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Simulación y Optimización de Procesos Químicos

Titulación: Ingeniería Química. 5º Curso

Optimización

MILP, MINLP(Mixed Integer (Non) L inear Programming) .

Octubre de 2009. José A. Caballero

Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.

José A. CaballeroSimulación y Optimización de Procesos Químicos. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.

Optimización Discreta

Programación Lineal de con variables discretas (MILP)

{ }1,0,,0

0..

min

∈ℜ∈≥

≤−++=

yxx

bByAxas

yaxcZ

n

TT

Algoritmos

I. EnumeraciónRamificación y Acotamiento(Land, Doig 1960; Dankin 1965)

Idea Básica: Partición sucesiva del espacio entero para eliminar regiones. Se lleva a cabo una búsqueda en árbol, donde cada nodo es un LP.

II. ConvexificaciónPlanos de corte (Gomory 1958; Crowder y col, 1983; Balas y col. 1993)

Idea Básica: resolver una serie de subproblemas LP añadiendo cada vez desigualdades válidas que corten soluciones previas.

Ramificación y Acotamiento ampliamente utilizadoIntegración de los métodos : RAMIFICACIÓN Y CORTE


Enumeración exhaustivasólo válida para problemas pequeños

5. Variables binarias 32 combinaciones enteras10 Variables binarias 1024 combinaciones enteras50 Variables binarias 1015 combinaciones enteras100. Variables binarias 1030 combinaciones enteras1000. Variables binarias 103000 combinaciones enteras

Escala detiempo

(Microsegundos)

0

1020

1040

1010

1030

Microsegundos en un día

Microsegundos desde el ‘Big Bang’(Unos trece mil setecientos millones de años)

No funciona en MILP…



Relajación y Redondeo

Optimo entero

Optimo relajado

Redondeo: no-factible

NO-FACTIBLE

1

00 1

y2

y1

1

0

0

y2

y1

Optimo entero

Optimo relajado

Redondeo: factible

¡ SUB-OPTIMO !



{ }

1 2

1 2

1 2

min : 2

. . 2 1

, 0,1

Z y y

s a y y

y y

= ++ ≥

∈ Reemplazar{ }0,1y ∈

( )( )

1 1 1

2 2 2

0 1 1 0

0 1 1 0

y y y

y y y

≤ ≤ − ≤

≤ ≤ − ≤

Utilizando el código CONOPT2:

Punto Inicial: Resultado

1 2

1 2 1 2

0; 0

0.5; 0.5 0; 1; 2

y y no factible

y y y y Z

= = −= = = = = Sub-óptimo

Solución optima: 1 21; 0; 1y y Z= = =

Reformulación del problema como no lineal:


Ramificación y Acotamiento

Particionamiento del espacio entero a través de una árbol binario

Nodo raíz(relajación LP)

y2= 0 y2= 1 y2= 0 y2= 1

y3= 0

y3= 1

y3= 0

y3= 1

y3= 0

y3= 1

y3= 0

y3= 1

y1= 0 y1= 1

Nodo l

Nodo k

Nota: 15nodos para 23 = 8 combinaciones 0-1

Nodo k descendiente del nodo l


Nodo raíz(relajación LP)

y2= 0 y2= 1 y2= 0 y2= 1

y3= 0

y3= 1

y3= 0

y3= 1

y3= 0

y3= 1

y3= 0

y3= 1

y1= 0 y1= 1

Nodo l

Nodo k


Sea el nodo k un nodo descendiente del nodo l



{ }1,0,,0

0..

min

∈ℜ∈≥

≤−++=

yxx

bByAxas

yaxcZ

n

TTDado que el nodo k es descendiente del nodo l

3.- SiLPk es una soluciónENTERA Zk ≤ Z*

Zk: LIMITE SUPERIOR

Reglas de eliminación de nodosNodo no factibleLímite inferior supera límite superior

1.- Si LPl es NO-FACTIBLE entonces LPk es NO-FACTIBLE

2.- Si LPk es FACTIBLE entonces Zl ≤ Zk

Incremento monótono de función objetivo

Zl : LIMITE INFERIOR



Para utilizar un algoritmo de R. A. hay dos decisiones que tomar:

1. Qué variable se selecciona para ramificar en cada nodo

2. Qué nodo, entre los abiertos, es el siguiente en la enumeración

Reglas de ramificación: Selección de variable

1.- Fijar prioridades en la variables para ramificación

2.- Seleccionar para ramificar aquella variable, entre las binarias, con un valor más cercano a 0.5.

3.- Coste Penalizado (Driebneck, 1966)


Reglas de ramificación: Selección del nodo a ramificar

1.- Búsqueda en profundidad: Continuar siempre hacia delante en la rama seleccionada, y sólo volver hacia atrás cuando no se pueda continuar. Continuar siempre por la rama abierta más cercana al punto de retorno.

2.- Búsqueda en anchura:Continuar siempre por el nodo de mejor valor de función objetivo.


En la práctica, cuando se trabaja con variables binarias, se utiliza dicotomía (siempre e prueba el valor y=0 e y=1 de la variable a ramificar) y búsqueda en profundidad. Aunque los ‘solvers’ modernos utilizan estrategias complejas de ramificación.


1,0,,;0

9385

023..

23min

321

321

321

321

=≥−≤−−−≤+++−

+++=

yyyx

yyy

yyyxas

yyyxz

1

z =5.8

[0.2, 1, 0] 5

4

y3=1

y3=0

z=6.75

no factible

[0, 0.75, 1]

3

2

y1=1

y1=0z=6

z=6.5

[0, 1, 0.333]

[1, 0.5, 0]

7

6y2=0

y2=1

no factible

[0, 1, 1]

z=8

Óptimo

9

8no factible

z=9

y2=1

y2=0

[1,1,0]

Ejemplo 1 MILP(DFS)


1,0,,;0

9385

023..

23min

321

321

321

321

=≥−≤−−−≤+++−

+++=

yyyx

yyy

yyyxas

yyyxz

1

z =5.8

[0.2, 1, 0] 5

4

y3=1

y3=0

z=6.75

no factible

[0, 0.75, 1]

3

2

y1=1

y1=0z=6

z=6.5

[0, 1, 0.333]

[1, 0.5, 0]

9

8y2=0

y2=1

no factible

[0, 1, 1]

z=8

Óptimo

7

7no factible

z=9

y2=1

y2=0

[1,1,0]

Ejemplo 1 MILP(BFS)


( )

{ }

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 4

min 5 3 2.3 1.4 0.95 10

. . 2.5 2 2 0.2 0.85 3

0.5 0.3 0.3 1

0,1 1,2,3,4,5i

z y y y y y

s a y y y y y

y y y

y i

= − + + + − ++ + + − ≤+ + ≤

∈ =

1

z =2.9

[1, 0.55, 0, 1, 1]

3

z =3.35

[0.64, 0, 1, 1, 1]

2

z =3.225

[1, 0, 0.15, 1, 0]

4

z =4.05

[0.64, 0, 1, 1, 1]

5

z =3.60

[1, 0, 0, 1, 0]

Cota superior

Nodo con valor mayorque cota superior. No esnecesario continuar poresta rama

6

no-factible

7

z =4.68

[0, 1, 0.4, 1, 1]


OPTIMO

Ejemplo 2


Ejemplo 3 (DFS)

1

z =2.35

[1, 0.55, 0, 1, 1]

2

z =2.35

0.64, 1, 0, 1, 1]

3

z =3.405

[1, 0, 0.15, 1, 0]

4

z =4.08

[0, 1, 0.4, 1, 0]

5

[no-factible]

6

[no-factible]

7

z =4.60

[0, 1, 0, 1, 0]

8

z =5.05

[0.64, 0, 1, 1, 1]

9

z =3.6

[1, 0, 0, 1, 1]

Cota superior

Cota superior


OPTIMO


Algunas consideraciones importantes

La dificultad para resolver un M ILP está relacionada con:

1. Tamaño del “GAP” de relajación2. Nº de variables 0-13. Nº de restricciones.

Sin embargo esto es específico de cada problema. Un problema con 20 variables binarias podría ser mucho más difícil de resolver que otro con 1000.

El correcto modelado del problema, es para los MILP de crucial importancia.

Algunas mejoras en los algoritmos de Ramificación y Acotamiento:

1. Reducción de coeficiente2. Eliminar restricciones redundantes3. Añadir desigualdades lógicas (aunque estrictamente no sean necesarias)4. Estrechar los límites de las variables5. Estrategias de ramificación especiales para algunas restricciones (o variables ej SOS1)6. Etc…


Reducción de coeficiente

Considere la siguiente restricción { }0 0,1j j j jj

a y b a y≥ > ∈∑

Si ak > b reemplazar ak por b: { }0 0,1k j j j jj k

b y a y b a y≠

+ ≥ > ∈∑

Ejemplo:

1 2

1 2

2 1 (1)

1 (2)

y y

y y

+ ≥

⇓

+ ≥

10

1

(2)

(1)


Correcto modelado y relaciones lógicas

Si la tarea Yi se lleva a cabo en cualquier período i=1..n entonces seleccionar la unidad Z.

Intuitivamente se pueden escribir 2 conjuntos de restricciones algebraicas válidas

Si el conjunto de restricciones lineales no es únicoEntonces…. ¿Cuál es la mejor opción?

Ejemplo: Una restricción habitual

znyn

ii ≤∑

=1Una única desigualdadA-

niyz i ,....,2,1=≥ Conjunto de n desigualdadesB-

Considerese el caso con i=2

2

1

yz

yz

≥≥

( )2

21 yyz +≥ A

B


y2y1

z

Caso A ( )2

21 yyz +≥ Región factible

Punto no enteroPunto no entero


Caso BRegión factible

y2y1

z

2

1

yz

yz

≥≥


Conjuntos de ordenación especial

SOS1 Considere la siguiente restricción 1ii I

y∈

=∑

En lugar de la regla habitual de ramificación :

• Se divide I en dos subconjuntos iguales I1 e I2

• Se ramifica sobre la dicotomía:1 2

0 0i ii I i I

y y∈ ∈

= ∨ =∑ ∑

1 2 3 4 0y y y y+ + + = 5 6 7 8 0y y y y+ + + =

5 6 0y y+ = 7 8 0y y+ = 1 2 0y y+ = 3 4 0y y+ =

7 0y = 8 0y = 5 0y = 6 0y = 3 0y = 4 0y = 1 0y = 2 0y =


Programación No-Lineal de con variables discretas (MINLP)

{ }p

n

y

Xx

yxg

yxhas

yxf

1,0

0),(

0),(..

),(:min

∈

ℜ⊆∈

≤=

Ramificación y AcotamientoRavindran y Gupta 1985; Leyffer y Fletcher 2001Ramificación y corte:Stuubs y Mehrota 1999

Descomposición de Benders GeneralizadaGeofrion, 1972

Aproximaciones ExterioresDuran y Grossmann 1986; Yuan y col 1988; Fletcher y Leyffer 1994

LP/NLP Ramificación y AcotamientoQuesada y Grossmann 1992

Plano de Corte ExtendidoWesterlund y Petersen 1995

Algoritmos

MINLP



Enumeración en árbol

min : ( , )

. ( , ) 0

, 0 1

0

1

kLB

j

ki FL

ki FU

Z f x y

s a g x y

x X y

y i I

y i I

=≤

∈ ≤ ≤

≤ ∈

≥ ∈

Cada nodo es unNLP-1

Ventaja: Formulación sencilla, sólo requiere problemas de tipo NLP-1

Inconveniente:Potencialmente sería necesario resolver muchos NLPs

Convergencia global:sólo necesita que cada NLP-1 alcance su óptimo global

MINLP


Los diferentes algoritmos se pueden derivar por la combinación de diferentes sub-problemas

min : ( , )

. ( , ) 0

, 0 1

0

1

kLB

j

ki FL

ki FU

Z f x y

s a g x y

x X y

y i I

y i I

=≤

∈ ≤ ≤

≤ ∈

≥ ∈

a) NLP Relajado (relajación de alguna binaria).Límite inferior

(NLP-R)min : ( , )

. ( , ) 0

k kU

kj

Z f x y

s a g x y

x X

=

≤

∈

b) NLP Variables binarias fijas.Límite Superior

(NLP-1)

1

min :

. ( , )

,

kj

u

s a g x y u

x X u R

≤

∈ ∈

c) NLP De Factibilidad para una yk fija.

Minimización de la norma infinito del vector de no-factibilidades(NLP-F)

MINLP


MINLP

Problema Maestro(Duran y Grossmann, 1986)

min :

. . ( , ) ( , )

1...

( , ) ( , ) 0

kL

kk k k k T

k

kk k k k T

j j k

Z

x xs a f x y f x y

y yk K

x xg x y g x y j J

y y

α

α

=

−≥ +∇

− = −

+ ∇ ≤ ∈ −

M-MILP

Notas:

a) El punto (xk, yk) k = 1…K se obtiene normalmente de NLP-1

b) Las linealizaciones se acumulan en cada iteración

c) Produce una secuencia no-decreciente de límites inferiores


x2

f(x)

x

Función objetivo convexa

x2

x2

x1

x1

x1

Región factible convexa

Subestimación de la función objetivo

Sobreestimación de la región factible

MINLP


MINLP

Algoritmo de las aproximaciones exteriores(implementado en GAMS como DICOPT)

NLP-1 Factible

Sí

ZM > Z*No

Corte Binario

SíFin

NLP-1

(y fijas)Cota Superior. Posible Solución. Nueva linealización en x óptima

Z* = mejor cota superior

MILP-M

Cota Inferior:Valores de yk para NLP-1

Función objetivo = ZM

NLP-RProblema relajado. Binarias

relajadas a continuas entre 0 y 1

NoNLP-F Problema de factibilidad


MINLP

Extensión a problemas con restricciones de igualdad:

La única modificación necesaria es a nivel del problema MASTER

min :

. . ( , ) ( , )

( , ) ( , ) 0

kL

kk k k k T

k

kk k k k T

j j k

Z

x xs a f x y f x y

y y

x xg x y g x y j J

y y

α

α

=

−≥ + ∇

−

−+ ∇ ≤ ∈

−

( ) ( , ) 0k

k k Ti i k

x xsign h x y i I

y yλ

− ∇ ≤ ∈ −

1....k K=

Relajación de la igualdad en desigualdad utilizando el signo del multiplicador de Lagrange


Códigos comerciales para MINLP

DICOPT++(GAMS) Viswanathan y Grossmann (1990)

Aproximaciones exteriores

AOA (AIMSS)

Aproximaciones exteriores

MINLP (AMPL) Fletcher y Layffer (1999)

Ramificación y acotamiento

α-ECP Westerlund y Petersson (1996)

Plano de corte extendido (también bajo GAMS)

MINOPT Scheweiger y Floudas (1998)

Descomposición de Benders

BARON Sahinidis y col (1998)

Optimización global (también bajo GAMS)

SBB (GAMS)

Ramificación y acotamiento simple.


Sistemas de modeladoProgramación Matemática

GAMS (Meeraus y col, 1997)

AMPL (Fourer y col, 1995)

AIMSS (Bisschop y col, 2000)

1. Sistemas de modelado algebraico: Modelos basados en ecuaciones

2. Capacidad de indexado. Permite plantear problemas grandes con poco esfuerzo

3. Diferenciación automática. El usuario no tiene que proporcionar información de

derivadas.

4. Conexión automática don diferentes códigos(sin cambiar la formulación del

modelo) y diferentes tipos de modelos(LP, MILP, NLP, MINLP …)

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