1. Dados los vectores −→u = (5,−2) y −→v = (−2,−1), calcula las coordenadas de los vectores −→u + −→v ,12−→u y −3−→v y represéntalos gráficamente. ¾Cuáles son las coordenadas del vector −→w = 2−→u − 4−→v ?

Represéntalo también.

Solución:

−→u +−→v = (5,−2) + (−2,−1) = (5− 2,−2− 1) = (3,−3)12−→u = 1

2 · (5,−2) =(12 · 5,

12 · (−2)

)=(52 ,−1

)−3−→v = −3 · (−2,−1) = (−3 · (−2) ,−3 · (−1)) = (6, 3)

−→w = 2−→u − 4−→v = 2 · (5,−2)− 4 · (−2,−1) = (10,−4)− (−8,−4) = (18, 0)

1

2. Las coordenadas del vector−→AB son (−3, 2). ¾Cuáles son las coordenadas del punto B si las de punto

A son (3,−3)? Representa gráficamente los dos puntos y el vector.

Solución:

−−→AB = B −A⇒ B =

−−→AB +A = (−3, 2) + (3,−3) = (0,−1)

3. Calcula el punto medio del segmento AC y la distancia entre los puntos C y D.

Solución:

El punto medio de AC, M, es la semisuma de las coordenadas de A y de C: M = 12 [(−3, 0) + (4, 4)] =

12 · (1, 4) =

(12 , 2).

2

La distancia entre los puntos C y D resulta ser el módulo del vector−−→DC. Por ello, primero calcularemos

las coordenadas de ese vector:−−→DC = C − D = (4, 4) − (1, 0) = (3, 4). La distancia requerida es, entonces,∣∣∣−−→DC∣∣∣ = |(3, 4)| = √32 + 42 =√9 + 16 =

√25 = 5 unidades.

4. Calcula el módulo, el producto escalar y el ángulo que forman los vectores −→a = (−1, 5) y −→b = (2, 3).

Solución:

|−→a | = |(−1, 5)| =√(−1)2 + 52 =

√1 + 25 =

√26 ' 5′099∣∣∣−→b ∣∣∣ = |(2, 3)| = √22 + 32 =

√4 + 9 =

√13 ' 3′056

−→a · −→b = (−1, 5) · (2, 3) = −1 · 2 + 5 · 3 = −2 + 15 = 13

cos α =−→a ·−→b|−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ = 13√

26·√13

= 13√2·13·13 = 13

13·√2= 1√

2' 0′707 ⇒ α = 45◦ es el ángulo que forman los dos

vectores.

5. Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos A = (2, 3) y B = (−1, 7) en las formas

vectorial, paramétrica, continua, general y explícita.

Solución:

Calculamos primero el vector director de la recta −→v =−−→AB = B −A = (−1, 7)− (2, 3) = (−3, 4).

Ecuación vectorial: −→p = −→a + t · −→v ⇒ (x, y) = (2, 3) + t · (−3, 4)

Ecuaciones paramétricas: (x, y) = (2− 3t, 3 + 4t)⇒

{x = 2− 3t

y = 3 + 4t

Ecuación continua:

{t = x−2

−3t = y−3

4

⇒ x−2−3 = y−3

4

Ecuación general: 4 · (x− 2) = −3 · (y − 3)⇒ 4x− 8 = −3y + 9⇒ 4x+ 3y − 17 = 0

Ecuación explícita: 3y = −4x+ 17⇒ y = − 43x+ 17

3

6. Encuentra un punto y un vector director de las rectas dadas por las siguientes ecuaciones: 3x+2y−4 = 0 y x+2

4= y−1

−3.

Solución:

• 3x+ 2y − 4 = 0⇒el vector director puede ser, directamente, −→u = (−B,A) = (−2, 3). Para calcular un

punto de la recta elegimos un valor cualquiera, por ejemplo x = 0, y despejamos: 3 · 0 + 2y − 4 = 0 ⇒0 + 2y − 4 = 0⇒ 2y = 4⇒ y = 2. Así, un punto sería el (0, 2).

• x+24 = y−1

−3 ⇒el vector director es (4,−3) y un punto es el (−2, 1).

7. Averigua si los vectores−−−−→puebla =

(65,−2

)y−−−−−−→el puente = (−3, 5) son linealmente dependientes.

Solución:

Para ser linealmente dependientes tendría que suceder que−−−−→puebla = x · −−−−−−→el puente para cierto escalar x.

Comprobémoslo:(65 ,−2

)= x · (−3, 5)⇒

(65 ,−2

)= (−3x, 5x)⇒

{65 = −3x⇒ x = − 6

15 = − 25

−2 = 5x⇒ x = − 25

Por tanto, sí son linealmente dependientes.

8. Estudia la posición relativa de las rectas r : x− 5y + 3 = 0 y s : 3x− 15y + 8 = 0.

Solución:{x− 5y + 3 = 0

3x− 15y + 8 = 0⇒ 1

3 = −5−15 6=

38 ⇒ las rectas r, s son paralelas.

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