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Simulacao numerica 2D e 3D de escoamentos com tensaosuperficial
Felipe Montefuscolo, Fabrıcio Simeoni de Sousa,Instituto de Ciencias Matematicas e de Computacao, USP,
13560-970, Sao Carlos, SP
E-mail: [email protected], [email protected],
Palavras-chave: elementos finitos, tensao superficial, formulacao variacional, ALE, potenciavirtual
Resumo: O fenomeno de molhamento, estudo de como um lıquido se deposita em um solido,apresenta problemas ainda em aberto tanto do ponto de vista da modelagem fısica como no da si-mulacao numerica. Neste trabalho, sao discutidos metodos numericos para a simulacao de linhasde contato dinamicas formadas da interacao fluido-fluido-estrutura. Os efeitos da tensao super-ficial sao estudados com a abordagem do princıpio do trabalho virtual, o qual leva o problemaa equacoes na formulacao variacional, linguagem natural para o tratamento numerico com ometodo dos elementos finitos (MEF). Sao apresentados resultados preliminares de aproximacoescalculadas atraves do metodo de elementos finitos (formulacao ALE-FEM) para problemas en-volvendo tensao superficial, bem como aspectos teoricos da modelagem de linhas trıplices nasequacoes de Navier-Stokes.
1 Introducao
A compreensao dos fenomenos de tensao superficial, capilaridade e molhamento sao pertinentesa inumeras areas industriais como na fabricacao de veıculos, industria de alimentos, vidros e,mais recentemente, na fabricacao dos Lab-On-a-Chip, microdispositivos que englobam, entreoutros, os dispositivos microfluıdicos.
2 Formulacao variacional para tensao superficial
A formulacao variacional do problema de escoamentos com tensao superficial, confinadas emum domınio Ω ⊂ Rd e na ausencia de forcas de campo, e expressa como: encontrar u(x, t) ∈W×]0, T ] e p(x, t) ∈ Q×]0, T ] tal que, para todas as velocidades cinematicamente admissıveis
w (x) ∈W ⊂(H1 (Ω)
)de para todas as funcoes admissıveis q (x) ∈ Q .
= L2 (Ω),
ˆΩ
(∂tu + (u ·∇)u) ·w +
ˆΩν∇w :
(∇u + ∇Tu
)−ˆ
Ω
p
ρ∇ ·w = PΓ (w) (1)
ˆΩq∇ · u = 0 (2)
onde u e a velocidade e p a pressao. A massa especıfica ρ, viscosidade cinematica ν e a tensaosuperficial γ sao supostas constantes. O termo PΓ(w) e linear em w, e corresponde a potenciavirtual associada as forcas na superfıcie Γ = ∂Ω. Uma expressao para PΓ(w), assumindo que
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nao ha dissipacao local de energia em Γ, pode ser obtida pelo negativo da taxa de variacao daenergia E associada a superfıcie fechada Γ sob uma velocidade virtual w, isto e,
PΓ(w) = − d
dεE(Γ + εw)|ε=0 , (3)
onde Γ + εw =y ∈ Rd;y = x + εw(x), com x ∈ Γ
. Considerando a interface homogenea, a
energia pode ser escrita, na forma mais simples possıvel, como
E(Γ) =
ˆΓγ dΓ.
Para calcular a potencia em (3), onde e necessario computar derivadas em superfıcies cujasconfiguracoes mudam de acordo com a velocidade, pode-se recorrer a elementos de geometriadiferencial que sao revistos em [3]. Assim como e demonstrado por esse autor, a formula dapotencia e escrita como
PΓ(w) = −ˆ
Γγκn, (4)
onde κ(x).= ∇Γ · n e a curvatura media, n a normal que aponta para fora da superfıcie e ∇Γ
um operador tangencial (o gradiente de superfıcie). Este operador, aplicado a uma funcao f queesteja definida em Γ e em uma vizinhanca desta, e definido por
∇Γf.= ∇f − (n ·∇f)n , (5)
e aplicado a uma funcao g definida somente em Γ, obtem-se
∇Γg = ∇g , (6)
onde g(x) e uma funcao que estende os valores de g para uma vizinhanca de Γ, ou seja, g(x) =g(x − αn), sendo α e n um escalar e um vetor unitario, respectivamente, tais que o ponto(x− αn) ∈ Γ seja o mais proximo de x. O operador ∆Γ
.=∇Γ ·∇Γ, o laplaciano de superfıcie,
e conhecido na literatura como operador Laplace-Beltrami [3]. A expressao em (4) exige que acurvatura κ seja calculada explicitamente, entretanto, e possıvel obter uma forma equivalentepara esta expressao muito conveniente para discretizacoes com o metodo dos elementos finitos,dada por
PΓ(w) = −ˆ
Γγ(I − n⊗ n) : ∇w . (7)
Nessa forma, nao ha calculo da curvatura de Γ, e sim do vetor normal n.
3 Metodos numericos
O problema discreto das equacoes (1) e (2) no contexto de elementos finitos, discretizado tambemno tempo, fica: encontrar un+1
h (x) ∈ W h e pn+1h (x) ∈ Qh tal que, para todas as velocidades
cinematicamente admissıveis wh (x) ∈W h e para todas as funcoes admissıveis qh (x) ∈ Qh,
ˆΩ
(δnt uh +
(un+βh ·∇
)un+θh
)·wh +
ˆΩν∇wh :
(∇uh + ∇Tuh
)n+θ −
−ˆ
Ω
pn+1h
ρ∇ ·wh = PΓ (wh) (8)
ˆΩq∇ · un+1
h = 0 (9)
onde δnt uh =(un+1h − unh
)/∆t e un+θ
h = θun+1h + (1 − θ)unh. Para usar a discretizacao de
Galerkin convencional, e bem conhecido que os espacos W h e Qh devem satisfazer a condicao
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inf-sup de Babuska-Brezzi (ver, e.g., [2]). Serao adotados aqui os espacos correspondentes aomini-elemento P+
1 -P1, onde a pressao e interpolada por funcoes lineares por partes e a velocidadepor funcoes lineares por partes enriquecidas com uma funcao bolha em cada elemento:
u(n+1)h (x) =
nnos∑k=1
ukhNk(x) +
nelem∑e=1
vehψe(x),
p(n+1)h (x) =
nnos∑k=1
pkhNk(x),
onde ukh e pkh sao os valores nodais da velocidade e pressao, respectivamente, e veh e o coeficienteda funcao bolha ψe, associado ao elemento e. Com a velocidade escrita dessa forma, e possıvelreduzir o metodo de Newton correspondente as equacoes nao lineares em (8) e (9) para[
A+B G+ CD +H E
]k [∆uN∆p
]= −
[Fu(unN , p
n)Fp(u
nN , p
n)
], (10)
onde o ındice inferior N denota os coeficientes da velocidade nos nos, e as matrizes B, C, H,e E sao matrizes que vem da eliminacao dos coeficientes das bolhas da velocidade. Deve serobservado ainda que, para que no resıduo em (10) nao seja necessario computar os coeficientesdas bolhas, e suficiente aproximar a velocidade convectiva por
u(n+1)h,convec(x) =
nnos∑k=1
ukhNk(x) .
Os testes numericos mostram que essa aproximacao nao traz nenhuma penalidade para o metodo.Neste trabalho, a descricao do movimento e feita na formulacao Lagrangeana-Euleriana Ar-
bitraria (ALE - Arbitrary Lagrangian-Eulerian, em ingles). Essa formulacao consiste em con-siderar um terceiro domınio alem do material (agregado ao fluido) e o espacial: o domıno damalha [4, 7]. Nesse contexto, a velocidade convectiva presente na equacao (8) e trocada peladiferenca entre a velocidade do fluido e a velocidade da malha, ou seja,(
un+βh ·∇
)un+θh →
[(un+βh − un+β
malha
)·∇]un+θh .
Como a velocidade da malha un+βmalha pode depender de uma maneira nao trivial de un+β
h e daposicao dos nos da malha no tempo n + β, e interessante considerar β = 0, ou seja, tratar avelocidade convectiva como puramente explıcita.
4 Resultados numericos
Neste trabalho, a descricao do movimento e feita na formulacao ALE. As interfaces entre duasfases de fluidos sao conformes com a malha, ou seja, sao representadas explicitamente por meiode arestas (em 2D) e faces (em 3D). Sao adotadas malhas simpliciais onde a estrutura de dadosutilizada para representa-las no computador e uma variante da proposta em [1]. Duas formasde estabilizacao da pressao sao adotadas: utilizando a combinacao de espacos P+
1 -P1, ondeos coeficientes da velocidade referentes as bolhas sao condensadas estaticamente, reduzindo onumero de incognitas a serem resolvidas no sistema; e utilizando a combinacao P1-P1 com aformulcao Galerkin/Least-Square (GLS).
A simulacao ilustrada na figura (2) e de uma gota de raio R = 1, livre de forcas de campo,com uma perturbacao no instante inicial. A gota tem viscosidade ν = 0.01 e tensao superficialγ = 1. A pressao e a viscosidade externas a gota sao nulas. A solucao numerica e comparadacom uma solucao analıtica valida para pequenas oscilacoes.
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0.5 1.0 1.5
Figura 1: Perfil do campo de pressao da gota em varios instantes durante meio perıodo deoscilacao; nesta simulacao foi usado o mini elemento em uma descricao Lagrangeana.
5 Conclusao
Foram apresentados aspectos teoricos da inclusao da tensao superficial na formulacao variaci-onal das equacoes de Navier-Stokes em uma abordagem do princıpio do trabalho virtual. Aformulacao variacional obtida, combinada com elementos de geometria diferencial, permitemque seja natural a traducao do problema para o computador por meio do metodo de elementosfinitos.
Um programa 2D/3D foi elaborado para resolver escoamentos com tensao superficial naformulacao ALE, onde e possıvel escolher entre dois tipos de estabilizacoes diferentes: por mini-elemento com condensacao estatica das bolhas ou pela formulacao GLS. Como trabalho futuro,serao concluıdos alguns testes para a validacao e verificacao da precisao do calculo da curvaturapelo operador Laplace-Beltrami. Serao estudadas estrategias de movimentacao da malha paragarantir a precisao do metodo, como exemplo, a viabilidade do tratamento implıcito do termoconvectivo na formulacao ALE. Serao implementados tambem modelos para as linhas de contatodinamicas.
Referencias
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[2] F. Brezzi e M. Fortin, Mixed and Hybrid Finite Element Methods, Springer, 1991.
[3] G. Buscaglia e R. Ausas, Variational Formulation for surface tension, capillarity and wet-ting, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, submetido.
[4] J. Donea e A. Huerta, Finite Element Methods for Flow Problems, Wiley, 2003.
[5] S. Dufour e D. Pelletier, An adaptive finite element method for multiphase flows withsurface tension, Computational Mechanics: New Trends and Applications, (1998) 1-18.
[6] P.-G. de Gennes, Wetting: statics and dynamics, Reviews of Modern Physics, 57 (1985)827-863.
[7] G. Scovazzi e T. J. Hughes, Lecture Notes on Continuum Mechanics on Arbitrary MovingDomains, 2007.
[8] F.S. Sousa e N. Mangiavacchi, A Lagrangian level-set approach for the simulation of incom-pressible two-fluid flows, International Journal for Numerical Methods in Fluids, 47 (2005)1393-1401.
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