simplex otimo - unicamptiago/courses/otimizacao_linear...primal e do dual ex gap c t x b y condi c...
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Universidade Estadual de CampinasFACULDADE DE ENGENHARIA EL�ETRICA E DE COMPUTAC� �AO
DT�FEEC�UNICAMP
M�etodo de Pontos Interiores em Programa�c�ao Linear
� Introdu�c�ao
��� Pontos Interiores X Simplex
� Ambos e�cientes
� Simplex� muitas itera�c�oes �simples� pelas arestas
� Pontos Interiores� poucas itera�c�oes �caras� pelos pontos inte�
riores�
otimo
simplex
pontos interiores
Figure �� Simplex X Pontos Interiores
��� Nota�c�ao
� A�B�C��� onde A � faijg � Matrizes
� a� b� c��� onde a � faig � Vetores colunas
��� Programa�c�ao Linear � Formas Padr�oes
Primal �
�������������
min ctx
sa Ax � b
x � �
Dual �
�������������
max bty
sa Aty � c
y livre
ou Dual �
�������������
max bty
sa Aty z � c
z � �� y livre
��� De�ni�c�oes
� Def� �� Ponto interior� xo tal que xo � � e ponto interior
do primal�
� Def� �� Ponto fact��vel� xo tal que Axo � b� xo � � e um
ponto fact�vel do primal�
� Def� �� Ponto interior fact��vel �satisfaz e ��� xo tal que
Axo � b� xo � � e um ponto interior fact�vel do primal�
� Def� � Gap �ou GAP�� diferen�ca entre o valor do primal e
do dual� Ex�� GAP � ctx� bty�
�� Condi�c�oes de Otimalidade
i� Primal factibilidade� b�Ax � �� x � �
ii� Dual factibilidade� c� Aty � z � �� z � �
iii� Condi�c�ao de Complementaridade� xizi � �
�� Problemas de M��nimos Quadrados
Problema� Minx�R��x� � ��k b� Ax k�
Logo�
��x� � ���b�Ax�t�b�Ax� � �
��btb� btAx� xtAtb xtAtAx�
r��x� � � � x � �AtA���Atb
r���x� � AtA � � � e m�nimo global�
x0 x1 x2
f(x)
x
Figure �� M�etodo de Newton
�� M�etodo de Newton
� Caso monovariavel�
��x� �� ��x�� r�t�x���x� x��
��x� � � � r�t�x��x � r�t�x��x� � ��x��
x � x� � ��x��r��x��
� Caso Multivariavel�
Metodo de Newton�
��x� �� ��xk� r��xk��x� xk� ���x� xk�tJ�xk��x� xk�
onde J�xk� � r�r��xk�� �Jacobiana de ��x��
r��x� � � � r��xk� J�xk��x� xk� � �
xk�� � xk � ��J�xk����r��xk�
� Lema �� Uma dire�c�ao d para melhorar a fun�c�ao objetivo e
fact�vel para restri�c�oes de igualdade do tipo Ax � b se Ad � �
�pois A�x d� � b � Ad � ���
� Premissa �� Algoritmos de pontos interiores come�cam em
pontos interiores fact�veis e movem de ponto em ponto interior
fact�vel� em dire�c�ao �a solu�c�ao otima�
� M�etodo PrimalA�mEscala
��� Base Te�orica
X�nxn� � diag�x� �
��������������
x� � ��� �
� x� ��� �
� � ��� �
� � ��� �
� � ��� xn
�������������
Miny�z��k Xz k� sa z � c�Aty
Miny�z��k Xz k� �Minz
��k X�c�Aty� k
�
Z � k X�c� Aty� k�
� ctX tXc� ctX tXAty � ytAX tXc ytAX tXAty
X t � X � ryZ � �� �AX�c AX�Aty � �
z � c�At�AX�At���AX�c
Teorema �Dikin � Dados x tal que Ax � b� x � �� z �
c�Aty� y � �AX�At���AX�c� ent�ao a dire�c�ao d � �X�z e uma
dire�c�ao de descida fact��vel�
Assim� d � �X�z minimiza k Xz k��
xk�� � xk �kdk com�
�k � �min�ki����
xki
�ki
�� � � � � � dk � f�ki g
��� Algoritmo
� Dados � � ��� � e x� j Ax� � b� x� � �� k � ��
�� Fa�ca ate convergir�
�a� yk � �A�Xk��At���A�Xk��c
�b� zk � c� Atyk
�c� dk � ��Xk��zk
�d� �k � �min�ki��f�
xki
�ki
g
�e� xk�� � xk �kdk
�f� k � k
�� Fim Fa�ca
� a� Criterios de converg�encias�
� Gap relativo� kXkzkk��kbtyk�ctxkk � �
� Primal factibilidade� kb�Axkk
��kbk � �
� Dual factibilidade� kc�Atyk�zkk
��kck � �
� Varia�c�ao do valor da fun�c�ao objetivo� kctxk���ctxkk��kctxkk � �
� b� Ponto inicial interior fact�vel x�� resolver�
�PM� �
�������������
min ctx M�
sa Ax p� � b
�x� �� � �
onde� p � b� Ax�� Iniciar com �x�� ��
� c� Calculo de yk�
�A�Xk��At�yk � A�Xk��c
� d� a�m� espa�co a�m� escala� �x � X��x�
�P �
�������������
min ctx
sa Ax � b
x � �
� x � X �x � � �P �
�������������
min �ct�x
sa �A�x � b
�x � �
�c � Xc� �A � AX �
��� Proje�c�ao A�m�Escala
Problema� �������������
max ctx
sa Ax � b
x � �
Dire�c�ao d tal que��������������
max ct�x� d�
sa A�x� d� � b
k d k� �
Lagrangeano�
L�d� y� � � ct�x� d� � � dtd�� yt�A�x� d�� b�
Dual�
Mind�y��L�d� y� ��
Otimalidade�
i� �L�d� c� �d� Aty � �
ii� �L��� � dtd � �
iii� �L�y� A�x� d�� b � �
iii�� Ax� � b Ad � � � Ad � �
� ���
i�� c� d� Aty � � � d � c� Aty
� y � �AAt���Ac
d � c� At�AAt���Ac � �I � At�AAt���A�c � Pc
P � �I � At�AAt���A� � matriz de proje�c�ao ortogonal
ao espa�co nulo de A�
Figura �� d � da db� da � Atx
Adb � A�d� da� � � �espa�co nulo de A��
Assim�
Ad � Ada � AAtx
x � �AAt���Ad � da � At�AAt���Ad
db � d�At�AAt���Ad � �I �At�AAt���A�d � P �A�d
d
dd a b
R(A )t
N(A)
Figure � Matriz de projec�ao ortogonal de A
Problema � �P ��
�d � � �P �c � ��I � �At� �A �At��� �A��c
�A � AX� �c � Xc� itera�c�ao k�
�dk � ��I �XkAt�AXkXkAt���AXk�Xkc
� �Xkc XkAt�A�Xk��At���A�Xk��c
Logo�
�����
dk � Xk �dk � ��I � �Xk��At�A�Xk��At���A���Xk��c
xk�� � xk �kdk
Primal�a�m�escala�
�������������
dk � ��Xk��zk
zk � c�Atyk
yk � �A�Xk��At���A�Xk��c
�
�����
dk � ��I � �Xk��At�A�Xk��At���A���Xk��c
xk�� � xk �kdk
��� Exemplo �Frannie�s Firewood Problem�
Frannie vende � �cordas� de lenha todo �nal do ano� Pode vender
meia �corda� a U��� ou uma �corda� a U� ��� Como maximizar
o lucro�
Modelo �
�������������
max ��x� ��x�sa �
�x� x� � �
x�� x� � �
x � variavel de folga� � ���� �� � ponto inicial interior fact�vel
Resultado� tabela � �gura ��
x� x� x ctx
c� � �� c� � �� c � � b � �
��� ���� ���� �����
��� ���� ��� �����
���� � � ���� ������
���� ��� ���� ������
���� �� � ���� ������
���� ���� ��� ������
���� ��� ����� ������
���� ����� ����� ������
���� ���� ����� ������
���� ����� ����� ������
12
34
56
0
0.5
1
1.5150
200
250
300
350
400
450
500
550
x1x2
c’x
Figure �� Evoluc�ao dos pontos interiores do problema de Frannie
� M�etodo DualA�mEscala
��� Introdu�c�ao
Problema�
�����min �
�k Zx k�
sa Ax � bZ � diag�zi�
Lagrangeano�
L�x� w� � �� k Zx k
� wt�b� Ax� � ���x
tZZx� wt�b�Ax�
Condi�c�oes de otimalidade�
�����
�L�x� � � Z�x� Atw � �
�L�w� � � b�Ax � �
Ou seja�
x � Z��Atw� �AZ��At�w � b� x � Z��At�AZ��At���b
Hessiana�
H �
���Z� �A
�At �
�� � �AAt � �
z � c�Aty � dz � �Atdy
Dire�c�ao dz � �Z�x�
dz � �Z��Z��At�AZ��At���b�
� �At�AZ��At���b � �Atdy
Assim�
dy � �AZ��At���b
Teorema� Dados �y� z� tais que z � c � Aty� z � �� Ax � b�
x � Z��At�AZ��At���b� a dire�c�ao dada por�
�dy� dz� � �AZ��At���b��Z�x�
e dual fact�vel e e de subida�
��� Algoritmo
� Dados �y�� z�� tal que Aty�z� � c� z� � � e � � ��� �� k �
��
�� Fa�ca ate converg�encia�
�a� dyk � �A�Zk���At�b
�b� dzk � �Atdyk
�c� xk � ��Zk���dzk
�d� �k � �min�zki��f�
zki
�zki
g
�e� yk�� � yk �kdyk
�f� zk�� � zk �kdzk �ou zk�� � c� Atyk���
�g� k � k
�� Fim Fa�ca
� a� Criterio de converg�encia originalmente utilizado�
kbtyk�btyk��kmax���kbtykk� � ��
� b� Ponto inicial dual fact�vel �y�� z��� resolver o problema�
�������������
max bty �M�
sa Aty z � e� � c
z � �
aplicando o metodo dual�a�m�escala ate � � �� com valor
inicial y� qualquer �livre�� �� � ��minj�cj � Atjy
���
� c� zk�� � c�Atyk�� � c�At�yk �kdyk� �
c�Atyk � �kAtdyk � zk �kdzk
� d� O calculo de xk e dispensavel� a n�ao ser que se utilize no
criterio de converg�encia�
� e� Como y e livre� n�ao e feito teste de barreira�
� f� Grande custo computacional no calculo de A�Zk���At�
M�etodo PrimalDualA�mEscala
��� Introdu�c�ao
Condi�c�oes de otimalidade�
F �x� y� z� �
�������
Fp
Fd
Fa
�������
�������
Ax� b
Aty z � c
XZe
������� �
Aproxima�c�ao linear fornece�
�x� y� z� �� �x�� y�� z��� J���x�� y�� z��F �x�� y�� z��
pois�
F �x� y� z� �� F �x�� y�� z�� J�x�� y�� z����x� y� z��
�x�� y�� z���� � �
�F �x�� y�� z�� �
�������
b�Ax�
c�Aty� � z�
�X�Z�e
�������
�������
rprdra
������� r
e�
J�x�� y�� z�� �
�������
rF tp
rF td
rF ta
�������
�������
A � �
� At I
Z� � X�
������
Assim�
�x� y� z� � �x�� y�� z��
�������
A � �
� At I
Z� � X�
������
�� �������
rprdra
������� �x�� y�� z�� d
onde�
d �
�������
dx
dy
dz
�������
�������
A � �
� At I
Z� � X�
������
�� �������
rprdra
������
Pode�se resolver o sistema�
�������
A � �
� At I
Z� � X�
������
�������
dx
dy
dz
�������
�������
rprdra
������
Considerando�
�������������
Adx � rpAtdy dz � rdZ�dx X�dz � ra
dz � rd �Atdy � �
Z�dx X�dz � Z�dx X��rd � Atdy� � ra
Z�dx�X�Atdy � ra �X�rd
Ou seja�
��X����Z�dx Atdy � ��X����ra rd
que fornece�
���
A �
�D At
��
���dx
dy
�� �
���rprd � �X
����ra
��
onde D � X��Z� Note que�
�������������
Adx � rp�Ddx Atdy � rd �X��radx � D���Atdy � rd X��ra�
e�
D��Atdy � dx D���rd �X��ra�
�AD��At�dy � Adx AD��rd �AD��X��ra
� �AD��At�dy � rp AD��rd �AZ��ra
��� Algoritmo
� Dados �x�� y�� z�� tal que �x�� z�� � � e � � ��� �� k � ��
�� Fa�ca ate converg�encia�
�a� rkp � b� Axk
�b� rkd � c�Atyk � zk
�c� rka � �XkZke
�d� Dk � ��Xk���Zk�
�e� dyk � �A�Dk���At����rkp A�Dk���rkd �A�Zk���rka �
�f� dxk � �Dk����Atdyk � rkd �Xk���rka �
�g� dzk � �Xk����rka � Zkdxk�
�h� kp � min�xki��f�
xki
�xki
g
�i� kd � min�zki��f�
zki
�zki
g
�j� �kp � min��kp� �
�k� �kd � min��kd� �
�l� xk�� � xk �kpdx
k
�m� yk�� � yk �kddy
k
�n� zk�� � zk �kddz
k
�o� k � k
�� Fim Fa�ca
� A converg�encia pode ser testada sobre o valor de k F k��
� O ponto inicial �x�� y�� z�� n�ao precisa ser fact�vel� Recomenda�
se�
� Para o primal�
Fazendo x � At�y� Ax � b � AAt�y � b
� �y � �AAt���bAt�y � At�AAt���bx � At�AAt���b�� � max��minixi� ���
kbk���kAk��� onde ��
�� ��
x�i � max�xi� ���
�k b k� �Pmi � j bi j� k A k� � maxj
Pmi � j aij j�
� Para dual�
Aty z � c� y livre e z � � � y� � �� e�
z� �
�������������
zi � se zi � �
�zi se zi � ��� se �� � zi � �
onde � � k c k�� Estes pontos procuram ser bem
posicionados� longe da fronteira �xizi n�ao muito pequenos��
� O tamanho do passo para y e o mesmo de para z ��kd� para
garantir que ocorra c� Atyk � zk � � na converg�encia�
c�Atdyk�� � zk�� � c�At�yk �kddy
k�� �zk �kddz
k�
� �c�Atyk � zk�� �kd�A
tdyk � dzk�
� Como n�ao precisa de ponto inicial fact�vel� este metodo e mel�
hor que o primal ou dual �n�ao precisa de fase I��
� M�etodo PrimalDual Cl�assico
�� Introdu�c�ao
Primal�dual a�m�escala permite que x e z aproximem r�apidamente
das fronteiras � ine�ciente�
Primal�Dual Classico acrescenta uma perturba�c�ao na condi�c�ao
de complementariedade�
xizi � �i
Novas condi�c�oes de otimalidade�
�������������
b� Ax � �
ct � Aty � z � �
�e�XZe � �
� tal que limk � ��k � �
Estima�c�ao de �k�
�k � Tr��Xk�tZk� onde� Tr�X � � tra�co de X
Na maioria das implementa�c�oes� adota�se�
�k � �k��k
n�� �k � ��� �
Nota� �k � � � primal�dual a�m�escala� �k � �
dire�c�ao de centragem pois�
�e�XZe � �
�k
ne�XZe � � � X tZe �
X tZ
ne
A cada itera�c�ao� tem�se o sistema J�xk� yk� zk�dk � rk� ou seja�
�������
A � �
� At I
Zk � Xk
������
�������
dxk
dyk
dzk
�������
�������
rkprkdrkc
�������
�������
b�Axk
c� At � zk
�ke� �Xk�tZke
������
Tem�se assim� duas diferen�cas em rela�c�ao ao metodo primal�dual
a�m�escala�
� a� troca de rka por rkc
� b� calculo de �k
�� Algoritmo
� Dados �x�� y�� z�� tal que �x�� z�� � �� � � ��� �� � � ��� � e
k � ��
�� Fa�ca ate converg�encia�
�a� �k � Tr�XkZk�
�b� �k � ���k
n�
�c� rkp � b� Axk
�d� rkd � c�Atyk � zk
�e� rkc � �ke�XkZke
�f� Dk � ��Xk���Zk�
�g� dyk � �A�Dk���At����rkp A�Dk���rkd �A�Zk���rkc ��h� dxk � �Dk����Atdyk � rkd �X
k���rkc ��i� dzk � �Xk����rkc � Zkdxk�
�j� kp � min�xki��f�
xki
�xki
g
�k� kd � min�zki��f�
zki
�zki
g
�l� �kp � min��kp� �
�m� �kd � min��kd� �
�n� xk�� � xk �kpdx
k
�o� yk�� � yk �kddy
k
�p� zk�� � zk �kddz
k
�q� k � k
�� Fim Fa�ca
� O criterio de converg�encia e a inicializa�c�ao deste metodo po�
dem ser os mesmos do metodo primal�dual a�m�escala� E
recomendavel inicializar com �� alto�
� Dependendo dos valores de � e � � obtemos algoritmos de diver�
sas naturezas �complexidade polinomial� converg�encia super�
linear� etc���
� Os valores t�picos de � est�ao entre ������� ���������
� Quando �k � � recomenda�se utilizar �k � ��k��
npara procu�
rar acelerar a converg�encia�
� M�etodo PreditorCorretor
�� Introdu�c�ao
Baseado em � componentes�
� dire�c�ao a�m�escala �d �dire�c�ao de Newton� preditor��
� dire�c�ao de centragem� de�nido pelo � do primal�dual classico�
� dire�c�ao de corre�c�ao �d� que tenta compensar a aproxima�c�ao
linear de Newton�
Ideia� calcular a dire�c�ao a�m�escala e estudar o progresso ao
longo desta dire�c�ao� atuando na perturba�c�ao � �centragem� e na
corre�c�ao n�ao�linear�
No ponto �x� y� z��
� �
�������������
Ad�x � rpAtd�y d�z � rdZd�x Xd�z � ra � �XZe
Obtem�se� ent�ao� o ponto ��x� �y� �z�� onde�
�������
�x
�y
�z
�������
�������
x d�x
y d�y
z d�z
������
A seguir� determinar a dire�c�ao �d�x� d�y� d�z��
���
�������������
Ad�x � �
Atd�y d�z � �
Zd�x Xd�z � �e� �D�xD�z�e � rc
onde D�x � diag�d�x� e D�z � diag�d�z�� Finalmente� a dire�c�ao
�nal �dx� dy� dz� e determinada somando � � e �����������������
A�d�x d�x� � rpAt�d�y d�y� �d�z d�z� � rdZ�d�x d�x� X�d�z d�z� � ra rc � rs
onde�
�����ra � �XZe
rc � �e� �D�xD�z�e
�� Algoritmo
� Dados �x�� y�� z�� tal que �x�� z�� � �� � � ��� � e k � ��
�� Fa�ca ate converg�encia�
�a� rkp � b� Axk
�b� rkd � c�Atyk � zk
�c� rka � �XkZke
�d� Dk � ��Xk���Zk�
�e� d�yk � �A�Dk���At����rkp A�Dk���rkd �A�Zk���rka �
�f� d�xk � �Dk����Atd�yk � rkd �Xk���rka �
�g� d�zk � �Xk����rka � Zkd�xk�
�h� �kp � min��xki��f�
xki
��xki
g
�i� �kd � min��zki��f�
zki
��zki
g
�j� ��kp � min�� �kp� �
�k� ��kd � min�� �kd� �
�l� ��k � �xk ��kpd�x
k�t�zk ��kdd�z
k�� �k � Tr�XkZk�
�m� �k �
���������
���k
�k� se �k �
� �kpn� se �k �
�n� �k � �k��k
n�
�o� rks � rka �ke� �D�xk��D�zk�e
�p� dyk � �A�Dk���At����rkp A�Dk���rkd �A�Zk���rks �
�q� dxk � �Dk����Atdyk � rkd �Xk���rks �
�r� dzk � �Xk����rks � Zkdxk�
�s� kp � min�xki��f�
xki
�xki
g
�t� kd � min�zki��f�
zki
�zki
g
�u� �kp � min��kp� �
�v� �kd � min��kd� �
�w� xk�� � xk �kpdx
k
�x� yk�� � yk �kddy
k
�y� zk�� � zk �kddz
k
�z� k � k
�� Fim Fa�ca
Nota�
� O criterio de converg�encia e a inicializa�c�ao deste metodo po�
dem ser os mesmos do metodo primal�dual a�m�escala�
� Dois sistemas lineares precisam ser resolvidos� utilizando a
mesma rela�c�ao� A�Dk���At � Lk�Lk�t�
� Espera�se que o esf�or�co para resolver dois sistemas lineares seja
recompensado pela redu�c�ao no numero de itera�c�oes�
� Este e o metodo com melhores resultados teoricos e praticos
�tem converg�encia quadratica��
� M�etodo de Barreira Logar��timica
�� Introdu�c�ao
Seja o problema�
�P � �
�������������
max ctx
sa Ax � b
x � �
Substituindo a restri�c�ao x � � na forma�
� �P � �
�������������������������������������������������
max ctx �tf�x�
sa Ax � b
onde � f�x� � ln�x� �
������������������
ln�x��
ln�x��
�
�
�
ln�xn�
�����������������
� pode ser assumido um escalar �� � R��
Exemplo�
�������������������
min z � �x� �x�sa x� x� � �eq� �
� � x� � � �eq���
� � x� � � �eq���
����������������
����
����
��������
��������
������������������
������������������
��������������������������������
��������������������������������
���������������������������������������������
���������������������������������������������
�����������������������������������
�����������������������������������
���������������
���������������
���������
���������
����
x1
x2eq. 2
eq. 3eq. 1
1 2
1
2
Figure �� Regi�ao fact��vel do problema
Regi�ao fact�vel na �gura �� Com as variaveis de folga����������������������������
min z � �x� �x�sa x� x� � x �
x� x� � �
x� x� � �
xi � �� i � � �� �� �� �
Com a adi�c�ao da fun�c�ao barreira�
���������������������������
min �z � �x� �x� � ��ln�x�� ln�x�� ln�x�
ln�x�� ln�x���
sa x� x� � x �
x� x� � �
x� x� � �
Vamos analisar duas situa�c�oes�
� a� x� � x� ��� �aproximadamente no meio da regi�ao fact�vel�
z � �x� �x� � �
�z �� �����
� b� x� � ����� x� � ���� �quase na fronteira�
z � �����
�z �� ����
�P � pode ser colocado como sendo�
�P �� �
�����max f�x� � ctx �lnx
sa Ax � b
e o problema de busca de melhor dire�c�ao fact�vel �em torno do
ponto xk� pode ser colocado como�
�P �� �
�����max f�xk� dxk� �� rf t�xk�dxk �
��dxk�tJ�xk�dxk
sa Adxk � �
Note que����������������������
rf�xk� � c � �xk
J�xk� � faijg
aij �
�������
� �
�xki��
se i � j
� se c�c�
Aplicando o metodo primal a�m�escala ao P ���� obtemos �do
lagrangeano associado��
dxk � ��XkP k�ck �e�
onde Xk � diag�xk�� ck � cXk e P k e a matriz de proje�c�ao
P k � I � �Ak�t�Ak�Ak�t���Ak com Ak � AXk�
Proximo ponto interior�
xk�� � xk �kdxk� com dxk � XkP k�ck �e�
Melhor tamanho do passo no metodo de Newton � ��� ��
�k � minf ��� �maxg� onde� max � min�
xki
��f�xki
�xki
g
� in!uencia fortemente no fator de converg�encia�
Valor t�pico� � � ���� �����
�� Algoritmo
� Dados � � ��� �� x� � �� �� grande� k � ��
�� Fa�ca ate convergir�
�a� Xk � diagfxkg
�b� ck � Xkc
�c� Ak � AXk
�d� P k � I � �Ak�t�Ak�Ak�t���Ak
�e� dxk � XkP k�ck �ke�
�f� kmax � min�xki��f� xk
i
�xki
g
�g� �k � minf ��k� �kmaxg
�h� xk�� � xk �kdxk
�i� �k�� � f��k� ctxk�
�j� k � k
�� Fim Fa�ca
Nota�
� a� Criterio de converg�encias� pode ser feito sobre a varia�c�ao do
valor de ctxk � ctxk � �� ou sobre o valor de dxk � dxk � ���
� b� O ponto inicial interior x� pode ser encontrado utilizando o
metodo de M grande� como no caso do primal a�m�escala�
� c� O valor de �k pode ser tal que�
�k �
������ se k ctxk k grande
k ctxk k se k ctxk k pequeno
ou considerando�
�k�� � �k� � � �
O valor de � R� � � de�ne a velocidade de converg�encia�
� Coment�arios sobre Sistemas Lineares
Nos metodos de pontos interiores� s�ao precisos determinar matrizes
do tipo� B � AD��At� onde A e uma matriz dada e D � � e uma
matriz diagonal que varia a cada itera�c�ao e e tal que�
� Primal A�m�Escala� D � X�� �yk � �A�Xk��At���A�Xk��c�
� Dual A�m�Escala� D � Z� �dyk � �A�Zk���At�b�
� Primal�Dual A�m�Escala�
D � X��Z�dyk � �A�Dk���At����rkp A�Dk���rkd �A�Zk���rkc ��
E uma etapa computacionalmente �cara�� A seguir� vamos anal�
isar alguns aspectos que poder�ao melhorar o comportamento com�
putacional�
Como D � � e diagonal� Dt � � tambem e diagonal e podemos
escrever�
B � AD��At � �A �At � � com �A � AD���
Assim� o elemento ij de B e dado por �ver �gura ���
ij � ��ai�t��aj� �
Pnk � �aik�ajk �
Pni � aikajk�
��kk
onde f�ijg � D� Para cada ij � temos ��� produtos uma
soma�n� � �n opera�c�oes� Como aikajk e constante para todas as
i j
ai
t ~
aj
Figure �� ��ati���aj�
itera�c�oes� se armazenarmos este produto� o calculo de ij vai exigir
�� produto soma�n� � �n opera�c�oes�
Existem m�m���� elementos diferentes em B �simetrica� portanto�
m �m � � ��� � m��� m�� Assim� o numero de opera�c�oes
s�ao�Sem armazenamento� �nm�m���
� opera�c�oes
Com armazenamento� nm�m � opera�c�oesA matriz B e simetrica e de�nida positiva� Logo� a resolu�c�ao do
sistema�
Bd � b
�ca facilitada� se decompormos na forma�
LUd � b
onde�
�����L � matriz triangular inferior unitario
U � matriz triangular superior unitarioAqui� unitario signi�ca matriz com "s na diagonal principal� A
resolu�c�ao e processada� fazendo�
=
L w b
=U d w
Figure �� Decomposic�ao LU � Soluc�ao por substituic�ao
L�Ud� � b
�����Lw � b
Ud � w
A decomposi�c�ao LU n�ao e unica mas a decomposi�c�aoB � L U
e unica �onde e diagonal e L e U s�ao matrizes unitarios� E
poss�vel mostrar que� para matrizes simetricas� U � Lt� ou seja�
B � L Lt� Como B � � � � �� podemos escrever que
� ��
�� � o que permite escrever�
B � L ��
��Lt � �L�Lt
que e conhecido como decomposi�c�ao de Cholesky� Isso permite
escrevermos�
Bd � b� �L�Ltd � b�
������Lw � b�Ltd � w
FEEC� �� de mar�co de �����
Akebo Yamakami � Orientador
DT�FEEC�UNICAMP