simulasi sistem predator prey
DESCRIPTION
predator preyTRANSCRIPT
SIMULASI SISTEM MANGSA-PEMANGSA PADA PEMANGSA YANG
HANYA BERADA PADA ZONA TIDAK DILINDUNGI
SRI SEPTIANA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2011
ABSTRAK
SRI SEPTIANA. Simulasi Sistem Mangsa-Pemangsa pada Pemangsa yang Hanya Berada pada
Zona Tidak Dilindungi. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan ENDAR HASAFAH
NUGRAHANI.
Dalam tulisan ini dipelajari model populasi mangsa-pemangsa yang habitatnya dibagi menjadi
dua zona, yaitu zona dilindungi dan zona tidak dilindungi dimana pada zona dilindungi pemangsa
tidak dapat masuk ke dalamnya, sedangkan pada zona tidak dilindungi mangsa dan pemangsa
dapat hidup secara bersamaan. Dalam pembahasan ini permasalahan dibagi menjadi dua model, yaitu model mangsa-pemangsa pada saat pemangsa sangat bergantung pada mangsanya (model 1)
dan pada saat pemangsa tidak sangat bergantung pada mangsanya (model 2). Analisis pada kedua
model tersebut dilakukan dengan membandingkan laju interaksi antara mangsa dan pemangsa.
Dari hasil analisis tersebut diperoleh tiga titik tetap pada model 1 dan empat titik tetap pada model
2.
Dinamika model digambarkan dengan bantuan software Mathematica 7.0. Secara keseluruhan
dari setiap kasus yang diamati, kestabilan populasi mangsa pada zona dilindungi dan zona tidak
dilindungi bergantung pada laju interaksi antara mangsa dan pemangsa. Jika besarnya interaksi
antara mangsa dan pemangsa diperbesar, maka populasi mangsa pada zona tidak dilindungi dapat
berada pada ambang kepunahan, sedangkan untuk populasi mangsa pada zona dilindungi akan
mengalami peningkatan populasi. Dalam model 1, banyaknya populasi mangsa pada zona
dilindungi mengalami peningkatan populasi lebih banyak dibandingkan model 2.
Kata kunci : model mangsa-pemangsa, zona tidak dilindungi, kestabilan
ABSTRACT
SRI SEPTIANA. Simulation on Prey-Predator System with Predators Present Only in the
Unreserved Area. Supervised by ALI KUSNANTO and ENDAR HASAFAH NUGRAHANI.
This paper studied the prey-predator population models that divide the habitat into two areas,
namely reserved area and unreserved area. In the reserved area, it is assumed that predators cannot
enter into it, while in the unreserved area prey and predators can live simultaneously. In the
discussion, two models are being considered namely the prey-predator model when predator
depends on prey (first model) and when predators have a choice of prey (second model). Analysis
on both models is done by comparing the interaction between prey and predator. The results of the analysis give three fixed points on the first model and four fixed points on the second model.
The simulation study is carried out using Mathematica 7.0 software. In every case, the stability
of prey populations in reserved area and unreserved area depend on the interaction rate between
prey and predator. If the magnitude of the prey-predator interaction is enlarged, then the prey
population in the unreserved area tends to extinct, but the prey population in reserved area tends to
increase. Moreover, population increase in reserved area of the first model is larger than that of the
second model.
Keywords : prey-predator model, unreserved area, stability
SIMULASI SISTEM MANGSA-PEMANGSA PADA PEMANGSA YANG
HANYA BERADA PADA ZONA TIDAK DILINDUNGI
SRI SEPTIANA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
Judul : Simulasi Sistem Mangsa-Pemangsa pada Pemangsa yang Hanya Berada
pada Zona Tidak Dilindungi
Nama : Sri Septiana
NRP : G54070042
Menyetujui,
Pembimbing I Pembimbing II
Drs. Ali Kusnanto, M.Si Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS
NIP. 19650820 199003 1 001 NIP. 19631228 198903 2 001
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan
pertolongan-Nya sehingga penulisan skripsi ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih adalah
Pemodelan Matematika dengan judul Simulasi Sistem Mangsa-Pemangsa pada Pemangsa yang
Hanya Berada pada Zona Tidak Dilindungi. Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan
studi pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Pertanian Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada :
1. Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si dan Ibu Endar Hasafah Nugrahani, MS. selaku dosen
pembimbing atas segala kesabaran dan masukannya selama membimbing penulis; kepada
Bapak Dr. Paian Sianturi selaku penguji; 2. Ayahanda Kastowo dan Ibunda Mariyam yang banyak memberi nasihat dan dukungan
serta doβa yang tak terkira, Kakakku Elis Citrawati dan Adikku Imam Nugroho yang
selalu memberi semangat belajar dan mengingatkan tiada henti, serta Margono atas
segenap perhatian dan semangat, kesabaran serta doβanya selama penyusunan skrispi;
3. keluarga besar dan staf Departemen MatematikaFMIPA IPB: Bu Susi, Pak Yono, Bu
Ade, Mas Heri, Mas Deni, Pak Bono, dkk yang telah banyak membantu dalam
penyusunan skripsi;
4. teman-teman satu bimbingan: Fajar, Rahma, dan Aje yang selalu saling mengingatkan
dan membantu dalam penyusunan skripsi;
5. teman-teman terbaikku di kampus: Melon, Ayung, Rahma, Della, Tyas, Fajar, Denda,
Rofi, Pandi, Dian, dan Rizky yang selalu memberikan semangat dan bantuan serta
mengingatkan penulis dalam penyusunan skripsi; 6. teman-teman mahasiswa matematika angkatan 44: Melon, Ayung, Rahma, Tyas, Della,
Fajar, Rofi, Denda, Dian, Pandi, Rizky, Ruhiyat, Wahyu, Iam, Lingga, Ima, Dora,
Lugina, Yuyun, Nunuy, Ucu, Wenti, Ndep, Pepi, Ali, Aje, Deva, Eka, Titi, Lilis, Aqil,
Ikhsan, Vianey, Yuli, Masayu, Diana, Yanti, Indin, Sari, Lukman, Olih, Cepi, Aswin,
Imam, Ririh, Iresa, Anis, Tita, Arina, Tanti, Lili, Nurus, Nadiroh, Naim, Endro atas
segenap dukungan, suka-duka dan kebahagiaan selama penulis menempuh studi di
Departemen Matematika;
7. kakak-kakak mahasiswa angkatan 43: kak nia, kak wira, kak copi, kak arum, kak tami,
kak apri, kak supri, kak slamet dkk yang telah memberikan banyak informasi dan
motivasinya; adik-adik mahasiswa matematika angkatan 45: Dono, Feni, Aci, Yunda,
Bolo, Isna dkk yang telah mendukung penulis dalam menyusun skripsi; 8. keluarga besar kosan Puri 9: Nuning, Riska, Susan, Fitri, Ivon, Lia, Ines, Nita, Omi, Anis,
Ibu Yanti, dan Nela yang telah memberikan bantuan, informasi, doβa dan motivasinya
kepada penulis dalam penyusunan skripsi;
9. pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang tidak dapat
disebutkan satu per satu.
Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari
kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari
pembaca. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.
Bogor, Agustus 2011
Sri Septiana
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Tangerang pada tanggal 16 September 1989 sebagai anak ke dua dari tiga
bersaudara, anak dari pasangan Kastowo dan Mariyam. Tahun 2001 penulis lulus dari SDS
Kuncup Mekar. Tahun 2004 penulis lulus dari SMPN 1 Tangerang. Tahun 2007 penulis lulus dari
SMAN 6 Tangerang dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur
Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2008, penulis
memilih mayor Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi pengajar Pengantar Matematika di
bimbingan belajar Smart. Penulis juga aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus
Mahasiswa Matematika) sebagai bendahara staf Departemen Sosinkom periode 2008/2009 dan juga menjabat sebagai bendahara staf Forum Silahturahmi Matematika (FORSMATH) periode
2009/2010. Selain itu, penulis pernah terlibat dalam berbagai kegiatan mahasiswa, antara lain
divisi acara Math Expo pada tahun 2008, divisi dokumentasi pada acara Math League pada tahun
2008, divisi kreatif pada acara MPD Matematika pada tahun 2009, divisi danus Matematika Ria
(Pesta Sains) pada tahun 2009, dan divisi acara pada acara MPD Matematika pada tahun 2010.
vii
DAFTAR ISI Halaman
DAFTAR ISI .......................................................................................................................... vii
DAFTAR GAMBAR .............................................................................................................. viii
DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................................... viii
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang .......................................................................................................... 1
1.2 Tujuan ....................................................................................................................... 1
II LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear ......................................................................... 2
2.2 Titik Tetap................................................................................................................. 2
2.3 Pelinearan ................................................................................................................. 2 2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen .................................................................................... 2
2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap .................................................................................. 2
III PEMODELAN
3.1 Model Mangsa-Pemangsa .......................................................................................... 4
3.2 Model Mangsa-Pemangsa pada Saat Pemangsa Sangat Bergantung pada
Mangsanya (Model 1) ................................................................................................ 4
3.3 Model Mangsa-Pemangsa pada Saat Pemangsa Tidak Sangat Bergantung pada
Mangsanya (Model 2) ............................................................................................... 5
IV PEMBAHASAN
4.1 Analisis Model 1 ....................................................................................................... 6 4.2 Analisis Model 2 ....................................................................................................... 7
4.3 Simulasi Model 1....................................................................................................... 8
4.4 Simulasi Model 2 ...................................................................................................... 12
V KESIMPULAN ............................................................................................................... 18
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................. 19
LAMPIRAN ........................................................................................................................... 21
viii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Jenis kestabilan titik tetap ................................................................................................ 3
2 Skema model mangsa-pemangsa pada model 1 ................................................................ 4
3 Skema model mangsa-pemangsa pada model 2 ................................................................ 5
4 Orbit kestabilan di sekitar (π₯, π¦, π§), dengan π½2 = 0.7 pada model 1 .................................. 9
5 Orbit kestabilan di sekitar (π₯, π¦), dengan π½2 = 0.7 pada model 1 ..................................... 9
6 Orbit kestabilan di sekitar (π₯, π§), dengan π½2 = 0.7 pada model 1...................................... 9
7 Orbit kestabilan di sekitar (π¦, π§), dengan π½2 = 0.7 pada model 1 ..................................... 9
8 Dinamika populasi dari ketiga model terhadap π‘ dengan π½2 = 0.7 pada model 1 ............... 9
9 Orbit kestabilan di sekitar (π₯, π¦, π§), dengan π½2 = 0.4 pada model 1 .................................. 10
10 Orbit kestabilan di sekitar (π₯, π¦), dengan π½2 = 0.4 pada model 1 ..................................... 10
11 Orbit kestabilan di sekitar (π₯, π§), dengan π½2 = 0.4 pada model 1...................................... 10
12 Orbit kestabilan di sekitar (π¦, π§), dengan π½2 = 0.4 pada model 1 ..................................... 11
13 Dinamika populasi dari ketiga model terhadap π‘ dengan π½2 = 0.4 pada model 1 ............... 11
14 Orbit kestabilan di sekitar (π₯, π¦, π§), dengan π½2 = 0.1 pada model 1 .................................. 11
15 Orbit kestabilan di sekitar (π₯, π¦), dengan π½2 = 0.1 pada model 1 ..................................... 12
16 Orbit kestabilan di sekitar (π₯, π§), dengan π½2 = 0.1 pada model 1...................................... 12
17 Orbit kestabilan di sekitar (π¦, π§), dengan π½2 = 0.1 pada model 1 ..................................... 12
18 Dinamika populasi dari ketiga model terhadap π‘ dengan π½2 = 0.1 pada model 1 ............... 12
19 Orbit kestabilan di sekitar (π₯, π¦, π§), dengan π½2 = 0.7 pada model 2 .................................. 13
20 Orbit kestabilan di sekitar (π₯, π¦), dengan π½2 = 0.7 pada model 2 ..................................... 13
21 Orbit kestabilan di sekitar (π₯, π§), dengan π½2 = 0.7 pada model 2...................................... 13
22 Orbit kestabilan di sekitar (π¦, π§), dengan π½2 = 0.7 pada model 2 ..................................... 14
23 Dinamika populasi dari ketiga model terhadap π‘ dengan π½2 = 0.7 pada model 2 ............... 14
24 Orbit kestabilan di sekitar (π₯, π¦, π§), dengan π½2 = 0.4 pada model 2 .................................. 15
25 Orbit kestabilan di sekitar (π₯, π¦), dengan π½2 = 0.4 pada model 2 ..................................... 15
26 Orbit kestabilan di sekitar (π₯, π§), dengan π½2 = 0.4 pada model 2...................................... 15
27 Orbit kestabilan di sekitar (π¦, π§), dengan π½2 = 0.4 pada model 2 ..................................... 15
28 Dinamika populasi dari ketiga model terhadap π‘ dengan π½2 = 0.4 pada model 2 ............... 15
29 Orbit kestabilan di sekitar (π₯, π¦, π§), dengan π½2 = 0.1 pada model 2 .................................. 16
30 Orbit kestabilan di sekitar (π₯, π¦), dengan π½2 = 0.1 pada model 2 ..................................... 17
31 Orbit kestabilan di sekitar (π₯, π§), dengan π½2 = 0.1 pada model 2...................................... 17
32 Orbit kestabilan di sekitar (π¦, π§), dengan π½2 = 0.1 pada model 2 ..................................... 17
33 Dinamika populasi dari ketiga model terhadap π‘ dengan π½2 = 0.1 pada model 2 ............... 17
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Penentuan Titik Tetap Model 1 ........................................................................................ 21
2 Penentuan Nilai Eigen Model 1 ....................................................................................... 23 3 Penentuan Titik Tetap Model 2 ........................................................................................ 28
4 Penentuan Nilai Eigen Model 2 ....................................................................................... 31
5 Program Penentuan Orbit Kestabilan dan Solusi Model 1 ................................................. 36
6 Program Penentuan Orbit Kestabilan dan Solusi Model 2 ................................................. 41
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Makhluk hidup pada hakekatnya tidak
dapat hidup sendirian, sehingga diperlukan
adanya suatu interaksi antar berbagai
populasi dan berbagai spesies yang hidup
secara bersamaan. Pada populasi tersebut
akan terjadi suatu interaksi antar spesies, di
mana kedua spesies berinteraksi dalam suatu
rantai makanan.
Biosfer merupakan suatu zona yang penting untuk kegiatan biologi terutama
terhadap perubahan ekologi dan lingkungan
yang ada. Perubahan ekologi dan lingkungan
seperti eksploitasi berlebihan, banyaknya
pemangsa, dan pencemaran lingkungan
dapat menyebabkan banyaknya spesies
didorong untuk punah dan masih banyak
yang lainnya berada pada ambang
kepunahan. Untuk melindungi spesies-
spesies tersebut harus dilakukan suatu
tindakan, salah satu tindakannya adalah
dengan menciptakan zona dilindungi yang dapat mengurangi interaksi dari spesies-
spesies tersebut terhadap perubahan ekologi
dan lingkungan yang ada. (Dubey 2006).
Model mangsa-pemangsa ini
menggambarkan tentang adanya suatu
interaksi antar spesies yang hidup secara
bersamaan. Spesies mangsa yang
dilestarikan dapat dilindungi dari pemangsa
dengan menciptakan suatu batas buatan yang
ukurannya dibuat agar mangsa saja yang
dapat bergerak lalu lalang tetapi pemangsa tidak dapat memakan mangsa pada saat
berada pada zona dilindungi. Oleh karena
itu, pemangsa yang berada di luar zona
dilindungi tidak dapat memasuki batas yang
telah dibuat tersebut sehingga aman untuk
mangsa yang hidup pada zona dilindungi
dan juga dapat membuat habitat terbagi
menjadi dua zona, yaitu zona dilindungi dan
zona tidak dilindungi.
Simulasi sistem mangsa-pemangsa pada
pemangsa yang hanya berada pada zona
tidak dilindungi memiliki dua tipe model kasus, yaitu pada saat pemangsa sangat
bergantung pada mangsanya dan pada saat
pemangsa tidak sangat bergantung pada
mangsanya. Dalam pembahasan dinamika
sistem mangsa-pemangsa ini juga
mempertimbangkan dua tipe zona yang akan
digunakan, yaitu zona dilindungi dimana
pemangsa tidak dapat memasuki zona ini
dan zona tidak dilindungi dimana mangsa
maupun pemangsa dapat bergerak atau
hidup secara bersamaan.
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas
model mangsa-pemangsa yang dimodelkan
oleh Dubey (2006). Kedua model kasus
yang akan dibahas akan menghasilkan suatu
model baru yang dapat dianalisis dinamika
populasi mangsa pada zona dilindungi dan
zona tidak dilindungi ketika terdapat
pemangsa pada zona tidak dilindungi,
dinamika populasi pemangsa terhadap
perubahan laju interaksi antara mangsa dan pemangsa, dan perbandingan model
pemangsa pada kedua model kasus yang
akan dibahas. Dalam pembahasan ini, akan
dilakukan beberapa tahapan untuk dapat
menganalisis model tersebut. Pertama, akan
ditentukan titik tetap pada setiap model dari
kedua kasus tersebut. Selanjutnya ditentukan
matriks Jacobi dengan melakukan
pelinearan pada setiap persamaan model
yang ada terhadap setiap variabel. Kemudian
akan ditentukan nilai eigen yang dapat
digunakan untuk menganalisis kestabilan titik tetap yang dihasilkan pada setiap model
dalam kedua model kasus tersebut.
1.2 Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini
adalah untuk :
1. Menggambarkan dinamika populasi
mangsa pada zona dilindungi dan zona
tidak dilindungi ketika terdapat
pemangsa pada zona tidak dilindungi.
2. Menggambarkan dinamika populasi pemangsa dengan adanya perubahan
terhadap laju interaksi antara mangsa dan
pemangsa.
3. Membandingkan model pemangsa yang
ada pada saat pemangsa sangat
bergantung pada mangsanya dan pada
saat pemangsa tidak sangat bergantung
pada mangsanya.
II LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear
Suatu sistem persamaan diferensial orde
1 dinyatakan sebagai berikut
π₯ + π π‘ π₯ = π(π‘) (1)
dengan π(π‘) dan π(π‘) adalah fungsi dari
waktu π‘. Bila π(π‘) adalah suatu matriks
π x π dengan koefisien konstan dan π(π‘)
dinyatakan sebagai vektor konstan π, maka
akan diperoleh bentuk sistem persamaan
diferensial linear sebagai berikut
ππ₯
ππ‘β‘ π₯ = π΄π₯ + π, π₯ 0 = π₯0 (2)
(Farlow 1994)
2.2 Titik Tetap Diberikan sistem persamaan diferensial
sebagai berikut
π₯ = π π₯1 ,π₯2 ,β¦ , π₯1 ,π₯2 ,β¦ π Rπ (3)
suatu titik π₯ yang memenuhi π π₯β = 0
disebut titik keseimbangan atau titik tetap
dari sistem.
(Verhulst 1990)
2.3 Pelinearan Diketahui
π₯ = π(π₯, π¦)
π¦ = π(π₯, π¦) (4)
Andaikan (π₯β,π¦β) adalah titik tetap pada
persamaan (4), maka
π π₯β,π¦β = 0
dan
π π₯β,π¦β = 0
Misalkan, π’ = π₯ β π₯β dan π£ = π¦ β π¦β, maka didapatkan
π’ = π₯ = π(π₯β + π’, π¦β + π£)
= π π₯β, π¦β + π’ππ
ππ₯+ π£
ππ
ππ¦+
πΆ(ππ,ππ,ππ)
= π’ππ
ππ₯+ π£
ππ
ππ¦+ πΆ(ππ,ππ,ππ)
π£ = π¦ = π(π₯β + π’,π¦β + π£)
= π π₯β,π¦β + π’ππ
ππ₯+ π£
ππ
ππ¦+
πΆ(ππ,ππ,ππ)
= π’ππ
ππ₯+ π£
ππ
ππ¦+ πΆ(ππ,ππ,ππ)
Dalam bentuk matriks,
π π =
ππ
ππππ
ππ
ππ
ππππ
ππ
ππ + πΆ(ππ + ππ + ππ).
Matriks
π΄ = ππ
ππ₯ππ
ππ₯
ππ
ππ¦ππ
ππ¦
(π₯β,π¦β)
disebut matriks Jacobi pada titik tetap
(π₯β, π¦β). Karena πΆ(ππ,ππ,ππ) β π, maka
dapat diabaikan sehingga didapatkan
persamaan linear
π’ π£ =
ππ
ππ₯ππ
ππ₯
ππ
ππ¦
ππ
ππ¦
(5)
(Strogatz 1994)
2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
π΄ adalah matriks π x π, maka suatu
vektor taknol di dalam Rπ disebut vektor
eigen dari π΄ jika untuk suatu skalar π berlaku
π΄π₯ = ππ₯ (6)
Vektor x disebut vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen π. Untuk
mencari nilai eigen dari matriks yang
berukuran π x π, maka persamaan (6) dapat
ditulis kembali sebagai berikut :
π΄ β πI π₯ = 0 (7)
dengan I adalah matriks identitas. Persamaan
(7) mempunyai solusi taknol jika dan hanya
jika,
πππ‘ π΄ β ππΌ = π΄ β πI = 0 (8)
Persamaan (8) disebut persamaan
karakteristik dari matriks π΄.
(Anton 1995)
2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap Diberikan sistem persamaan diferensial
sembarang
π₯ = π π₯ , π₯ π Rπ (9)
Analisis kestabilan titik tetap dilakukan
melalui matriks Jacobi, yaitu matriks π΄.
Penentuan kestabilan titik tetap diperoleh
dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu ππ dengan π = 1,2,3, . . , π yang diperoleh dari
πππ‘ π΄ β πI = 0. Secara umum, kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku sebagai
berikut :
1. Stabil, jika
Setiap nilai eigen real bernilai negatif
(ππ < 0) untuk semua π, Setiap bagian real dari nilai eigen
kompleks bernilai lebih kecil atau
sama dengan nol (π π(ππ) β€ 0) untuk
semua π. 2. Tak stabil, jika
Setiap nilai eigen real bernilai positif
(ππ > 0) untuk semua π, Setiap bagian real dari nilai eigen
kompleks bernilai lebih besar atau
3
sama dengan nol (π π(ππ) β₯ 0) untuk
semua π. 3. Sadel, jika perkalian dari kedua nilai
eigen real sembarang adalah negatif
(ππ , ππ < 0) untuk semua π dan π
sembarang. Titik tetap sadel ini bersifat
tak stabil.
(Tu 1994)
Misalkan diberikan matriks π΄ berukuran
2π₯2 sebagai berikut
π΄ = π ππ π
dengan persamaan karakteristik πππ‘(π΄ βπI) = 0 dan I adalah matriks identitas, maka
persamaan karakteristiknya menjadi
πππ‘ π β π ππ π β π
= 0 sedemikian
sehingga diperoleh persamaan:
π2 β ππ + Ξ = 0 dimana,
π = π‘ππππ π΄ = π + π = π1 + π2
Ξ = πππ‘ π΄ = ππ β ππ = π1π2 Dengan demikian diperoleh nilai eigen
dari matriks π΄, yaitu: π1,2 =πΒ± π2β4Ξ
2
Terdapat tiga kasus untuk nilai Ξ:
Kasus Ξ < 0.
Jika nilai eigen real berbeda tanda
(π1 > 0, π2 < 0), maka titik tetap
bersifat βsadelβ.
Kasus β> 0.
π2 β 4Ξ > 0. Jika π > 0 dan kedua nilai
eigen real bernilai positif
(π1 > 0,π2 > 0), maka titik
tetap bersifat βsimpul tidak
stabilβ.
Jika π < 0 dan kedua nilai
eigen real bernilai negatif
(π1 < 0,π2 < 0), maka titik
tetap bersifat βsimpul stabilβ.
π2 β 4Ξ < 0.
Jika π > 0 dan kedua nilai
eigen imajiner (π1,2 = πΌ Β± ππ½),
maka titik tetap bersifat βspiral
tidak stabilβ.
Jika π < 0 dan kedua nilai
eigen imajiner (π1,2 = πΌ Β± ππ½),
maka titik tetap bersifat βspiral
stabilβ.
Jika π = 0 dan kedua nilai eigen imajiner murni
(π1,2 = Β±ππ½), maka titik tetap
bersifat βcenterβ.
π2 β 4β= 0.
Parabola π2 β 4β= 0 adalah garis batas antara simpul dan
spiral. Star nodes dan
degenerate nodes yang terletak
pada parabola ini. Jika kedua
nilai eigen bernilai sama, maka
titik tetap tersebut bersifat
βsimpul sejatiβ.
Kasus β= 0.
Jika salah satu nilai eigen bernilai nol,
maka titik asal bersifat βtitik tetap tak
terisolasiβ. (Strogatz 1994)
Gambar jenis-jenis kestabilan titik tetap
seperti yang dijelaskan di atas dapat dilihat
dalam Gambar 1.
Simpul Stabil Simpul Tak Stabil Sadel Spiral Tak Stabil
Simpul Terisolasi Spiral Stabil Simpul Sejati Center
Gambar 1 Jenis Kestabilan Titik Tetap
III PEMODELAN
3.1 Model Mangsa-Pemangsa
Model yang akan dianalisis merupakan
suatu model yang dibangun berdasarkan
interaksi antar spesies yang hidup secara
bersamaan pada suatu habitat. Dalam model
sistem mangsa-pemangsa yang dikenalkan
oleh Dubey (2006) ini membagi habitat
menjadi dua zona, yaitu zona dilindungi dan
zona tidak dilindungi dan juga membagi
permasalahan yang ada menjadi dua model, yaitu pada saat pemangsa sangat bergantung
pada mangsanya dan pada saat pemangsa
tidak sangat bergantung pada mangsanya.
Konstruksi model matematika untuk
model mangsa-pemangsa ini menggunakan
asumsi :
1. Pemangsa tidak dapat memasuki zona
dilindungi.
2. Semua parameter dan variabel yang
digunakan pada masing-masing kasus
bernilai positif.
3. Nilai parameter π > π1 , π > π2 ,dan π > π1 + π½1π
Secara umum, model simulasi sistem
mangsa-pemangsa pada pemangsa yang
hanya berada pada zona tidak dilindungi
adalah sebagai berikut : ππ₯
ππ‘= ππ₯ 1 β
π₯
πΎ β π1π₯ + π2π¦ β π½1π₯π§
ππ¦
ππ‘= π π¦ 1 β
π¦
πΏ + π1π₯ β π2π¦,
ππ§
ππ‘= π π§ β π½0π§, (3.1)
π₯ 0 β₯ 0, π¦ 0 β₯ 0, π§(0) β₯ 0
dengan π, π ,πΎ,πΏ, π1 ,π2 ,π½0 ,π½1 ,π½2 > 0
dimana :
π₯(π‘) banyaknya populasi mangsa pada
zona tidak dilindungi
π¦(π‘) banyaknya populasi mangsa pada zona dilindungi
π§(π‘) banyaknya populasi pemangsa
π1 laju perpindahan mangsa dari zona
tidak dilindungi ke zona dilindungi
π2 laju perpindahan mangsa dari zona
dilindungi ke zona tidak dilindungi π laju pertumbuhan intrinsik mangsa
pada zona tidak dilindungi
π laju pertumbuhan intrinsik mangsa
pada zona dilindungi
πΎ besarnya daya dukung lingkungan
pada zona tidak dilindungi
πΏ besarnya daya dukung lingkungan
pada zona dilindungi
π½0 laju kematian pemangsa
π½1 laju kematian spesies mangsa yang
disebabkan oleh pemangsa
π½2 besarnya interaksi antara mangsa
dan pemangsa
π laju pertumbuhan pemangsa
π π§ yang terdapat pada bentuk umum
model sistem mangsa-pemangsa ini merupakan laju interaksi antara mangsa dan
pemangsa. Laju interaksi antara mangsa dan
pemangsa tersebut akan dianalisis dalam dua
model permasalahan yang akan dibahas,
yaitu pada saat pemangsa sangat bergantung
pada mangsanya dan pada saat pemangsa
tidak sangat bergantung pada mangsanya.
3.2 Model Sistem Mangsa - Pemangsa
Pada Saat Pemangsa Sangat
Bergantung Pada Mangsanya
(Model 1). Pada suatu populasi akan terjadi interaksi
antar spesies yang hidup secara bersamaan
dalam populasi tersebut, di mana spesies-
spesies ini akan berinteraksi dalam suatu
rantai makanan. Dalam rantai makanan
tersebut, mangsa merupakan sumber
makanan bagi pemangsa. Oleh karena itu,
mangsa akan menjadi sasaran utama bagi
pemangsa dalam mencari makan demi
kelangsungan hidupnya.
Pada Gambar 2 dapat dilihat skema diagram model matematika untuk model
sistem mangsa-pemangsa pada saat
pemangsa sangat bergantung pada
mangsanya.
π½0
Gambar 2 Skema model mangsa-pemangsa
pada saat pemangsa sangat
bergantung pada mangsanya
Dari Gambar 2 terlihat bahwa, perubahan
laju populasi mangsa yang ada pada zona
tidak dilindungi π₯ dipengaruhi oleh laju pertumbuhan intrinsik dari mangsa pada
zona tidak dilindungi π dengan daya dukung
π,πΎ
π½1 ,π½2
π1 π2
π½0
π , πΏ
π
π
π
lingkungannya πΎ serta dipengaruhi dengan
adanya laju perpindahan mangsa dari zona
dilindungi ke zona tidak dilindungi π2,
kemudian populasi mangsa pada zona tidak
dilindungi ini akan mengalami penurunan
populasi dengan adanya perpindahan
mangsa dari zona tidak dilindungi ke zona
dilindungi π1 dan dengan adanya interaksi antara mangsa pada zona tidak dilindungi
dengan pemangsa yang dapat menyebabkan
kematian dari mangsa pada zona tidak
dilindungi π½1. Perubahan laju populasi
mangsa yang ada pada zona dilindungi π¦
dipengaruhi oleh laju pertumbuhan intrinsik
dari mangsa tersebut π dengan daya dukung
lingkungannya πΏ serta dipengaruhi dengan
laju perpindahan mangsa dari zona tidak
dilindungi ke zona dilindungi π1 , kemudian
populasi mangsa pada zona ini akan
mengalami penurunan populasi dengan
adanya perpindahan mangsa dari zona
dilindungi ke zona tidak dilindungi π2 . Sedangkan untuk perubahan laju populasi
pemangsa dipengaruhi oleh besarnya laju
interaksi antara mangsa dan pemangsa π½2,
kemudian populasi dari pemangsa akan
mengalami kematian secara alami π½0.
Sehingga model persamaan untuk
pemangsa sangat bergantung pada
mangsanya adalah sebagai berikut : ππ₯
ππ‘= ππ₯ 1 β
π₯
πΎ β π1π₯ + π2π¦ β π½1π₯π§
ππ¦
ππ‘= π π¦ 1 β
π¦
πΏ + π1π₯ β π2π¦,
ππ§
ππ‘= π½2π₯π§ β π½0π§, ( 3.2)
π₯ 0 β₯ 0, π¦ 0 β₯ 0, π§(0) β₯ 0.
dengan π, π ,πΎ,πΏ, π1 ,π2 ,π½0 ,π½1 ,π½2 > 0
3.3 Model Sistem Mangsa - Pemangsa
Pada Saat Pemangsa Tidak Sangat
Bergantung Pada Mangsanya
(Model 2).
Spesies mangsa merupakan sumber
makanan bagi pemangsa. Namun pada kasus
ini, pemangsa tidak begitu bergantung pada mangsa yang ada dikarenakan pada model
ini terdapat jenis spesies mangsa lain yang
dapat dijadikan sumber makanan lain bagi
pemangsa demi kelangsungan hidupnya.
Pada Gambar 3 dapat dilihat skema
diagram model matematika untuk model
mangsa-pemangsa pada saat pemangsa tidak
sangat bergantung pada mangsanya.
Gambar 3 Skema model mangsa-pemangsa
pada saat pemangsa tidak sangat
bergantung pada mangsanya
Dari Gambar 3 terlihat bahwa, perubahan
laju populasi mangsa yang ada pada zona
tidak dilindungi π₯ dipengaruhi oleh laju
pertumbuhan intrinsik dari mangsa pada
zona tidak dilindungi π dengan daya dukung
lingkungannya πΎ serta dipengaruhi dengan adanya laju perpindahan mangsa dari zona
dilindungi ke zona tidak dilindungi π2,
kemudian populasi mangsa pada zona ini
akan mengalami penurunan populasi dengan
adanya perpindahan mangsa dari zona tidak
dilindungi ke zona dilindungi π1 dan dengan
adanya interaksi antara mangsa pada zona
tidak dilindungi dan pemangsa yang dapat
menyebabkan kematian dari mangsa pada
zona tidak dilindungi π½1. Perubahan laju
populasi mangsa pada zona dilindungi π¦
dipengaruhi oleh laju pertumbuhan intrinsik
dari mangsa tersebut π dengan daya dukung
lingkungannya πΏ serta dipengaruhi dengan
laju perpindahan mangsa dari zona tidak
dilindungi ke zona dilindungi π1 , kemudian
populasi mangsa pada zona ini akan
mengalami penurunan populasi dengan adanya perpindahan mangsa dari zona
dilindungi ke zona tidak dilindungi π2 . Sedangkan untuk laju pertumbuhan populasi
pemangsa dipengaruhi dengan adanya laju
pertumbuhan pemangsa π serta dengan
adanya laju interaksi antara mangsa dan
pemangsa π½2, serta daya dukung
lingkungannya π. Sehingga model persamaan untuk
pemangsa tidak sangat bergantung pada
mangsanya adalah sebagai berikut : ππ₯
ππ‘= ππ₯ 1 β
π₯
πΎ β π1π₯ + π2π¦ β π½1π₯π§
ππ¦
ππ‘= π π¦ 1 β
π¦
πΏ + π1π₯ β π2π¦,
ππ§
ππ‘= ππ§ 1 β
π§
π +π½2π₯π§, ( 3.3)
π₯ 0 β₯ 0, π¦ 0 β₯ 0, π§(0) β₯ 0
dengan π, π , π,πΎ,πΏ, π1π2 ,π½1 ,π½2 > 0
π,πΎ
π½1
,π½2
π1 π2 π,π
π , πΏ
π
π
π
IV PEMBAHASAN
4.1 Analisis Model 1
Titik tetap pada model persamaan (3.2)
dapat dinyatakan ke dalam bentuk πΈ = π₯,π¦, π§ dan juga dapat diperoleh dengan
menentukan ππ₯
ππ‘= 0,
ππ¦
ππ‘= 0, dan
ππ§
ππ‘= 0,
ππ₯ 1 βπ₯
πΎ β π1π₯ + π2π¦ β π½1π₯π§ = 0
π π¦ 1 βπ¦
πΏ + π1π₯ β π2π¦ = 0
π½2π₯π§ β π½0π§ = 0
sehingga diperoleh tiga titik tetap non-
negatif sebagai berikut :
πΈ0 = 0,0,0
πΈ1 = π₯ , π¦ , 0 dengan π₯ adalah akar dari
persamaan π¦ =1
π2 ππ₯ 2
πΎβ (π β π1)π₯
πΈ2 = π₯β, π¦β,π§β = π½0
π½2,
1
2π π½2 π + π , π
dengan
π = πΏπ½2 π β π2
π = π½22πΏ2 π β π2
2 + 4π πΏπ½0π½2π1
π =π½2
π½1π½0 π2π¦
β +π½0
π½2 π β π1 β
ππ½02
πΎπ½22
(bukti dapat dilihat pada Lampiran 1)
Selanjutnya akan dianalisis kestabilan
titik tetap dari model persamaan (3.2).
Untuk itu, persamaan (3.2) akan dilinearkan
ke dalam bentuk π₯ = π΄π₯ , dengan π₯ =(π₯,π¦, π§) dan π΄ merupakan matriks Jacobi
yang dapat digunakan untuk menganalisis
kestabilan titik tetap yang telah diperoleh
pada model persamaan ini.
π΄ =
ππ₯
ππ₯
ππ₯
ππ¦
ππ₯
ππ§ππ¦
ππ₯
ππ¦
ππ¦
ππ¦
ππ§ππ§
ππ₯
ππ§
ππ¦
ππ§
ππ§
π΄ =
β π2 βπ½1π₯
π1 π β2π
πΏπ¦ β π2 0
π½2π§ 0 π½2π₯ β π½0
(4.1)
dengan
β = π β2π
πΎπ₯ β π1 βπ½1π§
dimana π₯, π¦, π§ merupakan koordinat titik
tetap. Titik tetap yang telah diperoleh dari
persamaan (3.2), yaitu πΈ0 , πΈ1 , dan πΈ2
disubstitusikan ke dalam persamaan (4.1),
sehingga diperoleh matriks Jacobi dari setiap
titik tetap sebagai berikut :
π΄1 0,0,0 = π β π1 π2 0
π1 π β π2 00 0 βπ½0
π΄2 π₯ ,π¦ ,0 =
π β2π
πΎπ₯ β π1 π2 βπ½1π₯
π1 π β2π
πΏπ¦ β π2 0
0 0 π½2π₯ β π½0
π΄3 π₯β,π¦β,π§β =
π π2 βπ½1π₯β
π1 π β2π
πΏπ¦β β π2 0
π½2π§β 0 π½2π₯
β β π½0
dengan
π = π β2π
πΎπ₯β β π1 βπ½1π§
β
Kestabilan Sistem di Titik Tetap
πΈ0 0,0,0 Untuk memperoleh nilai eigen digunakan
persamaan karakteristik π΄ β ππΌ = 0,
sehingga akan diperoleh nilai eigen dari
matriks π΄1, yaitu
π1 = βπ½0
π2 =β π2 +π1βπβπ + π2+π1βπβπ 2+4(1) π2π+π1π βππ
2
π3 =β π2 +π1βπβπ β π2+π1βπβπ 2+4(1) π2π+π1π βππ
2
Karena semua parameter bernilai positif
dan nilai parameter π > π1 dan π > π2,
maka π1 < 0, π2 > 0, dan π3 > 0. Dengan
demikian menurut jenis kestabilannya titik
tetap πΈ0 bersifat sadel.
Kestabilan Sistem di Titik Tetap
πΈ1 π₯ , π¦ , 0 Dalam proses mencari nilai eigen pada
titik tetap ini, akan menghasilkan suatu
bentuk persamaan aljabar ππ₯ 3 + ππ₯ 2 +
ππ₯ + π = 0 dengan π =π π2
πΏπΎ2π22 , π =
β2π π πβπ1
πΎπΏπ22 , π =
π πβπ1 2
πΏπ22 β
π π βπ2
πΎπ2, dan π =
(πβπ1)(π βπ2)
π2β π1. Persamaan aljabar tersebut
akan menghasilkan tiga nilai π₯ yang
berbeda. Ketiga nilai π₯ tersebut akan ditunjukkan pada simulasi.
7
Pada saat kondisi π½2 > π½0 , π½2 = π½0 ,dan π½2 < π½0 nilai parameter yang
digunakan akan menghasilkan nilai eigen
π1 > 0, π2 < 0 dan π3 < 0 sehingga dari
nilai-nilai eigen yang diperoleh kestabilan
titik tetap untuk πΈ1 pada ketiga kondisi
tersebut bersifat sadel.
Kestabilan Sistem di Titik Tetap
πΈ2 π₯β, π¦β,π§β
Kestabilan titik tetap πΈ2 diperoleh
dengan mengamati nilai eigen dari matriks
π΄3 , yaitu π3 + π1π2 + π2π + π3 = 0 dengan
nilai π1 , π2 , π3 terdapat pada Lampiran 2.
Kemudian bentuk dari nilai eigen tersebut
akan diberikan nilai parameter untuk dapat
ditentukan jenis kestabilan dari titik tetap πΈ2 .
(bukti dapat dilihat pada Lampiran 2)
Untuk mengetahui jenis kestabilan titik
tetap pada ketiga titik tetap yang terdapat
pada model 1, dapat dilihat pada Tabel 1.
Titik
Tetap
Kasus
π½2 > π½0 π½2 = π½0 π½2 < π½0 πΈ0 Sadel Sadel Sadel
πΈ1 Sadel Sadel Sadel
πΈ2 Stabil Stabil Spiral
Stabil
Tabel 1 Kestabilan Titik Tetap
4.2 Analisis Model 2
Titik tetap pada model persamaan (3.3)
diperoleh dengan menentukan ππ₯
ππ‘= 0,
ππ¦
ππ‘=
0, dan ππ§
ππ‘= 0, sehingga dari model
persamaan (3.3) diperoleh empat titik tetap
non-negatif, yaitu πΉ0 0,0,0 , πΉ1 0,0,π ,
πΉ2 π₯, π¦ , 0 = π₯ ,1
Ο2 π , 0 , dan
πΉ3 π₯β, π¦β,π§β = π₯β,
1
Ο2 π ,
π
π π + π½2π₯
β
dengan
π =rπ₯ 2
Kβ r β Ο1 x
π = π
πΎ+
π½1π½2π
π π₯β2
β π β Ο1 β π½1π π₯β
(bukti dapat dilihat pada Lampiran 3)
Selanjutnya akan dianalisis kestabilan
titik tetap yang terdapat pada model
persamaan (3.3). Untuk itu, persamaan (3.3)
akan dilinearkan ke dalam bentuk π₯ = π΄π₯ , dengan π₯ = (π₯, π¦, π§) dan π΄ merupakan
matriks Jacobi yang dapat digunakan untuk
menganalisis kestabilan titik tetap yang telah
diperoleh pada persamaan ini.
π΄ =
ππ₯
ππ₯
ππ₯
ππ¦
ππ₯
ππ§ππ¦
ππ₯
ππ¦
ππ¦
ππ¦
ππ§ππ§
ππ₯
ππ§
ππ¦
ππ§
ππ§
π΄ =
β π2 βπ½1π₯
π1 π β2π
πΏπ¦ β π2 0
π½2π§ 0 π β2π
ππ§ + π½2π₯
(4.2)
dengan
β = π β2π
πΎπ₯ β π1 β π½1π§
dimana π₯, π¦, π§ merupakan suatu koordinat
titik tetap. Titik tetap yang telah diperoleh
dari model persamaan (3.3), yaitu πΉ0 ,
πΉ1 , πΉ2, dan πΉ3 disubstitusikan ke dalam
matriks Jacobi di atas, sehingga akan
diperoleh matriks Jacobi dari setiap titik
tetap sebagai berikut :
πΉ1 0,0,0 = π β π1 π2 0
π1 π β π2 00 0 π
πΉ2 0,0,π = π β π1 β π½1π π2 0
π1 π β π2 0π½2π 0 βπ
πΉ3(π₯ , π¦ ,0) =
π β2π
πΎπ₯ β π1 π2 βπ½1π₯
π1 π β2π
πΏπ¦ β π2 0
0 0 π + π½2π₯
πΉ4 π₯β,π¦β,π§β =
π’ π2 βπ½1π₯β
π1 π β2π
πΏπ¦β β π2 0
π½2π§β 0 π‘
dengan
π’ = π β2π
πΎπ₯β β π1 β π½1π§
β
π‘ = π β2π
ππ§β + π½2π₯
β
Kestabilan Sistem di Titik Tetap
πΉ0 0,0,0 Untuk memperoleh nilai eigen digunakan
persamaan karakteristik π΄ β ππΌ = 0,
sehingga akan diperoleh nilai eigen dari
matriks πΉ0, yaitu
8
π1 = π
π2 =β π2 +π1βπ βπ + π2+π1βπ βπ 2β4 1 ππ βππ2βπ1π
2
π3 =
β π2 +π1βπ βπ β π2+π1βπ βπ 2β4 1 ππ βππ2βπ1π
2
Karena semua parameter bernilai positif
dan nilai parameter π > π1 dan π > π2,
maka π1 > 0, π2 > 0, dan π3 > 0. Dengan
demikian menurut jenis kestabilannya titik
tetap πΉ0 bersifat tak stabil.
Kestabilan Sistem di Titik Tetap
πΉ1 0,0,π Untuk memperoleh nilai eigen digunakan
persamaan karakteristik π΄ β ππΌ = 0,
sehingga akan diperoleh nilai eigen dari
matriks πΉ1, yaitu
π1 = βπ
π2 =βπ£+ π£2β4π€
2
π3 =βπ£β π£2β4π€
2
dengan
π£ = π½1π + π2 + π1 β π β π
π€ = π½1π π2 β π½1ππ + ππ β ππ2 β π1π
Karena semua parameter bernilai positif
dan nilai parameter π > π1 + π½1π dan
π > π2 , maka π1 < 0, π2 > 0, dan π3 < 0
sehingga menurut jenis kestabilannya titik
tetap πΉ1 bersifat sadel.
Kestabilan Sistem di Titik Tetap
πΉ2 π₯, π¦ , 0 Seperti pada model 1, dalam proses
mencari nilai eigen untuk titik tetap ini akan
menghasilkan suatu bentuk persamaan
aljabar ππ₯ 3 + ππ₯ 2 + ππ₯ + π = 0 dengan
π =π π2
πΏπΎ2π22 , π =
β2π π(πβπ1)
πΎπΏπ22 , π =
π (πβπ1)2
πΏπ22 β
π(π βπ2 )
πΎπ2, π =
(πβπ1)(π βπ2)
π2β π1. Persamaan
aljabar tersebut akan menghasilkan tiga nilai
π₯ yang berbeda. Ketiga nilai π₯ tersebut akan
ditunjukkan pada simulasi.
Titik tetap πΉ2 pada saat kondisi π½2 > π½0 ,π½2 = π½0 , dan π½2 < π½0 , nilai parameter yang
digunakan akan menghasilkan nilai eigen
π1 > 0, π2 < 0, dan π3 < 0 sehingga dari
nilai-nilai eigen yang diperoleh titik tetap πΉ2
pada ketiga kondisi tersebut bersifat sadel.
Kestabilan Sistem di Titik Tetap
πΉ3 π₯β, π¦β,π§β
Dalam proses mencari nilai eigen untuk
titik tetap πΉ3 juga akan menghasilkan suatu
bentuk persamaan aljabar ππ₯β3 + ππ₯β2 +
ππ₯β + π = 0 dengan π =π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π
2
,
π =β2π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π π β π1 β π½1π , π =
π
πΏπ22 π β π1 β π½1π 2 β
π βπ2
π2
π
πΎ+
π½1π½2π
π ,
π =π βπ2
π2 π β π1 β π½1π β π1. Persamaan
aljabar tersebut akan menghasilkan tiga nilai
π₯β yang berbeda. Ketiga nilai π₯β tersebut akan ditunjukkan pada simulasi.
Titik tetap πΉ3 pada saat kondisi π½2 >π½0 dan π½2 = π½0, nilai parameter yang
digunakan akan menghasilkan nilai eigen
π1 < 0, π2 < 0, dan π3 < 0 sehingga dari
nilai-nilai eigen yang diperoleh titik tetap πΉ3
bersifat stabil. Sedangkan pada saat kondisi
π½2 < π½0 , nilai parameter yang digunakan
akan menghasilkan nilai eigen π1 < 0,
π2 dan π3 kompleks dengan bagian real
bernilai negatif sehingga dari nilai-nilai
eigen yang diperoleh titik tetap πΉ3 pada
kondisi ini bersifat spiral stabil.
(bukti dapat dilihat pada Lampiran 4)
Untuk mengetahui jenis kestabilan titik
tetap pada keempat titik tetap pada kasus 2
dapat dilihat pada Tabel 2.
Titik
Tetap
Kasus
π½2 > π½0 π½2 = π½0 π½2 < π½0
πΉ0 Titik tak
stabil
Titik tak
stabil
Titik tak
stabil
πΉ1 Sadel Sadel Sadel
πΉ2 Sadel Sadel Sadel
πΉ3 Stabil Stabil Spiral
Stabil
Tabel 2 Jenis Kestabilan Titik Tetap
4.3 Simulasi Model 1
>> Kasus π·π > π·π Nilai parameter yang digunakan dalam
kondisi ini adalah π = 0.6, π = 1, πΎ = 40,πΏ = 40, π1 = 0.2,π2 = 0.4,π½0 = 0.4,π½1 =0.7, π½2 = 0.7, dengan nilai awal π₯ 0 = 20,π¦ 0 = 10, dan π§ 0 = 10.
Dari nilai parameter yang digunakan
diperoleh titik tetap πΈ0 = (0,0,0) yang
bersifat sadel serta titik tetap πΈ2 =(0.5714285714, 13.88217026,15.00461924) yang memiliki jenis
kestabilan bersifat stabil, sedangkan untuk
9
titik tetap πΈ1 akan menghasilkan suatu
bentuk persamaan aljabar ππ₯ 3 + ππ₯ 2 +
ππ₯ + π = 0 dengan π =π π2
πΏπΎ2π22 , π =
β2π π (πβπ1 )
πΎπΏπ22 , π =
π (πβπ1)2
πΏπ22 β
π(π βπ2)
πΎπ2, dan π =
(πβπ1)(π βπ2)
π2β π1 dalam proses pencarian
nilai titik tetapnya sehingga dari persamaan
aljabar tersebut akan diperoleh tiga nilai π₯ yang berbeda, yaitu
π₯ 1 = 23.68146140, π₯ 2 = 43.62267459,dan π₯ 3 = β3.304135986. Ketiga nilai π₯ tersebut jika disubstitusi ke dalam
persamaan π¦ akan menghasilkan nilai
π¦ 1 = β12.31219692, π¦ 2 = 31.68825945,dan π¦ 3 = 7.290604135. Terlihat bahwa
nilai π¦ yang dihasilkan untuk π₯ 1 serta nilai
π₯ 2 yang dihasilkan bernilai negatif. Hal ini
tidak bersesuaian dengan asumsi bahwa
populasi mangsa yang berada pada kedua
zona bernilai positif. Sehingga pada kasus
π½2 > π½0 terdapat tiga titik tetap, yaitu
πΈ0 , πΈ1 , dan πΈ2 dengan nilai titik tetap
πΈ1 = 43.62267459, 31.68825945, 0 yang memiliki jenis kestabilan berupa sadel.
Berikut akan diberikan gambar orbit 3
dimensinya pada sistem persamaan (3.2)
Gambar 4 Orbit Kestabilan di sekitar
(π₯, π¦, π§) dengan π½2 = 0.7,dan π½0 = 0.4.
Gambar 4 memperlihatkan pergerakan kurva
dimulai pada sudut bawah dari titik terendah
pada bidang (π₯π§).
Gambar 5 Orbit kestabilan pada bidang
(π₯, π¦) dengan π½2 = 0.7,dan π½0 = 0.4
Gambar 6 Orbit kestabilan pada bidang
(π₯, π§) dengan π½2 = 0.7,dan π½0 = 0.4
Gambar 7 Orbit kestabilan pada bidang
(π¦, π§) dengan π½2 = 0.7,dan π½0 = 0.4
Gambar 5, 6, dan 7 merupakan
pencerminan 2D dari Gambar 4. Dari hasil
pencerminan 2D ini dapat terlihat beberapa
titik tetapnya.
Berikut akan diperlihatkan grafik
dinamika dari populasi spesies mangsa pada
zona yang tidak dilindungi, spesies mangsa
pada zona yang dilindungi, dan populasi
pemangsa terhadap waktu (π‘) pada saat
π½2 = 0.7 dan π½0 = 0.4.
Gambar 8 Dinamika populasi dari ketiga
model terhadap π‘ dengan
π½2 = 0.7 dan π½0 = 0.4.
0 10 20 30 40 50t0
5
10
15
20
25
30
x,y,z
10
Keterangan :
: Populasi mangsa pada zona yang
tidak dilindungi
: Populasi mangsa pada zona yang
dilindungi
: Populasi pemangsa
Pada Gambar 8 terlihat bahwa populasi
pemangsa yang ada lebih banyak
dibandingkan dengan populasi mangsa pada
kedua zona. Hal ini dapat membuat ancaman bagi mangsa untuk menuju kepunahan
khususnya untuk mangsa yang ada pada
zona tidak dilindungi karena mangsa pada
zona ini hidup secara bersamaan dengan
banyaknya pemangsa tersebut dan
merupakan sumber makanan bagi pemangsa.
Namun mangsa yang ada pada zona
dilindungi akan mengalami kenaikan
populasinya dikarenakan pada zona
dilindungi tidak terdapat pemangsa yang
hidup dalam zona ini.
>> Kasus π·π = π·π Nilai parameter yang digunakan dalam
kondisi ini adalah π = 0.6, π = 1, πΎ = 40,πΏ = 40, π1 = 0.2, π2 = 0.4, π½0 = 0.4,π½1 = 0.7, π½2 = 0.4, dengan nilai awal
π₯ 0 = 20, π¦ 0 = 10, dan π§ 0 = 10.
Dari nilai parameter yang digunakan
diperoleh titik tetap πΈ0 = (0,0,0) yang
bersifat sadel serta titik tetap πΈ2 = (1,14.26783617, 9.260192096) yang bersifat
stabil, sedangkan untuk titik tetap πΈ1 yang
dalam proses mencari nilai titik tetapnya
akan menghasilkan suatu bentuk persamaan
aljabar ππ₯ 3 + ππ₯ 2 + ππ₯ + π = 0 dengan
π =π π2
πΏπΎ2π22 , π =
β2π π(πβπ1)
πΎπΏπ22 , π =
π (πβπ1)2
πΏπ22 β
π(π βπ2 )
πΎπ2, dan π =
(πβπ1 )(π βπ2)
π2β π1
sehingga diperoleh tiga nilai π₯ yang berbeda
nilainya, yaitu π₯ 1 = 23.68146140, π₯ 2 =43.62267459, dan π₯ 3 = β3.304135986. Ketiga nilai π₯ tersebut jika disubstitusi ke
dalam persamaan π¦ akan menghasilkan nilai
π¦ 1 = β12.31219692, π¦ 2 = 31.68825945,dan π¦ 3 = 7.290604135. Terlihat bahwa
nilai π¦ yang dihasilkan untuk π₯ 1 serta nilai
π₯ 3 yang dihasilkan bernilai negatif. Hal ini
tidak bersesuaian dengan asumsi bahwa populasi mangsa yang berada pada kedua
zona bernilai positif. Sehingga pada kasus
π½2 = π½0 terdapat tiga titik tetap, yaitu
πΈ0 , πΈ1 , dan πΈ2 dengan nilai titik tetap
πΈ1 = 43.62267459, 31.68825945, 0 yang memiliki jenis kestabilan berupa sadel.
Berikut akan diberikan gambar orbit 3
dimensinya pada sistem persamaan (3.3)
Gambar 9 Orbit kestabilan pada bidang
(π₯, π¦, π§) dengan π½2 = 0.4,dan π½0 = 0.4
Gambar 9 memperlihatkan pergerakan kurva
dimulai pada sudut bawah dari titik terendah
pada bidang (π₯π§).
Gambar 10 Orbit kestabilan pada bidang
(π₯,π¦) dengan π½2 = 0.4,dan π½0 = 0.4
Gambar 11 Orbit kestabilan pada bidang
(π₯, π§) dengan π½2 = 0.4,dan π½0 = 0.4
11
Gambar 12 Orbit kestabilan pada bidang
(π¦, π§) dengan π½2 = 0.4,dan π½0 = 0.4
Gambar 10, 11, dan 12 merupakan
pencerminan 2D dari Gambar 9. Dari hasil
pencerminan 2D ini dapat terlihat beberapa
titik tetapnya.
Berikut akan diperlihatkan grafik
dinamika dari populasi spesies mangsa pada
zona yang tidak dilindungi, spesies mangsa pada zona yang dilindungi, dan populasi
pemangsa terhadap waktu (π‘) pada saat
π½2 = 0.4 dan π½0 = 0.4
Gambar 13 Dinamika populasi dari ketiga
model terhadap π‘ dengan
π½2 = 0.4 dan π½0 = 0.4.
Keterangan :
: Populasi mangsa pada zona yang
tidak dilindungi : Populasi mangsa pada zona yang
dilindungi
: Populasi pemangsa
Pada Gambar 13 terlihat bahwa populasi
pemangsa serta populasi mangsa pada zona
tidak dilindungi mengalami penurunan
populasi dari populasi awalnya. Namun
populasi mangsa pada zona tidak dilindungi
tidak akan mengalami kepunahan
dikarenakan pada kasus ini banyaknya
populasi pemangsa lebih sedikit dibandingkan dengan kasus sebelumnya. Hal
ini dikarenakan besarnya laju interaksi
antara mangsa dan pemangsa diperkecil
nilainya sehingga dapat membuat populasi
pemangsa mengalami penurunan populasi
dan dapat membuat populasi mangsa pada
kedua zona tetap dapat bertahan hidup.
>> Kasus π·π < π·π Nilai parameter yang digunakan dalam
kondisi ini adalah π = 0.6, π = 1, πΎ = 40,πΏ = 40, π1 = 0.2, π2 = 0.4, π½0 = 0.4,π½1 = 0.7, π½2 = 0.1, dengan nilai awal
π₯ 0 = 20, π¦ 0 = 10, dan π§ 0 = 10.
Dari nilai parameter yang digunakan
diperoleh titik tetap πΈ0 = (0,0,0) yang
bersifat sadel serta titik tetap πΈ2 = (4,16.55493132, 3.364990188) yang bersifat
spiral stabil, sedangkan untuk titik tetap πΈ1
yang dalam proses mencari nilai titik
tetapnya akan menghasilkan suatu bentuk
persamaan aljabar ππ₯ 3 + ππ₯ 2 + ππ₯ + π = 0
dengan π =π π2
πΏπΎ2π22 , π =
β2π π (πβπ1)
πΎπΏπ22 , π =
π (πβπ1 )2
πΏπ22 β
π(π βπ2)
πΎπ2, dan π =
(πβπ1)(π βπ2)
π2β
π1 sehingga diperoleh tiga nilai π₯ yang
berbeda, yaitu π₯ 1 = 23.68146140, π₯ 2 =43.62267459, dan π₯ 3 = β3.304135986. Ketiga nilai π₯ tersebut jika disubstitusi ke
dalam persamaan π¦ akan menghasilkan nilai
π¦ 1 = β12.31219692, π¦ 2 = 31.68825945,dan π¦ 3 = 7.290604135. Terlihat bahwa,
nilai π¦ yang dihasilkan untuk π₯ 1 serta nilai
π₯ 3 yang dihasilkan bernilai negatif. Hal ini
tidak bersesuaian dengan asumsi bahwa
populasi mangsa yang berada pada kedua
zona bernilai positif. Sehingga pada kasus
π½2 < π½0 terdapat tiga titik tetap, yaitu
πΈ0 , πΈ1 , dan πΈ2 dengan nilai titik tetap
πΈ1 = 43.62267459, 31.68825945, 0 yang memiliki jenis kestabilan berupa sadel.
Berikut akan diberikan gambar orbit 3
dimensinya pada sistem persamaan (3.3)
Gambar 14 Orbit kestabilan pada bidang
(π₯,π¦, π§) dengan π½2 = 0.1,dan π½0 = 0.4
0 10 20 30 40 50t0
5
10
15
20
x,y,z
12
Gambar 14 memperlihatkan pergerakan
kurva dimulai dari sudut bidang (π₯π§).
Gambar 15 Orbit kestabilan pada bidang
(π₯,π¦) dengan π½2 = 0.1,dan π½0 = 0.4
Gambar 16 Orbit kestabilan pada bidang
(π₯, π§) dengan π½2 = 0.1,dan π½0 = 0.4
Gambar 17 Orbit kestabilan pada bidang
(π¦, π§) dengan π½2 = 0.1,dan π½0 = 0.4
Gambar 15, 16, dan 17 merupakan pencerminan 2D dari Gambar 14. Dari hasil
pencerminan 2D ini dapat terlihat beberapa
titik tetapnya.
Berikut akan diperlihatkan grafik
dinamika dari populasi spesies mangsa pada
zona yang tidak dilindungi, spesies mangsa
pada zona yang dilindungi, dan populasi
pemangsa terhadap waktu (π‘) pada saat
π½2 = 0.1 dan π½0 = 0.4
Gambar 18 Dinamika populasi dari ketiga
model terhadap π‘ dengan
π½2 = 0.1 dan π½0 = 0.4.
Keterangan :
: Populasi mangsa pada zona yang
tidak dilindungi
: Populasi mangsa pada zona yang
dilindungi
: Populasi pemangsa
Pada Gambar 18 terlihat bahwa populasi
pemangsa yang ada lebih sedikit
dibandingkan dengan populasi mangsa pada
kedua zona serta populasi pemangsa tersebut
akan mengalami penurunan populasi yang
cukup drastis dibandingkan dengan kedua
kasus sebelumnya. Hal ini dikarenakan
besarnya laju interaksi antara mangsa dan
pemangsa diperkecil lagi nilainya. Dengan
adanya populasi pemangsa yang lebih
sedikit dari populasi mangsanya dapat membuat populasi mangsa pada kedua zona
dapat tetap bertahan hidup, namun populasi
mangsa pada zona tidak dilindungi akan
tetap mengalami penurunan populasi dengan
adanya sedikit populasi pemangsa tersebut
karena pada model ini pemangsa sangat
bergantung dengan mangsanya.
4.4 Simulasi Model 2
>> Kasus π·π > π·π Nilai parameter yang digunakan dalam
keadaan ini adalah π = 0.6, π = 1, π =0.01, πΎ = 40, πΏ = 40, π = 1, π1 =0.2, π2 = 0.4, π½0 = 0.4, π½1 = 0.7, π½2 =0.7 dengan nilai awal π₯ 0 = 20, π¦ 0 =10, dan π§ 0 = 10.
Dari nilai parameter yang digunakan
diperoleh titik tetap πΉ0 = 0,0,0 yang
bersifat tak stabil, titik tetap πΉ1 = 0,0,1 yang bersifat sadel, sedangkan untuk titik
tetap πΉ2 dan πΉ3 akan menghasilkan suatu
bentuk persamaan aljabar ππ₯3 + ππ₯2 +
0 10 20 30 40 50t0
5
10
15
20
x,y,z
13
ππ₯ + π = 0 dalam proses pencarian nilai
titik tetapnya.
Untuk titik tetap πΉ2 akan menghasilkan
bentuk persamaan aljabar ππ₯ 3 + ππ₯ 2 +
ππ₯ + π = 0 dengan π =π π2
πΏπΎ2π22 , π =
β2π π (πβπ1 )
πΎπΏπ22 , π =
π (πβπ1)2
πΏπ22 β
π(π βπ2)
πΎπ2, dan π =
(πβπ1)(π βπ2)
π2β π1 sehingga diperoleh tiga
nilai π₯ yang berbeda, yaitu π₯ 1 =23.68146140, π₯ 2 = 43.62267459, π₯ 3 =β3.304135986. Ketiga nilai π₯ tersebut jika
disubstitusi ke dalam persamaan π¦ akan
menghasilkan π¦ 1 = β12.31219692, π¦ 2 =31.68825945, dan π¦ 3 = 7.290604135. Terlihat bahwa nilai π¦ yang dihasilkan untuk
π₯ 1 serta nilai π₯ 3 yang dihasilkan bernilai
negatif. Hal ini tidak bersesuaian dengan
asumsi bahwa populasi mangsa yang berada
pada kedua zona bernilai positif, sehingga
untuk nilai titik tetap πΉ2 = 43.62267459,31.68825945, 0 memiliki jenis kestabilan
berupa sadel.
Untuk titik tetap πΉ3 akan menghasilkan
bentuk persamaan aljabar ππ₯β3 + ππ₯β2 +
ππ₯β + π = 0 dengan π =π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π
2
,
π =β2π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π π β π1 β π½1π , π =
π
πΏπ22 π β π1 β π½1π 2 β
π βπ2
π2
π
πΎ+
π½1π½2π
π ,
dan π =π βπ2
π2 π β π1 β π½1π β π1
sehingga akan diperoleh tiga nilai π₯β yang
berbeda, yaitu π₯β1 = β0.006123077230,
π₯β2 = β0.3246674298, dan π₯β
3 =0.3348700583. Ketiga nilai π₯β tersebut jika
disubstitusi ke dalam persamaan π¦β dan π§β
akan menghasilkan nilai π¦β1
=
β0.006125891722, π¦β2
=
13.00035006, dan π¦β3
= 13.66019071
serta nilai π§β1 = 0.5713512873, π§β
2 =β21.72672009, π§β
3 = 24.44090408.
Terlihat bahwa nilai π¦β yang dihasilkan
untuk π₯β1, nilai π₯β
1 dan π₯β2 yang
dihasilkan, serta nilai π§β2 bernilai negatif.
Hal ini tidak bersesuaian dengan asumsi
bahwa populasi mangsa pada kedua zona
dan populasi pemangsa bernilai positif,
sehingga dalam kasus π½2 > π½0 terdapat
empat titik tetap non-negatif, yaitu πΉ0 , πΉ1 ,πΉ2 , dan πΉ3 dengan titik tetap πΉ3 = 0.3348700583, 13.00035006,24.44090408 yang bersifat stabil.
Berikut akan diberikan gambar orbit 3
dimensinya pada sistem persamaan (3.2)
Gambar 19 Orbit kestabilan pada bidang
(π₯,π¦, π§) dengan π½2 = 0.7,dan π½0 = 0.4
Gambar 19 memperlihatkan pergerakan
kurva dimulai pada sudut bawah dari titik
terendah pada bidang (π₯π§).
Gambar 20 Orbit kestabilan pada bidang
(π₯,π¦) dengan π½2 = 0.7,dan π½0 = 0.4
Gambar 21 Orbit kestabilan pada bidang
(π₯, π§) dengan π½2 = 0.7,dan π½0 = 0.4
14
Gambar 22 Orbit kestabilan pada bidang
(y, π§) dengan π½2 = 0.7,dan π½0 = 0.4
Gambar 20, 21, dan 22 merupakan
pencerminan 2D dari Gambar 19. Dari hasil
pencerminan 2D ini dapat terlihat beberapa
titik tetapnya.
Berikut akan diperlihatkan grafik
dinamika dari populasi spesies mangsa pada
zona yang tidak dilindungi, spesies mangsa
pada zona yang dilindungi, dan populasi
pemangsa terhadap waktu (π‘) pada saat
π½2 = 0.7 dan π½0 = 0.4
Gambar 23 Dinamika populasi dari ketiga
model terhadap π‘ dengan
π½2 = 0.7 dan π½0 = 0.4.
Keterangan :
: Populasi mangsa pada zona yang
tidak dilindungi : Populasi mangsa pada zona yang
dilindungi
: Populasi pemangsa
Pada Gambar 23 terlihat bahwa populasi
pemangsa yang ada lebih banyak dari
populasi mangsa pada kedua zona. Populasi
pemangsa dalam model ini lebih banyak dari
populasi awal mangsa pada zona tidak
dilindungi sehingga dapat membuat populasi
mangsa pada zona tidak dilindungi dapat
berada pada ambang kepunahan dengan banyaknya populasi pemangsa tersebut.
Banyaknya populasi pemangsa dalam model
ini dikarenakan dengan adanya laju interaksi
antara mangsa dan pemangsa yang
diperbesar nilainya dan dikarenakan dengan
tidak adanya faktor kematian secara alami
dari model pemangsa tersebut.
>> Kasus π·π = π·π
Nilai parameter yang digunakan dalam
keadaan ini adalah π = 0.6, π = 1, π =0.01, πΎ = 40, πΏ = 40, π = 1, π1 =0.2, π2 = 0.4, π½0 = 0.4, π½1 = 0.7, π½2 =0.4 dengan nilai awal π₯ 0 = 20, π¦ 0 =10, dan π§ 0 = 10.
Dari nilai parameter yang digunakan
diperoleh titik tetap πΉ0 = 0,0,0 yang
bersifat tak stabil, titik tetap πΉ1 = 0,0,1 yang bersifat sadel, sedangkan untuk titik
tetap πΉ2 dan πΉ3 akan menghasilkan suatu
bentuk persamaan aljabar ππ₯3 + ππ₯2 +ππ₯ + π = 0 dalam proses pencarian nilai
titik tetapnya.
Untuk titik tetap πΉ2 akan menghasilkan
bentuk persamaan aljabar ππ₯ 3 + ππ₯ 2 +
ππ₯ + π = 0 dengan π =π π2
πΏπΎ2π22 , π =
β2π π (πβπ1 )
πΎπΏπ22 , π =
π (πβπ1)2
πΏπ22 β
π(π βπ2)
πΎπ2, dan π =
(πβπ1)(π βπ2)
π2β π1 sehingga diperoleh tiga
nilai π₯ yang berbeda, yaitu π₯ 1 =23.68146140, π₯ 2 = 43.62267459, π₯ 3 =β3.304135986. Ketiga nilai π₯ tersebut jika
disubstitusi ke dalam persamaan π¦ akan
menghasilkan π¦ 1 = β12.31219692, π¦ 2 =31.68825945, dan π¦ 3 = 7.290604135. Terlihat bahwa nilai π¦ yang dihasilkan untuk
π₯ 1 serta nilai π₯ 3 yang dihasilkan bernilai
negatif. Hal ini tidak bersesuaian dengan
asumsi bahwa populasi mangsa yang berada
pada kedua zona bernilai positif, sehingga
untuk nilai titik tetap πΉ2 = 43.62267459,31.68825945, 0 memiliki jenis kestabilan
berupa sadel.
Untuk titik tetap πΉ3 akan menghasilkan
bentuk persamaan aljabar ππ₯β3 + ππ₯β2 +
ππ₯β + π = 0 dengan π =π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π
2
,
π =β2π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π π β π1 β π½1π , π =
π
πΏπ22 π β π1 β π½1π 2 β
π βπ2
π2
π
πΎ+
π½1π½2π
π ,
dan π =π βπ2
π2 π β π1 β π½1π β π1
sehingga akan diperoleh tiga nilai π₯β yang
berbeda, yaitu π₯β1 = β0.01071621782,
π₯β2 = β0.4271721558, π₯β
3 =0.4450248589. Ketiga nilai π₯β tersebut jika
disubstitusi ke dalam persamaan π¦β dan π§β
0 10 20 30 40 50t0
5
10
15
20
25
30
x,y,z
15
akan menghasilkan π¦β1
= 0.01072484449,
π¦β2
= 12.89152134, dan π¦β3
=
14.76442048 serta π§β1 = 0.5713512873,
π§β2 = β16.08688623, dan π§β
3 =18.80099436. Terlihat bahwa, nilai π₯β
1 dan
π₯β2 yang dihasilkan serta nilai π§β
2 yang
dihasilkan untuk π₯β2 bernilai negatif. Hal ini
tidak bersesuaian dengan asumsi bahwa
populasi mangsa yang berada pada zona
yang tidak dilindungi dan populasi
pemangsa bernilai positif, sehingga dalam
keadaan π½2 = π½0 terdapat empat titik tetap
non-negatif, yaitu πΉ0 , πΉ1 , πΉ2 , dan πΉ3
dengan nilai titik tetap
πΉ3 = 0.4450248589, 14.76442048,18.80099436 yang memiliki jenis
kestabilan bersifat stabil.
Berikut akan diberikan gambar orbit 3
dimensinya pada sistem persamaan (3.2)
Gambar 24 Orbit kestabilan pada bidang
(π₯,π¦, π§) dengan π½2 = 0.4,dan π½0 = 0.4
Gambar 24 memperlihatkan pergerakan
kurva dimulai pada sudut bawah dari titik
terendah pada bidang (π₯π§).
Gambar 25 Orbit kestabilan pada bidang
(π₯,π¦) dengan π½2 = 0.4,dan π½0 = 0.4
Gambar 26 Orbit kestabilan pada bidang
(π₯, π§) dengan π½2 = 0.4,dan π½0 = 0.4
Gambar 27 Orbit kestabilan pada bidang
(y, π§) dengan π½2 = 0.4,dan π½0 = 0.4
Gambar 25, 26, dan 27 merupakan
pencerminan 2D dari Gambar 24. Dari hasil
pencerminan 2D ini dapat terlihat beberapa
titik tetapnya.
Berikut akan diperlihatkan grafik
dinamika dari populasi spesies mangsa pada
zona yang tidak dilindungi, spesies mangsa
pada zona yang dilindungi, dan populasi
pemangsa terhadap waktu (π‘) pada saat
π½2 = 0.4 dan π½0 = 0.4
Gambar 28 Dinamika populasi dari ketiga
model terhadap π‘ dengan
π½2 = 0.4 dan π½0 = 0.4.
0 10 20 30 40 50t0
5
10
15
20
25
x,y,z
16
Keterangan :
: Populasi mangsa pada zona yang
tidak dilindungi
: Populasi mangsa pada zona yang
dilindungi
: Populasi pemangsa
Pada Gambar 28 terlihat bahwa populasi
pemangsa lebih banyak dibandingkan
dengan populasi mangsa pada kedua zona.
Seperti pada kasus sebelumnya populasi pemangsa yang ada lebih banyak dari
populasi mangsanya, namun pada kasus ini
banyaknya populasi pemangsa lebih sedikit
dibandingkan dengan populasi pemangsa
yang ada pada kasus sebelumnya. Hal ini
dikarenakan laju interaksi antara mangsa dan
pemangsa diperkecil nilainya sehingga dapat
membuat populasi pemangsa mengalami
penurunan. Pada kasus ini dibuat nilai dari
laju kematian pemangsa sama dengan laju
interaksi antara mangsa dan pemangsanya dikarenakan ingin melihat populasi antara
mangsa dan pemangsa ketika laju kematian
pemangsa sama dengan laju interaksi antara
mangsa dan pemangsa.
>> Kasus π·π < π·π
Nilai parameter yang digunakan dalam
keadaan ini adalah π = 0.6, π = 1, π =0.01, πΎ = 40, πΏ = 40, π = 1, π1 =0.2, π2 = 0.4, π½0 = 0.4, π½1 = 0.7, π½2 =0.1 dengan nilai awal π₯ 0 = 20, π¦ 0 =10, dan π§ 0 = 10.
Dari nilai parameter yang digunakan
diperoleh titik tetap πΉ0 = 0,0,0 yang
bersifat tak stabil, titik tetap πΉ1 = 0,0,1 yang bersifat sadel, sedangkan untuk titik
tetap πΉ2 dan πΉ3 akan menghasilkan suatu
bentuk persamaan aljabar ππ₯3 + ππ₯2 +ππ₯ + π = 0 dalam proses pencarian nilai
titik tetapnya.
Untuk titik tetap πΉ2 akan menghasilkan
bentuk persamaan aljabar ππ₯ 3 + ππ₯ 2 +
ππ₯ + π = 0 dengan π =π π2
πΏπΎ2π22 , π =
β2π π (πβπ1 )
πΎπΏπ22 , π =
π (πβπ1)2
πΏπ22 β
π(π βπ2)
πΎπ2, dan π =
(πβπ1)(π βπ2)
π2β π1 sehingga diperoleh tiga
nilai π₯ yang berbeda, yaitu π₯ 1 =23.68146140, π₯ 2 = 43.62267459, π₯ 3 =β3.304135986. Ketiga nilai π₯ tersebut jika
disubstitusi ke dalam persamaan π¦ akan
menghasilkan π¦ 1 = β12.31219692, π¦ 2 =31.68825945, dan π¦ 3 = 7.290604135. Terlihat bahwa nilai π¦ yang dihasilkan untuk
π₯ 1 serta nilai π₯ 3 yang dihasilkan bernilai
negatif. Hal ini tidak bersesuaian dengan
asumsi bahwa populasi mangsa yang berada
pada kedua zona bernilai positif, sehingga
untuk nilai titik tetap πΉ2 = 43.62267459,31.68825945, 0 memiliki jenis kestabilan
berupa sadel.
Untuk titik tetap πΉ3 akan menghasilkan
bentuk persamaan aljabar ππ₯β3 + ππ₯β2 +
ππ₯β + π = 0 dengan π =π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π
2
,
π =β2π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π π β π1 β π½1π , π =
π
πΏπ22 π β π1 β π½1π 2 β
π βπ2
π2
π
πΎ+
π½1π½2π
π ,
dan π =π βπ2
π2 π β π1 β π½1π β π1
sehingga akan diperoleh tiga nilai π₯β yang
berbeda, yaitu π₯β1 = β0.04288896994,
π₯β2 = β0.8344948981, π₯β
3 =0.9058536189. Ketiga nilai π₯β tersebut jika
disubstitusi ke dalam persamaan π¦β dan π§β
akan menghasilkan π¦β1
= 0.04302782447,
π¦β2
= 12.43882794, π¦β3
= 14.18481090
serta nilai π§β1 = 0.5711103006, π§β
2 =β7.344948981, π§β
3 = 10.05853619.
Terlihat bahwa nilai π₯β1 dan π₯β
2 yang
dihasilkan serta nilai π§β2 yang dihasilkan
untuk π₯β2 bernilai negatif. Hal ini tidak
bersesuaian dengan asumsi bahwa populasi mangsa yang berada pada zona yang tidak
dilindungi dan populasi pemangsa bernilai
positif, sehingga dalam keadaan π½2 < π½0
terdapat empat titik tetap non-negatif, yaitu
πΉ0 , πΉ1 , πΉ2 , dan πΉ3 dengan nilai titik tetap
πΉ3 = 0.9058536189,14.18481090,10.05853619 yang memiliki jenis
kestabilan bersifat spiral stabil. Berikut akan diberikan gambar orbit 3
dimensinya pada sistem persamaan (3.2)
Gambar 29 Orbit kestabilan pada bidang
(π₯,π¦, π§) dengan π½2 = 0.1,dan π½0 = 0.4
Gambar 29 memperlihatkan pergerakan
kurva dimulai pada sudut bawah dari titik
terendah pada bidang (π₯π§).
17
Gambar 30 Orbit kestabilan pada bidang
(π₯,π¦) dengan π½2 = 0.1,dan π½0 = 0.4
Gambar 31 Orbit kestabilan pada bidang
(π₯, π§) dengan π½2 = 0.1,dan π½0 = 0.4
Gambar 32 Orbit kestabilan pada bidang
(y, π§) dengan π½2 = 0.1,dan π½0 = 0.4
Gambar 30, 31, dan 32 merupakan
pencerminan 2D dari Gambar 29. Dari hasil
pencerminan 2D ini dapat terlihat beberapa
titik tetapnya.
Berikut akan diperlihatkan grafik
dinamika dari populasi spesies mangsa pada
zona yang tidak dilindungi, spesies mangsa
pada zona yang dilindungi, dan populasi
pemangsa terhadap waktu (π‘) pada saat
π½2 = 0.1 dan π½0 = 0.4
Gambar 33 Dinamika populasi dari ketiga
model terhadap π‘ dengan
π½2 = 0.1 dan π½0 = 0.4.
Keterangan :
: Populasi mangsa pada zona yang
tidak dilindungi
: Populasi mangsa pada zona yang
dilindungi
: Populasi pemangsa
Pada Gambar 33 terlihat bahwa populasi
pemangsa lebih banyak dari populasi
mangsa pada zona tidak dilindungi. Namun
pada kasus ini banyaknya populasi
pemangsa lebih sedikit dari populasi
pemangsa pada kedua kasus sebelumnya
sehingga dapat membuat mangsa pada kedua
zona tetap dapat bertahan hidup walaupun
banyaknya populasi mangsa pada zona tidak
dilindungi hanya sedikit dan mengalami
penurunan yang cukup drastis dari populasi awalnya.
0 10 20 30 40 50t0
5
10
15
20
x,y,z
V KESIMPULAN
Simulasi sistem mangsa-pemangsa pada
pemangsa yang hanya berada pada zona
tidak dilindungi digambarkan dengan
menggunakan bantuan software
Mathematica 7.0. Secara keseluruhan
dinamika sistem mangsa-pemangsa ini dapat
dilihat dari besarnya laju interaksi antara
mangsa dan pemangsa. Dari hasil simulasi
yang diperoleh dengan adanya perubahan
terhadap besarnya laju interaksi antara mangsa dan pemangsa dapat dilihat
dinamika populasi mangsa pada kedua zona
ketika terdapat pemangsa pada zona tidak
dilindungi, dinamika populasi pemangsa
terhadap perubahan laju interaksi antara
mangsa dan pemangsa, dan perbandingan
dari model pemangsa yang terdapat dalam
kedua model yang dibahas.
Dinamika populasi mangsa yang berada
pada kedua zona ketika terdapat pemangsa
pada zona tidak dilindungi akan tetap
bertahan hidup. Namun pada saat besarnya laju interaksi antara mangsa dan pemangsa
diperbesar nilainya dapat membuat
banyaknya populasi mangsa pada zona tidak
dilindungi mengalami penurunan populasi
dikarenakan mangsa pada zona ini hidup
secara bersamaan dengan banyaknya
pemangsa tersebut dan merupakan sumber
makanan bagi pemangsa. Sedangkan untuk
populasi mangsa pada zona dilindungi akan
terus mengalami peningkatan populasi. Hal
ini dikarenakan dengan tidak adanya pemangsa yang hidup pada zona dilindungi.
Dinamika populasi pemangsa pada kedua
model umumnya memiliki populasi yang
lebih banyak dibandingkan dengan populasi
mangsa pada kedua zona ketika laju
interaksi antara mangsa dan pemangsa
diperbesar nilainya sehingga dapat membuat
ancaman bagi mangsa untuk berada pada
ambang kepunahan. Sedangkan ketika laju
interaksi antara mangsa dan pemangsa
diperkecil nilainya, maka populasi pemangsa akan mengalami penurunan populasi dari
populasi awal pemangsa. Hal ini dapat
membuat populasi mangsa pada kedua zona
dapat tetap bertahan hidup.
Perbandingan model pemangsa yang
didapat dari kedua model adalah pada model
pertama populasi pemangsa yang ada lebih
sedikit dibandingkan dengan model kedua
sehingga dapat membuat populasi mangsa
pada kedua zona tetap bertahan hidup,
sedangkan pada model kedua populasi
mangsa pada zona tidak dilindungi dapat berada pada ambang kepunahan ketika laju
interaksi antara mangsa dan pemangsa
diperbesar nilainya. Ketika besarnya laju
interaksi antara mangsa dan pemangsa
diperkecil dapat membuat populasi
pemangsa mengalami penurunan populasi
dari populasi awal pemangsa tersebut.
Namun penurunan populasi pemangsa pada
model pertama lebih besar dibandingkan
dengan model kedua .
DAFTAR PUSTAKA
Anton H. 1995. Aljabar Linear Elementer.
Ed ke-5. Terjemahan Pantur Silaban dan
I Nyoman Susila. Erlangga, Jakarta.
Dubey B. 2006. A Prey-Predator Model
with a Reserved Area. Mathematics
Group, Birla Institute of Technology and
Science. Vol 12: 479-494.
Farlow SJ. 1994. An Introduction to
Differential Equation and Their
Application. Mc Graw-Hill, New York.
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics
and Chaos With Application to Physics,
Biology, Chemistry, and Engineering.
Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusets.
Tu PNV. 1994. Dynamical System, An
Introduction with Application in
Economics and Biology. Springer-
Verlag. Heidelberg, Germany.
Verhulst F. 1990. Nonlinear Differential
Equation and Dynamical System.
Springer-Verlag. Heidelberg, Germany.
21
Lampiran 1. Penentuan Titik Tetap Model 1
Model persamaan sistem mangsa-pemangsa pada persamaan (3.2) :
π π
π π= ππ π β
π
π² β πππ + πππ β π·πππβ¦ (π)
π π
π π= ππ π β
π
π³ + πππ β πππβ¦ (π)
π π
π π= π·πππ β π·ππβ¦ (π)
π π β₯ π, π π β₯ π, π(π) β₯ π.
Untuk menentukan titik tetap dari persamaan (3.2) maka persamaan tersebut dibuat sama dengan
nol, yaitu ππ₯
ππ‘= 0,
ππ¦
ππ‘= 0, dan
ππ§
ππ‘= 0, sehingga diperoleh tiga titik tetap yang non β negatif.
Dari persamaan 3 akan diperoleh nilai π§ dan π₯ sebagai berikut
ππ§
ππ‘= 0
π½2π₯π§ β π½0π§ = 0
π§ π½2π₯ β π½0 = 0
π§ = 0 atau π₯β =π½0
π½2
dengan mensubstitusikan π₯β =π½0
π½2 ke dalam persamaan (2), maka akan diperoleh
ππ¦
ππ‘= 0
π π¦ 1 βπ¦
πΏ + π1π₯ β π2π¦ = 0
π π¦ βπ π¦2
πΏ+ π1
π½0
π½2 β π2π¦ = 0
π
πΏπ¦2 β π β π2 π¦ β π1
π½0
π½2 = 0
dengan menggunakan rumus ABC didapatkan
π =π
πΏ, π = β π β π2 , π = βπ1
π½0
π½2
π βπ2 + β(π βπ2) 2 +4π π½ 0π1
πΏπ½ 22π
πΏ
= 0
πΏ
2π π β π2 + π β π2
2 +4π π½0π1
πΏπ½2 = 0
1
2π πΏ π β π2 + πΏ2 π β π2
2 +4π πΏπ½0π1
π½2 = 0
1
2π π½2 πΏπ½2 π β π2 + π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 = 0
π¦β =1
2π π½2 πΏπ½2 π β π2 + π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1
Substitusi nilai π¦β dan π₯β ke dalam persamaan (1)
ππ₯
ππ‘= 0
ππ₯ 1 βπ₯
πΎ β π1π₯ + π2π¦ β π½1π₯π§ = 0
π
π½0
π½2 β
ππ½02
πΎπ½22 β
π1π½ 0
π½2+ π2π¦
β βπ½1π½0
π½2π§ = 0
π½1π½0
π½2π§ =
ππ½02
πΎπ½22 +
π½0
π½2 π1 β π β π2π¦
β = 0
π§β =
π½2
π½1π½0 π2π¦
β +π½0
π½2 π β π1 β
ππ½02
πΎπ½22
22
Sehingga dari perhitungan di atas diperoleh satu titik tetap yang pertama, yaitu π₯β, π¦β,π§β =
π½0
π½2,
1
2π π½2 πΏπ½2 π β π2 + π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 ,
π½2
π½1π½0 π2π¦
β +π½0
π½2 π β π1 β
ππ½02
πΎπ½22
Subsitusi π§ = 0, maka persamaan (3.2) akan menjadi ππ₯
ππ‘= ππ₯ 1 β
π₯
πΎ β π1π₯ + π2π¦β¦ (4)
ππ¦
ππ‘= π π¦ 1 β
π¦
πΏ + π1π₯ β π2π¦β¦ (5)
dari persamaan (4) didapatkan
ππ₯
ππ‘= 0
ππ₯ 1 βπ₯
πΎ β π1π₯ + π2π¦ = 0
π¦ =1
π2 ππ₯ 2
πΎβ (π β π1)π₯
Substitusi nilai π¦ ke dalam persamaan (5)
ππ¦
ππ‘= 0
π π¦ 1 βπ¦
πΏ + π1π₯ β π2π¦ = 0
π 1
Ο2
rx2
Kβ r β Ο1 x β
π 1
Ο 2 rx 2
Kβ rβΟ1 x
2
πΏ+ Ο1x β Ο2
1
Ο2
1
Ο2
rx2
Kβ r β Ο1 x = 0
π
Ο2
rx2
Kβ r β Ο1 x β
π
πΏΟ22 π2π₯4
πΎβ 2
ππ₯2
πΎ π β Ο1 π₯ + r β Ο1
2π₯2 + Ο1x β rx2
Kβ
r β Ο1 x = 0
π π
πΎΟ2π₯2 β
π rβΟ1
Ο2π₯ β
π π2
πΏπΎ2Ο22 π₯4 +
2π π rβΟ1
πΎπΏΟ22 π₯3 β
π rβΟ1 2
πΏΟ22 π₯2 + Ο1x β
r
Kx2 + r β Ο1 x = 0
β
π π2
πΏπΎ2Ο22 π₯4 +
2π π rβΟ1
πΎπΏΟ22 π₯3 +
r
K
s
Ο2β 1 β
π rβΟ1 2
πΏΟ22
x2 + r β Ο1 βπ rβΟ1
Ο2+ Ο1 x = 0
βπ π2
πΏπΎ2Ο22 π₯4 +
2π π rβΟ1
πΎπΏΟ22 π₯3 +
r(sβΟ2)
KΟ2β
π rβΟ1 2
πΏΟ22
x2 + rβΟ1 (Ο2βs)
Ο2+ Ο1 x = 0
π π2
πΏπΎ2Ο22 π₯4 β
2π π rβΟ1
πΎπΏΟ22 π₯3 +
π rβΟ1 2
πΏΟ22 β
r(sβΟ2)
KΟ2 x2 +
rβΟ1 (sβΟ2)
Ο2+ Ο1 x = 0
π₯ π π2
πΏπΎ2Ο22 π₯3 β
2π π rβΟ1
πΎπΏΟ22 π₯2 +
π rβΟ1 2
πΏΟ22 β
r(sβΟ2)
KΟ2 x +
rβΟ1 (sβΟ2)
Ο2+ Ο1 = 0
π₯ = 0 atau π π2
πΏπΎ2Ο22 π₯ 3 β
2π π rβΟ1
πΎπΏΟ22 π₯ 2 +
π rβΟ1 2
πΏΟ22 β
r(sβΟ2)
KΟ2 x +
rβΟ1 (sβΟ2)
Ο2+ Ο1 = 0
Persamaan di atas akan membentuk suatu persamaan aljabar πx 3 + πx 2 + πx + π = 0, dengan
π =π π2
πΏπΎ2Ο22 , π = β
2π π rβΟ1
πΎπΏΟ22 , π =
π rβΟ1 2
πΏΟ22 β
r(sβΟ2)
KΟ2 , dan π =
rβΟ1 (sβΟ2)
Ο2β Ο1
dengan mensubstitusi nilai π₯ = 0 ke dalam persamaan π¦ , maka akan diperoleh titik tetap yang
kedua, yaitu πΈ0 π₯, π¦ ,π§ = 0,0,0 . Namun, jika bentuk persamaan aljabar tersebut disubstitusi ke
dalam persamaan π¦ maka akan membentuk titik tetap πΈ1(π₯, π¦ , 0). Lebih jelasnya telah dijelaskan
pada simulasi. Dari perhitungan di atas dapat diperoleh dua titik tetap yang kedua dan ketiga, yaitu
πΈ0 0,0,0 dan πΈ1 π₯, π¦ , 0 . Jadi, pada kasus 1 terdapat tiga titik tetap non-negatif yaitu
πΈ0 , πΈ1 , πΈ2 = 0,0,0 , 43.62267459, 31.68825945, 0 , π½0
π½2,
1
2π π½2 πΏπ½2 π β π2 +
π½22πΏ2 π β π2
2 + 4π πΏπ½0π½2π1 ,
π½2
π½1π½0 π2π¦
β +π½0
π½2 π β π1 β
ππ½02
πΎπ½22
23
Lampiran 2. Penentuan Nilai Eigen Model 1
π΄ =
ππ₯
ππ₯
ππ₯
ππ¦
ππ₯
ππ§ππ¦
ππ₯
ππ¦
ππ¦
ππ¦
ππ§ππ§
ππ₯
ππ§
ππ¦
ππ§
ππ§
=
π β
2π
πΎπ₯ β π1 β π½1π§ π2 βπ½1π₯
π1 π β2π
πΏπ¦ β π2 0
π½2π§ 0 π½2π₯ β π½0
Pelinearan pada titik tetap πΈ0 0,0,0 akan menghasilkan matriks sebagai berikut
π΄ 0,0,0 = π β π1 π2 0
π1 π β π2 00 0 βπ½0
kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik π΄ β ππΌ = 0
π β π1 β π π2 0
π1 π β π2 β π 00 0 βπ½0 β π
= 0
π β π1 β π π β π2 β π βπ½0 β π β π2 π1 βπ½0 β π = 0
βπ½0 β π π β π1 β π π β π2 β π β π2π1 = 0
βπ½0 β π ππ β ππ2 β ππ β π1π + π2π1 + π1π β π π + π2π + π2 β π2π1 = 0
βπ½0 β π π2 + π π2 + π1 β π β π β π2π + π1π β ππ = 0
Jadi, diperoleh nilai eigen sebagai berikut :
π1 = βπ½0 < 0
π2 =β π2+π1βπβπ + π2+π1βπβπ 2+4(1) π2π+π1π βππ
2> 0
π3 =β π2+π1βπβπ β π2+π1βπβπ 2+4(1) π2π+π1π βππ
2> 0
Pelinearan pada titik tetap πΈ1 π₯ , π¦ , 0 .
>> Pada kasus π½2 > π½0
Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi ini, dapat menggunakan nilai titik
tetap yang telah diperoleh pada simulasi dengan nilai parameter π = 0.6, π = 1, πΎ =40, πΏ = 40, π1 = 0.2, π2 = 0.4, π½0 = 0.4, π½1 = 0.7, π½2 = 0.7, yaitu titik tetap
πΈ1 43.62267459, 31.68825945, 0 sehingga akan didapatkan matriks Jacobi
π΄(43.62267459 ,31.68825945 ,0) = β1.381133730 0.4 β30.53587221
0.2 β0.7506477835 00 0 30.13587221
kemudian mencari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik π΄ βππΌ = 0
β1.381133730 β π 0.4 β30.53587221
0.2 β0.7506477835 β π 00 0 30.13587221 β π
= 0
β1.381133730 β π β0.7506477835 β π 30.13587221 β π β
0.4 0.2 30.13587221 β π = 0
30.13587221 β π π2 + 2.131781514 π + 0.956744973 = 0
24
Jadi, diperoleh nilai eigen sebagai berikut :
π1 = 30.13587221 > 0
π2 =β2.131781514 + (2.131781514 )2β4(0.956744973 )
2= β0.6423602004 < 0
π3 =β2.131781514 β (2.131781514 )2β4(0.956744973 )
2= β1.489421313 < 0
>> Pada kasus π½2 = π½0
Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi ini, dapat menggunakan nilai titik
tetap yang telah diperoleh pada simulasi dengan nilai parameter π = 0.6, π = 1, πΎ =40, πΏ = 40, π1 = 0.2, π2 = 0.4, π½0 = 0.4, π½1 = 0.7, π½2 = 0.4, yaitu titik tetap
πΈ1 43.62267459, 31.68825945, 0 sehingga akan didapatkan matriks Jacobi
π΄(43.62267459 ,31.68825945 ,0) = β1.381133730 0.4 β30.53587221
0.2 β0.7506477835 00 0 17.04906984
kemudian mencari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik π΄ βππΌ = 0
β1.381133730 β π 0.4 β30.53587221
0.2 β0.7506477835 β π 00 0 17.04906984 β π
= 0
β1.381133730 β π β0.7506477835 β π 17.04906984 β π β
0.4 0.2 17.04906984 β π = 0
17.04906984 β π π2 + 2.131781514 π + 0.956744973 = 0
Jadi, diperoleh nilai eigen sebagai berikut :
π1 = 17.04906984 > 0
π2 =β2.131781514 + (2.131781514 )2β4(0.956744973 )
2= β0.6423602004 < 0
π3 =β2.131781514 β (2.131781514 )2β4(0.956744973 )
2= β1.489421313 < 0
>> Pada kasus π½2 < π½0
Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi ini, dapat menggunakan nilai titik
tetap yang telah diperoleh pada simulasi dengan nilai parameter π = 0.6, π = 1, πΎ =40, πΏ = 40, π1 = 0.2, π2 = 0.4, π½0 = 0.4, π½1 = 0.7, π½2 = 0.1, yaitu titik tetap
πΈ1 43.62267459, 31.68825945, 0 sehingga akan didapatkan matriks Jacobi
π΄(43.62267459 ,31.68825945 ,0) = β1.381133730 0.4 β30.53587221
0.2 β0.7506477835 00 0 3.962267459
kemudian mencari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik π΄ βππΌ = 0
β1.381133730 β π 0.4 β30.53587221
0.2 β0.7506477835 β π 00 0 3.962267459 β π
= 0
25
β1.381133730 β π β0.7506477835 β π 3.962267459 β π β
0.4 0.2 3.962267459 β π = 0
3.962267459 β π π2 + 2.131781514 π + 0.956744973 = 0
Jadi, diperoleh nilai eigen sebagai berikut :
π1 = 3.962267459 > 0
π2 =β2.131781514 + (2.131781514 )2β4(0.956744973 )
2= β0.6423602004 < 0
π3 =β2.131781514 β (2.131781514 )2β4(0.956744973 )
2= β1.489421313 < 0
Pelinearan pada titik tetap πΈ2 π₯β,π¦β,π§β akan menghasilkan matriks sebagai berikut
π΄ π₯β,π¦β,π§β =
π β2π
πΎπ₯β β π1 β π½1π§
β π2 βπ½1π₯β
π1 π β2π
πΏπ¦β β π2 0
π½2π§β 0 π½2π₯β β π½0
kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik π΄ β ππΌ = 0
π β2π
πΎ
π½0
π½2β π1 β π½1
π½2
π½1π½0 ππ½0
2
πΎπ½22 +
π½0
π½2 π1 β π β π2π¦
β π2 βπ½
1π½0
π½2
π1 π β π¦β β π2 0
π½2π½2
π½1π½0 ππ½0
2
πΎπ½22 +
π½0
π½2 π1 β π β π2π¦
β 0 π½2π½0
π½2β π½0
= 0
dengan menggantikan nilai π¦β =1
2π π½2
πΏπ½2 π β π2 + π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 pada matriks
Jacobi di atas, maka akan didapatkan
π π2 βπ½1π½0
π½2
π1β1
πΏπ½2 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 β π 0
π 0 βπ
= 0
dengan
π =βππ½0
πΎπ½2β
πΏπ2π½2 π βπ2
2π π½0β
π2
2π π½0 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 β π
π = π½2
π½1
πΏπ½2π2 π βπ2
2π π½0+
π2
2π π½0 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 + π β π1 β
ππ½0
πΎπ½1
βππ½0
πΎπ½2β
πΏπ2π½2 π βπ2
2π π½0β
π2
2π π½0 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 β
π β1
πΏπ½2 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 β π βπ β
βππ2π1 + βπ½1π½0
π½2
β1
πΏπ½2 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 β π
π½2
π½1
πΏπ½2π2 π βπ2
2π π½0+
π2
2π π½0 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 + π β π1 β
ππ½0
πΎπ½1 + π2π1π = 0
26
β1
πΏπ½2 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 β π π2 +
π ππ½0
πΎπ½2+
πΏπ2π½2 π βπ2
2π π½0+
π2
2π π½0 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 +
π½1π½0
π½2
π½2
π½1
πΏπ½2π2 π βπ2
2π π½0+
π2
2π π½0 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 + π β π1 β
ππ½0
πΎπ½1 + π2π1π = 0
β1
πΏπ½2 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 π2 β
1
πΏπ½2 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 π
ππ½0
πΎπ½2+
πΏπ2π½2 π βπ2
2π π½0+
π2
2π π½0 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1
βπΏπ½2π2 π βπ2
2π πΏπ½2 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 β
π2
2π πΏπ½2 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1
2
β
π½0
πΏπ½2 π β π1 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 +
ππ½02
πΎπΏπ½22 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 β
π3 β π2 ππ½0
πΎπ½2+
πΏπ2π½2 π βπ2
2π π½0+
π2
2π π½0 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 β
πΏπ½2π2 π βπ2
2π π β
π2
2π π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 π β π½0 π β π1 π +
ππ½02
πΎπ½1π + π2π1π = 0
π3 +
π2 1
πΏπ½2 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 +
ππ½0
πΎπ½2+
πΏπ2π½2 π βπ2
2π π½0+
π2
2π π½0 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1
+ π 1
πΏπ½2 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1
ππ½0
πΎπ½2+
πΏπ2π½2 π βπ2
2π π½0+
π2
2π π½0 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1
+πΏπ½2π2 π βπ2
2π +
π2
2π π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 + π½0 π β π1 β
ππ½02
πΎπ½1β π2π1 +
πΏπ½2π2 π βπ2
2π πΏπ½2 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 +
π2
2π πΏπ½2 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1
2
+
π½0
πΏπ½2 π β π1 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 β
ππ½02
πΎπΏπ½22 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 = 0
dari penjelasan di atas didapatkan bentuk nilai eigen π3 + π1π2 + π2π + π3, sehingga
diperoleh nilai
π1 =1
πΏπ½2
π½22πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 +
ππ½0
πΎπ½2+
πΏπ2π½2 π βπ2
2π π½0+
π2
2π π½0
π½22πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1
π2 = 1
πΏπ½2
π½22πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1
ππ½0
πΎπ½2+
πΏπ2π½2 π βπ2
2π π½0+
π2
2π π½0
π½22πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 +
πΏπ½2π2 π βπ2
2π +
π2
2π π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 + π½0 π β π1 βππ½0
2
πΎπ½1β π2π1
π3 =π2 π βπ2
2π π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 +π2
2π πΏπ½2 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1
2
+
π½0
πΏπ½2 π β π1 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1 βππ½0
2
πΎπΏπ½22 π½2
2πΏ2 π β π2 2 + 4π πΏπ½0π½2π1
27
>> Pada kasus π½2 > π½0
Untuk mengetahui jenis kestabilan titik tetap πΈ2 pada kasus π½2 > π½0 dapat
menggunakan nilai parameter π = 0.6, π = 1, πΎ = 40, πΏ = 40, π1 = 0.2, π2 =0.4, π½0 = 0.4, π½1 = 0.7, π½2 = 0.7 yang kemudian akan disubstitusi ke dalam nilai
π1 , π2 , dan π3 yang telah diperoleh di atas. Dari nilai parameter tersebut akan diperoleh
nilai eigen π3 + 9.948270002π2 + 6.227889581π + 0.909433425 = 0 dan dengan menggunakan bantuan software Maple13 akan diperoleh nilai eigen
π1 = β9.288302494, π2 = β0.4347577316, dan π3 = β0.2252097807.
>> Pada kasus π½2 = π½0
Untuk mengetahui jenis kestabilan titik tetap πΈ2 pada kasus π½2 = π½0 dapat
menggunakan nilai parameter π = 0.6, π = 1, πΎ = 40, πΏ = 40, π1 = 0.2, π2 =0.4, π½0 = 0.4, π½1 = 0.7, π½2 = 0.4 yang kemudian akan disubstitusi ke dalam nilai
π1 , π2 , dan π3 yang telah diperoleh di atas. Dari nilai parameter tersebut akan diperoleh
nilai eigen π3 + 5.960169552π2 + 3.824267271π + 0.591261633 = 0 dan dengan
menggunakan bantuan software Maple13 π1 = β0.2435459581, π2 = β0.4620177120,dan π3 = β5.254605882.
>> Pada kasus π½2 < π½0
Untuk mengetahui jenis kestabilan titik tetap πΈ2 pada kasus π½2 < π½0 dapat
menggunakan nilai parameter π = 0.6, π = 1, πΎ = 40, πΏ = 40, π1 = 0.2, π2 =0.4, π½0 = 0.4, π½1 = 0.7, π½2 = 0.1 yang kemudian akan disubstitusi ke dalam nilai
π1 , π2 , dan π3 yang telah diperoleh di atas. Dari nilai parameter tersebut akan diperoleh
nilai eigen π3 + 2.052141071π2 + 1.516129034π + 0.279500873 = 0 dan dengan
menggunakan bantuan software Maple13 akan diperoleh π1 = β0.3632171349, π2 =β0.8444619684 + 0.2374837761 I, dan π3 = β0.8444619684 β 0.2374837761 I.
28
Lampiran 3. Penentuan Titik Tetap Model 2
Model persamaan sistem mangsa-pemangsa pada persamaan (3.3) adalah sebagai berikut :
π π
π π= ππ π β
π
π² β πππ + πππ β π·πππ) β¦ (π)
π π
π π= ππ π β
π
π³ + πππ β πππβ¦ (π)
π π
π π= ππ π β
π
π΄ + π·πππβ¦ (π)
π π β₯ π, π π β₯ π, π(π) β₯ π
Untuk menentukan titik tetap dari persamaan (3.3) di atas, maka persamaan tersebut akan dibuat
sama dengan nol, yaitu ππ₯
ππ‘= 0,
ππ¦
ππ‘= 0, dan ππ§
ππ‘= 0.
Dari persamaan (3) akan didapat nilai π§ sebagai berikut ππ§
ππ‘= 0
ππ§ 1 βπ§
π + π½2π₯π§ = 0
π§ π βππ§
π+ π½2π₯ = 0
π§β = 0 atau π§β =π
π π + π½2π₯
Substitusi nilai π§β =π
π π + π½2π₯ ke dalam persamaan (1)
ππ₯ βππ₯2
πΎβ π1π₯ + π2π¦ β π½1π₯π§ = 0
ππ₯ β
ππ₯2
πΎβ π1π₯ + π2π¦ β π½1π₯
π
π π + π½2π₯ = 0
ππ₯ βππ₯2
πΎβ π1π₯ + π2π¦ β π½1π₯π β π½1π½2
π
ππ₯2 = 0
π2π¦ = π
πΎ+
π½1π½2π
π π₯β2 + π½1π + π1 β π π₯β
π¦β =1
π2
π
πΎ+
π½1π½2π
π π₯β2 β π β π1 β π½1π π₯β
Substitusi nilai π¦β ke dalam persamaan (2)
ππ¦
ππ‘= 0
π π¦ βπ π¦2
πΏ+ π1π₯ β π2π¦ = 0
π 1
π2
π
πΎ+
π½1π½2π
π π₯2 β π β π1 β π½1π π₯ β
π
πΏ
1
π2
π
πΎ+
π½1π½2π
π π₯2 β π β π1 β
π½1π π₯ 2
+ π1π₯ β π2 1
π2
π
πΎ+
π½1π½2π
π π₯2 β π β π1 β π½1π π₯ = 0
π
π2
π
πΎ+
π½1π½2π
π π₯2 β
π
π2 π β π1 β π½1π π₯ β
π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π
2
π₯4 β 2 π
πΎ+
π½1π½2π
π π β π1 β
π½1π π₯3 + π β π1 β π½1π 2π₯2 + π1π₯ β π
πΎ+
π½1π½2π
π π₯2 + π β π1 β π½1π π₯ = 0
β
π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π
2
π₯4 + 2π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π π β π1 β π½1π π₯3 +
π
π2
π
πΎ+
π½1π½2π
π β
π
πΏπ22 π β π1 β π½1π 2 β
π
πΎ+
π½1π½2π
π π₯2 + π β π1 β π½1π β
π
π2 π β π1 β π½1π +
π1 π₯ = 0
β
π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π
2
π₯4 + 2π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π π β π1 β π½1π π₯3 +
π βπ2
π2
π
πΎ+
π½1π½2π
π β
π
πΏπ22 π β π1 β π½1π 2 π₯2 +
π2βπ
π2 π β π1 β π½1π + π1 π₯ = 0
29
π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π
2
π₯4 β 2π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π π β π1 β π½1π π₯3 +
π
πΏπ22 π β π1 β π½1π 2 β
π βπ2
π2
π
πΎ+
π½1π½2π
π π₯2 +
π βπ2
π2 π β π1 β π½1π β π1 π₯ = 0
π₯
π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π
2
π₯3 β 2π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π π β π1 β π½1π π₯2 +
π
πΏπ22 π β π1 β π½1π 2 β
π βπ2
π2
π
πΎ+
π½1π½2π
π π₯ +
π βπ2
π2 π β π1 β π½1π β π1 = 0
π₯β = 0 atau
π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π
2
π₯β3 β2π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π π β π1 β π½1π π₯β2 +
π
πΏπ22 π β
π1 β π½1π 2 βπ βπ2
π2
π
πΎ+
π½1π½2π
π π₯β +
π βπ2
π2 π β π1 β π½1π β π1 = 0
Persamaan ini membentuk suatu persamaan aljabar ππ₯β3 + ππ₯β2 + ππ₯β + π = 0, dengan
π =π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π
2
, π = β2π
πΏπ22
π
πΎ+
π½1π½2π
π π β π1 β π½1π , π =
π
πΏπ22 π β π1 β π½1π 2 β
π βπ2
π2
π
πΎ+
π½1π½2π
π , dan π =
π βπ2
π2 π β π1 β π½1π β π1
dari persamaan di atas didapatkan titik tetap π₯β = 0 dan ππ₯β3 + ππ₯β2 + ππ₯β + π = 0. Pada saat
titik tetap π₯β = 0 disubstitusi ke dalam nilai π¦β dan π§β, maka akan diperoleh titik tetap
πΉ1 π₯β, π¦β,π§β = 0,0, π . Namun, jika bentuk persamaan aljabar tersebut disubstitusikan ke
dalam persamaan π¦β dan π§β maka akan membentuk titik tetap πΉ3 π₯β, π¦β,π§β . Lebih jelasnya telah
disajikan pada simulasi. Sehingga dari perhitungan di atas diperoleh dua titik tetap, yaitu
πΉ1 0,0, π dan πΉ3 π₯β, π¦β, π§β .
Substitusi nilai π§β = 0 ke dalam persamaan (1), (2), dan (3) sehingga diperoleh π π
π π= ππ π β
π
π² β πππ + πππβ¦ π
π π
π π= ππ π β
π
π³ + πππ β πππβ¦ π
π π
π π= πβ¦ (π)
dari persamaan (4) didapatkan
ππ₯
ππ‘= 0
ππ₯ 1 βπ₯
πΎ β π1π₯ + π2π¦ = 0
π¦ =1
π2 ππ₯ 2
πΎβ π β π1 π₯
Substitusi nilai π¦ ke dalam persamaan (5)
ππ¦
ππ‘= 0
π π¦ 1 βπ¦
πΏ + π1π₯ β π2π¦ = 0
π 1
Ο2
rx2
Kβ r β Ο1 x β
π 1
Ο 2 rx 2
Kβ rβΟ1 x
2
πΏ+ Ο1x β Ο2
1
Ο2
1
Ο2
rx2
Kβ r β Ο1 x = 0
π
Ο2
rx2
Kβ r β Ο1 x β
π
πΏΟ22 π2π₯4
πΎβ 2
ππ₯2
πΎ π β Ο1 π₯ + r β Ο1
2π₯2 + Ο1x β rx2
Kβ
r β Ο1 x = 0
π π
πΎΟ2π₯2 β
π rβΟ1
Ο2π₯ β
π π2
πΏπΎ2Ο22 π₯4 +
2π π rβΟ1
πΎπΏΟ22 π₯3 β
π rβΟ1 2
πΏΟ22 π₯2 + Ο1x β
r
Kx2 + r β Ο1 x = 0
β
π π2
πΏπΎ2Ο22 π₯4 +
2π π rβΟ1
πΎπΏΟ22 π₯3 +
r
K
s
Ο2β 1 β
π rβΟ1 2
πΏΟ22
x2 + r β Ο1 βπ rβΟ1
Ο2+ Ο1 x = 0
30
βπ π2
πΏπΎ2Ο22 π₯4 +
2π π rβΟ1
πΎπΏΟ22 π₯3 +
r(sβΟ2)
KΟ2β
π rβΟ1 2
πΏΟ22
x2 + rβΟ1 (Ο2βs)
Ο2+ Ο1 x = 0
π π2
πΏπΎ2Ο22 π₯4 β
2π π rβΟ1
πΎπΏΟ22 π₯3 +
π rβΟ1 2
πΏΟ22 β
r(sβΟ2)
KΟ2 x2 +
rβΟ1 (sβΟ2)
Ο2+ Ο1 x = 0
π₯ π π2
πΏπΎ2Ο22 π₯3 β
2π π rβΟ1
πΎπΏΟ22 π₯2 +
π rβΟ1 2
πΏΟ22 β
r(sβΟ2)
KΟ2 x +
rβΟ1 (sβΟ2)
Ο2+ Ο1 = 0
π₯ = 0 atau π π2
πΏπΎ2Ο22 π₯ 3 β
2π π rβΟ1
πΎπΏΟ22 π₯ 2 +
π rβΟ1 2
πΏΟ22 β
r(sβΟ2)
KΟ2 x +
rβΟ1 (sβΟ2)
Ο2+ Ο1 = 0
Persamaan di atas akan membentuk suatu persamaan aljabar πx 3 + πx 2 + πx + π = 0, dengan
π =π π2
πΏπΎ2Ο22 , π = β
2π π rβΟ1
πΎπΏΟ22 , π =
π rβΟ1 2
πΏΟ22 β
r(sβΟ2)
KΟ2 , dan π =
rβΟ1 (sβΟ2)
Ο2β Ο1
dengan mensubstitusi nilai π₯ = 0 ke dalam persamaan π¦ , maka akan diperoleh titik tetap, yaitu
πΉ0 π₯, π¦, π§ = 0,0,0 . Namun, jika bentuk persamaan aljabar tersebut disubstitusi ke dalam
persamaan π¦ maka akan membentuk titik tetap πΉ2(π₯, π¦, 0). Lebih jelasnya dapat dilihat pada
simulasi. Sehingga dari perhitungan di atas diperoleh dua titik tetap πΉ0 0,0,0 dan πΉ2(π₯, π¦, 0). Jadi
dari persamaan (3.3) diperoleh empat titik tetap yang non-negatif, yaitu πΉ0 0,0,0 , πΉ1 0,0, π ,
πΉ2(π₯, π¦, 0), dan πΉ3 π₯β, π¦β, π§β . Untuk titik tetap πΉ2(π₯, π¦, 0) dan πΉ3 π₯
β, π¦β, π§β lebih jelasnya dapat
dilihat pada simulasi.
31
Lampiran 4. Penentuan Nilai Eigen Model 2
π΄ =
ππ₯
ππ₯
ππ₯
ππ¦
ππ₯
ππ§
ππ¦
ππ₯
ππ¦
ππ¦
ππ¦
ππ§
ππ§
ππ₯
ππ§
ππ¦
ππ§
ππ§
=
π β
2π
πΎπ₯ β π1 β π½1π§ π2 βπ½1π₯
π1 π β2π
πΏπ¦ β π2 0
π½2π§ 0 π β2π
ππ§ + π½2π₯
Pelinearan pada titik tetap πΉ0 0,0,0 akan menghasilkan matriks sebagai berikut
π΄ 0,0,0 = π β π1 π2 0
π1 π β π2 00 0 π
kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik π΄ β ππΌ = 0
π β π1 β π π2 0
π1 π β π2 β π 00 0 π β π
= 0
π β π1 β π π β π2 β π π β π β π2 π1 π β π = 0
π β π π β π1 β π π β π2 β π β π2π1 = 0
π β π ππ β ππ2 β ππ β π1π + π2π1 + π1π β π π + π2π + π2 β π2π1 = 0
π β π π2 + π π2 + π1 β π β π + ππ β ππ2 β π1π = 0
Jadi, diperoleh nilai eigennya sebagai berikut
π1 = π > 0
π2 =β π2+π1βπ βπ + π2+π1βπ βπ 2β4 1 ππ βππ2βπ1π
2> 0
π3 =β π2+π1βπ βπ β π2+π1βπ βπ 2β4 1 ππ βππ2βπ1π
2> 0
Pelinearan pada titik tetap πΉ1 0,0, π akan menghasilkan matriks sebagai berikut
π΄ 0,0,π = π β π1 β π½1π π2 0
π1 π β π2 0π½2π 0 βπ
kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik π΄ β ππΌ = 0
π β π1 β π½1π β π π2 0
π1 π β π2 β π 0π½2π 0 βπ β π
= 0
π β π1 β π½1π β π π β π2 β π βπ β π β π2π1 βπ β π = 0
βπ β π π β π1 β π½1π β π π β π2 β π β π2π1 = 0
βπ β π ππ β ππ2 β ππ β π1π + π2π1 + π1π β π½1ππ + π½1ππ2 + π½1ππ β π π + π2π +
π2 β π2π1 = 0
βπ β π π2 + π π½1π + π2 + π1 β π β π + π½1ππ2 β π½1ππ + ππ β ππ2 β π1π = 0
32
Jadi nilai eigennya adalah sebagai berikut
π1 = βπ < 0
π2 =β π½1π+π2+π1βπ βπ + π½1π+π2+π1βπ βπ 2β4 1 π½1ππ2βπ½1ππ +ππ βππ2βπ1π
2> 0
π3 =β π½1π+π2+π1βπ βπ β π½1π+π2+π1βπ βπ 2β4 1 π½1ππ2βπ½1ππ +ππ βππ2βπ1π
2< 0
Pelinearan untuk titik tetap πΉ2 π₯ , π¦ , 0 dan πΉ3 π₯β, π¦β, π§β dapat dilihat dari tiga kasus, yaitu
pada saat kondisi π½2 > π½0 , π½2 = π½0 , dan π½2 < π½0
>> Pada saat kondisi π½2 > π½0
Pelinearan pada titik tetap πΉ2 π₯ , π¦ , 0
Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi π½2 > π½0, dapat menggunakan nilai
titik tetap yang telah diperoleh pada simulasi dengan nilai parameter π = 0.6, π = 1,
π = 0.01, πΎ = 40, πΏ = 40, π = 1, π1 = 0.2, π2 = 0.4, π½0 = 0.4, π½1 = 0.7, π½2 =
0.7 yaitu πΉ2 43.62267459, 31.68825945, 0 sehingga diperoleh matriks Jacobi
π΄(43.62267459 ,31.68825945 ,0) = β1.381133730 0.4 β30.53587221
0.2 β0.7506477835 00 0 30.54587221
kemudian mencari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik det π΄ βππΌ = 0
β1.381133730 β π 0.4 β30.53587221
0.2 β0.7506477835 β π 00 0 30.54587221 β π
= 0
β1.381133730 β π β0.7506477835 β π 30.54587221 β π β
0.4 0.2 30.54587221 β π = 0
30.54587221 β π π2 + 2.131781514 π + 0.956744973 = 0
Jadi, diperoleh nilai eigen sebagai berikut :
π1 = 30.54587221 > 0
π2 =β2.131781514 + (2.131781514 )2β4(0.956744973 )
2= β0.6423602004 < 0
π3 =β2.131781514 β (2.131781514 )2β4(0.956744973 )
2= β1.489421313 < 0
33
Pelinearan pada titik tetap πΉ3 π₯β, π¦β, π§β
Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi π½2 > π½0, dapat menggunakan nilai
titik tetap yang telah diperoleh pada simulasi dengan nilai parameter π = 0.6, π = 1, π =
0.01, πΎ = 40, πΏ = 40, π = 1, π1 = 0.2, π2 = 0.4, π½0 = 0.4, π½1 = 0.7, π½2 = 0.7
yaitu πΉ3 0.3348700583,13.00035006,24.44090408 sehingga diperoleh matriks
Jacobi
π΄ 0.3348700583 ,13.00035006 ,24.44090408 =
β16.32537636 0.4 β0.2344090408
0.2 β0.2098057213 017.10863286 0 β0.2444090408
kemudian mencari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik det π΄ βππΌ = 0
β16.32537636 β π 0.4 β0.2344090408
0.2 β0.2098057213 β π 017.10863286 0 β0.2444090408 β π
= 0
β16.32537636 β π β0.2098057213 β π β0.2444090408 β π β
0.2 0.4 β0.2444090408 β π + β0.2344090408 β0.2098057213 β
π 17.10863286 = 0
3.425157363 + 16.53518208π + π2 β0.2444090408 β π β 0.821855963 +
3.930418218π = 0
π3 + 16.77959112π2 + 11.39692357π + 1.658995389 = 0
dengan menggunakan bantuan software Maple13, didapatkan nilai eigen sebagai berikut :
π1 = β0.2091902791 < 0
π2 = β0.4932822220 < 0
π3 = β16.07711862 < 0
>> Pada saat kondisi π½2 = π½0
Pelinearan pada titik tetap πΉ2 π₯ , π¦ , 0
Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi π½2 = π½0, dapat menggunakan nilai
titik tetap yang telah diperoleh pada simulasi dengan nilai parameter π = 0.6, π = 1,
π = 0.01, πΎ = 40, πΏ = 40, π = 1, π1 = 0.2, π2 = 0.4, π½0 = 0.4, π½1 = 0.7, π½2 =
0.4 yaitu πΉ2 43.62267459, 31.68825945, 0 sehingga diperoleh matriks Jacobi
π΄(43.62267459 ,31.68825945 ,0) = β1.381133730 0.4 β30.53587221
0.2 β0.7506477835 00 0 17.45906984
kemudian mencari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik det π΄ βππΌ = 0
β1.381133730 β π 0.4 β30.53587221
0.2 β0.7506477835 β π 00 0 17.45906984 β π
= 0
β1.381133730 β π β0.7506477835 β π 17.45906984 β π β
0.4 0.2 17.45906984 β π = 0
17.45906984 β π π2 + 2.131781514 π + 0.956744973 = 0
34
Jadi, diperoleh nilai eigen sebagai berikut :
π1 = 17.45906984 > 0
π2 =β2.131781514 + (2.131781514 )2β4(0.956744973 )
2= β0.6423602004 < 0
π3 =β2.131781514 β (2.131781514 )2β4(0.956744973 )
2= β1.489421313 < 0
Pelinearan pada titik tetap πΉ3 π₯β, π¦β, π§β
Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi π½2 = π½0, dapat menggunakan nilai
titik tetap yang telah diperoleh pada simulasi dengan nilai parameter π = 0.6, π = 1, π =
0.01, πΎ = 40, πΏ = 40, π = 1, π1 = 0.2, π2 = 0.4, π½0 = 0.4, π½1 = 0.7, π½2 = 0.4
yaitu πΉ3 0.4450248589,14.76442048,18.80099436 sehingga diperoleh matriks
Jacobi
π΄ 0.4450248589 ,14.76442048 ,18.80099436 =
β12.38294729 0.4 β0.3115174012
0.2 β0.2129326144 07.520397744 0 β0.1880099436
kemudian mencari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik det π΄ βππΌ = 0
β12.38294729 β π 0.4 β0.3115174012
0.2 β0.2129326144 β π 07.520397744 0 β0.1880099436 β π
= 0
β12.38294729 β π β0.2129326144 β π β0.1880099436 β π β
0.2 0.4 β0.1880099436 β π + β0.3115174012 β0.2129326144 β
π 7.520397744 = 0
2.63673334 + 12.5958799π + π2 β0.1880099436 β π β 0.483803842 +
2.262734761π = 0
π3 + 12.78388984π2 + 7.267618771π + 0.979535928 = 0
dengan menggunakan bantuan software Maple13, didapatkan nilai eigen sebagai berikut :
π1 = β0.2139566640 < 0
π2 = β0.3754313090 < 0
π3 = β12.19450188 < 0
>> Pada saat kondisi π½2 < π½0
Pelinearan pada titik tetap πΉ2 π₯ , π¦ , 0
Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi π½2 < π½0, dapat menggunakan nilai
titik tetap yang telah diperoleh pada simulasi dengan nilai parameter π = 0.6, π = 1,
π = 0.01, πΎ = 40, πΏ = 40, π = 1, π1 = 0.2, π2 = 0.4, π½0 = 0.4, π½1 = 0.7, π½2 =
0.1 yaitu πΉ2 43.62267459, 31.68825945, 0 sehingga diperoleh matriks Jacobi
π΄(43.62267459 ,31.68825945 ,0) = β1.381133730 0.4 β30.53587221
0.2 β0.7506477835 00 0 4.372267459
35
kemudian mencari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik det π΄ βππΌ = 0
β1.381133730 β π 0.4 β30.53587221
0.2 β0.7506477835 β π 00 0 4.372267459 β π
= 0
β1.381133730 β π β0.7506477835 β π 4.372267459 β π β
0.4 0.2 4.372267459 β π = 0
4.372267459 β π π2 + 2.131781514 π + 0.956744973 = 0
Jadi, diperoleh nilai eigen sebagai berikut :
π1 = 4.372267459 > 0
π2 =β2.131781514 + (2.131781514 )2β4(0.956744973 )
2= β0.6423602004 < 0
π3 =β2.131781514 β (2.131781514 )2β4(0.956744973 )
2= β1.489421313 < 0
Pelinearan pada titik tetap πΉ3 π₯β, π¦β, π§β
Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi π½2 < π½0, dapat menggunakan nilai
titik tetap yang telah diperoleh pada simulasi dengan nilai parameter π = 0.6, π = 1, π =
0.01, πΎ = 40, πΏ = 40, π = 1, π1 = 0.2, π2 = 0.4, π½0 = 0.4, π½1 = 0.7, π½2 = 0.1
yaitu πΉ3 0.9058536189,14.18481090, 10.05853619 sehingga diperoleh matriks
Jacobi
π΄ 0.9058536189 ,14.18481090 ,10.05853619 =
β6.286268014 0.4 β0.6340975332
0.2 β0.2255443270 01.005853619 0 β0.1005853619
kemudian mencari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik det π΄ βππΌ = 0
β6.286268014 β π 0.4 β0.6340975332
0.2 β0.2255443270 β π 01.005853619 0 β0.1005853619 β π
= 0
β6.286268014 β π β0.2255443270 β π β0.1005853619 β π β
0.2 0.4 β0.1005853619 β π + β0.6340975332 β0.2255443270 β
π 1.005853619 = 0
1.417832089 + 6.511812341π + π2 β0.1005853619 β π β 0.13580744 +
0.557809298π = 0
π3 + 6.612397703π2 + 2.630634388π + 0.278420593 = 0
dengan menggunakan bantuan software Maple13, diperoleh nilai eigen sebagai berikut :
π1 = β6.195015069 < 0
π2 = β0.2086913169 + 0.03729097084 I
π3 = β0.2086913169 β 0.03729097084 I
36
Lampiran 5. Program Penentuan Orbit Kestabilan dan Solusi Model 1
Pada keadaan π½2 > π½0
>> Program gambar 3D ( Gambar 4)
>> Program orbit kestabilan bidang π₯π¦ ( Gambar 5)
>> Program orbit kestabilan bidang π₯π§ ( Gambar 6)
>> Program orbit kestabilan bidang π¦π§ ( Gambar 7)
37
>> Program dinamika populasi ketiga model terhadap waktu π‘ ( Gambar 8) dengan
menggunakan software Mathematica 7.0
r=1;
s=0.6;
1=0.2;
2=0.4;
K=40;
L=40;
0=0.4;
1=0.7;
2=0.7;
sol1=NDSolve[{x'[t]r*x[t](1-x[t]/K)-1*x[t]+2*y[t]-1*x[t]*z[t],y'[t]s*y[t](1- y[t]/L)+1*x[t]-2*y[t],z'[t]2*x[t]*z[t]-0*z[t],x[0]20,y[0]10, z[0]10}, {x[t], y[t], z[t]}, {t,0,50}];
{unresr,resr,pem}={x[t],y[t],z[t]}/.Flatten[sol1];
gbr3=Plot[pem,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","z"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,30}},ImageSize300];
gbr2=Plot[resr,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","y"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,30}},ImageSize300];
gbr1=Plot[unresr,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","x"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,30}},ImageSize300];
Show[{gbr1,gbr2,gbr3},AxesLabel{"t","x,y,z"},DisplayFunction$DisplayFunction,PlotRange{{0,50},{0,30}},ImageSize300]
Pada kasus π½2 = π½0 >> Program gambar 3D ( Gambar 9)
>> Program orbit kestabilan bidang π₯π¦ ( Gambar 10)
38
>> Program orbit kestabilan bidang π₯π§ ( Gambar 11)
>> Program orbit kestabilan bidang π¦π§ ( Gambar 12)
>> Program dinamika populasi ketiga model terhadap waktu π‘ ( Gambar 13) dengan
menggunakan software Mathematica 7.0
r=1;
s=0.6;
1=0.2;
2=0.4;
K=40;
L=40;
0=0.4;
1=0.7;
2=0.4;
sol1=NDSolve[{x'[t]r*x[t](1-x[t]/K)-1*x[t]+2*y[t]-1*x[t]*z[t],y'[t]s*y[t](1-y[t]/L)+1*x[t]-2*y[t],z'[t]2*x[t]*z[t]-0*z[t],x[0]20,y[0]10,z[0]10},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,50}];
{unresr,resr,pem}={x[t],y[t],z[t]}/.Flatten[sol1];
gbr3=Plot[pem,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","z"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,20}},ImageSize300];
gbr2=Plot[resr,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","y"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,20}},ImageSize300];
gbr1=Plot[unresr,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","x"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,20}},ImageSize300];
Show[{gbr1,gbr2,gbr3},AxesLabel{"t","x,y,z"},DisplayFunction$DisplayFunction,PlotRange{{0,50},{0,20}},ImageSize300]
39
Pada saat Keadaan π½2 < π½0 >> Program gambar 3D ( Gambar 14)
>> Program orbit kestabilan bidang π₯π¦ ( Gambar 15)
>> Program orbit kestabilan bidang π₯π§ ( Gambar 16)
>> Program orbit kestabilan bidang π¦π§ ( Gambar 17)
40
>> Program dinamika populasi ketiga model terhadap waktu π‘ ( Gambar 18) dengan
menggunakan software Mathematica 7.0
r=1;
s=0.6;
1=0.2;
2=0.4;
K=40;
L=40;
0=0.4;
1=0.7;
2=0.1;
sol1=NDSolve[{x'[t]r*x[t](1-x[t]/K)-1*x[t]+2*y[t]-1*x[t]*z[t],y'[t]s*y[t](1-y[t]/L)+1*x[t]-2*y[t],z'[t]2*x[t]*z[t]-0*z[t],x[0]20,y[0]10,z[0]10},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,50}];
{unresr,resr,pem}={x[t],y[t],z[t]}/.Flatten[sol1];
gbr3=Plot[pem,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","z"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,20}},ImageSize300];
gbr2=Plot[resr,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","y"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,20}},ImageSize300];
gbr1=Plot[unresr,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","x"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,20}},ImageSize300];
Show[{gbr1,gbr2,gbr3},AxesLabel{"t","x,y,z"},DisplayFunction$DisplayFunction,PlotRange{{0,50},{0,20}},ImageSize300]
41
Lampiran 6. Program Penentuan Orbit Kestabilan dan Solusi Model 2
Pada kasus π½2 > π½0 >> Program gambar 3D ( Gambar 19)
>> Program orbit kestabilan bidang π₯π¦ ( Gambar 20)
>> Program orbit kestabilan bidang π₯π§ ( Gambar 21)
>> Program orbit kestabilan bidang π¦π§ ( Gambar 22)
42
>> Program dinamika populasi ketiga model terhadap waktu π‘ ( Gambar 23) dengan
menggunakan software Mathematica 7.0
r=1;
s=0.6;
K=40;
L=40;
a=0.01;
1=0.2;
2=0.4;
0=0.4;
1=0.7;
2=0.7;
M=1;
sol2=NDSolve[{x'[t]r*x[t]*(1-x[t]/K)-1*x[t]+2*y[t]-1*x[t]*z[t],y'[t]s*y[t]*(1-y[t]/L)+1*x[t]-2*y[t],z'[t]a*z[t]*(1-z[t]/M)+2*x[t]*z[t],x[0]20,y[0]10,z[0]10},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,50}];
{unresr,resr,pem}={x[t],y[t],z[t]}/.Flatten[sol2];
gbr3=Plot[pem,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","z"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,30}},ImageSize300];
gbr2=Plot[resr,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","y"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,30}},ImageSize300];
gbr1=Plot[unresr,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","x"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,30}},ImageSize300];
Show[{gbr1,gbr2,gbr3},AxesLabel{"t","x,y,z"},DisplayFunction$DisplayFunction,PlotRange{{0,50},{0,30}},ImageSize300]
Pada kasus π½2 = π½0 >> Program gambar 3D ( Gambar 24)
43
>> Program orbit kestabilan bidang π₯π¦ ( Gambar 25)
>> Program orbit kestabilan bidang π₯π§ ( Gambar 26)
>> Program orbit kestabilan bidang π¦π§ ( Gambar 27)
>> Program dinamika populasi ketiga model terhadap waktu π‘ ( Gambar 28) dengan
menggunakan software Mathematica 7.0
r=1;
s=0.6;
K=40;
L=40;
a=0.01;
1=0.2;
2=0.4;
0=0.4;
1=0.7;
2=0.4;
M=1;
sol2=NDSolve[{x'[t]r*x[t]*(1-x[t]/K)-1*x[t]+2*y[t]-1*x[t]*z[t],y'[t]s*y[t]*(1-y[t]/L)+1*x[t]-2*y[t],z'[t]a*z[t]*(1-z[t]/M)+2*x[t]*z[t],x[0]20,y[0]10,z[0]10},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,50}];
44
{unresr,resr,pem}={x[t],y[t],z[t]}/.Flatten[sol2];
gbr3=Plot[pem,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","z"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,25}},ImageSize300];
gbr2=Plot[resr,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","y"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,25}},ImageSize300];
gbr1=Plot[unresr,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","x"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,25}},ImageSize300];
Show[{gbr1,gbr2,gbr3},AxesLabel{"t","x,y,z"},DisplayFunction$DisplayFunction,PlotRange{{0,50},{0,20}},ImageSize300]
Pada kasus π½2 < π½0
>> Program gambar 3D ( Gambar 29)
>> Program orbit kestabilan bidang π₯π¦ ( Gambar 30)
>> Program orbit kestabilan bidang π₯π§ ( Gambar 31)
>> Program orbit kestabilan bidang π¦π§ ( Gambar 32)
45
>> Program dinamika populasi ketiga model terhadap waktu π‘ ( Gambar 33) dengan
menggunakan software Mathematica 7.0
r=1;
s=0.6;
K=40;
L=40;
a=0.01;
1=0.2;
2=0.4;
0=0.4;
1=0.7;
2=0.1;
M=1;
sol2=NDSolve[{x'[t]r*x[t]*(1-x[t]/K)-1*x[t]+2*y[t]-1*x[t]*z[t],y'[t]s*y[t]*(1-y[t]/L)+1*x[t]-2*y[t],z'[t]a*z[t]*(1-z[t]/M)+2*x[t]*z[t],x[0]20,y[0]10,z[0]10},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,50}];
{unresr,resr,pem}={x[t],y[t],z[t]}/.Flatten[sol2];
gbr3=Plot[pem,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","z"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,20}},ImageSize300];
gbr2=Plot[resr,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","y"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,20}},ImageSize300];
gbr1=Plot[unresr,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","x"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,20}},ImageSize300];
Show[{gbr1,gbr2,gbr3},AxesLabel{"t","x,y,z"},DisplayFunction$DisplayFunction,PlotRange{{0,50},{0,20}},ImageSize300]