Billeddannende Fysik Noter til forelæsning 3

Læs 17.4,18.1+7, 37.1-2+5-6, 38.6 (de første 2-3 sider om polarisering), 39.4 (kun det sidste afsnit om Dopplereffekten)

Indhold Indhold ................................................................................................................................ 1 Doppler effekten for lyd...................................................................................................... 1 Blood flow måling med ultralyd......................................................................................... 2 Superposition og interferens ............................................................................................... 2 Lysets bølgeegenskaber ...................................................................................................... 4

Diffraktion................................................................................................................... 4 Interferens ................................................................................................................... 5 Youngs dobbeltspalteforsøg........................................................................................ 5 Optisk gitter ................................................................................................................ 7 Interferens i tynde film................................................................................................ 7 Polarisation ................................................................................................................. 8

Måling af bloodflow med laser doppler teknik................................................................. 10 Beating ...................................................................................................................... 11 Tilbage til Laser Doppleren ...................................................................................... 12

Opgaver............................................................................................................................. 13

Doppler effekten for lyd 17.4 (SJ) Dopplereffekten Frekvensen af bølger, der rammer et skibsskrog, vil øges i takt med skibets fart mod bølgerne øges. At bølgernes frekvens, periode og bølgelængde afhænger af observatørens relative fart i forhold til bølgekildens, er kendt som Dopplereffekten. Det er således Dopplereffekten, som forklarer frekvensen af sirenerne fra en passerende ambulance.

K

vO

vK

O figur 1. Dopplereffekten. En lydkilde, K, bevæger sig med farten, vK, mod en observatør, O, som bevæger sig mod lydkilden med farten, vO. Lydkilden udsender lyd med en bølgelængde på λK i forhold til observatøren.

1/13

Billeddannende Fysik Noter til forelæsning 3

Betragt en lydkilde K og en observatør O, som bevæger sig mod hinanden med farter på hhv. vK og vO målt i forhold til luftens (eller mere generelt bølgemediets) fart. Observatøren oplever en bølgelængde, λO, en smule kortere end da de blev udsendt. Bølgerne er blevet ∆λ kortere. O Kλ λ λ= −∆ , (0.1) K bevæger sige netop vKT i løbet af en periode, og det er netop den afstand λO forkortes med, så

K KO K K K

v v vvv T Kvf f f f

λ λ λ −= − = − = − = (0.2)

hvor vi først har indsat den inverse frekvens i stedet for perioden, og senere farten delt med frekvensen i stedet for bølgelængden. Da observatøren bevæger sig mod kilden vil han møde bølgerne hurtigere end deres hastighed i mediet ( ) og frekvensen som han opfatter, fOv v+ O, vil være højere end den udsendte.

OO

O

v vfλ+

= (0.3)

Men vi kender jo allerede λO fra ligning (0.2), så den indsætter vi bare.

OO

K

v vf fv v+

=−

(0.4)

Dette er det generelle udtryk for Dopplereffekten. Vær opmærksom på at formlen er udledt med en observatør og en kilde, der bevæger sig mod hinanden. Hvis det ikke er tilfældet skal man være opmærksom på fortegnene. Dopplereffekten forekommer ikke bare for lydbølger. Elektromagnetiske bølger bliver også Doppler-forskudt. Man bruger bl.a. denne forskydning til at måle stjerners afstand til jorden. Man kender de frekvenser som stjernerne udsender, men ser en forskydning af disse mod en lavere frekvens. Det kalder man en rødforskydning, fordi synligt lys bliver mere rødt. Jo mere rødforskudt spektret er set fra jorden, jo hurtigere bevæger stjernen sig væk fra os. Man antager samtidigt at universet udvider sig lige meget og lige hurtigt over det hele. Derfor vil stjerner der er langt væk stadig bevæge sig hurtigere væk. Derfor er rødforskydningen, eller dopplerforskydningen af spektret, et udtryk for hvor langt stjernen er væk.

Blood flow måling med ultralyd http://www.engnetbase.com//books/1181/1140_C02.pdfI dette kapitel er der et resumé om ultralyd, og nogle eksempler på måling af flow med ultralyd.

Superposition og interferens 18.1 (SJ)

2/13

Billeddannende Fysik Noter til forelæsning 3

Superpositionsprincippet: ”Når to bølger (med ikke alt for store amplituder1) udbreder sig i samme medium, bliver det samlede udsving lig summen af de to bølgers udsving.” (figur 2) Bemærk at bølgernes form er uændret, efter at de har passeret hinanden. To bølger, hvis udsving lapper ind over hinanden, siges at interferere med hinanden.

figur 2. To pulse bevæger sig mod hinanden. Når de mødes vil den resulterende puls være summen af de to pulse. Når de har passeret hinanden er pulsene uændrede.

Interferens mellem harmoniske bølger Interferensmønstret mellem to harmoniske bølger, der udbreder sig med samme hastighed og har samme amplitude og frekvens, er ifølge superpositionsprincippet:

1 2 1

1 2 1 2

( , ) ( , ) ( , ) sin( ) sin( )

2 cos sin2 2

u x t u x t u x t A kx t A kx t

A kx t

2ω φ ωφ φ φ φω

= + = − + + − +

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

φ (0.5)

svarende til en sinusbølge med amplitude ( )1 222 cosA φ φ− og begyndelsesfase 1 2

2φ φ− .

Det ligner måske magi, men Schaums siger selv at:

( )( ) ( )( )1 12 2sin sin 2sin cosA B A B A+ = + − B

To bølger siges at være i fase, hvis deres udsving følges ad (hvor den ene bølge har bølgetop, har den anden det også), hvilket svarer til at deres faser er forskudt et helt antal omgange i forhold til hinanden: { }1 2 0, 2 , 4 ...φ φ π− ∈ ± ± π . Når dette er tilfældet, får den samlede bølge dobbelt så stor amplitude som de to bølger hver for sig: 2( , ) 2 sin( )u x t A kx tω φ= − +

(figur 3a), og da de to bølger således forstærker hinanden, siges de at interferere konstruktivt.

1 Mediet skal være lineært, hvilket vil sige, at genopretningskræften på partiklerne i mediet skal være proportional med disses forskydning (Hookes lov). En sådan lineær sammenhæng eksisterer kun, hvis forskydningerne ikke er for store.

3/13

Billeddannende Fysik Noter til forelæsning 3

Hvis de to bølger er i modfase (hvor den ene bølge har bølgetop, har den anden bølgedal): { }1 2 , 3 ...φ φ π π− ∈ ± ± , udslukker de hinanden ( ( , ) 0u x t = ) og siges at interferere destruktivt (figur 3b).

figur 3. (a) Superposition af to ens bølger (blå) resulterer i en bølge med den dobbelte amplitude, og samme fase. (b) To bølger (blå og grøn) med en faseforskel på 180 grade vil udligne hinanden (rød). (c) generelt vil den resulterende bølge være summen af de to oprindelige bølger.

Lysets bølgeegenskaber 37.1-2 (SJ)

Diffraktion En vandbølge bliver til en cirkelbølge, når den passerer en lille åbning i en barriere (Huygens princip). Pga. lysets bølgeegenskaber vil dette også være tilfældet for en lysbølge, som vil blive til en kuglebølge ved passage af et hul i en skærm. Det fænomen, at alle bølger, herunder lysbølger, udbreder sig rundt om hjørner, kaldes diffraktion. Som nævnt i lektion 2 er bølgefænomenet diffraktion i direkte modstrid med strålegangstilnærmelsens beskrivelse af lys som noget, der udbreder sig efter rette linier. Diffraktion finder sted, hver gang en bølge passerer en hindring, uanset hindringens størrelse, og dermed også, når en lysstråle passerer eks. en døråbning. En døråbning er bare så stor, at stort set alt lyset passerer uhindret igennem, idet diffraktionen kun vil have betydning for den lille del af lyset, som passerer nær dørkarmen (diffraktionen er en lille randeffekt), og derfor ser det for os ud som om, at døren kaster en skarp skygge. Tilsvarende er det muligt at anvende strålegangstilnærmelsen på en linses billeddannelse, idet diffraktion kun finder sted for den lille del af lyset, som rammer kanten af linsen.

4/13

Billeddannende Fysik Noter til forelæsning 3

Man kan således med rimelighed se bort fra diffraktionsfænomener, hvis lyset udelukkende møder forhindringer/huller, hvis udstrækning d opfylder d λ .

Interferens To snorbølger kan udslukke eller forstærke hinanden (interferere hhv. destruktivt og konstruktivt). Interferensbetingelser For at to lyskilder giver anledning til et interferensmønster kræves det, at de er - Monokromatiske: Kendetegnet ved én og samme farve/bølgelængde. - Indbyrdes kohærente: Kildernes indbyrdes faseforskel er konstant i tid. Kohærenstid og kohærenslængde En lyskildes kohærenstid er den tid, der går mellem tilfældige fluktuationer af den pågældende kildes fase, og kohærenslængden er den afstand, som lyset udbreder sig mellem sådanne fluktuationer ( koh lys kohl v t= ).

En sinusbølge ( , ) sin( )u x t A kx tω ϕ= − +

mmmmm

km

, som er en idealiseret matematisk konstruktion, har en uendelig høj kohærenstid, og er dermed indbegrebet af en monokromatisk og kohærent bølge. Alle virkelige kilder har imidlertid endelige kohærenstider og –længder: - Solen2: 14 3

koh koh10 555 10t s l nm− −≈ = ≈∼- Lysstofrør: 11

koh koh10 1t s l−≈ =∼- Glødepærer: 8

koh koh10 1t s l−≈ =∼- Mest stabile lasere: 4

koh koh10 10t s l−≈ =∼En alm. glødepære udsender hvidt lys og er derfor ikke monokromatisk. Alligevel danner to glødepærer faktisk et interferensmønster for hver farve, men da disse interferensmønstre skifter hvert , er øjet ikke i stand til at opfatte dem. 810 s−

Youngs dobbeltspalteforsøg Den mest oplagte måde at opfylde interferensbetingelserne på, er at lade lys fra én monokromatisk kilde interferere med sig selv. Dette udnyttede Thomas Young i 1801 til at påvise interferens for lys og dermed demonstrere lysets bølgeegenskaber.

2 Kilde: Side 17 i http://fisicanet.terra.com.br/quantica/quantica2001-saskatchewan.pdf

5/13

Billeddannende Fysik Noter til forelæsning 3

figur 4. En skematisk oversigt over Youngs dobbeltspalte forsøg. I dette berømte Youngs dobbeltspalteforsøg dannes to monokromatiske cylinderbølger ved diffraktion af en monokromatisk lysbølge, som sendes igennem to små spalter (figur 4). Da disse cylinderbølger stammer fra den samme kilde, vil de være indbyrdes kohærente og dermed danne et interferensmønster i rummet, som på en skærm vil fremstå som en række lyse og mørke stribe. Hvis , sådan at strålerne fra de to spalter er stort set parallelle, er interferensbetingelserne givet ved (figur 5):

d L

Konstruktiv: sin md mθ λ= m∈ Destruktiv: 1

2sin ( )md mθ λ= + m∈ hvor m i udtrykket for konstruktiv interferens angiver den pågældende orden. Da sin 1mθ ≤ , er antallet af ordener begrænset af

1 dm mdλ

λ≤ ⇔ ≤ (0.6)

6/13

Billeddannende Fysik Noter til forelæsning 3

figur 5. Geometrisk konstruktion af dobbelt spalte eksperimentet.

Hvis de to spalter gøres større, vil en større del af lyset udbrede sig uforstyrret igennem spalterne og afsætte to lyse striber lige bag dem, og interferensmønstret vil blive udvisket.

Optisk gitter Interferensbetingelserne for dobbeltspalteforsøget gælder også for et optisk gitter (diffraktionsgitter), der består af et større antal spalter med en indbyrdes afstand d kaldet gitterkonstanten. En monokromatisk lysstråle sendt gennem et optisk gitter giver således anledning til et antal lyse pletter på en bagvedliggende skærm.

Interferens i tynde film 37.6 (SJ) Betragt interferensen mellem to reflekterede monokromatiske lysstråler, som reflekterer fra hhv. for- og bagkanten af en tynd film. Filmen antages at være tyndere end kildens kohærenslængde ( ), sådan at de to reflekterede stråler er indbyrdes kohærente og dermed danner et interferensmønster. Antag at lysstrålerne er næsten vinkelrette på filmens overflader.

koh2l l<

7/13

Billeddannende Fysik Noter til forelæsning 3

figur 6. Interferens af lys reflekteret i en tynd film.

Da vejlængdeforskellen er 2l, og da lysstråle 1 inverteres i forbindelse med sin refleksion, er3: Konstruktiv: 1 1

2 22 ( ) ( )n nl m m λλ= + = + ⇒ 122 ( )ln m λ= + m∈

Den brudte del af lyset rejser afstanden 2l igennem filmen. Hvis et multiplum af 2l svarer til et multiplum af λ vil der være destruktiv interferens med den reflekterede del af lyset. Altså: Destruktiv: 2ln mλ= m∈ Betingelsen for konstruktiv interferens er således opfyldt for forskellige farver λ for forskellige tykkelser l. Lys, der reflekterer i forskellige vinkler, har gennemløbet forskellige tykkelser af filmen, og dermed vil forskellige farver blive forstærket i forskellige retninger. Det karakteristiske farvespil, når sollys reflekterer i et tyndt olielag eller en tynd sæbefilm, er således et interferensfænomen. Påfuglefjer og sommerfuglevinger består af flere forskellige lag og opnår også deres farveglans i kraft af interferens.

Polarisation 38.6 (SJ) Lys kan beskrives som en transversal elektromagnetisk bølge bestående af fotoner, der hver især giver anledning til et oscillerende elektrisk felt E og magnetisk felt B (figur 7), idet en lysstråles samlede E - og B -felt er givet ved summen af de enkelte fotoners bidrag.

3 Bemærk, at interferensbetingelserne er givet ved den optiske vejlængdeforskel 2tn og ikke ved vejlængdeforskellen 2t, idet udbredelsesfarten, og dermed brydningsindekset, spiller en rolle for den gennemløbne fase.

8/13

Billeddannende Fysik Noter til forelæsning 3

figur 7. Skematisk beskrivelse af en elektromagnetisk bølge. Det elektriske felt vibrerer i xy-planet og det magnetiske felt vibrerer i xz-planet.

Generelt svinger fotonernes feltvektorer i alle mulige forskellige retninger vinkelret på udbredelsesretningen, sådan at lysbølgens samlede E - og B -felt ikke følger noget bestemt mønster. I dette tilfælde siges lysbølgen at være upolariseret (figur 8).

figur 8. Repræsentation af E feltet for upolariseret (venstre) og planpolariseret (højre) lys som bevæger sig vinkelret på papirets plan.

Men hvis udsvinget af lysbølgens feltvektorer følger et bestemt mønster, siges lysbølgen at være polariseret, idet polarisationstilstanden er givet ved mønstret beskrevet af E -feltvektoren. Polarisationstilstande Hvis E -vektoren beskriver en ret linie set i udbredelsesretningen, siges lyset at være lineært polariseret (eller planpolariseret, eftersom E -vektoren altid befinder sig i samme plan). Hvis E -vektoren beskriver en cirkel eller en ellipse er lyset hhv. cirkulært og elliptisk polariseret. Polarisatorer En polarisator er et materiale, som fortrinsvis absorberer komponenten af lys med en bestemt polarisationstilstand. Polarisatorer er nok bedre kendt som polaroidfiltre. Et eksempel på en polarisator er en film bestående af lange molekyler, der er orienteret i samme retning. Da absorption sker ved at lysets E -felt får stoffets elektroner til at vibrere (hvorved stoffet opvarmes), og da elektronerne har meget nemmere ved at bevæge sig langs molekylerne end på tværs, vil det hovedsageligt være lys polariseret i samme retning som molekylernes orientering, der bliver absorberet.

9/13

Billeddannende Fysik Noter til forelæsning 3

Efter passage af en sådan polarisator vil lyset således være lineært polariseret. Når Lineartpolariseret sendes igennem et polaroidfilter vil kun komponenten af E-feltet i polariseringsretningen passere (figur 9).

figur 9. To polariserende filtre hvis akser er arrangeret med en forskel på vinklen θ. Kun en del af lyset passerer.

Den del af E feltet som vil passere er givet ved 0 cosE θ= . Da intensiteten er proportionel med kvadratet på størrelsen af E-feltet er den resulterende intensitet givet ved: 2

max cosI I θ= (0.7) Polaroidsolbriller Sollys, der reflekterer fra en vandret overflade, vil hovedsageligt være vandret polariseret. Et par polaroidsolbriller beskytter øjnene mod især det reflekterede sollys, idet de består af polarisatorer med molekylerne orienteret vandret (lodret transmissionsakse). Man kan således kontrollere, om to par solbriller er ’polaroid’-briller, ved at se om man kan udslukke lyset ved at dreje dem 90˚ i forhold til hinanden.

Måling af bloodflow med laser doppler teknik 39.4 (SJ) I den udleverede artikel er beskrevet to metoder til måling af blood flow. Laser speckles metoden og laser Doppler. Vi skal fokusere på laser Doppler metoden, fordi det nok er den mest anvendte, i hvert fald i forskning og fordi vi har en laser Doppler på instituttet hvis nogen skulle få brug for at måle blood flow. På det seneste er den blevet brugt til at måle den forøgede blodgennemstrømning efter subkutan injektion af botox (Botulinum toxin, pølsegift). Vi kender allerede det meste af fysikken vi skal for at kunne forstå laser Doppleren. I sin simpleste form sendes en laserstråle ind på et objekt som bevæger sig. Lyset reflekteres og den observerede frekvens er skiftet i forhold til den udsendte frekvens. Ændringen i frekvens fortæller om hastigheden af objektet som reflekterede lyset. Lad os se lidt mere præcist på dopplereffekten. Lyset udsendes med frekvensen f og bølgelængden λ og reflekteres af et objekt, som bevæger sig med hastigheden v mod lyskilden4. Objektet når

4 Læg mærke til at vi igen har skiftet notationerne tilbage.

10/13

Billeddannende Fysik Noter til forelæsning 3

at bevæge sig netop afstanden 22 vfvT = , hvor T er perioden af lysets svingninger. 2-tallet

kommer ind fordi objektet bevæger sig både når lyset sendes mod objektet og når det reflekteres. Bølgelængden som reflekteres er givet ved 'λ λ λ= − ∆ , hvor λ∆ er ændringen af bølgelængden pga. dopplerskiftet. λ∆ er netop 2v

f , så :

2' vf

λ λ λ λ= −∆ = − (0.8)

Men lyset udbreder sig altid med hastigheden c, så cfc fλ λ= ⇒ = . Hvilket indsættes i

ligning (0.8).

2' c v c 2vf f f

λ −= − = (0.9)

Selvom lyset reflekteres af en kilde, som bevæger sig mod detektoren vil lyset stadig udbrede sig med hastigheden c, ikke c + 2v. Det er i al sin enkelthed Einsteins specifikke relativitetsteori. Så

2''

'2

c c vf f

cf fc v

λ −= = ⇒

=−

(0.10)

Studerer men ligning (0.10) lidt nærmere vil man se at frekvensen ikke forskydes ret meget, fordi c – v ikke er meget forskellig fra c. Så det er ikke så simpelt at måle Doppler skiftet, men man kan bruge et trick: Beats.

Beating 18.7 (SJ) Beating bliver gennemgået i bogen i forbindelse med gennemgangen af lyd, men fænomenet er lige så anvendeligt på elektromagnetiske bølger. Vi forestiller os at vi har to bølger med samme amplitude og næsten ens frekvens, som interferer med hinanden. Det vil resultere i en superposition med en langsomt oscillerende amplitude. Dette sker ved en temporal interferens af to sinus bølger. Vi ser på to sinus (cosinus) bølger i et bestemt punkt x = 0. 1 1cos cos 2y A t A f1tω π= = 2 2cos cos 2y A t A f2tω π= = Når vi bruger det dejligt nemme superpositionsprincip ser vi at bølgen som fremkommer ved interferens er givet ved ( )1 2 1 2cos 2 cos 2y y y A f t f tπ π= + = + (0.11) Og straks kommer vi I tanke om denne formel

cos cos 2cos cos2 2

a b a ba b − +⎛ ⎞ ⎛+ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

Dette benyttes på ligning (1.14).

1 2 1 22 cos 2 cos 22 2

f f fy A t tπ π− +⎛ ⎞ ⎛= ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

f ⎞⎟⎠

(0.12)

11/13

Billeddannende Fysik Noter til forelæsning 3

Hvis vi ser bort fra ledet ( 1 22cos 2 f f tπ − ) ser vi jo blot cosinus funktion med amplituden

2A og en frekvens svarende til gennemsnits frekvensen af de to bølger. Så ser vi nu på ledet ( 1 2

2cos 2 f f tπ − ) kan vi se at det er en oscillation med en lav frekvens, fordi de to

frekvenser f1 og f2 er næsten ens. Dette ses af (0.12).

figur 10. Beats laves af kombinationen af to bølger med næsten ens frekvenser. (a) De oprindelige bølger. (b) Den kombinerede bølges indhyldningskurve (blå stiplet linje) varierer over tid.

Indhyldningskurven har maksima når ( )1 22cos 2 1f f tπ − = ± . Det vil sige 2 gange for hver

periode. Derfor er frekvensen af indhyldningskurven givet ved beat 1 2f f f= − (0.13) Dette kaldes beat frekvensen.

Tilbage til Laser Doppleren Tricket til at måle de høje frekvenser er nu at få en laserstråle til at interferere med den reflekterede laserstråle. Denne laserstråle kunne passende være en stråle, der reflekteres på stillestående objekter. Lad os manipulere lidt med udtrykket for den Dopplerskiftede frekvens (ligning (0.10)). Trækker vi f fra på begge sider fås:

2 2'2 2

c v vf f f f fc v c v c

− = − = ≈− −

f (0.14)

Dette er netop beat frekvensen mellem den udsendte laserstråle og den Dopplerskiftede stråle. Den kan måles. Hvis vi for nemhedens skyld skriver 'f f f− = ∆ , ses det at hastigheden af objektet er givet ved:

2

v fλ= ∆ (0.15)

Dette gælder jo kun for objekter, der bevæger sig lige mod laseren. Eller man kan sige det gælder for den komposant af hastighedsvektoren der peger i laserens retning. Hvis bevægelsesretningen ikke er direkte mod laseren vil frekvensskiftetet være givet ved

2 sinvf fcθ

∆ ≈ , (0.16)

hvor θ er vinklen mellem laseren og bevægelsesretningen af objektet. Med dette konkluderer vi vores gennemgang af optik og bølger.

12/13

Billeddannende Fysik Noter til forelæsning 3

Opgaver 17.31 17.58 17.23 18.3 18.43

13/13