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SIG3141Partie I: Analyse de Fourier
ESIEA 2005-06 D Kateb
• VOLUME HORAIRE ET RYTHME
Face à face pédagogique : - 10h30 de cours et - 10h30 de TD
Travail personnel moyen : 22h30
SIG3141Partie I: Analyse de Fourier
• CHAPITRES ETUDIES
I Les séries de Fourier
II Les espaces L1 et L2
III La transformation de Fourier et la convolution
IV Les distributionsBientôt sur
professeurs.esiea.fr/kateb
login: esiea
mdp : etudiant
SIG3141Partie I: Analyse de Fourier
• Rythme du cours à titre indicatif
SIG3141Partie I: Analyse de Fourier
• En cours : travail régulier : ne pas se laisser dépasser !
• Un cours de soutien pour les nouveaux
• En TD : peu de séances donc bien les utiliser : un travail préparatoire chaque fois !
SIG3141Partie I: Analyse de Fourier
• EVALUATION
Examen partiel : Analyse de Fourier et questions de cours en Signal
Examen final : Signal et questions de cours Analyse de Fourier
Note finale : 50% Examen partiel et 50% Examen final+participation aux TD+TDAO
INTRODUCTIONAméliorer la qualité d’un son , d’une image :Enregistrement bruité que l’on cherche à débruiter (illustration 1)(ou Image que l’on veut rendre plus nette : illustration 2)
- 1. Une représentation du signal où le bruit est isolé- 2. Un outil qui permet de supprimer le bruit
Pour 1 : L’analyse de Fourier ou Analyse spectrale : séries ou intégrales
Pour 2 : La convolution modélisation des filtres linéaires ( intégrale)
illustration 1 Mathematica
illustration 2 Mathematica
Organigramme
Analyse spectrale
Séries de FourierTransformée de Fourier
Filtrage
La convolution
Echantillonnage
Fonctions périodiques
Fonctions L1Fonctions L2 Distributions
INTRODUCTION
Bases mathématiques pour le traitement du signal.
Un signal peut être défini comme une quantité mesurable, dépendant du temps ou de l’espace.
Un son : Une image :
INTRODUCTION
Un signal est modélisé par une fonction d’une ou de plusieurs variables (temps, espace,…)
20 40 60 80 100
-15000
-10000
-5000
5000
10000
15000
f(t) : amplitude en fonction du temps
f(x,y) : intensité lumineuse ou nuances de gris en fonction des variables d’espace
INTRODUCTION
Modèle plus général les distributions
Signal d’intensité infini sur un temps très bref : Distribution ou impulsion de Dirac :
INTRODUCTION
• Notion de fréquenceEn grattant une pièce dentelée à une cadence lente :on obtient un son graveOn obtient un son aigu si la cadence est rapide :Son obtenu en grattant une plaque de plastique dentelée avec un cadence qui s’accélère.
Pour un son : fréquence = hauteur
Sons aigus hautes fréquencesSons graves basses fréquences
Sons purs
Un son pur ne contient qu’une seule fréquence :
Il est représenté par une fonction sinusoïdale :
est la fréquence du son elle correspond à sa hauteur
=440 HZ correspond au la medium.
)2sin()2cos( tbta
Superposition de sons purs
On additionne des sons purs de fréquences multiples :
cliquez ici
Superposition de sons purs
On obtient un son de fréquence
Le son résultant n ’est plus pur.
Le théorème de Fourier
Les sons que l’on trouve dans la nature ne sont pas purs,mais sont des superpositions de sons purs :
Ils contiennent une fréquence qui détermine leur hauteur et toutes les
fréquences n
Le théorème de Fourier
On peut alors les modéliser en somme (infinie) du type :
qu’on appelle série trigonométrique.
)2sin()2cos( tnbtna nn
Le contexte mathématique
Pour modéliser un son d ’une fréquence , on doit disposer d’une fonction périodique f de période :
associée à la pulsation :
1
T
22
T
Le contexte mathématique
Si cette fonction est de classe C1 , elle est
alors la somme d ’une série trigonométrique
0
)sin()cos()(n
nn tnbtnatf
Calcul des coefficients
Les coefficients : et ne sont pas quelconques
ils sont définis par des formules intégrales ils mesurent la ressemblance de f avec la
fréquence pure n
Leur module définit l’amplitude de cette fréquence
na nb
Calcul des coefficients
Pour calculer les coefficients : et
On multiplie f par et
Puis on calcule les intégrales :
et
en remplaçant f par la série :(en se plaçant dans un cas idéal, cela revient à calculer la série des
intégrales)
na nb
)cos( tp
T
dttptf0
)cos()(
)sin( tp
T
dttptf0
)sin()(
Calcul des coefficients
000
0
)sin(cos)cos(cos
cos)(
n
T
n
T
n
T
dttntpbdttntpa
dttptf
000
0
)sin(sin)cos(sin
sin)(
n
T
n
T
n
T
dttntpbdttntpa
dttptf
et
On obtient :
Calcul des coefficients
On utilise des propriétés intégrales des fonctions trigonométriques :
et
pnsi
pnsiT
dttptnT
02)(cos)cos(
0
0)(sin)cos()(sin)cos(000
dttptndttmdttnTTT
pnsi
pnsiT
dttptnT
02)(sin)sin(
0
Calcul des coefficients
0
000)sin(cos)cos(coscos)(
n
T
n
T
n
Tdttntpbdttntpadttptf
dttptpadttptfT
p
T
00
)cos(coscos)(
Dans chaque série, tous les termes sont nuls sauf pour p=n, on a (pour la première intégrale) :
soit
Calcul des coefficients
On obtient ainsi successivement :
et pour :
et
dttfT
aT
00 )(
1
1n
dttntfT
aT
n 0
)cos()(2
dttntfT
bT
n 0
)sin()(2
Calcul des coefficients
Vérifiez ces calculs,
c ’est un très bon exercice pour vous remettre dans « le bain »!
Série de FourierUne série de Fourier est une série du type:
avec :
et pour : et
Les nombres an et bn sont appelés
coefficients de Fourier
1
0 )2sin()2cos(n
nn tnbtnaa
dttfT
aT
00 )(
1
1n
dttntfT
aT
n 0
)cos()(2
dttntfT
bT
n 0
)sin()(2
Théorème 1(Lejeune-Dirichlet)
Toute fonction f, T périodique, C1 par morceaux est décomposable en série de Fourier. On a :
si f est continue au point t.
Et plus généralement :
1
0 )sin()cos()(n
nn tnbtnaatf
1
0 )sin()cos(2
)()(
n
nn tnbtnaatftf
Analyse harmonique ou spectrale
composition fréquentielle du signal
a0 représente la moyenne f sur une période :
dttfT
aT
00 )(
1
-5-2.5 2.5 5 7.5 1012.5
123456
fHxL
-5-2.5 2.5 5 7.5 1012.5
123456
fHxL
1 2 3 4 5 6
123456
a0
Analyse harmonique
est le fondamental :
c ’est l ’harmonique le plus important : il donne le
rythme du signal.
-5-2.5 2.5 5 7.5 1012.5
123456
fHxL
)2sin()2cos( 11 tbta
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
2
3
4
5
Analyse harmonique
2n )sin()cos( tnbtna nn Et pour sont les harmoniques de rang n.
Ils représentent les détails du signal et sont de moins en moins importants, au fur que n augmente.
1 2 3 4 5 6
-2-1.5-1
-0.5
0.51
1.52
harmonique de rang 2
1 2 3 4 5 6
-2-1.5-1
-0.5
0.51
1.52
harmonique de rang 3
1 2 3 4 5 6
-2-1.5-1
-0.5
0.51
1.52harmonique de rang 4
Synthèse harmonique
La somme de la moyenne, du fondamental et de toutes les harmoniques reconstituent le signal :
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
2
3
4
5
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
1
2
3
4
5
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
1
2
3
4
5
6
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
1
2
3
4
5
6
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
1
2
3
4
5
6
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
1
2
3
4
5
6
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
1
2
3
4
5
6
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
1
2
3
4
5
6
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
1
2
3
4
5
6
Représentation spectrale
On représente la composition spectrale du signal par un diagramme en bâton qui matérialise l ’amplitude de chaque harmonique : 22
nnn baA
2 4 6 8
0.5
1
1.5
2Spectre de f
Propriétés des coefficients
Dans certains cas on saura, sans faire les calculs, que des coefficients s ’annulent.
• Cas où f est paire : tous les bn sont nuls.
avec et pour
tnaafS nn
cos)(1
0
2/
00 )(2 T
dttfT
a
1n 2/
0)cos()(
4 T
n dttntfT
a
Propriétés des coefficients
• Cas où f est impaire : tous les an sont nuls..
avec pour
tnbfS nn
sin)(1
1n
2/
0)sin()(
4 T
n dttntfT
b
Propriétés des coefficients
• Si f est impari-symétrique, elle ne contient que des fréquences impaires :
))12sin(())12cos(()( 12121
tnbtnafS nnn
0220 nn baa
2/
012 ))12cos(()(4 T
n dttntfT
a
et
2/
012 ))12sin(()(4 T
n dttntfT
b
Propriétés des coefficients
• L’amplitude des hautes fréquences diminue de plus en plus
0limlim nn
nn
ba
EXEMPLE
• sur • f paire, -périodique
[,0[
2xxf )(
-10 -5 5 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
EXEMPLE
• f paire :
et pour
1,0 nbn
2
100
xdxa
0cos
2nxdxxan
1n
EXEMPLE
1)1(
2
sin2sin2
2
00
n
n
n
dxn
nx
n
nxxa
pairest si
pair imest n si
0
4,1 2nan n
EXEMPLE
• On a donc :
et comme f est continue sur IR :
12)12(
)12cos(4
2)(
n n
xnfS
21 )12(
)12cos(4
2)(
n
xnxf
n
-10 -5 5 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Ecriture complexe des séries de Fourier
En utilisant les formules d’Euler on obtient:
Où :
tinn
n
necfS
)(
T tin
n dtetfT
c0
)(1
00 ca
)(2
1)(
2
1nnnnnn ibacetibac
L’égalité de Parseval
• On montre que l’énergie du signal est
égale à la somme des énergies des
harmoniques et de la valeur moyenne au
carré
1
22200
2
2
1)(
1
kkk
Tbaadttf
T