simulasi peluang ruin dengan suku premi tidak …repository.ub.ac.id/4782/1/bintang fajar.pdf ·...
TRANSCRIPT
i
SIMULASI PELUANG RUIN
DENGAN SUKU PREMI TIDAK KONSTAN
MENGGUNAKAN DUAL DARI FUNGSI SURPLUS
SKRIPSI
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains dalam bidang matematika
oleh:
BINTANG FAJAR
135090407111010
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
MALANG
2017
ii
iii
LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI
SIMULASI PELUANG RUIN
DENGAN SUKU PREMI TIDAK KONSTAN
MENGGUNAKAN DUAL DARI FUNGSI SURPLUS
Disusun Oleh:
BINTANG FAJAR
135090407111010
Setelah dipertahankan di depan Majelis Penguji
pada tanggal 07 Agustus 2017
dan dinyatakan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains dalam bidang Matematika
Pembimbing
Dra. Endang Wahyu Handamari, M. Si
NIP. 196611121991032001
Mengetahui,
Ketua Jurusan Matematika
Fakultas MIPA Universitas Brawijaya
Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si.,M.Si.,Ph.D
NIP. 197509082000031003
iv
v
LEMBAR PERNYATAAN
Saya yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama : Bintang Fajar
NIM : 135090407111010
Jurusan : Matematika
Judul Skripsi : SIMULASI PELUANG RUIN
DENGAN SUKU PREMI TIDAK
KONSTAN MENGGUNAKAN DUAL
DARI FUNGSI SURPLUS
Dengan ini menyatakan bahwa:
1. isi Skripsi yang saya buat adalah benar-benar karya sendiri
dan tidak menjiplak karya orang lain, selain nama- nama
yang termaktub di isi dan tertulis di Daftar Pustaka dalam
Skripsi ini.
2. Apabila di kemudian hari ternyata Skripsi yang saya tulis
terbukti hasil jiplakan, maka saya bersedia menanggung
segala risiko yang akan saya terima.
Demikian pernyataan ini dibuat dengan segala kesadaran.
Malang,
Yang menyatakan,
Bintang Fajar
NIM. 135090407111010
vi
vii
SIMULASI PELUANG RUIN
DENGAN SUKU PREMI TIDAK KONSTAN
MENGGUNAKAN DUAL DARI FUNGSI SURPLUS
ABSTRAK
Mengestimasi peluang ruin dimana terdapat faktor bunga yang
bekerja pada premi, dapat digunakan dual dari fungsi surplus yaitu
fungsi kerugian. Fungsi kerugian dibuat dengan cara menegatifkan
fungsi surplus. Untuk mengestimasi peluang ruin dapat dilakukan
dengan cara mensimulasikan fungsi kerugian. Nilai dari fungsi
kerugian dibuat selalu positif atau bernilai nol saat nilainya negatif.
Melalui metode ini peluang ruin dapat dicari tanpa khawatir nilai dari
proses kerugian menuju ke negatif tak hingga. Peningkatan bunga
tidak mengakibatkan penurunan nilai peluang ruin. Penambahan nilai
modal awal memiliki pengaruh yang signifikan dalam penurunan
peluang ruin.
Kata kunci : Peluang ruin, fungsi surplus, dual.
viii
ix
THE SIMULATION OF RUIN PROBABILITY
WITH UNCONSTANT PREMIUM RATE
USING DUAL OF SURPLUS FUNCTION
ABSTRACT
Estimating the ruin probability which there is interest working on the
premium, dual function of the surplus function, loss function, can be
used. Loss function is formed from the negation of the surplus
function. Estimating the ruin probability can be done by simulating
the loss function. The amount of loss function is always positive, in
the other hand the amount is zero when its amount becomes negative.
Using this methods, the ruin probability can be found without
worrying that the amount of loss function goes to minus infinity. The
increasing of the intereset rate don’t affect in decreasing the ruin
probability. Initial fund gives significant effect in decreasing the
probability of ruin.
Keywords : Ruin probability, surplus function, duality.
x
xi
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan kasih
dan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul “SIMULASI PELUANG RUIN DENGAN NILAI
PREMI TIDAK KONSTAN MENGGUNAKAN DUAL DARI
FUNGSI SURPLUS” tepat pada waktunya. Penulisan skripsi ini
dilakukan dalam rangka memenuhi salah satu syarat untuk
memperoleh gelar Sarjana pada program studi Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Brawijaya.
Penulisan Skripsi ini tidak lepas dari bantuan, bimbingan, dan
dukungan dari banyak pihak. Oleh karena itu, penulis
menyampaikan terima kasih kepada:
1. Dra. Endang Wahyu Handamari, M.Si. selaku Dosen
Pembimbing Skripsi atas bimbingan, arahan, saran dan kesabaran
yang telah diberikan selama penyusunan skripsi ini.
2. Prof. Dr. Agus Widodo, M.Kes dan Drs. Imam Nurhadi Purwanto,
MT selaku Dosen Penguji, atas segala kritik dan saran yang telah
diberikan untuk perbaikan Skripsi ini.
3. Vira Hari Krisnawati, S.Si., M.Sc selaku Dosen Penasehat
Akademik yang selalu memberikan motivasi dan nasihat selama
penulis menjadi mahasiswa di Universitas Brawijaya.
4. Ratno Bagus Edy Wibowo S.Si., M.Si., Ph.D. selaku Ketua
Jurusan Matematika dan Dr. Isnani Darti, S.Si., M.Si. selaku
Ketua Program Studi Matematika atas segala bantuan yang
diberikan.
5. Seluruh dosen Matematika FMIPA Universitas Brawijaya yang
telah memberikan bekal dan ilmu pengetahuan serta staff
administrasi dan karyawan Jurusan Matematika atas segala
bantuannya.
6. Keluarga yang selalu memberikan cinta kasih, motivasi,
semangat, dukungan serta doa kepada penulis.
7. Teman-teman Matematika 2013 yang sangat luar biasa selama
bersama-sama menempuh program studi Matematika Universitas
Brawijaya dan yang juga memberikan dukungan, motivasi, dan
semangat selama penulisan skripsi ini.
xii
8. Teman-teman dari luar jurusan matematika yang telah memberi
motivasi dan semangat.
9. Semua pihak yang telah membantu selama proses perkuliahan
program studi Matematika FMIPA Universitas Brawijaya yang
tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih
terdapat kekurangan, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan
saran dari semua pihak. Kritik dan saran dapat dikirim melalui
email penulis [email protected]. Semoga skripsi ini dapat
bermanfaat bagi pembaca khususnya mahasiswa Matematika
Universitas Brawijaya.
Malang,
Penulis
xiii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ........................................................................ i LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI ........................................... iii LEMBAR PERNYATAAN ............................................................. v ABSTRAK ..................................................................................... vii ABSTRACT ..................................................................................... ix KATA PENGANTAR .................................................................... xi DAFTAR ISI ................................................................................. xiii DAFTAR GAMBAR ..................................................................... xv DAFTAR TABEL ........................................................................ xvii BAB I ................................................... Error! Bookmark not defined.
1.1 Latar Belakang ...................... Error! Bookmark not defined.
1.2 Rumusan Masalah ................. Error! Bookmark not defined.
1.3 Asumsi .................................. Error! Bookmark not defined.
1.4 Tujuan ................................... Error! Bookmark not defined.
BAB II ................................................. Error! Bookmark not defined. 2.1 Peubah Acak .......................... Error! Bookmark not defined.
2.1.1 Ekspektasi.......................... Error! Bookmark not defined.
2.1.2 Variansi .............................. Error! Bookmark not defined.
2.1.3 Fungsi pembangkit momen. Error! Bookmark not defined.
2.2 Proses Stokastik ..................... Error! Bookmark not defined.
2.2.1 Proses Poisson ................... Error! Bookmark not defined.
2.2.2 Proses Poisson majemuk.... Error! Bookmark not defined.
2.2.3 Rantai Markov ................... Error! Bookmark not defined.
2.2.3.1 Distribusi stasioner ....... Error! Bookmark not defined.
2.2.3.2 Rata-rata kunjungan pada keadaan stasioner ...... Error!
Bookmark not defined.
2.3 Hukum Bilangan Besar (Kuat)Error! Bookmark not defined.
2.4 Model Risiko Kolektif ........... Error! Bookmark not defined.
2.5 Model Ruin Klasik ................ Error! Bookmark not defined.
2.5.1 Model ruin untuk waktu diskrit ........ Error! Bookmark not
defined.
2.6 Force of Interest .................... Error! Bookmark not defined.
xiv
2.7 Dualitas ................................. Error! Bookmark not defined.
2.7.1 Dualitas pada fungsi surplusError! Bookmark not defined.
2.8 Penentuan Distribusi StasionerError! Bookmark not defined.
2.9 Relative Security Loading ...... Error! Bookmark not defined.
BAB III ................................................ Error! Bookmark not defined. 3.1 Jenis Penelitian ...................... Error! Bookmark not defined.
3.2 Sumber Data .......................... Error! Bookmark not defined.
3.3 Metode Penelitian .................. Error! Bookmark not defined.
3.4 Analisis Data ......................... Error! Bookmark not defined.
3.5 Diagram Alir.......................... Error! Bookmark not defined.
BAB IV ................................................ Error! Bookmark not defined. 4.1 Fungsi Surplus dengan Premi Tidak Konstan .............. Error!
Bookmark not defined.
4.2 Fungsi Surplus dan Fungsi Sediaan ..... Error! Bookmark not
defined.
4.3 Pembuktian Dualitas .............. Error! Bookmark not defined.
4.4 Simulasi ................................. Error! Bookmark not defined.
BAB V ................................................. Error! Bookmark not defined. 5.1 Kesimpulan ............................ Error! Bookmark not defined.
5.2 Saran ...................................... Error! Bookmark not defined.
DAFTAR PUSTAKA ......................... Error! Bookmark not defined.
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Ilustrasi fungsi surplus ............................................... 15
Gambar 2.2 Grafik untuk mendefinisikan ..................... 17
Gambar 2.3 Ilustrasi grafik H(t) dan L(t) ............................................... 21
Gambar 3.1 Diagram alir penelitian ....................................................... 25
Gambar 4.1 Ilustrasi grafik U(t) dan X(t) ............................................... 28
xvi
xvii
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Hasil simulasi perhitungan peluang ruin dengan tingkat
bunga berbeda............................................................... 32
Tabel 4.2 Hasil simulasi perhitungan peluang ruin dengan modal
awal berbeda ................................................................. 33
Tabel 4.3 Prosentase penurunan peluang ruin dengan tingkat bunga
berbeda ......................................................................... 34
Tabel 4.4 Prosentase penurunan peluang ruin dengan modal awal
berbeda ......................................................................... 34
18
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari hari sering dihadapi hal-hal yang
tidak pasti. Ketidakpastian tersebut seringkali menyebabkan suatu
kerugian pada kehidupan, misalnya adalah terjadinya kecelakaan
atau kematian. Maka dari itu, diperlukan rencana antisipasi untuk
mengurangi dampak yang ditimbulkan apabila timbul suatu kerugian.
Salah satu cara untuk mengantisipasi kerugian tersebut adalah
dengan mengikuti suatu asuransi.
Dengan mengikuti program asuransi berarti seseorang setuju
untuk membayarkan sejumlah uang kepada pihak asuransi dan
menyetujui kontrak asuransi dan menjadi pemegang polis. Suatu
dana santunan akan diberikan oleh pihak asuransi apabila terjadi
suatu kerugian yang menimpa pemegang polis. Saat hal tersebut
terjadi, maka pemegang polis berhak untuk mengajukan klaim
kepada pihak asuransi atas dana sesuai dengan kontrak asuransi yang
telah disetujui.
Dari sudut pandang pihak perusahaan asuransi, dengan
menyetujui kontrak asuransi dengan pemegang polis berarti
perusahaan asuransi setuju untuk menanggung risiko yang mungkin
dialami pemegang polis. Perusahaan asuransi akan menerima
pemasukan dari premi yang dibayarkan pemegang polis, dan
perusahaan asuransi harus memberikan santunan jika terdapat
pemegang polis yang mengajukan klaim. Jumlah dan waktu dari
klaim yang diajukan oleh pemegang polis tidak dapat diketahui
dengan pasti.
Untuk meminimalkan risiko pada perusahaan asuransi, sangat
penting untuk mengetahui peluang ruin. Ruin adalah keadaan dimana
perusahaan asuransi mengalami kerugian untuk pertama kali.
Terdapat beberapa cara menghitung peluang ruin, metode yang
paling dasar adalah dengan metode ruin klasik. Anugerah Rizki I
pada tahun 2007 melakukan penelitian tentang perhitungan peluang
ruin dengan menggunakan fungsi surplus, atau menggunakan model
ruin klasik. Francois Dufrense dan Hans U. Gerber menuliskan tiga
metode perhitungan ruin pada artikelnya yang berjudul Three
2
Methods to calculate the Probability of Ruin. Metode yang
dijelaskan antara lain metode upper and lower bound, metode
dengan distribusi kombinasi eksponensial, serta yang terakhir adalah
dengan simulasi. Arif Edi Nugroho pada tahun 2009, berdasarkan
artikel dari Gerber dan Dufrense melakukan penelitian tentang
perhitungan peluang ruin menggunakan metode batas atas dan batas
bawah. Selain itu pada tahun 2014, Karmila dkk. Melakukan
penelitian tentang perhitungan peluang ruin menggunakan metode
kombinasi eksponensial. Metode-metode yang diajukan oleh Gerber
dan Dufrense digunakan untuk menghitung peluang ruin dengan
asumsi premi yang diterima pihak asuransi bernilai konstan. Pada
kenyataannya sistem keuangan menerapkan sistem bunga, hal ini
menyebabkan nilai premi tidak konstan.
Skripsi ini akan mengulas kembali pengaruh bunga dan
modal awal terhadap pendekatan peluang ruin melalui simulasi.
Rujukan utama yang digunakan dalam skripsi ini adalah artikel oleh
Frederic Michaud pada tahun 1996 dengan judul Estimating the
Probability of Ruin for Variable Premiums by Simulation. Pada
artikel tersebut dibahas dual dari fungsi surplus yang menyerupai
fungsi sediaan dan digunakan untuk mengestimasi nilai peluang ruin.
Estimasi dilakukan dengan cara melakukan simulasi dengan satu
tingkat bunga. Terdapat dua ilustrasi yang menyebabkan nilai
preminya tidak konstan, yaitu saat bunga dikenakan pada fungsi
surplus, dan nilai premi dihitung per layer.Pada skripsi ini akan
digunakan beberapa nilai tingkat bunga dan beberapa nilai modal
awal untuk mengestimasi peluang ruin.
1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalah pada skripsi ini adalah:
1. Bagaimana mengestimasi peluang ruin dengan nilai premi tidak
konstan menggunakan metode dual melalui metode simulasi?
2. Bagaimanakah pengaruh bunga terhadap peluang ruin melalui
metode simulasi?
3. Bagaimanakah pengaruh modal awal terhadap peluang ruin
melalui metode simulasi?
3
1.3 Asumsi
Asumsi yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah:
1. Diasumsikan pada perusahaan asuransi hanya terjadi pembayaran
premi dan pengajuan klaim.
2. Diasumsikan premi yang diinvestasikan pada perusahaan asuransi
mendapatkan bunga.
3. Diasumsikan Model waktu yang digunakan adalah model waktu
diskrit.
4. Diasumsikan besar klaim dan waktu antar klaim berdistribusi
Poisson.
1.4 Tujuan
Tujuan penulisan skripsi ini adalah:
1. Menjelaskan metode mengestimasi peluang ruin dengan nilai
premi tidak konstan menggunakan metode dual melalui metode
simulasi.
2. Mengetahui pengaruh bunga terhadap peluang ruin melalui
metode simulasi.
3. Mengetahui pengaruh modal awal terhadap peluang ruin melalui
metode simulasi.
4
1
BAB II
DASAR TEORI
2.1 Peubah Acak
Peubah acak adalah suatu fungsi bernilai riil yang
didefinisikan pada suatu ruang sampel. Contohnya pada suatu
percobaan, maka akan terdapat fungsi dari hasil percobaan dan hasil
percobaan sebenarnya. Karena nilai dari suatu peubah acak
ditentukan dari hasil percobaan, maka dibentuk peluang-peluang
kemungkinan dari nilai-nilai peubah acak.
Suatu peubah acak memiliki fungsi kepadatan peluang,
dinotasikan p(x), yaitu menyatakan besarnya peluang pada suatu
ruang sampel. Selain itu juga terdapat fungsi distribusi kumulatif
( ) * +
Menyatakan untuk semua nilai riil x, peluang nilai dari peubah acak
adalah kurang dari sama dengan x.
2.1.1 Ekspektasi
Salah satu konsep penting dalam teori peluang adalah nilai
ekspektasi. Misalkan X adalah suatu peubah acak dengan fungsi
kepadatan peluang p(x), maka nilai ekspektasinya dinotasikan
dengan E[X] didefinisikan sebagai
, - ∑ ( ) ( ) ,
untuk peubah acak diskrit, dan untuk peubah acak kontinu
didefinisikan sebagai berikut
, - ∫ ( )
.
Nilai ekspektasi dari X adalah rata rata nilai kemungkinan yang
dapat dimuat oleh X.
2
2.1.2 Variansi
Diberikan suatu peubah acak X dengan fungsi distribusi F.
Untuk mengetahui sifat-sifat dari peubah acak dibutuhkan suatu
ukuran yang cocok. Ekspektasi merupakan salah satu ukuran yang
dapat digunakan untuk mengetahui sifat peubah acak, namun
ekspektasi tidak menjelaskan tentang variasi atau sebaran data dari
suatu peubah acak.
Variansi digunakan untuk mengetahui seberapa jauh sebaran
nilai-nilai X dari nilai rata ratanya. Variansi didefinisikan sebagai
( ) ,( ) - atau
( ) , - , - ,
dengan X merupakan suatu peubah acak dengan rata-rata .
2.1.3 Fungsi pembangkit momen
Fungsi pembangkit momen ( ) dari peubah acak X, jika ada
didefinisikan untuk setiap nilai riil dari t sebagai berikut
( ) , - . (2.1)
( ) disebut fungsi pembangkit momen karena semua momen dari
X dapat diperoleh dengan menurunkan ( ) dan mengevaluasi
hasilnya pada .
(Ross, 2010)
2.2 Proses Stokastik
Proses stokastik * ( ) + merupakan kumpulan dari
peubah acak, yaitu untuk setiap t pada indeks T, G(t) merupakan
peubah acak. Biasanya diinterpretasikan t sebagai waktu, dan G(t)
adalah keadaan proses pada waktu t. Indeks T dibedakan menjadi dua,
jika T merupakan deretan yang dapat dihitung maka G disebut
proses stokastik waktu diskrit, dan jika T merupakan suatu deretan
yang kontinu maka G disebut proses stokastik waktu kontinu.
Dalam proses stokastik terdapat kenaikan bebas dan kenaikan
stasioner. Kenaikan bebas yaitu bila kejadian-kejadian yang terjadi
3
pada interval yang berbeda dan tidak beririsan pada suatu proses
stokastik dengan parameter kontinu * ( ) + adalah bebas.
Suatu proses stokastik berparameter kontinu * ( ) + memiliki
kenaikan stasioner bila ( ) ( ) memiliki distribusi
yang sama dengan ( ) ( ) untuk setiap nilai s dan t, namun
tidak pada suatu nilai tertentu s.
(Ross, 1996)
2.2.1 Proses Poisson
Suatu fungsi f dikatakan sebagai ( ) jika
( )
Yaitu untuk nilai h yang kecil, nilai dari ( ) lebih kecil. Diketahui
suatu kejadian terjadi pada suatu waktu yang acak, dan ( ) merupakan banyaknya kejadian yang terjadi pada suatu interval , -. Kumpulan peubah acak * ( ) + merupakan Proses Poisson
dengan parameter , , jika
i. ( ) .
ii. Kejadian yang terjadi pada interval waktu yang tidak
beririsan saling bebas.
iii. Distribusi banyaknya kejadian pada suatu interval waktu
hanya bergantung pada lamanya interval waktu tersebut,
tidak bergantung pada letaknya.
iv. Peluang kemunculan tepat satu kejadian dalam interval h
adalah ( ) , yaitu bahwa , ( ) - ( ) .
v. Peluang kemunculan lebih dari satu kejadian dalam suatu
interval h adalah ( ), yaitu bahwa , ( ) - ( ). Poin (i) menyatakan bahwa proses dimulai pada waktu . Poin
(ii) menyatakan kenaikan bebas, dan poin (iii) menyatakan kenaikan
stasioner.
Lemma 2.2.1
Untuk Proses Poisson dengan parameter λ
* ( ) +
Bukti
Diberikan ( ) * ( ) +, sehingga
4
( ) * ( ) + * ( ) ( ) ( ) + * ( ) + * ( ) ( ) + ( ), ( )- ,
dengan demikian
( ) ( )
( )
( )
Dan
( ) ( )
( )
Sehingga
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) .
Karena ( ) ( ( ) ) , maka ( ( ) ) ,
artinya: peluang tidak ada kejadian hingga waktu t adalah atau
* ( ) +
Untuk
( ) * ( ) + * ( ) ( ) ( ) +
* ( ) ( ) ( ) +
* ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
dengan demikian
5
( ) ( )
( ) ( )
( )
dan
( ) ( )
( )
sehingga
( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) ( )
. ( )/ ( ).
Ketika n=1 diperoleh
. ( )/ dan
( ) ( )
karena ( ) maka , sehingga terdapat satu kejadian
hingga waktu t adalah ( ) . Maka secara umum dapat
dirumuskan
( ) ( )
(Ross, 2010)
2.2.2 Proses Poisson majemuk
Suatu proses stokastik * ( ) + disebut Proses Poisson
majemuk jika untuk
( ) ∑
( )
dimana * ( ) + merupakan proses Poisson, dan * }
merupakan distribusi peubah acak yang bersifat independen dan
identik serta bebas dari proses * ( ) + . Sehingga jika
6
* ( ) + merupakan proses Poisson majemuk, maka ( ) merupakan peubah acak Poisson.
Contoh dari proses Poisson majemuk, dimisalkan waktu
kedatangan pengunjung pada suatu toko mengikuti distribusi Poisson
dengan parameter λ. Selain itu, jumlah uang yang akan dibelanjakan
oleh masing-masing pengunjung juga membentuk sautu peubah acak
yang bersifat independen dan identik yang bebas terhadap waktu
kedatangan pengunjung.
2.2.3 Rantai Markov
Diberikan suatu barisan peubah acak dan
nilai yang mungkin dari peubah acak adalah {0,1,2,...,M}.
diinterpretasikan sebagai keadaan suatu sistem pada waktu n, dan
keadaan suatu sistem tersebut adalah i pada waktu n jika . Suatu barisan peubah acak membentuk suatu Rantai Markov jika
setiap sistem berada di keadaan i, terdapat suatu peluang , yaitu
selanjutnya sistem akan berada di keadaan j. Sehingga untuk semua
berlaku
* | +
Dengan disebut sebagai peluang transisi
dari Rantai markov, dimana
∑
terpenuhi. Akan sangat memudahkan untuk menyusun suatu peluang
transisi dari Rantai Markov menjadi suatu matriks persegi
[
]
disebut matriks transisi. Notasi untuk peluang transisi dari keadaan i
menuju keadaan j dalam n langkah adalah didefinisikan sebagai
* | +
7
Sehingga untuk n langkah matriks transisi dilakukan sebanyak n
faktor dari P, atau
Selain itu juga terdapat suatu kondisi awal Rantai Markov
( ) ( ) ∑ ( )
dengan merupakan suatu vektor baris yang menyatakan peluang
peluang dari suatu keadaan yang nantinya dapat berpindah atau tetap
pada keadaan tersebut bergantung pada matriks transisinya
2.2.3.1 Distribusi stasioner
Jika diketahui Rantai Markov dengan ruang keadaan S dan
matriks transisi P, terdapat distribusi dari keadaan dimana
dan
∑
disebut sebagai distribusi stasioner.
2.2.3.2 Rata-rata kunjungan pada keadaan stasioner
Diberikan suatu keadaan awal suatu rantai Markov merupakan
distribusi stasioner dengan peluang transisi
( )
Setiap transisi akan berpindah antara satu langkah ke kanan atau
satu langkah ke kiri. Maka, rantai Markov akan berada pada kondisi
awal yaitu pada keadaan stasioner setelah melakukan langkah genap.
Dengan kata lain ( ) untuk n bilangan ganjil, dan
( ) ( )
tidak berlaku.
8
Berdasarkan ilustrasi tersebut, diberikan merupakan
suatu deret bilangan. Jika
(2.2)
untuk L merupakan suatu bilangan berhingga, maka
∑
(2.3)
Berdasarkan (2.2) dan (2.3) akan ditunjukkan bahwa
∑
( )
ada untuk setiap pasangan keadaan x, y pada sebarang rantai Markov.
Mengingat kembali
( ) {
dan
. ( )/ ( ) ( )
Dengan . ( )/ menyatakan ekspektasi transisi dari keadaan x
menuju keadaan y dalam n langkah. Selanjutnya diberikan
( ) ∑ ( )
dan
( ) ∑ ( )
( ) menyatakan jumlah kunjungan pada keadaan y selama waktu
m=1,2,3,...,n, dan nilai ekspektasinya adalah
( ( )) ( )
9
Dimisalkan y merupakan keadaan sementara, maka
( ) ( )
dengan peluang satu, dan
( ) ( )
Maka dari itu
( )
dengan peluang satu, dan
( )
Perhatikan bahwa ( )
merupakan suatu bagian dari n unit waktu
pertama rantai Markov berada di state y dan ( )
menyatakan
ekspektasi dari waktu suatu rantai markov berada di keadaan y.
Dimisalkan y adalah kondisi berulang, dan ( )
menyatakan mean return time menuju keadaan y dari suatu rantai
dimulai dari keadaan y jika memiliki nilai ekspektasi yang positif,
jika tidak maka Diberikan ( ) menyatakan peubah
acak yang bernilai 1 jika dan 0 jika .
2.3 Hukum Bilangan Besar (Kuat)
Diberikan merupakan suatu barisan peubah acak yang
independen dan identik. Jika peubah acak tersebut memiliki rata-rata
yang berhingga , maka
dengan peluang satu. Jika peubah acak tersebut tidak negatif dan
tidak memiliki nilai ekspektasi yang berhingga, limit di atas tetap
terpenuhi, dan diasumsikan .
10
Teorema 2.3
Diberikan y merupakan kondisi stasioner. Maka
( )
* +
dengan peluang satu, dan
( )
menyatakan bahwa keadaan y akan tercapai jika proses berawal
dari keadaan x.
Saat sebuah rangkaian mencapai y, rangkaian tersebut kembali
ke y dengan rata-rata setiap my satuan waktu. Sehingga jika
dan n adalah bilangan yang besar, dari sebanyak n satuan waktu,
rangkaian kejadian berada pada keadaan y adalah ⁄
Akibat wajar dari Teorema 2.3 adalah, diberikan C
merupakan himpunan tertutup tak tereduksi dari suatu kondisi
berulang, maka
( )
dan jika ( ) , maka dengan peluang satu
( )
Jika maka
, dan
( )
.
(Hoel,Port and Stone, 1972)
2.4 Model Risiko Kolektif
Model risiko kolektif merupakan model risiko dimana pada
suatu portofolio terdapat beberapa polis asuransi, dan setiap polis
11
pada portofolio tersebut terdapat kemungkinan mengajukan lebih
dari satu kali klaim (jumlahnya tidak diketahui) pada suatu periode
asuransi. Secara umum dapat diformulasikan sebagai berikut
. (2.4)
Dengan S menyatakan klaim agregasi pada suatu periode, N
menyatakan Jumlah klaim yang dihasilkan dari portofolio polis pada
suatu periode, dan WN menyatakan Besar klaim ke-N, dengan
N=1,2,3,...,n.
N merupakan peubah acak dan merupakan kumpulan dari
frekuensi klaim. W1, W2, W3, ... XN adalah peubah acak dan disebut
measure the severity of claims. Diasumsikan W1, W2, W3, ... WN
bersifat identik dan saling bebas.
(Riaman dkk., 2013)
2.5 Model Ruin Klasik
Diberikan U(t) adalah surplus pada waktu t dengan U(0)
adalah modal awal sebesar u, c(t) adalah premi yang didapatkan
hingga waktu t, dan S(t) adalah klaim agregasi hingga waktu t. Maka
fungsi surplus (U(t)) adalah
( ) ( ) ( )
Dengan asumsi premi yang didapatkan konstan, grafik dari fungsi
surplus ditunjukkan pada Gambar 2.1 berikut.
Gambar 2.1. Ilustrasi fungsi surplus U(t)
Seperti yang terlihat pada Gambar 2.1, nilai surplus akan
bernilai negatif pada suatu waktu tertentu. Saat hal ini terjadi untuk
12
pertama kali, kejadian ini disebut keadaan ruin dan didefinisikan
sebagai
* ( ) +,
yang merupakan waktu terjadinya ruin dengan pengertian bahwa
jika U(t) 0 untuk semua t. Sehingga peluang terjadinya ruin
adalah
( ) ( )
2.5.1 Model ruin untuk waktu diskrit
Diberikan Un adalah surplus pada waktu ke-n, dengan
n=0,1,2,3, ... . Maka seperti yang telah diketahui, fungsi surplus pada
waktu ke-n adalah
(2.5)
Dengan u adalah modal awal. Premi yang diterima setiap periode
konstan dinotasikan dengan c. Sn merupakan klaim agregasi selama n
periode. Selanjutnya didefinisikan
(2.6)
Dengan Wi adalah peubah acak yang menyatakan besar klaim pada
periode ke-i, dan W1, W2, ... bersifat independen identik dengan
, - Dengan mensubstitusikan (2.6) ke (2.5) maka Un
dapat dinyatakan sebagai
( ) ( ) ( )
Selanjutnya didefinisikan
* +
menyatakan waktu terjadinya ruin, dengan anggapan jika
Un 0 untuk semua n. Maka peluang ruin dalam konteks ini
didefinisikan sebagai
( ) ( ).
13
Terdapat hubungan yang penting antara peluang ruin dengan
adjustment coefficient. Di mana adjustment coefficient ( ) didefinisikan sebagai solusi positif dari persamaan
( ) [ ( )] ( )
atau ( ) . (2.7)
Untuk menunjukkan keberadaan dari akan ditunjukkan pada
grafik dari ( ) seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.2
dapat ditelusuri dengan mengamati bahwa
[ ( )] ,( ) ( ) dan
[ ( )] ,( ) ( )
Gambar 2.2. Grafik ( ) untuk mendefinisikan .
Pada Gambar 2.2 ditunjukkan bahwa kemiringan pada saat
adalah , merupakan suatu nilai yang negatif, serta
grafiknya menghadap ke atas. Jika diberikan W memiliki peluang
untuk melebihi nilai c, pada turunan pertama, untuk nilai r yang
cukup besar W menjadi positif dan tetap positif. Maka dari itu
ditunjukkan pada Gambar 2.2, , ( )- memiliki nilai minimum
14
dan (2.7) memiliki sebuah akar positif. Akar positif ini disebut
adjustment coefficient.
Sebagai contoh, diketahui suatu klaim memiliki distribusi
normal ( ). Sebagaimana diketahui fungsi pembangkit momen
dari distribusi normal adalah ( )
. Berdasarkan (2.7)
nilai dari dapat dicari dengan cara sebagai berikut
, ( )-
[
]
(2.8)
Sehingga solusi positif dari (2.6) adalah
( )
Secara umum peluang ruin dapat diperoleh dengan menggunakan
teorema 2.5.1 berikut
Teorema 2.5.1
Diberikan Un = u + nc – ∑ untuk n= 0,1,2,... dan W1, W2, ...
independen identik dengan , - . Untuk U 0 , maka
( ) ( )
, ( ) | - .
(Bowers dkk., 1986)
2.6 Force of Interest
Suatu investasi dana dimana pada waktu t jumlahnya diberikan
pada fungsi A(t), yaitu suatu intensitas dimana bunga i beroperasi
pada suatu dana dalam waktu pembungaan. Satu-satunya faktor yang
yang beroperasi pada dana adalah pertumbuhan dana melalui bunga,
dengan catatan tidak ada dana pokok yang ditambahkan atau ditarik.
Intensitas dimana bunga beroperasi pada waktu t dihitung
dengan laju perubahan atau kemiringan dari fungsi A(t) pada waktu t.
15
Pada kalkulus dasar, kemiringan pada fungsi A(t) pada waktu t
didapatkan dengan menghitung turunan pada titik tersebut.
Namun dalam perhitungan bunga, A’(t) tidak memuaskan,
karena perhitungan bunga bergantung pada besarnya jumlah yang
diinvestasikan. Misalkan suatu dana sebesar 100 dan 200
diinvestasikan dalam kondisi yang sama, tingkat perubahan dana
sebesar 200 akan dua kali lebuh besar dibandingkan dana sebesar
100. Namun bunga tidak beroperasi dengan intensitas dua kali lebih
besar pada dana sebesar 200. Bunga pada kedua dana adalah sama
karena kedua dana baik 100 dan 200 diinvestasikan pada kondisi
yang sama.
Untuk mendapatkan intensitas bunga yang beroperasi pada
waktu t sebagai suatu tingkat pertumbuhan yang independen dari
besarnya dana awal, dapat dilakukan dengan membagi A’(t) dengan
besarnya dana pada waktu t atau A(t). Dengan demikian, percepatan
pembungaan pada waktu t, dinotasikan dengan , didefinisikan
sebagai berikut
( )
( )
( )
( ) atau
( )
( )
Maka dengan mengintegralkan kedua sisi dengan batas 0 dan t
diperoleh
∫
∫
( )
( )|
( )
( )
Sehingga
∫
( )
( )
( )
( ) ( )
Dengan ( ) ( ) , dapat dinyatakan dalam i, diperoleh
16
( ) ( ) ∫
dengan sifat dari t adalah sebagai berikut:
1. adalah suatu ukuran intensitas bunga tepat pada waktu t.
2. menyatakan ukuran tingkat perubahan per periode pengukuran.
(Kellison, 2009)
2.7 Dualitas
Suatu model persamaan dengan bentuk asli disebut sebagai
primal. Sedangkan bentuk kedua yang berhubungan dengan model
primal disebut sebagai dual yang merupakan model alternatif primal.
Suatu model dual merupakan pengembangan dari model primal yang
dirumuskan dan diinterpretasikan untuk mendapatkan informasi
informasi tambahan. Suatu model dual dibuat untuk menyelesaikan
masalah yang sulit diselesaikan dengan model primal.
2.7.1 Dualitas pada fungsi surplus
Diketahui fungsi surplus ( ) ( ) ( ) .
Berdasarkan fungsi surplus tersebut dibentuk suatu model dual, yaitu
merupakan fungsi kerugian atau loss function. Didefinisikan
agregate loss pada waktu t sebagai berikut
( ) ( ) ( )
dan maximal agregate loss pada interval waktu 0 sampai t sebagai
berikut
( )
( )
Maka peluang survival pada waktu t (sebuah fungsi dari surplus
awal) merupakan distribusi fungsi dari M(t), didefinisikan sebagai
berikut
( ) ( ( ) ).
Selanjutnya didefinisikan
( ) ( )
( ),
17
proses {H(t)} didapatkan dari proses {L(t)} dengan membuat
nilainya selalu tidak negatif. Klaim yang terjadi pada proses {H(t)}
menjadi lompatan-lompatan sebagaimana ditunjukkan pada Gambar
2.3 berikut.
Gambar 2.3. Ilustrasi grafik H(t) dan L(t)
Diberikan
( ) ( ( ) )
menyatakan distribusi fungsi dari H(t). Sehingga H(t) dapat
dinyatakan sebagai
( )
* ( ) ( )+.
Karena proses L(t) memiliki distribusi stasioner dan kenaikan yang
independen, mengakibatkan H(t) dan M(t) memiliki distribusi yang
sama. Oleh karena itu dapat disimpulkan
( ) ( ). (2.9)
Dengan menyatakan distribusi stasioner dari {H(t)} sebagai
( ) ( ), (2.10)
H(t)
L(t)
t
y
18
dan berdasarkan (2.9) menunjukkan bahwa F(u) dapat diperoleh
dengan efektif.
2.8 Penentuan Distribusi Stasioner
Distribusi dari F(Y) dapat diperoleh dengan melakukan
simulasi dengan cara berikut: Untuk suatu nilai tertentu y diberikan
D(y,t) menyatakan waktu total dari proses {H(z)} berada di bawah
tingkatan x sebelum waktu t. Sehingga dapat ditunjukkan bahwa
( )
( ) . (2.11)
Dengan menyatakan waktu lompatan ke-n. Hal ini merupakan
aplikasi dari Strong Law of Large Numbers atau Hukum Bilangan
Besar Kuat yang terdapat pada Hoel, Port and Stone (1972, bagian
2.3). Berdasarkan (2.10) dan (2.11) dapat dilihat bahwa besarnya
peluang ruin equivalen dengan distribusi stasioner, dan dapat
diperoleh dengan melakukan simulasi, dimana proses {H(t)} harus
disimulasikan.
(Dufresne and Gerber, 1989)
2.9 Relative Security Loading
Perusahaan asuransi ingin mengumpulkan sejumlah bagian
dana setara dengan persentil ke-95 dari distribusi total klaim.
Perusahaan asuransi mendapatkan dana tersebut dari setiap individu,
dimana jumlahnya proporsional dengan ekspektasi klaim setiap
individu sebagai biaya tambahan premi. Suatu bagian dana dari
sebanyak individu dengan ekspektasi besar klaim , - adalah
( ) , -. Biaya tambahan sebesar , - merupakan security
loading, dan adalah relative security loading.
Relative security loading dapat dicari dengan cara
[ , -
√ ( )
, -
√ ( )]
19
Mendekati distribusi dari , -
√ ( ) dengan distribusi normal baku, dan
menggunakan persentil ke-95 didapatkan
, -
√ ( )
(Bowers dkk., 1986)
20
23
BAB III
METODOLOGI
3.1 Jenis Penelitian
Penelitian pada skripsi ini adalah mengulas kembali jurnal
dengan judul Estimating The Probability of Ruin for Variable
Premiums by Simulation, dimana akan dilakukan pengkajian metode
yang digunakan pada jurnal tersebut. Penelitian akan dilakukan
terhadap pendekatan peluang ruin menggunakan dual dari fungsi
surplus melalui simulasi. Selain itu, akan dilakukan bebrapa kali
simulasi dengan nilai bunga dan modal awal yang berbeda. Hasil dari
simulasi akan dianalisa untuk menentukan suatu kesimpulan.
3.2 Sumber Data
Data yang digunakan dalam skripsi ini didapatkan melalui
simulasi. Simulasi yang dilakukan bertujuan untuk mendekati nilai
peluang ruin.
3.3 Metode Penelitian
Dalam penelitian ini akan dilakukan sebuah simulasi untuk
mendekati peluang ruin. Simulasi yang dilakukan adalah
mensimulasikan proses dengan nilai awal pada tingkat
bunga dan nilai modal awal yang berbeda. Adapun langkah langkah
pendekatan peluang ruinnya adalah sebagai berikut:
1. Menentukan fungsi surplus dari suatu perusahaan asuransi.
2. Membentuk dual dari fungsi surplus yang telah ditentukan,
yaitu suatu proses 3. Mensimulasikan besarnya lompatan yang terjadi pada proses
, yaitu dan waktu antar lompatan .
4. Menentukan tingkat bunga dan batas x yang digunakan
dalam simulasi.
5. Menghitung nilai dari dengan
* (
) +
24
dimana merupakan tingkat percepatan pembungaan, dan c
adalah besarnya premi.
6. Menghitung yaitu merupakan waktu yang dibutuhkan
dari untuk mencapai batas x, dengan x adalah modal awal
(diasumsikan tidak terjadi lompatan atau klaim pada interval
ini), dan diperoleh dengan cara sebagai berikut
(
⁄
⁄
)
7. Menghitung waktu , yaitu waktu yang dibutuhkan
pada proses saat berada di bawah batas x sebelum lompatan
ke-n. didapatkan secara rekursif dengan cara
{
8. Menghitung peluang ruin dengan cara
∑
dimana atau menyatakan peluang survive,
sehingga peluang ruinnya adalah .
3.4 Analisis Data
Akan ditunjukkan bagaimana dual dari fungsi surplus dapat
digunakan untuk mencari peluang ruin. Simulasi akan dilakukan
sebagai contoh dari penggunaan dual dari fungsi surplus untuk
mencari peluang ruin. Hasil dari simulasi akan dianalisa, lalu akan
dibandingkan hasil simulasi dengan tingkat bunga dan modal awal
yang berbeda untuk mengetahui pengaruh bunga dan modal awal
terhadap peluang ruin.
25
3.5 Diagram Alir
Berdasarkan metodologi yang telah dibuat maka dibentuk
sebuah diagram alir penelitian seperti ditunjukkan pada Gambar 3.1
berikut
Mulai
Studi literatur
Membentuk fungsi surplus
Membentuk dual dari fungsi surplus
Mensimulasikan lompatan dan
waktu antar lompatan pada fungsi dual
Menentukan tingkat bunga dan batas x
A
26
Gambar 3.1. Diagram alir penelitian.
Menghitung 𝑌𝑛 𝑟𝑛 dan 𝐷𝑛 𝑦
∑ 𝑇𝑖𝑛𝑖=1
Menghitung peluang ruin
Analisis data dan membuat kesimpulan
Selesai
A
27
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Fungsi Surplus dengan Premi Tidak Konstan
Dufresne dan Gerber(1989) menggunakan dualitas antara
waktu tunggu semu pada single-server queue (M/G/1) dan proses
risiko dengan premi konstan untuk mendapatkan peluang ruin
dengan simulasi. Pembuktian dualitas telah ditunjukkan pada Feller
(1971, halaman 198) dan Seal (1972). Jika premi diasumsikan tidak
konstan, masih terdapat dualitas antara antara dua proses tersebut.
4.2 Fungsi Surplus dan Fungsi Sediaan
Proses surplus {U(t); t 0} dengan nilai modal awal U(0)=u
didefinisikan dengan persamaan diferensial stokastik
( ) ( ( )) ( ) (4.1)
dimana {S(t); t 0} adalah proses klaim agregasi dan c(.) adalah
suku premi dimana c(u)>0 untuk u>0. Diasumsikan {S(t) 0}
adalah proses Poisson majemuk dengan parameter dan distribusi
besarnya klaim adalah P(.). Ditekankan bahwa klaim tidak
diharuskan positif.
Saat premi diasumsikan tidak konstan, dapat dikatakan premi
mendapatkan bunga dengan tingkat percepatan pembungaan yang
konstan sebesar , sehingga didapatkan
( ) Pendapatan bunga ini setara dengan pemasukan premi dengan laju
linear sesuai dengan fungsi surplus.
Selanjutnya untuk membentuk suatu dual dari proses surplus,
diberikan {X(t)} dengan nilai awal X(0) dan persamaan diferensial
stokastik
( ) ( ( )) ( ) (4.2)
dengan c(.) dan S(t) sama dengan sebelumnya. Andaikan {X(t)}
adalah suatu proses dengan nilai tak negatif. Dengan demikian,
peningkatan dari {X(t)} didefinisikan sesuai dengan persamaan
diferensial stokastik di atas. Namun jika hal ini menyebabkan proses
28
memiliki nilai negatif, maka proses akan bernilai nol sampai keadaan
selanjutnya dimana nilainya positif.
Proses {X(t)} disebut Storage process karena beberapa
interpretasi berikut. Andaikan {X(t)} adalah keadaan x pada waktu t
(call x the stock) dan dengan memperhitungkan interval waktu yang
sangat kecil (t,t+dt), di mana pada selang interval tersebut terdapat
nilai input dS(t)dan output yang setara dengan c(x)dt. Pada konteks
ini, c(x) disebut release rate, yaitu fungsi dari stok saat ini.
Diasumsikan bahwa nilai stok tidak pernah bernilai negatif.
Gambar 4.1. Ilustrasi grafik U(t) dan X(t)
4.3 Pembuktian Dualitas
Didefinisikan fungsi ( ) adalah
( ) ∫ ( ( ))
Mengacu pada proses ( ) , saat belum terjadi klaim sama sekali
maka nilai dari ( ) adalah sama dengan ( ). Pada selang interval
h, merupakan selang interval dimana kemungkinan klaim pertama
akan terjadi atau tidak. Proses terjadinya klaim merupakan proses
Poisson majemuk. Peluang tidak terjadi klaim pada selang interval
tersebut adalah , dan peluang terjadi klaim pada selang interval
adalah . Dengan tidak adanya klaim pada interval h,
pertumbuhan fungsi surplus adalah ( ), sedangkan dengan adanya
klaim pada waktu t, pertumbuhan fungsi surplus didefinisikan
29
sebagai ( ) , dengan peluang ( ) Menggunakan hukum
peluang total untuk kemungkinan terjadinya klaim atau tidak pada
selang interval h, jika diasumsikan terjadi ruin pada saat terjadi
klaim pertama maka peluang survive dinyatakan dengan
( ) ( ( )) ∫
[ ∫ ( ( ) ) ( )
( )
] ( )
Perlu di ingat bahwa ( ) untuk setiap nilai u yang negatif,
dengan kata lain ruin pasti terjadi jika surplus pertama bernilai
negatif. Dengan menurunkan kedua ruas dari persamaan (4.3)
terhadap h, dan mensubtitusikan nilai maka akan
menghasilkan
( ) ( ) ∫ ( )
( ) ( )
Memandang fungsi ( ) sebagai fungsi dual dari fungsi ( ),
dan sebagaimana diketahui ( ) merupakan fungsi distribusi dari
proses ( ) dengan
( ) ( ( ) )
Diasumsikan nilai cukup besar sehingga proses ( ) tidak menuju
ke tak hingga dan memiliki distribusi stasioner. Diberikan ( )
merupakan distribusi stasioner, maka
( )
( )
Menggunakan alasan yang sama dengan persamaan (4.3) dapat
diturunkan persamaan integro diferensial untuk ( ) sehingga
didapat
( ) ( ) ∫ ( )
( ) ( )
30
Didefinisikan fungsi ( ), yaitu
( ) ∫ ( ( ))
dan interval waktu ( ) Maka kejadian
( ( ) ) equivalen dengan kejadian berikut
1. ( ( ) ( )) jika tidak terjadi lompatan pada interval
waktu yang diberikan, atau
2. ( ( ) ( ) ) jika pada interval waktu yang diberikan,
lompatan terakhir dari sampel adalah sebesar dan terjadi pada
waktu Menggunakan hukum peluang total berdasarkan keadaan di atas
didapatkan
( ) ( ( )) ∫ [ ∫ ( ( ) ) ( )
( )
] ( )
Dengan menurunkan persamaan (4.6) terhadap dan
mensubstitusikan maka didapatkan persamaan (4.5).
Bukti
Pada persamaan (4.3) didefinisikan suatu persamaan
( ) ( ( )) ∫
[ ∫ ( ( ) ) ( )
( )
]
( ( )) (
) [ ∫ ( ( ) ) ( )
( )
]
(4.7)
Menurunkan persamaan (4.7) terhadap maka didapatkan
( ) ( ( )) ( ( )) ∫ ( )
( )
(4.8)
Dan mensubstitusikan pada persamaan (4.8) didapatkan
persamaan (4.4). Dengan cara yang sama kita menurunkan
31
persamaan (4.6), dan mensubtitusikan pada hasil turunannya
sehingga diperoleh persamaan (4.5).
Jika dibandingkan antara (4.4) dan (4.5), dapat dilihat bahwa
( ) dan ( ) merupakan solusi dari persamaan integro diferensial
yang sama. Berdasarkan Dufresne dan Gerber dapat disimpulkan
bahwa ( ) ( ), sehingga peluang ruin dapat didekati dengan
mensimulasikan ( ). (Michaud, 1996)
4.4 Simulasi
Simulasi dilakukan untuk menghitung peluang ruin melalui
dual dari proses surplus, yaitu proses kerugian. Dalam simulasi, yang
pertama kali dilakukan yaitu membangkitkan data besar klaim atau
lompatan lompatan yang terjadi pada proses kerugian, dan waktu
antar klaim atau waktu antar lompatan. Data besar klaim ( ) yang
disimulasikan berdistribusi Poisson dengan parameter dan
data waktu antar klaim berdistribusi Poisson dengan parameter
Data besar klaim dan waktu antar klaim keduanya
dibangkitkan sebanyak 10.000 data.
Pembangkitan data tersebut dilakukan menggunakan program
R, yaitu program statistika berbasis bahasa R. Data yang telah
dibangkitkan pada program R kemudian diexport ke dalam bentuk
data excel untuk kemudian diolah pada microsoft excel.
Setelah data besar klaim dan waktu antar klaim dibangkitkan,
langkah selanjutnya adalah mensimulasikan proses ( ) . Proses
( ) merupakan proses kerugian dengan nilai yang tak negatif,
dengan kata lain di saat nilai dari ( ) kurang dari nol maka
( ) . Berdasarkan simulasi proses ( ) , dapat diketahui
keadaan proses berdasarkan data yang telah dibangkitkan, yaitu .
Setelah proses kerugian disimulasikan dan keadaan dari
dapat diketahui, ditentukan suatu nilai batas yaitu x. Keadaan dimana
nilai tidak melewati batas x adalah kondisi yang dapat digunakan
untuk menghitung peluang survive, atau dengan kata lain merupakan
komplemen dari peluang ruin. Batas x yang digunakan dalam
simulasi yaitu .
Penggunaan tingkat bunga yang berbeda-beda yaitu 1%, 2,5%,
5%, dan 10% dalam simulasi, tentunya menghasilkan peluang
32
survive yang berbeda-beda untuk setiap tingkat bunga yang
digunakan. Langkah langkah simulasi dapat dilihat pada sub bab 3.3
metode penelitian. Hasil simulasi menggunakan tingkat bunga yang
berbeda-beda ditunjukkan pada Tabel 4.1.
Tabel 4.1 Hasil simulasi perhitungan peluang ruin dengan
tingkat bunga berbeda
Y:Poisson(3); T:Poisson(4); c:1; x:3
δ n F(y)
1%
1.000 0,230796 0,769204
5.000 0,168771 0,831229
10.000 0,167148 0,832851
2,5%
1.000 0,158376 0,841624
5.000 0,116614 0,883386
10.000 0,117895 0,882105
5%
1.000 0,108667 0,891333
5.000 0,095109 0,904891
10.000 0,093091 0,906909
10%
1.000 0,088478 0,911522
5.000 0,096198 0,903802
10.000 0,095341 0,904659
Berdasarkan Tabel 4.1, dapat diketahui bahwa semakin besar
tingkat bunga yang digunakan, maka semakin besar peluang ruin
yang dihasilkan. Dengan kata lain, tingkat bunga berbanding lurus
dengan peluang ruin.
Selain tingkat bunga, hal yang berpengaruh dalam perhitungan
peluang ruin adalah modal awal. Pada simulasi yang telah dilakukan,
modal awal pada fungsi surplus dapat dianalogikan pada batas x yang
ditentukan untuk menghitung peluang survive. Dengan
mensimulasikan proses ( ) menggunakan batas x yang berbeda-
beda maka didapatkan beberapa nilai peluang survive dan peluang
ruin. Dengan membandingkan nilai peluang pada beberapa nilai
modal awal yang berbeda dapat diketahui bagaimana pengaruh
modal awal terhadap perhitungan peluang ruin. Sebagai contoh akan
disimulasikan proses ( ) dengan menggunakan batas x atau modal
awal yang berbeda-beda. Tabel 4.2 menunjukkan hasil simulasi
dengan modal awal yang berbeda-beda.
33
Tabel 4.2 Hasil simulasi perhitungan peluang ruin dengan
modal awal berbeda
Y:Poisson(3); T:Poisson(4); c:1; n:10.000
δ x F(y)
1%
3 0,167148 0,832852
6 0,620184 0,379816
9 0,860255 0,139745
12 0,956089 0,043911
15 0,985795 0,014205
2,5%
3 0,117895 0,882105
6 0,638131 0,361869
9 0,897589 0,102411
12 0,973579 0,026421
15 0,993884 0,006116
5%
3 0,093091 0,906909
6 0,682704 0,317296
9 0,931229 0,068771
12 0,983133 0,016867
15 0,997608 0,002392
10%
3 0,095341 0,904659
6 0,752837 0,247163
9 0,956755 0,043245
12 0,992460 0,007540
15 0,999540 0,000460
Berdasarkan Tabel 4.2, dengan menggunakan batas ,
yaitu merupakan suatu titik batas yang cukup dekat dari titik awal
yaitu menunjukkan modal awal yang cukup kecil, sehingga
peluang ruin sangat besar. Dengan batas x yang semakin menjauhi
titik awal, peluang ruin menjadi semakin kecil, hal ini berarti
semakin besar modal awal yang dimiliki suatu perusahaan asuransi,
maka semakin kecil peluang perusahaan asuransi tersebut mengalami
ruin.
Semakin besar modal awal suatu perusahaan asuransi
mengakibatkan penurunan peluang ruin yang lebih signifikan
dibandingkan penurunan peluang ruin akibat peningkatan bunga.
34
Prosentase penurunan peluang ruin ditunjukkan pada Tabel 4.3 dan
Tabel 4.4.
Tabel 4.3 Prosentase penurunan peluang ruin dengan tingkat
bunga berbeda bunga
n δ Penurunan
1000
1% 0,769204 -
2,5% 0,841624 -9,4%
5% 0,891333 -5,9%
10% 0,911522 -2,3%
5000
1% 0,831229 -
2,5% 0,883386 -6,3%
5% 0,904891 -2,4%
10% 0,903802 0,1%
10.000
1% 0,832851 -
2,5% 0,882105 -5,9%
5% 0,906909 -2,8%
10% 0,904659 0,2%
Tabel 4.4 Prosentase penurunan peluang ruin dengan modal
awal berbeda
δ x Penurunan
1%
3 0,832852 -
6 0,379816 54,4%
9 0,139745 63,2%
12 0,043911 68,6%
15 0,014205 67,6%
2,5%
3 0,882105 -
6 0,361869 58,9%
9 0,102411 71,7%
12 0,026421 74,2%
15 0,006116 76,8%
5%
3 0,906909 -
6 0,317296 65%
9 0,068771 78%
12 0,016867 76%
15 0,002392 87%
35
10%
3 0,904659 -
6 0,247163 73%
9 0,043245 83%
12 0,007540 84%
15 0,000460 94%
36
37
37
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, dapat
disimpulkan:
1. Untuk mengestimasi peluang ruin, dimana grafik dari fungsi
surplus diperkirakan akan menuju ke tak hingga akibat dari adanya
faktor bunga yang bekerja pada fungsi surplus, dapat digunakan dual
dari fungsi surplus yaitu fungsi kerugian. Fungsi kerugian dibuat
dengan cara menegatifkan fungsi surplus. Untuk mencari peluang
ruin, dapat dilakukan dengan cara mensimulasikan fungsi kerugian.
Nilai dari fungsi kerugian dibuat selalu positif atau bernilai nol saat
nilainya negatif. Melalui cara ini peluang ruin dapat dicari tanpa
khawatir nilai dari proses kerugian menuju ke negatif tak hingga.
2. Berdasarkan simulasi yang telah dilakukan, tingkat bunga
mempengaruhi perhitungan peluang ruin. Untuk tingkatan bunga
yang umumnya digunakan yaitu 1%, 2,5% , 5%, dan 10%, setiap
penambahan tingkat bunga tidak mengakibatkan penurunan peluang
ruin, namun peluang ruin semakin besar.
3. Selain tingkat bunga, modal awal juga berpengaruh pada
perhitungan peluang ruin. Semakin besar modal awal yang dimiliki
suatu perusahaan asuransi, maka semakin kecil peluang perusahaan
asuransi mengalami ruin. Penambahan nilai modal awal
mengakibatkan penurunan peluang ruin yang signifikan.
5.2 Saran
Untuk penelitian selanjutnya dapat melakukan analisa pada
suatu batas minimal modal awal dalam simulasi peluang ruin dengan
memperhitungkan security loading pada premi.
38
39
DAFTAR PUSTAKA
Dufrense,F. and H.U.,Gerber. 1989. Three Methods to
Calculate the Probability of Ruin. ASTIN Bulletin, 19,
71-90
Hoel,P.G., S.C.Port, and C.J.Stone. 1972. Introduction to
Stochastic Process. Houghton Mifflin Company. Los
Angeles.
Kellison, S.G. 2009. The Theory of Interest 3rd Edition. Mc
Graw Hill. Singapore.
Michaud,F. 1996. Estimating the Probability of Ruin for
Variable Premiums by Simulation. ASTIN Bulletin, 26,
93-105
Riaman dkk. 2013. Analisis Model Risiko Kolektif Pada
Asuransi Jiwa Kredit Menggunakan Model Klaim
Agregasi. Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Padjajaran.
Ross, S. 1996. Stochastic Processes 2nd Edition. John Wiley
and Sons Inc. New York
Ross, S. 2010. A First Course in Probability 8th Edition.
Pearson Education Inc. New Jersey.