Siglo XVI: J. Kepler, G. Galilei y B. Cavalieri

Tanto S. Stevin como J. Kepler y G. Galilei necesitaban para sus problemas prácticos los métodos de Arquímedes, pero todos ellos querían evitar las sutilezas lógicas del método exhaustivo.

Fueron en gran medida las modificaciones resultantes de los antiguos métodos infinitesimales las que condujeron finalmente al cálculo infinitesimal propiamente dicho,

Tema 3: Del Cálculo Diferencial a las Ecuaciones diferenciales

Fue un matemático, ingeniero militar e hidraúlico, constructor de molinos y fortificaciones, contable e intendente neerlandés. Su fama en vida y en la época inmediatamente posterior a su muerte fue grande, llegando a ser considerado como una suerte de Leonardo da Vinci del norte

Simon Stevin (1548-1620),

Stevin, ingeniero de Brujas, demostró que el centro de gravedad de un triángulo está situado sobre una mediana. Inscríbanse en el triángulo en cuestión ABC un cierto ' número de paralelogramos de la misma altura y cuyos lados sean dos a dos paralelos a la base del triangulo uno de los lados y a la mediana trazada desde el vértice opuesto a este lado.

Simon Stevin (1548-1620),

Inscribamos en el triángulo una cantidad, infinita de tales paralelogramos, y como a mayor número de paralelogramos menor será la diferencia entre la figura inscrita y el triángulo.

Usando el principio arquimediano de que figuras bilateralmente simétricas están en equilibrio.

La conclusión que se impone es la de que el centro de gravedad del triángulo debe estar situado sobre la mediana

S. Stevin

Johann Kepler (1571-1630)

Figura clave en la revolución científica, astrónomo y matemático alemán; fundamentalmente conocido por sus leyes sobre el movimiento de los planetas en su órbita alrededor del Sol .Fue colaborador de Tycho Brahe, a quien sustituyó como matemático imperial de Rodolfo II.

Una de sus obligaciones, tras ocupar el puesto de matemático del emperador Rodolfo II, era la de redactar horóscopos; El año 1612 había sido un año de vino excepcionalmente bueno, y Kepler consideró un método general para el cálculo de volúmenes que consistía en considerar los sólídos como compuestos de una cantidad infinita de elementos de volumen infinitesimalmente pequeños.

J. Kepler (1571-1630)

En su Astronomia Nova del año 1609 anunció sus leyes astronómicas1º Los planetas tienen movimientos elípticos alrededor del Sol, estando éste situado en uno de los 2 focos que contiene la elipse. 2ª ley astronómica: “el radio vector que va desde el Sol a un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales”.

Kepler necesitaba la idea de infinitos elementos infinitamente pequeños para aplicarlos a la astronomía, especialmente en conexión con sus órbitas elípticas .

J. Kepler (1571-1630)

Para demostrar su 2ª ley, supuso que el área en cuestión estaba formada por triángulos infinitamente pequeños con un vértice en el Sol y los otros dos vértices en puntos infinitamente próximos sobre la órbita del planeta.

Con éste método pudo calcular distintas áreas.

Johan Kepler

Por ejemplo, el área del círculo puede calcularse de esta manera teniendo en cuenta que las alturas de los triángulos:

Infinitamente estrechos son «casi iguales» al radio del círculo.

La suma de las b_i coincide con la longitud l_c de la circunferencia C, el área A vendrá dada por la fórmula A = 1/2 l_c r =πr²

Johan Kepler

Entonces, siguiendo a N. Oresme, podemos considerar el área de la elipse y el área del círculo como formadas por todas las ordenadas correspondientes a los puntos de ambas curvas,

pero como la razón de las componentes de estas dos áreas es la razón constante b/a , las áreas totales deben estar en la misma razón,

Johann Kepler

Dado que el área del círculo es πa², entonces el área de de la elipse área= πab , Este resultado es correcto, pero en lo que se refiere a la longitud de elipse lo único que pudo hacer Kepler fue dar la fórmula aproximada

l=π(a+b)

Johann Kepler

Astrónomo, filósofo, matemático y físico italiano que estuvo relacionado estrechamente con la revolución científica. Eminente hombre del Renacimiento, mostró interés por casi todas las ciencias y artes (música, literatura, pintura). Sus logros incluyen la mejora del telescopio, gran variedad de observaciones astronómicas, la primera ley del movimiento y un apoyo determinante para el copernicanismo. Ha sido considerado como el «padre de la astronomía moderna», el «padre de la física moderna»[6] y el «padre de la ciencia».

G. Galileo (1564-1642)

Galileo escudriña los cielos con su telescopio y hace rodar bolas por planos inclinados. Entre los resultados de los estudios de Galileo se encuentran dos famosos tratados, uno de ellos astronómico y el otro físico, y aunque no eran estrictamente de tipo matemático, se hacen en ambos muchas consideraciones matemáticas,y frecuentemente éstas se refieren a las propiedades de lo infinitamente grande y de lo infinitamente pequeño.

G. Galileo (1564-1642)

Estas obras son diálogos, en la primera acerca de los méritos relativos las dos concepciones del universo, la ptolemaica y la copernicana, Este diálogo lo sostienen tres amigos: Salviati (un intelectual bien informado científicamente), Sagredo (un inteligente profano en la materia) y Simplicio (un obtuso aristotélico).

G. Galileo (1564-1642)

En la segunda el autor utiliza a veces lo infinitamente pequeño de una manera que roza lo caprichoso,como cuando Salviati intenta convencer a Simplicio, de que es igual de fácil dividir un segmento en un número infinito de partes que en un número finito. En primer lugar consigue que Simplicio admita que uno no necesita para ello separar las partes, sino simplemente señalar los puntos de división. Si, por ejemplo, doblamos un segmento para formar un cuadrado o un octógono regular, hemos conseguido evidentemente dividirlo en cuatro o en ocho partes iguales.

G. Galileo (1564-1642)

Salviati saca entonces la conclusión de que si doblamos el segmento dándole la forma de una circunferencia, entonces …

«hemos reducido a una presencia actual aquel número infinito de partes que según vos afirmabais, estaban contenidas en el segmento sólo potencialmente, mientras estaba recto», ya que la circunferencia es lo mismo que un polígono de un número infinito de lados.

Galileo

Salviati hace observar a Simplicio que se puede establecer una correspondencia biunívoca entretodos los números naturales y los cuadrados perfectos

Por medio del sencillo truco de ir contando los cuadrados perfectos, cada número natural queda inevitablemente asociado a uno y sólo un cuadrado perfecto y viceversa.

Galileo, del infinito en geometría al infinito en aritmética

Galileo se ve aquí cara a cara con la propiedad fundamental de un conjunto infinito:” una parte propia puede tener el mismo número de elementos que el conjunto total”.

No saca esta conclusión, sino que llega incluso a afirmar que no podemos decir que un número infinito es mayor que otro número infinito, y ni siquiera que un número infinito es mayor que un número finito.

Galileo

Discípulo aventajado de Galileo, jesuato que vivió en Milán y en Roma antes de ocupar el cargo de profesor de matemáticas en Bolonia en 1629, escribió sobre aspectos muy diversos tanto de matemática pura como aplicada, geometría, trigonometría, astronomía, óptica, etc. Puede ser considerado como uno de los precursores del análisis infinitesimal moderno.

Bonaventura Cavalieri (1598-1647)

En su obra Directorium 'universale uranometricum de 1632 publicó tablas de senos, tangentes, secantes y senos cosenos, junto con sus logaritmos, con ocho cifras decimales. Fue el primer matemático italiano que apreció en todo su valor el cálculo logarítmico, pero debe su celebridad a su teoría de los «indivisibles», que expuso en Geometría indivisibilibus continuorum quadam nova ratione promota (1635).

B.Cavalieri (1598-1647)

Esta teoría estudia las magnitudes geométricas como compuestas de un número infinito de elementos, o indivisibles, que son los últimos términos de la descomposición que se puede hacer. La medida de las longitudes, de las superficies y de los volúmenes se convierte en efectuar la suma de la infinidad de indivisibles. Un área se puede considerar formada por segmentos rectilíneos o «indivisibles», un volumen sólido se puede considerar análogamente como compuesto de secciones o áreas que son indivisibles ' o volúmenes «quasi-atómicos» .

Geometría indivisibilibus…

El planteamiento general del método de los indivisibles viene expresado con toda claridad en el “Principio de Cavalieri”:

Si dos cuerpos tienen la misma altura y además tienen igual área en sus secciones planas realizadas a una misma altura, poseen entonces: igual volumen.

En estos indivisibles está también el principio del cálculo de una integral definida, aunque sin la noción rigurosa moderna de paso al límite.

B. Cavalieri

Así probó la fórmula

En el enunciado y demostración de Cavalieri se comparaban potencias de segmentos que son paralelos a la base en un paralelogramo, con las correspondientes potencias de los segmentos en uno cualquiera de los dos triángulos en que una diagonal divide el paralelogramo.

B. Cavalieri

Sea AFDC el paralelogramo dividido en dos triángulos por la diagonal CF

y sea HE un indivisible del triángulo CDF que es paralelo a la base CD. Entonces, tomando BC = EF y trazando BM paralela a CD es fácil ver que el indivisible BM en el triángulo A CF será igual al HE en el CDF.

B. Cavalieri

Sea AFDC el paralelogramo dividido en dos triángulos por la diagonal CF

Podemos poner en correspondencia biunívoca los indivisibles del triángulo CDF con indivisibles iguales dos a dos del triángulo ACF, y en consecuencia los dos triángulos son iguales.

B. Cavalieri

Dado que el paralelogramo es la suma de los indivisibles en los dos triángulos, resulta claramente que la suma de las primeras potencias de los segmentos en uno de los dos triángulos es la mitad de la suma de las primeras potencias de los segmentos en el paralelogramo; .

B. Cavalieri

Utilizando un razonamiento análogo, consigue demostrar en su obra posterior “Exercitationes geometricae sex” de 1647, la importante generalización de que para las potencias n-ésimas en general de dichos segmentos, la razón ha de ser 1/n+1 .

B. Cavalieri

En el siglo XVII, las universidades (Bolonia, París, Oxford etc.) se han consolidado como verdaderos focos de difusión del conocimiento científico.A la sombra de estas universidades existen algunos grupos de científicos más o menos organizados tales como la Accademia dei Lincei (a la que perteneció Galileo) y la Accademia del Cimento en Italia, el Cabinet Du Puy en Francia , el Invisible College en Inglaterra y aparecen otros nuevos como la Royal Society (1660) en Londres y la Académie des Sciences (1666) en París.A partir de este momento la matemática se desarrolló más bien movida por su propia lógica interna que por fuerzas de tipo económico, social o tecnológico.

SIGLO XVII

René Descartes (1596- 1650) y Pierre de Fermat (1601 - 1665). Evangelista Torricelli ( 1 608- 1 647), Gilles Persone de Roberval ( 1 602- 1 675), Girard Desargues ( 1 59 1 - 1 66 1) Blaise Pascal (1 623 - 1 662) e Isaac Barrow (1630-1677)

Este período resultará crucial en la historia de la matemática, N o sólo será importante la obra de estos hombres de una manera individual, sino también colectivamente.

La intensidad de la intercomunicación vino incoada por Marin Mersenne (1588-1648) , fraile minimita muy amigo de Descartes y , de Fermat, y que gracias a sus amplios contactos por correspondencia, difundía cualquier noticia de interés científico por toda la «República de las Letras» .

Antecedentes del Cálculo diferencial.

Antecedentes del Cálculo diferencial.

R. Descartes ((1 596- 1 650) , está considerado como el padre de la filosofía moderna y como uno de los nombres más destacados de la revolución científica y probablemente el pensador más capaz de su época.

R. DescartesEl método que Descartes propuso para todas las

ciencias y disciplinas consiste en descomponer los problemas de gran dificultad en partes progresivamente más sencillas hasta hallar los más básicos.

En ese punto deberían captarse las naturalezas simples, que se presentan a la razón de un modo evidente,

proceder a partir de ellas, por síntesis, a reconstruir todo el complejo, exigiendo a cada nueva relación establecida entre ideas simples la misma evidencia de éstas.

Su obra “La géométrie” (1636) fue en su día un triunfo de la pura teoría sin intención práctica, en la misma medida en que lo fueron las Cónicas de Apolonio en la antigüedad, a pesar del papel tan extraordinariamente útil que ambas obras estaban destinadas a jugar en el futuro.

Este trabajo es uno de los tres apéndices al Discours de la méthode, en los que Descartes intentaba dar ejemplos de la aplicación de su método filosófico general.

Las consecuencias de su trabajo hacen que esté considerado como el creador de la geometría analítica, disciplina que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y)=0, donde f representa una cierta expresión matemática.

R. Descartes

Aunque como sabemos, la teoría de funciones sacó finalmente un gran partido de la obra de Descartes, pero lo cierto es que la idea de «forma» o de «función» no pareció jugar ningún papel entre las motivaciones que condujeron a la geometría cartesiana.

Descartes afirma que el problema de hallar la normal (o, equivalentemente, la tangente) a una curva es de gran importancia, pero el método que desarrolla en “La géométrie” no es ni directo ni fácil de aplicar.

R. Descartes