sinav i(identities with squares) 1.1 20 sine e şit olan bir tamsayının en sol basama ğı 6 ise...

Matematik Olimpiyatı Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları www.sbelian.wordpress.com

Matematik Olimpiyatı www.sbelian.wordpress.com

1

SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES)

1. 4 44a b+ (Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız.

2. 4 4n A+ = ise A nın sadece n=1 durumunda asal olduğunu ispatlayınız.

3. Sıfırdan farklı ardışık 4 pozitif tamsayının çarpımlarının hiçbir zaman asal olamayacağını çarpanlara ayırma yaparak ispatlayınız.

4. Eğer r s t≥ ≥ ise ( )22 2 2

r s t r s t− + ≥ − + olduğunu ispatlayınız.

5. ( )22 1a a+ + ifadesinin üç tam kare ifadenin toplamı biçiminde yazılabileceğini

ispatlayınız.

6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

10 324 . 22 324 . 34 324 . 46 324 . 58 324

4 324 . 16 324 . 28 324 . 40 324 52 324

+ + + + +

+ + + + +ifadesinin eşitini

bulunuz.

7. r s t u v≥ ≥ ≥ ≥ ise ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 2r s t u v r s t u v− + − + ≥ − + − + olduğunu

ispatlayınız.

8. ( ) ( ) ( )( )2 2 22 2 2 1

2a b c ab bc ac a b b c c a+ + − − − = − + − + − eşitliğini ispatlayınız.

9. ( ) ( ) ( ) ( )( )

2048

2 4 1024 11 . 1 . 1 ...... 1

1

xx x x x

x

−+ + + + =

− eşitliğini ispatlayınız.

10. 0x > olmak üzere 1

11

x xx x

+ − =+ +

olduğuna göre

1 11

2 1 2x x

x x< + − <

+olduğunu ispatlayınız.

11. Soru (10) u kullanarak1 1 1

2 1 2 1 ..... 2 12 3

n nn

+ − < + + + + < − olduğunu

gösteriniz.

12. 1 2x< < olduğuna göre 1 1 2

22 1 2 1 xx x x x+ =

−+ − − − olduğunu ispatlayınız.

13. 3 4 1 8 6 1 1x x x x+ − − + + − − = denklemini çözünüz.

Fatih Kürşat Cansu

New Stamp



2

14. 4 2 1x x+ + ifadesini çarpanlarına ayırınız. Ve 4 2 1x x+ + formundaki tüm asalları bulunuz.

15. 4 4nn + sayısının yalnız n=1 durumunda asal olduğunu ispatlayınız.

16. cot tanx x a+ = ise 2 2cot tan ?x x+ =

SINAV II (IDENTITIES WITH CUBES)

1. , , ,a b c d ∈ℜ olmak üzere 2 2 2 2a b c d ab bc cd da+ + + = + + + eşitliği var ise

a b c d= = = olması gerektiğini kanıtlayınız.

2. { }, , ,a b c d kümesi elamanları ile { }1,2,3,4 kümesinin elemanları arasında her bir

eleman yalnızca tekbir elemana gidecek şekilde bir eşleşme yapılıyor. Buna göre . . . .a b b c c d d a+ + + toplamının alabileceği en büyük tamsayı değeri kaçtır? Kanıtlayarak gösteriniz.

3. 0 , , , 1a b c d≤ ≤ olmak üzere ( ) ( ) ( ) ( )1 , . 1 , 1 , . 1a b b c c d d a− − − − çarpımlarından en az

bir tanesinin 1

4ten küçük olması gerektiğini kanıtlayınız.

4. ( ) ( ) ( ) ( )2 80 54 27 18 9 6 3 21 .......... 1 . 1 . 1 . 1x x x x x x x x x x x+ + + + = + + + + + + + + eşitliğini

kanıtlayınız.

5. ( ) ( )3 3 3 2 2 23 .a b c abc a b c a b c ab ac bc+ + − = + + + + − − − eşitliğini kanıtlayınız.

6. 2n ≥ olmak üzere ( )

33 2

4

n n+ + ifadesinin bir bileşik sayı olduğunu

kanıtlayınız.(bileşik sayı: asal olmayan)

7. tan( ) cot( )x x a+ = olduğuna göre 3 3 3tan ( ) cot ( ) 3x x a a+ = − olduğunu kanıtlayınız.

8. n+∈� olmak üzere ( ) ( )310 100n n+ + durumunu sağlayan en büyük tamsayıyı

ispatlayarak bulunuz.(AIME 1986)

9. 3 3 3 3 33 3 3 3

1 1 1?

1 2 4 4 6 9 9 12 16+ + =

+ + + + + + (AIME 1989)

10. 2 2 4a a−− = olmak üzere 6 6

a a−+ ifadesinin eşiti kaçtır?


New Stamp



3

11. , , ,a b c d ∈� olmak üzere 3 3 3 3 0a b c d a b c d+ + + = + + + = olduğuna göre;

, , ,a b c d sayı çiftlerinden birinin toplamının 0 olduğunu kanıtlayınız.(ITT 1994)

SINAV III (MICELLANEOUS ALGEBRAIC IDENTITIES)

1. 2903 803 464 261 n n n nn− − + ∈� ifadesinin 1897 ile kalansız bölünebildiğini

kanıtlanıyınız.(ETVOS 1989)

2. 1002004008016032 sayısının 425.10p > olacak şekilde bir çarpanı olduğu bilindiğine

göre p sayısını bulunuz.(IMO,1990)

3. 1 1 1 1 1 1 1

1 .......... .........2 3 4 2 1 1 2 2n n n n

− + − + + = + + +− + +

olarak verilen Katalan

denkliğini ispatlayınız.

4. 1011 1 (mod100)x− ≡ ise x=?

5. x y> olmak üzere 1.n n

nx yn y

x y

−−>

− olduğunu kanıtlayınız.

6. (a) 1

1 11 1

1

n n

n n

+

+ < + +

ifadesini ve

(b)1 2

1 11 1

1

n n

n n

+ +

+ > + +

ifadesini ispatlayınız.

7. ( ) ( )5555 2222

2222 5555+ ifadesinin 7 ile bölümünden kalanı bulunuz.

8. Teorem(Mersenne Asalları): 2 1n − asal ise n ∈� sayısı da asal olmalıdır. Teoremi ispatlayınız.

9. Teorem(Fermat Asalları): 2 1n + asal ise n ∈� sayısı 2 nin bir tam kuvveti olmalıdır. Teoremi ispatlayınız.

10. 2 641 .......x x x+ + + + ifadesini çarpanlara ayırınız.

11. 9999 8888 7777 1111....... 1A x x x x= + + + + + ifadesinin 9 8 7 1....... 1B x x x x= + + + + + ifadesine kalansız bölünebildiğini kanıtlayınız.


New Stamp



4

12. 1492 1770 1863 2141n n n n− − + ifadesinin 1946 ile kalansız bölündüğünü kanıtlayınız.

( n+∈� )

13. +, 2 1, nk k n∈ = + ∈� � olmak üzere 1 2 3 ........k k k kn+ + + + ifadesinin

1 2 3 ........ n+ + + + ile kalansız bölünebildiğini kanıtlayınız.

SINAV IV (LOGARITHMS)

1. log 4ab

a = ise 3

logab

a

bnin eşitini bulunuz.

2. ( )2

90,5.log log 43x

x x

x−

= denklemini çözünüz.

3.

2 4 4

3 9 9

4 16 16

log log log 2

log log log 2 denklem sistemini çözünüz.

log log log 2

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + = + + =

4. 1 1

3 3

5 5log cos log cos 2

6 6x x

+ + − =

denklemini çözünüz.

5. 6 12log 16 log 27A B= = olsun. Buna göre ( ) ( ).A a B b c+ + = denkliğini sağlayan

tamsayıları bulunuz.

6. 1a > olmak üzere 1 x a< < iken1

1log

ax

> olduğunu kanıtlayınız.

7. 3log log 3 2ππ + > eşitsizliğini kanıtlayınız.

8. 0 1x< < olmak üzere 1 1

2 3

log logx x> eşitsizliğini kanıtlayınız.

9. 2 3 4 1996

1 1 1 1..........

log 1996! log 1996! log 1996! log 1996!+ + + + ifadesinin eşitini bulunuz.

10. Varsayalım, � �1x x x− < < olsun. Buna göre; � � � � � �2 2 2log 1 log 2 ........... log 1000+ + +

ifadesinin eşitini bulunuz.

11. ( )5. log log 26

denklem sistemini çözünüz.. 64

x yy x

x y

+ =

=

12. log tan1 log tan 2 .......... log tan 89o o oS = + + + ifadesinin en sade halini bulunuz.

13. ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 511log 3 . log 4 . log 5 ................ log 512 ?=

14. 8 2

log 1024 bir rasyonel sayıdır. Bulunuz.



5

SINAV V (ARITHMETİC DIVISION ALGORITHM)

1. Varsayalım r +∈� sayısı 1059, 1417, ve 2312 sayılarının 1d > ile bölümünden ortak

kalan olsun. Bun göre ( )d r− kaçtır?(AHSME-1976)

2. 21 1n n+ + durumunu sağlayan tüm pozitif tamsayıları bulunuz.

3. Eğer 7 3 2x + ise ( )27 15 11 14x x− + olduğunu kanıtlayınız.

4. Herhangi bir tamsayının karesinin 3k veya 3 1k + formunda olduğunu kanıtlayınız.

5. Eğer ( )2 23 a b+ ise 3 a ve 3 b olduğunu kanıtlayınız.

6. Tüm kenarları birer tamsayı olan bir dik üçgende kenarlardan birinin uzunluğunun 3 ile bölümünden kalanın 0 olduğunu gösteriniz.

7. ( )5 2n + verilmiş olsun. Buna göre 2 2 4 24, 8 7, 1, 2n n n n n n− + + − − ifadelerinden

hangileri 5 ile kalansız bölünebilir. Gösteriniz.

8. , 2, 4p p p+ + formunda ( )3,5,7 den başka herhangi bir asal üçlü bulunamayacağını

kanıtlayınız.

9. ( )2 2n + ile kalansız bölünebilen ve ( ) ( ) ( )4 31 . 2 3 57n n n n+ + + + formunda yazılabilen

en büyük pozitif tamsayıyı bulunuz.

10. ( )4 1n + formunda yazılabilen iki tamsayının çarpımının yine ( )4 1n + formunda

yazılabileceğini gösteriniz.

11. ( )6 1n − formunda yazılabilen sonsuz çoklukta asal sayı olduğunu kanıtlayınız.

12. p bir asal sayı olmak üzere; eğer 2 1 ve 2 1n n− + sayılarından herhangi biri asal sayı ise diğerinin bileşik bir sayı olduğunu kanıtlayınız.

13. ( )24 1n + formunda olup; 13 ve 15 ile kalansız olarak bölünebilen sonsuz çoklukta sayı

bulunabileceğini kanıtlayınız. 14. 11n ≥ olacak şekilde seçilecek herhangi bir tamsayının 2 pozitif bileşik sayı şeklinde

yazılabileceğini gösteriniz.

15. ( )2 1n + ifadesinin 3 ile kalansız olarak bölünemeyeceğini gösteriniz.

16. ,x y ∈� olmak üzere ( ) ( ). 1 . 1x x y y+ + biçiminde olan ancak |x y ve

( )1 |x + y durumunu da sağlayan sonsuz çoklukta x,y sayısının bulunabileceğini

kanıtlayınız.


New Stamp



6

SINAV VI (DECIMAL SCALE)

1. 221 tane 1

111........111�� ifadesinin asal olmadığını kanıtlayınız.

2. İki basamaklı bir tamsayı basamakları toplamına bölündüğünde kalan en fazla kaç olabilir?

3. 0,3172 kesirler cinsinden ifade ediniz.

4. (AIME 1989) n+∈� ve { }0d

+∈ ∪� olarak veriliyor.

0, 25 25 25 25.....810

nd d d d= olduğuna göre n kaçtır?

5. (AIME1988) Küpünün son 3 basamağı 888 ile biten en küçük pozitif tamsayı kaçtır?

6. (AIME1988) : ve f k+ + +→ ∈� � � olmak üzere 1( )f k fonksiyonu k sayısının

basamaklarının kareleri toplamını ifade etmektedir. Buna göre; 2n ≥ için

( ) ( )( )1 1n nf k f f k−= ise ( )1998 11f kaçtır?

7. (IMO 1988) N+∈� olmak üzere

11

Nifadesinin eşiti N sayısının basamaklarının

kareleri toplamına eşit olduğuna göre; üç basamaklı tüm N sayılarını bulunuz.

8. (IMO 1962) S+∈� olmak üzere S sayısının birler basamağı 6 dır. Ancak bu 6

rakamı silinip sayının en başına yazıldığında S sayısı 4 katına çıktığına göre; S sayısının alabileceği en küçük sayı değeri kaçtır?

9. (IMO 1992) { }1000,1001,1002,........, 2000A = kümesinin elamanları içerisinde

toplama işlemine girdikleri zaman sonuca elde işlemi yapılmadan ulaşılan kaç ardışık tam sayı ikilisi vardır?

10. (AIME 1987) Toplamlarında elde işlemi yapılmadan sonuca gidilen ikililere varsayalım “Basit Sayılar” diyelim (örneğin; 12+13, 519+100,...vb). Buna göre toplamları 1492 olan kaç tane basit sayı ikilisi vardır?

11. (AIME 1994) n+∈� ve ( )P n de n sayısının sıfırdan farklı basamaklarının çarpımı

olmak üzere veriliyor. Buna göre; (1) (2) .......... (999)S P P P= + + + ifadesinin

eşitini bulunuz.

12. En soldaki basamağı kapatıldığında değeri ilk değerinin 1

20sine eşit olan bir

tamsayının en sol basamağı 6 ise bu sayıların genel formunu bulunuz.

13. (IMO 1968) x ∈� olmak üzere x sayısının basamakları çarpımı 2 10 22x x− − olduğuna göre bu durumu sağlayan x sayılarını bulunuz.

14. tane 4 1 tane 8

49,4489,444889,......., 444...4888...89n n

A−

=

�� dizisinin tüm elemanlarının bir tam

kare olduğunu kanıtlayınız. 15. (AIME 1992) 0 1r< < ve S kümesi de tüm r ∈ elemanlarının kümesi olmak

üzere her bir r 0, ....... 0,abcabcabc abc= biçimindedir. Buna göre S kümesinin

elemanlarını en düşük terimlerin kesri biçiminde yazabilmek için kaç farklı payın yazılmasına gerek vardır.

16. ,a b∈� olmak üzere tane 1 1 tane 0

111....11 1000....005m m

a b−

= =�� ise . 1a b + ifadesinin bir tam

kare olduğunu kanıtlayınız.


New Stamp



7

17. 3n ≥ olmak üzere tüm n basamaklı sayıların toplamının 3 tane 9 2 tane 0

494999...955000...0n n− −

��

olduğunu kanıtlayınız.

18. n+∈� olmak üzere

2 tane 1 tane 2

111...1 222...2n n

−�� farkının bir tam kare olduğunu kanıtlayınız.

SINAV VII (NON-DECIMAL SCALE )

1. 13

6ifadesini 6 tabanına göre yazınız.

2. ( )4,41rolarak verilen ifadenin bir tam kare ifade olduğunu gösteriniz.

3. (AIME 1986) { }1,3, 4,9,10,12,13,......A = dizisinin elemanları belli bir sisteme göre

dizilmişlerdir. Buna göre dizinin 100. elemanını bulunuz.

4. (AHSME 1993) 0 1 n 0x≤ < ≥ olmak üzere 1 1

1 1

2 , 2 1

2 1, 2 1n n

n

n n

x xx

x x

− −

− −

<=

− ≥ olarak

veriliyor. Buna göre 0 5x x= durumu kaç 0x değeri için doğrudur?

5. { }2 2 2 21 , 2 ,3 , , 27A = … kümesinin elemanlarını öyle üç gruba ayırınız ki her birinin

toplamı diğerleri ile aynı olsun.

6. � �:x x sayısının tam değerini temsil etmek üzere

� � � � � � � � � � � � � �2 3 4 8 16 32 12345x x x x x x x+ + + + + + = denklem sistemini

çözünüz.(Not: sorunun çözümü olmayabilir eğer yoksa ispat ediniz.)

SINAV IX (WELL-ORDERING PRINCIPLE)

1. , ,a b c ∈� olmak üzere 6 6 62 4a b c+ = olduğuna göre a b c= = olduğunu kanıtlayınız.

2. (IMO 1988) ,a b +∈� olmak üzere 2 2

1

a b

ab

+

+ifadesi de bir tamsayı ise

2 2

1

a b

ab

+

+ifadesinin bir

tam kareye eşit olduğunu kanıtlayınız.

3. 3 3 32 4a b c+ = ifadesinin tüm sayı çözümlerini bulunuz.

4. 2 2 2 2x y z xyz+ + = eşitliğinin sadece 0x y z= = = olduğunda sağlandığını kanıtlayınız.

5. ( )2 2 2 23x y z w+ = + denkliğini sağlayan , , ,x y z w tamsayılarının olmadığını kanıtlayınız.


New Stamp



8

SINAV X (MATHEMATICAL INDUCTION)

1. 3 33 26. 27nn

+ − − ifadesinin tüm n ∈� sayıları için 169 sayısının bir tam katı olduğunu tümevarım metodu ile kanıtlayınız.

2. ( ) ( )2 2

1 2 1 2n n

+ + − ifadesinin bir çift sayı olduğunu ve

( ) ( )2 2

+1 2 1 2 2 b , 1n n

b n+ − − = ∈ ≥� eşitliğinin var olduğunu kanıtlayınız.

3. k+∈� bir tek sayı ise 2 22 1 nn nk+ − ∈� olduğunu kanıtlayınız.

4. s+∈� olmak üzere, [ ], 2s s aralığının 2 nin bir tam kuvvetini içerdiğini kanıtlayınız.

5. Tanım: 0 1 1 10, 1, , 1n n n

f f f f f n+ −= = = + ≥ olarak tanımlanan dizi bir Fibonacci

dizisidir. Bu tanıma göre ( )12

1 1. 1 1n

n n nf f f n

+

− + = + − ≥ olarak verilen eşitliği kanıtlayınız.

6. Verilen herhangi bir karenin 4,6,7,8......n = parça yeni kareye bölünebileceğini

kanıtlayınız.( Kareler farklı olmak zorunda değildir.) 7. Matemanya ülkesinde bozuk paralar 3 veya 5 matelira olarak verilmektedir. Buna göre 8

mateliradan büyük veya eşit olan her para üstünün bozuk para cinsinden ödenebileceğini kanıtlayınız.

8. (USAMO 1978) Herhangi bir n ∈� sayısı eğer 1 2 ......k

n a a a= + + + biçiminde

yazılabiliyor ve 1 2

1 1 1......... 1

ka a a

+ + + = eşitliği de sağlanıyorsa n sayısına “iyi sayı”

diyelim. 33 ile 73 arasındaki tamsayıların birer “iyi sayı” oldukları bilindiğine göre 33n ≥

olan her sayısının “iyi sayı” olduğunu kanıtlayınız.( 1 2, ,......,k

a a a birbirinden farklı olmak

zorunda değildir.)

9. , 1n n∈ ≥� olmak üzere; ( )

( )1.3.5...... 2 1 1

2.4.6....... 2 3 1

n

n n

−<

+olduğunu kanıtlayınız.

10. 1 13, 4a b= = ve 1 13 , 4n na b

n na b− −= = n ∈� olarak veriliyor. 1000 999a b> olduğunu

kanıtlayınız.

11. 1

tane kök işareti

2 2 2 ...... 2 2cos2n

n

π+

+ + + + =��

eşitliğini kanıtlayınız.( n ∈� )

12. ( )sin . sinnx n x≤ eşitsizliğini kanıtlayınız.( ,n x+∈ ∈� )

13. n ∈� olmak üzere; 1 1 1

......... 11 2 3 1n n n

+ + + >+ + +


14. ( ) ( )3 33 1 2n n n+ + + + toplamının 9 ile kalansız bölünebildiğini kanıtlayınız.

15. 2 2 2 2

1 1 1 1 1....... 2 , 1

1 2 3n n

n n+ + + + < − ∈ >� eşitsizliğini kanıtlayınız.

16. k+∈� olmak üzere

1x

x+ ifadesi bir tamsayıya eşit ise

1k

kx

x+ ifadesinin de bir tamsayı


17. Sophie Germain eşitliğini kullanarak ( )( )4 2 2 21 1 1x x x x x x+ + = − + + + eşitliğini

gösteriniz. Daha sonra bu eşitliği kullanarak 12 22 2 1

n n+

+ + ifadesinin n farklı asal çarpanı olduğunu kanıtlayınız.


New Stamp



9

18. 2n ≥ olmak üzere; 1 2 2........ 1n n

f f f f ++ + + = − eşitliğini kanıtlayınız.

SINAV XI (CONGRUENCES)

1. 19876 sayısının 37 ile bölümünden kalanı bulunuz.

2. ( )3

12233.455679 87653+ ifadesinin 4 ile bölümünden kalanı bulunuz.

3. 2 1 27 3 2n n+ ++ olduğunu modüler metot ile gösteriniz.

4. ( )32641 2 1+ olduğunu gösteriniz.

5. ( )5555 22227 2222 5555+ olduğunu gösteriniz.

6. 777 sayısının birler basamağını bulunuz.

7. (AIME 1994) Artan bir dizi olan { }3,15, 24, 48,.....S = dizisinin elemanları hem 3

sayısının pozitif bir tam katı hem de tam kareden bir eksiktir. Buna göre dizinin 1994. teriminin 1000 ile bölümünden kalanı bulunuz.

8. 2 25 2x y− = eşitliğini sağlayan herhangi bir ( ),x y tamsayı ikilisinin

bulunamayacağını kanıtlayınız.

9. 3 2 15yx = + eşitliğini sağlayan herhangi bir ( ),x y pozitif tamsayı ikilisinin


10. 2 7 3x y− = eşitliğini sağlayan herhangi bir ( ),x y pozitif tamsayı ikilisinin


11. 2 27 a b+ olduğuna göre 7 a ve 7 b olduğunu kanıtlayınız.

12. 1003 ifadesinin sağdan ilk iki basamağını bulunuz. 13. Bir tam kare tamsayının basamaklarının sayı değerleri toplamının 1991 sayısına eşit

olamayacağını kanıtlayınız.

14. 2 2 2800000007 , ,x y z x y z= + + ∈� denkliğini sağlayan ( ), ,x y z üçlülerinin

bulunamayacağını kanıtlayınız. 15. 62 427ab sayısı eğer 99 ile kalansız bölünebiliyor ise; a ve b değerlerini bulunuz.

16. 1, 2,3,......n = olmak üzere bir tam sayının 2n ile kalansız bölünebilmesi için sayının

sondan n basamağının 2n ile kalansız bölünebilmesi gerektiğini kanıtlayınız.

17. 1n∀ > için ( )2

1n − ifadesinin 2 1nn n n− + − ifadesini kalansız böldüğünü gösteriniz.

18. 1010 1n + durumunu sağlayan n+∈� sayılarını bulunuz.

19. (USAMO 1979) , 1,2,3....i

n i+∀ ∈ =� olmak üzere

4 4 4 41 2 3 14......... 1599n n n n+ + + + = denklemini sağlayan kaç farklı

( )1 2 3 14, , ,.....,n n n n permütasyonu bulunabilir?

20. (PUTNAM 1986) 20000

100

10

10 3+

� � ��

olarak verilen ifadenin birler basamağını bulunuz.

21. (PUTNAM 1973) Varsayalım { }1 2 3 4 2 1, , , ,..... na a a a a + elemanları tamsayılar olan bir

küme olsun. Öyle ki herhangi bir eleman kümeden çıkarıldığında kalan elamanların tamamı kullanılarak elemanları toplamı birbirine eşit olan n elemanlı iki küme elde edilebildiğine göre; 1 2 2 1..........

na a a += = = olduğunu kanıtlayınız.


New Stamp



10

22. ( )1 1 1

!! ! ......... 1 .2! 3! !

nn n

n

= − + + −

olarak veriliyor. Buna göre , 3n n∈ >� olmak

üzere ( )!! !mod 1n n n= − olduğunu kanıtlayınız.

23. ( )6 2

3 1 3 1 3 2

0

(6 2, 2 ).3 0, 2 , 2 mod 2n

n n n

k

C n k+

+ + +

=

+ ≡ −∑ eşitliğinin 2 ,4 3 veya 4 1n k k k= + +

olduğu durumlarda doğru olduğunu kanıtlayınız. 24. (Polish Mathematical Olympiad) 30 0 03x y sayısının 13 ile kalansız bölünebilmesi

içinx ve y yerine gelebilecek sayıları bulunuz.

25. 1 25n≤ ≤ olmak üzere 2 15 122n n+ + ifadesinin 6 ile kalansız bölünmesini sağlayan

tüm n değerlerini bulunuz. İpucu: ( ) ( )2 215 122 3 2 1 2n n n n n n+ + = + + = + +

26. ( )3

0

2 . 2 1, 2 1n

k

k

C n k=

+ +∑ ifadesinin 5 ile kalansız bölünemeyeceğini kanıtlayınız.

27. (IMO 1975) Varsayalım { }1 2, ,.......S a a= elemanları pozitif tamsayılardan oluşan

artan bir dizi olsun. Buna göre; 1s∀ ≥ için . .m s t

a x a y a= + formunda yazılabilen

sonsuz çoklukta m

a olduğunu kanıtlayınız. ( ), x y t s∈ >�

SINAV XII (DIVISIBILITY TESTS)

1. (AHSME 1992) 19dan 92ye kadar olan iki basamaklı sayılar yan yana yazılarak 19202122.........89909192S = sayısı elde ediliyor. Buna göre s sayısını bölen 3 ün en

büyük kuvveti kaçtır?

2. (IMO 1975) 44444444 sayısının ondalık açılımı yapıldığında bulunan sayısının basamakları toplamı A ve A sayısının da basamakları toplamı B ise; B sayısının basamakları toplamı kaçtır? (A ve B onluk sistemde iki sayıdır.)

3. (PUTNAM 1952) Varsayalım; 0

( ) .n

n k

k

k

f x a x−

=

=∑ ifadesi n. dereceden bir polinoma

eşit olduğuna göre, eğer 0 , ve (1)n

a a f ifadelerinin hepsi tek sayı ise,

( ) 0f x = ifadesinin rasyonel bir kökü olmadığını kanıtlayınız.

4. 2 22 1 1 mod

n n nf f f+ += olduğunu kanıtlayınız.

5. (Lagrange 1975) 60 mod10n n

f f+ ≡ olduğunu kanıtlayınız.

6. (AHSME 1991) 321 sayısı “enteresan” bir sayıdır öyle ki

1 3 , 1 32 ve 3 321durumunu sağlar. Buna göre; 6 basamaklı kaç “enteresan” sayı

vardır? 7. Eski bir fatura üzerinde alınan 88 parça eşyaya karşılık 4, 2x y ytl para verildiği

yazmaktadır ancak x ve y nin olduğu basamaklar tahrifattan dolayı okunamamaktadır. Buna göre her bir parça eşyaya ne kadar ödenmiş olabilir?

8. ( )( )2 81991UM C Varsayalım 0 1 2, , ,......, 0n n

a a a a a∈ ≠� olmak üzere

( ) 0 1. ...... . n

nP x a a x a x= + + + olarak tanımlanmış olsun. 0x ∈ olmak üzere

0( ) 0P x = durumunu sağlayan bir 0x ın bulunduğunu varsayalım. Buna göre

1 k n≤ ≤ ise 10. ............ . n k

k n na x a x

− ++ + ifadesinin de bir tamsayı olduğunu kanıtlayınız.


New Stamp



11

SINAV XIII (MORE ON CONGRUENCES)

1. (IMO 1970) { }, 1, 2, 3, 4, 5S n n n n n n= + + + + + olarak verilen S kümesi elemanları

çarpımı birbirine eşit olan iki kümeye ayrılabildiğine göre n in alabileceği değerleri bulunuz.

2. ( )3 .2 1nn + durumunu sağlayan tüm n doğal sayılarını bulunuz.

3. 2 2nn + durumunu sağlayan sonsuz çoklukta n tamsayısı olduğunu kanıtlayınız.

4. 2 1pp + durumunu sağlayan tüm p asallarını bulunuz.

5. ve p,qp q≠ asal sayılardır. Buna göre ( ). pq p qp q a a a a− − − olduğunu

kanıtlayınız. a ∈�

6. p asal bir sayı olmak üzere; ( )1 !.pp a p a+ − olduğunu kanıtlayınız.

7. ( ), 42 1mn = ise 6 6168 m n− olduğunu kanıtlayınız.

8. p q≠ ve p,q asal olmak üzere 1 1 1mod( )p qq p pq− −+ ≡ olduğunu kanıtlayınız.

9. p tek asal sayı olmak üzere mod(2 )pn n p≡ olduğunu kanıtlayınız. n ∈�

10. p tek asal sayı olmak üzere p pp m n+ olduğuna göre, 2 p pp m n+ olduğunu

kanıtlayınız.

11. 1n > olmak üzere p asal bir sayıdır ⇔ ( )1 ! 1modn n− ≡ − olduğunu kanıtlayınız.

12. 2p > ve p asal olmak üzere ( )1

2 2 2 2 2 2 21 .3 ........( 2) 2 .4 .......( 1) ( 1) mod( )p

p p p

−

− ≡ − ≡ −


13. ( )6 2219 2 3k+

+ olduğunu kanıtlayınız.

SINAV XIV (EULER THEOREM)

1. 100077 ifadesinin son iki basamağını bulunuz.

2. (IMO 1978) ,m n N∈ 1 m n≤ < olarak veriliyor. 1978m ifadesinin son üç basamağı

sırası ile 1978n ifadesinin son üç basamağına eşit olduğuna göre m+n in alabileceği en küçük değer kaçtır?

3. (IMO 1984) Öyle bir (a,b) ikilisi bulunuz ki;

a. ( ).a b a b+ 7 ile bölünmeyecek.

b. ( )7 7 7

a b a b+ − − 77 ile bölünebilecek, şartlarından ikisini de sağlasın.

4. (USAMO 1982) .2 1nk + ifadesinin birleşik bir sayı olmasını sağlayan k ∈� biçiminde

bir sayının her n ∈� için bulunabileceğini kanıtlayınız.

5. 1 7a = ve 17 na

na

−= ise 1001a elemanının son iki basamağını bulunuz.

6. ( ), 1m n = olmak üzere ( ) ( ) ( )1 modn nm n mn

φ φ+ ≡ olduğunu kanıtlayınız.

7. ( )1 2 ........ 1nn n

n+ + + − toplamını bölen tüm n ∈� sayılarını bulunuz.

8. ( )!2 1, , ise 2 1nn k n k n= + ∈ ∈ −� � olduğunu kanıtlayınız.


New Stamp



12

9. 1 2 1010 10 1010 10 .......... 10+ + + toplamının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?

10. 9 3504 n n− olduğunu kanıtlayınız.

SINAV XV (MISCALLENEOUS PROBLEMS INVOLVING INTEGERS)

1. ( )!

! !

m n

m n

+ ifadesinin { }, 0m n

+∈ ∪� için tamsayılar kümesinin bir elemanı olduğunu

kanıtlayınız.

2. 5 35 4n n n− + ifadesinin 120 ile kalansız bölünebildiğini kanıtlayınız. 3. A +∈� olmak üzere A′sayısı da A sayısının basamaklarının yer değiştirilmesi ile

oluşturulan yeni bir sayıdır. Buna göre eğer 1010A A′+ = ise A sayısının 10 ile kalansız bölünebildiğini kanıtlayınız.

4. Bazı pozitif tamsayıların toplamı 1996 olduğuna göre bu sayıların çarpımlarının maksimum değeri kaçtır?

5. r ∈ olmak üzere 1

rr

++ ∈� biçiminde yazılabilen tüm pozitif tamsayıları bulunuz.

6. � tane 5

5 55 555 5555 ...... 5...5n

+ + + + + toplamını bulunuz.

7. 7 1000!n ise max ?n =

8. 9 7 5 36 9 4n n n n− + − ifadesinin 8640 ile kalansız bölünebildiğini kanıtlayınız.

9. 4n > için n bir bileşik sayı ise ( )1 !n n − olduğunu gösteriniz.

10. � �2 2x x x− − =� � �� eşitliğini sağlayan x ∈ değerlerini bulunuz.

11. 1999! 2000!

x x=

� � � � � ��

eşitliğini sağlayan kaç x tamsayı değeri vardır?

12. (PUTNAM 1948) n+∈� olmak üzere 1 4 2n n n+ + = +� �

� � � �� olduğunu

kanıtlayınız.

13. 36 , n n n− ∈� olduğunu kanıtlayınız.

14. a,b,c bir üçgenin kenarları olmak üzere

; ( ) ( ) ( )2

3 4ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≤ + + ≤ + + olduğunu kanıtlayınız.

15. (IMO 1979) ,a b ∈� öyle ki 1 1 1 1 1

1 ......2 3 4 1318 1319

a

b= − + − + − + ise 1979 a

olduğunu kanıtlayınız. 16. Sonsuz sayıda tam kare üçgensel sayı (1,1+2,1+2+3,….) bulunduğunu kanıtlayınız.

17. ( ) ( )

( ) ( )2 3

2 ! 3 !

! !

m n

m n ifadesinin bir tamsayıya eşit olduğunu kanıtlayınız.

18. n ∈� olmak üzere ( )! !n ifadesinin ( )1 !! nn

− ile kalansız bölünebileceğini kanıtlayınız.

19. (OLYMPIADA MATHEMATICA ESPANOLA 1985) n+∈� olmak üzere

( )( ) ( ) ( )2 1 2 3 ...... 2n n n n n+ + + olduğunu kanıtlayınız.


New Stamp



13

SINAV XVI (GCD AND LCM)

1. ( ), 1a b = ise ( )2 2, 1 veya 3a b a ab b+ − + = olması gerektiğini kanıtlayınız.

2. (IMO 1959) 21 4

14 3

n

n

+

+ kesrinin her n ∈� için sadeleşemeyen bir kesir olduğunu

kanıtlayınız.

3. (AIME 1985) { }101,104,116,.....S = dizisinin elemanları 2100 , 1,2,3,...n

a n n= + =

olarak veriliyor. Eğer ( )1,n n nd a a += ise 1

maxn

nd

≥ kaçtır?

4. ,m n ∈� ve m tek sayı olduğuna göre ( )2 1, 2 1 1m m− + = olduğunu gösteriniz.

5. Ardışık seçilen iki Fibonacci sayısının aralarında asal olduklarını kanıtlayınız. 6. Hiçbir tek Fibonacci sayısının 17 ile kalansız bölünemeyeceğini gösteriniz.

7. n

C Katalan sayıları olarak tanımlansın. 1

(2 , )1n

C C n nn

=+

ise n

C ifadesinin bir

tamsayıya eşit olduğunu kanıtlayınız.

8. n ∈� ve ( ) ( ) ( ) ( )2 ,1 , 2 ,3 , 2 ,5 ,......., 2 ,1C n C n C n C n dizinin elemanlarının en büyük

ortak bölenini bulunuz.

9. a ∈� olmak üzere; ( ) ( )2 1 2 1b a− + durumunu sağlayan b ∈� sayılarını (ispat

ederek) bulunuz.

10. ( ) ve ; 2 1 2 , n

n n n na b a b n+ = + ∈� bağıntısı ile veriliyor. Buna göre

( ), 1n nEBOB a b = olduğunu gösteriniz.

11. 22 1n

nF = + ifadesi bize n. Fermat Sayısı nı verir. Buna göre ( ), ?n mF F =

12. Genel terimi 16 10 1, 1, 2,3,....n

na n n= + − = ifadesinin en büyük ortak bölenini

bulunuz.

13. p bir asal sayı olmak üzere 2 2pp − olduğunu kanıtlayınız.


New Stamp



14

SINAV XVIII (TELESCOPIC CANCELATION)

1. n∈� olmak üzere; 22 1n

+ ifadesinin 222 2

n

− yi kalansız böldüğünü gösteriniz.

2. 2 2 2 2

1 1 1 1log 1 log 1 log 1 ....log 1

2 3 4 1023

+ + + + + + +

= ?

3. 2 2 2

1 1 11 . 1 ....... 1 ise P = ?

2 3 99P

− − − =

4. 11 2 3 4 ....... ( 1) .n

nD n

−= − + − + + − ise n

D için kapalı bir form bulunuz.

5. 1.1! 2.2! 3.3! ....... 99.99!+ + + + toplamını bulunuz.

6. 1 3 5 9999 1

. . ........2 4 6 10000 100

< olduğunu kanıtlayınız.

7. 2 4

cos cos cos7 7 7

Pπ π π

= ise P?

8. ( ) ( ) ( ) ( )1 2 982 2 22 1 . 2 1 . 2 1 ....... 2 1 2ab+ + + + = + ise a ve b tamsayılarını bulunuz.

SINAV XIX (SUMS, PRODUCTS, RECURSIONS)

1. ( )( )2 2

2 2. 1

1 2 3 ...... 12

n nn n

++ + + + − + = eşitliğini kanıtlayınız.

2. ( ) 21 3 5 ......... 2 1n n+ + + + − = eşitliğini kanıtlayınız.

3. (AIME 1994) 1 2

20 20 20 ........ 405 5

+ + + + toplamını bulunuz.

4. 1 2 3 1995

.......1996 1996 1996 1996

S+ + + + = ise S ∈� olduğunu kanıtlayınız.

5. Orjin noktasından kalkan bir kelebek 1 birim yukarı, 1

2birim sağa,

1

4birim aşağı,

1

8

birim sola, 1

16 birim yukarı... şeklinde bir rota ile uçmaktadır. Buna göre bu kelebek

uçuşunu hangi koordinat noktasında bitirir.

6. 1 1 1 1

.....1.4 4.7 7.10 31.34

+ + + + toplamının eşitini bulunuz.

7. 1 1 1 1

.....1.4.7 4.7.10 7.10.13 25.28.31

+ + + + toplamını bulunuz.

8. ( )

2

3 3 3 3 11 2 3 ....

2

n nn

+ + + + + =

eşitliğini kanıtlayınız.

9. 3

32

1 2

1 3n

n

n

∞

=

−=

+∏ eşitliğini kanıtlayınız (Gramm e göre).


New Stamp



15

10.

1

31.2.4 2.4.8 3.6.12 ....

1.3.9 2.6.18 3.9.27 ....

+ + +

+ + + ifadesinin eşitini bulunuz.

11. 2

4 2 21

1.

1 2 1

n

k

k n n

k k n n=

+=

+ + + +∑ olduğunu gösteriniz.

12. csc 2 csc 4 csc8 ....... csc 2 cot1 cot 2n n+ + + + = − eşitliğini kanıtlayınız.

SINAV XX (RECURSIONS)

1. 0 7x = ve 12. , 1n n

x x n−= ≥ ise n

x için kapalı bir form bulunuz.

2. 0 2x = ve 19. 56 63, 1n n

x x n n−= − + ≥ ise n


3. 0 2x = ve 112. 3 , 1n

n nx x n

−

−= + ≥ ise n


4. 0 7x = ve 1 , 1n n

x x n n−= + ≥ ise n


5. 0 3x = ve 21 , 1

n nx x n+ = ≥ ise

nx için kapalı bir form bulunuz.

6. 0 3x = ve 1 4

3n

n

xx − +

= ise n


7. 0 1x = ve 15 20 25n n

x x n−= − + ise n


8. 0 1x = ve 1 12n n

x x n−= + ise n


9. 0 5x = ve ( )112. 9. 5n

n nx x −

−= + ise n


10. 0 5a = ve 21 2 , 0j j ja a a j+ = + ≥ ise

ja için kapalı bir form bulunuz.

11. (AIME 1994) Eğer 1n ≥ ise 21n n

x x n−+ = ve 19 94x = ise 94x elemanının 1000 ile

bölümünden kalan kaçtır?

12. 0 1x = − ve 21 , 0

n nx x n n−= + > ise

nx için kapalı bir form bulunuz.

13. 1 1x = ve 21 1, 0

n n nx x x n+ = − + > ise

1

11

n nx

∞

=

=∑ olduğunu kanıtlayınız.

SINAV XXI (EQUATIONS IN ONE VARIABLE)

1. 22 sinxx= denklemini çözünüz.

2. ( )

( )

2 8 15

123 1x x

xx

− +

−− = denklemini çözünüz.

3. 2x

xx =

�

ise x in yaklaşık değeri kaçtır?

4. 4 29 10.x x− −+ = denklemini çözünüz.

5. ( )( ) ( ) ( )5 7 6 4 504x x x x− − + + = denklemini çözünüz.

6. 19 3 4 0x x+− − = denklemini çözünüz.

7. 4 3 212 56 89 56 12 0x x x x− + − + = denklemini çözününüz.

8. 2 25 2 5 3 12x x x x− + − + = denklemini çözünüz.

9. 2 23 4 34 3 4 11 9x x x x− + − − − = denklemini çözünüz.

10. 3 314 14 4x x+ + − = denklemini çözünüz.


New Stamp



16

11. 2

cos5

π ifadesinin eşiti

1a

b

− ise a+b=?

12. sin100

xx = eşitliğini sağlayan kaç x reel sayısı vardır?

13. 2 3 6x a b a

a x a b+ = + denklemini x e göre çözünüz.

14. ( ) ( )( )( )3 7 5 1 1680x x x x− − + + = denklemini çözünüz.

15. 4 3 24 1 0x x x x+ − + + = denklemini çözünüz.

16. 2 2sin cos2 5.2 7x x+ = denklemini çözünüz.

17. 2x x x+ + + =… ise x kaçtır?

18. sin loge

x x= denkleminin kaç reel çözümü vardır?

19. 1 3 1 2 2 2x x x x x− − + − − − = + denklemini çözünüz.

20. 11 11 4x x x x+ + + + − = denklemini çözünüz.

21. 1

11

11

11

1

x

x

=

+

+

+

+

�

�

olarak verilen denklemi çözünüz.

22. 2 2 2 2 3x x x x x x+ + + + + =� denklemini çözünüz.

23. ( ) ( )102 10 9 29 1 99 10 . 1x x x x x− − + = − denklemini çözünüz.

24. 2 2

2 2

1 198

1 1

x x x x

x x x x

+ − − −+ =

− − + − denklemini çözünüz.

SINAV XXII (SYSTEM OF EQUATION)

1.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

.

. denklem sistemini çözünüz.

.

x y x z

y z y x

x z z y

+ +

+ +

+ +

2. ( )

( )

( )

22 2

22 2

22 2

, , ve . . 0 olmak üzere

denklem sistemini çözünüz.

a b c a b c

x y z a

y z x b

z x y c

∈ ≠

− − =

− − =

− − =


New Stamp



17

3. 3 2 3

3 2 2

3 8denklem sistemini çözünüz.

2 2 1

x x y y

x x y xy

+ + =

− + =

4. ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )2 2

2 3 2 . 3 39denklem sistemini çözünüz.

2 3 2 3 741

x y x y

x y x y

+ + + + + + =

+ + + + + + =

5. 4 4 82

sistemini çözünüz.2

x y

x y

+ =

− =

6. 1 2 2 3 100 101 101 1. 1, . 3, , . 100, . 101

denklem sistemini çözünüz.

x x x x x x x x= = = =…

7.

2

2

2

. 3

. 4 denklem sistemini çözünüz.

. 5

x y z

y z x

z x y

− =

− =

− =

8.

2 1

2 12denklem sistemini çözünüz.

2 5

2 1

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

+ + + = − + + + =

+ + + = + + + = −

9.

2

2

2

8

2 168 denklem sistemini çözünüz.

2 2 12480

x x y

y xy z

z yz xz

+ + =

+ + =

+ + =

SINAV XXIII (REMAINDER+FACTOR THEOREMS+POLYNOMIALS)

1. ( )P x polinomu ( ) ( )P x P x− = − durumunu sağlamaktadır. ( )P x polinomu ( )3x − ile

bölündüğünde 6 kalanını verdiğine göre ( )2 9x − ile bölündüğünde vereceği kalanı

bulunuz.

2. ( )P x , n. dereceden bir polinom olmak üzere ( )1

, 1,2,3, 4,..., 1P k k nk

= = + ise

( 2)P n + ifadesinin eşitini bulunuz.


New Stamp



18

3. Katsayıları tamsayılar olan bir ( )P x polinomunda x in alacağı 4 farklı değer için

( ) 7P x = ise ( )P x polinomunun hiçbir zaman 14 e eşit olamayacağını kanıtlayınız.

4. 3. dereceden bir polinom olan ( )P x veriliyor.

(1) 1, (2) 2, (3) 3, (4) 5 ise (6)?P P P P P= = = =

5. 4 3 2( ) 1 polinomu veriliyor.f x x x x x= + + + + ( )5f x in ( )f x ile bölümünden kalan

kaçtır?

6. ( )P x polinomu ( )1x − bölündüğünde kalan 2− , ( )2x + ile bölününce 4− kalanını

vermektedir. Buna göre ( )P x polinomunun ( )2 2x x+ − ile bölümünden kalan kaçtır?

7. ( ) ( ) ( )5 8 1997

3 2 5 2x x x+ + + + + olarak verilen ( )P x polinomu ( )2x + ile bölündüğünde

elde edilecek kalanı bulunuz.

SINAV XXIV (VIETE’S FORMULAE)

1. , ,α β γ sayıları 3 2 1 0x x− + = denkleminin kökleri ise 2 2 2

1 1 1

α β γ+ + toplamını

bulunuz.

2. 3 2 2 0x x− + = denkleminin kökleri a,b,c ise 2 2 2 3 3 3 4 4 4, , a b c a b c a b c+ + + + + +

toplamlarını bulunuz. 3. (USAMO 1973)

2 2 2

3 3 3

3

3 sisteminin tüm (reelyadacomplex) çözümlerini bulunuz.

3

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + =

+ + =

4. ( ) ( ) ( )1 21 2 1 2 1 2. . . ve , ,...,n n n

n n nx a x a x a x r x r x r r r r− −+ + + + = + + + ∈… … olarak

veriliyor. Buna göre ( ) 21 21 . 2 .n a n a− ≥ olduğunu gösteriniz.

5. (USAMO 1984) 4 3 218 200 1984 0x x kx x− + + − = denkleminin kökler çarpımı 32− ise k değerini bulunuz.

6. 4 3 216 94 0x x x px q− + + + = denkleminin çift katlı kökü var olduğuna göre, p q+

toplamını bulunuz.

7. 1 2 3 100, , , ,α α α α… değerleri 100 10 10 0x x− + = denkleminin kökleri olduğuna göre 100 100 1001 2 100....α α α+ + + toplamını bulunuz.

8. Varsayalım , ,α β γ elemanları 3 1 0x x− − = denkleminin kökleri olsun buna göre

5 5 5

3 3 3

1 1 1 ve α β γ

α β γ+ + + + toplamlarını bulunuz.

9. ,α β ∈ sayıları 3 2

3 2

3 5 17 0denklemlerini sağlıyorsa toplamını bulunuz.

3 5 11 0

α α αα β

β β β

− + − = +

− + + =


New Stamp



19

SINAV XXV (LANGRANGE’S INTERPOLATION)

1. ( ) ( ) ( ) ( )1 1, 2 2, 3 3, 4 5p p p p= = = = durumlarını sağlayan 3. dereceden ( )p x

polinomunu bulunuz.

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1, 2 2, 3 3, 4 5, 5 5p p p p p= = = = = durumlarını sağlayan 4. dereceden

( )p x polinomunu bulunuz.

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1, 2 2, 3 4, 4 5, 5 8p p p p p= − = − = = = durumlarını sağlayan 4. dereceden

( )p x polinomunu bulunuz.


New Stamp

sinav i(identities with squares) 1.1 20 sine e şit olan bir tamsayının en sol basama ğı 6 ise...

Documents