Avant-proposI. Introduction

II. Espace de travail MATLABIII. Présentation de SIMULINK

III-1- Exemple simpleIV. Simulation des systèmes mécaniques en vibration

IV-1-Système à un degré de libertéIV-2-Système à deux degrés de libertéIV-3-Système à trois degrés de liberté

V. Vibrations des poutres droitesVII-1-Encastré-encastréVII-2-Encastre-appuyéVII-3-Appuyé-appuyéVII-4-Libre-libre

VI. ConclusionVII. Bibliographie

MATLAB est une abréviation de Matrix LABoratory. Écrit à l’origine, en Fortran, par C.Moler, MATLAB était destiné à faciliter l’accès au logiciel matriciel développé dans lesprojets LINPACK et EISPACK. La version actuelle, écrite en C par the MathWorks Inc.,existe en version professionnelle et en version étudiant. Sa disponibilité est assurée surplusieurs platesformes: Sun, Bull, HP, IBM, compatibles PC (DOS, Unix ou Windows),Macintoch, iMac et plusieurs machines parallèles.

MATLAB est un environnement puissant, complet et facile à utiliser destiné au calculscientifique. Il apporte aux ingénieurs, chercheurs et à tout scientifique un système interactifintégrant calcul numérique et visualisation. C'est un environnement performant, ouvert etprogrammable qui permet de remarquables gains de productivité et de créativité.

MATLAB est un environnement complet, ouvert et extensible pour le calcul et lavisualisation. Il dispose de plusieurs centaines (voire milliers, selon les versions et lesmodules optionnels autour du noyau Matlab) de fonctions mathématiques, scientifiques ettechniques. L'approche matricielle de MATLAB permet de traiter les données sans aucunelimitation de taille et de réaliser des calculs numériques et symboliques de façon fiable etrapide. Grâce aux fonctions graphiques de MATLAB, il devient très facile de modifierinteractivement les différents paramètres des graphiques pour les adapter selon nos souhaits.L'approche ouverte de MATLAB permet de construire un outil sur mesure. On peut inspecterle code source et les algorithmes des bibliothèques de fonctions (Toolboxes), modifier desfonctions existantes et ajouter d’autres.

MATLAB comprend aussi un ensemble d'outils spécifiques à des domaines, appelésToolboxes (Ou Boîtes à Outils). Indispensables à la plupart des utilisateurs, les Boîtes à Outilssont des collections de fonctions qui étendent l'environnement MATLAB pour résoudre descatégories spécifiques de problèmes. Les domaines couverts sont très variés et comprennentnotamment le traitement du signal, l'automatique, l'identification de systèmes, les réseaux deneurones, la logique floue, le calcul de structure, les statistiques, etc.…

MATLAB fait également partie d'un ensemble d'outils intégrés dédiés au Traitement duSignal.En complément du noyau de calcul MATLAB, l'environnement comprend des modulesOptionnels qui sont parfaitement intégrés à l'ensemble :1) une vaste gamme de bibliothèques de fonctions spécialisées (Toolboxes)2) Simulink, un environnement puissant de modélisation basée sur les schémas blocs et deSimulation de systèmes dynamiques linéaires et non linéaires3) Des bibliothèques de blocs Simulink spécialisés (Blocksets)4) D'autres modules dont un Compilateur, un générateur de code C, un accélérateur,...5) Un ensemble d'outils intégrés dédiés au Traitement du Signal : le DSP Workshop.

I- Introduction:

On désigne par vibration mécanique les petits mouvements autour d’une positon deréférence .L’origine de ses mouvements peut être très divers (jeu, desserage, déséquilibre…)

Une partie de l’énergie fournie va être consommer pour effectuer ces mouvements cequi va entraîner une modification de la répartition de l’énergie initialement prévue poureffectuer la tache demandée, cela peut nuire au bon fonctionnement des installations.

Ces petits mouvements sont indésirables sont la cause des modification des contraintesdans la structure qui peuvent entraîner à la longue la rupture du matériau, les chocs causentl’usure du matériau.En fin ces mouvements vont émettre des bruits dans le milieu environnentsouvent nuisible à l’homme travaillant à coté d’une machine.

Les vibrations d’origine mécanique sont souvent néfastes pour l’homme et la machineelles sont donc indésirables.

Donc l’ingénieur concepteur et tout ingénieur chargé de la maintenance jouent un rôleprimordial que ça soit lors de la conception en prévoyant le comportement vibratoire de lastructure ; ou encore lors de l’utilisation de la machine , les phénomène précités peuventapparaître d’une manière progressive d’où la nécessité de surveiller régulièrement l’étatvibratoire des machines (maintenance préventive) et pouvoir intervenir au bon moment enmesurant le niveau vibratoire et veiller au respect des normes en vigueur pour chaque type demachine . Dans ces cas l’ingénieur doit intervenir de façon à ramener le niveau vibratoiredans un domaine tolérable afin que la machine puisse effectuer sa tâche dans les meilleuresconditions.

II- Espace de travail MATLAB :

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1 : L'éditeur/débugger est utilisé pour créer, éditer et débugger les fichiers Matlab (fonctionsou scripts)

2 : La console de commandes permet de lancer les fonctions et les scripts Matlab

3: L'explorateur de l'espace de travail permet de manipuler, organiser et tracer les différentesvariables utilisées

4 : Le navigateur du répertoire courant permet la maintenance des fichiers

5 : L'historique des commandes permet de voir ou de rejouer les commandes précédentes

III- Présentation de SIMULINK :

Pour démarrer simulink il suffit de taper simulink dans l’espace de travail deMATLAB ou de cliquer sur l’icône comme il est illustré ci-dessous :

Pour démarrer simulink

En cliquant sur l’icône création d’un nouveau modèle on aura une nouvelle page modèle ouon peut glisser les blocks à partir de Simulink Library

III-1- Exemple simple :

Après le glissement des blocks, on fait la liaison entre ces derniers a l’aide de la sourie.

Remarque :

Avant de commencer la simulation il faut régler d’abord les paramètres de lasimulation comme ce qui est expliqué ci-dessus, en cliquant sur Simulation paramètres onaura le block suivant :

Le réglage des paramètres de chaque block est indispensable, il se fait de la manièresuivante :

Début de simulation Début de simulation

Erreur absolue

Erreur relativeType du pas

Pas minimum

Pas maximum

Après le réglage, on clique sur play pour visualiser la réponse du système sur le scope,comme suit :

Si par exemple nous avons obtenu une réponse non clair on peut utiliser la commandeautoscale en cliquant sur le scope par le bouton droit de la sourie ou utilisé l’icône autoscalesur la barre de menu comme suit :

IV- Simulation des systèmes mécaniques en vibration :

Les vibrations mécaniques peuvent être enregistrées à l’aide d’un système d’acquisition dedonnées et visualiser à l’aide d’un écran ou d’une table traçante ou d’un magnétophone ou toutautre support magnétique. Les données ainsi collecter peuvent être analysé à l’aide d’un micro-ordinateur à l’aide de logiciel approprié, dans notre cas la simulation est faite à l’aide de logicielMATLAB 7p1

IV-1- Système à un degré de liberté :

On a l’équation : )(111 tuXKXfXM =++ &&&

Qui s’écrire aussi comme :

XWXWM

tuX &&&0

20 2

1)(

α−−=

Avec11

0 MKW = et

0121WM

f=α

Les blocks à utiliser dans la maquette sont :

Autoscale

Ø Générateur de signaux :

Il génère des signaux sinusoïdaux, carrés,triangulaires ou aléatoires. La boîte de dialoguepermet de choisir le signal adéquat, sonamplitude, sa fréquence ainsi que l’unité de cettedernière (rad/s ou hertz).Il appartient à lalibrairie (source) de SIMULINK.

Ø Echelon (Step) :

Il appartient à la librairie (source) de SIMULINK.Paramètre de la boite de dialogue :Le signal part de la valeur initiale 0, met un temps de 1seconde (step time) pour arriver à la valeur finale 1.

Ø Intégrateur :

Sa fonction est d’intégrer le signal qu’on luiinjecte à son entrée, il appartient à la librairie(continus) du SIMULINK.La saisie de la valeur initiale se fait dans la boitede dialogue de l’intégrateur.

Ø Le gain :

Le gain permet de multiplier son entrée par une constante k qui doit être déterminer dans laboite de dialogue, ce block appartient à la librairie (Math) de SIMULINK.

Ø La sommation :

Quand deux ou plusieurs signaux s’additionnent, on obtient une opération de sommation, ilappartient à la librairie (Math) de SIMULINK.

Ø L’oscilloscope (scope) :

C’est un élément de la librairie (sinks), il permet de visualiser un ou plusieurs signaux aumême temps en utilisant le block mux le réglage des axes se fait à partir de la boite de

Par exemple pour un signal sinusoïdale

dialogue du scope, on peut aussi utiliser le bouton de commande autoscale pour trouveravec précision les coordonnés d’un point sur l’écran du scope.

Ø Le block (to work space) :

Ce block nous aide pour récupérer les variables dans l’éditeur MATLAB, il appartient à lalibrairie (sinks) de SIMULINK.

Donc la maquette est la suivante :

Pour simuler le système on doit définir les paramètres (M1, f1, K1, W0, U1, alpha et E1).En utilisant le fichier d’initialisation ci-dessous :

En faisant l’exécution du fichier d’initialisation sous l’éditeur MATLAB on aura :

a) Pour ALPHA >1 :

On voit la réponse ci-dessous :

InterprétationDans ce cas le mouvement et dit apériodique amorti le retour à la position d’équilibre sefait au bout d’un temps infini.

a) Pour ALPHA< 1

Interprétation :

Dans ce cas le mouvement pris par la masse M est unmouvement oscillatoire mais amorti ce mouvement estpseudo-périodique.

b) Pour ALPHA=1

Interprétation :

Le mouvement est apériodique amorti limite ou régimecritique dû au système, le retour se fait rapidement àune position très proche de la position d’équilibre.

IV-2- Système à deux degrés de liberté :

On a les équations : 221)21(11 XKXKKXM =++&&

122)23(22 XKXKKXM =++&&

Avec dans ce cas f1=f2=f3=0

Donc la maquette est la suivante :

Pour simuler le système on doit définir les paramètres : (M1, M2, K1, K2, K3, W1, W2,U1, U2, f1, f2, f3). En utilisant le fichier d’initialisation ci-dessous :

a) Cas Général :

On donne M1 # M2, K1 # K2 # K3 , W1 # W2Par exemple : M1 = 2 Kg , M2 = 1 Kg K1 = 1 N/m , K2 = 3 N/m , K3 = 2 N/m W1 = 1.5 rd/s , W2 = 2.3 rd/s

U1 = U2 = 0On voit la réponse suivante :

b) Cas particulier

On prend M1 = M2 = M , K1 = K2 = K3 = K

v Modes normaux :

F Pour le mode propre 1 : W = sqrt (K/M) :

On pose M = 1 Kg , K = 4 N/m donc W= 2 rd/s x10 = x20 =6

INTERPRETATION DES RESULTATS :

On voit pour le premier mode que les masses M1 et M2 vibrent en phase ce quicorrespond aux résultats théoriques.

F Pour le mode propre 2 : w=sqrt (3k/M)

On pose M = 1 Kg, K = 3 N/m donc W = 3rd/s x10 = 6 et x20 = -6

INTERPRETATION DES RESULTATS :

On voit pour le premier mode que les masses M1 et M2 vibrent en opposition de phase.Puisque x10 = -x20, on constate que ces résultats correspondent aux résultats théoriques.

c) Régime Forcé

M1 = M = M , K1 = K2 = K , W1 = W2 = WOn a les équations suivantes: 02121 =−+ KXKXXM &&

01222 =−+ KXKXXM &&

Par exemple M=1 Kg K = 4 N/m

W = sqrt(K/M) = 2 rd/s U1 = 6 , U2 = 0

On voit la réponse ci-dessous :

INTERPRETATION DES RESULTATS :

On voit pour ce mode propre w=w0 (pulsation propre) que la réponse des masses M1 et M2diverge en augmentant l’amplitude, ce la dû à l’absenceDe l’amortissent.

IV-3- Système à trois degrés de liberté :

On a les équations : K2X21XK2)(K11XM1 =++ &&&&

K2X1K3X3K2)X2(K12XM2 +=++&&

K3X2K3X33XM3 =+&&

Avec dans ce cas f1 = f2 = f3 = 0

Donc la maquette est la suivante :

Pour simuler le système on doit définir les paramètres :(M1, M2, M2, K1, K2, K3, K4, W1, W2, W3, U1, U2, U3, f1, f2, f3, a1, a2, a3 ).En utilisant le fichier d’initialisation ci-dessous :

On donne M1 # M2 , k1#k2#k3 , w1#w2Par exemple : m3M3,mM2,m2M1 ×==×= et m =1 Kg

kk3,k2k2,kk1 =×== et k =1 N/m

rd/s1.9819(k/m)sqrt1.9819 w3rd/s0.8983(k/m)sqrt0.8983 w2rd/s0.3243sqrt(k/m)0.3243w1

=×==×==×=

On voit la réponse ci-dessous

Interprétation :

On voit que la réponse du système pour chaque masse est composée de trois signaux, ce quiest normal puisqu’ on interférence de trois mouvement .Pour chaque signal on peux ledécomposé en trois signaux à l’aide la transformé de FOURIER.