simulazione della seonda prova dell’esame di maturità di ... · pensi che sia una preoccupazione...

M. Macchioro - La prova di fisica per la maturità scientifica 59

Simulazione della seconda prova dell’esame di maturità di Fisica, 11 marzo 2015 Lo studente deve svolgere un solo problema a sua scelta tempo massimo assegnato alla prove tre ore

Problema n. 1: Un generatore “IDEALE” Il tuo amico Luigi pensa di aver avuto un’idea geniale: ha progettato un generatore di tensione alternata che, una volta avviato, non necessita di ulteriore apporto di energia per il suo funzionamento se non quel poco che serve a vincere gli esigui attriti del dispositivo. Ti mostra la rappresentazione schematica sotto raffigurata descrivendola così:

Una barretta metallica, di massa m, può scorrere lungo i due binari paralleli di una guida ad U anch’essa metallica. La barretta, di lunghezza L, è collegata al lato della guida parallelo ad essa mediante una molla

fissata con materiale isolante. Il tutto è immerso in un campo magnetico uniforme e costante , ortogonale al piano della guida. La barretta viene spostata di un tratto a e poi bloccata in modo da mantenere la molla allungata. Una volta tolto il blocco la barretta inizierà ad oscillare generando tra i poli A e B una differenza di potenziale alternata che potrebbe essere utilizzata, ad esempio collegando ai poli una resistenza R, fin quando la barretta si muove. Volendo presentare la sua idea in un concorso scolastico, Luigi chiede a te di:

1. preparare una descrizione qualitativa e quantitativa del fenomeno fisico che determina la differenza di potenziale tra i poli A e B, e calcolando il valore della costante elastica della molla che consente di produrre una tensione di frequenza pari a quella della rete domestica di 50,0 Hz, nell’ipotesi che la massa m abbia il valore 2,0∙10-2 kg.

2. valutare il valore massimo fmax della forza elettromotrice indotta f.e.m. che tale generatore produce nel caso a=1,0∙10-2 m, L=1,0∙10-1 m, B=0,30 T.

Tu non sei convinto che il generatore ideato da Luigi una volta avviato possa fornire per sempre energia elettrica ad una utenza, senza ulteriore apporto di energia; per capire meglio cerchi di ottenere energia dal generatore e colleghi la resistenza elettrica R, come mostrato in figura, tra i poli A e B, misuri la differenza di potenziale tra i poli in funzione del tempo e ne tracci un grafico.

3. Che tipo di grafico ottieni? 4. Che tipo di moto ha la barretta e perché? 5. Come spiegheresti a Luigi cosa avviene dal punto di vista energetico e perché la sua idea non è poi

così geniale come lui immagina?

R A B

L

d a


Problema n. 2: Una missione spaziale Nel 2200 il più moderno razzo vettore interplanetario costruito dall’uomo può raggiungere il 75,0 % della velocità della luce nel vuoto. Farai parte dell’equipaggio della missione che deve raggiungere un pianeta che orbita intorno alla stella Sirio, che dista 8,61 anni-luce e si avvicina con velocità di 7,63 km/s al sistema solare, effettuare ricerche lì per 2,00 anni e poi rientrare sulla Terra. Devi contribuire alla programmazione di tutti i dettagli della missione, come ad esempio le scorte di cibo e acqua; prendendo come istante di riferimento t=0 il momento della partenza dalla Terra, considerando che viaggerai sempre alla massima velocità possibile e trascurando tutti gli effetti dovuti alla accelerazione del moto nella fase di partenza e di arrivo, fatte tutte le ipotesi aggiuntive che ritieni necessarie, devi valutare:

1. quanto tempo durerà la missione per un osservatore sulla terra;

2. quanto tempo durerà il viaggio di andata e quello di ritorno secondo i componenti dell’equipaggio;

3. quanto tempo durerà complessivamente la missione secondo i componenti dell’equipaggio. Alcuni test effettuati nei laboratori della Terra sui componenti elettronici simili a quelli utilizzati sull’astronave, indicano che è necessario effettuare alcuni interventi di manutenzione sull’astronave. Dopo 1,00 anni dalla partenza (tempo terrestre) viene quindi inviato un segnale alla navicella. Quando il capitano riceve il segnale,

4. quanto tempo è trascorso sulla navicella dall’inizio del viaggio? Ricevuto il segnale, il capitano invia immediatamente la conferma alla Terra;

5. dopo quanto tempo dall’invio del segnale alla navicella la base terrestre riceve la conferma della ricezione?

Durante il viaggio di andata, il ritardo nelle comunicazioni con l’astronave aumenta con l’aumentare della distanza; per illustrare al pubblico questo effetto

6. disegna su un piano cartesiano i grafici che mostrino rispetto al riferimento terrestre la distanza dalla Terra dell'astronave e dei due segnali di comunicazione, in funzione del tempo.

Il responsabile della sicurezza della missione ti comunica una sua preoccupazione: teme che, a causa della contrazione relativistica delle lunghezze, il simbolo della flotta terrestre riportato sulla fusoliera del razzo, un cerchio, possa apparire deformato agli occhi delle guardie di frontiera, che potrebbero quindi non riconoscerlo, e lanciare un falso allarme. Pensi che sia una preoccupazione fondata?

7. Illustra le tue considerazioni in merito a questa preoccupazione e dai una risposta al responsabile della sicurezza, corredandola con argomenti quantitativi e proponendo una soluzione al problema.

Indicatori di valutazione portati a conoscenza dello studente: - Osservare criticamente i fenomeni e formularne ipotesi esplicative utilizzando modelli, analogie e leggi. - Formalizzare situazioni problematiche e applicare gli strumenti matematici e disciplinari rilevanti per la loro risoluzione. - Interpretare e/o elaborare i dati proposti, anche di natura sperimentale, secondo un’ipotesi, valutando

l’adeguatezza di un processo di misura e/o l’incertezza dei dati, verificando la pertinenza dei dati alla

validazione del modello interpretativo.


Soluzione del problema 1

Punti 1-2 Il fenomeno sfruttato nel dispositivo è quello dell’induzione elettromagnetica, in base al quale una variazione del flusso del campo magnetico, comunque prodotta, genera nello spazio una forza elettromotrice indotta il cui valore dipende dalla rapidità con cui varia il flusso. In termini quantitativi il fenomeno è descritto dalla legge di Faraday-Neumann-Lenz, che può essere espressa in forma differenziale nel modo seguente:

per calcolare la f.e.m. indotta (ε) è pertanto necessario conoscere l’espressione del flusso del campo magnetico in funzione del tempo e calcolarne la derivata prima; il segno - , in base alla legge di Lenz, determina il verso corretto della f.e.m. Il moto della barretta metallica vincolata a una molla è un moto oscillatorio armonico semplice la cui frequenza è data dalla nota relazione

da essa ricaviamo, come richiesto nel punto 1, il valore della costante elastica K necessario per avere una tensione di frequenza di 50,0 Hz:

Osservando attentamente la figura, possiamo scrivere l’espressione del flusso magnetico in funzione del tempo. Ricordiamo che, per definizione:

dove è l’angolo formato tra il campo magnetico e la normale alla superficie A. Nel nostro caso, essendo il campo perpendicolare alla superficie, si ha e, pertanto, . La superficie A, invece, può essere pensata come la somma algebrica tra la superficie fissa A1 = Ld e la superficie variabile A2 descritta dalla barretta in moto oscillatorio. Ricordando la legge oraria del moto armonico:

R A B

L

d a a

A2

-A2

A1 = dL


possiamo scrivere

notiamo che A2 può essere alternativamente positiva o negativa a seconda del segno del coseno. Avremo

il flusso sarà

calcoliamo la f.e.m. indotta

Nella relazione trovata è immediato riconoscere nel prodotto il valore massimo della f.e.m. indotta, avremo pertanto:

Punti 3-4-5 Una volta avviato il sistema, la barretta attraversata da corrente si muove in un campo magnetico ortogonale che produce su di essa una forza frenante ottenibile con la legge:

la forza risulterà sempre perpendicolare alla barretta e di verso opposto alla sua velocità, come si può facilmente verificare con la regola della mano destra. Infatti, quando la velocità è orientata verso destra, il flusso aumenta e per la legge di Lenz la corrente indotta, che si deve “opporre” alla variazione di flusso, è oraria e, pertanto, scorre nella barretta verso il basso; con la regola della mano destra si ottiene che la forza magnetica sulla barretta è diretta verso sinistra, cioè in verso contrario al moto.

La situazione opposta si verifica quando la barretta si muove verso sinistra. La combinazione tra l’azione della forza elastica della molla e della forza magnetica frenante, conferirà alla barretta un moto armonico smorzato. Il grafico della tensione in funzione del tempo sarà pertanto il seguente:

R A B

L

d a

v

Fm

i


A ogni oscillazione, lo smorzamento del moto della molla comporterà una diminuzione del valore massimo della tensione. Da un punto di vista energetico, l’energia conferita inizialmente alla molla:

viene interamente dissipata per effetto Joule nella resistenza R. Infatti per effetto della forza elastica l’energia viene continuamente trasformata da potenziale a cinetica e viceversa, ma durante l’oscillazione la forza frenante magnetica, compiendo un lavoro negativo, dissipa parte dell’energia meccanica, cosicché il moto della barretta viene progressivamente smorzato. Quantitativamente si hanno le seguenti relazioni: la potenza della forza magnetica, in valore assoluto, è

l’espressione , però, è quella della f.e.m. cinetica, pertanto otteniamo:

che è l’espressione della potenza elettrica. Pertanto tutta l’energia sottratta al moto della barretta viene dissipata per effetto Joule nella resistenza. Concludiamo, pertanto, che il generatore ideato da Luigi non può produrre una tensione alternata in quanto il sistema, pur essendo privo di attriti meccanici, è soggetto inevitabilmente a forze dissipative, di natura elettromagnetica, che trasformeranno l’energia conferita inizialmente in energia termica dissipata dalla resistenza.

V

t


Soluzione del problema n. 2: Una missione spaziale

Punti 1-2-3 Nei primi tre punti viene richiesto il calcolo di alcuni intervalli di tempo in due diversi sistemi di riferimento. Preliminarmente, osserviamo che la velocità di avvicinamento della stella Sirio al sistema solare è trascurabile rispetto alla velocità dell’astronave (entrambe sono misurate nel riferimento terrestre), infatti:

avendo indicato con e rispettivamente la velocità dell’astronave e quella di Sirio, quest’ultima è negativa avendo orientato l’asse di riferimento dalla Terra verso Sirio ed essendo Sirio in avvicinamento.

Essendo , nel prosieguo del problema considereremo Sirio ferma rispetto alla Terra. Notiamo ancora che la distanza tra la Terra e Sirio, sempre espressa nel riferimento terrestre, è espressa in anni luce (a.l.). E’ noto che 1 a.l. è la distanza percorsa dalla luce in 1 anno, pertanto una distanza misurata in anni luce può sempre essere pensata come il prodotto di c per il tempo misurato in anni:

Questa osservazione può essere utilizzata per calcolare la durata della missione per un osservatore terrestre, essa può essere calcolata osservando che il viaggio di andata ha la stessa durata di quello di ritorno e considerando la durata della sosta:

la durata della missione è, pertanto:

Per determinare la durata del viaggio d’andata, quello di ritorno e la durata totale della missione secondo l’equipaggio, richieste nei punti 2 e 3, è sufficiente osservare che l’orologio a bordo dell’astronave, supposto inizialmente sincronizzato con quello terrestre, misura il tempo proprio, in quanto l’evento “viaggio” avviene nel sistema di riferimento dell’astronave. Basta quindi calcolare il fattore relativistico

e ricordare la legge sulla dilatazione dei tempi

il viaggio di ritorno avrà chiaramente la stessa durata:

la sosta durerà sempre 2,00 anni, essendo in quel periodo l’astronave ferma. Pertanto la durata totale della missione, per i membri dell’equipaggio, è:

Terra Sirio


Punti 4-5-6 Indichiamo con Δt il tempo, misurato da Terra, che impiega il segnale elettromagnetico a raggiungere l’astronave, per ricavarlo imponiamo che lo spazio percorso dall’astronave sia uguale a quello percorso dal segnale, tenendo conto che il segnale è inviato dalla Terra dopo 1,00 anni dalla partenza dell’astronave:

il tempo totale misurato da Terra (Δttotale) sarà pertanto 4,00 anni. Per determinare quanto tempo è trascorso per i membri dell’equipaggio, si applica la dilatazione dei tempi:

Per sapere quanto tempo impiega il segnale mandato dal capitano dell’astronave per giungere a Terra, bisogna sapere a quale distanza da Terra si trova l’astronave al momento dell’invio del segnale di risposta:

Il segnale di risposta, pertanto, impiegherà 3,00 anni per tornare a Terra che, sommati ai 3,00 anni impiegati dal primo segnale per giungere all’astronave, daranno un tempo complessivo di 6,00 anni tra l’invio del primo segnale e l’arrivo del segnale di risposta. Osserviamo esplicitamente che nella risoluzione di quest’ultimo punto si è tenuto conto del 2° postulato della relatività ristretta, infatti la velocità del segnale, in particolare quello di risposta, vale c indipendentemente dal moto relativo dell’osservatore e della sorgente. Il grafico richiesto nel punto 6 è semplicemente quello delle leggi orarie dell’astronave, del segnale di andata e di quello di ritorno, tutto valutato rispetto a Terra:

legge oraria dell’astronave legge oraria del segnale di andata

legge oraria del segnale di ritorno


in rosso l’astronave, in verde il segnale di andata, in azzurro il segnale di risposta.

Punto 7 Il fenomeno della contrazione delle lunghezze è strettamente correlato a quello della dilatazione dei tempi sfruttato nella risoluzione dei punti precedenti. In base a esso, la dimensione lineare parallela alla direzione del moto di un corpo in movimento appare accorciata di un fattore pari a γ rispetto a quando il corpo è fermo; nel contempo, la contrazione non riguarda le dimensioni perpendicolari alla direzione del moto. La preoccupazione del responsabile della sicurezza, pertanto, è fondata, perché, se il cerchio è stampato sul fianco dell’astronave, esso apparirà di forma ellittica alle guardie di frontiera. Infatti i vari diametri del cerchio subiranno diverse contrazioni a seconda dell’angolo che formano rispetto alla direzione del moto, avremo la massima contrazione per il diametro parallelo alla direzione del moto e poi contrazioni via via decrescenti fino al diametro perpendicolare alla direzione del moto, che non subirà contrazione. Calcoliamo la massima contrazione del diametro:

0 1,00 4,00 7,00 t(anni)

s (anni luce)

5,25

3,00

0,75


L’inconveniente può essere facilmente risolto sagomando l’astronave in modo che il simbolo della flotta sia stampato su un piano perpendicolare alla direzione del moto dell’astronave, in modo che nessun diametro subisca la contrazione relativistica.

Astronave ferma, il

simbolo appare a forma di

cerchio

Astronave in

movimento, il

simbolo appare

di forma ellittica

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