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Single-Source Shortest Paths

Single-Source Shortest Paths 2

Shortest-path problem

• 即是在一圖上找出兩點間最短路徑。• G=(V,E) 是一個 Weighted Directed Graph( 加權有向圖 ) 透過 Weight function w: ER 界定出每個邊的權重。

• 以 p=(v0,v1,…,vk) 表一個自 v0到 vk的 Path( 路徑 ) 。


Shortest-path problem

• 定義• 定義自 u 到 v 的最短距離

k

i ii vvwpw1 1 ),()(

otherwise. ,

. to frompath a },:)(min{),( vuvupwvup


Shortest-path tree rooted at s

• 對應於圖 G=(V,E) 的 Shortest-path tree rooted at s ( 根於 s 之最短路徑樹 ) G’=(V’,E’) ，滿足下列三點：– V’ 是 s 可達的點集合。– G’ 是一個以 s 為根的 Rooted Tree 。– 在 G’ 中 s 到 v 的 simple path 即為 G 中 s 到 v 的最短路徑。


Shortest-path tree rooted at s範例

s

t

u

v

wx

y

z

s

t

v

wx

y

z

Original Graph G Shortest-path tree rooted at s

10

10

10

10

10

10

1

1

1

1

1

10

10

1

1

1

1


Predecessor graph

• 對一圖 G=(V,E) ，根據一個表 π 來建構的子圖 Gπ

=(Vπ,Eπ) ，滿足以下條件：– π[s]=NIL ，且 s∈Vπ。– 若 π[v]≠NIL 則 (π[v],v)∈Eπ且 v∈Vπ 。

• Shortest-path tree rooted at s 是 Predecessor graph 的特例。


Predecessor graph範例

s

t

u

v

wx

y

z

s

t

v

wx

y

z

Original Graph G Shortest-path tree rooted at s

10

10

10

10

10

10

1

1

1

1

1

10

10

1

1

1

1

π[s] π[t] π[u] π[v] π[w] π[x] π[y] π[z]

NIL s NIL t s t x v


Initialize-Single-Source演算法

• 定義變數 d[v] 代表目前已知之自 s 至 v 的最短距離。

• 定義變數 π[v] 代表目前已知自 s 至 v 的最短路徑上， v 之前的那一點。

• 初始時， d[v]=∞ ， π[v]=NIL ， d[s]=0 。即除自 s到 s 的最短路徑已知之外，其餘均設為未知。


Initialize-Single-Source演算法

Initialize-Single-Source(G,s)

{ for each vertex v∈V[G]do d[v]∞

π[v]NIL

d[s]0

}


Relaxation 演算法

• 主要的目的在於利用邊 (u,v) 的資訊來更新目前所知的最短路徑。

Relax(u,v,w)

{ if d[v]>d[u]+w(u,v)

then d[v]d[u]+w(u,v)

π[v]u

}


Relaxation 範例

4 7

s

w(u,v)u v

if w(u,v)=2 (<3)

Relax(u,v,w)前

Relax(u,v,w) 後

4 6

s

w(u,v)u v

此時更新 sv 的最短距離以及更新 π[v]u

if w(u,v)=4 (>3)

4 7

s

w(u,v)u v

此時不更新 sv 的最短距離


最短路徑與 Relaxation的性質

• 三角不等式：對所有的邊 (u,v) ， δ(s,v)δ(s,u)+w(u,v) 。

• 上限性質：δ(s,v)d[v] ，即 d[v] 總是 sv 的最短距離上限。一旦 d[v]=δ(s,v) ，則 Relaxation 不會更改 d[v] 值。



• 無路徑性質：如果 s 到 v 並無路徑，則 d[v]=δ(s,v)=∞ 。

• 收斂性質：若 sv 的最短路徑包含邊 (u,v) 且 d[u]=δ(s,u) ，則此時執行 Relax(u,v,w) 會使得 d[v]=δ(s,v) 。



• Path-relaxation 性質：如 p=(v0,v1,…,vk) 是一個自 s=v0vk的最短路徑，則依序執行 Relax(v0,v1,w) ， Relax(v1,v2,w)… ， Relax(vk-1,vk,w) 會使得 d[vk]=δ(s,vk) 。

• Predecessor graph 性質：當經過一連串的 Relaxation 後，對所有的點 v ， d[v]=δ(s,v) 時，此時對應的 Predecessor graph Gπ

即是一個 Shortest-path tree rooted at s 。


Bellman-Ford演算法

• 可以計算出沒有負迴圈的圖之最短路徑。Bellman-Ford(G,w,s)

{ Initialize-Single-Source(G,s)

for i = 1 to |V-1|

do for each edge (u,v)∈E

do Relex(u,v,w)

for each edge (u,v)∈E

do if d[v]>d[u]+w(u,v)

then return false //代表有負迴圈return true //代表計算成功

}


Bellman-Ford演算法運作範例

0

∞

∞

∞

∞

(a)6

7

8

9

2

-3

-4

-2

5

7 0

6

7

∞

∞

(b)6

7

8

9

2

-3

-4

-2

5

7s s


Bellman-Ford演算法運作範例

0

6

7

4

2

(c)6

7

8

9

2

-3

-4

-2

5

7 0

2

7

4

-2

(d) (e)6

7

8

9

2

-3

-4

-2

5

7s s


Bellman-Ford演算法分析

• 正確性：對所有的邊作一次 Relaxation 則可將在 Shortest-path tree rooted at s 中一步可及的 path 正確計算出。由 path-relaxation 性質，做完 |V|-1 次之後，所有的 Shortest simple path 終點 v ， d[v]=δ(s,v) 。


Bellman-Ford演算法分析

• 就時間複雜度的分析如下：

– Initialize-Single-Source 花去 O(|V|) 的時間。– 對所有的邊做了 O(|V|) 次的 Relaxation ，花去

O(|V||E|) 的時間。– 最後花去 O(|E|) 的時間檢查是否有負迴圈。

• 故總共花去 O(|V||E|) 的時間。


Single-source shortest paths in DAGs

• 跟 Bellman-Ford 不同的是，按照特定的順序作 Relaxation ，可較短的時間內計算出最短路徑。

DAG-Shortest-Path(G,w,s)

{ Topologically sort V[G]

Initialize-Single-Source(G,s)

for each u taken in topological order

do for each v∈adj[u]do Relax(u,v,w)

}

• 以上演算法僅需 O(|V|+|E|) 的時間。


DAG-Shortest-Path 操作範例

∞ 0 ∞ ∞∞ ∞

(a) s5 2 7 -1 -2

6 1

3 42

∞ 0 ∞ ∞∞ ∞

(b) s5 2 7 -1 -2

6 1

3 42



∞ 0 ∞ ∞2 6

(c) s5 2 7 -1 -2

6 1

3 42

∞ 0 6 42 6

(d) s5 2 7 -1 -2

6 1

3 42



∞ 0 5 42 6

(e) s5 2 7 -1 -2

6 1

3 42

∞ 0 5 32 6

(f)s5 2 7 -1 -2

6 1

3 42

∞ 0 5 32 6

(g) s5 2 7 -1 -2

6 1

3 42


Dijkstra演算法

• 僅能處理無負邊的圖。

• 比 Bellman-ford 演算法快，也是藉由挑選特定順序來做 Relaxation 來達成目的。

• 利用 Priority queue 來實做。

• 主要關鍵想法：利用收斂性質。


Dijkstra演算法Q: Priority queue with d as the key

Dijkstra(G,w,s)

{ Initialize-Single-Source(G,s)

Q=V[G]

while Q is not empty

do u=Extract-Min(Q)

for each v∈adj[u]do Relax(u,v,w)

}


Dijkstra演算法操作範例

0

∞ ∞

∞ ∞

10

5

1

2 3

2

7

9

4 6

(a)

0

10 ∞

5 ∞

10

5

1

2 3

2

7

9

4 6

(b)

s s



0

8 11

5 7

10

5

1

2 3

2

7

9

4 6

(d)

s0

8 14

5 7

10

5

1

2 3

2

7

9

4 6

(c)

s



0

8 9

5 7

10

5

1

2 3

2

7

9

4 6

(e)

0

8 9

5 7

10

5

1

2 3

2

7

9

4 6

(e)

s s


Dijkstra演算法分析

• 依照使用的 Priority queue 實做方式不同，會有不同的執行時間。

• 使用 Linear array 來實做，消耗 O(|V|2) 的時間。

• 使用 Binary heap 來實做，消耗 O(|E|log|V|) 的時間。

• 使用 Fibonacci heap 來實做，消耗 O(|E|+|V|log|V|)的

時間。

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