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Sinais e SistemasUnidade 5 –
Representação em domínio da
frequência para sinais contínuos:Transformada de Laplace
Prof. Cassiano Rech, Dr. [email protected]
Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. [email protected]
1/5
2Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
•
Introdução•
Definição da Transformada de Laplace
•
Solução de equações diferenciais linearese invariante no tempo
•
Função de Transferência•
Conceito de pólos e zeros
•
Estabilidade de sistemas
•
Sistemas com atraso de transporte•
Análise da resposta transitória
•
Análise da resposta em regime permanente
•
Resposta em frequência e Diagrama de Bode
Conteúdo da unidade
Aulas
01 e 02
Aula 03
Aula 04
Aulas
05 e 06
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3Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Aula 05
•
Resposta em frequência e Diagrama de Bode–
Introdução
–
Definição de módulo de fase–
Representação na forma de Bode
–
Digramas de Bode•
Ganho K
•
Fatores integral e derivativo (s)
±1
•
Fatores de primeira ordem (s
+ 1)
±1
•
Fatores quadráticos (s²
+ 2ζs/ωn
+ 1)
±1
–
Procedimento geral para construção
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4Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Introdução
•
Hendrik
Wade
Bode–
Americano (1905‐1982)
–
Engenheiro, pesquisador e inventor
–
Pioneiro em•
Teoria de controle (aplicada à
aviação)
•
Telecomunicações
–
Em 1929 entra para o Bell Labs
–
Em 1938 desenvolve o método gráficoconhecido como Diagrama de Bode•
Análise gráfica de ganho e fase de sistemas
–
Ganhou diversos prêmios por suas contribuições científicas
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5Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Introdução
•
Resposta em frequência–
Resposta em regime estacionário
de um sistema submetido a um sinal
de entrada senoidal–
Varia‐se a frequência
do sinal de entrada ao longo de uma faixa de
interesse e estuda‐se a resposta resultante–
A resposta em frequência pode ser obtida experimentalmente
empregando geradores de sinal senoidal e equipamentos de medida de precisão
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Resposta em regime para sinal senoidal
•
Seja um sistema LTI definido por
–
Onde o sinal de entrada x(t) é senoidal e dado por
–
Se o sistema for estável, o sinal de saída y(t), em regime estacionário, será
dado por
–
Onde
e
Y sG s
X s
x t X sen ωt
y t Y sen ωt φ
Y X G jω
Im G jωφ G jω arctg
Re G jω
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7Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Resposta em regime para sinal senoidal
•
Observações–
Um sistema LTI submetido a uma excitação senoidal, terá
como
resposta, em regime estacionário, um sinal também senoidal
de mesma frequência
–
A amplitude e o ângulo (fase)
do sinal de saída são, em geral, diferentes do sinal de entrada
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Resposta em regime para sinal senoidal
•
Função de transferência senoidal–
A função de transferência senoidal de qualquer sistema é obtida
substituindo‐se s
por jω
–
É uma grandeza complexa e pode ser representada por magnitude
e fase, tendo como parâmetro a frequência
–
Fase negativa Atraso de fase–
Fase positiva Avanço de fase
Y jωG jω
X jω
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Diagrama de Bode
•
Função de transferência na forma de Bode
•
Representação de uma função de transferência senoidal–
Gráfico do módulo (magnitude) x frequência
–
Gráfico da fase x frequência
•
Representação padrão do módulo–
Logaritmo Multiplicação dos módulos é convertida em adição
–
Unidade Decibel [dB]
1020 logdb
G jω G jω
12
1 1122 2
1
1
1
2 21 1
n
n n
n n
z ss z zp
G ss p s s s s
sp
ωξω ω ξ
ω ω
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Fatores Básicos
•
O ganho é uma curva horizontal•
O ângulo de fase do ganho K
é
nulo
•
Possui o efeito de deslocar
a curva do logaritmo da função de transferência para cima e para baixo
Ganho K
20 logdb
G jω K
0 0G jω arctgK
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Fatores Básicos
•
Fator 1/s
•
Fator s
120 20log logdb
G jω ωjω
Fator integral e derivativo(s) ±1
20 20log logdb
G jω jω ω
1 900
o/ωG jω arctg
900
oωG jω arctg
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Fatores Básicos
•
Diagrama de Bode–
Uma oitava Intervalo de frequência entre
ω1
e 2ω1
–
Uma década Intervalo de frequência entre
ω1
e 10ω1
–
Para ω
= 1, tem‐se
–
Para ω
qualquer, tem‐se
120 01
logdb
G jωj
1 900
oG jω arctg
20 1 0logdb
G jω j 1 900
oG jω arctg
120 20log logdb
G jω ωjω
20 20log logdb
G jω jω ω
1 900
o/ωG jω arctg
900
oωG jω arctg
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Fatores Básicos
•
Fator 1/(s+1)
–
Para ω
<<
1/T
(baixas frequências)
2120 20 11
log logdb
G jω ωTjωT
Fator de primeira ordem(s + 1)
±1
20 1 0logdb
G jω Aproximação assintótica
0 01
oG jω arctg
1 1ωT ωTG jω arctg arctg
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Fatores Básicos
–
Para ω
>>
1/T
(altas frequências)
–
Para ω
= 1/T
(frequência de canto)
20 logdb
G jω ωT Aproximação assintótica
901
oG jω arctg
20 1 1 3log dbdb
G jω
1 451
oG jω arctg
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Fatores Básicos
•
Fator (s+1)–
No diagrama de Bode, para fatores recíprocos, as curvas de módulo em
dB e fase apenas trocam de sinal. Logo:
220 1 20 1log logdb
G jω jωT ωT
1ωT
G jω arctg
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Fatores Básicos
•
Fator 1/(s²/ωn2
+ 2ζs/ωn
+ 1)
21
202 1
logdb
n n
G jω jω jωξ
ω ω
Fator de segunda ordem(s²
+ 2ζs/ωn
+ 1)
±1
2 22
220 1 2logdb
nn
ω ωG jω ξ
ωω
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Fatores Básicos
–
Para ω
<< ωn
(baixas frequências)
2
2
1
n
n
ωξω
G jω arctgωω
20 1 0logdb
G jω Aproximação assintótica
0 01
oG jω arctg
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21Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Fatores Básicos
–
Para ω
>>
ωn
(altas frequências)
–
Para ω
=
ωn
(frequência de canto)
2
220 40log logdb
nn
ω ωG jω
ωω
Aproximação assintótica
2 0 180oξG jω arctg arctg
1202
logdb
G jωξ
2 900
oξG jω arctg
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Procedimento de construção
1)
Reescrever a função de transferência na forma de Bode2)
Verificar se os termos de ordem superior (quadráticos) podem
ser reescritos como termos de 1º
ordem com raízes reais3) Fazer s
= jω
4)
Separar cada um dos termos5)
Identificar as frequência de canto
associadas a cada termo
6)
Desenhar as curvas assintóticas–
Módulo em db
–
Fase em graus
7)
Somar graficamente as curvas assintóticas8)
Realizar correções para o traçado da curva real