simulación de fluidos en el pozo de un yacimiento petrolífero

SIMULACI ON DE FLUIDOS EN EL POZO DE UN YACIMIENTOPETROLIFERO MULTIESTRATO

Fluid Simulation in the Well of a Multilayered Oil Reservoir

JOSE JARAMILLO1 y MAXIMO MERO2

Universidad de Carabobo. Facultad de Ciencia y Tecnologıa. CEMVICC1Departamento de Computacion.2Departamento de Matematicas

Carabobo. Venezuela{jjaramil, mmero}@uc.edu.ve

Fecha de Recepcin:26/02/2007,Fecha de Revisin:03/08/2007,Fecha de Aceptacin:31/10/2007

Resumen

Simular las condiciones de un pozo petrolero de manera interactiva requiere conocer sus caracterısticas atraves de alguna tecnica de analisis que permita determinar el comportamiento del yacimiento, ası comotambien es necesario aplicar un modelo de simulacion de fluidos que sea adecuado para la geometrıa delmismo. En el presente estudio se mostraran los resultados obtenidos en el uso de las pruebas de presioncomo tecnica de analisis y la implementacion de un modelo basado en partıculas para la simulacion decrudo, con el objetivo de caracterizar yacimientos petrolıferos.Palabras Claves: Computacion grafica, Pruebas de presion, Simulacion de fluidos.

Abstract

In order to simulate the conditions of an oil well in a interactive way it is necessary to know its propertiesthrough some analysis technique that allows to determine the behavior of the reservoir, as well as necessaryto apply a model of fluid simulation that could be adapted for the geometry of that reservoir. In thisstudy we will show the results obtained in the use of the well tests as an analysis technique and theimplementation of a model based on particles for the simulation of crude, with the target to characterizeoil fields.Keywords: Computer graphics, Fluid simulation, Well test.

FARAUTE Ciens. y Tec., 2(2): 62-71, 2007 ISSN 1698-7418Depósito Legal PP200402CA1617

62

1. Introduccion

Uno de los topicos de investigacion mas rel-evantes en la computacion grafica es, desde hacevarios anos, la simulacion de fluidos y por talrazon existen diversas tecnicas de representacion.

Los yacimientos petrolıferos usualmenteestan compuestos por un conjunto de forma-ciones o estratos de diferentes edades geologi-cas, en los cuales se depositaron grandes canti-dades de materia organica e inorganica formandomantos sedimentarios. Por esta causa, cada estra-to posee sus propias caracterısticas y estas deter-minan el comportamiento del yacimiento y delpozo.

Para estimar las propiedades de unyacimiento multiestrato se puede calcular elnivel de presion y produccion de cada capa, locual contribuye a la caracterizacion del mismopara optimizar la produccion total.

Este trabajo presenta una alternativa desolucion para simular de maneraoptima el com-portamiento del flujo de petroleo en el pozo de unyacimiento multiestrato, con la finalidad de pro-porcionarle a los especialistas en hidrocarburosuna herramienta de analisis para la exploracion yexplotacion.

Este artıculo se desarrolla de la siguienteforma: La seccion 2 consiste en describir los an-tecedentes del modelo de pruebas de presion ydel modelo de simulacion de fluidos. La sec-cion 3 involucra el planteamiento del modelo depruebas de presion para realizar el estudio de losyacimientos. La seccion 4 trata sobre la especifi-cacion del modelo de fluidos basado en partıculaspara representar el petroleo. La seccion 5 explicala simulacion dinamica del flujo de petroleo, elcual depende de la presion. La seccion 6 muestralos resultados de esta investigacion y porultimo,la seccion 7 expone algunas conclusiones y con-sideraciones a futuro.

2. Trabajos Relacionados

La optimizacion de la explotacion petroleraha sido un topico de interes en el transcurso delos anos, debido a que en la actualidad su materia

prima constituye una de las principales fuentes deenergıa en todo el mundo.

Christine Anna Ehlig-Economides (1979)hizo un estudio sobre el analisis de las pruebasde pozos a presion constante. En 1989, HeungjunPark planteo un modelo para el analisis de prue-bas de presion de un yacimiento multicapas conflujo cruzado en la formacion.

En el trabajo de Wolfsteineret al., (1999)se muestra un modelo para calcular la produc-tividad de pozos no-convencionales en yacimien-tos heterogeneos basado en las funciones deGreen. Asim Hayat (2001) realizo un estudio so-bre un modelo para pozos horizontales fractura-dos. Michael Levitan (2005) publico un artıculoque trataba sobre una aplicacion practica para elanalisis de pruebas de pozos reales donde se de-scriben ciertas mejoras del algoritmo de decon-volucion de Schroeter.

Por otro lado, la Dinamica de Fluidos Com-putacional tiene su base en las ecuaciones deNavier-Stoke que describen el movimiento de losfluidos. A partir de allı han surgido una serie depropuestas que se han subdividido en dos ramas:los metodos eulerianos y los metodos langrani-anos. Los eulerianos discretizan el problema us-ando una subdivision del dominio espacial y con-trolan el fluido en cada celda de la malla. Ejem-plos de estos son losHeight fieldsde Foster yMetaxas (1996), y los fluidos estables de Stam(1999). En cambio, los langranianos discretizanla masa del fluido usando partıculas, donde es-tas pueden o no estar interconectadas. Cuando noexiste tal conexion, la ejecucion es mas rapidapero no es ideal para la simulacion de substan-cias cuyas fuerzas internas tienen un efecto no-table en el comportamiento. Por ejemplo, unassimulaciones mas realistas se pueden apreciar enlos trabajos de Murta y Miller (1999), Premozeet al., (2003) y Muller et al., (2003), donde laspartıculas interaccionan con las de su entorno.

Tomando en cuenta todo lo mencionado an-teriormente, se escogio el modelo matematicopropuesto por Mero y Cabrera (1991) como basepara la implementacion del sistema, el cual per-mite la caracterizacion de un yacimiento multi-estrato. Y en lo concerniente a la dinamica del

José Jaramillo y Máximo Mero

FARAUTE Ciens. y Tec., 2(2). 2007 63

fluido se uso el modelo propuesto por Muller etal., (2003) porque es el mejor que se ajusta a losrequerimientos de simulacion interactiva.

3. Modelo Fısico-Matematico de unYacimiento Multiestrato

En esta investigacion se desarrolla un mod-elo para un sistema multiestrato en el cual sesupone que cada capa es homogenea, isotropicay horizontal, con flujo monofasico de viscosidadconstante y compresibilidad pequena y constante.Ademas, posee la alternativa de considerar flujocruzado en la formacion o a traves del pozo, elcual se denominacommingled. De esta forma, elsistema que representa dicho modelo es:

(kh)j ∇2pj = (φh)j ct µ∂pj

∂t+Xj−1 (pj − pj−1)−Xj (pj+1 − pj)

(1)

donde(kh)j , (φh)j , ct y µ , son el productopermeabilidad-espesor, porosidad-espesor, com-presibilidad y viscosidad del fluido respectiva-mente, y pj es la presion en el j-esimo estrato(j = 1, . . . , n). Ademas losXj estan dados por:

Xj =2

2[(∆h)j/(kυ)j] + χj+1 + χj

(2)

ConX0 = Xn = 0 , (∆h)j y (kυ)j son elespesor y la permeabilidad vertical de la zona noperforada de la capaj y j + 1 respectivamente.χj = hj/kzj es la resistencia al flujo por unidadde longitud en la j-esima cara de la arena (ykzj

es la permeabilidad vertical para la capaj ).Las condiciones de frontera en el pozo,

tomando en cuenta los efectos de almacenamien-to y dano, vienen dadas por las ecuaciones

pw f = pj(rw , t)− sj rw∂pj

∂r|rw (3)

−q = Cdpw f

dt− 2π

µ

n∑j=1

[(kh)j rw∂pj

∂r|rw ] (4)

donde la tasa de flujoq se supone constante. Es-to es conveniente para obtener soluciones en las

fronteras acotadas, como en el radio exterior (re )finito, y no acotadas, como en el radio exterior in-finito. Por su parte,sj , rw , C y t representan elfactor de dano en el pozo para la j-esima capa, elradio del pozo, la constante de almacenamientoen el pozo y el tiempo, respectivamente.

En lo que respecta a la condicion de fron-tera exterior, esta puede ser finita o infinita. Lacondicion de frontera infinita se define como:

lımr→∞

pj(r , t) = pi (5)

donde pi representa la presion inicial. En cam-bio, las condiciones de frontera finita se contem-plan en dos tipos:

Frontera exterior sin flujo:

∂pj

∂r|re = 0 (6)

Frontera exterior con presion constante:

pj(re , t) = pi (7)

En el modelo, la condicion inicial esta dadapor:

pj(r , 0) = pi (8)

Finalmente, la tasa de flujo de cada capaviene dada por:

−qj(t) =−2π(kh)j

µrw

∂pj

∂r|rw (9)

Todas estas ecuaciones fueron adimension-adas y llevadas al espacio laplaciano, a traves dela Transformada de Laplace, con el objetivo defacilitar su resolucion. Por consiguiente, una vezobtenidos los resultados, estos son trasladados alespacio real a traves de la Transformada Inversacon el algoritmo de Stehfest (Mero & Cabrera,1991) para ser visualizados en la aplicacion.

En el algoritmo 1 se describen los pasos im-plementados en alto nivel para simular las prue-bas de presion.

Simulación de fluidos en el pozo de un yacimiento petrolífero multiestrato

64 FARAUTE Ciens. y Tec., 2(2). 2007

SI M U L A RPR U E B A SPR E S I O N()(1) C alculo del adimensionamiento de

la permeabilidad;(2) C alculo de la semipermeabilidad

adimensional entre las capas;(3) C alculo del producto adimensional

porosidad-espesor;(4) Divisi on del yacimiento en zonas;(5) Para cada iteraci on de la

transformada de Laplace:(6) C alculo de los componentes de

cada zona;(7) Obtenci on del polinomio

caracter ıstico;(8) C alculo de las ra ıces del

polinomio;(9) C alculo de los coeficientes

de la matriz;(10) Creaci on de la matriz de datos(11) Resoluci on del sistema lineal(12) C alculo de la presi on en el

pozo(13) C alculo de la presi on y

producci on en cada capa(14) Respaldo de los resultados en

el espacio de Laplace(15) Transformaci on de los resultados

al espacio adimensional(16) Transformaci on de los resultados

al espacio real

Algoritmo 1: Simulacion de las pruebas de pre-sion.

4. Modelo de Fluidos

Para la simulacion dinamica de fluidos seuso un modelo basado en partıculas propuestopor Muller et al (Muller et al., 2003), el cualesta fundamentado en laSmoothed Particle Hy-drodynamics(SPH). Este metodo distribuye lasmagnitudes en la vecindad local de cada partıcu-la usando unos nucleos simetricos radiales. Deacuerdo a esta tecnica, una magnitud escalarAes interpolada en la ubicacion ~ri por una sumade contribuciones de todas las partıculas:

AS(~ri) =∑

j

mjAj

ρj

W (~ri − ~rj, h) (10)

donde j itera sobre todas las partıculas, mj esla masa de la partıcula j , ~rj es su posicion, ρj

la densidad yAj es la magnitud de un parametrodeterminado en~rj .

La funcion W (~r, h) se denomina nucleode radio h . Aunque la masami es constantea traves de toda la simulacion y, en este caso,es la misma para todas las partıculas, la densi-dad ρi varıa y necesita ser evaluada en cada in-stante de tiempo. Entonces, al sustituir la densi-dad de laj-esima contribucion como parametroen la Ecuacion 10 se puede obtener la densidaden la ubicacion ~ri de la siguiente manera:

ρS(~ri) =∑

j

mjW (~ri − ~rj, h) (11)

En la mayorıa de las ecuaciones de flui-dos aparecen derivadas de las magnitudes y nece-sitan ser evaluadas. Con el metodo SPH, talesderivadas solo afectan al nucleo. Por lo tanto, elgradiente deA es simplemente

∇AS(~ri) =∑

j

mjAj

ρj

∇W (~ri − ~rj, h) (12)

mientras que el Laplaciano deA es

∇2AS(~ri) =∑

j

mjAj

ρj

∇2W (~ri − ~rj, h) (13)

En la formulacion euleriana, los fluidosisotermales son descritos por tres campos: veloci-dad ~v , densidadρ y presion ~p . La evolucion deestas tres magnitudes en el tiempo viene dada pordos ecuaciones. La primera ecuacion asegura laconservacion de la masa

∂ρ

∂t+∇ · (ρv) = 0 (14)

mientras que las ecuaciones de Navier-Stoke, quedescriben la dinamica de los fluidos, formulan laconservacion delmomentum

ρ

(∂v

∂t+ v · ∇v

)= −∇p + ρg + µ∇2v (15)

dondeg es una fuerza externa yµ la viscosidaddel fluido. En la literatura aparecen muchas ver-siones de las ecuaciones de Navier-Stokes, perola Ecuacion 15 representa una version simplifica-da para fluidos incomprensibles.

El uso de partıculas simplifica las Ecua-ciones 14 y 15 substancialmente porque el



numero de partıculas es constante y cada partıcu-la tiene una masa constante, ası que la conser-vacion de la masa esta garantizada y la Ecuacion14 se puede omitir completamente.

Como la suma de las fuerzas de densidadf = −∇p + ρg + µ∇2v determinan el cambiodel momentumde las partıculas, entonces para laaceleracion de la partıcula i se obtiene que:

ai =dvi

dt=

fi

ρi

(16)

donde vi , fi y ρi son la velocidad, la fuerza yla densidad de la partıcula i , respectivamente.

Al aplicar el SPH a los terminos de presiony viscosidad en la Ecuacion 15 se obtiene que

f pres = −∇p(~ri)

=∑

j

mjpi + pj

2ρj

∇W (~ri − ~rj, h)

(17)mientras que

f visc = µ∇2v(~ri)

= µ∑

j

mj~vj − ~vi

ρj

∇2W (~ri − ~rj, h)

(18)Ademas de las fuerzas mencionadas,

aquı tambien se modelan las fuerzas de tensionde superficie, las cuales tienden a minimizarla curvatura de la superficie originada por lapartıculas. Estas fuerzas estan gobernadas por lasiguiente ecuacion:

f ts = −σ∇2cSn

|n| (19)

dondeσ es un coeficiente de tension, n = ∇cS

y

cS(~r) =∑

j

mj1

ρj

W (~r − ~rj, h) (20)

Otra fuerza externa, que se agrega a lasdemas fuerzas mencionadas e incide sobre laspartıculas, es el potencial de Lennard-Jones paraevitar la interpenetracion entre ellas mismas.

En el algoritmo 2 se describen los pasos im-plementados en alto nivel para la simulacion defluidos.

SI M U L AFL U I D O S()(1) C alculo de las densidades (SPH);(2) Iterando por cada part ıcula:;(3) C alculo de las fuerzas externas;(4) Adici on de la fuerza de

gravedad;(5) C alculo de la interacci on de

Lennard-Jones;(6) B usqueda de part ıculas vecinas

dentro del radio h;(7) C alculo de las fuerzas de SPH;(8) C alculo de la fuerza de

presi on;(9) C alculo de la fuerza de

viscosidad;(10) C alculo de la fuerza de

tensi on de superficie;(11) C alculo de la nueva posici on en

el espacio;(12) Verificaci on de la posici on de

la part ıcula fuera del espaciode simulaci on;

(13) Verificaci on de colisi on conobst aculos;

(14) Verificaci on de cambio de celda;(15) Actualizaci on de los datos de las

part ıculas;

Algoritmo 2: Simulacion de fluidos.

5. Simulacion Dinamica

Para calcular el movimiento de las partıcu-las se aplico la segunda ley de Newton de dondese deducen las siguientes ecuaciones de veloci-dad y posicion para cada partıcula:

vt+1 = vt +f

m∆t (21)

xt+1 = xt + vt+1∆t (22)

La cooperacion entre los modelos radica enque algunos datos de salida del modelo de prue-bas de presion constituyen una parte de los datosde entrada del modelo de simulacion de fluidos.Esto significa que a las fuerzas internas de laspartıculas se le agregan las fuerzas externas depresion para simular las condiciones fısicas delyacimiento petrolıfero. Para lograrlo se toman losresultados de los niveles de presion, de cada unade las capas y del pozo, y se normalizan paratransformarlos en una fuerza de presion que in-cide sobre el flujo. Ademas, el valor de viscosi-



dad de las pruebas de presion es transferido di-rectamente a la simulacion de fluidos.

6. Resultados y Discusion

Una forma de reducir la complejidad com-putacional fue mediante la subdivision del espa-cio de simulacion de las partıculas en una mallade celdas de tamano h , porque de esta manerala busqueda de los vecinos de una partıcula i seredujo a la misma celda y a las celdas vecinas.Ademas, se logro optimizar esa busqueda de ve-cinos a una sola vez por cada partıcula para elcalculo de todas las fuerzas que intervienen en elmodelo.

En la aplicacion se le proporciona al usuariola posibilidad de obtener los resultados en formaadimensional o real. Ademas, existe la opcion deaplicarle un analisis a los resultados en 4 escalasdiferentes: lineal-lineal, lineal-log, log-lineal ylog-log. Usando este modelo fısico-matematicode un yacimiento multiestrato, la herramientaimplementada permite realizar simulaciones deyacimientos de petroleo de hasta 20 capas pro-ductoras.

El lenguaje de programacion utilizado fueC++ , debido a su alta compatibilidad con la libr-erıa graficaOpenGL(OpenGL, 2007) y la librerıade interfaces graficas de usuarioGTK+ (GTK+,2007).

En las Figuras 1 y 2 se pueden observar loscomponentes principales de la herramienta con-struida (version Microsoft Windows).

En lo que respecta a la simulacion de laspruebas de presion, se introdujeron los datos deun yacimiento de prueba de 5 capas con distin-tas propiedades fısicas. La Tabla 1 describe laspropiedades generales del yacimiento, mientrasque la Tabla 2 describe la permeabilidad, porosi-dad, altura y efecto de dano en cada capa.

Basandose en las caracterısticas de lasTablas 1 y 2, se presentan a continuacion los re-sultados obtenidos en diversas pruebas. En la Fig.3 se muestran los niveles adimensionales de pre-sion en el pozo con una condicion de frontera ex-terior infinta.

Fig. 1.Vista de la herramienta en la seccion del modelode pruebas de presion.

Fig. 2.Vista de la herramienta en la seccion del modelode simulacion de fluidos.

Por su parte, la Fig. 4 muestra los nive-les adimensionales de presion en cada capa delyacimiento con una condicion de frontera exte-rior sin flujo. Al comparar las Figuras 3 y 4 sepuede observar como influye el cambio en lacondicion de frontera exterior al presentarse uncomportamiento distinto.

En la Fig. 5 se muestran los niveles adi-mensionales de produccion en cada capa delyacimiento con una condicion de frontera exte-rior sin flujo. Allı se puede observar como secompensan los niveles de produccion de las ca-pas. En la medida que alguna produce mayor can-tidad de petroleo, otra capa disminuye su con-tribucion, ayudando a mantener el equilibrio deproduccion constante que contempla el modelofısico-matematico implementado.

A pesar de que en las simulaciones fısicas



Parametro Valor

Numero de capas 5Presion inicial 4498,1 psiViscosidad del flujo 1,0 cpFactor volumetrico 1,2 rb/stbCompresibilidad total 2,1E-5 psi−1

Radio del pozo 0,25 ftRadio exterior 500,0 ftNivel de produccion 500,0 bpd

Tabla 1. Propiedades generales del yacimiento.

Capa Ki(md) φi hi(ft) si

1 200,0 0,3 10,0 0,02 400,0 0,1 10,0 1,03 150,0 0,1 10,0 2,04 100,0 0,25 10,0 3,05 150,0 0,25 10,0 4,0

Tabla 2. Propiedades de las capas del yacimiento.

(como la dinamica de fluidos) existe el riesgo fre-cuente de inestabilidad numerica, se logro imple-mentar un modelo eficiente donde la velocidadde simulacion solo depende de la plataforma enque se ejecute y de la cantidad de partıculas in-volucradas. En la Fig. 6 se muestra la dinamicade un fluido viscoso en caıda libre (en diversosinstantes de tiempo) dentro un pozo de paredesplanas. El color de las partıculas varıa de rojo anaranja indicando mayor o menor densidad, re-spectivamente.

En la Fig. 7 se muestra la simulacion de losfluidos que se trasladan desde la parte inferior delpozo hacia la parte superior en varios instantes detiempo. Esto demuestra que el uso de las partıcu-las permite apreciar mejor el comportamiento delfluido mientras se desplaza por una tuberıa verti-

Fig. 3.Presion en el pozo.

Fig. 4.Presion en cada capa.

Fig. 5.Produccion en cada capa.

cal.Por su parte, en la Fig. 8 se pueden observar

las partıculas que representan el flujo que se en-cuentra en una capa, en los alrededores del pozo,durante un instante de tiempo determinado. Enestas circunstancias, las partıculas se desplazanen direccion hacia el pozo.

En la Fig. 9 se pueden observar los resulta-dos de la simulacion de un yacimiento multica-pas en un instante de tiempo determinado. Allı seaprecian los dos modelos trabajando en conjun-to para representar virtualmente al yacimiento enestudio. Dicho yacimiento posee 5 capas con dosintercalaciones de baja permeabilidad: una entrelas capas 2 y 3, y otra entre las capas 3 y 4.

Con respecto a los tiempos de calculoobtenidos en la simulacion, se muestran a contin-uacion las Tablas de datos 3 y 4 que describen losresultados de una maquina con las siguientes car-acterısticas: Procesador Pentium M de 1.73 GHz;Memoria RAM de 512 MB; Bus de 533 MHz;



Fig. 6.Simulacion de fluido viscoso con 128 partıculas.

Fig. 7.Simulacion de fluido en el pozo con 320 partıculas.

Adaptador grafico Intel 915GM Express de hasta128 MB.

Numero de capas Tiempo (segundos)

5 0,0187510 0,037515 0,05312520 0,0703125

Tabla 3. Tiempo de calculo para la simulacion deyacimientos.

La Tabla 3 exhibe los tiempos promedio decalculo, en segundos, obtenidos en la simulacionde pruebas de presion en un intervalo de 100unidades de tiempo. Esto demuestra que la imple-mentacion del modelo fue adecuada por su rapi-da resolucion, de tal manera que no constituyeningun retraso significativo.

Por su parte, la Tabla 4 muestra los tiemposde calculo, en segundos, alcanzados en la simu-lacion de fluidos con partıculas. En ella se puede

Fig. 8.Simulacion de fluido en una capa con 480 partıcu-las.

Fig. 9.Simulacion de un yacimiento multicapas.

observar que el tiempo de calculo del SPH tiendea ser mayor que el tiempo de renderizado de laspartıculas. Por consiguiente, los algoritmos im-plementados para el SPH constituyen el factorque consume mayor computo cuando el numerode partıculas es significativo.

7. Conclusiones y Trabajo Futuro

Esta herramienta grafica permite caracteri-zar el comportamiento de la tasa de produccion y

Numero de SPH Renderizadopartıculas (seg) (seg)

1120 1,343906 0,067656251920 1,646875 0,107343752720 2,366719 0,145781253520 3,209375 0,1840625

Tabla 4. Tiempo de calculo para la simulacion de fluidosbasados en partıculas.



presion por cada capa del yacimiento, lo cual leproporciona a los especialistas en hidrocarburosla informacion para realizar los analisis necesar-ios en su labor de planificacion de la exploraciony explotacion.

Ademas, el analisis de presion ayudarıaa tomar decisiones respecto a la explotacionracional del petroleo. Esto debido a que las reser-vas aunque sean grandes son limitadas, por lo quees necesario tomar en cuenta las repercusionesambientales y economicas de este asunto.

La simulacion de fluidos usando SPH fuelo mas adecuado porque la animacion fue masrealista que haber trabajado con un sistema departıculas sin interconectividad alguna y porquese ajusta a las condiciones geometricas de los po-zos petroleros y las capas del subsuelo.

La velocidad de simulacion es aceptablecuando se trabaja con menos de 1000 partıculas,pero todo depende de la plataforma en que seaejecutada la aplicacion.

La aplicacion construida sirve de base parafuturas actualizaciones, porque su estructura ori-entada a objetos permite sustituirle los com-ponentes de los modelos fısico-matematicos demanera sencilla.

En un futuro se plantea la posibilidad deparalelizar el codigo fuente de manera que sepueda distribuir la carga de los calculos de la sim-ulacion de partıculas, debido a que es la partede la aplicacion que exige mayor demanda com-putacional. Tambien se espera poder anadir cier-tas caracterısticas al modelo del yacimiento, co-mo alternativa de considerar la presencia de agua,gas o flujo multifasico en los estratos. Sin em-bargo, tambien esta latente el componente graficoque sin un buen dispositivo acelerador no se po-drıan agregar las animaciones requeridas. Porquesi se logran simular los fluidos con una mayorcantidad de partıculas se espera un mejor com-portamiento, ya que, segun varios autores y porlo que se ha observado, es uno de atributos delSPH.

8. Bibliograf ıa

Ehlig-Economides, C. (1979). Well test analysisfor wells produced at a constant pressure. PhDthesis. Department of Petroleum Engineering.Standford University. Palo Alto, USA.

Foster, N. & D. Metaxas. (1996). Realisticanimation of liquids. Graphical models andimage processing: GMIP. 58(5):471–483.

Hayat, A. (2001). Approximate modeling offractured horizontal wells. Master’s thesis. De-partment of Petroleum Engineering. StandfordUniversity. Palo Alto, USA.

Levitan, M. (2005). Practical application ofpressure/rate deconvolution to analysis of realwell tests.April 2005 SPE Reservoir Evaluation& Enginering. 113–121.

Mero, M. & J. Cabrera. (1991). Desarrollo eimplementacion de un modelo matematico parayacimientos multicapas. Tesis de Licenciatura.Facultad de Ciencias. Universidad Central deVenezuela. Caracas, Venezuela.

Muller, M., D. Charypar & M. Gross. (2003).Particle-Based fluid simulation for interactiveapplications. Proceedings of 2003 ACM SIG-GRAPH symposium on computer animation.San Diego. USA. 154–159.

Murta, A. & J. Miller. (1999). Modelling andrendering liquids in motion. Proceedings ofWSCG’99. Plzen-Bory. Czech Republic. 194–201.

Park, H. (1989). Well test analysis of a multi-layered reservoir with formation crossflow. PhDthesis. Department of Petroleum Engineering.Standford University. Palo Alto, USA.

Premoze, S., T. Tasdizen, J. Bigler, A. Lefohn &R. Whitaker. (2003). Particle-Based simulationof fluids. Proceedings of EUROGRAPHICS2003. Granada. Spain. 401–410.



Stam, J. (1999). Stable fluids. Proceedings of the26th annual conference on computer graphicsand interactive techniques. Los Angeles. USA.121–128.

Wolfsteiner, C., L. Durlofsky & K. Aziz. (1999).An approximate model for the productivity ofnon-conventional wells in heterogeneous reser-voirs. 1999 SPE Annual Technical Conferenceand Exhibition. Houston. USA.

OpenGL, the Open Graphics Library. [cited 23Feb 2007]. Available from World Wide Web:<http://www.opengl.org>

GTK+, the GIMP toolkit. [cited 23 Feb2007]. Available from World Wide Web:<http://www.gtk.org>



simulación de fluidos en el pozo de un yacimiento petrolífero

Documents