simulation du comportement dynamique de systemes multicorps

Faculté Polytechnique de Mons Service de Mécanique Rationnelle

SIMULATION DU COMPORTEMENT DYNAMIQUE DE

SYSTEMES MULTICORPS FLEXIBLES COMPORTANT DES MEMBRURES DE FORME

COMPLEXE

Olivier VERLINDEN

Dissertation originale déposée et acceptée à la Faculté Polytechnique de Mons

en vue de l'obtention du grade de Docteur en Sciences Appliquées

Juillet 1994

Après examen par le jury le 23 juin 1994, en défense privée, cette dissertation a été admise à la soutenance publique, qui s'est déroulée le 1er juillet 1994 et au terme de laquelle le candidat a obtenu le titre de Docteur en Sciences Appliquées, avec la plus grande distinction et les félicitations du jury. Composition du jury. Président : Professeur G. Guerlement, Faculté Polytechnique de Mons. Membres : Professeur Y. Baudoin, Ecole Royale Miltaire de Bruxelles; Professeur S. Boucher, Faculté Polytechnique de Mons; Professeur C. Conti, Faculté Polytechnique de Mons; Professeur M. Géradin, Université de Liège; Professeur D. Lamblin, Faculté Polytechnique de Mons; Professeur Y. Ravalard, ENSIMEV de Valenciennes (France); Professeur J.C. Samin, Université Catholique de Louvain.

Avant-propos 3

Avant-propos.

Cet ouvrage constitue l'aboutissement d'un long travail de recherche et n'aurait sans

doute pas vu le jour sans l'aide ou le soutien de plusieurs personnes.

Je voudrais remercier particulièrement Mrs Boucher et Conti. Le premier a réuni les

conditions matérielles permettant la réalisation de ce travail et a su prodiguer les

encouragements opportuns. Le second a non seulement été un conseiller irréprochable mais

est parvenu à assurer une motivation constante. Enfin, l'un et l'autre ont participé longuement

au travail de correction et ont contribué à la rigueur scientifique de cet ouvrage.

Que tous les membres du personnel scientifique et technique du Service de Mécanique

Rationnelle, trouvent ici l'expression de ma gratitude. Tous ont participé, de près ou de loin,

à l'élaboration de cette thèse mais, surtout, ont toujours assuré une ambiance sympathique et

chaleureuse, propice à un travail fructueux. En particulier, Pierre Dehombreux a pris une part

active à la rédaction d'un des chapitres. Qu'il soit assuré de ma reconnaissance.

Je tiens aussi à rappeler le concours de l'I.R.S.I.A, qui a partiellement assuré le soutien

financier de mon travail de recherche.

Enfin, je voudrais remercier de tout coeur mon épouse, qui a su rester patiente et a aussi

mis la main à la pâte lors des longs travaux de correction. Je lui dédie cet ouvrage, et les

quelques mots qui suivent, exprimant au travers du regard d'un jeune garçon, et avec une

fraîcheur dont Pagnol a le secret, la relation parfois ambigüe que nous entretenons avec nos

congénères féminines ... et qui finit par nous conduire au mariage.

Pour moi, ces mots "garçon manqué" signifiaient que les filles n'étaient qu'un faux pas de

la nature, le résultat d'une erreur au cours de la création d'un garçon. Voilà pourquoi

elles rougissaient sans motif, pleuraient pour moins encore, et vous griffaient pour un

compliment; voilà pourquoi ne sachant ni siffler ni cracher, elles tombaient des arbres,

inventaient d'inutiles mensonges et se livraient en cachette à des manigances devant les

miroirs...

...

Cependant, tout le monde s'intéressait aux filles, et sans que je pusse comprendre

pourquoi, il me fallait bien reconnaître qu'elles me plaisaient.

Le temps des secrets, Marcel Pagnol

Simulation du comportement dynamique de systèmes multicorps flexibles4

Sommaire 5

Sommaire.

I Présentation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I.1 Contexte, intérêt et préoccupations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I.2 Contenu du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II Modèle descriptif d'un sytème multicorps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

II.1 Définition d'un système multicorps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

II.2 Les principales approches topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

II.3 Options pour l'introduction des flexibilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II.4 Choix adopté quant au type de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

II.5 Choix adopté quant à l'expression des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II.6 Principe de la description topologique adoptée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

II.7 Chaînes cinématiques et éléments cinétostatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II.8 Eléments cinétostatiques envisagés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

II.8.1 L'articulation rotoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

II.8.2 L'articulation prismatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

II.8.3 Le corps rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

II.8.4 Le corps flexible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

II.9 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

II.10 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

III Formulation et intégration des équations d'équilibre dynamique

en l'absence de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

III.1 Problèmes d'intégration relatifs aux systèmes multicorps flexibles . . . . . . . . . 33

III.2 Conséquences sur le choix de la formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

III.3 Principe général de la formulation résiduelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

III.4 Mise en oeuvre de la récurrence ascendante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

III.4.1 Le formalisme des matrices de transformation homogène . . . . . . . . . 39

III.4.2 Principe général de la récurrence ascendante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

III.4.3 Récurrence ascendante pour l'articulation rotoïde . . . . . . . . . . . . . . . . 42

III.4.4 Récurrence ascendante pour l'articulation prismatique . . . . . . . . . . . . 43

III.4.5 Récurrence ascendante pour le corps rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

III.4.6 Récurrence ascendante pour le corps flexible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

III.5 Mise en oeuvre de la récurrence descendante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

III.5.1 Principe et conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

III.5.2 L'articulation rotoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

III.5.3 L'articulation prismatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49


III.5.4 Le corps rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

III.5.5 Le corps flexible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

III.6 Calcul des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

III.6.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

III.6.2 L'articulation rotoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

III.6.3 L'articulation prismatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

III.6.4 Le corps flexible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

III.7 Mise en oeuvre de l'intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

III.7.1 Principe du calcul de la matrice d'itération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

III.7.2 Calcul optimisé de la matrice d'itération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

III.7.3 Influence du schéma d'intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

III.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

IV Formulation et intégration des équations d'équilibre dynamique

en présence de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

IV.1 Formulation du système d'équations algébro-différentielles . . . . . . . . . . . . . 65

IV.2 Forme des équations de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

IV.3 Relation entre efforts de liaison et multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . 67

IV.4 Efforts internes aux liaisons - Degrés de liberté cachés . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

IV.4.1 position du problème et conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

IV.4.2 La liaison rotoïde d'axe Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

IV.4.3 La liaison prismatique d'axe X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

IV.5 Organisation complète du calcul des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

IV.6 Le traitement numérique des équations de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

IV.6.1 Principe général de l'intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

IV.6.2 Notion d'index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

IV.6.3 La méthode H.H.T. (Hilbert-Hugues-Taylor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

IV.6.4 Formulation implicite en coordonnées minimales . . . . . . . . . . . . . . . 77

IV.6.5 Méthodes de projection de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

IV.6.6 Solution choisie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

IV.7 Optimisation de l'inversion de la matrice d'itération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

IV.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

V Logiciel réalisé et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

V.1 Le logiciel AMR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

V.2 Les éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

V.2.1 Les articulations rotoïdes (A_ROTX, A_ROTY ou A_ROTZ) . . . . . 85

V.2.2 Les articulations prismatiques (A_PRIX, A_PRIY ou A_PRIZ) . . . . 86

V.2.3 Translation et rotation (TRROT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

V.2.4 Corps rigide (C_RIG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Sommaire 7

V.2.5 Poutre rigide (P_RIG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

V.2.6 Corps flexible (C_FLE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

V.2.7 Poutre flexible (P_FLE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

V.2.8 Point sur sol (PT_GD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

V.2.9 Point sur courbe (PT_LI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

V.2.10 Segment sur courbe (SG_LI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

V.3 Le système vu de l'utilisateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

V.4 Les fondements du préprocesseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

V.5 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

V.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

V.5.2 Poutre console en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

V.5.3 Mécanisme à quatre barres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

V.5.4 Marche de tram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

V.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

VI La synthèse par modes composants en systèmes multicorps . . . . . . . . . . . . . . 111

VI.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

VI.2 La sous-structuration et les systèmes multicorps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

VI.3 Les différents types de modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

VI.4 Les réductions classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

VI.4.1 Partition des degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

VI.4.2 La réduction de Craig-Bampton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

VI.4.3 La réduction de MacNeal-Rubin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

VI.4.4 L'application de ces réductions à notre contexte . . . . . . . . . . . . . . . . 118

VI.5 Conditions aux limites géométriques et dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

VI.6 Calcul des invariants d'un corps flexible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

VI.6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

VI.6.2 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

VI.6.3 Les informations relatives au modèle aux éléments finis . . . . . . . . . 126

VI.6.4 Calcul des matrices réduites de masse et de raideur . . . . . . . . . . . . . 127

VI.6.5 Calcul des différents invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

VI.6.6 Quelques valeurs numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

VI.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

VII Sélection des modes composants en systèmes multicorps . . . . . . . . . . . . . . . . 137

VII.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

VII.2. Développement d'un indicateur de qualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

VII.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

VII.2.2 Construction de la déformation de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

VII.2.3 Détermination de l'indicateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140


VII.3 Sélection des modes en fonction de la simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

VII.3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

VII.3.2 Pendule simple flexible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

VII.3.3 Notion de coefficient de participation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

VII.3.4 Calcul du coefficient de participation modal . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

VII.3.5 Résultats pour le pendule simple flexible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

VII.4 Application à quelques cas tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

VII.4.1 Bras articulé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

VII.4.2 Manipulateur à trois degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

VII.4.3 Locomotive de chemin de fer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

VII.4.4 Véhicule tout terrain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

VII.5 Validation ultime de la réduction modifiée de Bendield-Hruda . . . . . . . . . 164

VII.5.1 Considérations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

VII.5.2 Application au pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

VII.5.3 Application au bras articulé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

VII.5.4 Application au bras de manipulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

VII.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

VIII Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Annexe A : Récurrence descendante sur un corps flexible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Annexe B : Fonctions relatives aux différents éléments cinétostatiques . . . . . . . . . 191

B.1 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

B.2 Les articulations rotoïdes (A_ROTX, A_ROTY ou A_ROTZ) . . . . . . . . . . . 191

B.3 Les articulations prismatiques (A_PRIX, A_PRIY ou A_PRIZ) . . . . . . . . . . 192

B.4 L'élément translation et rotation (TRROT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

B.5 Poutre rigide (P_RIG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

B.6 Poutre flexible (P_FLE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

B.6.1 Equations classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

B.6.2 Prise en compte du raidissement géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

B.7 L'élément point sur sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

B.7.1 Définition de la fonction de sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

B.7.2 Récurrence ascendante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

B.7.3 Récurrence descendante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

B.7.4 Calcul des résidus relatifs à X et Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

B.8 Les éléments point sur courbe et segment sur courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

B.8.1 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Sommaire 9

B.8.2 Définition de la courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

B.8.3 Récurrence ascendante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

B.8.4 Récurrence descendante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

B.8.5 Calcul des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Annexe C : Calcul des efforts internes et des degrés de

liberté cachés relatifs aux liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

C.1 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

C.2 La liaison rotoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

C.3 La liaison prismatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

C.4 La liaison cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

C.5 La liaison universelle ou de Cardan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

C.6 La liaison plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

C.7 La liaison sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Annexe D : Données complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

D.1 Données relatives à la locomotive série 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

D.2 Données relatives au véhicule tout terrain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Chapitre I : Présentation générale 11

Chapitre I : Présentation générale.

I.1 Contexte, intérêt et préoccupations.

Bien que la plupart des principes sur lesquels elle se base datent du 18 siècle, l'analyseème

des systèmes multicorps a pris, il y a une trentaine d'années, un essor auquel l'évolution des

moyens de calcul apportés par l'informatique n'est certainement pas étrangère. Elle constitue

aujourd'hui une discipline scientifique à part entière qui a progressé très rapidement sous

l'impulsion des industries robotique et aérospatiale ainsi que des constructeurs de véhicules. Des

simples mécanismes articulés traités à l'origine, on a évolué vers des applications de taille sans

cesse croissante et mettant en oeuvre des phénomènes de plus en plus complexes. Parmi ceux-ci,

on trouve la flexibilité des corps, qui a suscité l'intérêt des chercheurs dès le début des années

70 mais n'a commencé à faire l'objet d'une véritable étude qu'il y a une dizaine d'années. La

matière est pourtant, par essence, flexible, et la rigidité des corps n'est rien d'autre qu'une

hypothèse de travail qui, bien que souvent licite, peut conduire à des résultats peu significatifs

quand les systèmes envisagés sont particulièrement rapides ou légers. L'influence de la

flexibilité des corps sur le comportement global du système ne peut alors plus être négligée sous

peine de commettre de graves erreurs de conception. La prise en compte des déformations

élastiques peut ainsi s'avérer nécessaire, par exemple, pour concevoir une régulation mieux

adaptée pour un robot souple ou pour appréhender de façon plus précise la stabilité d'un

véhicule. Selon les applications, on peut aussi s'intéresser à des aspects plus particuliers comme

l'amplitude des déformations pour les systèmes de positionnement ou, de façon générale, les

contraintes sollicitant les corps flexibles.

Pour mener à bien la simulation des systèmes mécaniques flexibles, on fait appel à la fois

aux techniques d'analyse des systèmes multicorps et aux techniques de modélisation des corps

déformables comme les éléments finis. En combinant ces deux techniques, qui se chargeront

respectivement du traitement des grands déplacements associés au mouvement d'ensemble des

corps et de l'expression des petits déplacements dus aux déformations, on peut déterminer de

façon univoque la position et l'orientation de n'importe quel point de la matière, et ainsi établir

les équations différentielles régissant le comportement dynamique du système. Différentes

approches sont possibles mais quelle que soit celle qu'on aura choisie, la prise en compte des

flexibilités se traduira inévitablement par un accroissement de la taille et de la complexité du

système d'équations différentielles à résoudre car la modélisation des déformations introduit de

nombreux degrés de liberté supplémentaires et les nouveaux termes qui y sont associés sont

particulièrement lourds et fortement non linéaires.

L'inévitable augmentation en temps de calcul qui en découle peut conduire, si aucune


précaution n'est prise dès les premiers stades du développement, à des codes trop lourds et

présentant une vitesse de calcul insuffisante. Or, la communauté scientifique s'accorde à dire que

la rapidité de calcul est un critère indispensable car, pour être un outil efficace d'aide à la

conception, un logiciel d'analyse dynamique doit pouvoir être utilisé de façon répétitive sur une

même application sans nuire au confort du concepteur, ce qui sous-entend des temps de

simulation raisonnables.

Dans ce travail, nous nous sommes efforcés d'envisager le problème de la simulation avec

une vue suffisamment globale car il résulte de la combinaison intime de trois tâches :

l'établissement d'un modèle représentatif du système étudié, la formulation des équations

d'équilibre dynamique et l'intégration numérique de ces dernières. Nous sommes convaincus,

et cela a été une des préoccupations de ce travail, que l'efficacité de la solution finale dépend

principalement de la cohérence existant entre les méthodes qui ont été choisies pour mener à

bien chacune de ces tâches. C'est le souci d'une telle cohérence, et la recherche d'un temps de

calcul performant qui ont guidé tous les choix qui ont été réalisés dans le cadre de cette thèse.

I.2 Contenu du travail.

Ce travail se compose de deux grandes parties. La première (chapitres II à V), présente les

principes à la base du développement d'un outil numérique performant d'analyse des systèmes

multicorps flexibles. Les différentes options y sont analysées et les choix réalisés y sont justifiés,

avec le principal souci d'assurer la cohérence entre les diverses tâches à réaliser, ainsi que de

présenter une approche unifiée également adaptée à la simulation de systèmes multicorps qu'ils

soient rigides ou flexibles. La deuxième partie (chapitres VI et VII) concerne plus

particulièrement la modélisation des corps flexibles de forme complexe, considérés directement

par l'intermédiaire de leur modèle aux éléments finis. Cette modélisation sera analysée sous

l'angle de la synthèse modale avec la génération, et enfin la sélection, des modes composants

utilisés pour représenter la déformation des corps flexibles.

Pour pouvoir mener à bien l'analyse dynamique, il faut d'abord réaliser l'étape de

modélisation qui permettra de décrire le système multicorps à partir d'un certain nombre de

composants standards. Le chapitre II présente cette démarche, qui débute par l'établissement

d'un modèle cinématique, dont l'objectif est de définir les paramètres en fonction desquels seront

exprimés la position et l'orientation de n'importe que point constitutif du système. Les

paramètres en question correspondent le plus souvent à des coordonnées de position et

d'orientation qui, selon l'approche topologique choisie, expriment la situation relative ou absolue

des différents éléments constitutifs du système. L'accomplissement de cette étape requiert donc

le choix d'une approche topologique mais se doit aussi de décider de la façon dont on va

exprimer la déformation d'un corps flexible. Après avoir évoqué les différentes options, nous

présenterons l'approche choisie, basée sur des coordonnées relatives, une expression des


déplacements élastiques par rapport à un repère de référence lié au corps et enfin une

modélisation des déformations par modes composants. Le modèle adopté pour la description

du système se base sur la définition d'un ensemble de chaînes cinématiques, partant du bâti ou

d'un point d'une autre chaîne, et définies elles-mêmes comme une succession d'éléments

cinétostatiques. Chaque élément cinétostatique établit une relation dirigée entre deux repères

et doit être considéré comme un transformateur de mouvement dans le sens ascendant et comme

un transformateur d'efforts dans le sens descendant. Les liaisons et les corps sont ainsi traités

sur le même pied car ils constituent chacun un élément cinétostatique. Cette approche unifiée

présente l'avantage d'introduire les flexibilités de façon naturelle, par l'intermédiaire d'un nouvel

élément corps flexible, qui ne se distingue des autres que par ses propres fonctions internes de

transformation. Les chaînes cinématiques suffisent à la description d'un système présentant une

structure arborescente ouverte. Si le système comporte des boucles cinématiques, on imagine,

en éliminant provisoirement certaines liaisons, une structure arborescente intermédiaire, qui sera

décrite sous forme de chaînes cinématiques. Les liaisons éliminées seront alors traitées de façon

externe, sous forme d'équations de contrainte correspondant aux conditions géométriques

imposées par la liaison. Dans le cadre de notre approche, un système multicorps est donc défini

comme un ensemble de chaînes cinématiques auxquelles on ajoute d'éventuelles liaisons

externes, traitées sous forme d'équations de contrainte.

Le chapitre III sera consacré à la formulation et à l'intégration des équations d'équilibre

dynamique, dans le cas de systèmes ne nécessitant pas la définition de liaisons externes. Les

deux aspects sont abordés simultanément parce que le choix d'une formulation se doit de tenir

compte du fait que les équations différentielles régissant le comportement d'un système

multicorps flexible sont raides et ne peuvent être intégrées de façon fiable qu'au moyen de

méthodes implicites. Or, ces dernières nécessitent la détermination d'une matrice jacobienne

complète, appelée matrice d'itération, où interviennent en plus de la matrice de masse, les

matrices tangentes de raideur et d'amortissement. Toute formulation devient donc purement et

simplement inefficace si elle ne permet pas la détermination aisée de la matrice d'itération.

Plutôt que de rechercher une formulation générant les équations d'équilibre dynamique avec le

détail nécessaire à la détermination des matrices tangentes, nous avons opté pour une solution

alternative originale, consistant à combiner une méthode dynamique inverse, qui permet un

calcul rapide, mais sans aucun détail, des résidus des équations d'équilibre dynamique, avec une

détermination de la matrice d'itération au moyen d'une dérivation numérique. La méthode

dynamique inverse utilisée est celle de Newton-Euler. Elle permet de calculer l'état dynamique

complet du système à partir de deux récurrences menées le long des chaînes cinématiques : tout

d'abord une récurrence ascendante, destinée au calcul des position, vitesse et accélération de

chaque repère; ensuite, une récurrence descendante, utilisant les résultats de la première pour

la détermination des efforts dont chaque repère est le siège. Les deux récurrences font intervenir

respectivement les fonctions de transformateur de mouvement et d'efforts des éléments

cinétostatiques reliant les différents repères de la chaîne cinématique. Comme l'équation relative


à chaque degré de liberté correspond à une équation d'équilibre de rotation ou de translation, il

est possible, à la suite des deux récurrences, de déterminer les forces généralisées qu'il faudrait

appliquer pour obtenir le même état cinématique. Finalement, le résidu correspond

physiquement à l'écart entre la force généralisée ainsi obtenue, qui ne dépend que du mouvement

et les forces généralisées effectivement appliquées par les actuateurs ou d'autres dispositifs

internes comme les ressorts ou les amortisseurs. Toutes les relations nécessaires à la mise en

oeuvre des deux récurrences et du calcul des résidus, sont présentées sous une forme unifiée

basée essentiellement sur le calcul vectoriel. On s'intéresse ensuite au principe du calcul de la

matrice d'itération, suivi des différentes optimisations dont il peut faire l'objet.

Le chapitre IV complète le chapitre III en envisageant cette fois le cas des systèmes

comportant des boucles cinématiques, et nécessitant le traitement de certaines liaisons sous

forme de liaisons externes. L'effet d'une telle liaison est matérialisé d'une part par des équations

algébriques de contrainte exprimant les conditions géométriques imposées par la liaison, d'autre

part par des efforts appliqués reprenant les contributions provenant des dispositifs internes

comme les actuateurs, les ressorts et les amortisseurs. Les équations algébriques de contrainte

seront ajoutées au système initial au moyen de la technique des multiplicateurs de Lagrange, si

bien que le comportement dynamique de l'ensemble est régi par un système d'équations algébro-

différentielles. Les multiplicateurs de Lagrange apportent une nouvelle contribution aux résidus,

calculée habituellement par l'intermédiaire de la matrice jacobienne des contraintes. Comme les

multiplicateurs de Lagrange correspondent physiquement aux efforts qui transitent entre les

deux repères mis en présence par la liaison, nous les traiterons sous forme de forces et moments

équivalents qui, au même titre que les efforts provenant des dispositifs internes de la liaison,

sont appliqués sous forme d'efforts extérieurs, pris en compte lors de la récurrence descendante.

Ceci a le double avantage de reprendre naturellement leur contribution sur les résidus et

d'assurer une parfaite cohérence avec l'approche vectorielle préconisée au chapitre précédent.

De plus, la matrice d'itération du nouveau système d'équations est déterminée complètement au

moyen de la même procédure de dérivation numérique, y compris la partie correspondant à la

matrice jacobienne des contraintes. On envisage ensuite les différentes optimisations possibles

pour la construction mais aussi pour l'inversion de la matrice d'itération. Enfin, ce chapitre ne

pouvait être clôturé sans évoquer les problèmes de stabilité rencontrés lors de l'intégration des

systèmes d'équations algébro-différentielles. Nous ne nous y attarderons pas puisque notre

collègue P. Dehombreux déposera prochainement une thèse sur le sujet. Les équations de

contrainte correspondent à des conditions géométriques et sont donc, au départ, exprimées en

fonction des positions. En les dérivant par rapport au temps, on obtient successivement les

équations correspondantes au niveau des vitesses et des accélérations. Le choix de la forme des

équations de contrainte qui seront considérées dans le système algébro-différentiel global est lié

au compromis existant entre la stabilité de l'intégration et la précision finale sur les contraintes.

Après avoir évoqué quelques solutions rencontrées dans la littérature, nous présentons la

solution choisie, basée sur une intégration en considérant les équations de contrainte au niveau


des vitesses, combinée avec une correction par projection des équations de contrainte aux

niveaux des positions et des accélérations.

Le chapitre V est consacré aux caractéristiques du logiciel réalisé sur base des fondements

développés dans les chapitres précédents. En particulier, on présente les différents éléments

cinétostatiques envisagés, parmi lesquels on retrouve les éléments classiques comme les corps,

rigides ou flexibles, et les articulations mais aussi quelques éléments originaux, illustrant la

généralité de ce concept. On aborde ensuite les caractéristiques du préprocesseur, interface

souhaitable entre l'utilisateur et le module de calcul, et destiné à reconstruire, à partir d'une

description du système comme un ensemble de corps et de liaisons, un modèle sous forme de

chaînes cinématiques et de liaisons externes. L'écriture d'un tel préprocesseur est un travail en

soi et nous n'en poserons que les fondements, sur la base d'un critère optimal du point de vue

temps de calcul. Nous préciserons alors l'ensemble des liaisons disponibles pour l'utilisateur et

présenterons la façon dont elles seront modélisées selon qu'elles sont incluses ou non dans les

chaînes cinématiques. On trouvera à la fin du chapitre trois exemples permettant d'illustrer et

de valider l'approche proposée mais aussi de quantifier les améliorations apportées par les

optimisations proposées dans les chapitres précédents.

Nous entamons avec le chapitre VI la deuxième partie de ce travail, consacrée à la

synthèse par modes composants qui est généralement utilisée pour la modélisation des corps

flexibles de forme complexe. Cette technique présente en effet une grande souplesse et a de plus

l'avantage de réduire le nombre de paramètres nécessaires à la description des déformations. Elle

rencontre ainsi le souhait d'un temps de calcul performant. Cependant, pour que la précision

obtenue soit acceptable, il est nécessaire que les modes choisis soient bien représentatifs du

comportement des corps flexibles. En premier lieu, on rappelle les principales techniques de

synthèse modale utilisées couramment en analyse vibratoire des structures, comme les

réductions de Craig-Bampton, MacNeal-Rubin ou Benfield-Hruda. Nous proposons ensuite une

réorganisation des bases de modes correspondantes pour leur apporter un conditionnement

cinématique mieux adapté à notre contexte. La deuxième partie du chapitre VI sera consacrée

à l'indispensable interfaçage devant exister entre le logiciel d'éléments finis et le logiciel de

simulation. En pratique, l'étude d'un système multicorps flexible passe par la modélisation des

corps flexibles par éléments finis, tant pour la génération des formes que pour celle des modes

de déformation utilisés pour représenter sa déformation. On montre comment exploiter ces

modèles aux éléments finis pour en tirer les différents invariants nécessaires à l'écriture des

équations d'équilibre dynamique d'un corps flexible.

Le chapitre VII est consacré au problème délicat de la sélection des modes composants.

Idéalement, l'objectif en est de définir la base modale, qui permettra de représenter la

déformation d'un corps flexible, avec un nombre minimal de modes et une précision suffisante.

Ce problème a déjà été largement étudié en analyse vibratoire des structures, où les réductions


de Craig-Bampton ou MacNeal-Rubin peuvent être considérées comme des solutions

satisfaisantes. Si l'expérience acquise en analyse modale doit être mise à profit, il faut éviter de

généraliser trop rapidement, car l'analyse dynamique des systèmes multicorps possède certaines

spécificités comme les sollicitations associées aux grands déplacements. Il apparaît aussi

clairement que la sélection des modes composants doit être opérée non seulement en fonction

du système lui-même, mais aussi en fonction de la simulation considérée. Les bases classiques

sont constituées de modes statiques et d'un sous-ensemble des premiers modes de vibration pour

des conditions d'appui données. Suite à la remarque qui précède, nous proposons une méthode

de sélection des modes de vibration, basée non plus sur l'ordre fréquentiel, mais sur un

coefficient de participation exprimant la possibilité d'un mode de participer au mouvement. Le

coefficient de participation est calculé à partir de l'évolution des efforts agissant sur le corps

pour la simulation considérée, obtenue par l'analyse correspondante, menée en considérant les

corps comme rigides, et du couplage existant entre le mode et les efforts. Dans le cadre de cinq

applications particulières, on teste de façon systématique les potentialités que présentent les

réductions classiques, en adoptant ou pas la sélection proposée. Ceci nous permet de conclure

que la réduction la mieux appropriée, que nous avons baptisée Benfield-Hruda modifiée, se

compose de modes statiques et de modes de vibration avec interfaces chargées. Pour représenter

la déformation du corps flexible, on prendra les modes statiques et on sélectionnera les modes

de vibration selon le coefficient de participation proposé. On montre aussi que, si la réduction

de Craig-Bampton combinée avec la sélection proposée reste une solution satisfaisante, il n'en

est plus de même pour la réduction de MacNeal-Rubin présentant des performances très

inégales.

Corps Liaisons

Eléments de force

Eléments dédiés

Logiciel de simulationde

systèmes multicorps

Chapitre II : Modèle descriptif d'un système multicorps 17

Chapitre II : Modèle descriptif d'un système

multicorps.

II.1 Définition d'un système multicorps.

Dans sa définition la plus générale, un système multicorps est un ensemble de corps,

rigides ou flexibles, reliés entre eux par des liaisons. Cette définition recouvre en fait un

vaste champ d'applications, allant des robots manipulateurs aux véhicules sur pneus ou sur

rails, en passant par les systèmes articulés les plus divers (organes de machine, antennes de

satellite, engins de foire).

Fig II.1 Principe de construction du modèle d'un système multicorps

Quelle que soit l'application envisagée, l'analyse commence par l'étape de modélisation

consistant à reconstituer le système à partir d'un certain nombre d'éléments standards, parmi

lesquels on trouve toujours :

- des corps (ou solides), rigides ou flexibles, où la matière est localisée;

- des liaisons cinématiques, telles la liaison rotoïde (charnière), la liaison prismatique

(glissière) ou la liaison sphérique (rotule), qui matérialisent les différents guidages

intervenant entre les corps;


- divers éléments de force comme des ressorts, des amortisseurs, des actuateurs ...

auxquels on peut ajouter selon les besoins de l'application :

- des liaisons de contact à cames;

- des liaisons de contact pneu-route ou roue-rail qui se caractérisent non seulement par

des contraintes cinématiques mais aussi par les efforts de contact particuliers qu'elles

engendrent;

- des boucles de contrôle incluant capteurs et système de régulation;

- ...

Cette liste est loin d'être exhaustive et continue à s'enrichir de jour en jour, mais, même

si la majorité de la communauté scientifique s'accorde sur ces éléments de base, la façon de

les assembler dans le but de constituer un modèle cinématique du système complet a donné

lieu à une grande variété d'approches. C'est cette variété qui fait toute l'originalité et la

richesse de l'étude des systèmes multicorps, car aucune de ces approches n'est idéale ni

dénuée de fondements et chacune peut constituer l'optimum selon le cas envisagé.

II.2 Les principales approches topologiques.

Pour aboutir aux équations différentielles qui permettront d'étudier le comportement

dynamique du système multicorps envisagé, il est nécessaire de pouvoir exprimer la position

et l'orientation de n'importe quel point du système en fonction d'un certain nombre de

paramètres dits de configuration. Ces paramètres définissent complètement l'état du système

et constitueront les inconnues lors de l'analyse. C'est le choix de ces paramètres de

configuration qui distingue les différentes approches topologiques.

Les robots manipulateurs ayant constitué une des premières applications de la

discipline, les premiers chercheurs se tournèrent naturellement vers une approche en

coordonnées relatives ([HOLL 84], [ROBE 88]). Le système multicorps y est considéré

comme un ensemble de chaînes cinématiques, éventuellement arborescentes, partant du bâti.

La situation spatiale de chaque corps est calculée de façon récursive à partir du bâti, en

fonction des variables décrivant chacune des articulations. Quand le système comporte des

boucles cinématiques, certaines liaisons ne peuvent être inclues dans les chaînes et doivent

être traitées sous forme d'équations algébriques de contrainte, qui correspondent aux

conditions géométriques imposées par les liaisons. Celles-ci sont ajoutées aux équations

d'équilibre dynamique au moyen de la technique bien connue des multiplicateurs de

Lagrange. On aboutit ainsi à un système d'équations algébro-différentielles. Toutes les

liaisons ne sont donc pas traitées sur le même pied et c'est certainement avec un souci de


systématisation que naquit l'approche en coordonnées cartésiennes.

Cette dernière ([HAUG 89], [NIKR 89]) consiste à éclater le système en ses différents

corps et à exprimer leur position et leur orientation en termes de coordonnées cartésiennes

de translation et de rotation, les liaisons étant toutes exprimées sous forme d'équations de

contrainte. Chaque corps possède six degrés de liberté qui lui sont propres, et toutes les

liaisons sont traitées de façon uniforme, si bien que l'écriture des équations d'équilibre

dynamique est très systématique.

Fig II.2 Les différentes approches topologiques.

Dans l'approche en coordonnées naturelles ([GARC 87], [GARC 93]), apparue un peu

plus tard, les paramètres de configuration correspondent aux coordonnées cartésiennes de

points particuliers ou de vecteurs unitaires liés au système. Il s'agit en quelque sorte d'une

variante des coordonnées cartésiennes, mais les coordonnées naturelles présentent l'avantage

de simplifier le traitement des liaisons, qui se ramène souvent à la simple mise en commun

de points ou de vecteurs unitaires, et revient donc finalement à un assemblage. D'autres

équations de contrainte sont nécessaires pour exprimer la rigidité des corps ou fixer la norme

des vecteurs unitaires, mais elles ont l'avantage d'être des fonctions simples des paramètres

de configuration et d'apporter un excellent conditionnement pour l'intégration numérique.

Plus récemment a été proposée l'approche aux éléments finis ([SIMO 86],

[CARD 88a], [GERA 93b]) qui partage certaines caractéristiques des coordonnées

cartésiennes et des coordonnées naturelles. Les paramètres de configuration sont les

coordonnées de position et d'orientation associées à certains points particuliers, les noeuds,

attachés aux différents corps du système. Les liaisons, qui sont définies entre les noeuds, se

réduisent parfois à un simple assemblage, sinon elles sont traitées comme dans l'approche

cartésienne mais avec l'avantage que l'on dispose directement des coordonnées des points


de liaison. Comme plusieurs noeuds peuvent être définis sur chaque corps, la rigidité se

traduit aussi sous forme d'équations de contrainte supplémentaires. Par contre, l'approche

éléments finis s'adapte très naturellement, comme on peut s'en douter, au traitement des

corps flexibles. Il va sans dire que cette façon de procéder est particulièrement intéressante

quand on dispose d'avance d'un code d'éléments finis dans lequel le module de simulation

de systèmes multicorps vient s'ajouter tout naturellement aux modules existants.

Ce rapide aperçu ne serait pas complet sans parler de l'approche dite en coordonnées

minimales ([HILL 89], [HILL 93], [CONT 91]). Elle consiste à exprimer la configuration

du système à partir de paramètres dont le nombre correspond exactement au nombre de

degrés de liberté. Son principal intérêt est d'éviter la présence d'équations de contrainte.

Cependant, chaque application nécessite le développement d'une analyse cinématique

dédiée, qui représente un travail considérable mais conduit à un code de simulation très

performant. Il s'agit là d'une philosophie tout à fait différente, qui ne cadre pas avec la

systématique d'approche d'un logiciel général d'analyse mais qui peut être envisagée si le

système considéré doit être simulé de nombreuses fois. Signalons tout de même que les

modèles cinématiques établis dans ce cadre proviennent la plupart du temps d'une approche

en coordonnées relatives où on sélectionne, parmi les variables articulaires, un certain

nombre de paramètres indépendants en fonction desquels les variables restantes sont

calculées.

Remarquons que chaque approche considérée est parvenue à maturité commerciale

([SCHI 90]). Ainsi, SIMPACK et MESA VERDE sont basés sur des coordonnées relatives,

ADAMS et DADS sur des coordonnées cartésiennes, MECANO sur les éléments finis et

COMPAMM sur des coordonnées naturelles. Signalons pour terminer PROFILE qui n'est

pas réellement un logiciel mais plutôt un environnement de programmation orienté objets

permettant le développement rapide et aisé de programmes de simulation basés sur des

coordonnées minimales.

II.3 Options pour l'introduction des flexibilités.

R.C. Winfrey fut sans aucun doute un pionnier dans la simulation des systèmes

multicorps flexibles. Son article ([WINF 71]) inspira un certain nombre de travaux ([NATH

80], [SUNA 83], [THOM 84], [TURC 84], [NAGA 88]) où la flexibilité était introduite par

simple superposition d'une déformation d'ensemble, modélisée par éléments finis, au

mouvement de corps rigide, supposé connu a priori. Tous les effets non linéaires provenant

du couplage des réactions d'inertie pouvant intervenir entre les grands déplacements et les

déformations élastiques étaient alors négligés.

r

d(r, )

P'

P

P

Noeud

Noeud

Polynôme d'interpolationConfiguration non déformée

Configuration déformée

Repère de référence


Bien que cette approche permit d'obtenir des résultats intéressants, elle est basée sur

l'hypothèse erronée que le mouvement global n'est pas influencé par les flexibilités. En

réalité, il convient, pour obtenir des résultats fiables, d'intégrer en même temps tous les

degrés de liberté, qu'ils soient liés au mouvement global ou aux déformations.

Fig II.3 Approche de la configuration rigide de référence.

Dans un certain nombre de contributions ([GERA 83], [CHIA 84], [NAGA 90]), on

retrouve alors l'idée de Winfrey, basée sur la superposition d'une déformation d'ensemble

à ce qu'on appelle la configuration rigide de référence (figure II.3), mais en intégrant cette

fois tous les degrés de liberté en même temps. Cette approche présente un inconvénient

majeur : la configuration rigide de référence n'a pas de signification physique et rend

malaisée l'interprétation des résultats.

Fig II.4 Cinématique d'un corps flexible.

Pour répondre de façon plus rigoureuse au problème qui se pose, il faut imaginer

isolément un corps flexible, et trouver un moyen permettant d'exprimer de façon univoque

d

r


la situation de n'importe quel point du corps et par conséquent de chaque repère qui lui est

attaché, en fonction de sa situation spatiale et de son état de déformation.

L'approche la plus classique répondant au problème est reprise dans la littérature sous

le nom de "moving reference frame approach". Elle consiste à choisir un repère de référence

qui, d'une part, définit les grands déplacements du corps et, d'autre part, sert de référence à

l'expression des déplacements élastiques dus à la déformation. La position de n'importe quel

point du corps est ainsi obtenue à partir de la situation du repère de référence qui définit la

position qu'aurait le point en situation non déformée, à laquelle on ajoute le déplacement

élastique, exprimé dans le repère de référence (voir figure II.4). Ce déplacement élastique

est calculé en fonction de la coordonnée vectorielle du point par rapport au repère de

référence en situation non déformée, et d'un certain nombre de paramètres appelés

degrés de liberté élastiques. Cette façon de procéder présente l'avantage de pouvoir récupérer

directement les méthodes classiques d'expression des déformations en petits déplacements,

ceux-ci restant toujours limités puisqu'exprimés par rapport à un repère local.

L'application de cette technique en coordonnées relatives est évidente, le repère de

référence est celui qui se situe le plus bas dans la chaîne cinématique, et sa situation est

calculée au moyen des paramètres de configuration qui précèdent. Les degrés de liberté

élastiques qui permettent de déterminer la position relative des autres repères liés au corps,

par rapport à celui de référence, sont ainsi naturellement inclus dans les paramètres de

configuration qui définissent la chaîne cinématique. De nombreux travaux ont ainsi été

menés avec une évolution qui a essentiellement porté sur les formulations adoptées. Ainsi,

on trouve une série de contributions basées sur les formulations de Kane ou des théorèmes

généraux ([IDER 89], [HUGH 89], [HAN 90], [IDER 91]) mais on en est revenu plus

récemment aux équations de base de Newton-Euler ([SHAB 90], [PERE 91], [VERL 94])

avec en bout de course l'adaptation de la très performante formulation O(N) ([KIM 88],

[KIM 89], [LAI 91], [ANDE 92], [SORG 93]).

Si on se trouve dans un contexte basé sur l'utilisation des coordonnées cartésiennes,

le repère de référence est choisi arbitrairement parmi les repères liés au corps. L'état

cinématique du corps est alors défini par les coordonnées cartésiennes de translation et de

rotation qui déterminent la situation du repère de référence et par les degrés de liberté

élastiques qui caractérisent l'état de déformation du corps ([SONG 80], [BLEJ 81],

[CHAN 90], [KHUL 86]).

La seule alternative bien adaptée pour le traitement de corps flexibles est celle inspirée

par le principe des éléments finis ([SIMO 86], [CARD 88a], [CARD 88b], [SIMO 88],

[YANG 90], [GERA 93b]). La philosophie en est tout à fait différente, et consiste à calculer


la situation de n'importe quel point du corps par interpolation directe à partir des

coordonnées de position et d'orientation de chacun des noeuds liés au corps, qui constituent

les paramètres de configuration du système. Il n'y a plus de degré de liberté purement

élastique mais chaque paramètre de configuration contribue à la fois à l'expression des

grands déplacements et des déformations. L'approche est en tout point conforme à

l'utilisation classique des éléments finis et n'est en fait qu'une adaptation de cette dernière

aux grands déplacements. Cette adaptation passe par le développement de fonctions de

forme adéquates, et réclame un soin tout particulier pour l'expression des rotations finies.

Une fois ces deux problèmes résolus, l'approche par éléments finis représente une solution

très élégante et permet le développement d'une véritable bibliothèque d'éléments tels que

poutres ou plaques flexibles à intégrer dans le modèle de systèmes multicorps. Notons aussi

que la technique du repère de référence reste applicable, elle est d'ailleurs partiellement

utilisée si on fait usage de la sous-structuration, comme c'est souvent le cas pour des corps

flexibles de forme complexe.

Quant à l'approche en coordonnées naturelles, elle laisse tout simplement le choix, du

point de vue du traitement des flexibilités, entre l'approche utilisée en coordonnées

cartésiennes ou celle utilisée en éléments finis ([GARC 93]). Un point et deux vecteurs

unitaires constituent en effet un repère qui peut être considéré comme un repère de référence

ou fournir l'équivalent de coordonnées nodales de position et d'orientation. Notons que l'on

trouve aussi d'autres approches où on évite expressément les rotations pour interpoler

uniquement à partir des coordonnées des points de référence ([NIKR 91], [AMBR 93]). Il

devient alors difficile de dire si on se trouve dans le cadre des coordonnées naturelles ou des

éléments finis.

Enfin, on trouve aussi quelques travaux basés sur l'utilisation de coordonnées

minimales ([ANAN 91]). Comme déjà signalé, cette approche est le résultat du traitement

particulier d'un modèle cinématique qui est construit à l'origine à partir d'une des approches

précédentes. C'est selon le choix de cette dernière que l'on adaptera la façon de modéliser

les corps flexibles.

II.4 Choix adopté quant au type de coordonnées.

Le choix entre ces différentes options se fera, comme toujours, sur base d'un

compromis qui se situe entre le temps d'écriture du système d'équations d'équilibre

dynamique et le temps nécessaire à sa résolution.

Ainsi, les coordonnées minimales conduisent à un système d'équations différentielles

dont la taille est minimale mais son écriture est souvent très complexe car chaque


application nécessite une analyse cinématique dédiée. Cependant, il faut admettre que, une

fois celle-ci réalisée, l'analyse dynamique est très performante. Les coordonnées relatives

conduisent à un système d'équations de taille raisonnable mais qui peut devenir très long à

construire dès que la longueur des chaînes augmente. On constate le phénomène inverse

pour les autres approches dont les équations restent simples à établir mais interviennent en

très grand nombre, ce qui nécessite des méthodes de stockage et de résolution adaptées aux

matrices lacunaires. Des précautions particulières doivent également être prises lors de la

phase d'intégration suite à la présence des nombreuses équations de contrainte. On peut dire,

de façon générale, que les coordonnées cartésiennes, comme les coordonnées naturelles, sont

bien adaptées aux systèmes comportant de nombreuses boucles cinématiques. L'approche

éléments finis est sans aucun doute préférable pour des systèmes très complexes avec une

grande majorité de corps flexibles comme on peut en trouver dans les applications spatiales.

Quant aux coordonnées relatives, elles constituent une excellente solution pour les systèmes

comportant relativement peu de boucles cinématiques, surtout depuis le développement de

formulations récursives particulièrement performantes.

Dans le cadre de ce travail, notre choix s'est finalement porté sur une approche en

coordonnées relatives, combinée avec une cinématique des corps flexibles basée sur le

repère de référence. Notre choix a été guidé par deux préoccupations principales. D'une

part, nous souhaitions une approche générale, présentant le maximum de souplesse et

également adaptée à la simulation de systèmes multicorps composés de corps rigides ou

flexibles. D'autre part, l'approche utilisée devait conduire à un code économe en ressources,

pouvant être implanté sur des systèmes informatiques modestes, sans nuire à la complexité

des applications à traiter.

Pour assurer les performances de la solution finale résultant de ce choix de départ,

nous avons veillé à uniformiser, et à optimiser, l'ensemble des méthodes mises en oeuvre

pour la mener à bien. Entre autres, nous montrerons dans le cadre de ce travail, que le

reproche parfois fait aux coordonnées relatives d'être inadaptées à l'introduction de corps

flexibles, devient injustifié quand on considère chaque chaîne comme une succession

d'éléments cinétostatiques, reprenant indifféremment les liaisons et les corps, qu'ils soient

rigides ou flexibles. Le corps flexible est ainsi introduit de façon tout à fait naturelle sous

la forme d'un nouvel élément cinétostatique qui ne se distingue des autres que par la

complexité qui le caractérise.

II.5 Choix adopté quant à l'expression des déformations.

Comme les flexibilités sont introduites par l'intermédiaire du repère de référence, les

déplacements élastiques en un point d'un corps flexible sont calculés en fonction des


coordonnées locales du point et de la valeur d'un nombre fini de paramètres appelés degrés

de liberté élastiques, qui proviennent en fait de la discrétisation du milieu continu

déformable que constitue le corps flexible. Cette discrétisation est nécessaire pour permettre

une étude par voie numérique, et peut être réalisée à l'aide de deux techniques distinctes :

les éléments finis et la synthèse par modes composants.

La technique par éléments finis consiste à exprimer la déformation à partir du

déplacement élastique de certains points particuliers appelés noeuds entre lesquels la matière

est reconstituée par morceaux appelés éléments finis. A l'intérieur d'un élément, le

déplacement élastique d'un point est calculé par interpolation, à partir des déplacements

élastiques des noeuds connectés à l'élément, à l'aide de fonctions de forme. Les paramètres

associés à la déformation du corps sont donc les déplacements en translation et en rotation

de chacun des noeuds.

Avec la synthèse par modes composants, la déformation est calculée comme la somme

pondérée d'un certain nombre de déformées jugées représentatives du comportement du

corps. Les coefficients de pondération correspondants constituent les degrés de liberté

élastiques.

Il est important de remarquer que les éléments finis ne sont en fait qu'un cas particulier

de la synthèse par modes composants où les déformées correspondent aux fonctions de

forme et où les coefficients de pondération prennent une signification particulière en tant que

déplacement d'un noeud, en translation ou en rotation, dans une direction déterminée.

Toutefois, les fonctions de forme n'agissent qu'à l'intérieur de l'élément alors que les modes

composants s'étendent généralement sur l'ensemble du corps flexible. Les éléments finis

constituent aussi une approche générale applicable a priori à n'importe quelle structure, qui

peut être reconstituée par assemblage d'éléments finis de forme standardisée, alors que les

modes composants nécessitent une étude particulière pour chaque application. En fait, la

synthèse par modes composants prend toute sa dimension lorsqu'on introduit la notion de

sous-structure et qu'on considère les modes comme le résultat d'une analyse préalable par

éléments finis. Les modes composants constituent alors une information réduite qui a pour

but de résumer les caractéristiques principales de la structure considérée, en exploitant le fait

qu'elle n'est connectée avec l'extérieur que par quelques zones dites d'interface. Or, c'est bien

le cas des corps qui sont envisagés dans le cadre de l'analyse dynamique des systèmes

multicorps puisque chacun d'eux n'est connecté aux autres que par l'intermédiaire de liaisons

cinématiques. L'application de la sous-structuration aux systèmes multicorps est alors tout

à fait naturelle et même s'impose puisqu'on sait que le nombre de degrés de liberté doit être

limité.

L'expression des déformations à partir de la synthèse par modes composants a dès

d(r)''

Nd

n'1n(r0)@

n

Nd n

d(r)

r r0


(II.1)

lors été adoptée dans la cadre de ce travail. Pour un corps flexible dont la déformation est

modélisée par un nombre de modes de déformation , le déplacement élastique

qu'a subi un point de coordonnée vectorielle ( en configuration non déformée) par

rapport au repère de référence est calculé comme suit :

étant le vecteur des coefficients de pondération associés aux modes de déformation et

constituant les degrés de liberté élastiques.

II.6 Principe de la description topologique adoptée.

Quand on travaille en coordonnées relatives, les différents corps constitutifs du

système sont rassemblés sous forme d'une ou plusieurs structures arborescentes, partant du

bâti, et où les corps sont connectés entre eux par des liaisons. Si le système comporte des

boucles cinématiques, il est nécessaire de passer par une structure arborescente

intermédiaire, obtenue en éliminant virtuellement certaines liaisons, qui seront traitées de

façon externe par le biais d'équations de contrainte, correspondant aux conditions

géométriques imposées par la liaison. Comme le montre la figure II.5, ces structures

arborescentes peuvent être décomposées en un ensemble de chaînes cinématiques simples

partant soit du bâti, soit, afin de tenir compte des arborescences, d'un point d'une chaîne

prédéfinie. Dans le but de permettre l'introduction naturelle de corps flexibles, nous allons

considérer chaque chaîne cinématique comme une suite d'éléments cinétostatiques ([HILL

89], [KECS 93]) reprenant indifféremment les liaisons et les corps.

Fig II.5 Structures arborescentes et chaînes cinématiques.


En conséquence, tout système multicorps sera décrit dans la suite sur base d'un modèle

composé :

- d'un ensemble de chaînes cinématiques, partant soit d'un repère fixe, soit d'un repère

appartenant à une chaîne prédéfinie, et définies comme une succession d'éléments

cinétostatiques;

- d'un éventuel ensemble de liaisons traitées de façon externe sous forme d'équations

de contrainte.

II.7 Chaînes cinématiques et éléments cinétostatiques.

Qu'il s'agisse d'un corps rigide, flexible ou d'une liaison, tous les composants

intervenant dans une chaîne cinématique seront considérés sous forme d'éléments

cinétostatiques. Un élément cinétostatique est défini à partir des relations qu'il introduit entre

d'une part un repère d'entrée (OXYZ ) et d'autre part un repère de sortie (OXYZ ). Parmi cesE S

relations, on trouve notamment celle qui définit la situation spatiale du repère de sortie par

rapport au repère d'entrée. Si cette situation est immuable, comme cela sera le cas pour un

corps rigide, on parle d'élément passif. Par contre, si le repère de sortie présente un

mouvement relatif par rapport au repère d'entrée, on parle d'élément actif, le mouvement

relatif étant alors décrit par un certain nombre de paramètres cinématiques liés à l'élément.

Par exemple, pour l'élément matérialisant une liaison rotoïde, l'orientation relative du repère

de sortie sera définie par l'angle de rotation associé à la liaison.

Fig II.6 Formation d'une chaîne cinématique par succession d'éléments.

Dans une chaîne cinématique, le repère d'entrée d'un élément correspond au repère de

sortie de l'élément précédent. Une chaîne cinématique apparaît ainsi, comme représenté à


la figure II.6, comme une succession de repères, reliés par des éléments cinétostatiques. Pour

fixer les idées, la figure montre également comment on peut matérialiser deux corps articulés

entre eux par une succession d'éléments corps et articulations. L'état de la chaîne ainsi

définie sera complètement décrit par l'ensemble des paramètres cinématiques liés aux

différents éléments qui la composent. In extenso, les paramètres cinématiques associés à

l'ensemble des éléments cinétostatiques composant le système en constitueront les

paramètres de configuration.

En plus du mouvement relatif des repères qui lui sont associés, un élément

cinétostatique définit la loi selon laquelle les efforts transitent au travers de l'élément.

Compte tenu de l'utilisation que nous en ferons dans le cadre de l'analyse dynamique, un

élément cinétostatique peut finalement être considéré comme un transformateur de

mouvement et un transformateur d'efforts, la première transformation allant du repère

d'entrée au repère de sortie, la seconde parcourant l'élément dans le sens inverse. En

pratique, un élément cinétostatique sera caractérisé par les relations permettant de réaliser

les deux opérations suivantes (voir figure II.7) :

- déterminer les position, vitesse et accélération du repère de sortie en fonction de celles

du repère d'entrée, compte tenu des paramètres cinématiques éventuels associés à

l'élément;

- déterminer les efforts au repère d'entrée en fonction de ceux au repère de sortie,

compte tenu de la contribution éventuelle de l'élément, provenant par exemple des

réactions d'inertie.

Fig II.7 Caractéristiques générales d'un élément cinétostatique.

Notons pour terminer qu'un élément cinétostatique peut éventuellement posséder

plusieurs repères de sortie. La transformation de mouvement va alors du repère d'entrée aux

Articulation Articulation

Corps rigide Corps flexible

prismatique rotoïde


repères de sortie, la transformation d'efforts des repères de sortie vers le repère d'entrée.

Dans une chaîne cinématique, on prendra par exemple la convention que le repère d'entrée

d'un élément correspond au premier repère de sortie de l'élément précédent.

II.8 Eléments cinétostatiques envisagés.

Nous présenterons au chapitre V les différents éléments que nous avons envisagés

pour la modélisation complète de systèmes multicorps. Pour l'exposé des principes, nous

nous limiterons toutefois aux quatre éléments de base illustrés à la figure II.8 : l'articulation

rotoïde, l'articulation prismatique, le corps rigide et le corps flexible. On notera que ces

éléments suffisent à la modélisation de systèmes articulés plans.

Fig II.8 Eléments cinétostatiques envisagés.

II.8.1 L'articulation rotoïde.

Il s'agit d'un élément actif dont le seul repère de sortie est le repère d'entrée tourné

autour de son axe Z d'un angle q qui est ainsi le seul paramètre cinématique associé à

l'élément. Un ressort, un amortisseur ou un actuateur peuvent être couplés à l'articulation.

d(r)''

Nd

n'1n(r0)@

n

r0S%d(r

S)'r0

S%'

Nd

n'1n(r0

S)@

n

n

n

r r0

d(r)

rS

(rS)


(II.2)

(II.3)

II.8.2 L' articulation prismatique.

C'est aussi un élément actif dont le seul repère de sortie est le repère d'entrée translaté

le long de son axe X, d'une distance q qui est ainsi le seul paramètre cinématique associé à

l'élément. Un ressort, un amortisseur et un actuateur peuvent également être couplés à

l'articulation.

II.8.3 Le corps rigide.

Nous avons cette fois affaire à un élément passif, pouvant avoir plusieurs repères de

sortie que nous supposerons, par souci de simplicité, tous parallèles au repère d'entrée. Pour

caractériser complètement l'élément, on doit préciser la situation relative des repères de

sortie par rapport au repère d'entrée, la masse du corps, la position de son centre de gravité

et son tenseur d'inertie par rapport au centre de gravité.

II.8.4 Le corps flexible.

Il est semblable au corps rigide mais peut cette fois subir une déformation modélisée

par la somme pondérée d'un certain nombre N de modes de déformation . Les Ndd

coefficients de pondération constituent les paramètres cinématiques de l'élément.

Chaque point de coordonnée ( en configuration non déformée) par rapport au

repère d'entrée a subi un déplacement égal à:

Ainsi la position, par rapport au repère d'entrée, d'un repère de sortie dont l'origine a

pour coordonnée vectorielle locale en configuration non déformée, est donnée par:

La rotation que subit le repère de sortie, au sens du vecteur de rotation (cf.

(rS)''

Nd

n'1

θn(r0

S)@

nθn

n

b


(II.4)

chapitre III), est calculée selon :

étant le mode de rotation associé au mode de déplacement .

Pour caractériser complètement cet élément, on doit bien sûr préciser les mêmes entités

que pour le corps rigide mais aussi un certain nombre d'invariants relatifs aux modes de

déformation. Ceux-ci seront définis dans le chapitre consacré aux équations d'équilibre

dynamique et sont obtenus le plus généralement à partir d'un modèle aux éléments finis du

corps en question, sur base d'une procédure de calcul dont l'organisation sera présentée dans

le chapitre VI.

II.9 Exemple.

Afin de fixer les idées, nous allons considérer le modèle du système mécanique plan

illustré à la figure II.9. Il s'agit d'un mécanisme fermé qui se compose de 6 corps rigides

articulés entre eux par l'intermédiaire de 8 liaisons rotoïdes.

Figure II.9 - Modèle d'un mécanisme fermé.

Comme le mécanisme comporte deux boucles cinématiques, on doit d'abord imaginer

un système arborescent, obtenu en éliminant provisoirement par la pensée les deux liaisons

aux points D et E. Le système arborescent peut être décrit à l'aide de 3 chaînes cinématiques

I,II et III comprenant en tout 6 corps rigides et 6 articulations rotoïdes. Les chaînes I et III

partent du bâti alors que la chaîne II a pour repère d'origine le repère de sortie de l'élément

poutre rigide I,2.

Les liaisons en D et E, qui n'ont pu être introduites dans les chaînes cinématiques,

seront introduites sous forme d'équations de contrainte reconstituant les conditions


géométriques liées aux liaisons rotoïdes entre les repères de sortie des éléments II,2 et III,2

pour la liaison en E et des éléments I,6 et III,4 pour la liaison en D.

II.10 Conclusion.

Ce chapitre s'intéresse au problème de la modélisation des systèmes multicorps. Il s'agit

notamment d'établir un modèle cinématique dont le but est de définir les paramètres en

fonction desquels on pourra exprimer de façon univoque la situation spatiale de n'importe

quel point du système multicorps envisagé.

Après avoir présenté les différentes alternatives qui se présentaient, nous avons décrit

et justifié l'approche utilisée dans le cadre de cette thèse, basée sur l'utilisation de

coordonnées relatives, avec une expression des déformations par l'intermédiaire d'un repère

de référence lié au corps ("moving reference frame").

Si le système présente une structure arborescente ouverte, il est modélisé comme un

ensemble de chaînes cinématiques définies elles-mêmes comme une succession d'éléments

cinétostatiques. Chaque élément cinétostatique apparaît comme un transformateur de

mouvement et d'efforts, et reprend indifféremment les articulations, les corps rigides et les

corps flexibles. Ces derniers s'intègrent ainsi naturellement parmi les différents éléments

permettant de reconstituer les systèmes multicorps.

Dans le cas de mécanismes comportant des boucles cinématiques, il faut imaginer dans

un premier temps, en éliminant virtuellement certaines liaisons, une structure arborescente

intermédiaire, que l'on pourra modéliser comme présenté plus haut. Les liaisons que l'on

avait provisoirement écartées seront alors traitées sous forme d'équations de contrainte qui

seront ajoutées aux équations d'équilibre dynamique par l'intermédiaire de multiplicateurs

de Lagrange.

f(q,q,q,t)'M(q)@q%h(q,q,t)'0

qt%∆t

i 'i(q#t

i ,q#t

i ,q#t

i ,qt%∆t

i )

q q q

M

h

t

t q#t q#t q#t

t%∆t ∆t

t%∆t t

t%∆t

°

Chapitre III : Formulation et intégration en l'absence de contraintes 33

(III.1)

(III.2)

Chapitre III : Formulation et intégration des équations

d'équilibre dynamique en l'absence de contraintes.

III.1 Problèmes d'intégration relatifs aux systèmes multicorps flexibles.

Comme nous écartons pour le moment les équations algébriques de contrainte, les

équations différentielles régissant le comportement dynamique d'un système mécanique, que

ce soit en rigide ou en flexible, se présentent toujours sous la forme suivante :

où

- , et sont les vecteurs (de dimension N) reprenant les valeurs, les vitesses

et les accélérations des N paramètres de configuration décrivant le système;

- est la matrice masse (de dimension NxN);

- est un vecteur (de dimension N) regroupant les termes dus à la gravité, aux

accélérations provenant des couplages entre vitesses, aux amortissements, aux raideurs

et enfin aux forces généralisées exercées par les actuateurs et les forces extérieures;

- est le temps, intervenant éventuellement par l'intermédiaire des forces extérieures.

Pour simuler le comportement du système, on calcule les positions, vitesses et

accélérations en intégrant numériquement les équations d'équilibre dynamique (III.1). Quelle

que soit la méthode choisie, le problème de l'intégration se ramène à rechercher, à partir d'un

certain nombre d'évaluations des valeurs, vitesses et accélérations des paramètres de

configuration avant et au temps ( , et ), les valeurs, vitesses et

accélérations des paramètres de configuration au temps , étant le pas de temps

choisi pour l'instant correspondant. En supposant qu'on a adopté un schéma d'intégration

multipas adapté aux équations différentielles du second ordre, on estime la valeur et la vitesse

de chaque paramètre de configuration au temps en fonction de l'état avant et au temps

et éventuellement de l'accélération au temps du même paramètre de configuration, au

moyen de formules d'intégration, et :

qt%∆t

i '°

i(q#t

i ,q#t

i ,qt%∆t

i )

qt%∆t'&M&1@h(qt%∆t

' (q#t,q#t,q#t),qt%∆t'

° (q#t,q#t),t%∆t)

F(qt%∆t)'f( (qt%∆t), ° (qt%∆t),qt%∆t,t%∆t)'0

qt%∆t,n'qt%∆t,n&1

&J&1@F(qt%∆t,n&1)

Jij'

MFi

Mqt%∆t

j

'

Mfi

Mqj

%

Mfi

Mqj

@M °

j

Mqt%∆t

j

%

Mfi

Mqj

@M

j

Mqt%∆t

j

t%∆t

t%∆t t%∆t

t%∆t

t%∆t

F

t

J F

qt%∆t

KT CT


(III.3)

(III.4)

(III.5)

(III.6)

(III.7)

dont la forme dépend du mode d'interpolation choisi.

Si les formules sont de type explicite, les accélérations au temps n'interviennent

pas dans les formules d'intégration qui donnent directement les valeur et vitesse de chaque

paramètre de configuration au temps . L'accélération au temps est alors calculée

par simple inversion de la matrice masse :

et la difficulté de l'intégration réside essentiellement dans le choix optimal de l'ordre et

du pas de temps à chaque instant.

Si au contraire les accélérations au temps interviennent dans les formules

d'intégration, la méthode est dite implicite. Pour effectuer un pas de temps, il faut remarquer

que, par la présence des formules d'intégration, les seules inconnues restantes sont les

accélérations au temps . Le problème se ramène ainsi à la résolution du système

d'équations non linéaires résultant de l'introduction des formules d'intégration (III.2) et

(III.3) dans les équations d'équilibre dynamique (III.1) :

Celui-ci peut être résolu au moyen de la procédure itérative de Newton-Raphson où, à

partir d'une estimation initiale correspondant aux accélérations au temps , chaque itère n

est calculé en fonction de l'itère précédent, par :

où est la matrice jacobienne du système d'équations par rapport aux inconnues

. Chacun des termes de cette matrice, appelée aussi matrice d'itération est défini

comme suit :

En faisant intervenir les matrices et , appelées respectivement les matrices

CTij'

Mfi

Mqj

KTij'

Mfi

Mqj

Jij'

MFi

Mqt%∆t

j

'Mij%CT

ij@M °

j

Mqt%∆t

j

%KTij@M

j

Mqt%∆t

j

qt%∆t

i 'qt

i%qt

i@∆t%(0.5& )@q t

i@∆t 2% @qt%∆t

i @∆t 2

qt%∆t

i 'qt

i%(1& )@qt

i@∆t% @qt%∆t

i @∆t

J'M%CT@ @∆t%KT@ @∆t 2

0< <0.5 0< <1


(III.8,9)

(III.10)

(III.11)

(III.12)

(III.13)

tangentes de raideur et d'amortissement et définies par :

on peut réécrire la matrice d'itération sous la forme suivante :

Il convient de remarquer que les matrices tangentes existent même si le système réel ne

comporte aucun ressort ni amortisseur. Par exemple, les termes d'origine gyroscopique

constituent une contribution non négligeable à la matrice tangente d'amortissement.

Pour illustrer notre propos, intéressons-nous au schéma d'intégration implicite de

Newmark. Il s'agit d'une méthode à un pas, pour systèmes du deuxième ordre, où les formules

d'intégration correspondent à :

avec et les paramètres du schéma de Newmark ( et ). La

matrice d'itération peut alors s'écrire :

Lors de la procédure itérative de Newton-Raphson, le calcul précis de la matrice

d'itération accélère la convergence mais requiert le calcul parfois long des matrices tangentes.

On se contente donc, chaque fois que c'est possible, d'assimiler la matrice d'itération à la

matrice masse. La formule (III.13) montre d'ailleurs que cette approximation est d'autant plus

juste que le pas de temps est petit, ce qui signifie qu'il existe toujours un pas de temps en

dessous duquel il est possible d'assurer la convergence avec la seule matrice masse. Notons que

ce pas de temps constitue aussi une image du pas de temps au-delà duquel il devient difficile

d'obtenir des résultats significatifs avec une méthode d'intégration explicite.

Si l'utilisation de méthodes d'intégration explicites ou l'assimilation de la matrice

d'itération à la matrice masse sont licites pour les systèmes composés uniquement de corps

rigides, elle est beaucoup plus discutable en présence de corps flexibles. Dans ce cas,

l'amplitude des matrices tangentes est telle qu'il est préférable de les calculer plutôt que d'être

amené à devoir prendre un pas de temps extrêmement court. Pour s'en convaincre, il suffit de


regarder la figure III.1 où l'on a tracé le nombre moyen d'itérations requis à chaque pas de

temps, pour mener à bien la phase d'intégration des équations différentielles du mouvement d'un

pendule simple flexible, pour différents pas de temps, et en utilisant comme matrice d'itération

soit la matrice d'itération complète (J), soit uniquement la matrice masse (M), soit la matrice

masse avec la matrice tangente de raideur (M+KT), soit enfin la matrice masse avec la matrice

tangente d'amortissement (M+CT).

Fig III.1 Convergence lors de l'intégration des équations d'un système flexible.

Avec la matrice d'itération complète, on peut déjà assurer la convergence avec un pas de

temps de 0,1 s alors qu'il faut descendre jusqu'à un pas de temps de 1E-4 s, soit 1000 fois

moins, si on ne retient que la matrice masse. On remarquera aussi que, si la présence de la

matrice tangente d'amortissement n'est pas indispensable, elle améliore considérablement la

rapidité de convergence.

En fait, travailler avec une matrice d'itération complète revient à utiliser un filtre passe-

bas ([BREN 89]) et permet de garder une réponse stable tout en la débarrassant des termes à

haute fréquence. Or, il arrive souvent qu'on ait affaire à des systèmes physiques présentant une

large gamme de fréquences propres sans pour autant s'intéresser aux phénomènes à haute

fréquence. Les équations différentielles régissant le comportement dynamique de tels systèmes

sont qualifiées dans la littérature de raides ("stiff"). Quand on simule des systèmes multicorps

flexibles, trois cas peuvent se présenter :

- les modes composants choisis pour modéliser la déformation des corps flexibles

n'introduisent pas de termes dont la fréquence est démesurée par rapport au système

rigide correspondant;



introduisent des termes à haute fréquence, mais que l'on désire de toute façon étudier;


introduisent des termes à haute fréquence qui ont peu d'influence sur le comportement

global du système et présentent donc peu d'intérêt.

Si les deux premiers cas ne poseront sans doute aucun problème d'intégration, il n'en sera

pas de même du troisième qui correspond tout à fait à la définition de systèmes raides que nous

venons de donner. Comme on le verra lors de chapitres ultérieurs consacrés à la sélection des

modes de déformation, c'est pourtant le cas le plus fréquent. En conclusion, on peut dire que

toute formulation destinée à établir les équations dynamiques d'un système multicorps

flexible devient, aussi performante soit-elle, purement et simplement inefficace si elle ne

permet pas de fournir une estimation, même approchée, de la matrice d'itération. C'est

cette considération qui a été notre principal souci lors du choix d'une formulation.

III.2 Conséquences sur le choix de la formulation.

Quand on travaille en coordonnées relatives, la formulation que l'on est naturellement

tenté d'utiliser est la formulation d'ordre N (O(N) Formulation) qui est apparue simultanément,

il y a quelques années, dans différents centres de recherche ([SCHW 91]). Son nom provient

de la particularité qu'elle présente de pouvoir calculer les accélérations d'un système multicorps

sans inversion de la matrice masse à l'aide d'un nombre d'opérations qui reste proportionnel à

la longueur des chaînes cinématiques. Cette formulation a récemment été étendue aux systèmes

présentant des corps flexibles ([KIM 88], [KIM 89], [LAI 91], [ANDE 93], [SORG 93]). Son

principal inconvénient est qu'elle est prévue pour être utilisée avec une méthode d'intégration

explicite et ne permet donc pas une intégration efficace des équations de systèmes raides.

D'autre part, les formulations classiques, comme celle de Kane perdent aussi leur efficacité

quand on essaie de les adapter en vue de la détermination des matrices tangentes. Dans le cadre

de cette thèse, nous avons choisi de calculer la matrice d'itération par dérivation numérique, à

partir d'une détermination des résidus des équations d'équilibre dynamique obtenus au moyen

d'une méthode dynamique inverse. Eichberger a récemment montré que cette façon de procéder

a, en plus de son aptitude à traiter des systèmes raides, une bonne adéquation au parallélisme

([EICH 93]). Notons enfin que l'idée d'utiliser une dérivation numérique en système multicorps

n'est pas nouvelle et provient de la nature même des équations qui s'y prêtent relativement bien.

Cependant, nous avons compté parmi les premiers à la proposer comme solution alternative

performante pour assurer une intégration efficace des systèmes multicorps flexibles

([VERL 90], [VERL 91b]).

f(q,q,q,t)

J


III.3 Principe général de la formulation résiduelle.

Pour intégrer les équations du mouvement d'un système multicorps, il suffit de pouvoir

calculer les termes de , que nous appellerons résidus des équations d'équilibre

dynamique, et la matrice d'itération , où interviennent les dérivées des résidus par rapport

aux valeurs, vitesses et accélérations des paramètres de configuration. En effet, dans le

processus itératif lié à la réalisation d'un pas d'intégration, on corrige le mouvement en fonction

des résidus, par l'intermédiaire de la matrice d'itération. Le processus itératif se termine dès que

les équations d'équilibre sont vérifiées, c'est-à-dire lorsque leurs résidus sont suffisamment

proches de zéro. Avec la formulation résiduelle, on se propose de calculer, aussi vite que

possible, les résidus des équations d'équilibre dynamique, de façon à rendre praticable la

détermination la matrice d'itération au moyen d'une procédure de dérivation numérique mettant

en oeuvre la formule (III.7).

La façon la plus rapide de déterminer les résidus consiste à utiliser une méthode

dynamique inverse. L'objectif d'une telle méthode est de calculer l'évolution des forces

généralisées à appliquer pour que le système effectue un mouvement déterminé. On l'applique

le plus souvent dans le domaine de la robotique pour calculer les couples à imposer aux

actuateurs pour que le manipulateur suive une trajectoire donnée.

En réalité, l'équation différentielle relative à chaque paramètre de configuration n'est rien

d'autre que la généralisation des lois de Newton ou d'Euler et correspond physiquement à

l'équilibre existant entre les réactions d'inertie et les forces appliquées, projeté selon l'axe de

mouvement du paramètre de configuration considéré. Ainsi, à un paramètre de configuration

en translation correspond un équilibre des forces et à un degré de liberté en rotation, un

équilibre des moments, projeté chaque fois sur l'axe du mouvement. En fait, une méthode

dynamique inverse se résume à calculer la contribution d'inertie et de pesanteur de tout le

système sur l'équation d'équilibre dynamique relative à chaque paramètre de configuration.

Comme l'équation correspondante doit physiquement être vérifiée, les forces généralisées à

appliquer sont tout simplement égales et opposées aux forces généralisées provenant des

réactions d'inertie et de pesanteur.

Dans notre cas, l'objectif est de réaliser une analyse dynamique directe, c'est-à-dire

rechercher la réponse du système lorsqu'on lui applique des sollicitations bien précises. Cela

est réalisé au moyen d'une procédure d'intégration qui revient à rechercher le mouvement tel

que la force généralisée provenant des réactions d'inertie équilibre parfaitement celles des

sollicitations appliquées. Dans le cas d'une méthode implicite, on met en oeuvre un schéma

itératif où la correction est faite en fonction de l'erreur ou résidu sur les équations d'équilibre

dynamique. Nous proposons ici de calculer ce résidu en revenant à sa signification physique,


c'est-à-dire l'écart entre :

- les forces généralisées obtenues au moyen d'une méthode dynamique inverse et

correspondant à celles qu'il faudrait appliquer pour obtenir le même état cinématique;

- les forces généralisées effectivement exercées par les actuateurs ou des dispositifs

internes tels que ressorts ou amortisseurs.

La méthode dynamique inverse que nous utiliserons est celle de Newton-Euler. Elle

consiste dans un premier temps à calculer l'état dynamique complet du système par deux

récurrences successives le long des chaînes cinématiques :

- une récurrence ascendante destinée au calcul des positions, vitesses et accélérations tant

en translation qu'en rotation de tous les éléments constitutifs du système;

- une récurrence descendante destinée au calcul, à partir des extrémités des chaînes, de

la propagation des efforts, au travers des éléments constitutifs du système.

La récurrence ascendante exploite le fait que les position, vitesse et accélération du repère

d'origine de chaque chaîne cinématique sont connues alors que la récurrence ascendante part

du principe que les efforts sont nuls à l'extrémité libre des chaînes. Dans le cadre de l'approche

que nous avons choisie, les récurrences ascendante et descendante utilisent respectivement les

fonctions de transformateur de mouvement et d'efforts de chaque élément cinétostatique.

Remarquons pour terminer que la récurrence ascendante doit toujours être réalisée en premier

lieu puisque les efforts proviennent des réactions d'inertie qui ne peuvent être calculées que si

on connaît le mouvement global des éléments.

Une fois les récurrences effectuées, le résidu relatif à un paramètre de configuration peut

être calculé à partir des efforts agissant sur l'élément cinétostatique auquel il est associé et de

la contribution propre de l'élément.

Dans la suite, nous présentons toutes les relations permettant de réaliser les deux

récurrences et le calcul des résidus, pour un système constitué d'éléments articulation rotoïde,

articulation prismatique, corps rigide et corps flexible, tels que définis dans le chapitre

précédent.

III.4 Mise en oeuvre de la récurrence ascendante.

III.4.1 Le formalisme des matrices de transformation homogène.

En analyse des systèmes multicorps, les repères occupent une place importante. Ils

constituent l'être mathématique privilégié pour exprimer une situation spatiale en position et

R p

0 0 0 1

{eP}

i'p

ij%R

ij@{e

P}

j

0

1

T01 T0i=T01@T12@ @ @ Ti-1i

2ii-1

T12 Ti-1i

{eP}

i'T

ij@{e

P}

j

R

p

Tij

{eP}

i{e

P}

j


(III.14)

(III.15)

en orientation. Il est donc nécessaire de disposer d'un formalisme pratique permettant de décrire

la position et l'orientation d'un repère et de réaliser facilement le passage entre les systèmes de

coordonnées liés à différents repères. Nous avons choisi à cet effet le formalisme des matrices

de transformation homogène qui sont des matrices 4x4 de la forme :

Ces matrices donnent la situation relative d'un repère par rapport à un autre, étant

une matrice de rotation orthonormée liée à l'orientation relative des deux repères et étant

un vecteur lié à la position relative des deux repères. On peut trouver dans [PAUL 81] la

signification exacte de chacun des coefficients de cette matrice. Si nous appelons la

matrice de transformation décrivant la situation du repère j par rapport au repère i, le calcul des

coordonnées par rapport à i ( ) d'un point P de coordonnées dans j se calcule

simplement comme suit :

Fig III.2 Calcul en cascade de matrices de transformation homogène.

Dans la suite, nous noterons ce calcul sous la forme simplifiée suivante :

ce qui revient, conformément au principe des coordonnées homogènes, à considérer le

vecteur des coordonnées comme un vecteur à 4 composantes dont les 3 premières restent les

Tik'T

ij@T

jkœ i,j,k

T0S'T0E

@TES

T0ET0S

T0S

TES

vS/E S/E

aS/E

˙S/E

rS

vE

aE

vS

aS


(III.16)

(III.17)

coordonnées cartésiennes du point, la quatrième composante étant égale à 1.

Les matrices de transformation homogène répondant à la propriété suivante :

elles procurent un formalisme très bien adapté aux coordonnées relatives, car la matrice de

transformation homogène donnant la situation d'un repère quelconque par rapport au repère

inertiel est obtenue par simple multiplication de matrices locales élémentaires définissant la

situation relative de deux repères successifs (voir figure III.2).

III.4.2 Principe général de la récurrence ascendante.

Etant donné l'approche choisie où les chaînes sont constituées d'une succession d'éléments

cinétostatiques, la récurrence ascendante se ramène à pouvoir calculer pour chaque élément les

grandeurs cinématiques (position, vitesse, accélération) au(x) repère(s) de sortie en fonction de

celles du repère d'entrée et des caractéristiques des éléments. Pour simplifier la description de

la méthode, on supposera que l'élément possède un seul repère de sortie.

En ce qui concerne les positions, si et sont les matrices de transformation

donnant la situation des repères d'entrée et de sortie par rapport au repère absolu, le calcul de

la matrice est effectué tout simplement de la façon suivante :

La matrice exprime la situation du repère de sortie par rapport au repère d'entrée.

Elle dépend de l'élément considéré et est fonction des paramètres cinématiques liés à l'élément.

Au niveau vitesse et accélération, chaque élément cinétostatique actif définit une vitesse

relative de translation , une vitesse relative de rotation , une accélération relative

de translation et une accélération relative de rotation , calculées à partir des

dérivées première et deuxième des paramètres cinématiques par rapport au temps. Si nous

convenons de noter :

- la coordonnée vectorielle du repère de sortie par rapport au repère d'entrée,

- , , , les vecteurs vitesses et accélérations absolues de translation

vS'v

E%v

S/E%

E×r

S

aS'a

E%a

S/E%2

E×v

S/E% ˙

E×r

S%

E×(

E×r

S)

˙S' ˙

E% ˙

S/E%

E×

S/E

S'

E%

S/E

TES'

cosq &sinq 0 0

sinq cosq 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

S/E'q@z

E˙

S/E'q@z

E

E˙

E S˙

S

zE


(III.18)

(III.19)

(III.21)

(III.20)

(III.22)

(III.23,24)

des repères d'entrée (indice E) et de sortie (indice S),

- , , , les vecteurs vitesses et accélérations absolues de rotation des

repères d'entrée (indice E) et de sortie (indice S),

les vitesses et accélérations du repère de sortie peuvent être calculées par les formules générales

suivantes :

Ces expressions sont développées dans la suite pour chacun des éléments. Comme on le

verra, de nombreux termes tombent pour les éléments simples. Pour améliorer le temps de

calcul, c'est donc à partir de la forme particulière des formules présentées dans la suite que l'on

doit calculer les valeurs cinématiques et non pas à partir de la forme générale ci-dessus.

III.4.3 Récurrence ascendante pour l'articulation rotoïde.

Si q est le paramètre cinématique associé à l'articulation rotoïde (c'est-à-dire l'angle de

rotation dont tourne le repère de sortie autour de l'axe Z du repère d'entrée), la matrice de

transformation homogène relative à l'articulation rotoïde est :

L'articulation ne définit aucune mouvement relatif de translation mais seulement un

mouvement relatif de rotation tel que :

étant un vecteur unitaire selon l'axe Z du repère d'entrée.

zE=zS

xE

yS

yE

qxS

q

vS'v

E

aS'a

E

˙S' ˙

E%q@z

E%

E×q@z

E

S'

E%q@z

E

TES'

1 0 0 q

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

vS/E'q@x

Ea

S/E'q@x

E

xE


(III.25)

(III.26)

(III.28)

(III.27)

(III.29)

(III.30,31)

Fig III.3 Schéma de l'élément articulation rotoïde.

Les vitesses et accélérations du repère d'entrée sont ainsi données par :

III.4.4 Récurrence ascendante pour l'articulation prismatique.

Si q est le paramètre cinématique associé à l'articulation prismatique (c'est-à-dire la

distance dont s'est déplacé le repère de sortie le long de l'axe X du repère d'entrée), la matrice

de transformation homogène relative à l'articulation prismatique est :

L'articulation ne définit aucun mouvement relatif de rotation mais seulement un

mouvement relatif de translation tel que :

étant un vecteur unitaire selon l'axe X du repère d'entrée.

q

zE

yE

yS

xS

zS

xE

vS'v

E%q@x

E% ×q@x

E

aS'a

E%q@x

E%2

E×q@x

E% ˙ ×q@x

E%

E×(

E×q@x

E)

S'

E

˙S' ˙

E

r

E

S

S

{rS}

E


(III.32)

(III.33)

(III.34)

(III.35)

Fig III.4 Schéma de l'élément articulation rotoïde.

Les vitesses et accélérations du repère d'entrée sont ainsi données par :

III.4.5 Récurrence ascendante pour le corps rigide.

Fig III.5 Schéma de l'élément corps rigide.

Le corps rigide est un élément inactif et ne définit aucun mouvement relatif. Si

est le vecteur colonne des coordonnées de l'origine du repère de sortie par rapport au repère

TES'

1 0 0

0 1 0 {rS}

E

0 0 1

0 0 0 1

vS'v

E%

E×r

S

aS'a

E% ˙

E×r

S%

E×(

E×r

S)

S'

E

˙S' ˙

E

{d(rS)}

E''

Nd

n'1n(r0

S)@

n

{ (rS)}

E''

Nd

n'1

θn(r0

S)@

n

n

d(rS) (r

S)

r0

S θn

nθn


(III.36)

(III.37)

(III.38)

(III.39)

(III.40)

(III.41)

(III.42)

d'entrée, la matrice de transformation homogène relative au corps rigide vaut simplement :

Pour les vitesses et accélérations, on obtient simplement :

III.4.6 Récurrence ascendante pour le corps flexible.

Rappelons que la déformation du corps flexible est modélisée à partir de la somme

pondérée de N modes de déformation . Si toutes les relations présentées jusqu'ici sontd

indépendantes de la base, il va maintenant être nécessaire de donner des relations projetées car

les modes de déformation sont exprimés dans le repère d'entrée. Les déplacements élastiques

en translation et en rotation que subit le repère de sortie sont donnés par :

avec la coordonnée vectorielle du repère de sortie par rapport au repère d'entrée en

configuration non déformée, le vecteur des coefficients de pondération des modes et

le mode en rotation associé au mode en déplacement .

Les composantes des modes en rotation correspondent à des angles de rotation

autour des axes coordonnés, tels qu'on les envisage dans le contexte des éléments finis, où on

suppose généralement qu'ils restent faibles. Pour permettre une formulation rigoureuse de la

'

2X%

2Y%

2Z

'

0 &Z Y

Z0 &

X

&Y X

0

(rS)

(X;

Y;

Z)

( ;0;0) (0; ;0) (0;0; )

(rS)


(III.43)

(III.44)

partie rotation de la matrice de transformation homogène relative au corps flexible, nous allons

considérer comme un vecteur de rotation, sur lequel on peut trouver tous les détails

théoriques dans [CARD 88a]. Physiquement, un vecteur de rotation de composantes

correspond à une rotation autour d'un axe parallèle à ce vecteur, d'un angle

donné par :

Des vecteurs de rotation de composantes , et représentent

ainsi respectivement des rotations d'un angle autour des axes X, Y et Z, si bien que, tant

que les angles sont faibles, la rotation obtenue pour ne s'éloignera pas

significativement de celle que l'on perçoit intuitivement dans le contexte éléments finis.

Fig III.6 Schéma de l'élément corps flexible.

La matrice de rotation R associée à un vecteur correspond à l'exponentielle, au

sens de la série qui la définit, du tenseur antisymétrique du vecteur de rotation :

R'I% %

1

2!

2%...%

1

n!

n%...

R'I%(1&2

3!%...%(&1)n

2n

2n%1!%...) %(

1

2!&

2

4!%...%(&1)n

2n

2n%2!%...)

2

TES'

exp( (rS)) {r0

S%d(r

S)}

E

0 0 0 1

{vS/E

}E'{d(r

S)}

E''

Nd

n'1n(r0

S)@ ˙

n

{aS/E

}E'{d(r

S)}

E''

Nd

n'1n(r0

S)@¨

n

{S/E

}S'

ES@('

Nd

n'1

θn(r0

S)@ ˙

n)

{ ˙S/E

}S'

ES@('

Nd

n'1

θn(r0

S)@ ¨

n)% ˙

ES@('

Nd

n'1

θn(r0

S)@ ˙

n)

'(1&2

3!%...%(&1)n

2n

2n%1!%...)I

%(1

3!&

2

5!%...%(&1)n

2n

2n%3!%...) @ T

&(1

2!&

2

4!%...%(&1)n

2n

2n%2!%...)

ESR

ES


(III.45)

(III.46)

(III.47)

(III.48)

(III.49)

(III.50)

(III.51)

(III.52)

Compte tenu de la nature particulière de la matrice , la formule (III.45) peut être

remise sous la forme suivante, mieux adaptée en pratique, puisque la série ne porte plus que sur

l'angle :

La matrice de transformation relative au corps flexible est alors donnée par :

où la partie rotation est calculée en pratique, compte tenu de la faible valeur des angles,

à partir d'un développement limité de la série définie dans l'équation (III.46).

Les vitesse et accélération relatives sont données par :

Pour les termes de rotation, l'application de la théorie relative au vecteur de rotation

conduit à :

étant la matrice tangente de la matrice de rotation par rapport aux

coordonnées du vecteur de rotation. Cette matrice sera aussi calculée en pratique par un

développement limité de la série qui la définit, soit :

rS'r0

S%d(r

S)

FE'F

SM

E'M

S

FS

MS

FE

ME


(III.53)

(III.54,55)

Si on veille à corriger la coordonnée vectorielle du repère de sortie en fonction de la

déformation par :

on peut calculer les vitesses et accélérations du repère de sortie par application directe des

formules (III.18) à (III.21) présentées plus haut.

III.5 Mise en oeuvre de la récurrence descendante.

III.5.1 Principe et conventions.

Dans le cadre de notre approche, la récurrence descendante revient à calculer, pour

chaque élément, les efforts au repère d'entrée en fonction de ceux au(x) repère(s) de sortie,

compte tenu de la contribution éventuelle de l'élément. Insistons d'emblée sur le fait que,

lorsqu'on effectue la récurrence descendante, deux types de termes peuvent être distingués :

- les contributions externes qui résultent de l'effet des efforts qui s'exercent au(x) repère(s)

de sortie et qui dépendent des conditions extérieures;

- les contributions internes qui ne dépendent que de l'état de l'élément, par exemple son

champ d'accélération pour les réactions d'inertie.

Cette distinction sera précisée au fur et à mesure de la présentation mais prendra

réellement tout son sens lorsqu'on s'intéressera à l'optimisation du calcul de la matrice

d'itération.

Dans les relations qui suivent, nous convenons de noter :

- et la résultante des forces et moments exercés au repère de sortie d'un

élément par les éléments suivants;

- et la résultante des forces et moments exercés au repère d'entrée par

l'élément sur l'élément précédent.

III.5.2 L'articulation rotoïde.

Comme l'articulation rotoïde est sans masse, on a simplement :

Il n'y a évidemment aucune contribution interne.

FE'F

SM

E'M

S%q@x

E×F

S

FE'F

S%m

e@(g&a

E& ˙

E×r

G&

E×(

E×r

G))

ME'M

S%r

S×F

S%m

e@r

G×(g&a

E)&

E@ ˙

E&

E×(

E@

E)

g me

rG

E

a(r)


(III.56,57)

(III.58)

(III.59)

III.5.3 L'articulation prismatique.

L'articulation prismatique est aussi sans masse, mais les origines des repères ne sont plus

confondues et on obtient :

De nouveau, il n'y a pas de contribution interne.

III.5.4 Le corps rigide.

Les relations donnant les efforts au repère d'entrée s'écrivent de la façon suivante :

avec le vecteur gravité, la masse totale de l'élément, la coordonnée

vectorielle du centre de gravité par rapport au repère d'entrée et enfin le tenseur d'inertie

de l'élément par rapport au repère d'entrée. Ces trois dernières entités sont des caractéristiques

à part entière de l'élément et doivent, au même titre que la gravité, être précisées lors de la

définition du système.

On remarque cette fois une contribution interne sous la forme de la réaction d'inertie du

corps.

Remarque : une démonstration rigoureuse des relations ci-dessus pourra être trouvée dans

l'annexe A. Cette dernière est relative au corps flexible, mais il suffit d'en retrancher les termes

provenant des déplacements élastiques. On peut aussi les retrouver par application des lois de

Newton et d'Euler.

III.5.5 Le corps flexible.

Cet élément apporte, comme on peut s'y attendre, une complexité particulière provenant

essentiellement de l'expression des réactions d'inertie. Nous n'évoquerons ici que les étapes

principales du raisonnement permettant d'y aboutir, le détail complet du calcul étant fourni dans

l'annexe A.

En premier lieu, il faut se souvenir que l'accélération d'un point quelconque du

a(r)'aE% ˙

E×r%2

E×d(r)%

E×(

E×r)%d(r)

a(r).aE% ˙

E×r0

%2E×d(r)%

E×(

E×r0)%d(r)

FE'F

S%m

elt

(g&a) dm

ME'M

S%(r0

S%d(r

S))×F

S%m

elt

r×(g&a) dm

.MS%(r0

S%d(r

S))×F

S%m

elt

r0×(g&a) dm

melt

(g&a) dm'me@(g&a

E)& ˙

E×m

E@r

G&

E×(

E×m

E@r

G)

&2E×'

Nd

n'1 1C

n@ ˙

n&'

Nd

n'1 1C

n@ ¨

n

melt

r0×(g&a) dm'me@r

G×(g&a

E)&

E˙

E&

E×(

E@

E)

%2'Nd

n'1 3C

n@

E@ ˙

n&'

Nd

n'1 2C

n@ ¨

n

1Cn'm

elt

n(r0) dm 2C

n'm

elt

r0×n(r0) dm

r

r'r0%d(r) r0


(III.60)

(III.61)

(III.62)

(III.63)

(III.64)

(III.65)

(III.66,67)

corps flexible, de coordonnée vectorielle par rapport au repère d'entrée, est égale à :

avec , étant la coordonnée vectorielle du point en configuration non

déformée.

Comme nous faisons l'hypothèse des petites déformations, on peut raisonnablement faire

la simplification suivante :

En appliquant d'une part le théorème des travaux virtuels, et en intégrant d'autre part la

réaction d'inertie de chaque masse élémentaire, on obtient :

Après avoir explicité l'accélération dans les expressions ci-dessus, on obtient tous calculs

faits :

relations où l'on trouve, en plus de grandeurs déjà rencontrées lors de l'examen des corps

rigides, trois nouvelles entités appelées invariants, sur lesquelles nous reviendrons lors du

calcul des résidus, et définies comme suit :

3Cn'm

elt

r@n(r0) dm

fq'&

MPint

Mq&F

S@Mv

S/E

Mq&M

S@M

S/E

Mq

fq'&M

S@z

E%K

q@(q&q0)%C

q@q&Q

q

rn

Pint

q

Kq

q0

Cq

Qq


(III.68)

(III.69)

(III.70)

et prenant la même signification qu'à la formule (III.44).

III.6 Calcul des résidus.

III.6.1 Principe.

Une fois les deux récurrences achevées, on peut calculer les résidus des équations

d'équilibre dynamique relatives à chaque paramètre de configuration. Ce résidu est calculé au

sein de l'élément dont le paramètre de configuration est un paramètre cinématique. Par

application du théorème des puissances virtuelles, on trouve la forme générale suivante pour

les résidus :

étant la puissance interne développée au sein de l'élément, provenant des réactions

d'inertie éventuelles mais aussi, par exemple, de l'action des forces de type élastique. On a opté

pour le signe négatif afin d'obtenir une contribution positive de la matrice de masse dans les

résidus, en cohérence avec la formule (III.1).

III.6.2 L'articulation rotoïde.

Il y a un seul paramètre cinématique correspondant à l'angle de rotation, autour de l'axe

Z, du repère de sortie par rapport au repère d'entrée. Le résidu qui lui est relatif correspond à

un équilibre de moments autour de l'axe Z du repère d'entrée et est donné par :

avec

- le paramètre cinématique associé à l'élément;

- , la constante de raideur et l'angle au repos du ressort de torsion lié à

l'articulation;

- la constante d'amortissement de l'amortisseur en torsion lié à l'articulation;

- le couple moteur éventuel à l'articulation;

Bien qu'il n'y ait pour les efforts aucune contribution interne, les contributions sur le

résidu provenant du ressort, de l'amortisseur ou de l'actuateur, sont typiquement internes.

fq'&F

S@x

E%K

q@(q&q0)%C

q@q&Q

q

U e'

1

2'Nd

n'1'Nd

l'1K

e

nl@ n@

l

q

Kq

q0

Cq

Qq

U e

K e


(III.71)

(III.72)

III.6.3 L'articulation prismatique.

Le seul paramètre cinématique associé à l'élément correspond au déplacement du repère

de sortie le long de l'axe X du repère d'entrée. Le résidu de l'équation différentielle qui lui est

relative correspond à un équilibre des forces le long de l'axe X du repère d'entrée et est donné

par :

avec

- le paramètre cinématique associé à l'articulation;

- , la constante de raideur et la longueur au repos du ressort linéaire lié à

l'articulation;

- la constante d'amortissement de l'amortisseur linéaire lié à l'articulation;

- la force motrice éventuelle à l'articulation.

En ce qui concerne la distinction entre les contributions interne et externe, les remarques

relatives à l'articulation rotoïde restent d'application.

III.6.4 Le corps flexible.

Comme le montre le développement complet présenté dans l'annexe A, l'application du

théorème des travaux virtuels déjà évoquée lors de la mise en oeuvre de la récurrence

descendante, donne, outre l'équilibre de translation et de rotation, le résidu relatif aux

coefficients de pondération représentatifs de la déformation du corps flexible.

Si on considère que le matériau a un comportement linéaire et que l'énergie de

déformation dont il est le siège peut être exprimée par l'intermédiaire d'une matrice de

rigidité de la façon suivante :

fηn'&{F

S}

E@

n(r0

S)&{M

S}

S@

ES

θn(r0

S)&m

elt

{(g&a)}E@

n(r0) dm

%'Nd

l'1K

e

nl@ l%'

Nd

l'1C

e

nl@ ˙ l

melt

(g&a)@n(r0) dm'(g&a

E)@ 1C

n& ˙

E@ 2C

n&

E@( 3C

n@

E)

&2E@'

Nd

l'1 4C

l,n@ ˙

l&'

Nd

l'1M

nl¨

l

4Cn,l'm

elt

n(r0)×

l(r0) dm

Mnl'm

elt

n(r0)@

l(r0) dm

n

ESC e


(III.73)

(III.74)

(III.75)

(III.76)

le résidu de l'équation d'équilibre relative à un coefficient de pondération est donné par :

ayant déjà été défini lors de la mise en oeuvre de la récurrence ascendante et

étant la matrice d'amortissement de l'élément, sur laquelle nous reviendrons.

Remarquons que, dans cette expression, nous avons dû de nouveau écrire des relations

projetées, à cause de la présence des modes de déformation attachés au repère de référence (soit

le repère d'entrée).

Comme lors du transfert des efforts, il faut expliciter l'expression de l'accélération et on

obtient tous calculs faits, pour la contribution d'inertie et de pesanteur sur le résidu, l'expression

suivante :

relation où on voit apparaître deux nouveaux invariants, correspondant à :

Le concept même de corps flexible suppose l'existence d'une forme complexe qui ne peut

être étudiée que par l'intermédiaire d'un outil performant de modélisation. L'utilisation intensive

des éléments finis en milieu industriel fait de cette méthode la solution pratique la plus

naturelle, si bien qu'un corps flexible est défini dès le départ par son modèle aux éléments finis.

Comme on le verra au chapitre VI, ce modèle sera utilisé pour calculer non seulement les

modes de déformation, mais aussi la matrice de rigidité, les caractéristiques de corps rigide et

les différents invariants relatifs aux modes composants.

En ce qui concerne la matrice d'amortissement, elle sera calculée sur base de l'hypothèse

d'un amortissement de Rayleigh, c'est-à-dire en la considérant comme une somme pondérée des

C e'

M@M e

%K@K e

M K

KL

KNL


(III.77)

matrices de masse et de raideur, soit :

Les coefficients et sont arbitraires et peuvent être choisis par exemple de

façon à imposer un coefficient d'amortissement réduit donné pour deux modes propres

particuliers.

Avant de terminer, il nous semble important de revenir sur la réaction élastique du corps.

Pour établir nos équations, nous avons supposé que le comportement du matériau était linéaire.

De nombreux travaux ([WALL 91], [IDER 89], [MELZ 93], [MEIJ 93], [SHAR 92],

[SHAR 94]) ont été menés récemment pour lever cette hypothèse et on s'est rendu compte que

si le comportement non linéaire pouvait souvent être négligé en systèmes multicorps, il n'en est

pas de même pour ce qu'on appelle le raidissement géométrique ("geometric stiffening") qui

se manifeste essentiellement sur les corps soumis à d'importants mouvements de rotation. Ce

phénomène est particulièrement aisé à expliquer dans le cas d'une poutre : comme la longueur

de la fibre varie normalement peu, quand celle-ci accuse une flèche importante, la coordonnée

axiale de l'extrémité, repérée sur un repère encastré à l'origine de la poutre, doit normalement

diminuer. Il apparaît donc un couplage qui s'avère non linéaire, entre le mouvement transversal

et le mouvement longitudinal. Différents modèles existent pour tenir compte du raidissement

géométrique. On en trouvera un résumé commenté dans [SHAR 94]. L'approche qui semble la

plus appropriée et qui est d'ailleurs applicable dans un contexte basé sur des modes composants

consiste à ajouter à la matrice de rigidité linéaire classique notée une matrice de rigidité

non linéaire notée définie comme la somme pondérée d'un certain nombre de matrices,

les coefficients de pondération étant liés à la déformation du corps flexible ou aux sollicitations

qu'il subit. Le choix du nombre de ces matrices et des phénomènes auxquels on les relie reste

d'ailleurs un problème ouvert.

Nous avons quant à nous envisagé la modélisation du raidissement géométrique dans le

cas des poutres. On en trouvera les détails dans l'annexe B.

III.7 Mise en oeuvre de l'intégration.

III.7.1 Principe du calcul de la matrice d'itération.

Etant à même de calculer les résidus, il nous reste, pour pouvoir effectuer le processus

d'intégration, à déterminer la matrice d'itération. Dans le cadre de ce travail, nous allons réaliser

cette opération, sans passer par les matrices tangentes, au moyen d'une procédure de dérivation

numérique. La détermination de la matrice d'itération se fait alors colonne par colonne, à partir

Jij@

j'f

i

q1 q1 q1

: : :

qj%

Mj

Mqt%∆t

j

@j

, qj%

M °j

Mqt%∆t

j

@j

, qj%

j

: :

qN

qN

qN

&fi(q,q,q)

j@M

j

Mqt%∆t

j

' qj'sgn(q

j)@max(*q

j@∆t*, *q

j*,

a%

r@*q

j*)@ u

'j

Mij(q)q

j%'

j

'k

Dijk

(q)qjq

k%'

j

Cij(q)q

j%'

j

Kijq

j%G

i(q)&Q

i(t)'0

jq

t%∆t

j

j

j

qj

ua r

M D


(III.78)

(III.79)

(III.80)

de l'expression suivante :

Une colonne de la matrice d'itération correspondra ainsi à la variation des équations

d'équilibre dynamique pour une variation de , compte tenu des formules

d'intégration adoptées.

Bien que l'intégration ait pu être menée sans problème sur tous les exemples testés avec

une valeur unitaire de l'incrément , il apparaît plus prudent de faire un choix optimal de cet

incrément, pour l'adapter en fonction du pas de temps. Comme les paramètres de configuration

au niveau position sont ceux qui apportent la contribution la plus "non linéaire" dans les

équations d'équilibre dynamique, l'incrément sur l'accélération sera adapté en fonction d'un

incrément optimal sur le paramètre de configuration correspondant. Le choix de celui-ci

sera effectué sur base de la stratégie utilisée par le code bien connu DASSL ([BREN 89],

[HAUG 91]), soit :

où est l'erreur d'arrondi (1E-16 si on travaille en double précision) et et

les seuils de précision absolu et relatif exigés pendant l'intégration.

Cette dérivation numérique s'est pratiquement révélée très bien conditionnée. Ceci

provient essentiellement de la nature même des équations différentielles régissant le

comportement dynamique d'un système multicorps. En effet ces dernières, dans le cas d'un

système mécanique composé de corps rigides ou flexibles et de liaisons classiques, se

présentent sous la forme générique suivante ([VERL 91b]) :

où est la matrice de masse, la matrice des termes d'accélération provenant des

C K G

Q


couplages entre vitesses, et les matrices d'amortissement et de raideur et enfin

et les vecteurs reprenant les forces généralisées provenant respectivement de la gravité

et des efforts appliqués. On en déduit que la dérivation numérique menée sur les accélérations

est exacte, de même que sur les vitesses (à l'exception des termes au carré qui sont néanmoins

approchés de manière tout à fait satisfaisante). D'autre part, les termes des différentes matrices

intervenant dans l'équation ci-dessus et dépendant des positions sont des fonctions régulières

qui varient très peu sur un pas de temps et ont donc peu d'effet sur la matrice tangente de

raideur. La contribution la plus importante dans la matrice tangente de raideur provient en

réalité de la matrice de rigidité elle-même, et est obtenue de façon exacte par la dérivation

numérique. Enfin, il convient de remarquer que la présence de phénomènes de nature plus

capricieuse provenant par exemple de lois de contact roue-rail ou pneu-route et qui pourraient

détériorer le conditionnement de la dérivation numérique entraîne aussi des problèmes

d'intégration. Ceux-ci peuvent généralement être détectés et gérés par l'algorithme d'intégration

qui va ainsi, dans la plupart des cas, corriger naturellement les problèmes de conditionnement.

Cette façon de procéder a ainsi pu être utilisée sans aucun problème pour la simulation de

véhicules ferroviaires, même en présence de deuxième contact.

Signalons pour terminer deux autres qualités de cette formulation :

- les résidus des équations d'équilibre dynamique, qui sont une mesure directe de l'erreur

lors du processus d'intégration sont calculés avec une excellente précision;

- lors du processus d'intégration, la matrice d'itération ne doit pas nécessairement être

recalculée à chaque itération et en pratique, on essaie de la garder le plus longtemps

possible, même sur plusieurs pas de temps; sa détermination n'est ainsi effectuée que si

la convergence n'est pas atteinte suffisamment vite et elle est alors factorisée et stockée

sous cette forme; la formulation proposée devient alors particulièrement efficace car elle

permet un calcul très rapide du terme de droite qui est souvent le seul requis.

III.7.2 Calcul optimisé de la matrice d'itération.

Dans le processus itératif de Newton-Raphson permettant de réaliser un pas de temps

d'intégration, il faut d'abord calculer les résidus, ce qui s'effectue par l'intermédiaire des

récurrences ascendante et descendante. Pour déterminer la matrice d'itération, on examine la

variation des résidus pour une variation donnée en valeur, vitesse et accélération d'un des

paramètres de configuration. L'idée de base de cette optimisation, qui est une des contributions

de cette thèse, est de limiter les récurrences aux seules parties où il y a effectivement variation.

Pour la suite, nous allons distinguer, pour chaque élément, six fonctions fondamentales

dont les deux premières sont liées à la récurrence ascendante, les deux suivantes à la récurrence

descendante et les deux dernières au calcul des résidus :

qj

qk

qj


- le calcul de la situation spatiale du ou des repère(s) de sortie en fonction de celle du

repère d'entrée et de caractéristiques géométriques de l'élément;

- le calcul de l'état en vitesse et accélération du repère de sortie en fonction de celui du

repère d'entrée et de l'état cinématique de l'élément;

- le calcul des contributions internes en efforts de l'élément;

- le transfert des efforts proprement dits pour la valeur précalculée de la contribution

interne;

- le calcul des contributions internes de l'élément sur le résidu;

- le calcul du résidu complet, compte tenu de la valeur précalculée de la contribution

interne.

Fig III.7 Etats successifs lors de la dérivation numérique.

Prenons maintenant l'exemple d'une chaîne cinématique simple, comme illustré à la figure

III.7. Une fois les deux récurrences achevées pour le calcul des résidus, on connaît la situation

spatiale, la vitesse et l'accélération de chaque repère ainsi que la valeur des efforts qui y

transitent. On connaît également les contributions en effort, provenant essentiellement des

réactions d'inertie, de chaque élément. Quand on calcule la matrice d'itération, on doit, à partir

de cet état (état 1) que nous appellerons aussi état de référence, calculer les résidus pour une

variation par exemple du paramètre de configuration , aboutissant ainsi à l'état 2. Dans

l'étape suivante, il faudra calculer l'état 3 correspondant à une variation du paramètre ,

après avoir ramené à sa valeur initiale. On se rend immédiatement compte que, pour


tous les éléments qui se situent avant celui auquel le paramètre de configuration incrémenté est

associé, il n'y a variation ni de l'état cinématique ni, par voie de conséquence, des contributions

internes. Nous proposons donc d'optimiser la dérivation numérique en limitant la récurrence

ascendante et le calcul des contributions internes aux seuls éléments se situant après le

paramètre de configuration. Il reste par contre nécessaire d'effectuer la propagation descendante

des efforts mais les développements présentés plus tôt montrent que ce calcul est très léger

quand on dispose à l'avance des contributions internes.

Pour mettre cette optimisation en oeuvre, on associe à chaque paramètre de

configuration deux listes d'éléments :

- une liste de successeurs incluant l'élément auquel le paramètre de configuration est

associé et tous les éléments qui se trouvent plus haut dans l'arbre topologique et dont le

mouvement est influencé par le paramètre de configuration (cette dernière condition

prend tout son sens dans le cas de paramètres cinématiques qui n'induisent aucun

mouvement du repère de sortie, comme par exemple le coefficient de pondération lié à

un mode de déformation purement interne);

- une liste de prédécesseurs qui comprend en fait tous les éléments se trouvant entre le bâti

et l'élément auquel le paramètre de configuration est associé.

Pendant la dérivation numérique, on suivra alors les règles suivantes :

- on ne recalcule pas les positions car leur variation ne contribue pas significativement à

la matrice d'itération;

- on n'effectue la récurrence ascendante sur les vitesses et les accélérations que sur les

successeurs du paramètre de configuration subissant la variation;

- on effectue la récurrence descendante sur les successeurs et les prédécesseurs mais sans

recalculer, pour ces derniers, les contributions internes;

On pourrait penser que l'ordre selon lequel les paramètres de configuration sont

incrémentés est peu important. Il n'en est rien puisqu'entre deux calculs d'une colonne de la

matrice d'itération, on a certes incrémentation d'un paramètre de configuration mais aussi

décrémentation du paramètre de configuration relatif à la colonne qui vient d'être déterminée.

Une solution simple pour assurer que la nouvelle valeur du résidu prenne bien en compte la

variation des deux paramètres, est que l'ordre d'incrémentation soit tel que les successeurs

d'un paramètre de configuration soient toujours compris dans ceux du paramètre qui le

suit dans l'ordre d'incrémentation. Dans le cas d'une chaîne cinématique simple, cela revient

à prendre un ordre d'incrémentation qui part de l'extrémité des chaînes. Cela peut se révéler plus

compliqué quand on se trouve en présence d'arborescences. Considérons par exemple le

mécanisme illustré à la figure III.8 et supposons que nous venions de calculer l'état

qB

qA

qB

qA

qB

qA


correspondant à une variation de , le premier paramètre de configuration de la chaîne

arborescente B. La prochaine étape du calcul correspond à la détermination de l'état du système

pour une variation de , le dernier paramètre de configuration de la chaîne A. Or, d'après

la définition que nous avons donnée des successeurs, les successeurs de n'appartiendront

pas à la liste de . Les efforts exercés par la chaîne B resteront alors les mêmes que ceux

correspondant à la valeur incrémentée de , si bien que les résidus relatifs à tous les

paramètres de configuration appartenant à la chaîne B ou la précédant seront inexacts.

Fig III.8 Cas particulier des chaînes arborescentes.

Remarquons qu'une situation semblable apparaît en présence de paramètres cinématiques

purement internes, c'est-à-dire n'induisant aucun mouvement du repère de sortie.

Cette situation qui est finalement assez courante peut être gérée de différentes façons :

- on adapte la liste des successeurs pour assurer une gestion correcte de la décrémentation

(dans le cas de la figure III.8, cela reviendra à placer tous les éléments de la chaîne B dans

la liste des successeurs de );

- on stocke pour l'état de référence, les efforts en chaque repère et les contributions d'inertie

de chacun des éléments pour les restituer sur les successeurs du paramètre de

configuration décrémenté qui n'appartiendraient pas à la liste du paramètre de

configuration incrémenté.

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

89

10

1

2

3

4

5

6

7

89

10

11

12

1

2

3

4

5

6

7

89

10

11

12

1415

13


Fig III.9 Numérotation des éléments.

Après avoir longtemps travaillé avec la première solution, nous prônons finalement la

seconde car l'investissement mémoire est relativement réduit et l'algorithme peut être

grandement simplifié à l'aide d'une numérotation adéquate des éléments. Le principe, illustré

à la figure III.9, en est simple. Le système est d'abord éclaté en blocs indépendants s'apparentant

à des structures arborescentes partant du bâti. Dans chaque structure, on repère une chaîne

cinématique principale, s'étendant du bâti à un des corps d'extrémité choisi de façon arbitraire.

Après numérotation en ordre ascendant de la chaîne cinématique principale, on repère les

chaînes partant d'un élément déjà numéroté et on sélectionne celle dont ce dernier porte le

numéro le plus élevé. Avec cette façon de faire, les numéros des éléments constituant la liste

des successeurs de n'importe quel paramètre de configuration est toujours une suite de nombres

entiers dont il suffit de retenir le premier et le dernier. Après avoir stocké la valeur des entités

d'intérêt pour l'état de référence, l'algorithme de calcul de la variation des résidus résultant de

la variation d'un paramètre de configuration se présente finalement, pour un bloc donné, comme

suit :

1) les paramètres de configuration sont incrémentés en partant de l'extrémité des chaînes;

2) la récurrence ascendante, à l'exception du calcul des positions, est effectuée sur tous les

successeurs du paramètre de configuration considéré;

3) on recalcule pour tous les successeurs les contributions internes aux efforts et aux résidus;

4) pour tous les éléments du bloc dont le numéro est supérieur à celui du dernier successeur,

on restaure les contributions internes correspondant à l'état initial (ceci gère

automatiquement les problèmes liés à la décrémentation);

5) on mène la propagation descendante des efforts et le calcul des résidus, à partir des

contributions existantes, sur tous les éléments du bloc.

d

dtp&v'0

M@v%h(p,v,t)'0

F(y,y,t)'0 avec y'p

v

p v


(III.81)

(III.82)

L'efficacité de l'algorithme que nous avons proposé est considérable. Même dans le cas

d'une chaîne cinématique simple, cette stratégie diminue presque de moitié le temps nécessaire

au calcul de la matrice d'itération. Le gain devient cependant réellement conséquent dans le cas

de systèmes multicorps comportant des boucles cinématiques. Ceux-ci sont en effet définis à

l'aide de plusieurs blocs indépendants d'éléments, reliés par des équations de contrainte, qui

peuvent être traités séparément pour le calcul de la matrice d'itération. Par exemple, pour un

système comportant N chaînes cinématiques simples indépendantes, on pourrait constater un

gain d'environ 2N sur le temps nécessaire à la construction de la matrice d'itération. Cette façon

de procéder est donc de façon évidente, bien plus efficace que ne le serait un code standard

d'intégration menant la dérivation numérique sans aucune connaissance du système. On

présentera plus loin des exemples illustrant le gain constaté.

III.7.3 Influence du schéma d'intégration.

Comme le montre la formule (III.1), les équations différentielles régissant le

comportement dynamique d'un système multicorps s'expriment naturellement sous la forme

d'un système d'équations différentielles du deuxième ordre. Les méthodes d'intégration

classiques ([BREN 89], [HAUG 91]) sont le plus souvent prévues pour des systèmes

d'équations différentielles du premier ordre et travaillent sur la forme canonique suivante :

où est le vecteur des paramètres de configuration et le vecteur des vitesses des

paramètres de configuration.

L'ensemble des équations peut être réécrit sous la forme suivante :

Qu'on ait affaire à des formules d'intégration d'ADAMS ou de type BDF (Backward

pt%∆t

i ' pi(p

#t

i ,p#t

i ,pt%∆t

i )

vt%∆t

i ' vi(v#t

i ,v#t

i ,vt%∆t

i )

yt%∆t'

pt%∆t

vt%∆t

J'MF

Myt%∆t'

I &I@M v

Mvt%∆t

KT@M p

Mpt%∆tMT%CT@

M v

Mvt%∆t

qt%∆t

i ' vi(q

#t

i ,q#t

i ,qt%∆t

i )' °i(q

#t

i ,qt%∆t

i ,qt%∆t

i )

qt%∆t

i ' pi(q

#t

i ,q#t

i , °i(q

#t

i ,qt%∆t

i ,qt%∆t

i ))'i(q

#t

i ,q#t

i ,q#t

i ,qt%∆t

i )

p v

yt%∆t

I

pt%∆t

i vt%∆t

i


(III.83)

(III.84)

(III.85)

(III.86)

(III.87)

(III.88)

Differentiation Formulas), elles correspondent à la forme générale suivante :

et comme les positions et les vitesses sont considérées sur le même pied, il n'y a pas de

différence entre les formules et .

Comme nous l'avons vu au début de ce chapitre, les formules d'intégration choisies fixent

les inconnues restantes soit, en l'occurrence, le vecteur , correspondant au regroupement

suivant :

et la matrice d'itération correspondante sera donnée par :

étant une matrice unitaire.

On constate que cette matrice a une taille qui est double par rapport à celle que nous

avions présentée au début de ce chapitre en supposant que nous utilisions des formules

d'intégration directement adaptées aux systèmes d'équations différentielles du deuxième ordre.

Il est pourtant simple de réorganiser les formules du premier ordre en un schéma du

second ordre : il suffit de remplacer dans la formule sur les positions par la valeur de

obtenue à l'aide de l'interpolation sur les vitesses pour obtenir :


Par exemple, le schéma de Newmark avec =0.25 et =0.5 résulte de la

réorganisation des formules d'ADAMS d'ordre 2. Une telle réorganisation permet, avec peu

d'efforts, une amélioration considérable des performances car :

- la dimension de la matrice d'itération est réduite de moitié avec les conséquences

correspondantes pour le temps d'inversion dont on sait qu'il est proportionnel au cube de

la taille de la matrice;

- le nombre d'appels à la fonction résidu lors de la procédure de dérivation numérique

nécessaire à la détermination de la matrice d'itération est réduit de moitié.

Même si l'adaptation des méthodes d'intégration classiques est possible, il semble plus

opportun d'utiliser des schémas d'intégration directement adaptés aux systèmes d'équations

différentielles du deuxième ordre. On peut d'ailleurs espérer qu'un effort comparable aux

méthodes du premier ordre soit réalisé à l'avenir dans le domaine de la simulation de systèmes

multicorps.

III.8 Conclusion.

Les équations différentielles régissant le comportement dynamique des systèmes

multicorps flexibles sont raides et ne peuvent être intégrées de façon fiable qu'au moyen d'une

méthode d'intégration implicite. Une telle méthode requiert la détermination d'une matrice

d'itération où interviennent, en plus de la matrice masse, les matrices tangentes de raideur et

d'amortissement. Les formulations classiques perdent leur efficacité lorsqu'elles sont

confrontées à la détermination de la matrice d'itération. C'est pourquoi nous avons adopté une

formulation originale, basée sur l'utilisation d'une méthode dynamique inverse, combinée avec

un calcul de la matrice d'itération au moyen d'une dérivation numérique.

Les résidus des équations d'équilibre dynamique sont calculés à partir de l'écart existant

entre les forces généralisées qu'il faudrait appliquer pour obtenir le même mouvement, calculées

par la méthode dynamique inverse, et les forces généralisées effectivement appliquées. La

méthode dynamique inverse utilisée est celle de Newton-Euler. Sa mise en oeuvre se compose

de deux récurrences menées le long des chaînes cinématiques. La première est une récurrence

ascendante, pour le calcul des position, vitesse et accélération de chaque repère, basée sur la

fonction de transformation de mouvement des différents éléments cinétostatiques. La seconde

est une récurrence descendante destinée au calcul des efforts en chaque repère, et utilise cette

fois la fonction de transformation d'efforts associée aux éléments. Le résidu de l'équation

d'équilibre relative à chaque paramètre de configuration est alors calculé au sein de l'élément

cinétostatique auquel il est associé, en fonction du type d'élément et des efforts qu'il subit.

La matrice d'itération est calculée colonne par colonne, à partir de la variation des résidus


provenant de la variation du paramètre de configuration correspondant à la colonne. Cette

procédure peut être optimisée en remarquant que la variation d'un paramètre de configuration

n'affecte pas le système complet.

On termine en insistant sur l'importance de l'utilisation de schémas d'intégration

directement adaptés aux systèmes d'équations du second ordre.

f((q,q,q, ,t)'f(q,q,q,t)%f l(q,q,t)%BT@

b(q)'0

Bij'

Mbi

Mqj

b(q)

f f l

B

BT@

Chapitre IV : Formulation et intégration en présence de contraintes 65

(IV.1)

(IV.2)

Chapitre IV : Formulation et intégration des équations

d'équilibre dynamique en présence de contraintes.

IV.1 Formulation du système d'équations algébro-différentielles.

Lorsque le système comporte des boucles cinématiques, on le ramène d'abord à un

système ouvert, définissable sous forme d'éléments cinétostatiques, en éliminant virtuellement

certaines liaisons, que nous appellerons liaisons externes. Comme une telle liaison n'est pas

incluse dans les chaînes cinématiques, il est nécessaire d'introduire de façon externe les deux

effets qu'elle induit : les efforts de liaison et éventuellement les efforts internes. Les efforts

de liaison correspondent aux efforts nécessaires pour contraindre le mouvement relatif défini

par la liaison et sont tels que le torseur qui leur est associé est orthogonal au torseur des

vitesses associé au mouvement relatif engendré par la liaison. Ils n'apportent donc aucune

contribution énergétique. Les efforts internes proviennent des éventuels dispositifs internes

connectés à la liaison, tels un actuateur, un ressort ou un amortisseur. Ils s'exercent donc dans

les directions du mouvement relatif et apportent quant à eux une contribution énergétique.

Pour ajouter les équations de contrainte au système initial, nous allons utiliser la

technique des multiplicateurs de Lagrange. Si on note l'ensemble des N équations dec

contrainte, et le vecteur des N multiplicateurs de Lagrange associés à ces équations, lec

système d'équations algébro-différentielles auquel on aboutit est le suivant :

avec le vecteur des résidus du système ouvert défini par les chaînes cinématiques,

le vecteur des résidus provenant des efforts engendrés par les dispositifs internes (ressorts,

amortisseurs,...) associés aux liaisons traitées sous forme d'équations de contrainte et la

matrice jacobienne des contraintes, définie comme suit :

Le terme est issu de l'application de la théorie des multiplicateurs de Lagrange

et correspond physiquement à la contribution sur le résidu des efforts de liaison.

b

e1 e2

x2

y2

z2x1

y1

z1

0

1b / x1@(e

1&e

2)'0

2b / y1@(e

1&e

2)'0

3b / z1@(e

1&e

2)'0

4b / y1@z

2'0

(e1,x

1,y

1,z

1) (e

2,x

2,y

2,z

2)


(IV.3)

(IV.4)

(IV.5)

(IV.6)

Le résidu du système complet pourrait être calculé en additionnant le résidu du système

ouvert, calculé selon la formulation résiduelle, et la contribution provenant des liaisons

externes, calculée séparément par une méthode quelconque. Cependant, ceci serait contraire

à notre souci de cohérence. De plus, les efforts calculés lors de la récurrence descendante ne

correspondraient pas à la réalité physique puisqu'ils ne tiendraient pas compte des

contributions des liaisons externes. Pour résoudre les deux problèmes à la fois, nous allons

introduire l'effet des liaisons externes exclusivement sous forme d'efforts extérieurs, qui

seront pris en compte lors de la récurrence descendante. Le calcul des résidus tel que proposé

au chapitre précédent comprendra ainsi naturellement les contributions provenant des liaisons

externes.

IV.2 Forme des équations de contrainte.

Nous préciserons dans le chapitre V l'ensemble des liaisons que nous envisageons et la

façon dont elles seront modélisées selon qu'elles sont incluses dans une chaîne cinématique

ou traitées sous forme d'équations de contrainte.

Fig IV.1 Repères soumis à des équations de contrainte.

Si une telle liaison doit intervenir, sous forme d'équations de contrainte, entre deux

repères et (voir figure IV.1), elle sera reconstituée, quelle

qu'elle soit, par une partition de l'ensemble des 6 équations suivantes :

5b / z1@x

2'0

6b / x1@y

2'0

fq(F,M)'&

Me

Mq@F&

M

Mq@M

fq( )'

Mb

Mq@ '

Mb

Mq@

z x

e

q

F M

q

b

(e1, x

1, y

1, z

1) (e

2, x

2, y

2, z

2)


(IV.7)

(IV.8)

(IV.9)

(IV.10)

Les trois premières équations correspondent à des conditions de translation, les trois

dernières à des conditions d'orientation. A titre d'exemple, signalons que l'association des trois

premières correspond à une liaison sphérique, celle des cinq premières à une liaison rotoïde

autour de l'axe , celle des cinq dernières une liaison prismatique le long de l'axe ...

IV.3 Relation entre efforts de liaison et multiplicateurs de Lagrange.

Pour pouvoir appliquer les efforts de liaison sous forme d'efforts extérieurs, il faut

connaître pour chacun des multiplicateurs de Lagrange, la nature et la direction des efforts

correspondants. Pour retrouver ces efforts, nous allons faire le parallèle entre la contribution

sur le résidu d'efforts extérieurs et l'effet de multiplicateurs de Lagrange.

Imaginons pour cela un repère se déplaçant avec une vitesse de translation et une

vitesse de rotation , et dont le mouvement dépend d'un paramètre de configuration .

Si une force et un moment extérieurs agissent sur ce repère, la contribution sur le

résidu de l'équation d'équilibre dynamique relative à est égale à :

Nous savons, d'autre part, que la contribution sur le résidu d'un multiplicateur de

Lagrange relatif à une équation de contrainte vaut :

Soient et les deux repères reliés par une liaison

exprimée sous forme d'équations de contrainte. Nous avons vu que les équations de contrainte

que nous utilisions exprimaient soit des conditions de translation, soit des conditions de

1@(e

1&e

2)'0

fqj

( )' @1@Me

1

Mqj

%(M

1

qj

×1)@(e

1&e

2) ' @

1@Me

1

Mqj

%((e2&e

1)×

1)@M

1

Mqj

fqk

( )'& @1@Me

2

Mqk

1 x1

y1

z1

qj

1

qk

@1

e2

e1

& @1

(e2&e

1)×(& @

1)


(IV.11)

(IV.12)

(IV.13)

rotation. La forme générale des équations de translation est :

correspondant selon le cas à , ou .

Pour le résidu relatif à un paramètre de configuration qui définirait le mouvement

du repère 1 (voir figure IV.2), le multiplicateur de Lagrange correspondant à l'équation

de contrainte ci-dessus apporte la contribution suivante :

étant le vecteur vitesse de rotation du repère 1.

Fig IV.2 Paramètres définissant le mouvement des repères 1 et 2.

Par contre, pour le résidu relatif à un paramètre de configuration définissant le

mouvement du repère 2, on aura une contribution égale à :

On en déduit que l'effort correspondant au multiplicateur est une force agissant

en sur le repère 2. La réaction sur le repère 1 est évidemment opposée et correspond en

à une force et un moment .

1@

2'0

fqj

( )' @(M

1

Mqj

×1)@

2' @

M1

Mqj

@((1×

2)

fqk

( )' @1@(M

2

Mqk

×2)'& @

M2

Mqk

@((1×

2)

Fλ2'&F

λ1' 1 @x

1% 2 @y

1% 3 @z

1

Mλ2' 4 @(y

1×z

2)% 5 @(z

1×x

2)% 6 @(x

1×y

2)

Mλ1'&M

λ2%(e

2&e

1)×F

λ1

x y z

qj

qk

2

@(1×

2)

i

ib

Fλ1

Fλ2

Mλ1

Mλ2


(IV.14)

(IV.15)

(IV.16)

(IV.17)

(IV.18)

En ce qui concerne les rotations, les équations sont de la forme :

et correspondant selon le cas à , ou . La contribution du

multiplicateur de Lagrange correspondant à cette équation de contrainte sur les résidus

relatifs aux paramètres de configuration et valent respectivement :

étant le vecteur vitesse de rotation du repère 2. On en déduit que l'effort dû au

multiplicateur est équivalent à un moment agissant sur le repère 2, son opposé

agissant sur le repère 1.

En revenant à nos équations de contrainte de base, on obtient que, en notant le

multiplicateur de Lagrange relatif à l'équation présentée plus tôt, les forces et moments

, , et agissant respectivement sur les repères 1 et 2, du fait des

contraintes, valent :

En injectant ces efforts lors de la récurrence descendante, le calcul des résidus

comprendra naturellement le terme relatif aux multiplicateurs de Lagrange. Comme on le

verra, la matrice d'itération relative au système d'équations (IV.1) nécessitera le calcul de la

dérivée des résidus par rapport aux multiplicateurs de Lagrange, qui correspond d'ailleurs à

la transposée de la matrice jacobienne des contraintes. Grâce à l'approche présentée, on pourra

continuer à procéder par dérivation numérique. Comme les résidus sont linéaires en les

multiplicateurs de Lagrange, la dérivation numérique est exacte et on peut prendre un

Mfi

Mj

'Bji'f

(

i (q,q,q, *λj'

λj%1,t)&f

(

i (q,q,q, ,t)

e2/1'e

2&e

1

v2/1'v

2&v

1&

1×e

2/1

a2/1'a

2&a

1& ˙

1×e

2/1&

1×(

1×e

2/1)&2

1×v

2/1

(e1, x

1, y

1, z

1) (e

2, x

2, y

2, z

2)

e2/1

v2/1

a2/1


(IV.19)

(IV.20)

(IV.21)

(IV.22)

incrément unitaire, soit :

Il est à noter que cette dérivation numérique reste très légère du point de vue temps de

calcul puisque, si on se souvient des considérations évoquées lors de son optimisation, seule

la propagation descendante des efforts est à effectuer.

IV.4 Efforts internes aux liaisons - Degrés de liberté cachés.

IV.4.1 Position du problème et conventions.

Les degrés de liberté naturels des liaisons traitées sous forme d'équations de contrainte

n'apparaissent pas de façon explicite dans les équations du mouvement. Ces degrés de liberté,

que nous appellerons degrés de liberté cachés, existent pourtant bel et bien et sont

indispensables pour le calcul des efforts internes à la liaison provenant de ressorts ou

d'amortisseurs éventuellement associés à la liaison. Comme nous venons de le signaler,

l'ensemble des liaisons envisagées sera présenté au chapitre V. Les relations permettant, pour

chacune d'elles, la détermination des degrés de liberté cachés et de leurs dérivées et le calcul

des efforts internes, sont données intégralement dans l'annexe C. Pour en illustrer le principe,

nous allons toutefois présenter ces relations pour la liaison rotoïde d'axe Z et la liaison

prismatique d'axe X. Les éléments articulation rotoïde et articulation prismatique considérés

plus tôt matérialisent ces mêmes liaisons au sein des chaînes cinématiques.

Pour la suite, nous convenons que la liaison est exprimée entre deux repères

et . En ce qui concerne le signe des degrés de liberté

cachés, la liaison est toujours supposée aller de 1 vers 2. Nous allons aussi utiliser les

différentes valeurs relatives suivantes :

- la position relative du repère 2 par rapport au repère 1, définie comme suit :

- la vitesse relative de translation et l'accélération relative de translation du

repère 2 par rapport au repère 1, obtenues par :

2/1'

2&

1

˙2/1' ˙

2& ˙

1&

1×

2/1

'atan2(x1@x

2,y

1@x

2)%2k

˙'z

1@

2/1

¨'z

1@ ˙

2/1

z1=z2

x1

y2

y1

x2

2/1˙

2/1

vi i i

˙i

F l

1F l

2M l

1M l

2


(IV.23)

(IV.24)

(IV.25)

(IV.26)

(IV.27)

- la vitesse relative de rotation et l'accélération relative de rotation du


, , et étant les vitesses et accélérations absolues de translation et

de rotation du repère i.

Pour le calcul des efforts internes dont les liaisons sont le siège, on conviendra de noter

, , et les forces et moments agissant respectivement sur les repères

1 et 2.

Remarque : plutôt que d'utiliser les fonctions trigonométriques inverses, nous ferons usage

de la fonction atan2(x,y) telle que définie dans le langage C et certains compilateurs

FORTRAN. Cette dernière a l'avantage de retourner un angle entre 0 et 360E.

IV.4.2 La liaison rotoïde d'axe Z.

L'angle relatif à la liaison (voir figure IV.3), ainsi que sa vitesse et son accélération

sont donnés par les relations suivantes :

Fig IV.3 Angle d'une liaison rotoïde.

F l

1'F l

2'0

M l

1'&M l

2'(K θ @( & 0)%C θ @˙&Q θ )@z

1

s'x1@e

2/1

s'x1@v

2/1

s'x1@a

2/1

F l

1'&F l

2'(K

s@(s&s0)%C

s@s&Q

s)@x

1

M l

1'M l

2'0

s x

y

z

xy

z

K θ 0

C θQ θ

s

Ks

s0

Cs

Qs


(IV.28)

(IV.29)

(IV.30)

(IV.31)

(IV.32)

(IV.33)

(IV.34)

En ce qui concerne les efforts internes, on a :

avec et la constante de raideur et l'angle au repos du ressort de torsion

associé à la liaison, la constante d'amortissement de l'amortisseur associé à la liaison

et le couple moteur dont la liaison est le siège.

IV.4.3 La liaison prismatique d'axe X.

Si on note le déplacement relatif à la liaison (voir figure IV.4), ses valeur, vitesse

et accélération sont données par :

Les efforts internes engendrés par la liaison sont donnés par :

avec et la constante de raideur et la longueur au repos du ressort linéaire

associé à la liaison, la constante d'amortissement de l'amortisseur associé à la liaison

et la force motrice dont la liaison est le siège.

Fig IV.4 Déplacement d'une liaison prismatique.

qt%∆t,n

t%∆t,n '

qt%∆t,n&1

t%∆t,n&1 &J ((((&1@F((qt%∆t,n&1, t%∆t,n&1)

b(qt%∆t,n&1)

t%∆t

F( f(


(IV.35)

IV.5 Organisation complète du calcul des résidus.

Le calcul complet des résidus en présence de liaisons traitées sous forme d'équations de

contrainte s'organise finalement comme suit :

- calcul ascendant de la situation spatiale et de l'état en vitesse et en accélération de

chaque repère présent dans le système;

- calcul pour chaque élément de ses contributions internes pour les résidus et les efforts

- calcul des efforts dûs aux multiplicateurs de Lagrange et aux efforts internes des

liaisons traitées sous forme d'équations de contrainte;

- initialisation des efforts en chaque repère;

- application des efforts provenant des liaisons traitées sous forme d'équations de

contrainte sur les repères correspondants;

- propagation descendante des efforts et calcul des résidus;

Le calcul des efforts provenant des liaisons externes a été séparé de leur application en

prévision de l'optimisation de la dérivation numérique opérée pour calculer la matrice

d'itération relative au système d'équations (IV.1).

IV.6 Le traitement numérique des équations de contrainte.

IV.6.1 Principe général de l'intégration.

La nature raide des équations d'équilibre dynamique d'un système multicorps flexible

nous oblige à utiliser des méthodes d'intégration implicites. Dans ce cas, nous avons vu au

chapitre précédent que, une fois les formules d'intégration choisies, effectuer un pas

d'intégration se ramenait à la résolution d'un système d'équations non linéaires. En présence

d'équations de contrainte, il suffit de considérer ces dernières comme quelques équations non

linéaires supplémentaires et d'étendre le vecteur des inconnues aux multiplicateurs de

Lagrange ([GEAR 71]). Le calcul itératif donnant les accélérations et les multiplicateurs de

Lagrange au temps s'organise comme suit :

où correspond au résidu calculé en fonction des formules d'intégration et

J(

'

J%J l B T

Mb

Mqt%∆t0

Jl

ij'

Mfl

i

Mqt%∆t

j

'

Mfl

i

Mqj

@M

j

Mqt%∆t

j

%

Mfl

i

Mqj

@M °

j

Mqt%∆t

j

Mbi

Mqt%∆t

j

'

Mbi

Mqj

@Mq

j

Mqt%∆t

j

'Bij@M

j

Mqt%∆t

j

J(

J

J l

J l


(IV.36)

(IV.37)

(IV.38)

avec la matrice d'itération du système complet qui peut s'écrire :

La matrice reste la matrice d'itération associée à l'ensemble des équations du

système ouvert de base et est la matrice d'itération provenant des efforts internes aux

liaisons traitées sous forme d'équations de contrainte. Elle est donnée par :

Quant à la partie de la matrice d'itération correspondant aux équations de contrainte, elle

est calculée comme suit :

Tous les principes évoqués pour la mise en oeuvre de la dérivation numérique et son

optimisation restent d'application. Il s'agit simplement de ne pas oublier la contribution des

liaisons externes lors de la récurrence descendante.

Lors de la dérivation des résidus par rapport aux paramètres de configuration, le calcul

de ces efforts en fonction des multiplicateurs de Lagrange et de la situation relative des deux

repères ne sera pas refait. On se contentera de réinjecter les efforts calculés initialement pour

l'état de référence. Il s'en suit que la contribution de la matrice ne sera pas incluse dans

la matrice d'itération mais ceci influence généralement peu la rapidité de la convergence.

La dérivation des résidus par rapport aux multiplicateurs de Lagrange est effectuée selon

la formule (IV.19). Pour la mener à bien, on ne recalculera que les efforts de liaison

concernés, suivis de la récurrence descendante et du calcul des résidus. Puisque l'état

cinématique ne varie pas, il ne faut recalculer ni la récurrence ascendante, ni les contributions

internes que ce soit au niveau des efforts ou des résidus. On dispose ainsi de la matrice

jacobienne des contraintes et on peut directement l'utiliser pour la partie de la matrice

d'itération provenant de la dérivée des équations de contrainte par rapport aux paramètres de

configuration.

b(q,q)'B@q'0

b(q,q,q)'B@q%B@q'0

1b/v2/1@x

1'0

2b/v2/1@y

1'0

3b/v2/1@z

1'0

4b/2/1@(y

1×z

2)'0

5b/2/1@(z

1×x

2)'0

6b/2/1@(x

1×y

2)'0

1b/a2/1@x

1'0

2b/a2/1@y

1'0

3b/a2/1@z

1'0

4b/ ˙2/1@(y

1×z

2)'0

5b/ ˙2/1@(z

1×x

2)'0

6b/ ˙2/1@(x

1×y

2)'0

v2/1

v2/1

v2/1

v2/1


(IV.39)

(IV.40)

(IV.41)

(IV.42)

(IV.43)

(IV.44)

(IV.45)

(IV.46)

(IV.47)

(IV.48)

(IV.49)

(IV.50)

(IV.51)

(IV.52)

IV.6.2 Notion d'index.

Nous avons considéré au point précédent que les contraintes étaient exprimées au niveau

des positions. Dans ce cas, elles sont aussi appelées contraintes au niveau géométrique. En

les dérivant par rapport au temps, on obtient les équations de contrainte au niveau des vitesses

et au niveau des accélérations :

La dérivation par rapport au temps des 6 équations de contrainte de base que nous

considérons conduit à leurs équivalents au niveau des vitesses qui s'expriment :

et qui donnent, après une dérivation supplémentaire, les équations de contrainte au

niveau des accélérations :

, , et ayant la même définition qu'au paragraphe IV.3.

Si on ajoute aux équations différentielles les équations de contrainte au niveau des

Mbi

Mqt%∆t

j

'

Mbi

Mqj

@Mq

j

Mqt%∆t

j

%

Mbi

Mqj

@Mq

j

Mqt%∆t

j

.Mb

i

Mqj

@Mq

j

Mqt%∆t

j

'Bij@M °

j

Mqt%∆t

j

Mbi

Mqt%∆t

j

'

Mbi

Mqj

%

Mbi

Mqj

@Mq

j

Mqt%∆t

j

%

Mbi

Mqj

@Mq

j

Mqt%∆t

j

.Mb

i

Mqj

'Bij

F(y,y,t)'0

y

y


(IV.53)

(IV.54)

vitesses, la partie de la matrice d'itération relative aux équations de contrainte s'écrira :

Si par contre on travaille avec les équations de contrainte au niveau des accélérations,

on obtient :

En fait, on pourrait ajouter au système initial les équations de contrainte à l'un

quelconque de ces niveaux mais le problème est beaucoup plus complexe qu'il n'y paraît

puisqu'en réalité, les trois niveaux à la fois doivent être vérifiés.

Il devient nécessaire à ce stade d'introduire la notion d'index, dont on trouve dans la

littérature plusieurs définitions ([GEAR 90], [BREN 89], [HAUG 91], [EDF 92]). Nous

considérerons ici que l'index global d'un système d'équations algébro-différentielles (EAD)

du premier ordre tel que peut être défini comme le nombre de fois qu'il faut

dériver tout ou partie de ce système par rapport au temps pour pouvoir exprimer comme

une fonction de et du temps. Ainsi, l'index du système EAD régissant le comportement

d'un système multicorps est égal à trois si les contraintes sont exprimées au niveau

géométrique. Si on remplace les équations de contrainte au niveau géométrique par celles au

niveau des vitesses ou des accélérations, on obtient respectivement des systèmes d'index deux

et un.

Tout le problème de l'intégration des systèmes d'équations algébro-différentielles repose

sur un compromis entre la stabilité de l'intégration et la précision avec laquelle les équations

de contrainte sont vérifiées. Ainsi, un index élevé assure une bonne vérification des

contraintes en évitant leur dérive mais conduit à de dangereuses instabilités numériques. A

l'inverse, la réponse obtenue avec un système d'index faible est stable mais on s'expose au

phénomène bien connu de violation des contraintes.

Il est clair que la solution la plus simple pour éviter tous ces problèmes est de travailler

sans équation de contrainte. Cela conduit soit à utiliser les coordonnées minimales, soit à

procéder à une réduction du système (technique de "coordinate partitioning") en termes de

variables indépendantes. L'une comme l'autre conduisent à un système final très dense et sont

contraires au côté modulaire du code que nous cherchons à développer. Nous présentons dans

la suite trois solutions qui nous paraissent plus pratiques : la méthode H.H.T., la formulation

M@q%h(q,q,t)%f l(q,q,t)%BT@ '0

M@q t%BT@ t

%(1& )@(h(q t,q t,t)%f l(q t,q t,t))

% @(h(qt&∆t,qt&∆t,t&∆t)%f l(qt&∆t,qt&∆t,t&∆t))'0

'

1

4(1% )2

'

1

2(1%2 )

B

µ


(IV.55)

(IV.56)

(IV.57,58)

implicite en coordonnées minimales et les méthodes de projection.

IV.6.3 La méthode H.H.T. (Hilbert-Hughes-Taylor).

Cette méthode est en fait une version modifiée du schéma d'intégration de Newmark

([CARD 93], [CARD 89]). Elle consiste simplement à apporter une légère modification aux

équations d'équilibre dynamique. Si celles-ci étaient de la forme :

elles deviennent :

étant un paramètre compris entre 0 et 0.33 en fonction duquel on recalcule les

paramètres du schéma de Newmark comme suit

Il s'agit donc d'une solution extrêmement simple et dont l'effet est d'amortir les

instabilités en introduisant une dissipation en haute fréquence. Malheureusement, si elle

permet de maîtriser les instabilités, elle ne les empêche pas d'apparaître. De plus, elle ne

conserve pas l'énergie contenue dans le système suite à la dissipation introduite à haute

fréquence.

Cette méthode trouve son origine dans l'analyse dynamique des structures où une telle

dissipation est parfois souhaitable. Il existe d'ailleurs d'autres méthodes du même type comme

la méthode de Bossak et la méthode de Hoff et Pahl ([CARD 93]) qui sont toutes des

adaptations du schéma de Newmark, souvent utilisé en dynamique des structures.

IV.6.4 Formulation implicite en coordonnées minimales.

Pour à la fois diminuer l'index et éviter la dérive des contraintes, différents centres de

recherche ont proposé de considérer plusieurs niveaux des équations de contrainte à la fois.

Ainsi, Gear a proposé en 1985 de travailler avec les contraintes au niveau des vitesses et au

niveau géométrique en même temps, avec des multiplicateurs de Lagrange supplémentaires

dits de stabilisation. Le système d'équations obtenu est d'index 2 et, comme au point III.7.3,

d

dt(p) ' v&B T(p)µ

M(p)d

dt(v) ' &h(p,v,t)&f l(p,v,t)&BT(p)

b(p) ' 0

B(p)v ' 0

d

dt(p) ' v

M(p)d

dt(v) ' &h(p,v,t)&f l(p,v,t)&B T(p)

b(p) ' 0

B(p)v ' 0

B(p)@M&1@(&h(p,v,t)&f l(p,v,t)&B T(p)@ )%B@v ' 0

d

dt(p) ' v&B Tµ& vT MB

Mpv

T

M(p)d

dt(v) ' &h(p,v,t)&f l(p,v,t)&BT(p)

b(p)'0

B(p)v ' 0

B(p)@M&1@(&h(p,v,t)&f l(p,v,t)&BT(p)@ )%B@v ' 0

p v

q q


(IV.59)

(IV.60)

(IV.61)

est ramené à la forme canonique du premier ordre, dans laquelle et représentent

respectivement les valeurs et vitesses des paramètres de configuration :

Plus récemment, Führer ([FÜHR 90], [FÜHR 91], [EDF 92]) a proposé de travailler

avec le système d'équations suivant :

Ce système est en fait surdéterminé car il est impossible de vérifier les trois niveaux de

contrainte en même temps, si on respecte parfaitement les formules d'intégration. On résout

alors le système en , au sens des moindres carrés à partir d'une matrice pseudo-

inverse de la matrice d'itération relative au système surdéterminé, spécialement développée

pour l'occasion et qui est telle qu'on aboutit exactement au même résultat que si on avait

considéré le système ci-dessous, extension logique de celui proposé par Gear avec un vecteur

de multiplicateurs de Lagrange supplémentaires :

La méthode d'intégration complète est une émanation du code DASSL, porte le nom

ODASSL et est implémentée notamment le logiciel SIMPACK. Ces deux codes sont du

domaine public.

min q&q(

C* b(q) ' 0

min q&q(

C* B(q)q ' 0

q( q((((


(IV.62)

(IV.63)

IV.6.5 Méthodes de projection de coordonnées.

L'idée de base en est simple : on effectue l'intégration proprement dite en considérant

les équations de contrainte à un niveau tel que l'index du système qui en résulte est

suffisamment faible pour éviter les instabilités, et on corrige les équations de contrainte aux

autres niveaux au fur et à mesure pour éviter leur dérive ([DEHO 91], [EICH 92]). Si on

choisit par exemple d'intégrer avec les contraintes au niveau des accélérations, chaque pas

d'intégration se déroule selon les deux étapes suivantes :

1) On intègre pour le pas de temps considéré le système EAD d'index 1 et on obtient une

estimation des positions et des vitesses

2) On projette les positions et les vitesses obtenues de façon à vérifier les contraintes au

niveau géométrique et au niveau des vitesses. Cette projection est réalisée par la

minimisation sous contrainte de la correction apportée, soit pour les positions :

et pour les vitesses :

L'indice C de la norme indique un calcul spécifique de celle-ci pour la minimisation

considérée.

IV.6.6 Solution choisie.

En ce qui concerne l'intégration proprement dite, nous sommes restés fidèles au schéma

de Newmark. Ce dernier a l'avantage de la simplicité, a depuis longtemps fait ses preuves en

analyse des structures et est directement adapté aux systèmes d'équations différentielles du

deuxième ordre, critère dont nous avons précisé l'importance plus tôt. Il reste de plus tout

aussi précis que n'importe quel code sophistiqué si on applique une stratégie adaptée de

contrôle de l'erreur et du pas de temps ([CARD 93]).

Puisqu'on ne travaille plus sous la forme canonique du premier ordre, il devient difficile

d'utiliser la stratégie présentée au point IV.6.4. Toutefois, cela reste possible mais une

itération demande la résolution de deux systèmes linéaires ([ANAN 91]). Quant à la méthode

H.H.T., nous l'avons nous-mêmes abandonnée car les instabilités, même si elles sont amorties,

apparaissent toujours et rendent les courbes d'accélération obtenues peu présentables. Dans

ses travaux ([EDF 92]), Führer a démontré que dans le cadre des méthodes d'intégration

M(q)@q%h(q,q,t)%f l(q,q,t)%BT(q) '0

B(q)q ' 0

q&q(

C'

1

2(q&q()T@J@(q&q()

q&q(

C'

1

2(q&q()T@J@(q&q()

qi%1

µi%1 '

q i

µ i&

J B T

B 0

&1 J@(qi&q()%B T@µ i

b(qi)

µ


(IV.64)

(IV.65)

(IV.66)

(IV.67)

multipas linéaires, ce qui est le cas des méthodes d'Adams et BDF, la solution obtenue est la

même que l'on travaille avec la solution implicite ou par projection de coordonnées, à

condition que la norme utilisée pour la projection soit cohérente ([EDF 92]). On en conclut

que cette méthode qui semble à première vue peu rigoureuse est au contraire tout à fait valable

et c'est finalement celle que nous avons choisie, en cohérence avec les travaux de notre

collègue P. Dehombreux ([DEHO 91]).

Le système EAD considéré pour l'intégration est le système d'index 2 avec les

contraintes au niveau des vitesses. Comme nous utilisons le schéma de Newmark, nous

allons travailler directement sur le système d'équations du deuxième ordre, soit :

Après chaque pas d'intégration, on corrige si nécessaire les positions et les accélérations.

On conçoit aisément qu'on ne peut pas corriger d'une amplitude égale tous les degrés de

liberté. En fait, la correction apportée à chaque degré de liberté doit dépendre de la masse et

de la raideur qu'il voit. En concordance avec cette dernière remarque, et pour des raisons de

disponibilité, la norme utilisée sera basée sur la matrice d'itération relative aux équations

d'équilibre dynamique :

La correction est alors réalisée par minimisation de cette norme, au moyen d'un calcul

itératif qui, dans le cas d'une correction de position, s'écrit :

étant un vecteur de multiplicateurs de Lagrange utilisé seulement comme

intermédiaire de calcul.

Ce calcul pose un problème pratique important. En effet, nous avons signalé au chapitre

III que, comme il n'est pas nécessaire d'avoir une estimation parfaite de la matrice d'itération

pour assurer la convergence, on en garde la même estimation tant qu'on ne dépasse pas un

nombre limite d'itérations, et donc éventuellement sur plusieurs pas de temps. Comme on n'a

q

µ'

q(

0&

J BT

B 0

&10

b(q)

q

µ'

q(

0&

J B T

B 0

&1 0

b(q,q,q)


(IV.68)

(IV.69)

besoin que de l'inverse de la matrice d'itération, elle est immédiatement factorisée après sa

détermination et n'est donc plus disponible en tant que telle. On pourrait bien sûr la stocker

mais la matrice d'itération est déjà responsable d'une grande partie de l'investissement

mémoire. Il est donc impossible de calculer le terme de droite de l'expression ci-dessus à

l'exception de la première itération pour laquelle la norme est nulle. Cependant, si on

remarque que les corrections sont toujours très faibles et que la majeure partie de la correction

se fait lors de la première itération, on se contentera de cette dernière qui est donc effectuée

comme suit :

Le grand avantage de cette technique est qu'elle utilise directement l'inverse de la

matrice d'itération qui a dû être calculée lors de l'intégration. La correction des projections

apparaît ainsi comme une étape très légère puisqu'elle se résume au seul calcul de l'équation

de contrainte elle-même et à un produit matriciel.

IV.7 Optimisation de l'inversion de la matrice d'itération.

Dans le cas de systèmes comportant des boucles cinématiques, l'élimination de Gauss

reste un algorithme bien adapté pour l'inversion de la matrice d'itération, car elle permet une

détection et une gestion aisées des redondances que l'on peut rencontrer dans les équations de

contrainte. Afin d'éviter d'inutiles pertes de temps lors de l'inversion, nous proposons un

algorithme de Gauss adapté, tenant compte de la nature de la matrice d'itération, et de sa

structure particulière en présence d'équations de contrainte.

Fig IV.5 Système multicorps bouclé et la matrice d'itération correspondante.

La figure IV.5 montre un système multicorps comprenant deux boucles, dont le modèle

0

A

0

00

0 0

0 0 0

0 0 0


est composé de trois chaînes cinématiques (I,II et III) reliées entre elles par l'intermédiaire

d'équations de contrainte relatives aux liaisons virtuellement coupées en D et en E. On trouve

aussi sur la figure une illustration de la matrice d'itération correspondante. On peut voir que

chaque chaîne cinématique définit un groupe de coefficients (I, II et III) et que ces groupes ne

"se voient" qu'au travers des équations de contrainte. Par exemple, les groupes I et II sont

connectés par les termes des sous-matrices DI et DII.

En remarquant de plus que les équations d'équilibre dynamique, qui sont naturellement

indépendantes, ne nécessitent pas de recherche de pivot, nous proposons un algorithme de

Gauss adapté qui se déroule selon les étapes suivantes :

- on mène la substitution descendante sur les équations d'équilibre dynamique en ne

travaillant effectivement que sur les blocs non nuls (ceux qui sont entourés à la figure

IV.5) et sans recherche de pivot de façon à ce que la structure de la matrice reste

identique; à la fin de cette étape, la matrice d'itération a une structure telle que celle

présentée à la figure IV.6;

Fig IV.6 Matrice d'itération après substitution descendante partielle.

- on effectue les substitutions descendante et ascendante sur les équations de contrainte

(matrice A), mais cette fois avec pivot total afin de détecter les éventuelles redondances;

- on achève la substitution ascendante sur les équations d'équilibre dynamique en mettant

à nouveau à profit le profil lacunaire de la matrice.

Ce nouvel algorithme allège considérablement la charge en temps de calcul relative à

l'inversion de la matrice d'itération. Son principal avantage est que le nombre d'opérations

nécessaires pour l'inversion n'est plus lié au nombre total d'équations mais au nombre

d'équations de chaque sous-système et au nombre total d'équations de contrainte. Dans un

exemple traité plus loin, l'application de cette nouvelle procédure a permis une réduction du

temps de calcul nécessaire à l'inversion de la matrice d'itération d'un facteur proche de 20.


IV.8 Conclusion.

Dans le cas de systèmes multicorps comportant des boucles cinématiques, certaines

liaisons ne peuvent être incluses dans les chaînes cinématiques et doivent être traitées sous

forme d'une part, d'équations de contrainte, matérialisant les conditions géométriques

imposées par la liaison, et d'autre part, d'efforts extérieurs reprenant les contributions

apportées par les éventuels dispositifs internes de la liaison comme les actuateurs, les ressorts

ou les amortisseurs. Les équations algébriques de contrainte sont ajoutées au système

d'équations différentielles régissant le comportement dynamique du système ouvert par la

technique des multiplicateurs de Lagrange et on aboutit ainsi à un système d'équations

algébro-différentielles.

Pour assurer la cohérence avec le calcul des résidus présenté dans le chapitre précédent,

les contributions des liaisons, y compris celles associées aux multiplicateurs de Lagrange, sont

modélisées exclusivement sous forme d'efforts. Ceux-ci sont pris en compte lors de la

récurrence descendante si bien que le résidu voit naturellement leur contribution par

l'intermédiaire des efforts agissant sur les éléments cinétostatiques.

L'intégration du système d'équations algébro-différentielles auquel on aboutit nécessite

certaines précautions, provenant de la difficulté de vérifier simultanément les équations de

contrainte aux niveaux des positions, des vitesses et des accélérations. Comme ceci est

impossible si on suit parfaitement les formules d'intégration, il faut envisager des techniques

spécialisées dont nous avons fait un bref aperçu. La méthode retenue consiste en une

intégration du système avec les contraintes au niveau des vitesses, avec stabilisation par

projection des équations aux niveaux des positions et des accélérations.

Un algorithme particulier a également été développé, pour réaliser de façon optimisée

l'inversion de la matrice d'itération, en mettant à profit la nature et la structure particulières

de cette dernière en présence d'équations de contrainte.

Chapitre V : Logiciel réalisé et quelques exemples 85

Chapitre V : Logiciel réalisé et exemples.

V.1 Le logiciel AMR.

Tous les principes évoqués dans les chapitres précédents ont été mis en oeuvre dans un

programme portant le nom d'AMR (Analyse de Mécanismes en coordonnées Relatives), qui

s'inscrit dans le cadre plus vaste du logiciel ACIDYM (Analyse Cinématique et Dynamique

de Mécanismes, [CONT 93]). ACIDYM se compose, outre AMR, de trois autres modules :

AMC (Analyse de Mécanismes en coordonnées Cartésiennes), AMM (Analyse de

Mécanismes en coordonnées Minimales) et ACM (Analyse Cinématique de Mécanismes),

ce dernier étant destiné plus particulièrement aux mécanismes comportant des liaisons de

contact. ACIDYM a été initialement développé à des fins didactiques, c'est pourquoi il

reprend les principales approches topologiques rencontrées en analyse des systèmes

multicorps. Toutefois, ce logiciel est également utilisé pour tester de nouvelles méthodes ou

pour l'étude d'applications concrètes émanant du milieu industriel.

Nous présenterons pour commencer les différents éléments cinétostatiques utilisés dans

AMR. Certains ne sont que des généralisations des éléments évoqués dans les chapitres

précédents mais d'autres, plus originaux, illustrent la généralité de ce concept et montrent

comment on peut aisément élargir l'éventail des applications, par l'introduction de nouveaux

éléments. Nous ne donnerons dans ce chapitre qu'une brève description des éléments, le détail

des différentes relations permettant de réaliser les récurences ascendante et descendante et le

calcul des résidus étant développé dans l'annexe B. Nous envisagerons ensuite les différentes

liaisons retenues, telles qu'elles sont vues par l'utilisateur et la façon dont elles sont modélisées

selon qu'elles sont introduites dans les chaînes cinématiques ou traitées sous forme d'équations

de contrainte. Nous poserons pour terminer les fondements du préprocesseur, interface entre

l'utilisateur définissant un système comme un ensemble de corps et de liaisons et le

programme de simulation s'appuyant sur une modélisation basée sur des chaînes cinématiques

et des liaisons extérieures.

V.2 Les éléments.

Nous passons en revue dans cette section les différents éléments utilisés dans AMR,

dont l'ensemble est illustré à la figure V.1.

V.2.1 Les articulations rotoïdes (A_ROTX, A_ROTY ou A_ROTZ).

Il s'agit bien entendu de la généralisation de l'articulation rotoïde telle que nous l'avons

TR_ROT (0 ddl)A_ROTZ (1ddl)A_ROTY (1 ddl)A_ROTX (1 ddl)

xE=xS

yE yS

zS

zE

q

qyE=y S

zE

xS

xE

q

qzE=z S

xE

yS

yE

q

q

zS xS

xE yE

zS

zExS

yS

xE yE

zE

zS

xS

ySq zS

yS

xSzE

xE

yE

xS

yS

zS

xE

yE

zE

A_PRIX (1 ddl) A_PRIY (1 ddl) A_PRIZ (1 ddl)

xE

xS

yS

zS

yE

zE

xE

yE

zE xS

yS

zS

xE

yE

zE xS1

yS2

zS1

xS2zS2

yS1 yE

zE

xE

xS1

yS1

zS1

xS2

yS2

zS2

P_RIG (0 ddl) P_FLE (6 ddl) C_RIG (0 ddl) C_FLE (Nd ddl)

qq

PT_GD (2 ddl) PT_LI (1 ddl) SG_LI (1 ddl)

yS

zS

xS

xS

yS

ySzS zS

xE xE

yE yE

zE zE

xS


évoquée précédemment. Le seul repère de sortie est le repère d'entrée tourné autour de son axe

X (A_ROTX), Y (A_ROTY) ou Z (A_ROTZ) d'un angle q qui constitue le paramètre

cinématique de l'élément. Une articulation rotoïde est complètement définie par la constante

de rigidité, l'angle au repos et la constante d'amortissement, relatifs au ressort et à

l'amortisseur en torsion qui lui sont associés. On peut également lui coupler un actuateur.

Fig V.1 Liste des éléments cinétostatiques disponibles dans AMR

V.2.2 Les articulations prismatiques (A_PRIX, A_PRIY ou A_PRIZ).

Nous avons cette fois affaire à la généralisation de l'articulation prismatique définie plus

tôt. Le seul repère de sortie est le repère d'entrée translaté le long de son axe X (A_PRIX), Y

(A_PRIY) ou Z (A_PRIZ), d'une distance q qui constitue le paramètre cinématique de

l'élément. Une articulation prismatique est complètement définie par la constante de rigidité,

r0

Si

rG


la longueur au repos et la constante d'amortissement, relatifs au ressort et à l'amortisseur

linéaires qui lui sont associés. Il peut aussi être le siège d'une force motrice, pour matérialiser,

par exemple, un vérin hydraulique ou pneumatique.

V.2.3 Translation et rotation (TRROT).

Il s'agit d'un élément passif dont le seul repère de sortie occupe, par rapport au repère

d'entrée, une situation relative fixe en position et en orientation. Comme il ne comporte

aucune masse, il peut être utilisé, par exemple, pour modéliser une poutre dont la masse est

négligeable ou pour orienter selon une direction quelconque deux éléments. Cet élément est

complètement défini par la situation du repère de sortie par rapport au repère d'entrée.

V.2.4 Corps rigide (C_RIG).

La définition du corps rigide reste la même qu'auparavant si ce n'est que les repères de

sortie sont, par convention, tous parallèles au repère d'entrée. Un corps rigide est

complètement défini par la position relative, par rapport au repère d'entrée, des repères de

sortie et du centre de gravité, sa masse, et son tenseur d'inertie par rapport au centre de gravité.

V.2.5 Poutre rigide (P_RIG).

Il s'agit d'un corps rigide de forme particulière. Le repère d'entrée et le seul repère de

sortie se trouvent chacun à une extrémité de la poutre dont l'axe correspond avec l'axe X des

repères. Cet élément est complètement défini par la longueur de la poutre, la section et les

moments d'inertie de sa section droite et la masse volumique du matériau qui la constitue.

V.2.6 Corps flexible (C_FLE).

Comme pour l'élément corps rigide, il n'a rien de particulier à ajouter par rapport aux

chapitres précédents si ce n'est que, en configuration non déformée, les repères de sortie sont,

par convention, parallèles au repère d'entrée. L'élément corps flexible est entièrement défini

par :

- ses caractéristiques de corps rigide, c'est-à-dire les coordonnées vectorielles et

, par rapport au repère d'entrée et en configuration non déformée, de chaque repère

de sortie Si et du centre de gravité, sa masse et son tenseur d'inertie par rapport au centre

de gravité;

dX' @U

dY'(3 2

&2 3)@V& @r0Z @ X

%L@( 3&

2)@Z

dZ'(3 2

&2 3)@W% @r0Y @ X

&L@( 3&

2)@Y

n(r0

Si)

θn(r0

Si)

n

1Cn

2Cn

3Cn

4Cn,l

M

K

n

X Y Z

r r0

d(r)

'r0X /L


(V.1)

- les déplacement en position et en rotation de chaque repère de

sortie Si pour chaque mode de déformation ;

- les différents invariants , , , , la matrice réduite de masse

et la matrice réduite de raideur , relatifs aux N modes retenus pour modéliser lad

déformation du corps flexible.

Il s'agit bien sûr d'un élément actif dont les paramètres cinématiques correspondent aux

coefficients de pondération associés aux modes de déformation.

V.2.7 Poutre flexible (P_FLE).

Cet élément est une extension de la poutre rigide, susceptible cette fois de subir, du fait

de sa flexibilité, une déformation que nous caractérisons par les déplacements U,V,W et les

rotations , et (au sens du vecteur de rotation) du repère de sortie, exprimés

selon les axes X,Y et Z du repère d'entrée. Ces variables constituent les paramètres

cinématiques de l'élément. Chaque point de coordonnée vectorielle ( en

configuration non déformée) par rapport au repère d'entrée, a subi un déplacement

dont les composantes sont calculées à partir des fonctions de forme classiques des éléments

de poutre (où on a posé , L étant la longueur de la poutre) :

On en déduit que la poutre rigide est simplement un corps flexible particulier dont la

forme et les modes de déformation sont définis à l'avance. Une poutre flexible est

complètement définie par les mêmes caractéristiques qu'une poutre rigide auxquelles il faut

ajouter le module d'Young et le coefficient de Poisson du matériau constitutif de la poutre.

Comme les modes de déformation sont connus à l'avance, on peut calculer une fois pour

toutes les invariants relatifs aux fonctions de forme en fonction des caractéristiques de la

poutre.

V.2.8 Point sur sol (PT_GD).

Avec les deux éléments qui suivent, le point sur sol montre comment on peut généraliser


le concept d'élément cinétostatique pour créer des éléments bien adaptés à l'étude

d'applications particulières comme, par exemple, des véhicules.

Le sol étant en toute logique défini par rapport au repère absolu, ce dernier constitue le

repère d'entrée de l'élément point sur sol qui est obligatoirement le premier de la chaîne à

laquelle il appartient. Son repère de sortie est parallèle au repère absolu et est astreint à glisser

sur une surface de sol, unique pour tous les éléments de ce type, définie par points. La

coordonnée Z du repère de sortie est calculée à partir de la géométrie du sol en fonction des

coordonnées X et Y du repère. Ces deux dernières coordonnées constituent donc les

paramètres cinématiques de l'élément. Le point sur sol est complètement défini par

l'intermédiaire de la fonction de sol, définie elle-même par points, où on précise l'altitude et

la pente, entre lesquels on pratique une interpolation basée sur des splines cubiques.

V.2.9 Point sur courbe (PT_LI).

Le repère de sortie glisse le long d'une courbe définie dans le plan XY du repère

d'entrée, en restant parallèle à ce dernier. La courbe est calculée à partir de ses coordonnées

et de sa pente en certains points appelés noeuds, entre lesquels on pratique une interpolation

basée aussi sur des splines cubiques. Le point sur courbe possède un seul paramètre

cinématique, correspondant à l'abscisse curviligne du repère de sortie sur la courbe. Il est

complètement défini par les coordonnées et la pente de la courbe aux noeuds.

V.2.10 Segment sur courbe (SG_LI).

Le repère de sortie est attaché à un segment AB dont les deux extrémités glissent le long

d'une courbe définie de la même façon que pour l'élément point sur courbe. L'axe Z du repère

de sortie reste perpendiculaire au plan XY du repère d'entrée tandis que l'axe X coïncide avec

le segment. Le segment sur courbe possède un seul paramètre cinématique correspondant à

l'abscisse curviligne du point A sur le segment. Pour définir complètement cet élément, il faut

donner, comme pour le point sur courbe, les coordonnées et la pente de la courbe aux noeuds

mais aussi la longueur du segment et la position du repère de sortie sur le segment.

V.3 Le système vu de l'utilisateur.

Même si le modèle du système multicorps est basé sur des chaînes cinématiques

associées avec des équations de contrainte, il apparaît peu pratique de laisser l'utilisateur faire

toute l'analyse topologique et décider lui-même quelles liaisons seront traitées sous forme

d'équations de contrainte. Vu de l'utilisateur, le système doit donc être défini comme un

ensemble de corps, rigides ou flexibles, reliés entre eux par des liaisons, définies entre des


repères liés aux corps. Il en résulte que n'importe quelle liaison est susceptible d'être

effectivement inclue dans une chaîne cinématique ou d'être traitée sous forme d'équations de

contrainte. Si la liaison est inclue dans la chaîne cinématique, elle sera matérialisée par une

succession d'articulations élémentaires. Dans le cas contraire, il convient de choisir de façon

appropriée les équations de contrainte qui devront être considérées.

Comme dans beaucoup d'applications numériques, il faut donc prévoir entre l'utilisateur

et le programme de calcul, un préprocesseur qui, dans notre cas, devrait idéalement se charger

de sélectionner les liaisons à couper et de reconstruire les chaînes cinématiques. Développer

un tel préprocesseur est un travail en soi car pour un système donné, plusieurs solutions sont

possibles et le préprocesseur devrait idéalement choisir la plus performante au point de vue

du temps de calcul. Nous en poserons quand même les fondements mais il nous semble plus

important d'insister sur les possibilités que doit offrir le module de calcul pour permettre la

réalisation du préprocesseur. En fait, cela se ramène à définir un certain nombre de liaisons,

telles qu'elles sont vues par l'utilisateur, et à montrer comment elles seront modélisées selon

qu'elles sont inclues dans les chaînes cinématiques ou traitées sous forme d'équations de

contrainte. Comme elles peuvent être modélisées de deux façons distinctes, nous les

appellerons liaisons mixtes.

Les liaisons mixtes que nous envisageons sont les suivantes :

- les liaisons rotoïdes autour des axes X (L_ROTX), Y(L_ROTY) ou Z (L_ROTZ);

- les liaisons prismatiques le long des axes X (L_PRIX), Y (L_PRIY) ou Z (L_PRIZ);

- les liaisons cylindriques d'axe X (L_CYLX), Y (L_CYLY) ou Z (L_CYLZ);

- la liaison universelle (ou joint de Cardan) considérée comme la succession de deux

rotations respectivement autour des axes X et Y (L_CARXY);


rotations respectivement autour des axes Z et X (L_CARZX);


rotations respectivement autour des axes Y et Z (L_CARYZ);

- la liaison sphérique considérée comme la succession de trois rotations respectivement

autour des axes X,Y et Z (L_SPHXYZ);


autour des axes Y,Z et X (L_SPHYZX);


autour des axes Z,X et Y (L_SPHZXY);

- les liaisons planes par rapport à un plan perpendiculaire à l'axe X (L_PLAX), Y

(L_PLAY) ou Z (L_PLAZ).

ξ ξ

'x

'y

'z

'x

'y

'z


La liste de ces liaisons peut paraître longue mais a pour seul but de faciliter la tâche de

l'utilisateur en lui évitant de nombreuses rotations de repères qui apparaissent toujours

pénibles. De plus, cela ne complique pas exagérément le logiciel concerné car, selon qu'elle

est introduite dans une chaîne cinématique ou modélisée sous forme d'équations de contrainte,

une liaison mixte sera représentée respectivement par une suite d'articulations prismatiques

et rotoïdes ou par une partition de l'ensemble des équations de contrainte présentées au

chapitre précédent. Ainsi, les tableaux V.1 à V.6 reprennent cette correspondance pour chaque

liaison mixte. Toutefois, on n'a plus la même modularité au niveau du calcul des degrés de

liberté cachés et des efforts internes. En effet, ceux-ci nécessitent un calcul particulier pour

chaque type de liaison. Heureusement, ce calcul reste relativement simple sauf peut-être pour

les liaisons sphériques. Le détail complet des relations permettant, pour chaque liaison mixte,

de calculer les degrés de liberté cachés et les efforts internes est donné en annexe C.

Illustration Nom de la liaison Modèle articulaire Eq. de contrainte

L_ROTX ( ) A_ROTX b, b, b, b, b1 2 3 5 6

L_ROTY ( ) A_ROTY b, b, b, b, b1 2 3 4 6

L_ROTZ ( ) A_ROTZ b, b, b, b, b1 2 3 4 5

Tableau V.1 Modélisation des liaisons rotoïdes.


L_PRIX ( ) A_PRIX b, b, b, b, b2 3 4 5 6

L_PRIY ( ) A_PRIY b, b, b, b, b1 3 4 5 6

L_PRIZ ( ) A_PRIZ b, b, b, b, b1 2 4 5 6

Tableau V.2 Modélisation des liaisons prismatiques.

'x

'y

'z

'x 'y

'z 'x

'y 'z

'x

'y

'z



L_CYLX ( ) A_PRIX > A_ROTX b, b, b, b2 3 5 6

L_CYLY ( ) A_PRIY > A_ROTY b, b, b, b1 3 4 6

L_CYLZ ( ) A_PRIZ > A_ROTZ b, b, b, b1 2 4 5

Tableau V.3 Modélisation des liaisons cylindriques.


L_CARXY A_ROTX > A_ROTY b, , b, b

( )

1 2 3 6

L_CARZX A_ROTZ > A_ROTX b, b, b, b

( )

1 2 3 5

L_CARYZ A_ROTY > A_ROTZ b, b, b, b

( )

1 2 3 4

Tableau V.4 Modélisation des liaisons universelles.


L_PLAX ( ) A_PRIY > A_PRIZ > b, b, b

A_ROTX

1 5 6

L_PLAY ( ) A_PRIX > A_PRIZ > b, b, b

A_ROTY

2 4 6

L_PLAZ ( ) A_PRIX > A_PRIY > b, b, b

A_ROTZ

3 4 5

Tableau V.5 Modélisation des liaisons planes.



L_SPHXYZ A_ROTX > A_ROTY > b, b, b

A_ROTZ

1 2 3

L_SPHYZX A_ROTY > A_ROTZ > b, b, b

A_ROTX

1 2 3

L_SPHZXY A_ROTZ > A_ROTX > b, b, b

A_ROTY

1 2 3

Tableau V.6 Modélisation des liaisons sphériques.

Ces tableaux méritent encore quelques commentaires. On peut se demander par exemple

pourquoi on envisage différents types de liaison sphérique alors qu'elles ont toutes les mêmes

équations de contrainte. En réalité, le système mécanique peut être tel qu'on a effectivement

plusieurs rotations successives dont l'ordre peut avoir de l'importance, soit pour la validité du

modèle, comme c'est le cas quand des éléments de force leur sont associés, soit plus

simplement pour l'interprétation des résultats. Les termes qui les différencient proviennent

alors des efforts internes à la liaison liés aux ressorts ou aux amortisseurs associés à chacune

des articulations élémentaires constituant la liaison.

Bien qu'il soit idéal de pouvoir envisager uniquement des liaisons mixtes, nous ferons

une exception pour celles correspondant aux éléments point ou segment sur courbe. Elles sont

en effet malaisées à traiter sous forme d'équations de contrainte et seront donc considérées

exclusivement dans les chaînes cinématiques.

Enfin, terminons par la liaison identification (L_IDEN) ou soudure qui correspond à la

fusion complète de deux repères tant en position qu'en orientation. Une telle liaison est celle

qui est définie implicitement entre le repère d'entrée de tout élément et le repère de sortie de

l'élément qui le précède. Elle ne doit donc être définie explicitement que sous forme

d'équations de contrainte où elle reprend l'ensemble des 6 équations de contrainte présentées.

Puisqu'aucun mouvement ne lui est associé, elle n'engendre aucun degré de liberté caché ni

effort interne. La liaison identification peut être utile dans certains cas comme la modélisation

d'une poutre flexible au moyen de plusieurs éléments poutres flexibles successifs, dont

certains se retrouveraient dans des chaînes cinématiques distinctes.

C1 C2 C3

C5

C6

L1 L2 L3

L4 L5 L6

L8

C4

L7


V.4 Les fondements du préprocesseur.

Le rôle du préprocesseur, interface entre l'utilisateur et le programme de calcul, est de

construire les chaînes cinématiques et de décider des liaisons à traiter sous forme d'équations

de contrainte, à partir d'une description du système en tant qu'un ensemble de corps et de

liaisons. Comme plusieurs solutions sont possibles, le préprocesseur devrait aussi choisir celle

conduisant au meilleur temps de calcul.

Imaginons pour fixer les idées que nous ayons affaire au système illustré à la figure V.2,

comportant 6 corps et 8 liaisons cinématiques. L'objectif pour le préprocesseur est d'intégrer

tous les corps et un certain nombre de liaisons dans des chaînes cinématiques, les liaisons

restantes étant destinées à être traitées sous forme d'équations de contrainte. On voit aisément

que plusieurs solutions sont possibles : on pourrait en effet traiter de façon externe les liaisons

L5 et L7 mais aussi les liaisons L4 et L5 ou encore les liaisons L6 et L7.

Fig V.2 Exemple de topologie de système multicorps.

Pour construire les chaînes cinématiques, on peut suivre le simple algorithme suivant :

1) on définit une chaîne cinématique indépendante au départ de chaque corps en liaison

avec le bâti; s'il existe plusieurs liaisons entre le corps et le bâti, on choisit celle

comportant le moins de degrés de liberté;

2) parmi les liaisons restantes, on repère celles reliant un corps encore libre et un corps

déjà inclus dans une chaîne cinématique et on y inclut celle pour laquelle la chaîne

cinématique qui en résulte demande un temps de calcul minimal, celui-ci étant estimé

au moyen d'un critère que nous allons préciser par la suite;

C1 C2 C3

C5

C6

L1 L2 L3

L4 L5 L6

L8

C4

L7

Chaîne I

Chaîne II

Chaîne III


3) on retourne au point 2 jusqu'à ce que tous les corps soient inclus dans les chaînes

cinématiques;

4) toutes les liaisons n'ayant pas été prises en compte dans les chaînes cinématiques sont

traitées sous forme d'équations de contrainte.

Sur notre exemple, on aura donc au départ trois chaînes cinématiques associées aux

corps C1, C2 et C3. A l'étape suivante, on devra faire le choix entre les liaisons L4, L5 et L6.

L'application complète de l'algorithme peut conduire par exemple à la topologie illustrée à la

figure V.3, où on a coupé les liaisons L5 et L7.

Fig V.3 Chaînes cinématiques obtenues.

Revenons maintenant au problème du temps de calcul lié à une chaîne. En ce qui

concerne le résidu, il est sûr que mettre un corps dans l'une ou l'autre chaîne n'a pas

d'influence sur le temps de calcul global puisque celui-ci n'est lié qu'au nombre total

d'éléments. Il n'en est pas de même pour le calcul de la matrice d'itération qui est en fait lié

au temps de calcul du résidu pour la chaîne (c'est-à-dire le temps pour les deux récurrences

et le calcul proprement dit des résidus) multiplié par le nombre de degrés de liberté pour la

chaîne. C'est donc tout simplement cette dernière estimation que l'on prendra pour choisir dans

quel ordre on va intégrer les liaisons dans les chaînes cinématiques. Dans le cas où le bloc

cinématique dans lequel on va intégrer une liaison et le corps correspondant comprend déjà

des arborescences, la chaîne cinématique considérée est celle qui reprend tous les éléments

entre le corps en question et le bâti. Un tel algorithme n'est pas complètement optimisé mais

on imagine facilement que cette façon de faire conduira, en ce qui concerne le nombre

d'éléments, à un certain équilibre des chaînes, ce qui devrait correspondre à un temps de calcul

pratiquement optimal.


Il nous semble utile de faire la remarque suivante au sujet des corps flexibles : au

moment où on définit le système sous forme de corps et de liaisons, on ne connaît pas encore

lequel sera, parmi les repères liés à un corps flexible, le repère de référence. Il faudra donc

attendre la première analyse du préprocesseur avant de générer les modes composants ou

imposer à l'avance le repère de référence, le préprocesseur adaptant sa stratégie en

conséquence. Il convient tout de même de signaler que les modes les plus souvent envisagés

peuvent être calculés aisément quel que soit le repère de référence considéré.

V.5 Quelques exemples.

V.5.1 Introduction.

Les exemples présentés auront deux objectifs : valider l'approche générale que nous

proposons et mettre en évidence la gain apporté par les optimisations développées au cours

du chapitre II.

Le premier exemple consistera en une poutre console soumise à un mouvement imposé

de rotation. Il nous permettra en premier lieu d'illustrer le fameux problème du raidissement

géométrique. Dans une deuxième temps, nous le mettrons à profit pour essayer d'estimer où

nous nous situons vis-à-vis de la formulation O(N).

Nous envisagerons alors un premier système fermé sous la forme du classique

mécanisme à quatre barres pour lequel le résultat de nos différentes optimisations seront

présentés.

Nous terminerons sur un exemple plus complexe illustrant la généralité de l'approche

présentée. Le système en question est une marche de tram, dont la structure comporte

plusieurs boucles cinématiques. Le gain apporté par les optimisations est dans ce cas

particulièrement convaincant.

V.5.2 Poutre console en rotation.

La poutre console représentée à la figure V.4 constitue l'exemple de référence pour la

majorité des publications traitant du raidissement géométrique ([MEIJ 93], [MELZ 93],

[SHAR 92], [SHAR 94]).

Le système est constitué d'une poutre flexible, encastrée sur un arbre supposé rigide et

que l'on soumet à un mouvement de rotation autour d'un axe perpendiculaire à la poutre. Il

(t)'T@(

t 2

2%

T 2

4 2(cos

2 t

T&1)) si t#T

(t)' (t&T

2) si t>T


(V.2)

s'agit d'un cas plan et les caractéristiques de la poutre que nous considérons ici sont les

suivantes :

Longueur : 10 m Masse volumique : 3000 kg/m3

Module d'Young : 7E10 N/m Section : 4E-4 m2 2

Coefficient de Poisson : 0.3 Moment d'inertie de la section : 2E-7 m4

Fig V.4 Schéma de la poutre étudiée.

Pour la simulation, on impose à l'axe de rotation un mouvement défini par :

ce qui correspond à amener la poutre, à partir du repos, à une vitesse de rotation égale

à en un temps T. Afin de pouvoir nous comparer à certains résultats de la littérature, nous

prendrons =6 rad/s et T=15 s.

Sur cet exemple, l'effet du raidissement géométrique se manifeste par deux

phénomènes :

- le raidissement en flexion de la poutre, provenant de la contrainte axiale engendrée elle-

même par les efforts centrifuges;

- un déplacement longitudinal de la poutre vers l'axe de rotation (ou "foreshortening") dû

au couplage qui apparaît entre la déformation de flexion et le déplacement axial quand

les déformations s'amplifient.

Ces deux phénomènes peuvent être pris en compte de deux façons :

- on modélise la poutre à partir d'une chaîne cinématique constituée de plusieurs éléments

de poutre successifs, ce qui conduit à un modèle géométriquement non linéaire;

- on essaie d'inclure directement les effets non linéaires par l'intermédiaire des termes de


réaction élastique que l'on trouve dans les équations d'équilibre relatives aux paramètres

cinématiques de l'élément de poutre (cf. annexe B).

Même si on envisage la deuxième solution, il est clair qu'on peut toujours modéliser la

poutre comme la succession de plusieurs éléments. La différence entre les deux approches se

manifestera par le nombre d'éléments de poutre nécessaires pour assurer la convergence, c'est-

à-dire le nombre d'éléments au-delà duquel un affinement du modèle ne modifie plus

significativement la réponse. L'objectif reste bien entendu de déterminer le modèle qui apporte

un résultat correct avec un temps de calcul minimal.

La figure V.5 reprend les résultats de la solution obtenue après convergence pour le

déplacement latéral et le déplacement longitudinal de l'extrémité de la poutre, exprimés

conformément à la convention illustrée à la figure V.4.

Fig V.5 Déplacements élastiques de l'extrémité.

On constate que les deux courbes passent par un minimum, correspondant à

l'accélération maximale de rotation et les diagrammes de la figure V.6 reprennent, pour

chacun des modèles adoptés, la valeur minimale sur chacun des déplacements en fonction du

nombre d'éléments utilisés. Remarquons d'emblée que les valeurs convergées correspondent

parfaitement aux résultats que l'on trouve dans la littérature([SHAR 92], [SHAR 94], [MEIJ

93]). Pour le modèle I, on utilise une matrice de rigidité linéaire classique, en se reposant sur

le nombre d'éléments pour représenter les effets non linéaires. Les modèles II et III

introduisent, quant à eux, dans la réaction élastique de la poutre, une correction de

raidissement géométrique mais avec une expression de la contrainte axiale basée sur les

déformations pour le modèle II et sur les forces extérieures pour le modèle III (cf. annexe B).


On constate que le modèle I conduit à une convergence très lente puisque même avec

8 éléments, la solution n'est pas encore stabilisée. Certes, la réponse en flexion avec un seul

élément paraît satisfaisante mais les mauvais résultats obtenus avec deux éléments indiquent

que cela ne peut être dû qu'à une compensation heureuse de différentes erreurs. On constate

pour les deux autres modèles une convergence plus rapide et surtout pour le modèle III qui

permet d'atteindre une erreur inférieure au % avec seulement deux éléments. Cela était attendu

puisque les forces extérieures donnent une répartition plus réaliste des contraintes axiales dans

la poutre.

Ce simple exemple montre l'importance du raidissement géométrique en simulation de

systèmes multicorps. En ce qui concerne les poutres, nous avons vu que la modélisation à

partir d'une succession (au sens d'une chaîne cinématique) de plusieurs éléments permettait

effectivement de mettre en évidence les effets du raidissement géométrique. Toutefois, il

apparaît plus judicieux d'introduire une correction au sein même de l'élément. En effet, les

termes ajoutés restent simples et la simulation avec deux éléments et le modèle III a réclamé

six fois moins de temps de calcul que celle avec huit éléments et le modèle I, pour un résultat

équivalent.

Fig V.6 Convergence des différents modèles en fonction du nombre d'éléments.

Nous pourrions en rester là avec la poutre console mais nous allons continuer à

l'exploiter pour essayer de nous situer vis-à-vis de la formulation O(N). Pour cela, nous avons

mesuré le temps de calcul nécessaire à la simulation de notre poutre console en fonction du

nombre d'éléments utilisés et donc de degrés de liberté. Nous savons que la loi du temps de

calcul en fonction du nombre de degrés de liberté est une loi en O(N ) et le meilleur polynôme3

t(N)'4.855N%O.144N 2%0.00259N 3


(V.3)

de degré 3 correspondant aux mesures effectuées est le suivant :

Une remarque s'impose d'emblée quant à ce polynôme : les termes en N et en N sont2 3

moins importants vis-à-vis du terme linéaire que pour ce qu'on trouve habituellement dans la

littérature ([ANDE 93]). Ceci s'explique par les optimisations que nous avons développées

pour l'écriture et l'inversion de la matrice d'itération mais aussi par le fait que nous travaillons

directement avec une méthode d'intégration du deuxième ordre. En effet, le terme en N3

présent dans le polynôme provient exclusivement de la phase d'inversion de la matrice

d'itération. Comme la dimension de la matrice d'itération est réduite de moitié avec un schéma

du deuxième ordre, le temps d'inversion est quant à lui réduit d'un facteur 8.

Pour estimer d'autre part le temps de calcul qu'aurait mis la formulation O(N), nous

avons mis à profit le fait que les récurrences de cette formulation sont censées réclamer

cinq fois le temps de calcul nécessaire aux récurrences de Newton-Euler ([EICH 93]). Le

temps nécessaire pour effectuer un pas avec la formulation O(N) sera donc supposé

correspondre à celui demandé pour l'ensemble des opérations suivantes :

- cinq calculs des résidus par Newton-Euler;

- le calcul des formules d'intégration explicites;

- un certain nombre d'opérations inhérentes au processus de simulation comme la

sauvegarde, l'affichage...

Fig V.7 Comparaison des formulations résiduelle et O(N).

t(N)'2.5N


(V.4)

Conformément aux contextes habituels des deux formulations, nous utilisons un schéma

implicite dans notre cas et un schéma explicite pour l'O(N). Pour rendre les choses

comparables, les formules d'intégration sont dans chaque cas du deuxième ordre et

correspondent simplement au schéma de Newmark, les coefficients et étant égaux

à zéro dans le cas des formules explicites. Avec ces hypothèses, le polynôme estimant le

temps de calcul nécessaire à la formulation O(N) pour mener à bien la même simulation que

précédemment et avec le même pas de temps, en fonction du nombre de degrés de liberté, est

le suivant :

et on s'aperçoit que l'O(N) est toujours plus rapide dans ce cas, ce qui est normal puisque l'on

compare une méthode implicite avec une méthode explicite.

Or, nous avons signalé au début du chapitre II que, dans le cas de systèmes "stiff",

comme les systèmes multicorps flexibles, on ne peut obtenir des résultats satisfaisants avec

un schéma explicite que pour des pas de temps beaucoup plus petits que ceux utilisés avec une

méthode d'intégration implicite. La figure V.7 reprend l'évolution des temps de calcul mais

en considérant aussi les cas où le pas de temps utilisé est 10 ou 30 fois plus petit pour la

méthode explicite. Cette fois, on doit remarquer que la formulation O(N) ne devient meilleure

qu'après respectivement 65 et 140 degrés de liberté. Pourtant, la figure II.1 montre que cette

situation est loin d'être exagérée et que même un facteur 100 est loin d'être improbable. On

en déduit que la formulation que nous proposons reste une alternative tout à fait compétitive

pour les systèmes flexibles et cela d'autant plus que la valeur limite considérée est une valeur

par chaîne cinématique et non pas pour le système complet.

V.5.3 Mécanisme à quatre barres.

Le mécanisme à quatre barres est un système qui sert souvent de référence dans la

littérature, sans doute parce qu'il constitue un des plus simples systèmes fermés que l'on peut

imaginer.

Les caractéristiques dimensionnelles de celui que nous étudions sont illustrées sur la

figure V.8. Chaque membrure est une poutre dont les caractéristiques sont les suivantes :

Masse volumique : 7600 kg/m Section : 1.631E-4 m3 2

Module d'Young: 2.1E11 N/m Moment d'inertie Iz : 8.658E-9 m2 4

Coefficient de Poisson : 0.3

Le système a été étudié en flexible et en rigide, les modèles cinématiques correspondants

127 mm 127 mm

C


étant illustrés à la figure V.9. Dans les deux cas, le modèle est composé de deux chaînes, la

liaison rotoïde restante étant traitée sous forme d'équations de contrainte.

Fig V.8 Mécanisme à quatre barres.

Dans le cas flexible, chaque membrure a été modélisée par deux éléments consécutifs

de poutre si bien que, la planéité n'étant pas prise en compte, on recense 39 degrés de liberté

(6 éléments de poutre à 6 degrés de liberté et 3 articulations rotoïdes à un degré de liberté) et

5 équations de contrainte, soit un total de 44 équations.

Fig V.9 Modèle du mécanisme à quatre barres.

A partir d'une configuration initiale correspondant à celle de la figure V.8, on applique

un couple moteur à la manivelle gauche dont l'évolution est aussi représentée sur la figure.

L'intégration a été réalisée sur 0.1 s avec un pas constant de 0.2 ms.


Fig V.10 Evolution de l'angle de rotation de la manivelle.

Les figures V.10 à V.12 reprennent respectivement les valeur, vitesse et accélération de

l'angle de la manivelle, tant en rigide qu'en flexible. On voit clairement sur les courbes

de vitesse et d'accélération les vibrations qui apparaissent dans le cas flexible. Il est aussi

important de remarquer que la valeur finale de l'angle est différente, ce qui montre bien que

les flexibilités ont une influence sur le comportement global du système et ne peuvent donc

être calculées par simple superposition par rapport à un mouvement rigide supposé connu.

Fig V.11 Evolution de la vitesse de rotation de la manivelle.


Fig V.12 Evolution de l'accélération de rotation de la manivelle.

Enfin, la courbe reprise à la figure V.13 représente l'évolution de la flèche de l'extrémité

de la manivelle par rapport à un repère qui serait encastré sur la poutre au niveau de

l'articulation motrice. Comme on pouvait s'en douter, celle-ci est essentiellement dépendante

du couple moteur à l'articulation.

Fig V.13 Evolution de la flèche de la manivelle.

Il nous reste maintenant à parler du gain apporté par les optimisations. Il s'agit de

comparer les temps de calcul nécessaires pour effectuer la simulation selon les algorithmes

qu'on utilise pour calculer et inverser la matrice d'itération. En ce qui concerne la construction,


on retient trois algorithmes :

Jac1 : algorithme complètement optimisé tel que nous l'avons présenté au point III.7.2;

Jac2 : algorithme partiellement optimisé en ce sens qu'on ne tient pas compte des

prédécesseurs et successeurs mais que d'une part on ne recalcule pas les positions

pendant la dérivation numérique et que d'autre part, on n'effectue que la

propagation descendante des efforts lors du calcul de la matrice jacobienne des

contraintes;

Jac3 : algorithme dans lequel les récurrences ascendante et descendante ainsi que le

calcul lui-même des résidus sont réalisés complètement à chaque incrémentation.

Remarquons que dans chaque algorithme, la matrice jacobienne des contraintes n'est

calculée qu'une seule fois, par dérivation numérique sur les résidus par rapport aux

multiplicateurs de Lagrange. Un algorithme tout à fait général aurait pu la calculer une

deuxième fois par dérivation des contraintes par rapport aux positions.

En ce qui concerne l'inversion, on envisage deux algorithmes :

Gausspt : inversion par l'élimination de Gauss avec pivot total;

GaussMBS : Inversion à l'aide de l'algorithme particulier présenté au point IV.7.

Le tableau V.7 reprend les temps requis pour la simulation du mécanisme à quatre barres

en fonction des différentes combinaisons possibles d'algorithmes. Il ne s'agit pas de temps

absolus mais du rapport constaté par rapport à la combinaison la plus rapide, c'est-à dire celle

obtenue par Jac1-GaussMBS.

Jac3 Jac2 Jac1

Gausspt 2,6 1,9 1,5

GaussMBS 2,1 1,4 1

Tableau V.7 Comparaison des différents algorithmes pour le mécanisme à quatre

barres.

Les résultats obtenus peuvent paraître décevants par rapport à ce que nous avions

annoncé mais il faut se rendre compte que le gain porte seulement sur la construction et

l'inversion de la matrice d'itération. Or, celle-ci n'est calculée (et donc inversée) que si la

convergence n'est pas atteinte suffisamment rapidement, ce qui n'arrive en moyenne que toutes

les cinq à six itérations. De plus, toute une série d'opérations, comme les entrées-sorties sont

incompressibles d'une simulation à l'autre. On constate néanmoins presque un facteur 3 entre


l'implémentation triviale et le calcul optimisé, ce qui est loin d'être négligeable pour un

système qui n'a finalement qu'une seule boucle cinématique.

V.5.4 Marche de tram.

Nous allons maintenant nous intéresser à une application plus complexe, illustrée à la

figure V.14, correspondant à un mécanisme utilisé pour sortir le marchepied d'un tram à

plancher bas.

Fig V.14 Illustration du mécanisme de sortie de marche.

Fig V.15 Modèle du mécanisme.

L'ensemble est mis en mouvement par un vérin hydraulique central mettant en rotation

un arbre qui à son tour, par un système bielle-manivelle, permet de soulever la marche elle-

même qui, avec ses 40 kg, contient la presque totalité de la masse du système. En position


finale, les manivelles sont en "over-center", assurant ainsi l'équilibre du mécanisme.

Fig 16 Loi de sortie de tige du vérin.

On a étudié le mécanisme en flexible et en rigide. Le modèle cinématique correspondant

au cas flexible est illustré à la figure V.15. Il est constitué en tout de 7 chaînes cinématiques

et cinq liaisons sont traitées sous forme d'équations de contrainte. Afin de ne pas alourdir la

présentation, les quelques éléments TRROT nécessaires, notamment entre deux poutres

d'orientations différentes, n'ont pas été représentés dans les chaînes.

Fig V.17 Evolution de l'angle de rotation de l'arbre.

On remarquera au début de certaines chaînes la succession de trois articulations rotoïdes

matérialisant une liaison sphérique. On recense pour le modèle flexible 79 degrés de liberté,

auxquels il faut ajouter 21 équations de contrainte, pour aboutir à un système total de 100


équations algébro-différentielles.

Fig V.18 Evolution de la vitesse de rotation de l'arbre.

On a simulé la sortie de la marche, tant en rigide qu'en flexible, en imposant la loi de

sortie de vérin reprise à la figure V.16. Les équations ont été intégrées sur 0,7 s avec un pas

constant de 3,5 ms.

Fig V.19 Evolution de l'angle de rotation de la marche.

On reprend aux figures V.17 à V.20 quelques résultats caractéristiques. On voit

clairement sur les différentes courbes et en particulier sur les courbes de vitesse la vibration

qui apparaît dans le cas flexible. On peut également observer, au début de la sollicitation, le

retard dû aux flexibilités. Remarquons encore la valeur initiale plus élevée de l'angle de

rotation de la marche à cause de la déformation initiale du mécanisme, due à la gravité.


Fig V.20 Evolution de la vitesse de rotation de la marche.

Enfin, la figure V.21 donne l'évolution de l'effort effectif fourni par le vérin hydraulique.

Il convient de noter que la valeur maximale est inférieure dans le cas flexible, ce qui est

logique puisque la flexibilité ne permet pas d'entraîner aussi brusquement l'ensemble du

système. Par contre, la vibration qui apparaît dans le cas flexible entraîne pendant un court

instant une valeur négative de cet effort.

Fig V.21 Evolution de la force développée par le vérin.

En ce qui concerne le résultat des optimisations, on reprend au tableau V.8 les temps

requis pour la simulation en fonction des différentes combinaisons des algorithmes explicités

lors de l'exemple précédent. De nouveau, les temps ont été rapportés à la combinaison la plus


rapide. Signalons que, malgré la complexité du mécanisme, la simulation a été effectuée en

moins de 5 minutes sur un PC équipé d'un microprocesseur 80486-33. Pour cet exemple, le

gain apporté par les optimisations est de loin plus considérable. On constate presque un

facteur 8 entre les deux extrêmes. On remarquera aussi sur cet exemple que le bénéfice

apporté par l'algorithme optimal d'inversion est beaucoup plus appréciable. Ceci est

essentiellement dû à la taille plus importante du système, le temps de calcul pour l'inversion

restant, ne l'oublions pas, proportionnel au cube du nombre de degrés de liberté.

Jac3 Jac2 Jac1

Gausspt 7,7 5,7 4,5

GaussMBS 4,6 2,5 1

Tableau V.8 Comparaison des différents algorithmes pour la marche de tram.

V.6 Conclusion.

Les différents principes évoqués dans les chapitres précédents ont été implémentés dans

un logiciel mettant en oeuvre un éventail d'éléments cinétostatiques illustrant la généralité

apportée par une telle approche. On a montré comment les liaisons classiques pouvaient être

introduites soit dans les chaînes cinématiques en tant qu'une succession d'articulations

simples, soit sous forme d'une partition d'un ensemble bien précis d'équations de contrainte.

Comme le système apparaît à l'utilisateur comme un ensemble de corps et de liaisons, nous

avons posé les fondements d'un préprocesseur, interface entre l'utilisateur et le programme de

calcul, chargé de construire les chaînes cinématiques et de sélectionner les liaisons à traiter

sous forme d'équations de contrainte, dans le but d'aboutir à la solution la plus performante

du point de vue temps de calcul.

On a pu, grâce à trois exemples, illustrer à la fois la philosophie de l'approche proposée

et les améliorations apportées par les différentes optimisations relatives à la construction et

l'inversion de la matrice d'itération. On a mis à profit un exemple pour illustrer le phénomène

du raidissement géométrique et essayer de nous situer par rapport à la formulation O(N).

Chapitre VI : La synthèse par modes composants en systèmes multicorps 111

Chapitre VI : La synthèse par modes composants

en systèmes multicorps.

VI.1 Introduction.

Nous avons convenu au chapitre II que la déformation des corps flexibles serait

modélisée en tant que la somme pondérée d'un certain nombre de déformées préalablement

choisies et appelées modes composants. Cette technique, dénommée synthèse par modes

composants ou sous-structuration, présente une grande souplesse et est d'ailleurs généralement

utilisée en simulation de systèmes multicorps flexibles (PEIR 93a], [PEIR 93b], [SCHI 93a]).

D'autre part, l'alternative présentée par une approche basée sur les éléments finis n'en est qu'un

cas particulier, et les modes composants eux-mêmes sont en pratique calculés à partir d'un

modèle aux éléments finis, ceux-ci permettant par leur généralité de reconstituer facilement

n'importe quel type de corps.

L'objectif de ce chapitre sera d'analyser la mise en oeuvre de cette méthode dans le

contexte qui nous intéresse. D'abord, nous montrerons comment les concepts développés en

analyse modale, où la synthèse par modes composants trouve son origine, peuvent s'appliquer

à la modélisation des systèmes multicorps flexibles. Nous présenterons brièvement les

différents types de modes susceptibles d'être utilisés après quoi nous insisterons plus

particulièrement sur deux réductions particulières, celles de Craig-Bampton et MacNeal-

Rubin qui ont depuis longtemps fait leurs preuves, tant pratiquement que théoriquement. Nous

aborderons ensuite la sous-structuration sous l'angle des méthodes de Rayleigh-Ritz car celles-

ci introduisent au niveau des conditions aux limites des notions qui se révèlent utiles pour

juger de la qualité d'une base de modes. Enfin, nous terminerons sur l'interfaçage entre le

logiciel d'éléments finis utilisé pour modéliser le corps flexible et le programme de simulation

de systèmes multicorps, avec un accent particulier sur les méthodes à employer pour calculer

les différents invariants relatifs au corps flexible.

VI.2 La sous-structuration et les systèmes multicorps.

C'est en analyse modale que la sous-structuration dynamique trouve son origine. L'idée

de base en est relativement simple : si on peut distinguer sur une structure complexe un certain

nombre de sous-ensembles faiblement couplés, c'est-à-dire reliés entre eux en un nombre

limité de points, pourquoi ne pas essayer de rechercher les caractéristiques modales de la

structure à partir de celles de chacun des sous-ensembles ? Il est en effet très intéressant de

pouvoir étudier séparément ces différents sous-ensembles, de façon à en retirer les

Structure complète

Structure éclatée

Structure réassemblée

=frontières


caractéristiques principales et d'utiliser celles-ci pour analyser la structure complète. Plutôt

que d'avoir un seul grand système dont la dimension pourrait d'ailleurs s'avérer prohibitive,

on traite plusieurs petits systèmes qui, une fois débarrassés des informations inutiles pour

l'étude complète, sont réinjectés dans le système global dont la taille finale est ainsi largement

réduite, avec pour intérêt évident un gain considérable en temps de calcul.

Fig VI.1 Principe de la synthèse modale.

En fait, la méthode consiste à rechercher des systèmes simplifiés équivalents en

exploitant le fait que les sous-ensembles ne sont connectés les uns aux autres que par quelques

zones particulières, appelées interfaces ou frontières. Les caractéristiques essentielles de

chaque sous-structure sont finalement rassemblées sous forme d'un nombre limité de modes

de déformation qui sont supposés être représentatifs du comportement de la sous-structure,

une fois intégrée dans la structure complète.

L'application à l'analyse des systèmes multicorps est immédiate. Chaque corps constitue

une sous-structure, reliée aux autres par l'intermédiaire de liaisons cinématiques, définies entre

des repères attachés aux corps en des points qui constitueront les interfaces (cf. figure VI.2).

Cette application particulière met d'ailleurs en évidence les fondements de la synthèse

modale : les modes composants choisis doivent être capables de représenter la déformation

susceptible d'être subie par le corps sachant qu'il ne peut être mis en mouvement que par

l'intermédiaire de ses liaisons.

Même si les principes sont identiques à ceux rencontrés en analyse des structures,

l'application de la synthèse par modes composants à la simulation des systèmes multicorps


présente quelques spécificités, provenant notamment de l'expression des déformations par

rapport à un repère de référence lié au corps. Ces spécificités seront signalées et développées

au passage, tout au long de l'exposé.

Fig VI.2 Application de la synthèse modale aux systèmes multicorps.

VI.3 Les différents types de modes.

L'objectif principal de la sous-structuration est de réduire la taille du système final à

résoudre. Cette réduction ne doit cependant pas se passer au détriment de la précision, si bien

que le nombre de modes retenus repose sur un compromis entre la rapidité de calcul et la

qualité des résultats obtenus. Les différentes méthodes qui ont été et sont encore développées

ont ainsi toujours eu pour but de parvenir à une convergence aussi rapide que possible, c'est-à-

dire un nombre minimal de modes pour le seuil de précision désiré.

Comme on peut s'en douter, les premiers modes utilisés ont été les modes propres de

vibration de chacune des sous-structures. Les diverses approches se distinguent alors selon

les conditions aux limites choisies pour calculer ces modes. Le cas le plus général consiste à

imposer sur les interfaces certaines conditions de raideur et d'inertie qui, le plus souvent, sont

censées correspondre à celles engendrées par les sous-structures adjacentes. On parle alors de

modes de vibration avec interfaces chargées, leur utilisation ayant été proposée par Benfield

et Hruda en 1971. Les cas extrêmes de cette réduction conduisent aux modes de vibration avec

interfaces libres ou interfaces fixes.

La réduction de Benfield-Hruda permet d'obtenir de bons résultats et est encore parfois

utilisée à l'heure actuelle. Cependant, il est nécessaire de prendre un grand nombre de modes

quand on doit représenter des effets de déformation locale dus aux charges transmises aux

interfaces. La synthèse modale perd alors tout son intérêt. Pour améliorer la précision des


modèles tout en diminuant le nombre de modes nécessaire, on a pensé à introduire, pour

compléter les modes de vibration, des modes de déformation statiques correspondant à la

déformée de la sous-structure pour différents cas de charge et d'appui sur les interfaces. Parmi

les différentes combinaisons possibles, les réductions de Craig-Bampton ([CRAI 68]) et

MacNeal-Rubin (MACN 71, RUBI 75) sur lesquelles nous reviendrons, se distinguent par le

large domaine d'applications qu'elles ont couvertes.

On trouve encore dans la littérature de nombreuses variantes de réduction. Citons

notamment les modes de Ritz, calculés itérativement à partir d'un mode initial arbitraire qui

est souvent un mode statique ([YEH 90], [ABDA 90]). Le calcul itératif fait intervenir les

matrices de masse et de rigidité et les modes obtenus ont la propriété d'être orthogonaux vis-à-

vis de la matrice masse.

Enfin, il convient de distinguer une autre école dont la tête de proue est sans aucun

doute le professeur Meirovitch (MEIR 91]). L'approche s'inscrit dans le cadre des méthodes

de Rayleigh-Ritz qui, rappelons-le, s'intéressent directement aux équations aux dérivées

partielles relatives au système étudié. Elles consistent à approcher les fonctions propres du

système par une combinaison de fonctions dont la seule contrainte est d'être cinématiquement

admissibles, c'est-à-dire de respecter les conditions aux limites géométriques. Meirovitch

insiste beaucoup quant à lui sur l'importance des conditions aux limites dynamiques qui ne

sont pas nécessaires pour assurer la convergence mais permettent de l'améliorer

considérablement. Si l'approche proposée par Meirovitch est séduisante, elle est très sujette

à l'intuition de celui qui la met en oeuvre et semble peu applicable de façon systématique dans

un contexte industriel.

C'est pourquoi nous nous limiterons ici aux deux bases de Craig-Bampton et MacNeal-

Rubin qui ont le grand avantage d'être systématiques. Elles peuvent aussi être obtenues

aisément sur n'importe quel logiciel d'éléments finis et sur n'importe quelle structure, quelle

que soit sa complexité. De plus, l'efficacité de ces bases a été démontrée théoriquement et a

pu être vérifiée en pratique.

VI.4 Les réductions classiques.

VI.4.1 Partition des degrés de liberté.

En pratique, la synthèse modale nécessite l'analyse du corps flexible par la méthode des

éléments finis. Nous envisagerons donc le corps directement par l'intermédiaire de son modèle

aux éléments finis.

Pour expliquer plus aisément les calculs qui vont suivre, il est utile de définir des

MII

MIF

MFI

MFF

@q

I

qF

%

KII

KIF

KFI

KFF

@q

I

qF

'

fI

fF

fI'0

i'

i

0

M K

qI

qF

fI

fF

i

i


(VI.1)

(VI.2)

(VI.3)

partitions sur l'ensemble des coordonnées nodales du modèle aux éléments finis du corps :

- une partition F reprenant tous les degrés de liberté de frontière, relatifs aux noeuds où

sont localisés les repères liés aux articulations;

- une partition I, complément de F reprenant tous les autres degrés de liberté que nous

qualifierons d'intérieurs.

En réorganisant selon cette partition, les matrices et relatives au modèle

éléments finis, les équations d'équilibre dynamique de la sous-structure s'écrivent :

où et regroupent respectivement les degrés de liberté intérieurs et de

frontière alors que et sont les efforts extérieurs correspondants.

Notons que dans notre cas, on aura :

puisque seuls les noeuds de frontière sont chargés.

Les effets d'amortissement ont volontairement été écartés car ils sont souvent très

faibles. Ils ne sont donc pas considérés dans le cadre des méthodes de réduction elles-mêmes

mais sont bien entendu réintroduits lors de l'écriture des équations réduites.

VI.4.2 La réduction de Craig-Bampton.

La base de Craig-Bampton se compose de modes de vibration avec interfaces fixes et

de modes statiques contraints aux degrés de liberté de frontière.

Les modes normaux de vibration avec interfaces fixes sont de la forme :

où les vecteurs des déplacements intérieurs sont solution du problème aux valeurs

(KII&

2i M II

)@i'0

C'

C,I

IF

KII@

C,I%KIF@I

F'0

C'

&K&1II @K IF

IF

i

C

IF

C,I


(VI.4)

(VI.5)

(VI.6)

(VI.7)

propres :

étant la i pulsation propre avec interfaces fixes.ème

Quant aux modes statiques contraints, ils sont obtenus par une condensation statique aux

frontières, chacun des modes correspondant à la déformée obtenue quand on impose un

déplacement unitaire à un des degrés de liberté de frontière, tous les autres étant bloqués. En

séparant les degrés de liberté internes des degrés de liberté de frontière, la matrice des modes

statiques contraints , dont chaque colonne correspond à un mode, s'écrit :

étant une matrice unitaire dont la dimension est égale au nombre de degrés de

liberté de frontière.

Pour obtenir les contributions des degrés de liberté internes , on exploite le fait

que les efforts extérieurs associés sont nuls, soit :

ce qui conduit naturellement à l'expression suivante des modes statiques contraints :

La réduction complète de Craig-Bampton se compose finalement des modes statiques

contraints et d'un nombre limité des premiers modes de vibration avec interfaces fixes. Si on

ne retient aucun mode de vibration, on se retrouve dans le cas de la condensation statique de

Guyan-Irons ([GUYA 65]).

Le grand avantage de la réduction de Craig-Bampton est qu'elle est très bien

conditionnée du point de vue cinématique. D'une part, les coefficients de pondération associés

aux modes statiques contraints correspondent directement aux déplacements des noeuds de

frontière. D'autre part, les coefficients de pondération associés aux modes de vibration

n'introduisent quant à eux aucun déplacement des interfaces et n'ont, du point de vue

cinématique, aucune relation avec le monde extérieur. Les matrices réduites de masse et de

raideur d'une sous-structure synthétisée par une telle réduction peuvent donc être assemblées

au reste de la structure comme un élément ordinaire. C'est pourquoi on parle aussi de

superélément.

qF'Z

(

FF( 2)@ fF

(K&2i M)@

i'0

T

i@M@

i'1

T

i@K@

i'

2i

G'AT@K&1iso@A

Z(

FF( 2)

i

i i

ui

xi

G

K

Kiso

G


(VI.8)

(VI.9)

(VI.10)

(VI.11)

(VI.12)

L'efficacité de la réduction de Craig-Bampton a été vérifiée en pratique mais peut

trouver aussi une justification théorique. En effet, on y aboutit naturellement par

développement de l'expression de la matrice d'impédance réduite ([GERA 93a])

donnant, en fonction de la fréquence, les efforts appliqués aux interfaces pour un déplacement

harmonique forcé aux frontières :

VI.4.3 La réduction de MacNeal-Rubin.

Les premiers modes que l'on se propose de retenir dans cette réduction sont les modes

normaux de vibration en libre-libre, qui sont solution du problème au valeurs propres :

étant la pulsation propre associée au mode .

Les modes étant définis à un facteur près, nous supposerons ici qu'on les a ajustés de

façon à normaliser les masses modales. On a donc :

Parmi ces n modes, on distingue m modes rigides (avec m=6 dans la plupart des

cas) et n-m modes élastiques .

Comme le nombre de modes élastiques retenus sera limité à un certain nombre k, on va

essayer de tenir compte de l'effet des modes écartés par voie statique. La démarche

correspondante requiert d'abord le calcul de la matrice de flexibilité généralisée définie

comme une pseudo-inverse de la matrice de rigidité . En ajoutant des appuis temporaires

de façon à obtenir un système isostatique dont la matrice de rigidité est non singulière,

peut être déterminée par :

A'I&'m

i'1u

i@u T

i@M

Gr'G&'

k

i'1

xi@xT

i

2i

A

Gr


(VI.13)

(VI.14)

étant un opérateur destiné à filtrer les contributions des modes rigides, défini par :

L'étape suivante de la démarche consiste à calculer la matrice de flexibilité

résiduelle par :

matrice qui permet d'obtenir la contribution des modes de vibration négligés pour toute

sollicitation statique. Chacune de ses colonnes correspond à ce qu'on appelle un mode statique

résiduel, qui s'interprète physiquement comme ce qui manque aux modes de vibration pour

représenter exactement la déformée statique correspondante.

La base de MacNeal-Rubin se composera finalement des modes de vibration en libre-

libre et des modes statiques résiduels correspondant aux degrés de liberté de frontière. Les

coefficients de pondération associés aux modes de cette base n'ont plus de signification

particulière. Il est cependant possible de réorganiser la base de modes de façon à retrouver les

avantages de la base de Craig-Bampton quant à l'intégration de la sous-structure à la structure

complète (cf. [GERA 93a]).

Si la réduction de Craig-Bampton est liée à la matrice d'impédance, la réduction de

MacNeal-Rubin est celle à laquelle on aboutit quand on développe son inverse, la matrice

d'admittance réduite.

VI.4.4 L'application de ces réductions à notre contexte.

VI.4.4.1 Le problème du repère de référence.

L'utilisation du repère de référence implique que tous les modes considérés soient

encastrés sur celui-ci. Cela n'induit pourtant aucune limitation au niveau des conditions aux

limites mais simplement imaginer que le repère de référence reste accroché invariablement

au corps, même lors du calcul des modes composants.

La figure VI.3, se rapportant à une poutre, montre ainsi un exemple de mode de

vibration en libre-libre qui est pourtant bien encastré sur le repère de référence qui le suit dans

son mouvement et par rapport auquel on exprimera la déformée obtenue. Une fois dans le

contexte cinématique des systèmes multicorps, c'est le mouvement propre du repère de

référence qui permettra de représenter le mode original.


Fig VI.3 Mouvement du repère de référence.

Dans le contexte de la sous-structuration dynamique, on peut dire que le mouvement

propre du repère de référence apporte une contribution équivalente aux 6 modes rigides.

VI.4.4.2 Conséquences pour la réduction de Craig-Bampton.

Les modes de vibration ne posent aucun problème puisqu'ils sont naturellement

encastrés sur le repère de référence. En ce qui concerne les modes statiques, il a été démontré

([CRAIG 68]) que l'ensemble des modes statiques contraints permettait de reconstituer les

modes de corps rigide. On en déduit qu'on obtient un résultat équivalent si on remplace les 6

modes statiques contraints relatifs à un noeud par 6 modes rigides. Comme le mouvement

propre du repère de référence correspond aux modes rigides, la base de Craig-Bampton

comprendra finalement dans notre cas :

- un nombre limité de modes de vibration avec interfaces fixes;

- les modes statiques contraints desquels on aura retiré ceux correspondant aux degrés

de liberté de frontière liés au repère de référence.

VI.4.4.3 Conséquences pour la réduction de MacNeal-Rubin.

Nous avons vu que la base de MacNeal-Rubin est construite de façon à représenter de

façon exacte n'importe quelle déformée résultant d'une sollicitation statique sur les interfaces.

Il s'en suit que remplacer l'ensemble des modes statiques résiduels par les modes statiques

contraints conduit à une base de modes équivalente. La définition des modes statiques

résiduels se résume simplement à un intermédiaire de calcul intéressant pour la démonstration

théorique des propriétés de la réduction de MacNeal-Rubin. On peut alors continuer le

raisonnement et retrancher à chaque mode de vibration une combinaison de modes statiques

contraints de façon à annuler leurs contributions aux frontières. Cela se révèle extrêmement

simple puisqu'un mode contraint n'agit que sur un degré de liberté de frontière à la fois. Si

))))'

))))

I

))))

F

'I

F

&C,I

IF

@F' &

C@

F

KII

KIF

KFI

KFF%K0

& ˇ 2i

MII

MIF

MFI

MFF%M0

@ ˇi'0

))))

C

ˇC

M0 K0


(VI.15)

(VI.16)

est la matrice dont les colonnes sont les modes de vibration, elle sera remplacée par la

matrice donnée par :

étant la matrice des modes contraints et les indices I et F se rapportant

respectivement aux degrés de liberté internes et de frontière.

On obtient en bout de course une base de modes composants, équivalente à la base

initiale puisqu'elle n'en est qu'une combinaison linéaire, mais qui présente maintenant les

mêmes avantages cinématiques que la base de Craig-Bampton. On pourrait d'ailleurs montrer

que le raisonnement que nous venons de suivre correspond tout simplement à la

réorganisation des modes que nous avons évoquée plus haut.

En conclusion, la base de MacNeal-Rubin appliquée dans notre contexte se composera :

- des modes statiques contraints auxquels on aura retiré ceux correspondant aux degrés

de liberté de frontière liés au repère de référence;

- des modes de vibration avec interfaces libres, non compris les modes rigides, auxquels

on aura retranché une combinaison de modes statiques de façon à annuler leurs

contributions aux interfaces.

VI.4.4.4 Généralisation.

Dans un cas comme dans l'autre, la base de modes finale sera constituée d'un certain

nombre de modes de vibration et de modes statiques contraints que nous regrouperons

respectivement dans les matrices et . Les modes de vibration sont issus de la

résolution d'un problème aux valeurs propres de la forme :

et représentant les chargements en inertie et en raideur imposés sur les

frontières. Si ces derniers sont égaux à zéro ou infinis, on retrouve respectivement les

réductions de MacNeal-Rubin et Craig-Bampton. Pour les autres cas, on parlera de réduction

modifiée de Benfield-Hruda en ce sens que cette dernière ne comprend normalement pas de

mode statique. Pour annuler la contribution des modes de vibration sur les frontières, il suffit

ˇ


de remplacer par dans la formule (VI.15).

Le fait de réorganiser les modes en une série de modes contraints associés chacun à un

degré de liberté de frontière et une autre série de modes internes est lié dans le domaine des

systèmes multicorps à d'autres considérations que la facilité d'assemblage. Certes, le fait que

le coefficient de pondération associé à chaque mode contraint corresponde directement au

déplacement d'un noeud dans une direction déterminée est intéressant au point de vue

cinématique mais le plus important est de limiter au minimum le nombre de modes ayant une

influence directe sur le mouvement des autres composants du système, et cela d'autant plus

que nous travaillons dans le cadre d'une approche en coordonnées relatives. Ainsi, les modes

de vibration tels que nous proposons de les réorganiser ne provoquent aucun déplacement de

frontière et les coefficients de pondération correspondants n'entrent donc pas à part entière

dans les degrés de liberté de la chaîne cinématique. Ils restent évidemment couplés aux autres

éléments de la chaîne cinématique par voie dynamique.

C'est pour la même raison qu'on essaie en systèmes multicorps de réduire au maximum

le nombre de degrés de liberté de frontière. Dans la mesure du possible, on tente de localiser

chaque liaison en un seul noeud, quitte à recourir à des barres rigides pour mieux cerner

l'étendue physique de la liaison.

VI.5 Conditions aux limites géométriques et dynamiques.

Comme nous l'avons signalé au début de ce chapitre, la technique proposée par

Meirovitch, qui se situe dans le cadre général des méthodes de Rayleigh-Ritz, semble peu

applicable dans un contexte industriel mais a l'avantage d'introduire des notions extrêmement

intéressantes au niveau des conditions aux limites. Il serait dommage de ne pas les mettre à

profit puisque la méthode de Rayleigh-Ritz repose sur les mêmes fondements que la synthèse

par modes composants si ce n'est qu'elle s'intéresse directement aux équations aux dérivées

partielles du système et non aux équations discrétisées. Le vecteur propre est approché en tant

que la combinaison d'un certain nombre de fonctions de base, que l'on calcule par

l'intermédiaire d'une démarche visant à rendre stationnaire le quotient de Rayleigh. L'intérêt

de la démarche se situe essentiellement dans la génération des fonctions de base car

Meirovitch insiste sur les conditions qu'elles doivent remplir pour obtenir des résultats

satisfaisants avec un nombre limité de fonctions, ce qui est précisément notre souci lors de

l'utilisation de la synthèse modale.

Que ce soit en synthèse modale ou dans le cadre des méthodes de Rayleigh-Ritz, les

systèmes structuraux auxquels nous nous intéressons sont des structures élastiques distribuées

régies par des équations aux dérivées partielles où interviennent des opérateurs maximum

M2

Mx 2EI(x)

M2y

Mx 2% A(x)

M2y

Mt 2'f

y

M2

Mx 2EI(x)

M2Y

Mx 2'

2 A(x)M2Y

Mt 2

Y


(VI.17)

(VI.18)

d'ordre 2p. Si on prend par exemple l'équation d'Euler-Bernoulli pour les poutres en flexion :

on constate que p est égal à 2 (l'équation est d'ordre 4) et le système aux valeurs propres

permettant de trouver les modes propres s'écrit :

Les conditions aux frontières auxquelles doivent répondre les fonctions de base peuvent

être scindées en deux groupes :

- les conditions aux limites géométriques qui concernent le déplacement ou la pente aux

frontières et sont définies par des opérateurs différentiels qui sont au maximum d'ordre

p-1;

- les conditions aux limites naturelles ou dynamiques qui mettent en oeuvre l'équilibre

en translation et en rotation aux frontières et sont définies par des opérateurs

différentiels qui sont au maximum d'ordre 2p-1.

Si on reprend l'exemple de la poutre, les conditions aux limites géométriques concernent

le déplacement ou la pente aux appuis. Les conditions naturelles apparaissent quant à elles si

la force ou le moment au point correspondant, proportionnels respectivement aux dérivées

deuxième et troisième du déplacement sont différents de zéro (par exemple dans le cas de

conditions aux limites mettant en oeuvre des ressorts ou des inerties).

Parmi les fonctions de base candidates lors de l'application de la méthode de Rayleigh-

Ritz, on distingue :

- les fonctions cinématiquement admissibles qui ne remplissent que les conditions aux

limites géométriques;

- les fonctions de comparaison ("comparison functions") ou dynamiquement

admissibles qui remplissent toutes les conditions aux limites et sont dérivables 2p fois.

S'il est possible d'atteindre une précision voulue uniquement à partir de fonctions

cinématiquement admissibles, Meirovitch a montré qu'on obtient une convergence plus rapide

si on utilise directement des fonctions de comparaison ([MEIR 91]). Cette considération est

d'une importance primordiale et on peut s'étonner qu'on ne s'y attarde pas plus dans la

littérature.


Pour illustrer notre propos, prenons l'exemple de la poutre encastrée libre représentée

à la figure VI.4. La présence d'un ressort à l'extrémité donne naissance à une condition

dynamique exprimant que la dérivée troisième des fonctions de base, image de l'effort

tranchant, devrait ne pas être nulle au droit du ressort. Le fait d'exploiter directement cette

remarque permettra d'obtenir des résultats significatifs avec un nombre réduit de fonctions de

base.

Fig VI.4 Conditions aux limites géométriques et dynamiques.

Si nous revenons à notre cas, on peut maintenant donner une nouvelle justification au

succès des réductions de Craig-Bampton et MacNeal-Rubin en remarquant que les modes

statiques donnent naturellement un éventail complet de fonctions permettant de représenter

à la fois les conditions aux limites géométriques et dynamiques. On perçoit d'autant mieux

l'importance de cette propriété que peu de sous-structures sont en pratique soumises à des

conditions aux limites géométriques. La situation est encore plus nette en systèmes multicorps

où, comme le souligne Meirovitch, on ne rencontre à de rares exceptions près, que des

conditions aux limites dynamiques ([MEIR 91]).

Notons pour terminer que la mise en évidence de l'importance des conditions aux limites

dynamiques est un argument en défaveur de la réduction de MacNeal-Rubin où les modes de

vibration n'apportent à ce sujet aucune contribution, à l'inverse des modes de vibration avec

interfaces fixes constituant la base de Craig-Bampton.

VI.6 Calcul des invariants d'un corps flexible.

VI.6.1 Motivation.

Le recours à un corps flexible suppose l'existence d'une forme ou d'une structure

complexe que l'on ne peut envisager pratiquement qu'à l'aide d'un outil performant de

modélisation tel que la méthode des éléments finis. Les principes mêmes selon lesquels on

détermine les modes de déformation représentatifs du corps ne sont d'ailleurs pas

envisageables sans l'aide de cet outil. On en conclut qu'un corps flexible est en pratique défini

dès le départ par son modèle aux éléments finis d'une part et par les modes de déformation

d(r)''Nd

n'1n(r0)@

n

(r)''Nd

n'1

θn(r0)@

n

d(r)''Nd

n'1n(r0)@ ˙

n

d(r)''Nd

n'1n(r0)@ ¨

n

d(r)

(r) r

r0

n

θn

n

d(r) d(r)

d(r) ˙

d(r)


(VI.19)

(VI.20)

(VI.21)

(VI.22)

choisis pour la modélisation d'autre part.

Il est donc naturel de vouloir exploiter le modèle aux éléments finis d'un corps pour en

extraire toutes les caractéristiques, y compris celles de corps rigide. Il convient cependant de

garder à l'esprit que la démarche utilisée doit, pour des raisons pratiques évidentes, être aussi

générale que possible et n'utiliser que des informations classiquement fournies par les logiciels

aux éléments finis.

VI.6.2 Rappels.

Comme nous l'avons précisé lors du chapitre II, nous avons choisi de modéliser les

corps flexibles de forme complexe à partir d'une approche en modes composants, constitués

par des déformées jugées représentatives du comportement du corps considéré. Si N est led

nombre de modes retenus, le déplacement élastique en translation et en rotation

(au sens du vecteur de rotation) qu'a subi un point de coordonnée vectorielle

( en configuration non déformée) par rapport au repère de référence est calculé par :

étant le n mode des N retenus, le mode en rotation correspondant etèmed

le coefficient de pondération associé, l'ensemble de ceux-ci formant les paramètres

représentatifs de la déformation du corps et aussi appelés degrés de liberté élastiques.

Dans le même ordre d'idées, la vitesse et l'accélération de déformation

en translation se calculent par :

En ce qui concerne les rotations, la vitesse et l'accélération de

d(r)' (r)@('

Nd

n'1

θn(r0)@ ˙

n)

˙d(r)' (r)@('

Nd

n'1

θn(r0)@¨

n)% ˙ (r)@('

Nd

n'1

θn(r0)@ ˙

n)

d(r).'

Nd

n'1

θn(r0)@ ˙

n

˙d(r).'

Nd

n'1

θn(r0)@ ¨

n

U'1

2'Nd

n'1'Nd

l'1K

ψnl@ n

@l

Mψnl' m

corps

n(r0)@

l(r0)dm

(r)

(r)

Kψ

Mψ

n 1C

n 2C

n 3C

n


(VI.23)

(VI.24)

(VI.25)

(VI.26)

(VI.27)

(VI.28)

déformation en rotation, supposées exprimées dans le repère tourné ou matériel, sont données

par :

étant la matrice tangente associée à la matrice de rotation définie par le vecteur

de rotation .

En petites déformations, la formule approchée suivante peut être appliquée :

Nous avons vu au chapitre III que l'écriture des équations d'équilibre dynamique d'un

corps flexible nécessitait la détermination non seulement de ses caractéristiques de corps

rigide (masse, position du centre de gravité, tenseur d'inertie) mais aussi d'une série

d'invariants liés aux modes de déformation choisis pour la modélisation du corps :

- la matrice de raideur réduite de dimension (N xN ) telle que l'énergie potentielled d

de déformation du corps U est égale à :

- la matrice de masse réduite de dimension (N xN ) définie comme suit :d d

- pour chaque mode , les vecteurs et et la matrice définis

1Cn' m

corps

n(r0)dm 2C

n' m

corps

r0×n(r0)dm 3C

n' m

corps

r0@n(r0)dm

4Cn,l' m

corps

n(r0)×

l(r0)dm

n'

n,1θn,1

:

n,Nθn,N

4Cn,l n l

ri

n,i

θn,i

n

K

M


(VI.29,30,31)

(VI.32)

(VI.33)

par :

- les vecteurs couplés entre deux modes et définis comme suit :

VI.6.3 Les informations relatives au modèle aux éléments finis.

Considérons un corps dont le modèle aux éléments finis est constitué de N noeuds et

supposons que N modes de déformation ont été retenus pour la modélisation. Prenons le casd

général où on a associé à chacun des N noeuds 6 degrés de liberté, soit 3 déplacements et 3

rotations selon les axes X,Y et Z et convenons que ces degrés de liberté sont numérotés dans

l'ordre des noeuds, les translations étant prises avant les rotations.

Les informations susceptibles d'être fournies par un logiciel de calcul par éléments finis

sont les suivantes :

- le vecteur position de chaque noeud i exprimé dans un repère qui correspond avec

le repère prévu comme repère de référence du corps;

- le vecteur modal, de dimension (6xN), relatif à chaque mode n, que nous réorganisons

de la façon suivante :

où et sont respectivement les déplacements en position et en rotation du

noeud i pour le mode considéré;

- la matrice de rigidité du modèle, de dimension (6xN,6xN);

- la matrice de masse du modèle, de dimension (6xN,6xN) que nous allons

compartimenter en une série de matrices (3x3) en faisant apparaître les coordonnées de

M'

MT1,T1

MT1,R1

MT1,T2

@ @ @

MR1,T1

MR1,R1

MR1,T2

@ @ @

: : : : : :

@ @ @ @ MTN,TN

MTN,RN

@ @ @ @ MRN,TN

MRN,RN

Mψnl'

T

n@M@

l

Kψnl'

T

n@K@

l


(VI.34)

(VI.35)

(VI.36)

translation et de rotation liées à chaque noeud :

C'est à partir de ces seules informations que nous nous proposons de calculer ou

d'approcher toutes les grandeurs nécessaires pour l'écriture des équations d'équilibre

dynamique du corps.

VI.6.4 Calcul des matrices réduites de masse et de raideur.

Le calcul de ces matrices est classique. Elles sont obtenues par simple identification de

l'énergie cinétique pour la matrice masse et de l'énergie de déformation pour la matrice de

raideur. On obtient tous calculs faits :

VI.6.5 Calcul des différents invariants.

VI.6.5.1 L'approche corotationnelle.

Il existe plusieurs voies possibles pour calculer les différents invariants relatifs à un

corps flexible à partir de son modèle aux éléments finis ([CARD 91]).

La plus précise mais aussi la moins générale consiste à reprogrammer directement le

logiciel d'éléments finis. Cette programmation consisterait à refaire les intégrales définissant

les grandeurs dynamiques directement sur les fonctions de forme elles-mêmes. Comme nous

ne voulons travailler qu'avec les informations couramment disponibles, cette solution a été

exclue.

Une seconde technique, assez souvent utilisée, consiste à distribuer la masse du modèle

sous forme de masses (et éventuellement d'inerties) concentrées localisées aux noeuds. Les

intégrales se réduisent alors à une somme de termes correspondant à chacun des noeuds.

Cependant, cette méthode demande un grand nombre de noeuds pour obtenir un résultat

satisfaisant et est relativement peu utilisée dans le module de vibration lui-même.

vi'v

E%

E×r

i%'

Nd

n'1n,i@ ˙

n

i'

E%'

Nd

n'1

θn,i@ ˙

n

T'1

2v T

1

T

1@@ v T

N

T

N@

MT1,T1

MT1,R1

MT1,T2

@ @ @

MR1,T1

MR1,R1

MR1,T2

@ @ @

: : : : : :

@ @ @ @ MTN,TN

MTN,RN

@ @ @ @ MRN,TN

MRN,RN

@

v1

1

:v

N

N

T'1

2(m

e@v2

E%

T

E@(

E@

E)%'

Nd

n'1'Nd

n'1M

ψnl@ ˙ n

@ ˙l)

%E@(

E×m

er

G)%v

E@'

Nd

n'1 1C

n@ ˙

n%

E'Nd

n'1 2C

n@ ˙

n

vE E

vi i

me

rG E


(VI.37)

(VI.38)

(VI.39)

(VI.40)

Une troisième solution est l'approche corotationnelle, par ailleurs utilisée dans le module

MECANO de SAMCEF ([CARD 91]). Son principe est relativement simple et consiste à

prendre une interpolation sur le champ de vitesse légèrement différente de celle prise pour les

déplacements. Supposons ainsi que le repère d'entrée du corps, correspondant au repère de

référence, est animé d'une vitesse de translation et d'une vitesse de rotation . A

ce mouvement d'ensemble est superposée une déformation si bien que tout noeud i est animé

d'une vitesse linéaire et d'une vitesse angulaire égales à:

L'approche corotationnelle consiste alors à exprimer l'énergie cinétique T du corps de

la façon suivante:

et à établir les équations d'équilibre dynamique du système en appliquant par exemple le

théorème de Lagrange ou tout autre théorème basé sur l'énergie cinétique, à partir de cette

expression.

Si on recherche maintenant l'expression de l'énergie cinétique d'un corps flexible en se

basant sur la démarche présentée au chapitre II, on obtient :

, et étant respectivement, pour rappel, la masse totale du corps, la

coordonnée vectorielle du centre de gravité et le tenseur d'inertie du corps, par rapport au

repère d'entrée (ou de référence) du corps.

F1

M1

:F

N

MN

'

MT1,T1

MT1,R1

MT1,T2

@ @ @

MR1,T1

MR1,R1

MR1,T2

@ @ @

: : : : : :

@ @ @ @ MTN,TN

MTN,RN

@ @ @ @ MRN,TN

MRN,RN

@

a1

˙1

:a

N

˙N

Fi''

N

j'1(M

Ti,Tj@a

j%M

Ti,Rj@ ˙

j)

Mi''

N

j'1(M

Ri,Tj@a

j%M

Ri,Rj@ ˙

j)

me

rG E

1Cn

2Cn

3Cn

4Cn,l

ai

˙i

Fi

Mi


(VI.41)

(VI.42)

(VI.43)

A partir de cette expression, on peut d'ores et déjà, par identification avec l'expression

de l'énergie cinétique obtenue par l'approche corotationnelle, retrouver les expressions

correspondantes des caractéristiques de corps rigide , et ainsi que des

invariants et . Cependant, on s'aperçoit rapidement, une fois cette identification

faite, que les expressions obtenues ont une signification physique particulière que l'on peut

introduire de façon plus naturelle par l'intermédiaire des efforts dynamiques associés à chacun

des invariants. Cette façon de voir les choses s'avère aussi mieux adaptée à notre formulation

basée sur les lois de Newton-Euler et sera donc utilisée dans la suite pour rechercher les

invariants, en y incluant les matrices et les vecteurs . N'oublions toutefois pas

qu'elle est en droite ligne inspirée de l'approche corotationnelle.

VI.6.5.2 Efforts liés à un champ d'accélération.

Supposons le corps considéré soumis à un champ d'accélération où chaque noeud i du

modèle éléments finis subit une accélération de translation et une accélération de

rotation . La matrice de masse du modèle nous permet de déterminer les forces

extérieures et les moments extérieurs qu'il faudrait appliquer à chaque noeud i

pour obtenir ce champ d'accélération :

que l'on peut aussi écrire :

'N

i'1F

i''

N

i'1'N

j'1M

Ti,Tj@a'm

e@a

'N

i'1'N

j'1M

Ti,Tj'm

e@I

'N

i'1(M

i%r

i×F

i)'r

G×(m

e@a)

'N

i'1(M

i%r

i×F

i)''

N

i'1'N

j'1(M

Ri,Tj%r

i@M

Ti,Tj)@a'm

e@r

G@a

'N

i'1'N

j'1(M

Ri,Tj%r

i@M

Ti,Tj)'m

e@r

G

a

me@a

I

a

me

rG

rG

˙

˙ ×ri


(VI.44)

(VI.45)

(VI.46)

(VI.47)

(VI.48)

VI.6.5.3 Calcul de la masse du corps.

Si le corps considéré est animé d'une accélération uniforme de translation ,

l'application de la loi de Newton implique que l'effort total appliqué sur ce corps doit être égal

à , ce qui donne :

d'où on déduit immédiatement une expression de la masse du corps :

étant une matrice unitaire de dimension (3x3).

VI.6.5.4 Calcul de la position du centre de gravité.

Supposons à nouveau que le corps soit animé d'une accélération de translation uniforme

, l'équilibre de rotation autour de l'origine doit donner, puisqu'on peut ramener le corps

à une masse ponctuelle localisée au centre de gravité :

En introduisant la matrice masse, on obtient :

et peut alors être déterminé au moyen de l'expression suivante :

On peut également déduire la position du centre de gravité par une autre voie: si le corps

est soumis à une accélération de rotation uniforme autour de l'origine (et donc chaque

noeud i à une accélération linéaire ) on doit avoir, toujours par définition du centre

'N

i'1F

i'm

e( ˙ ×r

G)'&m

er

G@ ˙

'N

i'1F

i''

N

i'1'N

j'1(M

Ti,Rj&M

Ti,Tj@r

j)@ ˙ '&m

er

G@ ˙

'N

i'1'N

j'1(M

Ti,Rj&M

Ti,Tj@r

j)'&m

e@r

G

'N

i'1(M

i%r

i×F

i)'

E@ ˙

'N

i'1'N

j'1(M

Ri,Rj&M

Ri,Tj@r

j%r

i@M

Ti,Rj&r

i@M

Ti,Tj@r

j)@ ˙ '

E@ ˙

'N

i'1'N

j'1M

Ri,Rj&M

Ri,Tj@r

j%r

i@M

Ti,Rj&r

i@M

Ti,Tj@r

j'

E

G'

E%m

er

G@r

G

rG

˙

˙ ×ri

E

E

G


(VI.49)

(VI.50)

(VI.51)

(VI.52)

(VI.53)

(VI.54)

(VI.55)

de gravité :

ce qui conduit à une nouvelle expression de :

qui est simplement la transposée de la formule (VI.48) obtenue par l'autre démarche.

VI.6.5.5 Calcul du tenseur d'inertie.

Supposons le corps soumis à une accélération de rotation uniforme autour de

l'origine (et donc chaque noeud i à une accélération linéaire ). L'équilibre de

translation permet de trouver, comme nous venons de le voir, la position du centre de gravité.

L'équilibre de rotation va nous donner quant à lui la valeur du tenseur d'inertie du corps autour

de l'origine du repère de référence . En effet, par application de la loi d'Euler, on

trouve :

ce qui nous permet d'aboutir à par la succession d'opérations suivante :

Nous avons comme cela le tenseur d'inertie autour de l'origine dont on peut déduire le

tenseur d'inertie autour du centre de gravité par :

ai'

n,i˙

i'

θn,i

1Cn''

N

i'1F

i''

N

i'1'N

j'1(M

Ti,Tj@

n,i%M

Ti,Rj@

θn,j

)

ai' ×

n,i'&

n,i@

˙i' ×

θn,i'&

θn,i@

1Cn

n

2Cn

2Cn''

N

i'1(M

i%r

i×F

i)''

N

i'1'N

j'1(M

Ri,Tj@

n,i%M

Ri,Rj@

θn,j%r

i@M

Ti,Tj@

n,j%r

i@M

Ti,Rj@

θn,i

)

3Cn

n

& 3Cn@

& 3Cn@ ''

N

i'1(M

i%r

i×F

i)''

N

i'1'N

j'1(&M

Ri,Tj@

n,i&MRi,Rj

@θn,j&r

i@M

Ti,Tj@

n,j&ri@M

Ti,Rj@

θn,i)@


(VI.56,57)

(VI.58)

(VI.60)

(VI.61)

VI.6.5.6 Calcul des invariants.

Si nous examinons la contribution de l'invariant dans les efforts intervenant au

sein d'un corps flexible, on constate qu'il correspond à la résultante des forces qu'il faudrait

exercer sur le corps pour obtenir un champ d'accélération proportionnel à l'amplitude du mode

soit pour chaque noeud i :

On a donc simplement par identification :

En ce qui concerne l'invariant on se rend compte, de nouveau en observant sa

contribution dans les équations dynamiques, qu'il correspond au moment résultant, par rapport

à l'origine, des efforts qu'il faudrait appliquer sur le corps pour obtenir le même champ

d'accélération que celui présenté au point précédent. On obtient ainsi :

(VI.59)

Quant à la matrice invariante , on remarque qu'elle est liée aux accélérations de

Coriolis apparaissant lorsque le corps tourne avec une vitesse de rotation et qu'il est le

siège d'une vitesse de déformation proportionnelle à l'amplitude du mode . Le champ

d'accélération à considérer est alors, pour chaque noeud i, le suivant :

Le moment résultant, par rapport à l'origine, des efforts extérieurs qu'il faudrait

appliquer pour obtenir ce champ d'accélération doit alors être égal à , ce qui

donne :

(VI.62)

3Cn''

N

i'1'N

j'1(M

Ri,Tj@

n,i%MRi,Rj

@θn,j%r

i@M

Ti,Tj@

n,j%ri@M

Ti,Rj@

θn,i

4Cn,l@ ''

N

i'1(F

i@

l,i%M

i@

θl,i

)

''N

i'1'N

j'1l,i@(&M

Ti,Tj@

n,i&MTi,Rj

@θn,j)%

θl,i@(&M

Ri,Tj@

n,j&MRi,Rj

@θn,i) @

Cn,l''

N

i'1'N

j'1l,i@(&M

Ti,Tj@

n,i&MTi,Rj

@θn,j)%

θl,i@(&M

Ri,Tj@

n,j&MRi,Rj

@θn,i

f(r)''i

Ni(r)@q

ig(r)''

j

Nj(r)@p

j

mf@gdm''i

'j m

Ni@N

jdm@q

i@p

j''

i

'j

Mij@q

i@p

j

4Cn,l

l

n

l 4C

n,l@

f g

Ni

×r


(VI.63)

(VI.64)

(VI.65)

(VI.66,67)

(VI.68)

Reste le vecteur invariant dont on se rend compte qu'il est lié à l'effet sur le

mode de l'accélération de Coriolis provenant de la rotation du corps et d'une

vitesse de déformation proportionnelle à . Le champ d'accélération à considérer est le

même que précédemment et la réaction sur devrait être égale à , soit :

ce qui conduit à :

VI.6.5.7 Précision du calcul.

Avant de continuer, il est important de faire quelques remarques sur la précision avec

laquelle les différentes grandeurs sont calculées. Pour cela, supposons l'existence de deux

fonctions vectorielles et , pouvant être exprimées de façon exacte par les fonctions

de forme :

L'intégrale sur la masse, du produit de ces deux fonctions peut alors être calculée de

façon exacte à partir de la matrice masse :

Or, les fonctions de forme sont capables de représenter de façon exacte des modes de

corps rigide, c'est-à-dire une fonction vectorielle constante ou une fonction du type .

On en déduit que tous les invariants de corps rigide sont calculés de façon exacte. En ce qui

4Cn,l'& 4C

l,n

n

1Cn

2Cn

×n

3Cn

4Cn,l

4Cn,l

3Cn

4Cn,l

3Cn

4Cn,l


(VI.69)

concerne les invariants où interviennent les modes de déformation, la représentation d'un mode

est aussi exacte au sens où elle n'existe que par l'intermédiaire des fonctions de forme.

Il s'en suit que l'estimation des invariants et est identique à celle qu'aurait

donné une reprogrammation du code d'éléments finis. Par contre, les fonctions du type

ne sont pas exactes et les invariants et ne sont qu'approchés, la

valeur étant d'autant meilleure que le maillage du modèle aux éléments finis est fin.

Remarquons d'autre part que les invariants vérifient la propriété suivante de par

leur définition :

Or, l'estimation faite par la méthode présentée ne vérifie pas systématiquement cette

propriété. C'est pourquoi cet invariant sera évalué par une moyenne arithmétique des deux

estimations que l'on peut obtenir en inversant les deux modes considérés.

VI.6.6 Quelques valeurs numériques.

Comme la poutre flexible a été considérée isolément, nous disposons bien entendu des

valeurs exactes des invariants pour des modes correspondant aux fonctions de forme utilisées

dans notre élément de poutre. Ces fonctions de forme correspondent d'autre part aux modes

statiques contraints que l'on obtient en fixant un noeud de frontière sur chaque extrémité de

la poutre et qui peuvent donc facilement être obtenus sous forme d'un vecteur nodal à partir

d'un modèle aux éléments finis de la poutre réalisé éventuellement avec diverses finesses de

modélisation. Nous avons donc appliqué notre méthode sur ces modes à partir de modèles de

la poutre constitués d'un, quatre et dix éléments.

Conformément à ce que nous venons de le signaler, les estimations de tous les invariants

sauf et se sont avérées exactes, même avec un élément. Par contre, pour ces

deux derniers, la précision s'améliore avec le nombre d'éléments pris. Ceci est normal puisque,

en quelque sorte, on augmente le nombre de points d'estimation dans une procédure

d'intégration numérique.

A titre d'exemple, on reprend dans les tableaux ci-dessous quelques termes

caractéristiques provenant respectivement des matrices et des vecteurs .

3Cn

4Cn,l


Notons de suite que certains termes étaient calculés directement avec la valeur exacte. Nous

n'avons repris ici que les termes entachés de la plus grande erreur. Quant à la dernière ligne

de chaque tableau, elle reprend la plus grande des valeurs estimées parmi les termes dont la

valeur exacte est nulle.

exact 1 élément 4 éléments 10 éléments

3.333E-5 3.500E-5 3.344E-5 3.335E-5

0.000 5.000E-6 3.125E-7 5.000E-8

Tableau VI.1 Précision sur quelques termes des matrices invariantes

exact 1 élément 4 éléments 10 éléments

3.500E-5 3.524E-5 3.481E-5 3.497E-5

5.000E-6 2.619E-6 4.747E-6 4.959E-6

0.000 4.762E-7 1.814E-8 2.789E-9

Tableau VI.2 Précision sur quelques termes des vecteurs invariants

Les résultats obtenus sont satisfaisants car avec seulement 4 éléments, la précision

obtenue est déjà de l'ordre du pour-cent. Nous pouvons en déduire que la méthode présentée

ici constitue une solution parfaitement adaptée pour établir le lien entre le logiciel d'éléments

finis et le programme de simulation dynamique.

VI.7 Conclusion.

La synthèse par modes composants représente la solution la plus souple pour modéliser

la déformation d'un corps flexible. Utilisée depuis longtemps en analyse vibratoire des

structures, cette technique s'adapte aisément à la simulation des systèmes mécaniques où

chaque corps constitue une sous-structure naturelle.

Les méthodes de sous-structuration dynamique de Craig-Bampton et MacNeal-Rubin

restent utilisables et doivent donc être utilisées préférentiellement pour leur caractère

systématique et les excellents résultats qu'elles ont apporté depuis de nombreuses années. Nous

proposons toutefois de les réorganiser afin d'améliorer leur conditionnement cinématique qui,


dans le contexte qui nous intéresse, prend le pas sur toute autre considération.

Le concept même de corps flexible est inévitablement lié à la méthode des éléments

finis. Celle-ci permet une modélisation aisée de corps de forme complexe si bien qu'un corps

flexible est naturellement défini en pratique par son modèle aux éléments finis. Celui-ci sera

utilisé pour calculer non seulement les modes composants qui seront retenus pour modéliser

la déformation du corps mais aussi tous les invariants nécessaires à l'écriture des équations

d'équilibre dynamique en grands déplacements. En s'inspirant de l'approche corotationnelle,

une méthode a été présentée pour déterminer tous les invariants, y compris les caractéristiques

de corps rigide, à partir des informations standard fournies par les logiciels d'éléments finis.

Chapitre VII : Sélection des modes composants en systèmes multicorps 137

Chapitre VII : Sélection des modes composants

en systèmes multicorps.

VII.1 Position du problème.

Il pourrait sembler logique que les réductions de Craig-Bampton et MacNeal-Rubin

restent efficaces en analyse des systèmes multicorps car, comme en analyse modale, le

comportement du corps dépendra essentiellement de la transmission des efforts aux interfaces

et de la répartition masse-raideur du corps, tous deux représentés de façon appropriée par les

modes statiques et les modes de vibration respectivement. Il faut cependant rester prudent et

ne considérer l'expérience acquise en analyse vibratoire des structures que comme une base

de travail car l'analyse des systèmes multicorps possède les spécificités suivantes :

- un nouveau type de sollicitation apparaît, à savoir les accélérations d'ensemble que subit

le corps lors des grands déplacements;

- des efforts extrêmement variés, tant en direction qu'en amplitude, peuvent agir aux

interfaces du corps;

- le système peut se présenter sous des configurations très diverses.

Ces spécificités ont pour corollaire que, conformément à ce qu'on perçoit intuitivement,

la sélection des modes composants devra inévitablement s'opérer non seulement en fonction

du système lui-même mais aussi en fonction du mouvement et des sollicitations qu'il subit

pour la simulation considérée.

Le problème de la sélection est donc extrêmement délicat et il nous a semblé important,

dans une première étape, d'examiner de façon systématique les potentialités des bases

classiques de modes composants en analyse dynamique de systèmes multicorps. Les résultats

de cette étude, menée sur une dizaine d'applications, sont présentés de façon exhaustive dans

[VERL 92b]. Nous ne reviendrons ici que sur les applications les plus significatives, en

mettant progressivement en évidence les différentes informations qui nous permettront, in

fine, de définir la stratégie de sélection des modes qui nous semble la plus adéquate.

En premier lieu, nous présenterons l'indicateur que nous avons dû développer pour

apprécier les potentialités des différentes méthodes de synthèse modale lorsqu'elles sont

utilisées dans le cadre de l'analyse des systèmes multicorps. Cet indicateur permet d'estimer,

dans le cadre d'une simulation bien déterminée, l'erreur inévitable résultant de la

modélisation de la déformation d'un corps flexible à l'aide d'un ensemble limité de modes


composants. Nous l'appliquerons de suite à un exemple simple, qui démontrera de façon claire

que la sélection des modes de vibration selon l'ordre des fréquences n'est plus adaptée. Nous

en déduirons une méthode permettant de sélectionner dans une base initiale de modes

(émanant par exemple d'une réduction de MacNeal-Rubin ou Craig-Bampton) ceux qui sont

le plus susceptibles de participer au mouvement compte tenu de la simulation envisagée.

Celle-ci sera alors utilisée pour quatre autres applications particulières qui nous permettront

de préciser également la base de modes initiale qui semble la plus appropriée.

VII.2 Développement d'un indicateur de qualité.

VII.2.1 Principe.

Pour mener à bien l'objectif que nous nous sommes fixés dans ce chapitre, il est

nécessaire de disposer d'une technique de validation, permettant d'estimer l'erreur inévitable

résultant de la troncature modale. Or, si un critère simple existait en analyse vibratoire, en la

comparaison des fréquences et modes propres émanant des modèles complets et réduits, il n'en

est plus de même en systèmes multicorps où on dispose d'évolutions temporelles et non plus

d'informations ponctuelles dans le domaine modal. Deux grandes philosophies se rencontrent

dans la littérature pour juger de la qualité d'une base de modes composants en systèmes

multicorps. La première se ramène au critère utilisé en analyse modale, en menant celle-ci

autour d'une ou plusieurs configurations ([SPAN 91], [MEIR 91]). Elle ne peut être

considérée comme satisfaisante, la raison majeure étant que le mouvement réel des corps n'est

pas pris en compte. La seconde ([YEH 90], [KIM 90]) consiste à comparer les résultats

obtenus par différentes bases de modes composants, dans le cadre d'une simulation bien

précise. Par l'intermédiaire de critères énergétiques, on peut alors faire une évaluation relative

mais on est dans l'impossibilité de chiffrer la précision absolue des résultats.

L'indicateur que nous proposons ici s'inspire des deux philosophies évoquées et tâche

d'en combiner les aspects positifs, à savoir qu'il s'applique dans le cadre d'une simulation bien

déterminée et que l'on chiffre les performances d'une base de modes par comparaison à une

référence correspondant à un modèle d'ordre supérieur. La détermination de l'indicateur se

déroule en deux étapes. On génère d'abord ce que nous appellerons une déformation de

référence, obtenue par simulation du système multicorps étudié en adoptant pour chaque corps

flexible une base de modes complète, contenant un nombre de modes important par rapport

à celui des bases à tester. On traite ensuite chaque corps séparément et l'indicateur est obtenu

en examinant, pour chaque instant, la capacité de la base modale testée à approcher la

déformation de référence.

VII.2.2 Construction de la déformation de référence.

Pour que la déformation de référence puisse remplir son rôle de façon optimale, les

Modèles éléments finis complets des n corpsModèle réduit

P noeudsCondens.

de Guyan

Nd modes

n=1

Nd

nn

nn

(t)(t)

(t)

Base modale

Corps i (N noeuds)i

P noeuds privilégiési

(t)1

(t)1

DYNAMIQUE

SIMULATION i

i i

i i

i

i

i

(t)n

(t)n

(t)i

(t)i

Σn=1

Nd iΣ


modes qui la définissent doivent être capables de représenter des déformées aussi variées que

possible. Cet objectif peut être réalisé en utilisant des modes définis par morceaux, comme

c'est le cas pour les fonctions de forme des éléments finis. Cela nous conduit naturellement

à utiliser les modes correspondant à une condensation de Guyan en un certain nombre de

noeuds privilégiés du modèle aux éléments finis du corps. Le champ de déplacement ainsi

obtenu est tout à fait général et est en quelque sorte l'équivalent d'un modèle aux éléments

finis réduit (en ce sens que le déplacement de tout point est exprimé par interpolation à partir

de celui des noeuds privilégiés) que nous appellerons modèle d'ordre moyen. Notons que le

modèle complet d'ordre plus élevé reste indispensable mais ne sera utilisé pratiquement que

pour l'estimation précise des invariants liés aux modes définissant la déformation de référence.

Fig VII.1 Principe général pour la détermination de l'indicateur.

En pratique, chaque corps i est défini par un modèle aux éléments finis comprenant Ni

noeuds, parmi lesquels on sélectionne P noeuds privilégiés, comprenant obligatoirement lei

noeud de référence. La déformation de référence du corps sera alors modélisée par l'ensemble

des modes statiques contraints aux noeuds privilégiés, sauf ceux correspondant au noeud de

référence, dont l'effet est repris par les modes rigides associés au mouvement propre du repère

de référence. Les noeuds privilégiés seront choisis avec une répartition adéquate, en s'inspirant

des règles liées à la condensation de Guyan, et en nombre tel que l'ordre soit suffisamment

élevé par rapport au nombre de modes des bases à tester.

Une fois le modèle de référence déterminé pour chaque corps flexible, on peut mener

la simulation du système complet. Comme les coefficients de pondération relatifs aux modes

statiques contraints correspondent directement aux coordonnées des déplacements en

Xi' Ψ i

1Ψ i

2... Ψ i

Nd i

ˆΨ i'Xi@ η i

min ( Mi@Xi@ η i( t) &Mi@¨Ψ i

0( t)) T@( Mi@Xi@ η i( t) &Mi@¨Ψ i

0( t) )

min( Ki@Xi@ η i( t) &Ki@Ψ i0( t)) T@( Ki@Xi@ η i( t) &Ki@Ψ i

0( t))

Ψ i

0( t) ˙Ψ i

0( t) ¨Ψ i

0( t)

Mi Ki

Xi

η i

ˆΨ i


(VII.1)

(VII.2)

(VII.3)

(VII.4)

translation et en rotation des noeuds privilégiés, la simulation nous fournira, pour chaque

corps i, l'évolution temporelle des déplacements en question, soit pour chaque instant t, une

amplitude, une vitesse et une accélération de déformation que l'on peut exprimer sous forme

de vecteurs , et qui, si on suppose être dans le cas général où

on a 6 degrés de liberté par noeud, sont de dimension 6xP .i

VII.2.3 Détermination de l'indicateur.

Nous allons maintenant travailler indépendamment pour chaque corps et voir comment

on peut attribuer, à partir de la déformation de référence, un indice de qualité à une base de

modes susceptible d'être utilisée pour la modélisation du corps envisagé.

Pour une question évidente de cohérence, les modes de la base à tester pour le corps i

seront calculés à partir du modèle réduit en les P noeuds, c'est à dire la matrice réduite dei

masse et la matrice réduite de raideur , toutes deux de dimension [6xP ,6xP ]. Lesi i

Nd modes de la base sont regroupés sous forme d'une matrice modale de dimensioni

[6xP ,Nd ] dont chaque colonne est un des modes de la base :i i

La validation de la base de modes étudiée consiste tout d'abord à rechercher, pour

chaque instant, les coefficients de pondération (et leurs accélérations) à appliquer à la base à

tester pour approcher au mieux la déformation (et son accélération) de référence. Ces

coefficients de pondération sont regroupés sous forme d'un vecteur , de dimension

[Nd x1] tel que la déformée approchée peut être écrite :i

Pour rechercher les coefficients de pondération en question, nous appliquons une

procédure aux moindres carrés en faisant intervenir la matrice de rigidité pour les

déplacements et la matrice de masse pour les accélérations. En chaque instant t, la solution

recherchée doit répondre à la condition suivante :

η i( t) '( XiT@MiT@Mi@Xi) &1@XiT@MiT@Mi@¨Ψ i

0( t)η i( t) '( XiT@KiT@Ki@Xi) &1@XiT@KiT@Ki@Ψ i

0( t)

i( t) '45Mi@( ¨Ψ i

0( t) &Xi@ η i( t)) %Ki@( Ψ i

0( t) &Xi@ η i( t)

ε ia'

1Tm

T

045 45Mi@( ¨Ψ i

0&Xi@ η i) %Ki@( Ψ i

0&Xi@ η i) dt

ε ir'

ε ia

1Tm

T

045 45Mi@¨Ψ i

O%Ki@Ψ i

0dt

ε i( t)

ε ia( t)

ε ir( t)


(VII.5)

(VII.6)

(VII.7)

(VII.8)

(VII.9)

ce qui conduit tous calculs faits à :

En tout instant t et pour chaque corps i, l'écart de la base testée par rapport

à la déformation de référence, est calculé comme la norme de la différence des forces

généralisées correspondantes, soit :

La moyenne temporelle de cet écart nous fournira l'écart global absolu :

T étant la durée temporelle de la simulation.

Nous nous intéresserons plus particulièrement à l'écart global relatif , défini

comme suit :

Cette façon de procéder présente le mérite de tenir compte à la fois des signaux en

déplacement et en accélération et de se référer à des valeurs correspondant à des efforts

beaucoup plus significatifs physiquement (et notamment quant à l'influence du corps sur son

voisinage). La simulation de référence réclame certes un temps de calcul non négligeable

puisque de nombreux degrés de liberté sont introduits par les corps flexibles mais une fois

celle-ci effectuée, on peut tester très rapidement un nombre important de bases modales. De

plus, elle offre un certain nombre d'informations très utiles comme l'évolution temporelle de

l'erreur et des coefficients de pondération associés à chaque mode. Quand une base de modes

se révèle peu efficace, l'évolution de l'erreur permet de détecter en quels instants et d'en

déduire la sollicitation correspondante. D'autre part, l'évolution des coefficients de

pondération permet de détecter les modes qui ne participent pas au mouvement.

Z

X

Y

g


VII.3. Sélection des modes en fonction de la simulation.

VII.3.1 Motivation.

Quand on construit une base réduite de modes composants constituée de modes

statiques et de modes propres, on prend généralement tous les modes statiques et un sous-

ensemble des premiers modes de vibration, ceux-ci étant triés par ordre progressif des

fréquences propres associées. En appliquant l'indicateur développé au point précédent à

différents cas tests, nous avons remarqué qu'avant de juger trop rapidement de la qualité des

résultats apportés en fonction de la réduction utilisée, il était nécessaire de disposer d'un

critère de sélection mieux adapté que le classement par ordre des fréquences et tenant compte

aussi de la simulation envisagée.

Avant d'en venir à la sélection proprement dite, nous allons nous intéresser à un exemple

simple mettant en évidence de façon spectaculaire l'importance de ce problème.

VII.3.2 Pendule simple flexible.

Le système étudié, représenté à la figure VII.2, est un pendule relié au bâti au moyen

d'une liaison sphérique. Le corps oscillant est une poutre d'une longueur de 1 m dont les

caractéristiques sont les suivantes :


Module d'Young : 2.1E11 N/m Moments d'inertie Iy et Iz : 5E-9 m2 4

Coefficient de Poisson : 0.3 Rigidité torsionnelle : 683 Nm2

Fig VII.2 Pendule simple.

Nous allons nous intéresser au mouvement d'oscillation du pendule, lorsqu'il est lâché

sous l'effet de la pesanteur à partir d'une position hors d'équilibre. Notons que le mouvement

Modèle aux éléments finis du bras articulé

Noeuds privilégiés

Noeud de référence


du pendule est spatial et décrit un mouvement elliptique, obtenu en imposant une certaine

vitesse initiale au pendule.

La déformation de référence de la poutre a été générée à partir du modèle aux éléments

finis illustré à la figure VII.3 et comprenant 20 éléments de poutre. On a défini sur ce modèle

4 noeuds privilégiés auxquels il faut ajouter le noeud de référence, si bien que le modèle

d'ordre moyen comporte 30 degrés de liberté. La déformation de référence sera donc

modélisée à partir des 24 modes statiques contraints aux noeuds privilégiés différents du

noeud de référence. Comme la liaison sphérique comporte elle-même trois degrés de liberté,

le système final en comporte 27. Il a été simulé sur 2 s avec un pas de 5 ms.

Fig VII.3 Modèle de la poutre.

Nous avons appliqué notre indicateur pour des bases générées par les réductions

classiques. Le noeud de référence étant le seul noeud de frontière du bras articulé, les bases

de Craig-Bampton et de MacNeal-Rubin ne comportent aucun mode statique. Les modes

statiques en un seul noeud correspondent en effet aux modes rigides qui sont repris par le

mouvement propre du repère de référence. La base de Craig-Bampton se compose donc des

modes de vibration pour la poutre encastrée sur le noeud 1 alors que la base de MacNeal-

Rubin se compose des modes de vibration en libre-libre (moins les modes rigides) auxquels

on a ajouté une combinaison de modes rigides de façon à les réencastrer sur le noeud 1. Le


tableau VIII.1 reprend, pour chaque cas, la fréquence propre et la nature des modes inclus dans

la base. Dans le cas des modes de vibration avec interfaces libres, on n'a donc pas repris les

modes rigides. Flex_Y et Flex_Z désignent des modes de flexion dans les plans Y et Z alors

que Tract_X et Tors_X indiquent des modes de traction et de torsion le long et autour de l'axe

X.

Numéro Interfaces libres Interfaces fixes

du

modeFréquence (Hz) Nature Fréquence (Hz) Nature

1 51,7 Flex_Z 8,1 Flex_Z

2 51,7 Flex_Y 8,1 Flex_Y

3 143,2 Flex_Z 50,9 Flex_Z

4 143,2 Flex_Y 50,9 Flex_Y

5 281,1 Flex_Z 143,5 Flex_Z

6 281,1 Flex_Y 143,5 Flex_Y

7 514,8 Flex_Z 283,0 Flex_Z

8 514,8 Flex_Y 282,0 Flex_Y

9 805,6 Flex_Z 526,1 Flex_Z

10 805,6 Flex_Y 526,1 Flex_Y

11 1248,5 Flex_Z 809,7 Tors_X

12 1248,5 Flex_Y 844,5 Flex_Z

13 1650,6 Tors_X 844,5 Flex_Y

14 2073,5 Flex_Z 1305,5 Tract_X

15 2073,5 Flex_Y 1337,8 Flex_Z

16 2289,2 Flex_Z 1337,8 Flex_Y

17 2289,2 Flex_Y 2188,6 Flex_Z

18 2661,5 Tract_X 2188,6 Flex_Y

19 3548,3 Tors_X 2554,2 Tors_X

20 5721,4 Tract_X 4118,5 Tract_X

21 5766,0 Tors_X 4639,8 Tors_X

22 7096,5 Tors_X 6709,5 Tors_X

23 9297,5 Tract_X 7481,4 Tract_X

24 11442,8 Tract_X 10818,7 Tract_X

Tableau VII.1 Fréquence et nature des différents modes propres.

La figure VII.4 montre l'évolution de l'erreur relative globale, en fonction du nombre de

modes retenus, pour les deux bases en question.


Fig VII.4 Convergence pour les bases de MacNeal-Rubin et Craig-Bampton.

Quand on examine le diagramme de convergence, on s'aperçoit que celle-ci ne

s'améliore nettement qu'après l'incursion dans la base testée de certains modes bien précis. Si

on se réfère au tableau VII.1, on s'aperçoit que les modes en question sont des modes de

traction, cela étant dû au fait que, pour la simulation considérée, les phénomènes axiaux

jouent un rôle prépondérant dans le comportement du pendule. On comprend ainsi clairement

la remarque que nous faisions au point précédent, en ce sens que, compte tenu de la simulation

considérée, on aurait dû sélectionner prioritairement les modes en traction. Ceci confirme

également la nature raide des équations différentielles régissant le comportement d'un système

multicorps flexible. En effet, les modes de traction participent au mouvement malgré le fait

que le premier d'entre eux a une fréquence de plus de 2000 Hz et qu'on a intégré avec un pas

de 5 ms.

VII.3.3 Notion de coefficient de participation.

De ce qui vient d'être dit, on déduit qu'il serait préférable de retenir les modes de

vibration non plus selon l'ordre fréquentiel, mais selon ce que nous appellerons un coefficient

exprimant la probabilité de participation du mode à la déformation du corps. La mise en

oeuvre numérique de la détermination d'un tel coefficient de participation nécessite deux

étapes : l'identification de facteurs qui pourront être considérés comme responsables de la

déformation et l'établissement d'un lien entre ces facteurs et les modes de la base dans laquelle

on sélectionne.

Il nous semble que le meilleur indicateur du comportement probable du corps est

l'évolution des efforts agissant sur lui par l'intermédiaire de ses liaisons. En tant que

responsables du mouvement du corps, ces efforts reprennent naturellement toutes les

M@q'δMδ

q

Ψr

Ψs

Ψ


(VII.10)

accélérations, de quelque type qu'elles soient et tiennent compte aussi des cas où les corps ne

servent qu'à transférer les sollicitations entre différentes parties du système. Quant à

l'évolution des efforts proprement dite, elle peut être facilement obtenue au moyen de la

simulation correspondante en corps rigide.

Il reste maintenant à faire le lien entre les efforts, choisis pour caractériser la cinétique

du corps, et les modes de déformation eux-mêmes. On pense naturellement à un facteur de

couplage, défini entre chaque effort et chaque mode composant, de telle façon que le

coefficient de participation d'un mode sera égal à la somme des produits des efforts par le

facteur de couplage correspondant.

VII.3.4 Calcul du coefficient de participation modal.

L'idée qui vient naturellement à l'esprit pour déterminer les facteurs de couplage est de

se baser sur une fonction de transfert. Ainsi, dans [SPAN 91], on sélectionne les modes de

déformation à retenir pour la mise au point d'un système de contrôle sur base de la

contribution qu'ils apportent à la fonction de transfert entre le ou les actuateurs et les capteurs

de mesure. Il convient bien sûr de s'inspirer de cette méthode de sélection appelée "balanced

reduction" mais dans notre cas, l'information de sortie, au contraire des entrées qui sont bien

définies en les efforts, s'avère particulièrement délicate à choisir. On peut penser à une mesure

énergétique mais la méthode n'est applicable que si la mesure est une combinaison linéaire

des positions et des vitesses. De plus, la valeur des coefficients obtenus par la "balanced

reduction" dépend directement de l'amortissement modal qui est souvent très mal connu.

Enfin, le contenu fréquentiel des efforts peut varier fortement entre le cas flexible et le cas

rigide que nous utilisons pour évaluer l'évolution des efforts.

Suite à toutes ces remarques, une solution simple et pratique consiste à examiner la

réponse du corps quand un des efforts aux frontières est appliqué sous forme d'impulsion,

avec l'avantage que le contenu spectral de l'impulsion couvre une gamme de fréquences

théoriquement infinie. Si représente la matrice masse du corps envisagé, la réponse à une

impulsion correspond à un saut de vitesse vérifiant l'équation :

Pour calculer la réponse d'un corps aux efforts de frontière, nous allons le considérer

libre dans l'espace, si bien que son mouvement complet est décrit à l'aide de l'ensemble des

modes de corps rigide, de l'ensemble des modes statiques restants et d'un certain nombre de

modes de vibration, regroupés respectivement dans les matrices , et . Notons

que pour ce calcul, les modes de vibration sont laissés sous leur forme originale et ont donc

Ψ TrΨ TsΨ T

@MII MIF

MFI MFF

@Ψr

Ψs

Ψ@

η rη sη '

Ψ TrΨ TsΨ T

@0I F

σij' µi@ η ij

µi'Ψ Ti@M@

Ψi

γi''

j

σ 2ij@F

2j

γi'

1Tm

T

0

'j

σij@Fj( t) 2dt

I F η ij σij

µi

Ψi

σij

γi

F2j γ

i


(VII.11)

(VII.12)

(VII.13)

(VII.14)

(VII.15)

éventuellement des contributions aux frontières. Si les indices I et F s'adressent

respectivement aux degrés de liberté internes et de frontière, les vitesses initiales des modes

pour des impulsions unitaires aux frontières peuvent être calculées d'un coup par :

étant une matrice unitaire dont la dimension est égale au nombre de degrés de

liberté de frontière. Chaque terme représente la vitesse initiale du mode i pour une

impulsion unitaire sur le degré de liberté de frontière j. En associant la masse vue par le mode

à cette vitesse initiale, on peut calculer le facteur de couplage correspondant par :

étant la masse généralisée du mode , donnée par :

Il est facile de montrer que le facteur de couplage ainsi obtenu est tout à fait

indépendant de l'amplitude initiale du mode et ne dépend en toute logique que de sa forme.

Remarquons aussi qu'il est en quelque sorte une image de l'énergie cinétique injectée dans le

mode par l'impulsion.

Le coefficient de participation global d'un mode i pour une simulation peut être

calculé de deux façons. Soit on se contente d'une évaluation globale des efforts au cours de

la simulation et on utilise la relation suivante (méthode 1) :

étant la valeur moyenne du carré de l'effort correspondant au degré de liberté de

frontière j, pour la simulation correspondante en corps rigide. Soit on tient compte de

l'évolution temporelle des efforts, et on calcule par (méthode 2) :

F2X'2588,9 N F2

Y'5,42 N F2Z'18,5 N


La méthode 2 peut se révéler utile dans le cas où le corps est connecté aux autres par

l'intermédiaire de plusieurs liaisons car elle permet de prendre en compte une éventuelle

symétrie dans l'application des efforts.

Du point de vue pratique, un des principaux avantages de ce type de sélection est qu'elle

est tout à fait systématique et donc indépendante de la subjectivité de celui qui la met en

oeuvre.

VII.3.5 Résultats pour le pendule simple flexible.

La simulation en corps rigide confirme l'importance des phénomènes axiaux en donnant

pour les forces à l'articulation les valeurs moyennes suivantes :

Comme il n'y a qu'un seul point d'application, les méthodes 1 et 2 conduisent à un même

ordre de sélection des modes. Aux figures VII.5 et VII.6, on trouve les coefficients de

participation obtenus avec la méthode 1 pour les modes de vibration avec interfaces libres ou

fixes. Pour faciliter l'interprétation des résultats, on a également indiqué sur les figures le type

de mode considéré, à savoir mode de flexion dans le plan Y ou Z, mode de torsion ou de

traction. On constate que les modes de traction sont effectivement choisis de façon prioritaire

et ensuite les modes de flexion, les modes de torsion étant éliminés suite à l'inexistence

d'efforts de torsion sur le pendule. L'effet sur la convergence est immédiat, comme on peut

le voir sur la figure VII.7.

Fig VII.5 Coefficients de participation pour les modes de vibration avec interfaces fixes.


Fig VII.6 Coefficients de participation pour les modes de vibration avec interfaces

libres.

Nous avons constaté en pratique que le critère que nous utilisons est relativement sévère

et on peut considérer qu'une erreur relative globale de 10% est un seuil acceptable. Ce seuil

est atteint en 8 et 12 modes respectivement pour les réductions de Craig-Bampton et

MacNeal-Rubin, si on sélectionne les modes selon le coefficient de participation. Il est aussi

important de remarquer que la sélection opérée sur les modes avec interfaces fixes est plus

équilibrée car, malgré l'importance des phénomènes axiaux, deux modes de flexion sont

quand même sélectionnés, à raison d'ailleurs au vu des résultats obtenus.

Fig VII.7 Convergence pour les bases de MacNeal-Rubin et Craig-Bampton.


Ce simple exemple démontre de façon claire l'influence du mouvement réel du corps

sur la sélection des modes composants. Ce problème étant résolu, nous pouvons étudier

quelques applications pour essayer de déterminer si un ou l'autre type de réduction s'impose

en simulation de systèmes multicorps.

VII.4 Application à quelques cas tests.

VII.4.1 Bras articulé.

Il s'agit d'un bras flexible relié au bâti par l'intermédiaire d'un joint de Cardan (voir

figure VII.8) matérialisé par deux articulations rotoïdes A_ROTZ et A_ROTY successives.

Les caractéristiques de la poutre sont les suivantes :

Masse volumique : 7600 kg/m Section : 5E-4 m3 2

Module d'Young : 2.1E11 N/m Moments d'inertie Iy et Iz : 1E-7 m2 4

Coefficient de Poisson : 0.3 Rigidité torsionnelle : 1.6E4 Nm2

Fig VII.8 Bras articulé.

La simulation considérée consiste à appliquer à chacune des articulations constituant le

joint de Cardan un couple moteur dont l'évolution est présentée également à la figure VII.2.

Mis à part le fait que les caractéristiques de la poutre sont différentes, le modèle aux éléments

finis adopté et les modes retenus pour la déformation de référence sont les mêmes que pour

le pendule. Le système complet comprend ainsi 26 degrés de liberté et a été simulé sur 0.06

s avec un pas de 0.2 ms.

En ce qui concerne la génération des bases de Craig-Bampton et MacNeal-Rubin, les

mêmes remarques sont d'application que pour le pendule. Pour chacune des deux bases, on

donne aux figures VII.9 et VII.10 les coefficients de participation des modes pour les valeurs

F2X'34546 N F2

Y'246836 N F2Z'246835 N

M2X'0 N M2

Y'109836 N M2Z'109836 N


suivantes des efforts à l'articulation :

Fig VII.9 Coefficients de participation pour les modes de vibration avec interfaces fixes.


libres.

On trouve à la figure VII.11 le diagramme de convergence pour les réductions de Craig-

Bampton et MacNeal-Rubin selon que l'on sélectionne les modes en fonction de la fréquence

MY MZ


ou en fonction du coefficient de participation (Opt). De nouveau, le fait d'utiliser la méthode

1 ou la méthode 2 ne change rien à l'ordre de sélection.

Fig VII.11 Convergence des différentes réductions pour le bras articulé.

L'examen de la figure VII.11 amène les remarques suivantes :

- la sélection des modes a eu peu d'influence sur les résultats obtenus par la réduction de

Craig-Bampton qui, dans chaque cas, atteint le seuil des 10% avec seulement 4 modes;

le seul effet marquant est l'élimination des modes de torsion;

- grâce à la sélection optimisée, la base de MacNeal-Rubin passe le seuil des 10% en 6

modes au lieu de 18 (!); on remarque en effet que les modes sélectionnés sont très loin

de l'ordre des fréquences;

- même avec une sélection optimisée, la réduction de MacNeal-Rubin se révèle moins

performante que celle de Craig-Bampton, ceci corroborant la remarque que nous

faisions quant à la déficience de la réduction de MacNeal-Rubin en matière de

conditions aux limites dynamiques;

- la méthode utilisée a tendance à surestimer le coefficient de participation des modes de

flexion, si bien que, pour les modes générés par Craig-Bampton, il existe un intervalle

dans lequel la base optimisée se révèle moins efficace que la base standard; cela peut

néanmoins être corrigé (cf. CB opt-var) en ignorant pour le calcul du coefficient de

participation les moments appliqués et , dont l'effet est de toute façon repris

par les forces latérales.

VII.4.2 Manipulateur à trois degrés de liberté.

Le schéma de principe du manipulateur étudié est illustré à la figure VII.12. Le

Z

Y

X

q

q

q

1

2

3

m = 2 kg


mouvement du poignet n'a pas été pris en compte et on place sur l'extrémité du troisième bras

une charge de 2 Kg. Les trois bras ont une longueur de 1 m, sont constitués du même matériau

(aluminium) et ont une même section. Leurs caractéristiques sont les suivantes :


Module d'Young: 7E10 N/m Moments d'inertie Iy, Iz: 2.187E-7 m2 4

Coefficient de Poisson : 0.3 Rigidité torsionnelle : 1.18E4 Nm2

Figure VII.12 Manipulateur à trois degrés de liberté.

Pour la simulation que nous envisageons ici, on applique aux articulations des lois de

couple, calculées à partir d'une analyse dynamique inverse effectuée, de façon à ce que la

masse se déplace en 2s d'une position de coordonnées (1,-0.5,1) en un point de coordonnées

(1,0.5,1) avec un profil d'accélération donné par un polynôme du troisième degré. Dans un

souci d'exactitude des conditions initiales, la gravité n'a pas été prise en compte. Les modèles

de corps flexible adoptés pour chacun des bras sont identiques à ceux du bras articulé ou du

pendule simple. Le système final comporte donc 75 degrés de liberté et a été simulé sur 2s

avec un pas de 5 ms.

En ce qui concerne la sous-structuration, chaque membrure possède cette fois deux

noeuds de frontière si bien que les bases de MacNeal-Rubin comportent six modes statiques.

Les modes supplémentaires composant la base de Craig-Bampton correspondent aux modes

de vibration d'une poutre bi-encastrée. Pour la base de MacNeal-Rubin, on a retranché aux

modes de vibration en libre-libre une combinaison de modes rigides et de modes statiques

contraints de façon à en annuler les contributions aux frontières. De plus, certains modes

élastiques sont éliminés car ils deviennent des combinaisons linéaires des modes statiques et


des autres modes de vibration. Rappelons toutefois que pour le calcul des coefficients de

participation, les modes sont laissés sous leur forme originelle.


fixes.

Fig VII.14 Coefficients de participation pour les modes de vibration avec interfaces libres.

Pour cet exemple, qui avait été traité complètement dans [VERL 92b], le comportement

des deux premières membrures est déjà représenté de façon satisfaisante avec les seuls modes

statiques. Nous allons donc nous intéresser en particulier à la troisième membrure. On trouve

F2E, X'0,686 N F2

E, Y'1,186 N F2E, Z'8,728 N

M2E, X'0 Nm M2

E, Y'6,156 Nm M2E, Z'0,881 Nm

F2S, X'0,232 N F2

S, Y'0,528 N F2S, Z'3,568 N

M2S, X'0 Nm M2

S, Y'0 Nm M2S, Z'0 Nm


aux figures VII.13 et VII.14 les coefficients de pondération des modes de vibration, obtenus

avec la méthode 1 pour les valeurs moyennes des efforts extérieurs suivantes :

où les indices E et S correspondent respectivement à l'articulation et à l'extrémité libre

du bras.

Fig VII.15 Convergence des différentes réductions pour le troisième bras du

manipulateur.

La figure VII.15 reprend les diagrammes de convergence pour les différentes réductions

possibles et amène les commentaires suivants :

- l'ordre des modes est peu altéré pour les deux bases, ceci provenant du fait que les

efforts ne se localisent pas significativement dans une direction ou un plan privilégiés;

- le fait d'utiliser la méthode 1 ou la méthode 2 n'a aucune influence sur la sélection dans

le cas des modes Craig-Bampton mais améliore légèrement la convergence pour

MacNeal-Rubin;

- de nouveau, la réduction de MacNeal-Rubin se montre moins efficace que celle de

Craig-Bampton;

- dans les deux cas, le fait d'ignorer les moments de flexion aux extrémités a conduit de

nouveau à un meilleur résultat (cf. CB opt-var);

V=20 m/s

R=800 m


VII.4.3 Locomotive de chemin de fer.

Nous allons ici nous intéresser à un véhicule de type ferroviaire, en l'occurrence la

locomotive série 27 construite par BN et ACEC.

Fig VII.16 Simulation de la locomotive.

La simulation envisagée, illustrée à la figure VII.16, consiste à lancer la locomotive dans

un virage de 800 m de rayon, à une vitesse de 20 m/s correspondant d'ailleurs à la vitesse

maximale admissible pour le virage en question. On ne tient pas compte du contact roue-rail

et les bogies de la locomotive sont modélisés par des éléments de segment sur courbe suivis

d'un corps pour matérialiser la masse des bogies. On peut trouver dans l'annexe D toutes les

caractéristiques d'inertie des bogies et de la caisse ainsi que celles des suspensions du

véhicule.

Le modèle aux éléments finis de la caisse de la locomotive, ainsi que les noeuds

privilégiés et le noeud de référence sont illustrés à la figure VII.17. Il est composé de poutres

et de masses ponctuelles tenant compte des masses non structurelles comme les gros

dispositifs électriques. Les éléments résistants de la caisse se situent principalement au niveau

du plancher, où sont d'ailleurs localisées toutes les masses ponctuelles, les poutres supérieures

ne soutenant que la toiture. On a défini 7 noeuds privilégiés, auxquels il faut ajouter le noeud

de référence, si bien que la déformation de référence est modélisée à partir de 42 modes

statiques contraints. Pour pouvoir réduire la structure en ces noeuds, les poutres transversales

du plancher ont été modélisées comme des barres rigides. On notera que cette modélisation

influence très peu le comportement global de la caisse qui dépend essentiellement de la

flexion des barres longitudinales. Le système multicorps complet comporte 54 degrés de

liberté et 6 équations de fermeture, soit un total de 60 équations algébro-différentielles et a été

simulé sur 2s avec un pas de 1 ms.

La caisse est attachée aux bogies aux noeuds 10 et 33 qui constituent les noeuds de



Modèle aux éléments finis de la locomotive série 27

Barres rigides

F2E, X'22,99 N F2

E, Y'6,02 E6 N F2E, Z'2,86 E10 N

M2E, X'4,13 E5 Nm M2

E, Y'1,99 Nm M2E, Z'17,36 Nm

F2S, X'335 N F2

S, Y'1,64 E4 N F2S, Z'2,83 E10 N

M2S, X'4,11 E5 Nm M2

S, Y'0,47 Nm M2S, Z'19,2 Nm


frontière, par l'intermédiaire de la suspension secondaire qu'on a pu ramener en un point, grâce

à la présence des barres rigides, en introduisant des ressorts de torsion.

Fig VII.17 Modèle aux éléments finis de la caisse.

Comme précédemment, nous allons nous intéresser aux réductions de MacNeal-Rubin

et Craig-Bampton dérivant de la définition des deux noeuds de frontière mais il nous semble

utile d'envisager aussi une base modifiée de Benfield-Hruda (cf. chapitre VI) dont les modes

de vibration seront ceux de la caisse, lorsqu'elle reliée au bâti par l'intermédiaire de sa

suspension secondaire. Les figures VII.18 à VII.20 reprennent les coefficients de participation

pour chacune des bases concernées, obtenus avec la méthode 1 pour les valeurs moyennes

suivantes des efforts :

où les indices E et S correspondent respectivement aux noeuds 10 et 33. On remarque


clairement que l'on a prédominance des forces verticales (suivant Z) dues à la gravité et des

forces latérales (suivant Y) dues à l'accélération centripète.


fixes.


On peut remarquer que les modes sélectionnés se retrouvent un peu partout dans la

bande de fréquence.


Fig VII.20 Coeff. de participation pour les modes de vibration avec interfaces chargées.

Fig VII.21 Convergence des différentes réductions pour la caisse de locomotive.

Le diagramme de convergence obtenu, représenté à la figure VII.21, appelle les

commentaires suivants :

- de nouveau, la réduction de Craig-Bampton, une fois optimisée, se révèle plus efficace

que celle de MacNeal-Rubin mais c'est incontestablement la dernière réduction

proposée qui mérite la mention spéciale en franchissant le seuil des 10% avec seulement

8 modes;

- le fait d'utiliser la méthode 2 au lieu de la méthode 1 améliore légèrement les

5 m/s


performances pour les modes de vibration avec interfaces fixes ou chargées mais les

diminue pour les modes avec interfaces libres;

- un peu comme pour l'exemple du pendule, on remarque que la convergence ne

s'améliore nettement qu'au passage de certains modes; cela est dû à la nature

relativement calme de la simulation pour laquelle la locomotive vibre finalement peu;

la déformation correspond ainsi en grande partie à celle qu'on obtiendrait en appliquant

uniquement la gravité et l'accélération centripète; si les mêmes efforts étaient appliqués

de façon plus irrégulière, on constaterait une convergence plus progressive.

VII.4.4 Véhicule tout terrain.

Nous terminerons cette série d'exemples par l'étude d'un véhicule sur route. Les

caractéristiques de celui que nous allons étudier s'inspire de la jeep MINERVA. Pour la

simulation de référence, l'engin est lancé à une vitesse de 5 m/s, les roues gauches devant

franchir une bosse de 10 cm de haut s'étalant sur 1 m de large. La figure VII.22 donne une

image schématique de la scène. La vitesse est telle qu'il n'y a pas décollement de la jeep. La

mise en contact de la caisse avec le sol est réalisée par 4 éléments "point sur sol". Le

comportement du pneu n'est donc pas pris en compte mais on a astreint les roues de droite à

se déplacer de façon rectiligne pour éviter une rotation du véhicule.

Fig VII.22 Simulation considérée.

Le modèle aux éléments finis de la caisse, ainsi que la disposition des noeuds privilégiés

sont illustrés à la figure VII.23. Il est constitué d'éléments de poutre pour le châssis sur lequel

on a ajouté des plaques dont le seul but est de donner une répartition de masse aussi réaliste

que possible. Le matériau constitutif des plaques est choisi tel que leur résistance est

négligeable vis-à-vis de celle des poutres. De plus, comme aucun noeud privilégié n'étant



Barre rigide

Modèle aux éléments finis de la caisse du véhicule

Eléments de plaque


défini sur la partie supérieure, leur vibration propre ne peut apparaître. Enfin, trois masses

ponctuelles, placées aux noeuds 20, 44 et 56 représentent le moteur et la transmission. On peut

trouver en annexe D les caractéristiques d'inertie de l'ensemble.

Fig VII.23 Modèle aux éléments finis de la caisse du véhicule.

Comme les roues sont montées sur des essieux, on a réduit la suspension en un point en

faisant intervenir un ressort de roulis. Pour chaque train de roues, le point de réduction

(noeuds 83 pour l'arrière et 86 pour l'avant) est relié au châssis en quatre points correspondant

aux points d'attache des lames de ressort, par l'intermédiaire d'un jeu de barres rigides défini

de façon à approcher au mieux les conditions réelles de transmission des efforts. Les

caractéristiques de chaque essieu et de la suspension sont données dans l'annexe D.

On a sélectionné 6 noeuds privilégiés si bien que la déformation de référence est

constituée des 36 modes statiques contraints correspondants. Suite à la réduction des

suspensions, on n'a plus que deux noeuds de frontière, y compris le noeud de référence, avec

les conséquences correspondantes pour les bases de MacNeal-Rubin et Craig-Bampton. A

nouveau, nous avons considéré une base modifiée de Benfield-Hruda dont les modes de

vibration correspondent à ceux de la caisse lorsqu'elle est appuyée sur sa suspension. On

F2E, X'1,66 E5 N F2

E, Y'2,31 E6 N F2E, Z'2,29 E7 N

M2E, X'8,60 E5 Nm M2

E, Y'1,47 E4 Nm M2E, Z'1,43 E5 Nm

F2S, X'2,74 E5 N F2

S, Y'3,77 E4 N F2S, Z'3,35 E7 N

M2S, X'1,19 E6 Nm M2

S, Y'2,40 E4 Nm M2S, Z'2,09 E5 Nm


trouve aux figures VII.24 à VII.26 les coefficients de participation des différents modes de

vibration, obtenus avec la méthode 1 pour les efforts moyens suivants :

où les indices E et S correspondent respectivement aux noeuds 83 et 86.

Il est intéressant de constater que, pour les bases de MacNeal-Rubin et Benfield-Hruda

modifié, la sélection se rapproche considérablement de l'ordre des fréquences.


fixes.

On trouvera à la figure VII.27 les diagrammes de convergence relatifs à l'utilisation des

différentes réductions pour la modélisation de la caisse du véhicule. Pour les bases de Craig-

Bampton et MacNeal-Rubin, nous n'avons pas représenté les résultats obtenus par la méthode

2 car cette dernière ne se différenciait pas significativement de la méthode 1. Remarquons que,

pour les modes de vibration avec interfaces fixes, les résultats sont comparables quelle que

soit la sélection, malgré le fait que les modes constituant les bases sont différents.



Fig VII.26 Coeff. de participation pour les modes de vibration avec interfaces chargées.

L'examen des diagrammes de convergence montre que :

- suite à la variété des efforts appliqués, la convergence est comparable que la sélection

soit ou non optimisée;

- les performances de chacune des réductions sont semblables, avec toutefois un léger

avantage pour Benfield-Hruda modifié;

- l'utilisation de la méthode 2 n'apporte rien et même diminue les performances pour les


modes de vibration avec interfaces libres.

Fig VII.27 Convergence des différentes réductions pour la caisse du véhicule.

VII.5 Validation ultime de la réduction modifiée de Benfield-Hruda.

VII.5.1 Considérations générales.

Les deux derniers exemples laissent à penser que la réduction modifiée de Benfield-

Hruda peut constituer une solution appropriée pour l'analyse dynamique des systèmes

multicorps flexibles. L'ensemble des résultats repris dans [VERL 92b] entérinent d'ailleurs

cette remarque. Comme nous l'avons déjà signalé au chapitre VI, le principal inconvénient de

cette réduction est que les conditions de raideur et d'inertie à placer aux interfaces sont

généralement difficiles à chiffrer. Toutefois, nous ne pensons pas que leur détermination

précise influence grandement les performances de la base de modes ainsi construite. Par

contre, il nous semble utile de nous attarder sur les conditions aux limites à définir pour

représenter au mieux les relations existant entre les corps en fonction de la nature des liaisons

qui les relient. Quelle que soit la liaison, elle engendre d'une part un mouvement relatif et

permet d'autre part la transmission de certains efforts, qui sont tels que si la liaison est libre,

le torseur des vitesses associé au mouvement relatif est orthogonal au torseur des efforts

transitant par les liaisons. Cependant, la liaison peut être motrice ou comporter des éléments

de force comme des ressorts, si bien que cette dernière relation n'est plus vérifiée. Nous

pensons qu'on peut obtenir des résultats satisfaisants en appliquant les règles suivantes pour

définir le chargement aux interfaces à appliquer lors du calcul des modes de vibration :

- on placera selon les degrés de liberté orthogonaux aux directions de mouvement de la

liaison des conditions de raideur et d'inertie approchant au mieux celles apportées par

les corps adjacents;

- si la liaison est libre, les degrés de liberté correspondant au mouvement relatif de la


liaison seront laissés libres également;

- si la liaison comporte des ressorts, une rigidité équivalente sera définie entre le bâti et

le degré de liberté correspondant;

- on bloquera les degrés de liberté selon lesquels agit un actuateur, si la liaison est

motrice.

La façon la plus simple d'illustrer ces considérations est de les appliquer sur nos trois

premiers exemples, à savoir le pendule, le bras articulé et le bras de manipulateur. Cela nous

permettra de plus d'apporter une ultime confirmation à l'efficacité de la réduction modifiée de

Benfield-Hruda.

VII.5.2 Application au pendule.

Le pendule étant relié au bâti par une liaison sphérique complètement libre, les modes

de vibration composant la base modifiée de Benfield-Hruda correspondront aux modes

propres d'une poutre appuyée-libre, desquels on aura exclu les trois modes rigides. Les

résultats obtenus sont donnés à la figure VII.28 et confirment nos espérances : le seuil des

10% est franchi avec 6 modes seulement, au lieu de 8 pour la base de Craig-Bampton.

Fig VII.28 Convergence de Benfield-Hruda modifié pour le pendule simple.

VII.5.3 Application au bras articulé.

Les deux degrés de liberté de la liaison de Cardan étant moteurs, les modes de vibration

à considérer sont ceux d'une poutre encastrée-libre, soit les mêmes que pour la réduction de

Craig-Bampton. Celle-ci ayant déjà été envisagée précédemment, rappelons simplement que


le seuil des 10% avait été franchi en 4 modes seulement.

VII.5.4 Application au bras de manipulateur.

Nous nous étions uniquement intéressés au dernier bras du manipulateur, relié en une

extrémité au bras précédent par l'intermédiaire d'une liaison rotoïde et supportant à son

extrémité libre une charge de 2 kg. Comme la liaison est motrice, les modes de vibration de

la poutre seront calculés en la reliant au bâti par l'intermédiaire d'une poutre (correspondant

au bras précédent qui a les mêmes caractéristiques que le bras étudié) et en chargeant

l'extrémité restante d'une masse de 2 kg (cf. figure VII.29).

Fig VII.29 Conditions aux limites pour le calcul des modes de vibration du bras.

Fig VII.30 Convergence de Benfield-Hruda modifié pour le bras de manipulateur.

Le diagramme de convergence présenté à la figure VII.30 montre que la base proposée

améliore à nouveau la convergence en franchissant le seuil des 10% avec seulement 8 modes

et s'avère ainsi plus performante que la base de Craig-Bampton qui était jusque là la meilleure.

Remarquons aussi que la base modifiée de Benfield-Hruda souffre moins de la surestimation

des coefficients de participation des modes de flexion.


VII.6 Conclusion.

A la suite d'une étude systématique des potentialités que présentent les méthodes

classiques de synthèse modale lorsqu'elles sont appliquées en analyse dynamique des systèmes

multicorps flexibles, nous proposons une méthode permettant de bâtir une base de modes

composants susceptible de représenter au mieux la déformation d'un corps flexible dans le

cadre d'une simulation déterminée. La mise en oeuvre de la méthode s'effectue en deux étapes.

En premier lieu, on génère un ensemble initial de modes de déformation, dont le caractère

dépend essentiellement du système étudié et des interconnexions existant entre les corps, par

une technique semblable à celles rencontrées en analyse vibratoire des structures, telles les

réductions de Craig-Bampton et MacNeal-Rubin. Cet ensemble initial étant généralement

constitué de modes statiques et de modes de vibration, la deuxième étape consiste à

sélectionner ces derniers selon la probabilité qu'ils présentent de participer au mouvement

compte tenu de la simulation considérée.

Il semble que la base initiale de modes composants la plus appropriée soit celle obtenue

par la réduction modifiée de Benfield-Hruda. Toutefois, la réduction de Craig-Bampton peut

aussi constituer une bonne solution car elle a toujours apporté une convergence régulière

même si elle n'était pas la plus rapide. Signalons que cette dernière remarque est corroborée

par les résultats présentés dans [KIM 90]. Par contre, la réduction de MacNeal-Rubin est à

rejeter suite à l'irrégularité des résultats auxquels elle conduit.

En ce qui concerne la sélection des modes de vibration, elle s'effectue sur base d'un

coefficient de participation des modes, exprimant la probabilité de participation au

mouvement du mode. Les bénéfices d'une telle méthode de sélection ont été illustrés tout au

long des exemples traités. Le coefficient de participation d'un mode est calculé à partir de

l'évolution des efforts agissant sur le corps pour la simulation considérée, obtenue par exemple

au moyen de l'analyse correspondante en rigide et des facteurs de couplage existant entre le

mode et les efforts appliqués. Deux méthodes ont été présentées pour calculer pratiquement

le coefficient de participation, la première ne retenant que la valeur moyenne des efforts, la

seconde prenant en compte leur évolution temporelle. Cette dernière n'ayant pas apporté

d'amélioration significative pour les applications traitées, la première méthode lui sera

préférée en raison de sa simplicité. Notons aussi que si l'analyse en rigide démontre que les

efforts ne se localisent pas dans une direction ou un plan particuliers, la sélection des modes

en fonction de la fréquence, comme elle se fait couramment en analyse modale, peut être

considérée comme satisfaisante.

La stratégie que nous venons d'évoquer constitue une solution acceptable au problème

de la sélection des modes composants en systèmes multicorps mais certains indices, comme

la surestimation des coefficients de participation des modes de flexion pour les poutres,


indiquent qu'elle doit encore être affinée. Cependant, nous sommes convaincus que le

raisonnement suivi, à savoir construire une base initiale à partir des caractéristiques du

système et y sélectionner ensuite les modes en fonction de la simulation, est le bon.

Les améliorations éventuelles peuvent porter notamment sur la détermination numérique

du coefficient de participation tant en ce qui concerne le facteur de couplage que la façon de

caractériser le mouvement du corps. Une autre idée intéressante serait de séparer les efforts

qui ne font que transiter à travers le corps de ceux qui le mettent réellement en mouvement.

Cela pourrait se révéler utile pour définir la proportion de modes statiques et de modes de

vibration. Enfin, on pourrait penser étendre la sélection aux modes statiques bien qu'on puisse

aussi considérer les modes en question comme une sorte de garde-fou puisqu'ils assurent un

modèle minimal de déformation dans chaque direction.

Chapitre VIII : Conclusions 169

Chapitre VIII : Conclusions.

Nous avons essayé de présenter dans cet ouvrage une solution aussi complète que

possible au problème de la simulation de systèmes multicorps flexibles.

La première partie est consacrée au problème général de la simulation et au

développement des différents moyens nécessaires à sa mise en oeuvre. Sur base d'une

approche en coordonnées relatives, les différentes méthodes permettant la réalisation de

chacune des étapes constitutives du processus de simulation ont été choisies dans le souci d'un

temps de calcul performant mais aussi de façon à assurer une cohérence globale.

Le système est décrit comme un ensemble de chaînes cinématiques et de liaisons

externes correspondant aux liaisons qui n'ont pu être introduites dans les chaînes cinématiques

si le système comporte des boucles. Ces dernières seront traitées comme dans le cas d'une

approche en coordonnées cartésiennes, sous forme d'équations de contrainte et d'efforts

extérieurs.

Les chaînes cinématiques sont décrites comme une succession d'éléments

cinétostatiques. Un élément cinétostatique apparaît comme un transformateur de mouvement

et un transformateur d'efforts entre deux repères. Il reprend indifféremment les liaisons et les

corps et permet l'introduction naturelle de corps flexibles, dont la déformation sera modélisée

à partir de la somme pondérée d'un certain nombre de déformées préalablement choisies et

appelées modes composants.

Comme les équations différentielles régissant le comportement d'un système multicorps

flexible sont raides, nous avons proposé une formulation originale, permettant non seulement

leur écriture mais aussi une détermination efficace de la matrice d'itération nécessaire à leur

intégration. Cette formulation, appelée formulation résiduelle, consiste à combiner une

méthode dynamique inverse pour le calcul des résidus des équations d'équilibre dynamique

avec une détermination de la matrice d'itération au moyen d'une dérivation numérique. La

méthode dynamique inverse utilisée est celle de Newton-Euler. Elle permet l'utilisation directe

des fonctions de transformation relatives à chaque élément cinétostatique.

La contribution sur les résidus des liaisons externes est reprise intégralement par

l'intermédiaire des efforts engendrés par la liaison, dont certains dépendent directement des

multiplicateurs de Lagrange associés aux équations de contrainte. On assure ainsi la cohérence

avec la méthode de Newton-Euler, basée exclusivement sur le calcul vectoriel.


Pour assurer un temps de calcul performant, tant la construction que l'inversion de la

matrice d'itération ont été optimisées en fonction de la topologie du système étudié.

Le système d'équations algébro-différentielles résultant de la présence d'équations de

contrainte pose certains problèmes d'intégration. Nous en avons évoqué la nature et les

principales solutions. Nous avons opté pour une solution simple, consistant à intégrer les

équations en considérant les équations de contrainte au niveau des vitesses avec une correction

par projection des équations de contrainte aux niveaux des positions et des accélérations. Ceci

permet une intégration avec des méthodes directement adaptées aux systèmes d'équations

différentielles du second ordre, ce qui améliore à la fois la précision et la rapidité de

l'intégration.

L'efficacité des différentes techniques proposées a été démontrée sur plusieurs exemples.

La seconde partie est consacrée entièrement à l'utilisation de la synthèse par modes

composants en systèmes multicorps. Tout le problème réside dans le compromis existant entre

la rapidité et la précision du calcul, la solution idéale consistant à modéliser chaque corps

flexible avec le nombre minimal de modes permettant d'atteindre le seuil de précision désiré.

Suite à la similitude existant avec l'analyse vibratoire des structures, nous avons d'abord

insisté sur les techniques de réduction qui y sont classiquement utilisées et la façon dont on

pouvait les adapter à notre contexte. De façon générale, la base utilisée comporte l'ensemble

des modes statiques contraints sur les interfaces et un nombre limité des premiers modes de

vibration pour des conditions d'appui sur les interfaces qui dépendent de la réduction

envisagée. On s'est ensuite intéressé à la façon d'exploiter le modèle aux éléments finis du

corps, pour en calculer les différents invariants nécessaires à l'écriture de ses équations

d'équilibre.

On termine par un examen systématique des potentialités des bases de modes émanant

des réductions classiques dans le cadre de quelques applications particulières. On en déduit

que la base la plus adéquate se compose de modes statiques et de modes de vibration avec

interfaces chargées. Les conditions de chargement dépendent du voisinage du corps et des

sollicitations dont il fait l'objet. Les modes de vibration sont sélectionnés selon un coefficient

de participation exprimant la possibilité du mode de participer au mouvement global du

système. Ce coefficient est calculé à partir de l'évolution des efforts agissant sur le corps pour

la simulation considérée, obtenue par l'intermédiaire de l'analyse correspondante menée en

considérant les corps comme rigides.

Il nous semble intéressant pour terminer d'envisager quelques perspectives d'avenir.

Chapitre VIII : Conclusions 171

La prise en compte de corps flexibles dans l'analyse dynamique de systèmes multicorps est

un problème bien maîtrisé à l'heure actuelle. L'approche présentée dans le cadre de cette thèse,

basée sur l'utilisation du repère de référence, ou l'approche éléments finis en constituent les

solutions privilégiées. Cependant, des problèmes plus ponctuels subsistent encore comme par

exemple la répartition des efforts au droit des liaisons ou la modélisation du comportement

non linéaire des matériaux. A ce sujet, on peut espérer le développement prochain d'une

méthode souple, permettant de récupérer aisément les caractéristiques liées au raidissement

géométrique, à partir d'un logiciel d'éléments finis. Nous croyons aussi que, comme nous

l'avons fait pour les poutres dans ce travail, une solution plus générale pourrait être apportée

en quantifiant le raidissement à partir des seuls efforts agissant sur le corps.

La sélection des modes composants reste aussi un problème ouvert. La solution que

nous avons proposée a pour principal atout d'être systématique mais, tout en gardant la même

philosophie, basée sur l'estimation des possibilités de participation des modes, elle pourrait

probablement être améliorée, notamment par une investigation d'autres méthodes d'évaluation

des coefficients de participation.

Enfin, il nous semble utile de s'intéresser de plus près aux contraintes dont les différents

corps flexibles sont le siège. Une solution consisterait à conditionner les résultats de l'analyse

dynamique pour les rendre utilisables par le postprocesseur du code d'éléments finis ayant

servi à générer les corps flexibles. On peut toutefois souhaiter le développement de

postprocesseurs spécifiques, directement couplés au logiciel de simulation, et permettant de

déterminer de façon plus fine les contraintes, en tenant compte de la répartition des réactions

d'inertie. Nous croyons aussi que les logiciels d'analyse de systèmes multicorps flexibles

pourraient constituer un outil intéressant pour l'étude des phénomènes de fatigue dans les

éléments de machine soumis à des sollicitations dynamiques importantes.

Bibliographie 173

Bibliographie

[ABDA 90] ABDALLAH A.A. and HUCKELBRIDGE A.A., 'Boundary Flexibility

Method of Component Mode Synthesis using Static Ritz Vectors',

Computers & Structures, Vol. 35, pp 51-61, 1990.

[AMBR 93] AMBROSIO J.A.C., PEREIRA M.S., 'Multibody Dynamics in Impact and

Crashworthiness', in [PERE 93a], pp. 425-459.

[ANAN 91] ANANTHARAM M., HILLER M.,'Numerical Simulation of Mechanical

Systems using Methods for Differential-Algebraic Equations',International

Journal for Numerical Methods in Engineering, 1991, 32:1531-1542

[ANDE 92] ANDERSON K.S., 'An Order n Formulation for the Motion Simulation of

General Multi-Rigid-Body Constrained Systems', Computers and

Structures, Vol. 43, nE 3, pp. 565-579, 1992.

[ANDE 93] ANDERSON K.S., 'Efficient Modelling of General Multibody Dynamic

Systems with Flexible Components', in [PERE 93b], pp. 179-196.

[BENF 71] BENFIELD W.A. and HRUDA R.F., 'Vibration Analysis of Structures by

Component Mode Substitution', AIAA Journal, Vol. 9, NE7, 1971, pp 1255-

1261.

[BLEJ 81] BLEJWAS T.E, 'The Simulation of Elastic Mechanisms Using Kinematic

Constraints and Lagrange Multipliers', Mechanism and Machine Theory,

Vol. 16, NE 4, 1981, pp 441-445.

[BREN 89] BRENAN K.E., CAMPBELL S.L., PETZOLD L.R., 'Numerical Solution

of Initial-Value Problems in Differential-Algebraic Equations',

North-Holland. 1989.

[CARD 88a] CARDONA A., 'An Integrated Approach to Mechanism Analysis', Thèse

de doctorat, Université de Liège, Faculté de Sciences Appliquées.

[CARD 88b] CARDONA A. and GERADIN M., 'A Beam Finite Element Non-Linear

Theory with Finite Rotations', International Journal for Numerical Methods

in Engineering, Vol.26, 1988, pp 2403-2438.


[CARD 89] CARDONA A. and GERADIN M., 'Time Integration of the Equations of

Motion in Mechanism Analysis', Computers and Structures, Vol.33, nE3,

pp. 801-820, 1989.

[CARD 91] CARDONA A. and GERADIN M., 'Modeling of Superelements in

Mechanism Analysis', International Journal for Numerical Methods in

Engineering, Vol. 32, pp 1565-1594, 1991.

[CARD 93] CARDONA A., GERADIN M., 'Numerical Integration of Second-Order

Differential-Algebraic Systems in Flexible Mechanisms Dynamics', in

[PERE 93a], pp.165-193.

[CHAN 90] CHANG C.W. and SHABANA A.A., 'Spatial Dynamics of Deformable

Multibody Systems With Variable Kinematic Structure', Tr. ASME, Jnal of

Mechanical Design, June 1990, Vol. 112, pp 153-167.

[CHIA 84] CHIANG L.W., 'Dynamic Analysis of Robotic Manipulators with Flexible

Links', Purdue University, Ph.D., 1984.

[CONT 91] CONTI C. et BRANCART J.-P., 'La simulation des mécanismes assistée

par ordinateur: une priorité dans le Service de Mécanique Rationnelle.

Partie 1: Application de la méthode à paramétrage minimum à la conception

de véhicules guidés sur pneus', Bulletin de l'AIMs, Décembre 1991, pp 8-13.

[CONT 93] CONTI C., DEHOMBREUX P., VERLINDEN O. and DATOUSSAID S.,

'ACIDYM, a Modular Software for Computer-Aided Learning of Kinematic

and Dynamic Analysis of Multibody Systems', in [SCHI 93a]

[CRAI 68] CRAIG R.R. and BAMPTON M.C.C., 'Coupling of substructures for

Dynamic Analysis', AIAA Journal, Vol. 6, pp 1313-1319, 1968.

[DATO 92] DATOUSSAID S., 'La simulation des mécanismes assistée par ordinateur:

une priorité dans le Service de Mécanique Rationnelle. Partie 2: Prévision

du confort et de la stabilité de véhicules sur rail', Bulletin de l'AIMs, Janvier

1992, pp 6-9.

[DEHO 91] DEHOMBREUX P., CONTI C., VERLINDEN O. and HOU G., 'A

Numerical Stabilization Algorithm based on the Introduction of a

Bibliographie 175

Constraint Violation Factor', European Journal of Mechanical Engineering,

Vol. 36, NE2, 1991, pp 99-104.

[DEHO 92] DEHOMBREUX P., 'La simulation des mécanismes assistée par ordinateur:

une priorité dans le Service de Mécanique Rationnelle. Partie 4: La stabilité

des méthodes d'intégration numérique des équations du mouvement',

Bulletin de l'AIMs, Avril 1992, pp 14-17.

[DEHO 93] DEHOMBREUX P., CONTI C., VERLINDEN O. et DATOUSSAID S.,

'Analyse dynamique des systèmes multicorps contraints', Actes du 11e

Congrès Français de mécanique, Lille 1993, pp 357-360.

[EDF 92] Ecoles CEA - EDF - INRIA, 'Problèmes non linéaires appliqués: systèmes

algébro-différentiels.', Séminaire EDF, Clamart, Juin 1992.

[EICH 92] EICH E., FÜHRER C., 'Numerical Methods in Multibody Dynamics', Actes

du séminaire d'étude sur Les méthodes de calcul appliquées à la dynamique

des systèmes multicorps, Francosim, Roanne, Mai 1992, 106 pages.

[EICH 93] EICHBERGER A., FÜHRER C., SCHWETASSEK R., 'Formulation of

Dynamical System Equations for Parallel Multibody Simulation', in [PERE

93a], pp 97-117.

[FISE 91] FISETTE P., SAMIN J.Cl. and WILLEMS P.Y., 'Contribution to Symbolic

Analysis of Deformable Multibody Systems', International Journal for

Numerical Methods in Engineering, Vol. 32, 1991, pp 1621-1635.

[FÜHR 90] FÜHRER, SCHWERTASSEK, 'Generation and Solution of Multibody

Systems Equations', International Journal of Non-Linear Mechanics,

Vol.25, NE2/3, pp127-141. (1990)

[FÜHR 91] FÜHRER C., LEIMKUHLER B., 'A New Class of Generalized Inverses for

the Solution of Discretized Euler-Lagrange Equations', in [HAUG 91a], pp.

143- 154

[GARC 87] GARCIA DE JALON J., UNDA J., AVELLO, JIMENEZ, 'Dynamic

Analysis of Three-Dimensinal Mechanisms in Natural Coordinates', Tr.

ASME, Journal of Mechanisms, Transmissions and Automation in Design,

Dec 1987, Vol 109, Pages 460-465.


[GARC 93] GARCIA DE JALON J., CUADRADO J., AVELLO A., JIMENEZ J.M.,

'Kinematic and Dynamic Simulation of rigid and flexible systems with fully

Cartesian Coordinates', in [PERE 93a], pp 287-323.

[GEAR 71] GEAR (1971), 'Simultaneous Numerical Solution of Differential-Algebraic

Equations', IEEE Transactions on Circuit Theory, Vol. CT-18, NE1,

January 1971, pp 89-95

[GEAR 90] GEAR, C.W., 'Differential Algebric Equations, indices and Integral

Algebraic Equations', SIAM Journal for Numerical Analysys, Vol. 27, NE

6, pp 1527-1534, December 1990.

[GERA 83] GERADIN M., ROBERT G. and BERNARDIN C., 'Dynamic Modelling

of Manipulators with Flexible Members', Proceedings Advanced Software

in Robotics, 4-6 May 1983, Liège (Belgium).

[GERA 90] GERADIN M., 'Dynamique des systèmes multicorps', Cours Comett, 1991,

Liège (Belgium)

[GERA 93a] GERADIN M. et RIXEN D., 'Théorie des vibrations - Application à la

dynamique des structures', Masson, 1993.

[GERA 93b] GERADIN M., CARDONA A., DUYSENS J. and DOAN D.B., 'Finite

Element Modeling Concepts in Multibody Dynamics', in [PERE 93a], pp

325-375.

[GOLL 89] GOLLA D.F., BUHARIWALA K.J., HUGHES P.C. and

D'ELEUTERIO G.M.T., 'Efficient Algorithms for the Dynamical

Simulation of Structurally Flexible Manipulators', Transactions of the

CSME, Vol. 33, NE4, 1989, pp 97-102.

[GUYA 65] GUYAN R.J., 'Reduction of Stiffness ans Mass Matrices', AIAA Journal,

Vol. 3, NE2, February 1965

[HAN 90] HAN R.P.S. and ZHAO Z.C., 'Dynamics of General Flexible Multibody

Systems', International Journal for Numerical Methods in Engineering,

Vol. 30, 1990, pp 77-97.

Bibliographie 177

[HAUG 89] HAUG E.J., 'Computer Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical

Systems', ALLYN and BACON, 1989.

[HAUG 91] HAUG E.J., DEYO R.C., 'Real-Time Integration Methods for Mechanical

Systems Simulation', NATO ASI Series. Series F: Computer and Systems

Sciences. Vol. 69. Springer-Verlag. 1991

[HILL 89] HILLER M., KECSKEMETHY A., 'Equations of Motion of Complex

Multibody Systems Using Kinematics Differential', Modélisation et analyse

assistées par ordinateur de systèmes articulés, Paris 89, Institut pour la

promotion des sciences de l'Ingénieur.

[HILL 93] HILLER M., 'Dynamics of Multibody Systems with Minimal Coordinates',

in [PERE 93a], pp 119-163.

[HOLL 84] HOLLERBACH J.M., BRADY M., JOHNSON T.L., LOZANO-PEREZ T.

and MASON M.T., 'Robot Motion : Planning and Control', MIT Press,

1984

[HUGH 89a] HUGHES P.C. and SINCARSIN G.B., 'Dynamics of an Elastic Multibody

Chain - Part A: Body Motion Equations', Dynamics and Stability of

Systems, Vol. 4, 1989, pp 209-226.

[HUGH 89b] HUGHES P.C. and SINCARSIN G.B., 'Dynamics of an Elastic Multibody

Chain - Part B: Global Dynamics', Dynamics and Stability of Systems,

Vol. 4, 1989, pp 227-244.

[IDER 89] IDER S.K. and AMIROUCHE F.M.L., 'Nonlinear Modeling of Flexible

Multibody Dynamics subjected to Variable Constraints', Tr. ASME, Journal

of Applied Mechanics, June 1989, Vol. 56, pp 444-450.

[IDER 91] IDER S.K., 'Finite Element Based Recursive Formulation for Real Time

Dynamic Simulation of Flexible Multibody Systems', Computers and

Structures, Vol. 40, NE4, 1991, pp 939-945.

[KECS 93] KECSKEMETHY A., 'Sparse-MAtrix Generation of Jacobians for the

Object-Oriented Modelling of Multibody Dynamics', in [PERE 93b],

pp 71-90.


[KHUL 86] Khulief Y.A. and SHABANA A.A., 'Dynamic Analysis of Constrained

System of Rigid and Flexible Bodies With Intermittent Motion', Tr. ASME,

Jnal of Mechanisms, Transmissions, and Automation in Design, March

1986, Vol. 108, pp 38-45.

[KIM 88] KIM S.S. and HAUG E.J., 'A Recursive Formulation for Flexible

Multibody Dynamics, Part I: Open-Loop Systems', Computer Methods in

Applied Mechanics and Engineering, Vol. 71, 1988, pp 293-314.

[KIM 89] KIM S.S. and HAUG E.J., 'A Recursive Formulation for Flexible

Multibody Dynamics, Part II: Closed-Loop Systems', Computer Methods

in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 74, 1989, pp 251-269.

[KIM 90] KIM S.S. and HAUG E.J., 'Selection of Deformation Modes for Flexible

Multibody Dynamics', Mechanics of Structures and Machines, Vol. 18,

NE4, 1990, pp 565-586

[LAI 91] LAI H.J., HAUG E.J., KIM S.S and BAE D.S., 'A Decoupled Flexible-

Relative Coordinate Recursive Approach for Flexible Multibody

Dynamics', International Journal for Numerical Methods in Engineering,

Vol. 32, 1991, pp 1669-1689.

[MACN 71] MACNEAL R.H., 'A Hybrid Method of Component Mode Synthesis',

Computers & Structures, Vol. 1 pp 581-601, 1971.

[MEIJ 93] MEIJARRD J.P., 'Validation of Flexible Beam Elements in Dynamics

Programs', in [PERE 93b], pp 229-245.

[MEIR 90] MEIROVITCH L. and KWAK M.K., 'Convergence of the Classical

Rayleigh-Ritz Method and the Finite Element Method', AIAA Journal,

Vol. 29, October 1991, pp 1709-1719.

[MEIR 91] MEIROVITCH L. and KWAK M.K., 'Rayleigh-Ritz Based Substructure

Synthesis for Flexible Multibody Systems', AIAA Journal, Vol. 29, October

1991, pp 1709-1719.

[MELZ 93] MELZER F., 'Symbolic Computations in Flexible Multibody Systems', in

[PERE 93b], pp.365-381.

Bibliographie 179

[NAGA 88] NAGANATHAN G. and SONI A.H., 'Nonlinear Modeling of Kinematic

and Flexibility Effects in Manipulator Design', Tr. ASME, Jnal of

Mechanisms, Transmissions and Automation in Design, Sept. 1988, Vol.

110, pp 243-254.

[NAGA 90] NAGARAJAN S. and TURCIC D.A., 'Lagrangian Formulation of the

Equations of Motion for Elastic Mechanisms with Mutual Dependance

between Rigid Body and Elastic Motions', Tr. ASME, Journal of Dynamic

Systems, Measurement and Control, June 1990, Vol. 112, pp 203-224.

[NATH 80] NATH P.K. and GHOSH A., 'Kineto-Elastodynamic Analysis of

Mechanisms by Finite Element Method', Mechanism and Machine Theory,

Vol. 15, 1980, pp 179-197.

[NIKR 89] NIKRAVESH P. (1989), 'Computer-Aided Analysis of Mechanical

Systems', Prentice-Hall International, 1989.

[NIKR 91] NIKRAVESH P.E., AMBROSIO J.A.C., 'Systematic Construction of

Equations of Motion for Rigid-Flexible Multibody Systems containing open

and closed kinematic loops', International Journal for Numerical Methods

in Engineering, Vol. 32, 1991, pp 1749-1766.

[ORLA 87] ORLANDEA N., 'ADAMS: Theory and Applications', Vehicle System

Dynamics, Vol.16 (Supplement), 1987, pages 121-166.

[PAUL 81] PAUL Richard P. (1981), 'Robot Manipulators: Mathematics,

Programming, and Control', The MIT Press.

[PERE 91] PEREIRA M.S. and PROENCA P.L., 'Dynamic Analysis of Spatial

Flexible Multibody Systems Using Joint Coordinates', International

Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 32, 1991, pp 1799-

1812

[PERE 93a] PEREIRA M. S., AMBROSIO J. A., 'Computer Aided Analysis of Rigid

and Flexible Mechanical Systems', Proceedings of the NATO-Advanced

Study Institute, Troia, Portugal, 27 June - 9 July 1993, Volume I : Main

Papers.

[PERE 93b] PEREIRA M. S., AMBROSIO J. A., 'Computer Aided Analysis of Rigid

and Flexible Mechanical Systems', Proceedings of the NATO-Advanced


Study Institute, Troia, Portugal, 27 June - 9 July 1993, Volume II :

Contributed Papers.

[ROBE 88] ROBERSON, SCHWERTASSEK, 'Dynamics of Multibody Systems',

Springer-Verlag.

[RUBI 75] RUBIN S., 'Improved Component Mode Representation for Structural

Dynamic Analysis', AIAA Journal, Vol. 13, pp 995-1006, 1975.

[SCHI 90] SCHIELEN W., 'Multibody Systems Handbook', Springer-Verlag.

[SCHI 91] SCHIELEN W., 'Computational Aspects in Multibody System Dynamics',

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1991, Vol.90,

pp 569-582.

[SCHI 93a] SCHIELEN W., 'Advanced Multibody System Dynamics: simulation and

Software Tools', Kluwer Academic Publishers, 1993.

[SCHW 91] SCHWERTASSEK R. and RULKA W., 'Aspects of Efficient and Reliable

Multibody System Simulation', in [HAUG 91], pp 55-96.

[SHAB 90] SHABANA A.A., 'Dynamics of Flexible Bodies Using Generalized

Newton-Euler Equations', Tr. ASME, Journal of Dynamic Systems,

Measurement and Control, September 1990, Vol. 112, pp 496-503.

[SHAB 93] SHABANA A.A., 'Substructuring in Flexible Multibody Dynamics', in

[PERE 93a], pp 377-396.

[SHAR 92] SHARF I., 'Nonlinear Stiffness Tensor of a Beam Element for Dynamics

Simulation of Mulibody Systems',Technical Report, 1992.

[SHAR 94] SHARF I., 'Geometric Stiffening in Multibody Dynamics Formulations',

Technical Report, 1994.

[SIMO 86] SIMO J.C. and VU-QUOC L., 'On the Dynamics of Flexible Beams under

Large Overall Motions - The Planar Case : Parts I and II', Tr. ASME,

Journal of Applied Mechanics, Vol. 53, 1986, pp 849-863.

Bibliographie 181

[SIMO 88] SIMO J.C. and VU-QUOC L., 'On the Dynamics of Space Rods undergoing

Large Overall Motions', Computer Methods in Applied Mechanics and

Engineering, Vol. 66, 1988, pp 125-161.

[SONG 80] SONG J.O. and HAUG E.J., 'Dynamic Analysis of Planar Flexible

Mechanisms', Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,

Vol. 24, 1980, pp 359-381.

[SORG 93] SORGE K., BREMER H. and PFEIFFER F., 'Multibody Systems with

Rigid-Elastic Subsystems', in [SCHI 93], pp 195-215.

[SPAN 91] SPANOS J.T. and TSUHA W.S., 'Selection of Component Modes for

Flexible Multibody Simulation', Journal of Guidance, Vol. 14, March-April

1991, pp 278-286.

[SUNA 83] SUNADA W.H., 'On the Dynamic Analysis and Behavior of Industrial

Robotic Manipulators with Elastic Members', Tr. ASME, Journal of

Mechanisms, Transmissions and Automation in Design, March 1983, Vol.

105, pp 42-51

[THOM 84] THOMPSON B.S. and SUNG C.K., 'A Variational Formulation for the

Nonlinear Finite Element Analysis of Flexible Linkages : Theory,

Implementation and Experimental Results', Tr. ASME, Jnal of Mechanisms,

Transmissions and Automation in Design, December 1984, Vol. 106,

pp 482-488.

[TURC 84] TURCIC D.A. and MIDHA A., 'Generalized Equations of Motion for the

Dynamic Analysis of Elastic Mechanical Systems', Tr. ASME, Jnal of

Dynamic Systems, Measurement and Control, December 1984, Vol. 106,

pp 243-248

[VERL 88] VERLINDEN O., 'Simulation dynamique de mécanismes flexibles à

structure de chaîne cinématique simple', Travail de fin d'études FPMs,

1987-1988.

[VERL 90] VERLINDEN O., 'Simulation du comportement dynamique de mécanismes

flexibles comportant des membrures de forme complexe', Rapport

d'activités I.R.S.I.A 1988-1989.


[VERL 91a] VERLINDEN O., 'Simulation du comportement dynamique de mécanismes



[VERL 91b] VERLINDEN O., CONTI C. and DEHOMBREUX P., 'Utilisation de la

méthode inverse de Newton-Euler pour la simulation dynamique directe de

mécanismes flexibles', Actes du Congrès Strucome, Paris, 17-19 novembre

1991.

[VERL 92a] VERLINDEN O., 'La simulation des mécanismes assistée par ordinateur:

une priorité dans le Service de Mécanique Rationnelle. Partie 3: Simulation

de mécanismes flexibles', Bulletin de l'AIMs, Février 1992, pp 8-13.

[VERL 92b] VERLINDEN O., 'Simulation du comportement dynamique de mécanismes



[VERL 93] VERLINDEN O., C. CONTI and DEHOMBREUX P., 'Un critère objectif

pour l'estimation de la qualité d'une base de modes composnats en systèmes

multicorps flexibles', Actes du Congrès National en Calcul des Structures,

Giens (France), 11-14 mai 1993

[VERL 94] VERLINDEN O., DEHOMBREUX P., CONTI C. and BOUCHER S., 'A

New Formulation for the Direct Dynamic Simulation of Flexible

Mechanisms Based on the Newton-Euler Inverse Method', to appear in

International Journal for Numerical Methods in Engineering.

[WALL 91] WALLRAPP O. and SCHWERTASSEK R., 'Representation of Geometric

Stiffening in Multibody System Simulation', International Journal for

Numerical Methods in Engineering, Vol. 32, 1991, pp 1833-1850.

[WINF 71] WINFREY R.C., 'Elastic Link Mechanism Dynamics', Tr. ASME, Journal

of Engineering for Industry, February 1971, pp 268-272.

[WU 90] WU S.C. and HAUG E.J., 'A Substructure Technique for Dynamics of

Flexible Mechanical Systems with Contact-Impact, Tr. ASME, Journal of

Mechanical Design, Vol. 112, September 1990, pp 390-398.

Bibliographie 183

[YANG 90] YANG Z. and SADLER J.P., 'Large-Displacement Finite Element Analysis

of Flexible Linkages', Tr. ASME, Journal of Mechanical Design, June 1990,

Vol. 112, pp 175-182.

[YEH 90] YEH H.F. and DOPKER B.K., 'Deformation Mode Selection and Mode

Orthonormalization for Flexible Body System Dynamics', Computers &

Structures, Vol. 34, pp 615-627, 1990.

[YOO 86] YOO W.S. and HAUG E.J., 'Dynamics of Flexible Mechanical Systems

Using Vibration and Static Correction Modes', Tr. ASME, Journal of

Mechanisms, Transmissions, and Automation in Design, September 1986,

Vol. 108, pp 315-322.

d(r)''Nd

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Nd

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θ

Annexe A : Récurrence descendante sur un corps flexible 185

(A.1)

(A.2)

Annexe A : Récurrence descendante sur un corps

flexible.

L'objectif est d'une part de déterminer les efforts au repère d'entrée du corps flexible

en fonction de ceux au(x) repère(s) de sortie et de la contribution des réactions d'inertie du

corps et d'autre part de calculer les résidus relatifs aux degrés de liberté élastiques associés au

corps flexible. Pour simplifier, nous supposerons ici qu'un seul repère de sortie a été défini

sur le corps, la généralisation à plusieurs étant aisée.

Rappelons que les vecteurs suivants sont définis :

- , et les vecteurs position, vitesse et accélération absolues de

translation du repère d'entrée;

- , et le vecteur de rotation et les vecteurs vitesse et accélération

absolues de rotation du repère d'entrée;

- et la force et le moment exercés au repère d'entrée par le corps flexible

sur l'élément qui le précède;

- et la force et le moment exercés au repère de sortie sur le corps flexible

par le(s) élément(s) qui le sui(ven)t.

Rappelons aussi que tout point, de coordonnée vectorielle ( en configuration

non déformée) par rapport au repère d'entrée, a subi un déplacement élastique et une

rotation élastique (au sens du vecteur de rotation) modélisés par la somme pondérée

de modes de déformation . Si est le vecteur, de dimension , des

coefficients de pondération correspondants, on a :

étant le mode de rotation associé au mode de déplacement . Ces modes sont

exprimés dans le repère d'entrée, si bien que toutes les relations qui suivent sont supposées

être projetées sur ce dernier.

e(r)' eE%

E×(r0

%d(r))% d(r)

(r)'E%

d(r)

d(r)''Nd

n'1n(r0)@

n

d(rS)''

Nd

n'1n(r0

S)@

n

d(r

S)'R

ES@

ES'Nd

n'1

θn(r0

S)@

n

rS

r0

S

RES ES

TES

RES

&FE

&ME

FS

MS

&a@dm

g@dm g


(A.3)

(A.4)

(A.5)

(A.6)

(A.7)

Pour atteindre notre objectif, nous allons appliquer le théorème des travaux virtuels

en considérant un déplacement virtuel de tous les points du corps donné par :

ainsi qu'une rotation virtuelle donnée par :

Le déplacement élastique virtuel licite est obtenu à partir des modes de déformation

et de la variation licite des paramètres de configuration :

ce qui donne pour le repère de sortie de coordonnée vectorielle ( en

configuration non déformée) par rapport au repère d'entrée :

On a également besoin du déplacement virtuel licite en rotation du repère de sortie qui,

projeté dans E, est égal à :

et étant respectivement la partie rotation de la matrice de transformation

et la matrice tangente de par rapport aux coordonnées du vecteur de rotation.

Nous savons que, pout tout déplacement virtuel licite, le travail virtuel de tous les

efforts agissant sur le système doit être nul. Dans notre cas, ces efforts sont :

- les efforts venant des autres éléments ( , , et );

- les forces d'inertie qui pour chaque masse élémentaire valent ;

- les forces de pesanteur qui pour chaque masse élémentaire valent , étant

le vecteur gravité;

- les efforts internes provenant des déformations.

En ce qui concerne ce dernier point, nous supposerons que le matériau a un

U'

1

2'n

'l

Knl@

n@

l

W'&FE@ e

E&M

E@

E%F

S@( e

E%

E×(r0

S%d(r

S))%M

S@(

E%

d(r

S))

%melt

(g&a)@( eE%

E×(r0

%d(r))% d(r)) dm%'Nd

n'1'Nd

l'1K

nl@

n@

l'0

FE'F

S%m

elt

(g&a) dm

ME'M

S%(r0

S%d(r

S))×F

S%m

elt

(r0%d(r))×(g&a) dm

.MS%(r0

S%d(r

S))×F

S%m

elt

r0×(g&a) dm

fηn'&F

S@

n(r0

S)&M

S@(R

ES@

ES@

θn(r0

S))

&melt

(g&a)@n(r0) dm%'

l

Ke

nl@ l

a(r)'aE% ˙

E×(r0

%d(r))%2E×d(r)%

E×(

E×(r0

%d(r)))%d(r)

U

K

eE E n

d(r) r0

n

r r0

a(r)


(A.8)

(A.9)

(A.10)

(A.11)

(A.12)

(A.13)

comportement linéaire et que l'énergie de déformation peut être exprimée par

l'intermédiaire d'une matrice de rigidité de la façon suivante :

Le travail virtuel licite total doit être nul, soit :

Comme cette relation doit être vraie pour tout , et , nous

obtenons, en négligeant devant dans l'intégrale, d'une part l'expression des efforts

à l'entrée en fonction de ceux au repère de sortie :

et d'autre part le résidu relatif à chacun des coefficients de pondération

représentatifs de la déformation du corps flexible :

Pour obtenir des relations complètes, il faut maintenant calculer les intégrales en y

développant l'expression de l'accélération. Un point quelconque du corps flexible, de

coordonnée vectorielle ( en configuration non déformée) par rapport au repère

d'entrée, subit une accélération donnée par :

Comme nous faisons l'hypothèse des petites déformations, on peut raisonnablement

a(r).aE% ˙

E×r0

%2E×d(r)%

E×(

E×r0)%d(r)

melt

(g&a)dm'melt

(g&aE& ˙

E×r0

&

E×(

E×r0)&2

E×d(r)&d(r)) dm

'(g&aE)melt

dm& ˙E×m

elt

r0dm&

E×(

E×m

elt

r0dm)

&2E×('

Nd

n'1(melt

n(r0)dm) ˙

n)&'

Nd

n'1(melt

n(r0)) dm) ¨

n

melt

(g&a) dm'(g&aE)@m

e& ˙

E×m

e@r

G&

E×(

E×m

e@r

G)

&2E×'

Nd

n'1 1C

n@ ˙

n&'

Nd

n'1 1C

n@ ¨

n

me'm

elt

dm me@r

G'm

elt

r0 dm

1Cn'm

elt

n(r0) dm

melt

r0×(g&a)dm'melt

r0×(g&aE& ˙

E×r0

&

E×(

E×r0)&2

E×d(r)&d(r)) dm

'melt

r0 dm×(g&aE)%m

elt

r0×(r0× ˙E) dm%

E×m

elt

r0×(r0×E) dm

%2'Nd

n'1(melt

r0×(n(r0)×

E) dm)@ ˙

n&'

Nd

n'1(melt

r0×n(r0)) dm)¨

n

me

rG

1Cn


(A.14)

(A.15)

(A.16)

(A.17,18)

(A.19)

(A.20)

faire la simplification suivante :

On obtient ainsi pour la contribution en force :

ce qui peut s'écrire :

après avoir introduit la masse de l'élément , la position de son centre de gravité

et un premier invariant relatif aux modes de déformation, tous définis ci-après par :

En ce qui concerne la contribution en moment, on a :

melt

r0×(g&a) dm'me@r

G×(g&a

E)&

E˙

E&

E×(

E@

E)

%2'Nd

n'1 3C

n@

E@ ˙

n&'

Nd

n'1 2C

n@ ¨

n

E'&m

elt

r0@r0 dm

2Cn'm

elt

r0×n(r0) dm 3C

n'm

elt

r0@n(r0) dm

melt

(g&a)@n(r0)dm'm

elt

(g&aE& ˙

E×r0

&

E×(

E×r0)&2

E×d(r)&d(r))@

n(r0) dm

'(g&aE)melt

n(r0) dm&(m

elt

r0×n(r0) dm)@ ˙

E&

E@melt

r0×(n(r0)×

E)dm

&2E×('

Nd

l'1(melt

l(r0)×

n(r0)dm)@ ˙

l)&'

Nd

l'1(melt

l(r0)@

n(r0) dm)¨

l

melt

(g&a)@n(r0) dm'(g&a

E)@ 1C

n& ˙

E@ 2C

n&

E@( 3C

n@

E)

&2E@'

Nd

l'1 4C

l,n@ ˙

l&'

Nd

l'1M

nl¨

n

4Cl,n'm

elt

l(r0)×

n(r0) dm M

nl'm

elt

n(r0)@

l(r0) dm

E

2Cn

3Cn

4Cl,n

Mln


(A.21)

(A.22)

(A.23,24)

(A.25)

(A.26)

(A.27,28)

qu'on peut remettre sous la forme :

après avoir introduit la matrice d'inertie par rapport au repère d'entrée et les

deux nouveaux invariants et relatifs aux modes de déformation et

correspondant à :

Enfin, on a pour les résidus relatifs aux degrés de liberté élastiques :

que l'on peut réécrire :

relation où on trouve les invariants et définis comme suit :

TES( A_ROTX) '

1 0 0 0

0 cos q &sin q 0

0 sin q cos q 0

0 0 0 1

TES( A_ROTY) '

cos q 0 sin q 0

0 1 0 0

&sin q 0 cos q 0

0 0 0 1

TES( A_ROTZ) '

cos q &sin q 0 0

sin q cos q 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

TES

rS

vE

aE

vS

aSω

E

ωE

ωS

ωS

FS

MS

FE

ME

Annexe B : Fonctions relatives aux différents éléments cinétostatiques 191

(B.1)

(B.2)

Annexe B : Fonctions relatives aux différents

éléments cinétostatiques.

B.1 Conventions.

Dans toutes les relations qui suivent, nous convenons de noter

- la matrice de transformation homogène donnant la situation du repère de sortie

par rapport au repère d'entrée;

- la coordonnée vectorielle du repère de sortie par rapport au repère d'entrée;

- , , , les vecteurs vitesses et accélérations absolues de translation

des repères d'entrée (indice E) et de sortie (indice S);

- , , , les vecteurs vitesses et accélérations absolues de rotation des

repères d'entrée (indice E) et de sortie (indice S).

- et la résultante des forces et moments exercés au repère de sortie d'un

élément par les éléments suivants;

- et la résultante des forces et moments exercés au repère d'entrée par

l'élément sur l'élément précédent.

B.2 Les articulations rotoïdes (A_ROTX, A_ROTY ou A_ROTZ).

Si q est le paramètre cinématique lié à l'élément, les matrices de transformation

homogène de chacune des articulations rotoïdes sont les suivantes :

Les relations permettant d'effectuer la récurrence ascendante sur les vitesses et

vS'v

E

aS'a

EωS'

ωE%q@

ξωS'

ωE%q@

ξ%

ωE×q@

ξ

FE'F

SME'M

S

f q'&MS@

ξ%Kq@( q&q0) %Cq@q&Qq

TES( A_PRIX) '

1 0 0 q

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

TES( A_PRIY) '

1 0 0 0

0 1 0 q

0 0 1 0

0 0 0 1

TES( A_PRIZ) '

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 q

0 0 0 1

ξxE

yE

zE

Kq q0

Cq

Qq


(B.3)

(B.4)

(B.5)

(B.6)

(B.7,8)

(B.9)

(B.10,11)

(B.12)

accélérations sont :

donnant la direction de l'axe de rotation correspondant à , ou

selon que l'on a affaire à l'élément A_ROTX, A_ROTY ou A_ROTZ.

Avec les mêmes conventions, les relations permettant d'effectuer la récurrence

descendante et le calcul du résidu correspondent à :

et représentant la constante de raideur et l'angle au repos du ressort de

torsion lié à l'articulation, étant la constante d'amortissement de l'amortisseur en torsion

lié à l'articulation et correspondant au couple moteur éventuel dont l'articulation est le

siège.

B.3 Les articulations prismatiques (A_PRIX, A_PRIY ou A_PRIZ).

Si q est le paramètre cinématique lié à l'élément, les matrices de transformation

homogène de chacune des articulations prismatiques sont les suivantes :

Les relations permettant d'effectuer la récurrence ascendante sur les vitesses et

vS'v

E%q@

ξ%

ωE×q@

ξaS'a

E%

ωE×q@

ξ%2 ω

E×q@

ξ%

ωE×( ω

E×q@

ξ) %q@

ξωS'

ωEω

S'

ωE

FE'F

SME'M

S%q@

ξ×F

S

Rq'&FS@

ξ%Kq@( q&q0) %Cq@q&Qq

TES( TRROT) '{ x

S} E { y

S} E { z

S} E { r

S} E

0 0 0 1

vS'v

E%

ωE×r

S

aS'a

E%

ωE×r

S%

ωE×( ω

E×r

S)ω

S'

ωE

ξxE

yE

zE

Kq q0

Cq

Qq


(B.13)

(B.14)

(B.15)

(B.16)

(B.17,18)

(B.19)

(B.20)

(B.21)

(B.22)

(B.23)

accélérations sont :

donnant la direction de l'axe de rotation correspondant à , ou

selon que l'on a affaire à l'élément A_PRIX, A_PRIY ou A_PRIZ.

Avec les mêmes conventions, les relations permettant d'effectuer la récurrence

descendante et le calcul du résidu correspondent à :

et représentant la constante de raideur et la longueur au repos du ressort

linéaire lié à l'articulation, étant la constante d'amortissement de l'amortisseur linéaire

lié à l'articulation et correspondant à la force motrice éventuelle dont l'articulation est

le siège.

B.4 L'élément translation et rotation (TRROT).

La forme générale de la matrice de transformation homogène relative à cet élément a

la forme générale suivante :

Les vitesses et accélérations du repère de sortie sont données par :

ωS'

ωE

FE'F

SME'M

S%r

S×F

S

rS'Lx

E

rG'L2

xE

me' ρ AL{ Φ E} E' ρ L@ IY%IZ 0 0

0 AL 2

3%IY 0

0 0 AL 2

3%IZ

ρ


(B.24)

(B.25,26)

(B.27)

(B.28)

(B.29)

(B.30)

Comme il s'agit d'un élément passif, il n'y a pas de résidu et les relations permettant de

faire la récurrence descendante sont :

B.5 Poutre rigide (P_RIG).

La poutre rigide n'est qu'un corps rigide particulier. En ce qui concerne la récurrence

ascendante, on peut utiliser directement les formules relatives au corps rigide en posant

simplement :

Pour la récurrence descendante, il suffit de nouveau d'utiliser les mêmes relations que

pour le corps rigide, sachant que la position du centre de gravité, la masse et la matrice

d'inertie de la poutre sont données par :

avec A, I et I la surface et les moments d'inertie par rapport aux axes Y et Z de laY Z

section droite de la poutre et la masse volumique du matériau constitutif de la poutre.

B.6 Poutre flexible (P_FLE).

B.6.1 Equations classiques.

La poutre flexible n'est qu'un corps flexible particulier pour lequel le champ de

déplacement est donné en fonction des déplacements en translation U, V, W et en rotation

{ d( r )} E'

N11 0 0 0 0 0

0 N22 0 N24 0 N26

0 0 N33 N34 N35 0

@

UVWΘXΘYΘZ

N11'r X / L

N22'N33'3( r X / L) 2&2( r X / L) 3

N26'&N35'L@(( r X / L) 3&( r X / L) 2)

N24'&( r X / L) @r Z

N34'( r X / L) @r Y

{ d( rS)} E'

UVW

{ d( rS)} E'

UVW

{ d( rS)} E'

UVWΘ

( rS) '

ΘXΘYΘZ

{ ωd( r

S)} S' Ξ ES@

ΘXΘYΘZ

{ ωd( r

S)} S' Ξ ES@

ΘXΘYΘZ

% Ξ ES@

ΘXΘYΘZ

melt

( g&a) dm*X'm@( g X&aE, X) %( ω 2E, Z%

ω 2E, Y) @m@

L2

&2 ωE, Y@( I33@W%I35@

ΘY) %2 ω

E, Z@( I22@V%I26@ΘZ) &I11@U

ΘX

ΘY

ΘZ


(B.31)

(B.32)

(B.33)

(B.34)

(B.35)

(B.36)

(B.37,38)

(B.39,

40,41)

(B.42)

, de l'extrémité de la poutre par :

avec :

Toutes les relations permettant d'effectuer la récurrence ascendante pour un corps

flexible sont applicables à la condition de prendre :

En ce qui concerne la récurrence descendante et le calcul du résidu, on pourrait

maintenant développer tous les invariants mais de nombreux termes sont nuls si bien qu'il

apparaît plus simple de donner directement l'expression complète des réactions d'inertie et de

gravité de la poutre. En convenant que toutes les projections se font par rapport au repère

d'entrée, on obtient successivement :

melt

( g&a) dm*Y'm@( g Y&aE, Y) &ωE, Z@m

L2&

ωE, X@

ωE, Y@m@

L2

&2 ωE, Z@I11@U%2 ω

E, X@( I33@W%I35@ΘY) &I22@U&I26@

ΘZ

melt

( g&a) dm*Z'm@( g Z&aE, Z) %ωE, Y@m

L2&

ωE, X@

ωE, Z@m@

L2

%2 ωE, Y@I11@U&2 ω

E, X@( I22@V%I26@ΘZ) &I33@W&I35@

ΘY

melt

r ×( g&a) dm*Z'mL2@( g Y&aE, Y) & Φ E, ZZ@

ωE, Z&

ωE, X@ Φ E, YY@

ωE, Y%

ωE, Y@ Φ E, XX@

ωE, X

%2 ωE, X@( IX,33 @W%IX,35

ΘY) &2 ω

E, Z@IX,11 @U%2 ωE, Y@IY,34 @

ΘX&IX,22 @V&IX,26 @

ΘZ

I11' melt

N11dm'm2

I22' melt

N22dm'm2

I26' melt

N26dm'&mL

12

I33' melt

N33dm'm2

I35' melt

N35dm'mL

12

IX,33 ' melt

r X@N33dm'7

20mL IX,35 ' m

elt

r X@N35dm'mL 2

20

melt

r ×( g&a) dm*X'& Φ E, XX@ωE, X&

ωE, Y@ Φ E, ZZ@

ωE, Z%

ωE, Z@ Φ E, YY@

ωE, Y&( IY,34 &IZ,24 ) @

ΘX

melt

r ×( g&a) dm*Y'&mL2@( g Z&aE, Z) & Φ E, YY@

ωE, Y&

ωE, Z@ Φ E, XX@

ωE, X%

ωE, X@ Φ E, ZZ@

ωE,

%2 ωE, X@( IX,22 @V%IX,26

ΘZ) &2 ω

E, Y@IX,11 @U%2 ωE, Z@IZ,24 @

ΘX%IX,33 @W%IX,35 @

ΘY

A IY IZ ρm' ρ AL Φ E, XX' ρ L( IY%IZ) Φ E, YY' ρ L( A

L 2

3%IY) Φ E, ZZ' ρ L( A

L 2

3%IZ)

IX,11 ' melt

r X@N11dm'mL3

IX,22 ' melt

r X@N22dm'7

20mL IX,26 ' m

elt

r X@N26dm'&mL2


(B.43)

(B.44)

(B.47)

(B.52-54)

(B.55,56)

(B.60,61)

(B.45)

(B.46)

Si , et sont respectivement la surface et les moments d'inertie de la

section droite de la poutre et la masse volumique du matériau constitutif de la poutre, les

différentes entités apparues dans les relations ci-dessus peuvent être calculées comme suit :

(B.48-51)

(B.57-59)

IZ,24 ' melt

r Z@N24dm'& ρ L IY2

IY,34 ' melt

r Y@N34dm' ρ L IZ2

melt

( g&a) @Ψ

1dm'( g X&aE, X) @I11%( ω 2

E, Y%ω 2E, Z) @IX,11 %2 ω

E, Z@I11,22 @V

&2 ωE, Y@I11,33 @W&2 ω

E, Y@I11,35 @ΘY%2 ω

E, Z@I11,26 @ΘZ&M11@U

melt

( g&a) @Ψ

2dm'( g Y&aE, Y) @I22&

ωE, Z@IX,22 &

ωE, X@

ωE, Y@IX,22 &2 ω

E, Z@I11,22 @U

%2 ωE, X@I22,33 @W%2 ω

E, X@I22,35 @ΘY&M22@V&M26@

ΘZ

melt

( g&a) @Ψ

3dm'( g Z&aE, Z) @I33%

ωE, Y@IX,33 &

ωE, X@

ωE, Z@IX,33 %2 ω

E, Y@I11,33 @U

&2 ωE, X@I22,33 @V&2 ω

E, X@I26,33 @ΘZ&M33@W&M35@

ΘY

melt

( g&a) @Ψ

4dm' ω

E, X@( IZ,24 &IY,34 ) % ωE, Y@

ωE, Z@( IY,34 %IZ,24 ) &M44@

ΘX

melt

( g&a) @Ψ

5dm'( g Z&aE, Z) @I35%

ωE, Y@IX,35 &

ωE, X@

ωE, Z@IX,35 %2 ω

E, Y@I11,35 @U

&2 ωE, X@I22,35 @V&2 ω

E, X@I26,35 @ΘZ&M35@W&M55@

ΘY

melt

( g&a) @Ψ

6dm'( g Y&aE, Y) @I26&

ωE, Z@IX,26 &

ωE, X@

ωE, Y@IX,26 &2 ω

E, Z@I11,26 @U

%2 ωE, X@I26,33 @W%2 ω

E, X@I26,35 @ΘY&M26@V&M66@

ΘZ

I11,22 ' melt

N11@N22dm'7

20m I11,33 ' m

elt

N11@N33dm'7

20m

I11,35 ' melt

N11@N35dm'mL

20I11,26 ' m

elt

N11@N26dm'&mL

20

I22,33 ' melt

N22@N33dm'78

210m I22,35 ' m

elt

N22@N35dm'11

210mL

I26,33 ' melt

N26@N33dm'&11

210mL I26,35 ' m

elt

N22@N35dm'&2

210mL 2

Mij


(B.62,63)

(B.64)

(B.65)

(B.66)

(B.67)

(B.68)

(B.69)

(B.70,71)

(B.72,73)

(B.74,75)

(B.76,77)

En ce qui concerne les résidus, la contribution de la réaction d'inertie et de la pesanteur

sur chacun des coefficients de pondération vaut :

relations dans lesquelles on trouve les nouvelles entités suivantes :

Quant aux , ils correspondent simplement aux termes de la matrice de masse

M11'm3

M22'M33'78

210m M35'&M26'

11210

mL

M44' ρ L3

( IY%IZ) M55'M66'2

210mL 2

K'

EAL

0 0 0 0 0

012EIZ

L 3(1 % φ Y)0 0 0

&6EIZ

L 2(1 % φ Y)

0 012EIY

L 3(1 % φ Z)0

6EIY

L 2(1 % φ Z)0

0 0 0GJL

0 0

0 06EIY

L 2(1 % φ Z)0

(4 % φ Z) EIYL(1 % φ Z)

0

0&6EIZ

L 2(1 % φ Y)0 0 0

(4 % φ Y) EIZL(1 % φ Y)

E

GJφ Y'12EIZ

GAZL2

AZφ Z'12EIY

GAYL2

AY


(B.78-80)

(B.81,82)

(B.83)

classique, soit pour les termes non nuls et sachant que la matrice est symétrique :

Enfin, rappelons que la matrice de rigidité classique pour les éléments de poutre s'écrit :

avec :

- le module d'Young du matériau constitutif de la poutre;

- la rigidité torsionnelle de la poutre;

- où est la section réduite à l'effort tranchant suivant Z;

- où est la section réduite à l'effort tranchant suivant Y;

r X'x r Y'y r Z'z d X'u d Y'v d Z'w

UG'EA2 m

L

0

MuMx

@MvMx

2%MuMx

@MwMx

2dx

UG'EA2

UL

(6V 2

5L%

2LΘ 2Z

15&V

ΘZ

5%

6W 2

5L%

2LΘY

2

15%W

ΘY

5)

RU'MUGMU

'EA2L

(6V 2

5L%

2LΘ 2Z

15&V

ΘZ

5%

6W 2

5L%

2LΘY

2

15%W

Θ5

RV'MUGMV

'EA2

UL

(12V5L

&

ΘZ

5)

RW'MUGMW

'EA2

UL

(12W5L

%

ΘY

5)

RΘX'MUGM

ΘX

'0

RΘY'MUGM

ΘY

'EA2

UL

(4L

ΘY

15%W5

)

RΘZ'MUGM

ΘZ

'EA2

UL

(4L

ΘZ

15&V5

)

KG


(B.84)

(B.85)

(B.86)

(B.87)

(B.88)

(B.89)

(B.90)

(B.91)

B.6.2 Prise en compte du raidissement géométrique.

Par souci de cohérence avec la littérature, nous utiliserons dans cette section, pour les

coordonnées et les déplacements élastiques, les notations simplifiées suivantes :

La matrice de rigidité évoquée au point précédent provient d'une expression de l'énergie

de déformation où on n'a retenu que les termes d'ordre 2. Le terme qui suit est celui lié au

raidissement géométrique et l'énergie correspondante U s'exprime :G

En développant cette expression par l'intermédiaire des fonctions de forme rappelées au

point A.2.1, on trouve la formule suivante :

Pour chaque degré de liberté, cela conduit à une contribution sur le résidu donnée par :

Notons que dans le contexte éléments finis, l'effet non linéaire du raidissement

géométrique est souvent introduit, pour des questions de commodité liées à l'assemblage, par

l'intermédiaire d'une matrice de rigidité , calculée en fonction de la configuration et à

RU'EAL

( U%UF)

UF'3V 2

5L%L

Θ 2Z

15&V

ΘZ

10%

3W 2

5L%L

ΘY

2

15%W

ΘY

10

UF ( x) 'mx

0

MvMx

2%

MwMx

2dx

RV'EA2

U%UFL

(12V5L

&

ΘZ

5)

RW'EA2

U%UFL

(12W5L

%

ΘY

5)

EAUL

EAL

( U%UF)


(B.92)

(B.93)

(B.94)

(B.95)

(B.96)

ajouter à la matrice de rigidité linéaire. Quelle que soit la façon dont on les introduit, les

contributions ajoutées sont bien du deuxième ordre et n'influencent réellement le

comportement du corps que si les déformations atteignent une certaine amplitude. Cela s'est

avéré être le cas pour, par exemple, des corps soumis à des efforts centrifuges importants,

comme des pales d'hélicoptère.

En pratique, on constate malheureusement que l'implémentation directe des corrections

proposées conduit à des problèmes de convergence. Pour expliquer cela, il faut s'intéresser de

plus près au résidu sur U, et remarquer que la réaction élastique complète peut aussi s'écrire

sous la forme :

U étant donné, dans le cas des fonctions de forme classiques, par :F

En réalité, U correspond à ce qu'on appelle dans la littérature le "foreshortening" deF

l'extrémité de la poutre. Le "foreshortening" pour un point d'abscisse x est défini par :

et exprime le déplacement axial négatif que subit tout point de la poutre suite à la

flexion.

Les problèmes de convergence proviennent simplement du fait que le terme

que l'on trouve dans les résidus sur les paramètres transversaux est censé représenter la charge

axiale. La correction apportée par le "foreshortening" rend incorrecte cette expression qui doit

être remplacée par . L'expression suivante des résidus conduit ainsi à une

réponse parfaitement stable :

RΘY'EA2

U%UFL

(4L

ΘY

15%W5

)

RΘZ'EA2

U%UFL

(4L

ΘZ

15&V5

)

EAMuMx

'FE, X(1 &xL

) %FS, X

xL

UG'FE, X

2(

3V 2

5L%L

Θ 2Z

30&V

ΘZ

5%

3W 2

5L%L

ΘY

2

30%W

ΘY

5)

%FS, X

2(

3V 2

5L%L

Θ 2Z

10%

3W 2

5L%L

Θ 2Y

10)

RV'( FE, X%FS, X)3V5L

&FE, X

ΘZ

10

RW'( FE, X%FS, X)3W5L

%FE, X

ΘY

10


(B.97)

(B.98)

(B.99)

(B.100)

(B.101)

(B.102)

Notons que certaines approches introduisent la non linéarité liée au raidissement

géométrique par l'intermédiaire du champ de déplacement plutôt que par la réaction élastique,

le "foreshortening" étant une des possibilités. Les approches correspondantes arrivent au

résultat surprenant que le raidissement géométrique apparaît finalement par l'intermédiaire de

termes s'apparentant à une réaction d'inertie, ceci étant simplement dû au fait que cette

dernière est utilisée pour estimer le champ de contrainte à l'intérieur de la matière.

L'élément de poutre tel que nous le présentons ici est certes meilleur que si on garde une

réaction élastique purement linéaire mais ne donne des résultats satisfaisants qu'avec plusieurs

éléments de poutre. En réalité, pour que la correction sur le raidissement géométrique soit

efficace, il est nécessaire d'avoir une bonne représentation de la contrainte axiale. Or, c'est loin

d'être notre cas puisque celle-ci est constante à l'intérieur de l'élément avec la fonction de

forme utilisée. Améliorer le champ de déplacement axial nous conduirait à réécrire

complètement notre élément de poutre, c'est pourquoi nous allons essayer d'enrichir notre

connaissance de la contrainte axiale à partir des efforts extérieurs que nous avons l'avantage

de toujours connaître dans notre contexte. Ainsi, nous allons calculer U à partir d'uneG

contrainte axiale déterminée par :

Tous calculs faits, on obtient une expression de U égale à :G

d'où les contributions suivantes sur les résidus :

RΘY'(

FE, X

30%

FS, X

10) L

ΘY%FE, X

W10

RΘZ'(

FE, X

30%

FS, X

10) L

ΘZ&FE, X

V10

RU'EAL

( U%UF)

Z'f( X, Y)


(B.103)

(B.104)

(B.105)

(B.106)

Afin d'introduire de façon tout à fait transparente le "foreshortening", la contribution

élastique sur le résidu relatif à U sera encore calculée selon :

L'avantage de cette technique pour calculer la contrainte axiale est qu'elle permet

d'obtenir des résultats satisfaisants quelle que soit l'origine de la tension axiale. Souvent, dans

la littérature, on exprime séparément les effets de raidissement selon que la contrainte axiale

provient d'une accélération centrifuge, d'un effort de traction traversant la barre ou d'une

accélération axiale d'ensemble.

B.7 L'élément point sur sol.

B.7.1 Définition de la fonction de sol.

Rappelons que la coordonnée Z du repère de sortie par rapport au repère absolu est

calculée en fonction de ses coordonnées X et Y par rapport au même repère, qui constituent

ainsi les deux paramètres cinématiques de l'élément. Ce calcul est réalisé pratiquement au

moyen de la fonction de sol :

En toute logique, il n'existe qu'une seule fonction de sol pour tous les éléments point sur

sol. Pour une question de généralité et de simplicité, la fonction de sol sera calculée par

interpolation à partir d'un certain nombre de noeuds répartis selon une maille rectangulaire

éventuellement irrégulière où on précise l'altitude du sol ainsi que sa pente. Le maillage en

question se présente comme illustré à la figure B.1.

Le sol est complètement défini par l'ensemble des données suivantes :

- le nombre d'abscisses nx où on trouve des noeuds et leurs valeurs respectives X , X ,...,1 2

Xnx

- le nombre d'ordonnées ny où on trouve des noeuds et leurs valeurs respectives Y , Y ,...,1 2

Yny

Z

Y

X

Y1Y2

YjYny

X1

X2

Xi

XnxNij

Z ij

N ij

Z ij

Z ijX

Y

X

Y

Z

N1( u) '3u 2&2u 3

Z Xi, j

Z Yi, j


(B.107)

- pour chaque noeud N d'abscisse X et d'ordonnée Y , l'altitude du sol en ce point Z etij i j i,j

sa pente définie par la dérivée par rapport à X ( ) et la dérivée par rapport à Y

( ) (voir figure B.2)

Fig B.1 Maillage de la fonction de sol.

L'interpolation choisie pour calculer l'altitude de n'importe quel point du sol est basée

sur l'utilisation d'un spline cubique, ce qui a le double avantage d'être simple et facilement

dérivable puisqu'il s'agit de polynômes. De plus, la continuité d'ordre 1 est assurée et il est

possible de définir un sol plan avec n'importe quelle pente.

Fig B.2 Caractéristiques du sol en un noeud.

Les splines cubiques sont définis à partir de deux fonctions N et N :1 2

N2( u) 'u 3&u 2

X

Y

X i+1

Y j+1

Y j

X i

X

Y

∆X'Xi%1&Xi ∆Y'Yj%1&Yjξ'X&Xi∆X

ζ'Y&Yj∆Y

Z( X, Y) 'Zi, j@N1(1 &ξ) @N1(1 &

ζ) %Zi%1, j@N1(

ξ) @N1(1 &

ζ)

%Zi, j%1@N1(1 &ξ) @N1(

ζ) %Zi%1, j%1@N1(

ξ) @N1(

ζ)

&∆X@( Z Xi, j@N2(1 &

ξ) @N1(1 &

ζ) &Z X

i%1, j@N2(ξ) @N1(1 &

ζ)

%Z Xi, j%1@N2(1 &

ξ) @N1(

ζ) &Z X

i%1, j%1@N2(ξ) @N1(

ζ))

&∆Y@( Z Yi, j@N1(1 &

ξ) @N2(1 &

ζ) %Z Y

i%1, j@N1(ξ) @N2(1 &

ζ)

&Z Yi, j%1@N1(1 &

ξ) @N2(

ζ) &Z Y

i%1, j%1@N1(ξ) @N2(

ζ))


(B.108)

(B.109-112)

(B.113)

La fonction N assure le changement de niveau sans pente aux noeuds alors que la1

fonction N assure la valeur de la pente au noeud sans modifier l'altitude.2

Fig B.3 Calcul de la fonction de sol en un point.

L'altitude Z d'un point de coordonnées X se situant entre les abscisses X et X eti i+1

d'ordonnée Y se situant entre les ordonnées Y et Y (voir figure B.3), se calculej j+1

successivement comme suit :

La figure B.4 donne un exemple de sol tel qu'on peut le générer sur base de l'approche

présentée.

TES'T0S'

1 0 0 X

0 1 0 Y

0 0 1 Z( X, Y)

0 0 0 1

vS'X x

0%Y y

0%( X

MZMX

%YMZMY

) z0

aS'X x

0%Y y

0%( X

MZMX

%YMZMY

%X 2 M2Z

MX 2%Y 2 M2Z

MY 2%2X Y

M2ZMXMY

) z0

ωS'

ωS'0

x0

y0

z0

ωS

ωS


(B.114)

(B.115)

(B.116)

(B.117)

Fig B.4 Exemple de sol généré.

B.7.2 Récurrence ascendante.

La matrice de transformation homogène donnant le situation du repère de sortie par

rapport au repère d'entrée, soit le repère absolu est donnée par :

La vitesse et l'accélération du repère de sortie sont obtenus par simple dérivation par

rapport au temps :

, et étant des vecteurs unitaires liés au repère absolu.

Les valeurs des différentes dérivées de Z par rapport à X et Y peuvent facilement être

obtenues par dérivations successives des fonctions splines.

Comme le repère de sortie reste parallèle au repère absolu, on a évidemment pour la

vitesse et l'accélération de rotation :

FE'F

SME'M

S%r

S×F

S

f X'&FS@x

0&MZMX

@FS@z

0

f Y'&FS@y

0&MZMY

@FS@z

0

Segment sur courbePoint sur courbe

E

A

BS

AB=LAS=d

Y

EZ

EX

SX

SZ

SY

EX

EZ

EY

SX

SZ

SX


(B.118,119)

(B.120)

(B.121)

B.7.3 Récurrence descendante.

Comme cet élément n'a aucune contribution interne, on a simplement :

B.7.4 Calcul des résidus relatifs à X et Y.

Les résidus relatifs à X et à Y sont donnés par :

Les résidus tels qu'ils sont écrits supposent que le repère glisse sans perte sur le sol mais

on pourrait envisager, sans complication particulière, la prise en compte d'un frottement sec

ou visqueux. Le sol pourrait aussi servir de base pour le développement d'éléments roue ou

pneu sur sol.

B.8 Les éléments point sur courbe et segment sur courbe.

B.8.1 Principe général.

Fig B.5 Schéma de principe des éléments point ou segment sur courbe.

Rappelons que le repère de sortie de ces éléments se déplace sous certaines conditions

le long d'une courbe définie dans le plan XY du repère d'entrée. Dans le cas de l'élément point

sur courbe, le repère suit la courbe sans rotation. Dans le cas de l'élément segment sur courbe,

le repère de sortie dont l'axe Z reste perpendiculaire au plan XY du repère d'entrée, est attaché

N0N1

NnN i (Xi,Yi)

XTi

YTi

i&1#u#i

X'Xi&1N1(1 &u )) %XiN1( u )) &XTi&1N2(1 &u )) %XTiN2( u ))

Y'Yi&1N1(1 &u )) %YiN1( u )) &YTi&1N2(1 &u )) %YTiN2( u ))


(B.122)

(B.123)

(B.124)

à un segment AB dont les deux extrémités se déplacent le long de la courbe. Dans ce dernier

cas, il y a donc rotation du repère de sortie autour de son axe Z. La figure B.5 donne le schéma

de principe de ces deux éléments. Chacun des éléments possède un seul paramètre

cinématique qui sera pour l'élément point sur courbe, l'abscisse curviligne du repère de sortie

le long de la courbe et pour l'élément segment sur courbe, l'abscisse curviligne du point A du

segment.

B.8.2 Définition de la courbe.

Pour les mêmes raisons que pour la fonction de sol, nous avons décidé de définir la

courbe par points (ou noeuds) avec interpolation entre ces points. Si la courbe comprend n

segments, on doit préciser pour chacun des noeuds N (i=0,n) ses coordonnées X et Y pari i i

rapport au repère d'entrée et les coordonnées XT et YT du vecteur tangent à la courbe en cei i

point, projetées aussi dans le repère d'entrée (voir figure B.6). Notons que l'amplitude du

vecteur tangent, qui influence l'allure de la courbe, est un paramètre à part entière sur lequel

il faut jouer pour obtenir la courbe souhaitée.

Fig B.6 Définition de la courbe.

Dans un premier temps, la courbe est définie par un paramètre u, variant d'une unité

entre chaque segment et valant i au noeud i. Le segment i où on se trouve est facilement

identifié par la valeur de u puisqu'on doit avoir :

Une fois le segment identifié, on calcule les coordonnées X et Y du point par rapport au

repère d'entrée en fonction de u'=u-i+1 par l'intermédiaire des fonctions splines cubiques :

r ( u) 'ri&1

N1(1 &u )) %riN1( u )) &t

i&1N2(1 &u )) %t

iN2( u ))

4555 4555Mr

Ms'1

MuMs

'4555 4555Mr

Mu

&1

M2u

Ms 2'&

Mr

Mu@M2r

Mu 2

Mr

Mu@Mr

Mu

2

s'mu

0

4555 4555Mr

Mudu

M2r

Ms 2'M2r

Mu 2@

MuMs

2%Mr

Mu@M2u

Ms 2

Mr

Ms'Mr

Mu@MuMs

rS'r ( s)

r i t i

r


(B.125)

(B.126)

(B.127)

(B.128)

(B.129)

(B.131)

(B.130)

(B.132)

Si et représentent respectivement la coordonnée vectorielle par rapport au

repère d'entrée, du noeud i et son vecteur tangent, la coordonnée vectorielle d'un point

de la courbe est donnée par :

Le calcul en fonction du paramètre u est simple mais n'est pas pratique pour l'utilisateur.

C'est pourquoi nous préférons choisir comme paramètre de configuration l'abscisse curviligne

s. Comme on doit avoir pour l'abscisse curviligne :

on obtient successivement :

En pratique, on cherche u en fonction de s de façon à vérifier :

On peut alors aisément calculer :

B.8.3 Récurrence ascendante.

B.8.3.1 Elément point sur courbe.

La coordonnée vectorielle du repère de sortie étant calculée par :

TES'

1 0 0

0 1 0 { r ( u)} E

0 0 1

0 0 0 1

rS/ E

'r ( s) vS/ E

'Mr

Ms@s

aS/ E

'Mr

Ms@s%

M2r

Ms 2@s 2

ωS/ E

'ωS/ E

'0

2r ( sB) &r ( sA) 2'L sB>sA

uAB'

r ( sB) &r ( sA)

L

vS/ E

aS/ E

ωS/ E

ωS/ E


(B.133)

(B.134,135)

(B.136)

(B.137)

(B.138)

(B.139)

la matrice de transformation homogène donnant la situation du repère de sortie par

rapport au repère d'entrée est égale à :

On peut aisément déterminer la vitesse relative et l'accélération relative

du repère de sortie par rapport au repère d'entrée :

Comme il n'y a pas de rotation, on trouve bien évidemment pour la vitesse de rotation

relative et l'accélération de rotation relative :

B.8.3.2 Elément segment sur courbe.

Pour l'élément segment sur courbe, un segment AB de longueur L est accroché à la

courbe en chacune de ses extrémités. Le repère de sortie est fixé sur le segment à une distance

d du point A, son axe X étant aligné sur le segment AB. (voir figure B.5). C'est l'abscisse

curviligne s du point A qui est le paramètre cinématique de l'élément.A

L'abscisse curviligne s du point B est obtenue en tenant compte de la relation suivante :B

qui est résolue en pratique par le simple algorithme de la corde.

Si d est la distance entre le point A et le repère de sortie et en posant :

TES'

uAB, X &uAB, Y 0 XA%( XB&XA)dL

uAB, Y uAB, X 0 YA%( YB&YA)dL

0 0 1 0

0 0 0 1

( vB&v

A) @u

AB'( sB@

Mr

Ms*B&sA@

Mr

Ms*A) @u AB

'0

MsBMsA

'sBsA

'

Mr

Ms*A@u AB

Mr

Ms*B@u AB

θ'

Mθ

MsA@sA

vB'Mr

Ms*B@

MsBMsA

@sA vB'v

A%

θzE×( r ( sB) &r ( sA))

Mθ

MsA@z'

θsA

@z'uAB

L×(

Mr

Ms*B@

MsBMsA

&Mr

Ms*A)

θ'

Mθ

MsA@sA%

M2 θMs 2

@s 2A

θsB

θ

θ


(B.140)

(B.141)

(B.142)

(B.143)

(B.144,145)

(B.146)

(B.147)

la matrice de transformation donnant la situation du repère de sortie par rapport au

repère d'entrée peut être calculée comme suit :

sans calculer explicitement l'angle dont a tourné le repère de sortie autour de l'axe Z.

Pour calculer la vitesse du point B, on fait appel à la relation d'équiprojectivité de façon

à déterminer la vitesse de son abscisse curviligne . On obtient successivement :

On sait que la vitesse de rotation du repère de sortie est de la forme :

Pour la déterminer, nous allons utiliser les relations suivantes :

On obtient tous calculs faits :

On sait d'autre part que l'accélération de rotation doit être de la forme :

sA'1 sA'0

a(

A'M2r

Ms 2*A

a(

B'M2r

Ms 2*B@

MsBMsA

2

%Mr

Ms*B@s

(

B

( aB&a

A) @u

AB'&

θ 2L

M2 θMs 2

A

@z'uAB

L×( a(

B&a(

A)

rS'r ( sA) %d@u AB

vS/ E

'Mr

Ms*A@sA%

ωS/ E

×d@uAB

S/ E'Mr

Ms*A@sA%

M2r

Ms 2*A@s

2A%

ωS/ E

×( ωS/ E

×d@uAB

) % ωS/ E

×d@uωS/ E

'M

θMsA

@sA@zωS/ E

'(M

θMsA

@sA%M2 θMs 2

A

@s 2A ) @z

s (

B


(B.148)

(B.149)

(B.150)

(B.151)

(B.152)

(B.153)

(B.154)

(B.155)

(B.156)

La dérivée seconde de l'angle de rotation par rapport à l'abscisse curviligne va être

déterminée comme l'accélération de rotation pour les conditions :

Les accélérations des points A et B dans ces conditions sont égales à :

En exprimant la condition suivante :

on trouve la valeur de et on obtient tous calculs faits :

En résumé, la position relative et les vitesses et accélérations relatives de translation et

de rotation du repère de sortie par rapport au repère d'entrée valent :

B.8.3.3 Relations cinématiques globales.

Que ce soit pour le point ou le segment sur courbe, la récurrence ascendante sur les

vS'v

E%

ωE×r

S%v

S/ E

aS'a

E%

ωE×( ω

E×r

S) % ω

E×r

S%2 ω

E×v

S/ E%a

S/ EωS'

ωE%

ωS/ Eω

S'

ωE%

ωE× ω

S/ E%

ωS/ E

FE'F

SME'M

S%r

S×F

S

f s'&FS@Mr

Ms( s)

f sA'&F

S@(

Mr

Ms*A%

Mθ

MsA@z

E×d@u

AB) &M

S@M

θMsA

@zE


(B.157)

(B.158)

(B.159)

(B.160)

(B.161,162)

(B.163)

(B.164)

vitesses et les accélérations peut être menée par les relations générales suivantes :

B.8.4 Récurrence descendante.

Cet élément n'a aucune contribution interne, si bien qu'on a simplement :

B.8.5. Calcul des résidus.

B.8.5.1 Elément point sur courbe.

Le résidu par rapport à l'abscisse curviligne vaut :

B.8.5.2 Elément segment sur courbe.

Le résidu par rapport à l'abscisse curviligne du point A vaut :

e2/1'e

2&e

1

v2/1'v

2&v

1&

1×e

2/1

a2/1'a

2&a

1& ˙

1×e

2/1&

1×(

1×e

2/1)&2

1×v

2/1

2/1'

2&

1

˙2/1' ˙

2& ˙

1&

1×

2/1

(e1, x

1, y

1, z

1)

(e2, x

2, y

2, z

2)

e2/1

v2/1

a2/1

2/1˙

2/1

vi i i

˙i

Annexe C : Calcul des efforts internes et des degrés de liberté cachés 213

(C.1)

(C.2)

(C.3)

(C.4)

(C.5)

Annexe C : Calcul des efforts internes et des

degrés de liberté cachés relatifs aux liaisons.

C.1 Conventions.

Nous passons en revue dans cette annexe les relations permettant, pour chacune des

liaisons retenues, la détermination des degrés de liberté cachés et le calcul des efforts internes.

La liaison est supposée être exprimée entre deux repères et

et, en ce qui concerne le signe des degrés de liberté cachés, est toujours

supposée aller de 1 vers 2. On peut définir entre les deux repères les différentes valeurs

relatives suivantes :

- la position relative du repère 2 par rapport au repère 1, définie comme suit :

- la vitesse relative de translation et l'accélération relative de translation

du repère 2 par rapport au repère 1, obtenues par :

- la vitesse relative de rotation et l'accélération relative de rotation du


, , et étant les vitesses et accélérations absolues de translation

et de rotation du repère i.

x'atan2(y

1@y

2,z

1@y

2)

y'atan2(z

1@z

2,x

1@z

2)

z'atan2(x

1@x

2,y

1@x

2)

s ξ ξF l

1F l

2M l

1M l

2

Ksξ s ξ 0

K θ ξ ξ 0

Csξ

C θ ξQ

sξQ θ ξ

x y z

'x1

'y1

'z1


(C.6)

(C.7)

(C.8)

De façon générale, et désignent respectivement un déplacement le long d'un

axe et un angle de rotation autour d'un axe . Quand on parle d'axe, il faut comprendre

l'axe de translation ou de rotation de l'articulation élémentaire constitutive de la liaison.

Pour le calcul des efforts internes dont les liaisons sont le siège, on conviendra de

noter , , et les forces et moments agissant respectivement sur les

repères 1 et 2. Ceux-ci proviennent de la présence de ressorts, d'amortisseurs ou d'actuateurs

pour lesquels on retiendra les notations suivantes :

- et sont la constante de raideur et la longueur au repos d'un ressort linéaire

d'axe ;

- et sont la constante de raideur et la longueur au repos d'un ressort en

torsion d'axe ;

- est la constante d'amortissement d'un amortisseur linéaire d'axe ;

- est la constante d'amortissement d'un amortisseur en torsion d'axe ;

- est la force motrice d'une articulation prismatique d'axe ;

- est le couple moteur d'une articulation rotoïde d'axe ;

C.2 La liaison rotoïde.

Les angles , et relatifs respectivement aux liaisons L_ROTX,

L_ROTY et L_ROTZ sont donnés par :

En prenant pour convention que pour la liaison L_ROTX, pour la

liaison L_ROTY et pour la liaison L_ROTZ, on obtient pour la vitesse et

˙' @2/1

¨' @ ˙2/1

F l

1'F l

2'0

M l

1'&M l

2'(K θ ξ @( ξ & ξ 0)%C θ ξ @˙ ξ &Q θ ξ )@

s ξ ' @e2/1

s ξ ' @v2/1

s ξ ' @a2/1

F l

1'&F l

2'(K

sξ @(s ξ &s ξ 0)%Csξ @s ξ &Q

sξ )@M l

1'M l

2'0

F l

1'&F l

2'(K


sξ )@M l

1'&M l

2'(K θ ξ @( ξ & ξ 0)%C θ ξ @˙ ξ &Q θ ξ )@

'x1 'y

1

'z1

sx

sy

sz


(C.9,10)

(C.11)

(C.12)

(C.13)

(C.14)

(C.15)

(C.16)

(C.17)

(C.18)

(C.19)

l'accélération :

Avec la même convention, les efforts internes engendrés par la liaison sont égaux à :

C.3 La liaison prismatique.

En prenant pour convention que pour la liaison L_PRIX, pour la

liaison L_PRIY et pour la liaison L_PRIZ, les déplacements , et

relatifs à chacune des liaisons, ainsi que leurs vitesse et accélération, sont donnés par :

Avec la même convention, les efforts internes engendrés par la liaison sont égaux à :

C.4 La liaison cylindrique.

Les degrés de liberté cachés que constituent le déplacement et la rotation autour de

l'axe peuvent être calculés par application directe des relations obtenues pour les liaisons

rotoïde et prismatique de même axe.

Quant aux efforts internes, ils sont obtenus par addition des efforts induits par les

ressorts et les amortisseurs associés à chacun des mouvements :

ξ1 η 1

ζ1 ξ

1'=ξ

1

η 1'

ζ1' ξ

2

η 2=η 1'

ζ2

θ ξ θ η

ξ 'atan2(1@

2,

1@

2)η 'atan2(

1@

2,

1@

2)

˙ ξ '1@

2/1¨ ξ '

1@ ˙

2/1

'x1

'y1

'z1

(e1,

1,

1,

1) (e

2,

2,

1,

2) ξ

1 η 1) 2

'x 'y 'z

'y 'z 'x

'z 'x 'y

ξ η


(C.20)

(C.21)

(C.22,23)

avec pour la liaison L_CYLX, pour la liaison L_CYLY et

pour la liaison L_CYLZ

C.5 La liaison universelle ou de Cardan.

Pour toutes les relations, il faut tenir compte du fait que le premier et le deuxième axes

de rotation sont liés respectivement aux repères 1 et 2. Quand on part du repère 1

au repère 2 , on a d'abord rotation d'un angle autour

de l'axe , ce qui nous conduit au repère 1' (cfr figure C.1). De là, on aboutit au repère 2

par rotation d'un angle autour de l'axe , correspondant d'ailleurs avec l'axe .

Selon la liaison envisagée, on a :

- , et pour la liaison L_CARXY

- , et pour la liaison L_CARYZ

- , et pour la liaison L_CARZX

Fig C.1 Repères successifs au passage d'une liaison de Cardan.

Les angles et sont donnés par :

En ce qui concerne les vitesses et les efforts, on a :

˙ η '2@

2/1¨ η '

2@ ˙

2/1

F l

1'F l

2'0

&M l

2'(K θ ξ @( ξ & ξ 0)%C θ ξ @˙ ξ &Q θ ξ )@ 1

%(K θ η @( η & η 0)%C˙θ η @˙ η &Q

12

1

12

2

s ξ ' 1@e2/1s ζ ' 1@e2/1

s ξ '1@v

2/1s ζ '

1@v

2/1

s ξ '1@a

2/1s ζ '

1@a

2/1

(e1,

1,

1,

1) (e

2,

2,

1,

2) s ξ s ζ

1 1 η 1

'z 'x 'y

'x 'y 'z

'y 'z 'x


(C.24,25)

(C.26)

(C.27)

(C.28,29)

(C.30,31)

(C.32,33)

C.6 La liaison plane.

La liaison plane apparaît comme la succession de deux translations et d'une rotation

autour d'un axe perpendiculaire au plan de translation. Ainsi, pour aller du repère 1

au repère 2 , on a d'abord deux déplacements et

le long des axes et suivis d'une rotation d'angle autour de l'axe avec

- , et pour la liaison L_PLAX

- , et pour la liaison L_PLAY

- , et pour la liaison L_PLAZ

Fig C.2 Axes d'une liaison plane.

Les formules trouvées pour les liaisons rotoïdes et prismatiques peuvent être

appliquées in extenso, à savoir pour les déplacements :

η 'atan2(1@

2,

1@

2)

˙ η '1@

2/1¨ η '

1@ ˙

2/1

F l

1'&F l

2'(K


sξ )@ 1%(Ksζ @(s ζ &s ζ 0)%C˙θ ζ @s ζ &Q

sζ )@ 1

&M l

2'(K θ η @( η & η 0)%C θ η @˙ η &Q θ η )@

1

M l

1'&M l

2%e

2/1×F l

1

1 1

1

1'= 1

1'

1'

2'

2'= 1'

2'

2

2= 2'

2ξ η ζ

1 1 1

1 1)

2)

'x 'y 'z

'y 'z 'x

'z 'x 'y


(C.34)

(C.35,36)

(C.37)

(C.38)

(C.39)

et en ce qui concerne les rotations :

Avec les mêmes conventions, les efforts provenant des efforts internes sont donnés

par :

C.7 La liaison sphérique.

La liaison sphérique, comme illustré à la figure C.3, consiste en une succession de 3

rotations. On part d'un repère 1 d'axes , et d'où on aboutit, après rotation

autour de l'axe , au repère 1'. Une nouvelle rotation autour de l'axe nous amène au

repère 2', qui après une dernière rotation autour de l'axe vient s'aligner avec le repère 2.

La valeur correspondante des axes , et dépend de la succession des articulations

qui a été choisie pour la reconstitution de la liaison, soit :

- , et pour la liaison L_SPHXYZ

- , et pour la liaison L_SPHYZX

- , et pour la liaison L_SPHZXY

Fig C.3 Repères successifs au passage d'une liaison sphérique.

1)'

2×

1

*2×

1* 1)

'1×

1)

ξ 'atan2(1@

1),

1@

1))η 'atan2(

2@

1),

1@

2)ζ 'atan2(

2@

1),

1)@

2)

2/1'˙ ξ @

1%˙ η @

1)%˙ ζ @

2

˙ ξ '2/1@ 1)

×2

1@(

1)×

2)

˙ η '2/1@ 2

×1

1@(

1)×

2)

˙ ζ '2/1@ 1

×1)

1@(

1)×

2)

˙2/1'¨ ξ @

1%¨ η @

1)%¨ ζ @

2%˙ ξ @˙ η @(

1×

1))%˙ ξ @˙ ζ @(

1×

2)%˙ η @˙ ζ @(

1)×

2)

1

2


(C.40,41)

(C.42)

(C.43)

(C.44)

(C.45)

(C.46)

(C.47)

(C.48)

(C.49)

En tenant compte du fait que

- les repères 1 et 2 sont complètement connus

- les repères 1 et 1' ont l'axe en commun

- les repères 2' et 2 ont l'axe en commun

- les repères 2 et 2' ont l'axe en commun, ce dernier étant perpendiculaire aux axes

et

on peut calculer les vecteurs unitaires suivants :

et de là, la valeur des angles associés à chacune des rotations :

En ce qui concerne les vitesses, on doit résoudre l'équation vectorielle suivante :

ce qui donne, par application de la théorie des vecteurs réciproques :

Les termes au niveau accélération peuvent être obtenus par résolution de l'équation

vectorielle ci dessous :

F(

1'F(

2'0

M(

1'&M(

2'(K θ ξ @( ξ & ξ 0)%C θ ξ @˙ ξ )@

1%(K θ η @( η & η 0)%C θ η @˙ ξ )@

1

%(K θ ζ @( ζ & ζ 0)%C˙θ ζ @˙ ζ )@2


(C.50)

(C.51)

Enfin, on a en ce qui concerne les efforts internes :

Annexe D : Données complémentaires 221

Annexe D : Données complémentaires.

Pour toutes les données qui suivent, on suppose que l'axe X est longitudinal, l'axe Y

transversal et l'axe Z vertical)

D.1 Données relatives à la locomotive série 27.

La caisse de la locomotive a les caractéristiques de masse et d'inertie suivantes :

m=18000 kg IGXX=800 kgm IGXY=0 kgm2 2

IGYY=3000 kgm IGXZ=0 kgm2 2

IGZZ=3800 kgm IGYZ=0 kgm2 2

Celles de chaque bogie valent :


IGYY=1024628 kgm IGXZ=50.2 kgm2 2


Les caractéristiques de la suspension secondaire réduites au point central du bogie,

sont les suivantes (le roulis est la rotation autour de l'axe X) :

K =360000 N/m C =40000 Ns/mY Y

K =1740000 N/m C =80000 Ns/mZ Z

K =3660000 Nm/rad C =168200 Nms/radroulis roulis

D.1 Données relatives au véhicule tout terrain.

La caisse du véhicule a les caractéristiques de masse et d'inertie suivantes :


IGYY=883 kgm IGXZ=-5 kgm2 2


Celles de chaque essieu valent :



IGYY=2.5 kgm IGXZ=0 kgm2 2


Enfin, les caractéristiques des ressorts et des amortisseurs consituant les suspensions

avant et arrière, réduites au point central de l'essieu, correspondent à :

Arrière : K =47491 N/m C =3350 Ns/mZ Z


Avant : K =58607 N/m C =4140 Ns/mZ Z


simulation du comportement dynamique de systemes multicorps

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