici 1. Zvezda ems ºlebova namotaja prikazana je na slici 2 (a).Faza ems ºleba odgovara fazi magnetske indukcije na mestu tog ºleba. Treba primetitida se ems ºlebova ponavlja za svaki par polova, ²to se vidi i sa slike 1 (raspored ºlebova19-36 u odnosu na talas indukcije je isti kao i raspored ºlebova 1-18). Kao ²to ¢e bitipokazano, ovo nije slu£aj kod namotaja sa razlomljenim brojem ºlebova po polu i fazi.

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 620 640 660 680 700

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

Elektricni ugao (deg)

Slika 1: Razvijeni prikaz ºlebova i osnovnog harmonika magnetske indukcije (Q = 36, 2p = 4)

1

2

3

456

7

8

9

10

11

12

1314 15

16

17

18

19

20

21

22

2324

25

26

27

28

29

30

31

32 33

34

35

36

A+

C−

B+

A−

C+

B−

αph

αs

A

B

C

(a)

1

2

3

456

7

8

9

10

11

12

1314 15

16

17

18

19

20

21

22

2324

25

26

27

28

29

30

31

32 33

34

35

36

A+

C−B+

A−

C+ B−

A

B

C

(b)

Slika 2: Zvezda ems namotaja (Q = 36, 2p = 4, y = 8): (a) donji sloj, (b) gornji sloj

Nakon ²to se odrede pozicije ems ºlebova, potrebno je odrediti pozicije provodnika faza uºlebovima. Svaka faza zauzima ukupno 120 elektri£nih stepeni pod jednim parom polovama²ine, tj. 60 stepeni pod jednim polom. Zbog toga je potrebno podeliti ravan zvezdeems na 6 ise£aka ²irine od po 60 stepeni, i svaki od ise£aka pridruºiti odgovaraju¢oj fazi,kao ²to je prikazano na slici 2. Raspored faznih pojaseva kod trofaznog namotaja je A+C- B+ A- C+ B-. Znak + ukazuje na pozitivan smer provodnika u ºlebu koji pripadatom faznom pojasu, tj. smer ka posmatra£u, i obrnuto. S obzirom na suprotan smerprovodnika u, npr, ºlebovima 10, 11, 12 u odnosu na ºlebove 1, 2, 3, ems ovih provodnika¢e zapravo biti u protivfazi u odnosu na ems ºlebova (pogledati fusnotu 1). Kako bi seto naglasilo, fazori ems ovih ºlebova su ozna£eni isprekidanim linijama. Analogno vaºi i

1Prema konvenciji koja ¢e biti kori²¢ena u ovom kursu, pojam ems ºleba odnosi se na ems kojuosnovni prostorni harmonik magnetske indukcije indukuje u provodniku koji je sme²ten u taj ºleb, pri£emu je referentni smer provodnikaiz papira

2

za ostale ºlebove koji pripadaju negativnim faznim pojasevima.

Treba naglasiti da se zvezda ems na slici 2 odnosi samo na jedan sloj namotaja. Dakle,konstruisanjem ove zvede ems, odreene su pozicije i smerovi provodnika jednog slojanamotaja (npr. donjeg). Pozicije provodnika gornjeg sloja se zatim mogu odrediti vrlojednostavno, dodavanjem vrednosti navojnog koraka na brojeve ºlebova donjeg sloja.Tako npr. ºlebovima 1, 2, 3 koji pripadaju donjem sloju faze A odgovaraju ºlebovi1 + 8 = 9, 2 + 8 = 10, 3 + 8 = 11 gornjeg sloja. Naravno, s obzirom na to da oviprovodnici predstavljaju £ine navojke sa provodnicima 1, 2, 3, oni ¢e biti suprotnogsmera. Analogno vaºi i za ostale provodnike gornjeg sloja. Zvezda ems gornjeg slojanamotaja prikazana je na slici 2 (b).

Iako je svaki namotaj mogu¢e konstruisati iscrtavanjem zvezde ems, sam postupak ru£nogiscrtavanja moºe biti neprakti£an i podloºan gre²kama usled malih nepreciznosti, naro£itou slu£aju velikog broja ºlebova. Zbog toga se u praksi mnogo £e²¢e koristi tabelarni prikazzvezde ems. Ideja je da se prostorna predstava zvezde ems zameni analognom tabelarnompredstavom. U tom cilju, formira se tabela koja ima:

2 ·Q/t kolona,

p vrsta

Broj kolona tabele odgovara dvostrukom broju jedinstvenih fazora u zvezdi ems (2 ·Q/t).Drugim re£ima, razmak izmeu dve susedne ¢elije odgovara ugaonom rastojanju od αph/2.U principu, tabela je mogla biti formirana i sa dvostruko manjim broj kolona, jer bi iu tom slu£aju bilo mogu¢e svakom fazoru ems pridruºiti odgovaraju¢u ¢eliju u tabeli.Dvostruko ve¢i broj kolona se koristi da bi se tabela mogla izdeliti na jednake faznepojaseve u slu£ajevima kada je Q/t neparan broj, ²to moºe biti slu£aj kod namotaja sarazlomljenim brojem ºlebova po polu i fazi. Tabela se popunjava tako ²to se redni brojeviºlebova unose sa razmakom od:

Ncel =αs

αph/2= 2 ¢elije

elije se popunjavaju redom, pri £emu se pri dolasku do kraja jedne vrste brojanje na-stavlja od po£etka naredne vrste. Tabela datog namotaja za donji sloj prikazana je naslici 3 (a), a za gornji sloj na slici 3 (b). Poreenjem tabele i zvezde ems lako se uo£avaanalogija.

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

2 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

2 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 1 2 3 4 5 6 7 8

B+A- C+ B- A+ C-

B-A+ C- B+ A- C+

(a)

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

2 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

2 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 1 2 3 4 5 6 7 8

B+A- C+ B- A+ C-

B-A+ C- B+ A- C+

(b)

Slika 3: Tabela namotaja (Q = 36, 2p = 4, y = 8): (a) donji sloj, (b) gornji sloj

Nakon ²to je formirana zvezda ems ili tabela namotaja, lako se moºe formirati razvijena²ema namotaja. Jednostavno je potrebno za svaku fazu u odgovaraju¢i ºleb i sloj uneti

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

A X

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

B Y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

CZ

Slika 4: Razvijena ²ema namotaja (Q = 36, 2p = 4, y = 8)

provodnik odgovaraju¢eg smera. Prema konvenciji koja ¢e biti kori²¢ena ovde, pozitivansmer je navi²e i obrnuto. Razvijena ²ema namotaja prikazana je na slici 4. Za formiranjerazvijene ²eme je dovojno formirati tabelu ili zvezdu ems samo za donji sloj namotaja, azatim pozicije provodnika gornjeg sloja odrediti pomeranjem provodnika donjeg sloja zabroj ºlebova koji odgovara navojnom koraku.

NAPOMENA: Preporu£uje se da se pri fomiranju razvijene ²eme namotaja prati slede¢aprocedura (za svaku fazu):

i. uneti provodnike donjeg sloja sa nazna£enim smerovima u odgovaraju¢e ºlebove,prema tabeli namotaja;

ii. uraditi isto za provodnike gornjeg sloja;

iii. formirati navojke, tj. sekcije, povezivanjem provodnika donjeg sloja i odgovaraju¢ihprovodnika gornjeg sloja (npr. navojak 1-9);

iv. meusobno povezati navojke (sekcije), vode¢i ra£una o smerovima delova navojakakoji se povezuju.

to se ti£e meusobnog povezivanja sekcija, na£in povezivanja koji je prikazan na slici 4nije jedinstven. Sekcije mogu biti meusobno povezane i na druge na£ine, pri £emu jejedino bitno da se ispo²tuje smer provodnika. Naravno, susedne sekcije treba meusobnopovezivati najkra¢im mogu¢im vezama (npr. sekcije 1-9 i 2-10).

b) U pitanju je namotaj sa razlomljenim brojem ºlebova po polu i fazi:

z =Q

2p=

9

8

m =z

q=

3

8

Sa slike 5 vidi se da raspored ºlebova u odnosu na osnovni harmonik magnetske induk-cije nije isti pod svakim parom polova (radi poreenja sa namotajem sa celim brojemºlebova po polu i fazi, pogledati sliku 1). tavi²e, moºe se uo£iti da ne postoje dvaºleba kojima odgovara ista vrednost magnetske indukcije. Ovo se ogleda u £injenici daje t = NZD(Q, p) = 1. Dakle, vrednost t pokazuje koliko puta ¢e se ponoviti isti raspo-red ºlebova u odnosu na talas magnetske indukcije. Vrednosti zna£ajne za konstrukciju

4

0 160 320 480 640 800 960 1120 1280

1 2 3 4 5 6 7 8 9



namotaja su:t = NZD(Q, p) = 1

αs =2π · pQ

=8π

9(160)

αph =2π · tQ

=2π

9(20)

Zvezda ems gornjeg i donjeg sloja namotaja prikazana je na slici 6. Primetiti da fazoriems susednih ºlebova nisu susedni u zvezdi ems, ve¢ su pomereni za αs. Zvezda ems semoºe formirati nano²enjem fazora uzastopnih ºlebova redom pod uglom αs dok se ne doedo poslednjeg ºleba. Ve¢ je obja²njeno da je ovakav pristup, iako o£igledan i jednostavan,podloºan gre²kama, i zato se koristi tabelarni pristup.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A+

C−

B+

A−

C+

B−

αph

αs

A

B

C

(a)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A+

C−B+

A−

C+ B−

A

B

C

(b)


Tabela namotaja prikazana je na slici 7. Princip formiranja tabele je isti kao i u slu£ajunamotaja pod (a), s tim ²to je, zbog velikog elektri£nog ugla izmeu susednih ºlebova,tabela za namotaj sa razlomljenim brojem ºlebova po polu i fazi znatno praznija. ta-vi²e, postoje parovi polova pod kojima faze nemaju nijedan provodnik. Primetiti i da

5

su kod namotaja sa celim brojem ºlebova po polu i fazi redni brojevi ºlebova u tabelibili u istim kolonama (pogledati sliku 3), drugim re£ima, kod namotaja sa celim brojemºlebova po polu i fazi, namotaj se ponavljao pod svakim parom polova (t = p). Kodnamotaja sa razlomljenim brojem ºlebova po polu i fazi to ne mora biti slu£aj. Razvijena²ema namotaja prikazana je na slici 8. Princip formiranja ²eme namotaja je isti kao i zanamotaj sa celim brojem ºlebova po polu i fazi.

1 1 2 3

2 4 5

3 6 7

4 8 9

B-A+ C- B+ A- C+

(a)

1 2 3 4

2 5 6

3 7 8

4 9 1

B+A- C+ B- A+ C-

(b)


1 2 3 4 5 6 7 8 9

A X

1 2 3 4 5 6 7 8 9

BY

1 2 3 4 5 6 7 8 9

CZ


Pri odreivanju po£etaka druge dve faze, treba voditi ra£una o tome da njihovi namotaji,gledano izmeu po£etka i kraja, treba da izgledaju identi£no kao namotaj faze A. Kakobi se to ostvarilo, po£etak faze B treba da bude pomeren u odnosu na po£etak faze Aza k · 2π + 2π/3 (elektri£nih), a po£etak faze C za k · 2π + 4π/3 (elektri£nih), gde jek = 1, 2, 3, . . . . Prevedeno u broj ºlebova, po£eci faza B i C treba da budu pomereni uodnosu na po£etak faze A za minimalan ceo broj ºlebova koji odgovara datom ugaonompomeraju2

2S obzirom na to da se radi o namotaju sa razlomljenim brojem ºlebova po polu i fazi, moºe sedesiti, ²to je slu£aj u ovom primeru, da se u 2π/3 (elektri£nih) ne sadrºi ceo broj ºlebova, tj. ceo brojodgovaraju¢ih ugaonih rastojanja αs.

6

c) U pitanju je namotaj sa razlomljenim brojem ºlebova po polu i fazi:

z =Q

2p=

9

2

m =z

q=

3

2

t = NZD(Q, p) = 3

αs =2π · pQ

=2π

9(40)

αph =2π · tQ

=2π

9(40)

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 480 520 560 600 640 680 720 760 800 840 880 920 960 1000 1040

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27



1

2

34

5

6

7 8

9

10

11

1213

14

15

1617

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

A+

C−

B+

A−

C+

B−

αph

αs

A

B

C

(a)

1

2

34

5

6

78

9

10

11

1213

14

15

1617

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

A+

C−B+

A−

C+ B−

A

B

C

(b)


Kako je t = p i αs = αph, namotaj ¢e se ponavljati p puta, tj. raspored ºlebova u odnosuna osnovni harmonik indukcije bi¢e isti pod svakim parom polova, ²to se moºe zaklju£itina osnovu slike 9. Meutim, za razliku od namotaja sa celim brojem ºlebova po polu ifazi, raspored ºlebova ne¢e biti isti pod susednim polovima. Ovo se takoe moºe uo£iti

7

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 10 11 12 13 14 15 16 17 18

3 19 20 21 22 23 24 25 26 27

1 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2 14 15 16 17 18 19 20 21 22

3 23 24 25 26 27 1 2 3 4

B-A+ C- B+ A- C+

B+A- C+ B- A+ C-(a)

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 10 11 12 13 14 15 16 17 18

3 19 20 21 22 23 24 25 26 27

1 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2 14 15 16 17 18 19 20 21 22

3 23 24 25 26 27 1 2 3 4

B-A+ C- B+ A- C+

B+A- C+ B- A+ C-

(b)


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

A X

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

B Y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

CZ


sa slike 9, kao i iz zvezde ems i tabele namotaja (slike 10 i 11). Razvijena ²ema namotajaprikazana je na slici 12.

d) U pitanju je namotaj sa razlomljenim brojem ºlebova po polu i fazi:

0 210 420 630 840 1050 1260 1470 1680 1890 2100 2310

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



8

z =Q

2p=

6

7

m =z

q=

2

7

t = NZD(Q, p) = 1

αs =2π · pQ

=7π

6(210)

αph =2π · tQ

=π

6(30)

Raspored ºlebova u odnosu na osnovni harmonik magnetske indukcije prikazan je na slici13. Zvezda ems, tabela namotaja i razvijena ²ema namotaja prikazane su na slikama14-16.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A+

C−

B+

A−

C+

B−

αph

αs

A

B

C

(a)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A+

C−

B+

A−

C+

B−

A

B

C

(b)


1 1 2

2 3 4

3 5 6

4 7

5 8 9

6 10 11

7 12

1 2 3

2 4 5

3 6 7

4 8

5 9 10

6 11 12

7 1

B-A+ C- B+ A- C+

B+A- C+ B- A+ C-(a)

1 1 2

2 3 4

3 5 6

4 7

5 8 9

6 10 11

7 12

1 2 3

2 4 5

3 6 7

4 8

5 9 10

6 11 12

7 1

B-A+ C- B+ A- C+

B+A- C+ B- A+ C-

(b)


9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A X

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B Y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

CZ


2. Vodena turbina za pogon hidrogeneratora ima optimalnu ekonomi£nu brzinu odpribliºno 78 o/min. Odrediti broj polova i najbliºu izvodljivu brzinu obrtanja za, sanjom direktno spregnute, sinhrone generatore za u£estanost:

a) 50 Hz

b) 25 Hz

c) 60 Hz

Re²enje: Relacija koja povezuje brzinu obrtanja i u£estanost rada generatora glasi:

n =60f

p,

gde je n [o/min] brzina obrtanja rotora, f [Hz] elektri£na u£estanost i p [/] broj paripolova generatora. Odatle, izraz za broj polova kojim se postiºe ekonomi£na brzina glasi:

2p =60f

nek,

pri £emu se za broj polova usvaja najbliºi ceo paran broj. Za zadate vrednosti u£estanostidobijaju se slede¢i rezultati:

a) 2p = 76; n = 79 o/min

b) 2p = 38; n = 79 o/min

c) 2p = 92; n = 78.26 o/min.

3. Motor predvien za napon 440 V, 60 Hz, treba priklju£iti na mreºu u£estanosti50 Hz. Za koji napon te u£estanosti ¢e maksimalna vrednost indukcije ostati neprome-njena?

Re²enje: Ako se pretpostavi da je napon na krajevima motora blizak indukovanoj elek-tromotornoj sili, tada vaºe slede¢e relacije:

U ≈ E ∼ ωΨ ∼ 2πf ·Bm ·2

πτl ∼ fBm.

Kako bi se zadrºala ista vrednost indukcije pri promenjenoj u£estanosti, odnos napona iu£estanosti mora ostati konstantan:

U50Hz

50=U60Hz

60,

10

pa vrednost napona pri u£estanosti od 50 Hz treba da bude jednaka:

U50Hz = 367 V

4. Mali ogledni trofazni £etvoropolni SG ima koncentrisani dijametralni namotaj. Svakasekcija ima 20 navojaka, a svi navojci iste faze vezani su na red. Fluks po polu koji stvarapobudni namotaj na rotoru raspodeljen je sinusoidalno u meugvoºu ma²ine i ima vred-nost od 0.025 Wb. Rotor se obr¢e brzinom od 1800 o/min.

a) Odrediti efektivnu vrednost indukovane ems po fazi.

b) Uzmimo da je fazni redosled a, b, c i da je u po£etnom trenutku uks kroz fazu amaksimalan. Napisati grupu vremenskih jedna£ina za tri fazne ems izmeu krajeva a, b,c i neutralne ta£ke namotaja (sprega zvezda).

c) Pod uslovima datim u b), napisati grupu vremenskih jedna£ina za ems izmeu fazaa i b, b i c, c i a.

Re²enje: Fluks po polu predstavlja uks kroz jedan navojak. Ukupan uks namotaja zakoncentrisan dijametralni namotaj (pojasni i tetivni navojni sa£inilac jednaki su jedinici)iznosi:

Ψ = p ·Nz1 · Φ,gde je Nz1 broj navojaka po sekciji (u ovom slu£aju, po paru polova) generatora, a Φuks po polu.

a) Vrednost indukovane ems po fazi dobija se iz izraza:

Ef =2π√

2· f Nz1p︸︷︷︸

Ns

Φ = 4.44 · fNsΦ = 266.4 V,

gde je Ns broj navojaka po fazi. U£estanost iznosi f = np60

= 60 Hz.

b) Kako je uks kroz fazu a u trenutku t = 0 maksimalan, to se uks kroz jedannavojak faze a moºe izraziti kao:

ϕa(t) = Φ cosωt

gde je ω = 2πf ugaona u£estanost. Odatle, izraz za vremenski oblik ems u fazi a glasi:

ea = −dϕadt

= Ef√

2 · sinωt = 377 sin 377t.

Kako je re£eno da fazne ems £ine simetri£an sistem direktnog redosleda, to su ems-e udruge dve faze jednake:

eb = 377 sin (377t− 2π/3),

ec = 377 sin (377t+ 2π/3).

c) Meufazne ems-e dobijaju se jednostavnim oduzimanjem odgovaraju¢ih faznih ems:

eab = 653 sin (377t+ π/6),

ebc = 653 sin (377t− π/2),

eca = 653 sin (377t− 5π/6).

Do istog rezultata se moglo do¢i ako se ima u vidu da je efektivna vrednost meufazne ems√3 puta ve¢a od efektivne vrednosti fazne ems, kao i da kod trofaznog sistema direktnog

redosleda meufazna ems prednja£i odgovaraju¢oj faznoj ems za π/6.

11

5. Trofazni dvopolni sinhroni generator ima na statoru namotaj sa 60 provodnika pofazi £iji je navojni sa£inilac 0.92. Rotor generatora okre¢e se brzinom od 3000 o/min.Pobudni namotaj na rotoru stvara uks prostoperiodi£ne raspodele u meugvoºu, am-plitude 3.76 · 10−2 Wb/polu. Odrediti efektivnu vrednost indukovane ems praznog hodau jednoj fazi.

Re²enje: Indukovana ems moºe se odrediti na sli£an na£in kao i u prethodnom zadatku:

Ef = 2.22 ·Npr · k1fΦ,

gde je k navojni sa£inilac namotaja, a Npr broj provodnika po fazi. Treba primetiti daovde, za razliku od prethodnog zadataka, u izrazu za ems guri²e broj provodnika pofazi, a ne broj navojaka, zbog £ega se koristi koecijent 2.22. Takoe, s obzirom na to daje namotaj raspodeljen, za razliku od prethodnog zadatka, u ovom slu£aju neophodno jeuvrstiti navojni sa£inilac u izraz za ems. U£estanost ems, na osnovu date brzine obrtanjai broja polova, iznosi 50 Hz. Efektivna vrednost indukovane ems jednaka je:

Ef = 230.38 V.

6. Trofazni ²esnaestopolni SG sa faznim namotajima spregnutim u zvezdu ima 144ºleba, 10 provodnika po ºlebu i namotaj sa punim navojnim korakom. Fluks po polu je3 · 10−2 Wb, sinusnog je oblika i obr¢e se brzinom od 39.3 rad/s. Odrediti u£estanost ivrednosti indukovane ems po fazi i izmeu faza ako su svi provodnici indukta vezani nared.

Re²enje: Podaci o namotaju:

Q = 144 ukupan broj ºlebova

2p = 16 broj polova

q = 3 broj faza generatora

Nz = 10 broj provodnika u ºlebu

Broj ºlebova po polu i broj ºlebova po polu i broj ºlebova po polu i fazi iznose:

z =Q

2p= 9,

m =z

q= 3.

Iz date vrednosti mehani£ke brzine moºe se odrediti u£estanost kao:

f = p · ωmeh2π≈ 50 Hz.

Pojasni navojni sa£inilac jednak je:

kp =sin mπ

2z

m sin π2z

,

a to je istovremeno i rezultantni navojni sa£nilac, jer namotaj ima pun navojni korak, paje kt = 1. Efektivna vrednost fazne ems jednaka je:

Ef = 2.22 · (Z/q ·Nz) · kpfΦ = 1534.46 V.

12

Primetiti da proizvod Z/q · Nz predstavlja ukupan broj provodnika po fazi. Meufaznaems jednaka je:

Elin =√

3 · Ef = 2657.76 V.

7. Data je raspodela uksa u meugvoºu trofazne ma²ine za naizmeni£nu struju kojustvara pobudni namotaj na rotoru: B = 0.9 · (sin θ + 0.3 · sin 3θ + 0.2 sin 5θ) T. Rotorse obr¢e brzinom od 500 o/min. Podaci o namotaju: Q = 27, 2p = 12, dvoslojni,sprege zvezda, navojni korak y = 2 ºleba, broj provodnika po ºlebu Nz = 10. Dimenzijema²ine: aksijalna duºina l = 1.35 m, pre£nik rotora D = 2 m. Smatrati da je pre£nikrotora pribliºno jednak pre£niku statora. Svi navojci jedne faze su vezani na red. Odreditiprocentualne vrednosti vi²ih harmonika u odnosu na osnovni, i ukupne efektivne vrednostielektromotornih sila indukovanih:

a) u provodniku,

b) u navojku,

c) u sekciji,

d) u fazi,

e) izmeu faza.

Re²enje:

a) Indukovana ems u provodniku koji se kre¢e u magnetskom polju data je izrazom:

Epr = Blv,

gde je l duºina provodnika, a v brzina kretanja provodnika u magnetskom polju. Na-ravno, ista relacija vaºi ako se polje kre¢e, a provodnik miruje. Kako se u analiziranomslu£aju ceo talas magnetske indukcije kre¢e jedinstvenom brzinom, amplituda svakog odharmonika magnetske indukcije preseca provodnik istom brzinom. Stoga, odnosi ampli-tuda pojedinih harmonika odgovaraju odnosu amplituda odgovaraju¢ih harmonika polja,tj. indukcije. Kako su pojedina£ni harmonici ems prostoperiodi£ne veli£ine, isti zaklju£akvaºi i za njihove efektivne vrednosti:

Eνpr

E1pr

=Bν

B1

.

Procentualne vrednosti pojedinih harmonika u odnosu na osnovni iznose:

E3pr/E

1pr = 30%

E5pr/E

1pr = 20%

Efektivna vrednost osnovnog harmonika ems jednaka je:

E1pr =

1√2B1l ·

nπ

30· D

2︸︷︷︸v

= 45 V

Efektivna vrednost ukupne ems u provodniku jednaka je korenu iz sume kvadrata har-monika:

Epr =√

(E1pr)

2 + (E3pr)

2 + (E5pr)

2 = 47.8 V

13

b) Ems u jednom navojku jednaka je izvodu magnetskog uksa kroz navojak, pa seefektivna vrednost ν-tog harmonika moºe izraziti kao:

Eνnav =

1√2ων · Φν

nav =1√2νω1 · Φν

nav =2π√

2νf1Φ

νnav = 4.44νf1Φ

νnav

gde je ω1 = 2πf1 = p · (πn/30) = 314 rad/s ugaona u£estanost osnovnog harmonikaems (f1 = 50 Hz), a fν i ων su u£estanost i ugaona u£estanost ν-tog harmonika. Flukskroz navojak moºe biti manji od uksa po polu ukoliko navojni korak nije jednak polnomkoraku:

Φνnav = Φν · ktν .

Tetivni navojni sa£inilac za ν-ti harmonik dat je izrazom:

ktν = sin(νyz

π

2

).

gde je z = Q/(2p) (u op²tem slu£aju nije ceo broj). Vrednosti tetivnog navojnog sa£iniocaza razmatrane harmonike date su u tabeli u slede¢em primeru. O£igledno, kako bi seodredio odnos harmonika ems, potrebno je poznavati relaciju izmeu uksa po polu iamplitude magnetske indukcije za ν-ti harmonik:

Φν =

∫ π

0

Bν · sin(νθ)D

2ldθ/p =

Bν

ν· Dlp

=2

π

Bν

ν· τ l

U prethodnom izrazu, D je srednji pre£nik rotora, l je aksijalna duºina ma²ine, a τ =πD/2p duºina luka pod jednim polom. Deljenje sa brojem pari polova pod integralomje posledica £injenice da uks treba ra£unati integracijom po mehani£kom uglu, a θ kojeguri²e u integralu je elektri£ni ugao. Iz prethodnog izraza se jasno vidi da je odnosuksa po polu ν-tog i osnovnog harmonika jednak:

Φν

Φ1

=Bν

νB1

,

pa je odnos ν-tog i osnovnog harmonika ems u navojku jednak:

EνE1

=fνf1· Bν

νB1

· ktνkt1

=ktνBν

kt1B1

,

jer je fν = νf1. Procentualne vrednosti pojedinih harmonika u odnosu na osnovni ukonkretnom slu£aju jednake su:

E3nav/E

1nav = 26.4%

E5nav/E

1nav = 13.1%

Efektivna vrednost osnovnog harmonika ems u navojku iznosi:

E1nav =

1√2ω1kt1Φ1 = 88.6 V

Primetiti da su skra¢enjem navojnog koraka ems vi²ih harmonika umanjene u odnosu naosnovni harmonik3. Rezultantna ems navojka jednaka je:

Enav =√

(E1nav)

2 + (E3nav)

2 + (E5nav)

2 = 92.4 V3O£igledno je da primenjeni navojni korak nije rezultovao zna£ajnim smanjenjem ems vi²ih harmonika.

Kod ma²ina sa razlomljenim brojem ºlebovima po polu i fazi ponekad ima smisla usvojiti navojni korakve¢i od polnog koraka, jer se time moºe posti¢i povoljnija vrednost kt za pojedine harmonike. Pri tome,treba voditi ra£una o £injenici da se pove¢anjem navojnog koraka pove¢ava duºina bo£nih veza, a samimtim i utro²ak materijala i otpornost namotaja

14

Do istog rezultata se dolazi i ako se ems navojka izra£unava kao zbir ems dva provodnikaudaljena za jedan navojni korak, tj. ºlebova na ugaonim pozicijama θ = 0 i θ = (y/τ)π:

eνnav = eνpr,0 + eνpr,y

Primetiti da mala slova ozna£avaju trenutne vrednosti ems. Izraz za vremensku promenuν-tog harmonika magnetske indukcije na proizvoljnoj ugaonoj poziciji θ u meugvoºuglasi:

bν(θ, t) = Bν sin(νθ + ωνt)

Sada se trenutna vrednost ems u jednom navojku moºe izraziti kao (znak 1- je posledica£injenice da je provodnik na poziciji (y/τ)π suprotnog smera u odnosu na provodnik napoziciji 0):

eνnav = lv · (bν(0, t)− bν((y/z)π, t))

= lvBν

[sin(ωνt)− sin(

νy

zπ + ωνt)

]= 2lvBν︸︷︷︸

2Eνpr√2

cos(ωνt

νy

z

π

2

)sin(νyz

π

2

)︸︷︷︸

ktν

= 2lω1

p

D

2︸︷︷︸v

Bνktν cos(ωνt

νy

z

π

2

)

= 2lω1

p

D

2νπ

2τ lΦνktν cos

(ωνt+

νy

z

π

2

)= νω1ktνΦν︸︷︷︸

Eνnav√2

cos(ωνt+

νy

z

π

2

)Iz prethodnog izraza je o£igledno da se ems navojka moºe izraziti i na osnovu ems pro-vodnika kao:

Eνnav = 2Eν

prktν

Studentima se preporu£uje da provere ovo tvrenje.

c) Sekcija ili kanura predstavlja skup redno vezanih navojaka u dva ºleba udaljena zajedan navojni korak. S obzirom na to da je u pitanju dvoslojni namotaj, broj provodnikapo ºlebu koji pripadaju jednoj sekciji je:

Nz1 =Nz

2= 5

Vrednost Nz1 istovremeno predstavlja i broj navojaka koji £ine jednu sekciju. S obziromna to da se svi navojci jedne sekcije nalaze u ista dva ºleba, njihove ems su u fazi, pa jeukupna ems sekcije:

Esec = Nz1 · Enav = 461.8 V

Naravno, odnosi vi²ih harmonika i osnovnog harmonika isti su kao i za ems navojka.

d) Fazni namotaj je sa£injen od ve¢eg broja redno i/ili paralelno vezanih sekcija. Sobzirom na ugaoni pomeraj izmeu razli£itih sekcija, njihove ems su fazno pomerene zaugao koji odgovara elektri£nom pomeraju izmeu sekcija (za posmatrani harmonik). S

15

obzirom na to, fazna ems ne¢e biti jednaka sumi ems redno vezanih sekcija, ve¢ ¢e bitine²to manja, ²to se izraºava pomo¢u pojasnog navojnog sa£inioca:

kpν =sin(νm

′π2z′

)m′ sin

(ν π2z′

)Dati izraz vaºi za op²ti slu£aj namotaja sa razlomljenim brojem ºlebova po polu i fazi,pri £emu je:

z′ =Q

NZD(Q, 2p)= 9m′ =

z′

q= 3

Detaljnije obrazloºenje i izvoenje izraza za pojasni navojni sa£inilac moºe se na¢i uokviru materijala sa predavanja http://epp.etf.rs/wp/wp-content/uploads/2018/

03/Namotaji1novo.pdf4.

Fazna ems ν-tog harmonika data je izrazom:

Eνf = kpνNsecE

νsec

= kpν NsecNz1︸︷︷︸Ns

Eνnav

= kpνNs · 4.44νf1ktνΦν

= 4.44Ns · νf1kpνktνΦν

= 4.44Ns · νf1kνΦν ,

gde je Nsec broj sekcija po fazi, Ns broj navojaka po fazi i kν rezultantni navojni sa£inilac

za ν-ti harmonik. Broj sekcija po fazi jednak je:

Nsec =Q

q= 9

pri £emu je Q ukupan broj sekcija za dvoslojni namotaj (za jednoslojni je Q/2). Dakle,broj navojaka po fazi je:

Ns = NsecNz1 = 45

Na osnovu prethodno izvedenog izraza za uks po polu, dobija se da je odnos ν-tog iosnovnog harmonika fazne ems jednak:

Eνf

E1f

=kνBν

k1B1

.

Vrednosti navojnih sa£inilaca za razmatrane harmonike date su u slede¢oj tabeli:

ν kpν ktν kν1 0.9598 0.9848 0.95423 0.6667 -0.8660 -0.57745 0.2176 0.6428 0.1398

4Postupak opisan u materijalima sa predavanja odnosi se na ems ºlebova, dok se ovde istim navojnimsa£iniocem mnoºe ems sekcija. S obzirom na to da je ems svake sekcije (navojka) fazno pomerena uodnosu na ems po£etnog ºleba sekcije za isti ugao, vektorski zbir ems sekcija odreuje se na isti na£inkao i vektorski zbir ems ºlebova donjeg sloja, samim tim je i vrednost pojasnog navojnog sa£inioca ista

16

http://epp.etf.rs/wp/wp-content/uploads/2018/03/Namotaji1novo.pdf

http://epp.etf.rs/wp/wp-content/uploads/2018/03/Namotaji1novo.pdf

Procentualne vrednosti pojedinih harmonika u odnosu na osnovni u jednake su:

E3f/E

1f = 18.32%

E5f/E

1f = 2.96%

Efektivna vrednost osnovnog harmonika fazne ems jednaka je:

E1f = 3827 V

a rezultantna ems:Ef = 3892 V

Primetiti da su efektivne vrednosti vi²ih harmonika (u odnosu na osnovni) dodatno uma-njene u odnosu na ems navojka, ²to pokazuje povoljne efekte raspodeljenosti namotaja.Treba imati u vidu da raspodeljenost namotaja uti£e i na smanjenje osnovnog harmonika,ali je efekat generalno izraºeniji kod vi²ih harmonika.

e) Efektivne vrednosti harmonika linijske ems jednake su:

E1lin =

√3E1

f = 6628 V

E3lin = 0

E5lin =

√3E5

f = 196 V

Efektivna vrednost rezultantne linijske ems iznosi:

Elin =√

(E1lin)2 + (E5

lin)2 = 6631 V

Tre¢i harmonik nije prisutan u meufaznoj ems, jer tripli harmonici u razli£itim fazamaimaju istu efektivnu vrednost i fazni stav, pa se zbog toga meusobno poni²tavaju.

8. Promena indukcije u meugvoºu elektri£ne ma²ine data je sa B = Bm(sin θ+0.36 ·sin 3θ − 0.40 sin 5θ).

a) Izra£unati procentualne vrednosti ukseva pojedinih harmonika u odnosu na rezul-tantni uks.

b) Ako je namotaj trofazni dvoslojni, sa 5 ºlebova po polu i fazi, navojni korak skra-¢en za 1/5, a efektivna vrednost ems prvog harmonika jednaka 1, izra£unati efektivnevrednosti ems vi²ih harmonika i efektivnu vrednost fazne i meufazne ems pri sprezizvezda.

Re²enje:

a) U prethodnom zadatku je pokazano da je:

Φν

Φ1

=Bν

νB1

,

pa je, na osnovu toga:Φ3

Φ1

= 0.12

Φ5

Φ1

= −0.08.

17

Rezultantni (ukupni) uks namotaja jednak je algebarskoj sumi ukseva pojedinih har-monika:

Φrez = Φ1 + Φ3 + Φ5 = 1.04Φ1.

Vrednosti ukseva pojedinih harmonika u odnosu na ukupni uks jednake su:

Φ3

Φrez

= 0.9615

Φ3

Φrez

= 0.1154

Φ5

Φrez

= −0.0769.

Jako je bitno uzeti u obzir znak uksa, jer razli£iti harmonici mogu doprinositi smanjenjuili pove¢anju ukupnog uksa!

b) Navojni sa£inioci za opisani namotaj dati su u tabeli.

ν kpν ktν kν1 0.9567 0.951 0.90983 0.6472 -0.588 -0.3815 0.2 0 0

Pokazano je da je odnos faznih ems ν-tog i osnovnog harmonika Eνf /E

1f = (kνBν)/(k1B1).

Ako se usvoji da je E1f = 1, tada su vi²i harmonici ems:

E3f = 0.151

E5f = 0

Efektivna vrednost rezultantne fazne ems jednaka je:

Ef =√

(E1f )

2 + (E3f )

2 + (E5f )

2 = 1.011,

a efektivna vrednost linijske ems:

Elin =√

3 · E1f = 1.73.

9. Indukt trofazne osmopolne ma²ine za naizmeni£nu struju, spregnut u zvezdu, zau£estanost 60 Hz, ima 24 ºleba po polu. Navojni korak je y/τ = 5/6, a svaki navojnideo ima 4 navojka vezana na red. Namotaj je dvoslojni. Promena magnetne indukcijeu vazdu²nom zazoru data je izrazom: B(θ) = Bm · (sin θ + 0.35 sin 3θ − 0.40 sin 5θ), gdeje θ ugaono rastojanje u elektri£nim radijanima, mereno od ta£ke u kojoj je magnetskaindukcija jednaka nuli. Ma²ina je neoptere¢ena, rotor ma²ine obr¢e se sinhronom brzinom.Ukupni uks u vazdu²nom zazoru ma²ine je 48 mWb/polu. Odrediti efektivne vrednostifaznih i linijskih napona.

Re²enje: Odnos ν-tog i osnovnog harmonika uksa po polu dat je izrazom:

Φν

Φ1

=Bν

νB1

,

pa su vrednosti tre¢eg i petog harmonika uksa izraºene preko osnovnog harmonika:

Φ3 = 1/3 · 0.35Φ1 = 0.117Φ1;

Φ5 = 1/3 · (−0.4)Φ1 = −0.08Φ1.

18

Ukupni uks jednak je algebarskoj sumi harmonika:

Φrez = Φ1 + Φ3 + Φ5 = 1.037Φ1,

odakle je:Φ1 = 46.3 mWb;

Φ3 = 5.41 mWb;

Φ5 = −3.7 mWb.

Izraz za ν-ti harmonik fazne ems glasi:

Eν = 4.44 · kν ·Ns · νfΦν ,

gde je Ns broj navojaka po fazi statorskog namotaja. Broj navojaka po fazi jednak je:

Ns = Nsec ·Nz1 =Q

q·Nz1 =

192

3· 4 = 256

Podsetnik: veli£ina Nz1 predstavlja broj navojaka po navojnom delu (sekciji/kanuri).Ukupan broj provodnika u jednom ºlebu je Nz = 2Nz1 = 8.

Navojni sa£inioci za ν-ti harmonik dati su izrazima:

kpν =sin(νmπ

2z

)m sin νπ

2z

;

ktν = sin(νy

z

π

2

).

Broj ºlebova po polu i fazi jednak je m = z/q = 8. Vrednosti sa£inilaca su date u slede¢ojtabeli:

ν kpν ktν kν1 0.956 0.966 0.9233 0.641 -0.707 0.4535 0.195 0.259 0.05

Vrednosti harmonika fazne ems jednake su:

E1 = 2914.45 V;

E3 = 501.40 V;

E5 = 63.08 V.

10. Polje koje stvara cilindri£ni induktor sinhrone ma²ine ima trapezni oblik kao naslici.

a) Za koje vrednosti ugla β ¢e peti harmonik indukcije u zazoru biti jednak nuli?Izra£unati vrednosti osnovnog harmonika indukcije za te vrednosti ugla.

b) Za manju od dve dobijene vrednosti β odrediti potrebnu vrednost pobudne strujetako da osnovni harmonik indukcije u meugvoºu bude 0.8 T. Ma²ina je dvopolna,pobudni namotaj ima Nf = 30 navojaka, ²irina meugvoºa je δ = 2 mm.

Re²enje:

19

B

θ1800

900

Bm

β

Slika 17: Raspodela polja u zazoru ma²ine, 8. zadatak

a) Kako bi se odredio harmonijski sadrºaj trapeznog talasa magnetske indukcije, po-trebno je razviti ovaj talasni oblik u Furijeov red. Prema deniciji, izraz za ν-ti harmonikfunkcije B(θ) sa periodom 2π glasi:

Bν =1

π·∫ π

−πB(θ) sin(νθ)dθ.

Kako je funkcija neparna u datom koordinatnom sistemu, kosinusni £lanovi reda jednakisu nuli. Dati izraz se moºe dodatno pojednostaviti ako se uo£i da je funkcija simetri£na uodnosu na polovinu periode (θ = 0), kao i da je simetri£na u odnosu na £etvrtinu periode(θ = ±π/2):

Bν =4

π·∫ π

2

0

B(θ) sin(νθ)dθ =4

π·

[∫ β

0

Bm ·θ

βsin(νθ)dθ +

∫ π2

β

Bm · sin(νθ)dθ

].

Nakon kra¢eg izvoenja, dobija se izraz za amplitudu ν-tog harmonika magnetske induk-cije:

Bν =4

π

sin(νβ)

ν2βBm, ν = 1, 3, 5, . . .

Dobijeni izraz vaºi samo za neparne harmonike indukcije, dok su parni harmonici jednakinuli. Ovo je posledica simetrije funkcije u odnosu na £etvrtinu periode.

Peti harmonik ¢e biti jednak nuli kada je ispunjeno sin(νβ) = 0. Vrednosti ugla za kojeje ovo mogu¢e posti¢i iznose:

β1 = 36,

β2 = 72.

Vrednost osnovnog harmonika magnetske indukcije za ove dve vrednosti ugla iznosi:

B(1)1 = 1.19Bm,

B(2)1 = 0.96Bm.

b) Trapezni oblik talasa magnetske indukcije ima se kod ma²ina sa cilindri£nim roto-rom i raspodeljenim pobudnim namotajem (pogledati materijale sa predavanja: http://epp.etf.rs/wp/wp-content/uploads/2018/03/Namotaji2.pdf). U tom slu£aju, mak-simalna vrednost pobudne mps po polu data je izrazom:

Ffm =NfIf

2p

20

http://epp.etf.rs/wp/wp-content/uploads/2018/03/Namotaji2.pdf


Pod pretpostavkom da je µFe µ0, maksimalna vrednost indukcije u meugvoºu jed-naka je:

Bm =µ0Ffmδ

gde je δ duºina meugvoºa. Kako je maksimalna vrednost osnovnog harmonika induk-cije:

B1 =4

π

sin νβ

ν2βBm =

4

π

sin νβ

ν2β

µ0NfIf2pδ

potrebna vrednost pobudne struje iznosi:

If =2pδπ

4µ0Nf

· β1sin β1

B1 = 67.8 A

11. Polje koje stvara induktor sinhrone ma²ine sa isturenim polovima ima pravougaonioblik kao na slici ako je meugvoºe pod polom konstantne ²irine.

a) Za koje vrednosti ugla β ¢e vrednost petog, odnosno sedmog harmonika indukcijeu zazoru biti jednaka nuli?

b) Za β = 30 odrediti potrebnu vrednost pobudne struje tako da osnovni harmonikindukcije u meugvoºu bude 0.8 T. Ma²ina je tridesetopolna, pobudni namotaj imaukupno Nf = 360 redno vezanih navojaka, ²irina meugvoºa je δ = 8 mm.

B

θ1800

900

Bm

β


Re²enje:

a) Izraz za ν-ti harmonik magnetske indukcije glasi:

Bν =4

π·∫ π

2

0

B(θ) sin(νθ)dθ = Bν =4

π·∫ π

2

β

Bm sin(νθ)dθ =4

π

Bm

νcos(νβ).

Uslov da peti, odnosno sedmi, harmonik magnetske indukcije budu jednaki nuli svodi sena:

B5 = 0 → cos(5β) = 0 → β = 18 ∨ β = 54;

B7 = 0 → cos(7β) = 0 → β = 13 ∨ β = 39.

b) Maksimalna vrednost mps po polu data je izrazom:

Ffm =NfIf

2p

21

Pod pretpostavkom da je µFe µ0, maksimalna vrednost indukcije u meugvoºu jed-naka je:

Bm =µ0Ffmδ

gde je δ duºina meugvoºa. Kako je maksimalna vrednost osnovnog harmonika induk-cije:

B1 =4

πcos βBm =

4

πcos β

µ0NfIf2pδ

potrebna vrednost pobudne struje iznosi:

If =2pδπ

4µ0Nf

· 1

cos βB1 = 385 A

12. Ako je indukcija u zazoru sinhrone ma²ine predstavljena trapeznom krivom kao naslici, odrediti amplitude 1, 3, 5 i 7. harmoni£ne komponente indukcije.

B

θ1800

900

Bm

β=300


Re²enje: Na osnovu izraza za ν-ti harmonik indukcije izvedenog u 10. zadatku, dobijajuse slede¢e vrednosti za traºene harmonike:

B3 =4

π

sin(3π/6)

9π · π/6·Bm = 1.216Bm;

B3 =4

π

sin(3π/6)

9π · π/6·Bm = 0.270Bm;

B5 =4

π

sin(5π/6)

25π · π/6·Bm = 0.049Bm;

B7 =4

π

sin(7π/6)

49π · π/6·Bm = −0.025Bm.

Primetiti da se trapeznom raspodelom postiºe jako dobro slabljenje vi²ih harmonika, jerim amplituda opada sa kvadratom reda harmonika.

13. Odrediti amplitude traºenih harmonika krive indukcije iz prethodnog zadatka zaβ = 0, tj. za pravougaoni oblik polja.

Re²enje: Harmonijski sastav pravougaonog talasa magnetske indukcije mogao bi se odre-diti tako ²to se ponovi procedura prikazana u 10. i 11. zadatku. Meutim, kako pravo-ugaona raspodela predstavlja grani£ni slu£aj trapezne raspodele za β = 0, jednostavnije

22

je izraz za ν-ti harmonik odrediti kao:

Bν = limβ→0

4

π

sin(νβ)

ν2βBm =

4

νπBm ·

*1

limβ→0

sin νβ

νβ=

4

νπBm.

Amplitude traºenih harmonika iznose:

B1 =4

πBm = 1.273Bm;

B3 =4

3πBm = 0.424Bm;

B5 =4

5πBm = 0.255Bm;

B7 =4

7πBm = 0.182Bm.

Pravougaona raspodela polja je manje povoljna od trapezne, jer vi²i harmonici poljarelativno malo opadaju sa pove¢anjem reda harmonika, dok je osnovni harmonik neznatnove¢i nego u slu£aju trapezne raspodele.

14. Odrediti amplitude traºenih harmonika krive indukcije iz 10. zadatka za β = 90,tj. za trougaoni oblik polja.

Re²enje: Trougaona raspodela predstavlja grani£ni slu£aj trapezne raspodele za β = 90.Izraz za ν-ti harmonik dobija se kao:

Bν = limβ→π/2

4

π

sin(νβ)

ν2βBm =

8

ν2π2sin

νπ

2Bm = (−1)

ν−12 · 8

ν2π2Bm (ν = 1, 3, 5, . . . )

Amplitude traºenih harmonika iznose:

B1 =8

π2Bm = 0.811Bm;

B3 = − 8

9π2Bm = −0.091Bm;

B5 =4

5πBm = 0.032Bm;

B7 = − 4

7πBm = −0.016Bm.

Kod pravougaone raspodele vi²i harmonici opadaju sa kvadratom reda harmonika. Me-utim, osnovni harmonik je takoe zna£ajno oslabljen. Zbog toga nije preporu£ljivorasporeivati pobudni namotaj duº celog obima induktora, ve¢ samo duº jednog njego-vog dela. Na ovaj na£in se postiºe trapezna raspodela polja, koju odlikuju velika vrednostosnovnog i zna£ajno slabljenje vi²ih harmonika polja.

15. Trofazni hidrogenerator ima slede¢e podatke: 2p = 96, m = 238, y = 8, Ns = 114

navojaka po fazi, D = 12.92 m, l = 1.5 m, δ = 22 mm, relativna ²irina pola rotoraα = 0.733. Odrediti:

a) Koecijente oblika polja reakcije indukta kd i kq.

23

b) Vrednosti reaktansi u d− i q−osi za u£estanost od 50 Hz.

Zanemariti zasi¢enje u ma²ini.

Re²enje:

a) Osnovni harmonik mps reakcije indukta u d− i q−osi dat je izrazom istog oblika:

Fad1 = k1 ·q

2

4

π

NsId√

2

2p

Faq1 = k1 ·q

2

4

π

NsIq√

2

2p

gde je k1 rezultantni navojni sa£inilac za osnovni harmonik (z′ = 57, m′ = 19, z = 7.125):

k1 = kp1kt1 = 0.937

S obzirom na promenljiv magnetski otpor u d− i q− osi usled anizotroponosti rotora,osnovni harmonik magnetske indukcije ne moºe da se izrazi prosto kao µ0F/δ, ve¢ jepotrebno sloºenoperiodi£ni talas magnetske indukcije razviti u Furijeov red. Nakon izvo-enja koje je dato u materijalima sa predavanja (http://epp.etf.rs/wp/wp-content/uploads/2018/03/Namotaji2.pdf), dobijaju se slede¢i izrazi za osnovni harmonik mag-netske indukcije u d− i q−osi:

Bad1 =απ + sinαπ

π

µ0Fad1δ

= kdµ0Fad1δ

Baq1 =απ − sinαπ

π

µ0Faq1δ

= kqµ0Faq1δ

Dakle, koecijenti oblika polja jednaki su:

kd =απ + sinαπ

π= 0.970

kq =απ − sinαπ

π= 0.496

b) Kada je poznata raspodela osnovnog harmonika indukcije koju stvara reakcija in-dukta, moºe se odrediti ems faznog namotaja koja odgovara datoj amplitudi osnovnogharmonika indukcije (ems reakcije indukta), u skladu sa postupkom opisanim u 7. za-datku:

Ead = 4.44k1f1NsΦad1 = 4.44k1f1NsDl

pBad1 = 4.44k1f1Ns

Dl

pBad1

Eaq = 4.44k1f1NsΦaq1 = 4.44k1f1NsDl

pBaq1

(*)

S druge strane, ems reakcije indukta moºe se izraziti kao proizvod reaktanse reakcijeindukta i struje indukta u odgovaraju¢oj osi:

Ead = XadId

Eaq = XaqIq(**)

24



Izjedna£avanjem izraza (*) i (**) i zamenom izraza za mps u izraze za osnovne harmonikeindukcije, dobijaju se izrazi za reaktanse reakcije indukta po d− i q−osi:

Xad = 2qfµ0Dl

δ

N2s k

21

p2· kd = 1.595 Ω

Xaq = 2qfµ0Dl

δ

N2s k

21

p2· kq = 0.816 Ω

Reaktanse reakcije indukta u d− i q−osi daju vezu izmeu struje indukta i vrednostiuksa u meugvoºu koji ta struja stvara, tj. ems namotaja koja odgovara tom uksu.

NAPOMENA: Reaktansa reakcije indukta ma²ine sa cilindri£nim rotorom izra£unava sena isti na£in, s tim ²to je kod njih, zbog konstantnog meugvoºa, kd = kq = 1.

16. Trofazna dvopolna ma²ina ima rotor sa stalnim magnetima od Nd-Fe-B. Gustinaremanentnog uksa magneta je Br = 1.1 T, a relativna magnetska permeabilnost uradnom podru£ju je µr = 1.05. Duºina meugvoºa pod polovima (izmeu povr²inemagneta i unutra²nje povr²ine statora) je δ = 0.5 mm. Povr²ina magneta jednaka je 2/3povr²ine pola rotora. Namotaj statora je osmopolni, dvoslojni, sa 36 ºlebova i navojnimkorakom y = 4. Odrediti:

a) Potrebnu debljinu stalnih magneta kako bi gustina uksa pod polovima bila 1 T.

b) Amplitudu osnovnog harmonika mps koju stvaraju stalni magneti.

c) Vrednosti koecijenata oblika polja kd i kq ako su magneti utisnuti u jezgro rotora(za potrebe ovog prora£una, magnete tretirati kao vazduh, tj. smatrati da je µr = 1).

Re²enje:

a) Pod pretpostavkom da µFe →∞, primenom Amperovog zakona na konturu C (slika20) dobija se:

2Hmlm + 2Hδδ = 0

Indukcija stalnog magneta moºe se izraziti u funkciji ja£ine polja kao:

Bm = Br + µ0µrHm =⇒ Hm =Bm −Br

µ0µr(< 0)

Sada se prvi izraz moºe formulisati kao:

Bm −Br

µ0µrlm +

Bδ

µ0

δ = 0 (*)

Kako je, prema zakonu o konzervaciji magnetskog uksa, i uz zanemarivanje rasipanjalinija magnetskog polja na krajevima magneta (smatra se da postoji samo radijalna kom-ponenta polja), Bm = Bδ, dalje se ima da je:

Bδ

(lmµ0µr

+δ

µ0

)= Br

lmµ0µr

to jest:

Bδ =Brlm

lm + µrδ

25

Slika 20: Popre£ni presek PMSM sa stalnim magnetima na povr²ini rotora

Kona£no, dobija se da je za traºenu vrednost indukcije Bδ = 1 T potrebna debljinaNd-Fe-B magneta:

lm =µrBδ

Br −Bδ

δ = 5.25 mm

NAPOMENA 1: Ma²ina sa povr²inski montiranim magnetima je uzeta kao primer, ali seisto razmatranje odnosi i na ma²inu sa utisnutim magnetima.NAPOMENA 2: Razli£iti tipovi magneta imaju razli£ite vrednosti remanentne indukcijei permeabilnosti, pa bi u slu£aju upotrebe drugog tipa magneta bila potrebna i druga£ijadebljina magneta.

b) Ekvivalentna mps stalnih magneta predstavlja ukupan pad magnetskog napona umagnetima i vazduhu usled indukcije Bδ:

FPM =Bδ

µrµ0

lm +Bδ

µ0

δ

²to je, na osnovu *:

FPM =Brlmµ0µr

Stalni magneti stvaraju polje £ija gustina uksa ima istu raspodelu kao gustina uksama²ine sa pobudnim namotajem i isturenim polovima u 11. zadatku, pa je izraz zaosnovni harmonik mps:

FPM1 =4

π

Brlmµ0µr

cos β = 4826 A · nav(β =

1− 2/3

2· π =

π

6

)c) Sinhrone ma²ine sa stalnim magnetima (Permanent Magnet Synchronous Machine

PMSM) izvode se tako ²to su magneti montirani u d−osi na povr²ini rotora (SurfacePermanent Magnet Synchronous Machine SPMSM), u d−osi utisnuti u jezgro rotora(Interior Permanent Magnet Synchronous Machine IPMSM), ili sa magnetima monti-ranim u q− osi i utisnutim u jezgro rotora. Prva dva navedena tipa konstrukcije prikazanisu na slici 21.

26

qd

N

N

hPM

δ

μFe

μFe

N

N

S

SS

S

qd

N

N

δ

μFe

μFe

N

N

S

SS

S

hPM

Slika 21: Tipovi konstrukcije sinhrone ma²ine sa stalnim magnetima: SPMSM (levo) i IPMSM

(desno)

SPMSM ima pribliºno isti magnetski otpor u d− i q−osi, te se sa aspekta reakcije induktamoºe tretirati sli£no kao ma²ina sa cilindri£nim rotorom (Xad ≈ Xaq), kd = kq = 1.

IPMSM ima razli£ite magnetske otpore u d− i q−osi, tako da je kod nje Xad 6= Xaq ikd < 1, kq < 1. Koecijenti oblika kd i kq izra£unavaju se na sli£an na£in kao u 15.

zadatku, s tim ²to je ovde situacija u pogledu magnetskih otpora u d− i q−osi obrnuta magnetska indukcija u d−osi kod IPMSM ima isti talasni oblik kao magnetska indukcijau q−osi kod SM sa pobudnim namotajem i isturenim polovima, i obrnuto. Raspodelaosnovnog harmonika mps reakcije indukta i odgovaraju¢eg osnovnog harmonika magnet-ske indukcije u d− i q−osi prikazane su na slici 22. Na osnovu datih raspodela i izrazaza koecijente oblika date u 15. zadatku, moºe se zaklju£iti da su izrazi za koecijenteoblika kod IPMSM:

kd =(π − απ)− sin(π − απ)

π=π · (1− α)− sinαπ

π= 0.058

kq =(π − απ) + sin(π − απ)

π=π · (1− α) + sinαπ

π= 0.609

B(θ)

θ

π/2-π/2 π-π

q d

F

ad1

B

ad1

μ

Fe

→

∞

μ

0

μ

0μ

0

απ

(a)

B(θ)

θ

π/2-π/2

απ

π-π

q d

F

aq1

B

aq1

-π

μ

Fe

→

∞

μ

0

μ

0

μ

(b)

Slika 22: Raspodela polja u d− i q− osi kod IPMSM

27

Dakle, za razliku od ma²ine sa pobudnim namotajem i isturenim polovima, kod ma²inesa utisnutim magnetima je Xd < Xq. Kada se znaju koecijenti oblika polja, reaktansereakcije indukta u d− i q−osi se mogu izra£unati kao:

Xad = kd ·Xa

Xaq = kq ·Xa

gde je Xa reaktansa reakcije indukta koja bi se imala kod ma²ine sa cilindri£nim rotoromi meugvoºem duºine δ.

17. Trofazni sinhroni turbogenerator sa podacima: 2 MVA, 1000 V, 50 Hz, p = 2, ima 60ºlebova na statoru i 100 navojaka po fazi i 56 ºlebova popunjenih namotajem na rotoru sa500 navojaka. Na rotoru su ºlebovi rasporeeni na 2/3 polnog koraka. Odrediti pobudnustruju koja je potrebna da bi se kompenzovala reakcija indukta statora ako generatordaje u mreºu 70% nominalne snage uz induktivan sa£inilac snage jednak nuli. Statorskinamotaj ima pun korak motanja (y = τ).

Re²enje: Parametri statorskog i pobudnog namotaja:

Q1 = 60 broj ºlebova na statoru;

Ns = 100 broj navojaka po fazi statora;

Q2 = 56 broj ºlebova na rotoru u koje je sme²ten namotaj;

Nf = 500 broj navojaka pobudnog namotaja.

Potrebno je odrediti kolika je pobudna struja potrebna kako bi se generisao osnovniharmonik pobudnog uksa jednak osnovnom harmoniku uksa reakcije indukta. Dakle,treba da bude zadovoljen uslov:

Φf1 = Φa1,

Kako je rotor cilindri£an, tj. meugvoºe konstantno, ovaj uslov se moºe zameniti jed-nako²¢u magnetopobudnih sila:

Ff1 = Fa1,

s obzirom na to da je F = Φ/Rµ, a magnetski otpor Rµ je konstantan duº obima ma²ine.Kompenzacija reakcije indukta podrazumeva zadavanje pobudne struje koja ¢e obezbeditida rezultantni uks u ma²ini, tj. u meu gvoºu, ostane jednak onom koji se imao kadaje generator bio neoptere¢en, £ime se odrºava konstantan napon na krajevima generatora.

Osnovni harmonik mps indukta po polu dat je izrazom:

Fa1 =q

2· 4

π· k1 ·Ns · Ia

√2

2p.

Vrednost pojasnog navojnog sa£inioca namotaja indukta za osnovni harmonik jednakaje:

k1 =sin msπ

2zs

sin π2zs

= 0.9567,

U pitanju je namotaj sa celim brojem ºlebova po polu i fazi, pa je z′ ≡ z i m′ ≡ m.Osnovni prostorni harmonik mps indukta u funkciji efektivne vrednosti struje induktadat je sa:

Fa1 = 129.2Ia.

28

Osnovni harmonik pobudne mps dat je izrazom:

Ff1 = kf1 ·NfIf

2p.

gde je kf1 sa£inilac oblika polja pobudnog namotaja za osnovni harmonik. Svi parametrikoji guri²u u datom izrazu su poznati, osim kf1. Sa£inilac oblika polja turbogeneratoraizveden je u 10. zadatku:

kf1 =4

π

sin β

β

Na osnovu podatka da su ºlebovi rasporeeni na 2/3 pola, moºe se zaklju£iti da je:

β =23π

2=π

3

pa je sa£inilac oblika polja pobudnog namotaja:

kf1 =4

π

sin π3

π/3= 1.053.

Kona£no, dobija se izraz za pobudnu mps u funkciji pobudne struje:

Ff1 = 263.5If .

Vrednost pobudne struje koja kompenzuje reakciju indukta dobija se izjedna£avanjemmps:

Ff1e = Ff2 =⇒ Ife =q

2

k1Ns

kf1Nf

Ia√

2 = 0.4903Ia.

Struja indukta se moºe odrediti na osnovu prividne snage:

Ia =0.7 · Sn√

3Un= 808.29 A,

pa je potrebna vrednost pobudne struje:

Ife = 396.7 A.

29

sinhrone ma²ine (13e013sim)epp.etf.rs/wp/wp-content/uploads/2018/04/zadaci_sm_2018_i_deo.pdf ·...

Documents