shirt cut distillation control

8/13/2019 Shirt cut distillation control

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S H O R T C U T M O D E L S F O R D I S T I L L A T I O N C O L U M N S -

I . S T E A D Y - S T A T E B E H A V I O R

S i g u r d S k o g e s t a d

M a n f r e d M o r a r i

C a l i f o r n i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y

C h e m i c a l E n g i n e e r i n g , 2 0 6 - 4 1

P a s a d e n a , C A 9 1 1 2 5

( 8 1 8 ) 3 5 6 - 4 1 8 6

C h a p t e r 9 i n P h . D . t h e s i s " S t u d i e s o n R o b u s t C o n t r o l o f D i s t i l l a t i o n C o l u m n s " b y S i g u r d S k o g e s t

C a l i r n i a I n s t u t u t e o f T e c h n o l o g y , P a s a d e n a , J a n u a r y 1 9 8 7

N o t e : F i g u r e s a r e m i s s i n g i n t h i s v e r s i o n

U N P U B L I S H E D

A b s t r a c t

J a f a r e y e t a l . ( 1 9 7 9 ) d e r i v e d a s i m p l e a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n f o r t h e s e p a r a -

t i o n f a c t o r S . T h i s p a p e r p r o v i d e s a s i m p l e r a n d m o r e i n s t r u c t i v e d e r i v a t i o n o f

t h i s e x p r e s s i o n , a n d a l s o e v a l u a t e s i t s v a l i d i t y f o r e s t i m a t i n g s t e a d y - s t a t e g a i n s a n d

R G A - v a l u e s . T h e r e s u l t s s h o w t h a t t h e e x p r e s s i o n g i v e s a g o o d e s t i m a t e o f h o w S

c h a n g e s w i t h i n t e r n a l o w s , b u t d e s c r i b e s p o o r l y i t s v a r i a t i o n w i t h e x t e r n a l o w s .

F o r t u n a t e l y , w h e n c o m p u t i n g t h e s t e a d y - s t a t e g a i n s , t h i s e r r o r i s o f t e n n o t i m p o r -

t a n t .

1


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1 . I N T R O D U C T I O N

S h o r t c u t m o d e l s . S i m p l e \ s h o r t c u t " m o d e l s a r e u s e f u l f o r a n a l y z i n g a n d u n -

d e r s t a n d i n g t h e s t r o n g l y n o n l i n e a r b e h a v i o r o f d i s t i l l a t i o n c o l u m n s . F o r r o b u s t

d i s t i l l a t i o n c o l u m n c o n t r o l , f o r e x a m p l e , i t i s i m p o r t a n t t o k n o w t h e c o r r e l a t i o n

b e t w e e n t h e t r a n s f e r m a t r i x e l e m e n t s a s t h e y v a r y w i t h o p e r a t i n g c o n d i t i o n s . T h e

e s s e n t i a l p a r t o f t h i s b e h a v i o r m a y b e p r e d i c t e d f r o m s i m p l e a n a l y t i c a l m o d e l s .

T h i s p a p e r p r e s e n t s a d e r i v a t i o n a n d e v a l u a t i o n o f a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s f o r t h e

s e p a r a t i o n f a c t o r S w h i c h i s u s e f u l f o r s t e a d y - s t a t e c a l c u l a t i o n s . I n P a r t I I ( S k o g e s -

t a d a n d M o r a r i , 1 9 8 7 a ) w e d i s c u s s t h e d y n a m i c b e h a v i o r a n d p r e s e n t a n a n a l y t i c a l

e x p r e s s i o n f o r t h e d o m i n a n t t i m e c o n s t a n t . T h o u g h o u r m a i n g o a l i s t o d e v e l o p

s h o r t c u t m o d e l s f o r u s e i n c o n t r o l s y s t e m d e s i g n , t h e r e s u l t s p r e s e n t e d i n t h e s e t w o

p a p e r s a r e u s e f u l f o r o b t a i n i n g g e n e r a l i n s i g h t i n t o d i s t i l l a t i o n c o l u m n b e h a v i o r . F o r

e x a m p l e , s i m p l e a n a l y t i c a l m o d e l s a r e i n v a l u a b l e a s a t e a c h i n g t o o l a b a s i c u n d e r -

s t a n d i n g o f d i s t i l l a t i o n c o l u m n s i s m u c h m o r e e a s i l y a c q u i r e d b y a n a l y z i n g s i m p l e

a n a l y t i c a l m o d e l s t h a n b y r u n n i n g t r a y - b y - t r a y s i m u l a t i o n p r o g r a m s .

W e s t r e s s t h a t t h e s h o r t c u t m o d e l s p r e s e n t e d a r e n o t i n t e n d e d t o r e p l a c e t r a y -

b y - t r a y s i m u l a t i o n s f o r d e s i g n p u r p o s e s w e r e c o m m e n d t h a t m o r e a c c u r a t e m o d e l s

a r e o b t a i n e d u s i n g s i m u l a t i o n p r o g r a m s .

S t e a d y - s t a t e b e h a v i o r . A s i m p l e n o n l i n e a r s t e a d y - s t a t e m o d e l i s u s e f u l f o r d e -

r i v i n g a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s f o r t h e g a i n s g

i j

b e t w e e n t h e p r o c e s s i n p u t s ( e . g . , r e u x

L a n d b o i l u p V f o r t h e L V - c o n g u r a t i o n ) a n d t h e c o n t r o l l e d o u t p u t s ( t o p a n d b o t -

t o m c o m p o s i t i o n s , y

D

a n d x

B

)

d y

D

= g

1 1

d L + g

1 2

d V

d x

B

= g

2 1

d L + g

2 2

d V ( 1 )

T o d e r i v e t h e s e g a i n s a n a l y t i c a l l y , t w o e q u a t i o n s r e l a t i n g y

D

a n d x

B

t o L a n d V

a n d o t h e r o p e r a t i n g v a r i a b l e s f o r t h e c o l u m n a r e n e e d e d . O n e i s g i v e n b y t h e o v e r a l l

2


3/27

m a t e r i a l b a l a n c e f o r t h e l i g h t c o m p o n e n t

F z

F

= D y

D

+ B x

B

( 2 )

a n d t h e o t h e r i s c o n v e n i e n t l y w r i t t e n i n t e r m s o f t h e s e p a r a t i o n f a c t o r S ( S h i n s k e y ,

1 9 8 4 )

S =

y

D

= 1 ; y

D

x

B

= 1 ; x

B

1

x

B

( 1 ; y

D

)

( 3 )

( t h e a p p r o x i m a t i o n h o l d s f o r h i g h - p u r i t y s e p a r a t i o n s w i t h y

D

1 a n d ( 1 ; x

B

) 1 )

S i s i n g e n e r a l a c o m p l e x f u n c t i o n o f t h e o p e r a t i n g a n d d e s i g n v a r i a b l e s f o r t h e

c o l u m n ( o w r a t e s , f e e d c o m p o s i t i o n , V L E - d a t a f o r s y s t e m , n u m b e r o f t r a y s , f e e d

l o c a t i o n , e t c . ) . T h e r e a r e t h r e e r e a s o n s f o r c h o o s i n g t o e x p r e s s t h e c o l u m n b e h a v i o r

i n t e r m s o f S :

( 1 ) R e a s o n a b l y s i m p l e a n d r e l i a b l e e x p r e s s i o n s m a y b e d e r i v e d f o r S . T h i s i s

m o t i v a t e d b y F e n s k e ' s t o t a l r e u x e q u a t i o n S =

N

w h i c h i s e x a c t f o r m i x t u r e s

w i t h c o n s t a n t r e l a t i v e v o l a t i l i t y

( 2 ) U s u a l l y S d o e s n o t c h a n g e m u c h w i t h o p e r a t i n g c o n d i t i o n s . T h e e s s e n t i a l p a r t

o f t h e v a r i a t i o n o f t h e g a i n s g

i j

w i t h o p e r a t i n g c o n d i t i o n s m a y t h e r e f o r e b e

c a p t u r e d b y a s s u m i n g S i s c o n s t a n t .

( 3 ) S a s d e n e d b y ( 3 ) i s a f u n c t i o n o f y

D

a n d x

B

o n l y . T h i s m a k e s i t s i m p l e t o

d e r i v e a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s f o r t h e s t e a d y - s t a t e g a i n s .

T h e r e a r e o t h e r w a y s o f e x p r e s s i n g s h o r t c u t m o d e l s f o r d i s t i l l a t i o n c o l u m n s ,

b e s i d e s u s i n g S . F o r e x a m p l e , G i l l i a n d ' s e m p i r i c a l c o r r e l a t i o n r e l a t e s

R ; R

m i n

R + 1

t o

N ; N

m i n

N + 1

, a n d a n a l y t i c a l e q u a t i o n s h a v e b e e n d e r i v e d t o t t h e c o r r e l a t i o n . H o w e v e r ,

t h i s f o r m i s n o t c o n v e n i e n t f o r o b t a i n i n g a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s f o r t h e g a i n s , s i n c e

i t d o e s n o t s a t i s f y ( 2 ) a n d ( 3 ) a b o v e .

T h e s e p a r a t i o n f a c t o r S h a s b e e n u s e d e x t e n s i v e l y b y S h i n s k e y ( 1 9 8 4 ) f o r p r e -

d i c t i n g t h e s t e a d y - s t a t e v a l u e o f t h e R G A . T h e 1 - 1 e l e m e n t o f t h e R G A i s

1 1

=

1 ;

g

1 2

g

2 1

g

1 1

g

2 2

; 1

( 4 )

3


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F o r c o l u m n s w i t h b o t h p r o d u c t s o f h i g h p u r i t y S k o g e s t a d a n d M o r a r i ( 1 9 8 7 b ) d e -

r i v e d t h e f o l l o w i n g a p p r o x i m a t i o n s f o r t h e L V - a n d D V - c o n g u r a t i o n s

1 1

( G

L V

)

1

D ( 1 ; y

D

) + B x

B

1

( @ l n S = @ L )

D

( 5 )

1 1

( G

D V

)

1

1 +

B x

B

D ( 1 ; y

D

)

( 6 )

C o n s e q u e n t l y , a g o o d m o d e l f o r S i s n e e d e d t o e v a l u a t e t h e R G A f o r t h e L V -

c o n g u r a t i o n , b u t i s l e s s i m p o r t a n t f o r t h e D V - c o n g u r a t i o n s . A l s o n o t e t h a t

1 1

f o r t h e L V - c o n g u r a t i o n m a y b e v e r y l a r g e i f b o t h p r o d u c t s a r e o f h i g h p u r i t y , w h i l e

t h e v a l u e f o r t h e D V - c o n g u r a t i o n i s a l w a y s b e w e e n 0 a n d 1 .

S h i n s k e y u s e s t h e s i m p l e a n a l y t i c a l m o d e l f o r S d e v e l o p e d b y J a f a r e y e t a l .

( 1 9 7 9 ) t o e s t i m a t e t h e R G A . I n t h e i r p a p e r , J a f a r e y e t a l . o n l y c h e c k e d t h e v a l i d i t y

o f t h e m o d e l f o r p r e d i c t i n g t h e t o t a l n u m b e r o f t h e o r e t i c a l t r a y s . H o w e v e r , t o e s t i -

m a t e s t e a d y - s t a t e g a i n s ( g

i j

) a n d R G A - v a l u e s , d e r i v a t i v e s o f t h e m o d e l a r e n e e d e d .

T h e o b j e c t i v e o f o u r p a p e r i s t o c h e c k t h e m o d e l s v a l i d i t y f o r e s t i m a t i n g g a i n s a n d

t h e R G A .

W e a l s o f e e l t h a t t h e d e r i v a t i o n b y J a f a r e y e t a l . d o e s n o t p r o v i d e m u c h i n s i g h t .

T h e y s t a r t f r o m S m o k e r s e x a c t a n a l y t i c a l s o l u t i o n , d e r i v e a s i m p l i e d m o d e l w h i c h

i s n o t v e r y g o o d , d e l e t e s o m e t e r m s i n t h i s m o d e l , a n d n a l l y a r r i v e a t a b e t t e r

m o d e l . A n o t h e r g o a l o f t h i s p a p e r i s t h e r e f o r e t o r e d e r i v e J a f a r e y ' s m o d e l i n a

m o r e d i r e c t m a n n e r w h i c h y i e l d s m o r e i n s i g h t . O u r d e r i v a t i o n y i e l d s a s l i g h t l y

d i e r e n t f o r m o f t h e m o d e l , b u t i t r e d u c e s t o J a f a r e y ' s e x p r e s s i o n i f t h e a s s u m p t i o n

D = F z

F

i s m a d e .

A s s u m p t i o n s . A l l t h e r e s u l t s i n t h i s p a p e r a r e f o r a t w o - p r o d u c t c o l u m n , b i -

n a r y m i x t u r e w i t h c o n s t a n t r e l a t i v e v o l a t i l i t y ( ) a n d c o n s t a n t m o l a r o w s . T h e

e x t e n s i o n t o m u l t i c o m p o n e n t m i x t u r e s i s d i s c u s s e d a t t h e e n d o f t h e p a p e r .

4


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2 . C A S E S T U D Y E X A M P L E S

I n t h i s s e c t i o n w e p r e s e n t s t e a d y - s t a t e d a t a f o r s e v e n h i g h - p u r i t y d i s t i l l a t i o n

c o l u m n s w h i c h m a y b e u s e d a s c a s e s t u d y e x a m p l e s i n t h i s a n d f u t u r e w o r k . T h e

c o l u m n s w e r e s e l e c t e d t o i n c l u d e a w i d e r a n g e o f o p e r a t i n g c o n d i t i o n s . D a t a f o r t h e

c o l u m n s a r e g i v e n i n T a b l e 1 , t o g e t h e r w i t h c o m p u t e d v a l u e s f o r R = R

m i n

L = F a n d

D = F

S t e a d y - s t a t e g a i n s . T h e e x a c t s t e a d y - s t a t e g a i n m a t r i c e s f o r t h e s e v e n c o l u m n s

w e r e o b t a i n e d b y l i n e a r i z i n g t h e m a t e r i a l b a l a n c e f o r e a c h t r a y . F o r t r a y i w i t h n o

f e e d

L ( x

i + 1

; x

i

) + V ( y

i ; 1

; y

i

) = 0 y

i

=

x

i

1 + ( ; 1 ) x

i

( 7 )

L i n e a r i z i n g ( 7 ) f o r s m a l l p e r t u r b a t i o n s

( x

i + 1

; x

i

) d L + ( y

i ; 1

; y

i

) d V + L d x

i + 1

+ ( ; L ; K

i

V ) d x

i

+ K

i ; 1

V d x

i ; 1

= 0 ( 8 )

w h e r e K

i

i s t h e l i n e a r i z e d V L E - c o n s t a n t o n e a c h t r a y

K

i

=

d y

i

d x

i

=

( 1 + ( ; 1 ) x

i

)

2

( 9 )

I n m a t r i x f o r m ( 8 ) b e c o m e s

A x + B u + E d = 0 y = C x ( 1 0 )

H e r e x = ( d x

1

: : : d x

N

)

T

a r e t h e t r a y c o m p o s i t i o n s , u = ( d L d V )

T

a r e t h e i n p u t s ,

d = ( d F d z

F

)

T

a r e t h e d i s t u r b a n c e s , a n d y = ( d y

D

d x

B

)

T

a r e t h e o u t p u t s . S o l v i n g

t h e s e e q u a t i o n s g i v e

y = ; C A

; 1

B u ; C A

; 1

E d

a n d t h e s t e a d y - s t a t e g a i n m a t r i x a n d d i s t u r b a n c e m a t r i x a r e

G = ; C A

; 1

B a n d G

d

= ; C A

; 1

E ( 1 1 )

T h e s e m a t r i c e s a r e g i v e n f o r t h e s e v e n c o l u m n s i n T a b l e 2 . T h e y a r e g i v e n b o t h f o r

t h e L V - a n d t h e D V - c o n g u r a t i o n s :

5


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L V ; c o n g u r a t i o n :

d y

D

d x

B

= G

L V

d L

d V

+ G

d L V

d F

d z

F

( 1 2 a )

D V ; c o n g u r a t i o n :

d y

D

d x

B

= G

D V

d D

d V

+ G

d D V

d F

d z

F

( 1 2 b )

N o t e t h a t G

L V

a n d G

D V

a r e n o t i n d e p e n d e n t . B e c a u s e o f t h e a s s u m p t i o n o f c o n -

s t a n t m o l a r o w s w e h a v e d L = d V ; d D w h i c h y i e l d s

d L

d V

= M

d D

d V

w h e r e M =

; 1 1

0 1

a n d w e d e r i v e

G

D V

= G

L V

M ( 1 3 )

S i m i l a r r e l a t i o n s h i p s a r e e a s i l y d e r i v e d f o r o t h e r c h o i c e s o f m a n i p u l a t e d i n p u t s ( S k o -

g e s t a d a n d M o r a r i , 1 9 8 7 b ) . T h e m a t r i x G

L V

i s v e r y s e n s i t i v e t o s m a l l r e l a t i v e e r -

r o r s i n t h e e l e m e n t s ( a s i s s e e n f r o m t h e l a r g e v a l u e o f

1 1

( S k o g e s t a d a n d M o r a r i ,

1 9 8 7 c ) ) , w h i l e G

D V

i s i n s e n s i t i v e t o s u c h e r r o r s . T h e r e a d e r s h o u l d t h e r e f o r e n d

G

L V

f r o m G

L V

= G

D V

M

; 1

r a t h e r t h a n u s i n g t h e G

L V

- m a t r i x g i v e n i n T a b l e 2 .

T h e d i s t u r b a n c e m a t r i c e s G

d L V

a n d G

d D V

a r e i n g e n e r a l d i e r e n t , b u t h a p p e n t o

b e e q u a l i n t h i s c a s e s i n c e t h e f e e d i s l i q u i d .

3 . A S I M P L E E X P R E S S I O N F O R S

P r e v i o u s W o r k

F o r m i x t u r e s w i t h c o n s t a n t r e l a t i v e v o l a t i l i t y ( ) t h e f o l l o w i n g e x a c t e x p r e s -

s i o n s f o r N

m i n

a n d R

m i n

h o l d ( e . g . , H e n l e y a n d S e a d e r , 1 9 8 1 ) .

R ! 1 : S =

N

m i n

( F e n s k e ) ( 1 4 )

N ! 1 : R

m i n

=

1

; 1

(

y

D

x

F

;

1 ; y

D

1 ; x

F

)

1

; 1

1

x

F

( y

D

1 ) ( 1 5 )

x

F

i s t h e c o m p o s i t i o n o f t h e a s h e d f e e d . S i m p l e e x t e n s i o n s t o m u l t i c o m p o n e n t

m i x t u r e s e x i s t ( e . g . , H e n l e y a n d S e a d e r ) . J a f a r e y , D o u g l a s a n d M c A v o y ( 1 9 7 9 )

6


7/27

d e r i v e d a s i m p l e e x p r e s s i o n f o r S w h i c h h a s a l s o b e e n a d o p t e d b y S h i n s k e y ( 1 9 8 4 ) .

F o r l i q u i d f e e d w e h a v e x

F

= z

F

a n d J a f a r e y ' s e x p r e s s i o n b e c o m e s

q

F

= 1 : S =

N

1

1 + 1 = ( R z

F

)

N = 2

( 1 6 )

T h e e x p r e s s i o n ( 1 6 ) g i v e s t h e c o r r e c t l i m i t i n g v a l u e ( 1 4 ) a s R ! 1 , b u t i t s v a l u e

o f R

m i n

N ! 1 : R

m i n

=

1

(

2

; 1 ) z

F

( 1 7 )

i s l o w e r t h a n t h e c o r r e c t o n e ( 1 5 ) . J a f a r e y e t a l . u s e d ( 1 6 ) f o r d e s i g n p u r p o s e s t o

n d t h e n u m b e r o f t h e o r e t i c a l s t a g e s N n e e d e d t o a c c o m p l i s h a g i v e n s e p a r a t i o n .

F o r 2 4 c a s e s s t u d i e d t h e a v e r a g e e r r o r i n N w a s 5 3 % c o m p a r e d t o 2 5 % f o r t h e

G i l l i l a n d c o r r e l a t i o n .

D e r i v a t i o n o f E x p r e s s i o n f o r S

T h e m a i n r e a s o n f o r i n c l u d i n g t h i s s e c t i o n i s t h a t t h e d e r i v a t i o n g i v e n h e r e i s

m u c h s i m p l e r a n d m o r e i n s t r u c t i v e t h a n t h e o n e g i v e n b y J a f a r e y e t a l . F u r t h e r m o r e ,

e x t e n s i o n t o m u l t i c o m p o n e n t m i x t u r e s i s s t r a i g h t f o r w a r d . W e w i l l i n i t i a l l y l i n e a r i z e

t h e v a p o r - l i q u i d e q u i l i b r i u m ( V L E ) c u r v e i n t h e t o p a n d b o t t o m p a r t s o f t h e c o l u m n .

A b o v e f e e d : ( 1 ; y

i

) =

1

T

( 1 ; x

i

) ( 1 8 a )

B e l o w f e e d : y

i

=

B

x

i

( 1 8 b )

H e r e

T

a n d

B

d e n o t e t h e r e l a t i v e v o l a t i l i t y i n t h e t o p a n d b o t t o m p a r t o f t h e

c o l u m n . T h e a s s u m p t i o n o f l i n e a r V L E w i l l c l e a r l y m a k e t h e s e p a r a t i o n i n t h e

m i d d l e o f t h e c o l u m n s i m p l e r a s s e e n f r o m F i g . 1 . N o t e t h a t f o r h i g h - p u r i t y c o l u m n s ,

m o s t o f t h e s t a g e s w i l l b e a t t h e c o l u m n e n d s i n t h e r e g i o n s o f h i g h p u r i t y w h e r e

t h e l i n e a r a p p r o x i m a t i o n i s g o o d . T h e o p e r a t i n g l i n e s ( m a t e r i a l b a l a n c e o f l i g h t

c o m p o n e n t f o r e a c h t r a y ) a r e

A b o v e f e e d : V

T

y

i ; 1

= L

T

x

i

+ D y

D

( 1 9 a )

7


8/27

B e l o w f e e d : L

B

x

i + 1

= B

B

y

i

+ B x

B

( 1 9 b )

S i n c e t h e e q u i l i b r i u m a n d o p e r a t i n g l i n e s a r e a s s u m e d l i n e a r i t i s s i m p l e t o d e r i v e

e x a c t r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e f e e d t r a y c o m p o s i t i o n a n d y

D

a n d x

B

. C o n s i d e r t h e

t o p p a r t o f t h e c o l u m n . T h e v a p o r c o m p o s i t i o n o f t h e h e a v y c o m p o n e n t ( 1 ; y

j

)

o n t h e j t h t r a y f r o m t h e t o p i s f o u n d b y r e p e a t e d u s e o f ( 1 8 a ) a n d ( 1 9 a ) ( K r e m s e r

e q u a t i o n s , s e e M c C a b e a n d S m i t h , 1 9 7 6 ) .

( 1 ; y

j

) = ( 1 ; y

D

) ( A

j

T

+

( A

j

T

; 1 ) ( 1 ; L

T

= V

T

)

A

T

; 1

) ( 2 0 )

w h e r e A

T

i s t h e a b s o r p t i o n f a c t o r

A

T

=

L

T

= V

T

1 =

T

( 2 1 )

S i n c e A

T

> 1 w e h a v e A

j

T

> > 1 f o r j l a r g e . U s i n g t h i s a s s u m p t i o n f o r t h e f e e d t r a y

w e d e r i v e

( 1 ; y

N F

) ( 1 ; y

D

) A

N

T

T

A

T

; L

T

= V

T

A

T

; 1

( 2 2 )

w h e r e N

T

i s t h e n u m b e r o f t h e o r e t i c a l s t a g e s a b o v e t h e f e e d . S i m i l a r l y , w e d e r i v e

f o r t h e b o t t o m s e c t i o n o f t h e c o l u m n a n e x p r e s s i o n f o r t h e l i q u i d c o m p o s i t i o n o n

t h e f e e d t r a y

x

N F

= x

B

A

; N

B

B

+

( A

; N

B

B

; 1 ) ( 1 ; V

B

= L

B

)

A

; 1

B

; 1

!

x

B

A

; N

B

B

A

; 1

B

; V

B

= L

B

A

; 1

B

; 1

( 2 3 )

H e r e N

B

i s t h e n u m b e r o f t h e o r e t i c a l t r a y s b e l o w t h e f e e d a n d A

B


9/27

c =

(

T

; 1 ) (

B

; 1 )

(

T

; V

T

= L

T

) (

B

; L

B

= V

B

)

I n m o s t c a s e s c i s c l o s e t o o n e i n p a r t i c u l a r , t h i s i s t h e c a s e i f t h e r e u x i s h i g h .

A s s u m i n g c o n s t a n t r e l a t i v e v o l a t i l i t y =

B

=

T

a n d u s i n g =

y

N F

= 1 ; y

N F

x

N F

= 1 ; x

N F

a n d

N = N

B

+ N

T

+ 1 w e d e r i v e f r o m ( 2 5 )

S =

N

y

N

F

( 1 ; x

N

F

)

( L = V )

N

T

T

( L = V )

N

B

B

c ( 2 6 )

W e k n o w t h a t S p r e d i c t e d b y ( 2 6 ) i s t o o l a r g e b e c a u s e o f t h e l i n e a r i z e d V L E .

H o w e v e r , ( 2 6 ) m a y b e c o r r e c t e d t o s a t i s f y t h e e x a c t r e l a t i o n s h i p S =

N

a t i n n i t e

r e u x s i m p l y b y d r o p p i n g 1 = y

N

F

( 1 ; x

N

F

) f r o m ( 2 6 ) . B y a s s u m i n g i n a d d i t i o n

c = 1 w e g e t

S =

N

( L = V )

N

T

T

( L = V )

N

B

B

( 2 7 )

T h i s e x p r e s s i o n i s s o m e w h a t m i s l e a d i n g s i n c e i t s u g g e s t s t h a t t h e s e p a r a t i o n m a y

a l w a y s b e i m p r o v e d b y t r a n s f e r r i n g s t a g e s f r o m t h e b o t t o m t o t h e t o p s e c t i o n i f

( L = V )

T

> ( V = L )

B

. T h i s i s c l e a r l y n o t g e n e r a l l y t r u e , a n d t o a v o i d t h i s p r o b l e m w e

f o l l o w J a f a r e y e t a l . ( 1 9 7 9 ) a n d c h o o s e N

T

N

B

N = 2 a n d d e r i v e t h e a l t e r n a t i v e

e x p r e s s i o n

S =

N

( L = V )

T

( L = V )

B

N = 2

( 2 8 )

I f t h e f e e d i s l i q u i d t h e n V

B

= V

T

a n d

q

F

= 1 : S =

N

L

T

L

B

N = 2

=

N

L

L + F

N = 2

( 2 8 a )

S i n c e L = F =

L

D

D

F

, t h i s r e d u c e s t o J a f a r e y ' s e x p r e s s i o n ( 1 6 ) i f t h e a d d i t i o n a l a s -

s u m p t i o n

D

F

z

F

i s m a d e . J a f a r e y e t a l . d e r i v e d ( 1 6 ) a s a d e s i g n e q u a t i o n a n d t h e

a s s u m p t i o n

D

F

z

F

i s r e a s o n a b l e i n t h i s c a s e . H o w e v e r , t h e a s s u m p t i o n i s n o t s o

e a s y t o j u s t i f y f o r c o n t r o l p u r p o s e s w h e r e D i s a v a r i a b l e w h i c h m a y t a k e o n v a l -

u e s d i e r e n t f r o m D = z

F

F . T h e a s s u m p t i o n s e e m s p a r t i c u l a r l y m i s l e a d i n g i f t h e

m o d e l i s u s e d t o c o m p u t e g a i n s f o r d i s t u r b a n c e s i n z

F

. T a b l e 3 g i v e s t h e e s t i m a t e d

9


10/27

n u m b e r o f t r a y s i n t h e s e v e n e x a m p l e c o l u m n s o b t a i n e d f r o m ( 2 8 ) a n d ( 1 6 ) . T h e

t w o f o r m u l a s y i e l d a l m o s t i d e n t i c a l v a l u e s s i n c e t h e c o l u m n s h a v e

D

F

z

F

T h e m a i n s h o r t c o m i n g o f ( 2 8 ) i s o b v i o u s f r o m t h e d e r i v a t i o n : T h e m o d e l i s

p o o r i f a p i n c h z o n e a p p e a r s a r o u n d t h e f e e d p l a t e s u c h t h a t t h e a s s u m p t i o n t h a t

m o s t o f t h e t r a y s a r e i n t h e r e g i o n o f h i g h o r l o w p u r i t y w h i c h l e d t o ( 2 6 ) i s n o l o n g e r

v a l i d . A p i n c h z o n e o c c u r s a r o u n d t h e f e e d p l a t e i f t h e r e u x i s n e a r m i n i m u m t h i s

e x p l a i n s w h y ( 1 6 ) g i v e s a v a l u e o f R

m i n

( 1 7 ) w h i c h i s t o o l o w . M o r e i m p o r t a n t l y ,

p i n c h z o n e s a p p e a r a b o v e o r b e l o w t h e f e e d p l a t e i f t h e f e e d l o c a t i o n i s n o t o p t i m a l .

T h i s i s l i k e l y t o h a p p e n d u r i n g o p e r a t i o n o f t h e c o l u m n . T h e u s e o f ( 2 8 ) i m p l i c i t l y

a s s u m e s t h a t t h e f e e d l o c a t i o n i s o p t i m a l . F i n a l l y , f o r c o l u m n s w i t h l a r g e d i e r e n c e s

b e t w e e n N

T

a n d N

B

, ( 2 7 ) s h o u l d b e u s e d i n s t e a d o f ( 2 8 ) . W e w i l l s t u d y t h e v a l i d i t y

o f t h e m o d e l s ( 1 6 ) a n d ( 2 8 ) f o r e s t i m a t i n g s t e a d y - s t a t e g a i n s i n S e c t i o n 5 .

4 . W H Y A R E D I S T I L L A T I O N C O L U M N S N O N L I N E A R ?

F o r t h e s i m p l e c a s e o f c o n s t a n t m o l a r o w s a n d c o n s t a n t r e l a t i v e v o l a t i l i t y

c o n s i d e r e d i n t h i s p a p e r , t h e r e a r e t w o p o s s i b l e s o u r c e s o f n o n l i n e a r i t y

( A ) N o n l i n e a r V L E

y

i

=

x

i

1 + ( + 1 ) x

i

( 2 9 )

( B ) B i l i n e a r t e r m s ( L x

i

V y

i

e t c ) . i n t h e m a t e r i a l b a l a n c e f o r e a c h t r a y

L x

i + 1

+ V y

i ; 1

= L x

i

+ V y

i

( 3 0 )

N o n e o f t h e s e n o n l i n e a r i t i e s s e e m v e r y s t r o n g , a n d t h e s t r o n g l y n o n l i n e a r b e h a v i o r

o b s e r v e d f o r ( h i g h - p u r i t y ) d i s t i l l a t i o n c o l u m n s i s t h e r e f o r e s o m e w h a t s u r p r i s i n g .

T h e m a i n r e a s o n f o r t h e n o n l i n e a r b e h a v i o r i s , a s w e w i l l s h o w , t h e n o n l i n e a r V L E .

C o n s i d e r c h a n g e s i n p r o d u c t c o m p o s i t i o n s ( y

D

a n d x

B

) c a u s e d b y a c h a n g e

i n f e e d c o m p o s i t i o n ( z

F

) , w h e n a l l o w s , i n c l u d i n g r e u x L a n d b o i l u p V , a r e

c o n s t a n t . I n t h i s c a s e t h e m a t e r i a l b a l a n c e ( 3 0 ) i s l i n e a r , a n d t h e o n l y p o s s i b l e

s o u r c e o f n o n l i n e a r i t y i s t h e V L E .

1 0


11/27

L i n e a r V L E . I f t h e V L E w e r e a s s u m e d t o b e l i n e a r ( e . g . , b y l i n e a r i z i n g ( 2 9 ) o n

e a c h t r a y y

i

= a

i

x

i

+ b

i

) , a l l e q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h e c o l u m n b e h a v i o r a r e l i n e a r ,

a n d a l i n e a r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e p r o d u c t c o m p o s i t i o n s a n d z

F

r e s u l t s

y

D

= k

1

z

F

x

B

= k

2

z

F

H e r e t h e g a i n s ( @ y

D

= d z

F

)

L V

= k

1

a n d ( @ y

D

= d z

F

)

L V

= k

2

a r e c o n s t a n t a n d

i n d e p e n d e n t o f t h e f e e d c o m p o s i t i o n .

N o n l i n e a r V L E . A c o m p l e t e l y d i e r e n t r e s u l t i s f o u n d , h o w e v e r , w h e n t h e V L E

i s n o t l i n e a r i z e d . T h e s i m p l i e d m o d e l ( 2 7 ) f o r S w a s d e r i v e d u s i n g t h e n o n l i n e a r

V L E m o d e l ( 2 9 ) . ( A c t u a l l y , t h e V L E w a s r s t l i n e a r i z e d , b u t t h e n a l e x p r e s s i o n

w a s c o r r e c t e d t o m a t c h S =

N

a t t o t a l r e u x . ) T h i s m o d e l p r e d i c t s t h a t S i s

c o n s t a n t f o r c h a n g e s i n f e e d c o m p o s i t i o n p r o v i d e d L a n d V a r e u n c h a n g e d . C o n s i d e r

a c o l u m n w h i c h n o m i n a l l y h a s z

o

F

= 0 5 a n d 1 ; y

o

D

= x

o

B

= 0 0 1 . F o r S c o n s t a n t

t h e f o l l o w i n g t w o e q u a t i o n s g i v e y

D

a n d x

B

a s a f u n c t i o n o f z

F

y

D

( 1 ; x

B

)

( 1 ; y

D

) x

B

=

y

o

D

( 1 ; x

o

B

)

( 1 ; y

o

D

) x

o

B

= 9 8 0 1 ( 3 1 )

z

F

=

D

F

y

D

+

B

F

x

B

( 3 2 )

( T h e s e c o n d e q u a t i o n i s t h e o v e r a l l m a t e r i a l b a l a n c e f o r l i g h t c o m p o n e n t . ) N o t e

t h a t a l l o w s a r e c o n s t a n t , s o D = F = B = F = 0 5 i s c o n s t a n t . ( 3 1 ) a n d ( 3 2 ) c l e a r l y

r e s u l t i n a n o n l i n e a r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n y

D

a n d x

B

, a n d z

F

. T h e s t e a d y - s t a t e

g a i n s f o u n d b y c o m b i n i n g t h e s e e q u a t i o n s a r e s t r o n g l y d e p e n d e n t o n t h e o p e r a t i n g

p o i n t . F o r e x a m p l e ,

S c o n s t a n t :

d y

D

@ z

F

L V

=

1

D

F

+

B

F

x

B

( 1 ; x

B

)

y

D

( 1 ; y

D

)

( 3 3 )

A t t h e n o m i n a l o p e r a t i n g p o i n t ( @ y

D

= @ z

F

)

L V

= 1 . H o w e v e r , f o r z

F

= 0 5 5 , ( 3 1 )

a n d ( 3 2 ) g i v e x

B

= 0 1 0 a n d 1 ; y

D

= 0 0 0 9 2 , a n d t h e l i n e a r i z e d g a i n a t t h i s

1 1


12/27

o p e r a t i n g p o i n t i s ( @ y

D

= @ z

F

)

L V

= 0 0 2 0 2 . T h i s i s 5 0 t i m e s s m a l l e r t h a n t h e

n o m i n a l v a l u e .

T h e c o n c l u s i o n i s t h a t t h e n o n l i n e a r V L E r e s u l t s i n a s t r o n g l y n o n l i n e a r b e h a v -

i o r f o r h i g h - p u r i t y c o l u m n s . T h e b i l i n e a r t e r m s i n ( 3 0 ) a r e o f m u c h l e s s i m p o r t a n c e

f o r t h e o b s e r v e d n o n l i n e a r i t y o f d i s t i l l a t i o n c o l u m n s .

5 . S T E A D Y - S T A T E G A I N S F R O M E X P R E S S I O N F O R S

C o n s i d e r a n y i n p u t o r d i s t u r b a n c e ( f o r e x a m p l e = L V B F z

F

e t c . ) . T h e

s t e a d y - s t a t e g a i n s @ y

D

= @ a n d @ x

B

= d m a y b e f o u n d b y d i e r e n t i a t i n g t h e m a t e r i a l

b a l a n c e ( 2 ) a n d u s i n g t h e d e n i n g e x p r e s s i o n f o r t h e s e p a r a t i o n f a c t o r ( 3 )

D

@ y

D

@

+ B

@ x

B

@

= e

( 3 4 )

@ l n S

@

=

1

y

D

( 1 ; y

D

)

@ y

D

@

;

1

x

B

( 1 ; x

B

)

@ x

B

@

( 3 5 )

H e r e e

i s d e n e d a s

e

= ; ( y

D

; x

B

)

@ D

@

+ F

@ z

F

@

+ ( z

F

; x

B

)

@ F

@

( 3 6 )

S o l v i n g f o r t h e g a i n s g i v e

1

( 1 ; y

D

) y

D

@ y

D

@

=

1

I

s

e

+ B x

B

( 1 ; x

B

)

@ l n S

@

( 3 7 a )

1

( 1 ; x

B

) x

B

@ x

B

@

=

1

I

s

e

; D y

D

( 1 ; y

D

)

@ l n S

@

( 3 7 b )

w h e r e I

s

i s t h e " s u m " o f i m p u r i t i e s l e a v i n g t h e c o l u m n

I

s

= B x

B

( 1 ; x

B

) + D y

D

( 1 ; y

D

) ( 3 8 )

F o r h i g h - p u r i t y s e p a r a t i o n s I

s

B x

B

+ D ( 1 ; y

D

) . T h e r e a r e t w o c o n t r i b u t i o n s t o

t h e g a i n s i n ( 3 7 ) : T h e e

- t e r m a n d t h e c o n t r i b u t i o n f r o m c h a n g e s i n t h e s e p a r a t i o n

f a c t o r S . T h e e

- t e r m p h y s i c a l l y r e p r e s e n t s t h e e e c t o n t h e g a i n s o f c h a n g i n g t h e

e x t e r n a l m a t e r i a l b a l a n c e . T h i s i s c l e a r s i n c e @ D = @ = 0 a n d e

= 0 i s o b t a i n e d

1 2


13/27

w h e n w e c h a n g e t h e i n t e r n a l o w s i n t h e c o l u m n o n l y ( c h a n g e L a n d V k e e p i n g D

a n d B c o n s t a n t ) .

F o r c h a n g e s i n t h e e x t e r n a l o w s ( w h i c h r e p r e s e n t m o s t d i s t u r b a n c e s a n d i n -

p u t s ) t h e e

- t e r m i n ( 3 7 ) i s u s u a l l y d o m i n a t i n g - a t l e a s t w h e n b o t h p r o d u c t s a r e

h i g h - p u r i t y . T h i s m e a n s t h a t t h e m a j o r c o n t r i b u t i o n t o t h e g a i n s i n t h i s c a s e m a y

b e o b t a i n e d b y a s s u m i n g S c o n s t a n t a n d t h e e x a c t v a l u e o f @ l n S = @ i s o f m i n o r

i m p o r t a n c e i n t h i s c a s e .

O n t h e o t h e r h a n d , a g o o d m o d e l f o r S i s i m p o r t a n t f o r o b t a i n i n g t h e g a i n s f o r

c h a n g e s i n t h e i n t e r n a l o w s : I n t h i s c a s e t h e g a i n s , f o r e x a m p l e ( @ y

D

= @ L )

D

, a r e

d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o ( @ l n S = @ L )

D

= ( @ l n S = @ V )

D

a n d a g o o d e s t i m a t e o f t h i s

q u a n t i t y i s r e q u i r e d f o r e s t i m a t i n g t h e c o r r e c t v a l u e o f t h e g a i n .

E s t i m a t i n g @ l n S = @ f r o m s h o r t c u t m o d e l s

E q u a t i o n s ( 3 7 ) a r e e x a c t . I

s

i s a g i v e n c o n s t a n t a n d e

i s t r i v i a l t o n d f o r

t h e c a s e o f c o n s t a n t m o l a r o w s . T h e o n l y \ u n k n o w n " i n ( 3 7 ) i s @ l n S = @ , w h i c h

m a y b e e s t i m a t e d f r o m t h e s h o r t c u t m o d e l s ( 2 8 ) o r ( 1 6 ) . A n a l y t i c e x p r e s s i o n s f o r

@ l n S = @ o b t a i n e d w i t h t h e s e m o d e l s f o r d i e r e n t c h o i c e s o f a r e g i v e n i n T a b l e

4 . E s t i m a t e d n u m e r i c a l v a l u e s o f @ l n S = @ , a n d o f t h e g a i n s a n d t h e R G A f o r t h e

L V - c o n g u r a t i o n a r e c o m p a r e d w i t h e x a c t v a l u e s f o r t h e s e v e n c o l u m n s i n T a b l e

5 - 7 a n d F i g . 2 . T h e r e s u l t s a r e d i s c u s s e d b e l o w f o r e a c h s h o r t c u t m o d e l .

U s i n g t h e m o d e l ( 2 8 ) f o r l n S . F r o m T a b l e 5 w e s e e t h a t , w i t h t h e e x c e p t i o n o f

( @ l n S = @ V )

D

, t h e e s t i m a t e s o f @ l n S = @ a r e e x t r e m e l y p o o r . N o t e t h a t b e c a u s e o f

t h e a s s u m p t i o n o f c o n s t a n t m o l a r o w s w e h a v e

@ l n S

@ V

D

=

@ l n S

@ V

L

+

@ l n S

@ L

V

( 3 9 )

a n d e v e n t h o u g h t h e t w o t e r m s ( @ l n S = @ V )

L

a n d ( @ l n S = @ L )

V

i n d u v i d u a l l y a r e

e s t i m a t e d v e r y p o o r l y w i t h ( 2 8 ) , t h e e s t i m a t e o f t h e s u m ( @ l n S = @ V )

D

i s i n r e a s o n -

a b l e a g r e e m e n t ( F i g . 2 ) . A l s o n o t e f r o m F i g . 2 t h a t ( @ l n S = @ V )

L

a n d ( @ l n S = @ L )

V

1 3


14/27

a r e v e r y s e n s i t i v e t o t h e f e e d p o i n t l o c a t i o n , w h i l e t h e i r s u m ( @ l n S = @ V )

D

i s n e a r l y

c o n s t a n t . T h e c o n c l u s i o n i s t h a t t h e m o d e l ( 2 8 ) i s o n l y u s e f u l f o r e s t i m a t i n g t h e

e e c t o f c h a n g i n g t h e i n t e r n a l o w s o n S

@ l n S

@ V

D

=

@ l n S

@ L

D

( 4 0 )

F o r t u n a t e l y , a s p o i n t e d o u t a b o v e , t h i s c o r r e s p o n d s e x a c t l y t o t h e c a s e w h e n t h e

t e r m @ l n S = @ i n ( 3 7 ) i s m o s t i m p o r t a n t . T h e r e f o r e , i n s p i t e o f t h e g e n e r a l l y p o o r

e s t i m a t e s o f @ l n S = @ , t h e m o d e l ( 2 8 ) c a n b e u s e f u l f o r e s t i m a t i n g s t e a d y - s t a t e g a i n s

a n d t h e R G A ( r e c a l l E q . ( 5 ) ) . T h i s w i l l i n p a r t i c u l a r b e t h e c a s e f o r c o l u m n s w i t h

b o t h p r o d u c t s o f h i g h p u r i t y . I n o t h e r c a s e s t h e e r r o r s m a y b e s i g n i c a n t . T h i s i s

e v i d e n t b y c o m p a r i n g t h e e s t i m a t e d s t e a d y - s t a t e g a i n m a t r i c e s i n T a b l e 7 w i t h t h e

e x a c t v a l u e s i n T a b l e 2 .

U s i n g J a f a r e y ' s m o d e l ( 1 6 ) f o r l n S . A s s e e n f r o m T a b l e 5 a n d 6 , t h e e s t i m a t e d

v a l u e s f o r ( @ l n S = @ V )

D

a r e v e r y s i m i l a r t o t h o s e f o u n d u s i n g ( 2 8 ) . T h e e s t i m a t e d

v a l u e s f o r @ l n S = @ w i t h r e s p e c t t o c h a n g e s i n t h e e x t e r n a l m a t e r i a l b a l a n c e a r e

a g a i n p o o r . S u r p r i s i n g l y , t h e v a l u e s a r e a l s o v e r y d i e r e n t f r o m w h a t i s o b t a i n e d

u s i n g ( 2 8 ) . T h e e s t i m a t e d s t e a d y - s t a t e g a i n m a t r i c e s a r e a l s o v e r y d i e r e n t f o r t h e

t w o m o d e l s i n s o m e c a s e s a s s e e n f r o m T a b l e 7 . S h i n s k e y ( 1 9 8 4 ) u s e s t h e m o d e l

( 1 6 ) t o e s t i m a t e t h e R G A . T h i s e s t i m a t e c a n b e q u i t e p o o r a s s e e n f r o m T a b l e 8 .

T h e m o d e l ( 2 8 ) s e e m s t o b e s o m e w h a t b e t t e r t h a n ( 1 6 ) f o r e s t i m a t i n g t h e R G A .

C h o i c e o f M o d e l f o r l n S

T h e t w o s e e m i n g l y v e r y s i m i l a r s h o r t c u t m o d e l s ( 1 6 ) a n d ( 2 8 ) f o r l n S m a y

r e s u l t i n q u i t e d i e r e n t e s t i m a t e s f o r t h e s t e a d y - s t a t e g a i n m a t r i c e s ( T a b l e 7 ) . N o n e

o f t h e m o d e l s g i v e v e r y a c c u r a t e r e s u l t s , b u t t h e y m a y s t i l l b e u s e f u l f o r o b t a i n i n g

a r s t e s t i m a t e . B a s e d o n t h e n u m e r i c a l r e s u l t s p r e s e n t e d a b o v e , t h e r e i s n o r e a s o n

t o g i v e p r e f e r e n c e t o o n e o f t h e m o d e l s ( 1 6 ) o n ( 2 8 ) . H o w e v e r , t h e a s s u m p t i o n

D z

F

F w h i c h l e d t o ( 1 6 ) d o e s n o t s e e m t o b e j u s t i e d f r o m a t h e o r e t i c a l p o i n t o f

1 4


15/27

v i e w , a n d w e t h e r e f o r e r e c o m m e n d u s i n g ( 2 8 ) , w h i c h a l s o g i v e s s i m p l e r a n a l y t i c a l

e x p r e s s i o n s f o r @ l n S = @ ( T a b l e 4 ) .

6 . A N E W F O R M U L A F O R T H E O P T I M A L F E E D L O C A T I O N

E q u a t i o n s ( 2 2 ) a n d ( 2 3 ) a r e r e a s o n a b l y a c c u r a t e i f m o s t o f t h e t r a y s a r e l o c a t e d

i n t h e r e g i o n o f h i g h a n d l o w p u r i t y . D i v i d e e q u a t i o n ( 2 2 ) b y ( 2 3 ) a n d a s s u m e t h e

f e e d p l a t e i s o p t i m a l l y l o c a t e d s u c h t h a t x

N

F

= x

F

a n d y

N

F

= y

F

1 ; y

F

x

F

=

1 ; y

D

x

B

N

T

; N

B

( L = V )

N

T

T

( V = L )

N

B

B

; ( L = V )

B

; ( V = L )

T

( 4 1 )

A s a c r u d e a p p r o x i m a t i o n n e g l e c t t h e l a s t t w o t e r m s . T h i s a p p r o x i m a t i o n i s r e a -

s o n a b l e i f N

T

a n d N

B

a r e n o t t o o d i e r e n t s i n c e ( L = V )

T

a n d ( V = L )

B

a r e o f t e n

r e a s o n a b l y c l o s e i n m a g n i t u d e . ( 4 1 ) t h e n g i v e s

N

T

; N

B

=

l n

1 ; y

F

x

F

x

B

1 ; y

D

l n

( 4 2 )

x

F

a n d y

F

a r e f u n c t i o n s o f z

F

q

F

a n d a n d a r e o b t a i n e d b y a s h i n g t h e f e e d . T h e

o p t i m a l f e e d t r a y l o c a t i o n i s t h e n g i v e n b y

N

F

= N

B

+ 1 =

N + 1 ; ( N

T

; N

B

)

2

( 4 3 )

( N i s t h e t o t a l n u m b e r o f t h e o r e t i c a l s t a g e s . ) E s t i m a t e d a n d e x a c t v a l u e s o f t h e

o p t i m a l f e e d s t a g e l o c a t i o n s a r e s h o w n f o r t h e s e v e n c o l u m n s i n T a b l e 9 . T h e e x a c t

v a l u e i s f o u n d u s i n g S t o p p e l ( 1 9 4 6 ) ( f o r t h e f e e d a s l i q u i d N

F

= n

2

+ 1 , w h e r e n

2

i s f o u n d f r o m S t o p p e l ' s p a p e r ) . T h e a v e r a g e e r r o r N

F

i n p e r c e n t o f N = 2 f o r t h e

s e v e n c o l u m n s u s i n g ( 4 2 ) i s 7 . 0 % . T h i s c o m p a r e s t o 1 2 . 2 % w h e n u s i n g t h e F e n s k e

r a t i o ( H e n l e y a n d S e a d e r , 1 9 8 1 )

N

T

N

B

=

l n

y

D

1 ; y

D

1 ; z

F

z

F

l n

1 ; x

B

x

B

z

F

1 ; z

F

( 4 4 )

a n d 1 8 . 0 % w h e n u s i n g t h e e m p i r i c a l K i r k b r i d e f o r m u l a ( H e n l e y a n d S e a d e r , 1 9 8 1 )

N

T

N

B

=

"

1 ; z

F

z

F

B

D

x

B

1 ; y

D

2

#

0 2 0 6

( 4 5 )

1 5


16/27

( T h e c r u d e e s t i m a t e N

F

= N = 2 g i v e s a n a v e r a g e e r r o r o f 2 0 . 0 % ) . W e a l s o c o m p u t e d

t h e o p t i m a l f e e d p o i n t l o c a t i o n f o r t h e 2 4 c o l u m n s g i v e n b y J a f a r e y e t a l . ( 1 9 7 9 ) .

( T h e r e i s a m i s p r i n t i n t h i s p a p e r , a n d R = R

m i n

s h o u l d b e 1 . 7 5 f o r c a s e b ) . T h e

f o l l o w i n g a v e r a g e e r r o r s w e r e f o u n d

N

F

N = 2

T h i s w o r k ( 4 2 ) 4 . 4 %

F e n s k e r a t i o ( 4 4 ) 1 5 . 7 %

K i r k b r i d e ( 4 5 ) 1 2 . 8 %

7 . E X T E N S I O N S T O M U L T I C O M P O N E N T M I X T U R E S

D e n e s e p a r a t i o n i n t e r m s o f t w o k e y c o m p o n e n t s ( L a n d H ) , a n d d e n e t h e

p s e u d o - b i n a r y v a l u e s o f c o m p o s i t i o n a n d o w s ( s u p e r s c r i p t ' ) b y c o n s i d e r i n g o n l y

t h e s e k e y c o m p o n e n t s . F o r e x a m p l e

y

0

= y

0

L

=

y

L

y

L

+ y

H

V

0

= V ( y

L

+ y

H

) ( 4 6 )

( a s u s u a l t h e s u b s c r i p t L h a s b e e n d r o p p e d f o r t h e l i g h t c o m p o n e n t ) . T h e n o n k e y

c o m p o n e n t s a r e a s s u m e d t o b e n o n - d i s t r i b u t i n g t h e h e a v y n o n k e y ( H N ) i s a s s u m e d

t o h a v e m u c h l o w e r r e l a t i v e v o l a t i l i t y t h a n t h e h e a v y k e y ( H ) . A l s o , t h e l i g h t n o n k e y

( L N ) i s a s s u m e d t o h a v e m u c h h i g h e r r e l a t i v e v o l a t i l i t y t h a n t h e l i g h t k e y ( L ) . U n d e r

t h e s e a s s u m p t i o n s ( 2 7 ) s t i l l h o l d s i f a p s e u d o - b i n a r y b a s i s i s u s e d ( A p p e n d i x ) :

S =

y

0

D

= 1 ; y

0

D

x

0

B

= 1 ; x

0

B

=

N

( L

0

= V

0

)

N

T

T

( L

0

= V

0

)

N

B

B

( 4 7 )

w h e r e a s b e f o r e

=

y

L

= y

H

x

L

= x

H

=

y

0

= 1 ; y

0

x

0

= 1 ; x

0

( 4 8 )

T h e m a t e r i a l b a l a n c e m a y a l s o b e w r i t t e n o n a p s e u d o - b i n a r y b a s i s

F

0

z

0

F

= B

0

x

0

B

+ D

0

y

0

D

( 4 9 )

1 6


17/27

C o n s e q u e n t l y , a l l t h e g a i n e q u a t i o n s ( 3 4 ) - ( 3 8 ) d e r i v e d a b o v e s t i l l a p p l y w h e n a

p s e u d o - b i n a r y b a s i s i s u s e d .

S i m i l a r l y , E q . ( 4 2 ) f o r t h e o p t i m a l f e e d p o i n t l o c a t i o n a p p l i e s i f x

B

y

D

y

F

a n d

x

F

a r e r e p l a c e d b y t h e p s e u d o - b i n a r y v a l u e s x

0

B

y

0

D

y

0

F

a n d x

0

F

8 . C O N C L U S I O N

I t i s c o n v e n i e n t t o e x p r e s s t h e c o l u m n b e h a v i o r i n t e r m s o f t h e s e p a r a t i o n f a c t o r

S =

y

D

( 1 ; x

B

)

( 1 ; y

D

) x

B

( 3 )

S i s o f t e n n e a r l y c o n s t a n t f o r v a r y i n g o p e r a t i n g c o n d i t i o n s . F o r c o l u m n s w i t h

c o n s t a n t r e l a t i v e v o l a t i l i t y a n d c o n s t a n t m o l a r o w s , F e n s k e ' s e x a c t e q u a t i o n a p p l i e s

a t t o t a l r e u x

S =

N

( 4 )

F o r n i t e r e u x t h e f o l l o w i n g g e n e r a l i z a t i o n i s u s e f u l

S =

N

( L = V )

N

T

T

( L = V )

N

B

B

( 2 7 )

T h i s m o d e l g i v e s a g o o d d e s c r i p t i o n o f h o w S c h a n g e s w i t h t h e i n t e r n a l o w s , b u t

d e s c r i b e s p o o r l y t h e e e c t o f c h a n g e s i n t h e e x t e r n a l m a t e r i a l b a l a n c e . F o r t u n a t e l y ,

i t t u r n s o u t t h a t t h i s i s o f l e s s i m p o r t a n c e i f t h e m o d e l f o r S i s u s e d t o o b t a i n

e s t i m a t e s f o r t h e s t e a d y s t a t e g a i n s .

F i n a l l y , a n e w f o r m u l a f o r e s t i m a t i n g t h e o p t i m a l f e e d s t a g e l o c a t i o n i s p r o p o s e d

N

T

; N

B

=

l n

1 ; y

F

x

F

x

B

1 ; y

D

l n

( 4 2 )

F r o m i t s d e r i v a t i o n w e k n o w t h a t t h i s f o r m u l a m a y g i v e p o o r r e s u l t s i f N

T

a n d N

B

a r e v e r y d i e r e n t , b u t i t g a v e b e t t e r r e s u l t s t h a n o t h e r p r o p o s e d m e t h o d s f o r t h e

s e v e n c o l u m n s i n T a b l e 1 a n d f o r t h e 2 4 c o l u m n s s t u d i e d b y J a f a r e y e t a l . ( 1 9 7 9 ) .

A c k n o w l e d g e m e n t s . P a r t i a l s u p p o r t f r o m t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n

a n d N o r s k H y d r o i s g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d .

1 7


18/27

N O M E N C L A T U R E

B - b o t t o m p r o d u c t r a t e

D - d i s t i l l a t e ( t o p p r o d u c t ) r a t e

F - f e e d r a t e

L

T

= L - l i q u i d o w i n t o p s e c t i o n o f c o l u m n

L

B

= L + q

F

F - l i q u i d o w i n b o t t o m s e c t i o n o f c o l u m n

N

B

- n u m b e r o f t h e o r e t i c a l t r a y s b e l o w f e e d ( i n c l . r e b o i l e r )

N

F

= N

B

+ 1 - f e e d t r a y l o c a t i o n

N

T

- n u m b e r o f t h e o r e t i c a l t r a y s a b o v e f e e d

N = N

B

+ N

T

+ 1 - t o t a l n u m b e r o f t h e o r e t i c a l t r a y s i n c o l u m n

q

F

- f r a c t i o n o f l i q u i d i n f e e d

R = L = D - r e u x r a t i o

S =

y

D

( 1 ; x

B

)

( 1 ; y

D

) x

B

- s e p a r a t i o n f a c t o r

V

B

= V - v a p o r o w i n b o t t o m s e c t i o n o f c o l u m n

V

T

= V + ( 1 ; q

F

) F - v a p o r o w i n t o p p a r t o f c o l u m n

x

B

- m o l e f r a c t i o n o f l i g h t c o m p o n e n t i n b o t t o m p r o d u c t

x

i

- l i q u i d m o l e f r a c t i o n o f l i g h t c o m p o n e n t o n s t a g e i

x

F

y

F

- m o l e f r a c t i o n i n f e e d a t f e e d s t a g e p r e s s u r e

x

N

F

y

N

F

- m o l e f r a c t i o n s o n f e e d t r a y

y

D

= x

D

- m o l e f r a c t i o n o f l i g h t c o m p o n e n t i n d i s t i l l a t e ( t o p p r o d u c t )

y

i

- v a p o r m o l e f r a c t i o n o g l i g h t c o m p o n e n t o n s t a g e i

S u b s c r i p t s

B - b o t t o m p a r t o f c o l u m n , b o t t o m p r o d u c t

D - d i s t i l l a t e p r o d u c t

T - t o p p a r t o f c o l u m n

i - t r a y n o . n u m b e r e d f r o m b o t t o m ( i = 1 f o r r e b o i l e r , i = 2 f o r r s t t r a y ,

i = N f o r t o p t r a y , i = N + 1 f o r c o n d e n s e r )

S u p e r s c r i p t

0

- p s e u d o - b i n a r y b a s i s i s u s e d

1 8


19/27

R E F E R E N C E S

G i l l i l a n d , E . R . , I n d . a n d E n g . C h e m . , 3 2 , 1 2 2 0 ( 1 9 4 0 ) .

H e n l e y , E . J . a n d J . D . S e a d e r , E q u i l i b r i u m - S t a t e S e p a r a t i o n O p e r a t i o n s i n C h e m -

i c a l E n g i n e e r i n g , J o h n W i l e y a n d S o n s ( 1 9 8 1 ) .

J a f a r e y , A . , J . M . D o u g l a s a n d T . J . M c A v o y , S h o r t - C u t T e c h n i q u e s f o r D i s t i l l a t i o n

C o l u m n D e s i g n a n d C o n t r o l . 1 . C o l u m n D e s i g n , I n d . & E n g . C h e m i s t r y P r o c e s s

D e s . & D e v . , 1 8 , 1 9 7 - 2 0 2 ( 1 9 7 9 ) .

M c C a b e , W . L . a n d J . C . S m i t h , U n i t O p e r a t i o n s o f C h e m i c a l E n g i n e e r i n g , 3 r d

E d i t i o n , M c G r a w - H i l l ( 1 9 7 6 ) .

S h i n s k e y , F . G . , D i s t i l l a t i o n C o n t r o l , 2 n d E d i t i o n , M c G r a w - H i l l ( 1 9 8 4 ) .

S k o g e s t a d , S . a n d M . M o r a r i , S h o r t c u t M o d e l s f o r D i s t i l l a t i o n C o l u m n s - I I . D y -

n a m i c C o m p o s i t i o n R e s p o n s e , T h i s i s s u e o f C o m p . & C h e m . E n g . ( 1 9 8 7 a )

S k o g e s t a d , S . a n d M . M o r a r i , U n d e r s t a n d i n g t h e S t e a d y S t a t e B e h a v i o r o f D i s t i l l a -

t i o n C o l u m n s , i n p r e p a r a t i o n ( 1 9 8 7 b ) .

S k o g e s t a d , S . a n d M . M o r a r i , I m p l i c a t i o n s o f L a r g e R G A - e l e m e n t s o n C o n t r o l P e r -

f o r m a n c e , s u b m i t t e d t o I n d . & E n g . C h e m i s t r y P r o c e s s D e s . & D e v . ( 1 9 8 7 c )

S t o p p e l , A . E . , C a l c u l a t i o n o f N u m b e r o f T h e o r e t i c a l P l a t e s f o r R e c t i f y i n g C o l u m n ,

I n d . & E n g . C h e m i s t r y , 3 8 , 1 2 , 1 2 7 1 - 1 2 7 2 ( 1 9 4 6 ) .

1 9


20/27

A P P E N D I X

E x t e n s i o n s t o m u l t i c o m p o n e n t m i x t u r e s

T h e r e l a t i v e v o l a t i l i t y b e t w e e n t h e k e y c o m p o n e n t s i s d e n e d a s ( s u b s c r i p t i

f o r t h e t r a y i s d r o p p e d )

=

y

L

= x

L

y

H

= x

H

=

y

0

( 1 ; x

0

)

x

0

( 1 ; y

0

)

( 4 8 )

B o t t o m s e c t i o n . F r o m ( 4 8 ) w e g e t

y

L

= (

B

y

H

x

H

) x

L

= ^

B

x

L

( A 1 )

I n S e c t i o n 3 w e l i n e a r i z e d t h e V L E b y a s s u m i n g y

H

1 a n d x

H

1 , b u t t h e

l a s t a p p r o x i m a t i o n d o e s n o t h o l d i n p r e s e n c e o f h e a v y n o n k e y - c o m p o n e n t s ( H N ) .

A s s u m i n g y

H N

0 ( i . e . , t h e h e a v y n o n k e y h a s v e r y l o w r e l a t i v e v o l a t i l i t y ) w e g e t

x

H N

z

H N

F

L

B

a n d w e n d y

H

1 a n d x

H

1 ; x

H N

= 1 ;

z

H N

F

L

B

, i . e . ,

^

B

=

B

( 1 ;

x

H N

F

L

B

) ( A 2 )

a n d w e h a v e a l i n e a r V L E r e l a t i o n s h i p f o r t h e b o t t o m s e c t i o n . T h i s l e a d s t o a n

e x p r e s s i o n f o r x

L N

F

s i m i l a r t o ( 2 3 ) b u t w i t h

B

r e p l a c e d b y ^

B

T o p s e c t i o n . F r o m ( 4 8 ) w e g e t

y

H

= (

1

T

y

L

x

L

) x

H

=

1

^

T

x

H

( A 3 )

A d e r i v a t i o n s i m i l a r t o t h e o n e f o r t h e b o t t o m s e c t i o n y i e l d s

^

T

=

T

1 ; z

L N

F = V

T

( A 4 )

T h i s l e a d s t o a n e x p r e s s i o n f o r y

H N

F

a s a f u n c t i o n o f y

H D

s i m i l a r t o ( 2 2 ) , b u t w i t h

T

r e p l a c e d b y ^

T

N o t e t h a t F e n s k e ' s e x p r e s s i o n f o r S a t i n n i t e i n u x i s e x a c t a l s o w h e n t h e r e

a r e n o n k e y c o m p o n e n t s .

S =

y

L D

= x

L D

y

H D

= x

H D

=

y

0

D

( 1 ; x

0

B

)

x

0

B

( 1 ; y

0

D

)

=

N

( A 5 )

2 0


21/27

M u l t i p l y i n g ( 2 2 ) w i t h ( 2 4 ) a s b e f o r e , a n d c o r r e c t i n g w i t h t h e e x a c t e x p r e s s i o n ( A 5 )

w e d e r i v e

S =

N

1 ;

z

H N

F

L

B

N

B

1 ;

z

L N

F

V

T

; N

T

( L = V )

N

T

T

( L = V )

N

B

B

( A 6 )

S i n c e t h e n o n k e y c o m p o n e n t s a r e n o n - d i s t r i b u t i n g w e h a v e

L

0

T

= L

T

V

0

T

= V

T

; z

L N

F

L

0

B

= L

B

; x

H N

F V

0

B

= V

B

S u b s t i t u t i n g t h i s i n t o ( A 6 ) w e n a l l y d e r i v e

S =

N

( L

0

= V

0

)

N

T

T

( L

0

= V

0

)

N

B

B

( 4 7 )

2 1


22/27

C o l u m n z

F

N N

F

y

D

x

B

D

F

L

F

N

N

m i n

R

R

m i n

A 0 5 1 5 4 0 2 1 0 9 9 0 0 1 0 5 0 0 2 7 0 6 1 7 6 1 3 8 8

B 0 1 " " " " " 0 0 9 2 2 3 2 9 " 1 3 0 1

C 0 5 " " " 0 9 0 0 0 0 2 0 5 5 5 2 7 3 7 1 9 3 1 6 4 5

D 0 6 5 1 1 2 1 1 0 3 9 0 9 9 5 0 1 0 0 6 1 4 1 1 8 6 2 1 6 6 1 5 2 9

E 0 2 5 1 5 5 0 9 9 9 9 0 0 5 0 1 5 8 0 2 2 6 1 9 9 1 1 4 4

F 0 5 1 5 1 0 5 0 9 9 9 9 0 0 0 0 1 0 5 0 0 0 2 2 7 1 4 7 3 1 8 3

G 0 5 1 5 8 0 4 0 0 9 9 9 9 0 0 0 0 1 0 5 0 0 2 6 3 5 1 7 6 1 3 1 8

T a b l e 1 . S t e a d y - s t a t e d a t a f o r d i s t i l l a t i o n c o l u m n e x a m p l e s . A l l c o l u m n s h a v e l i q u i d

f e e d ( q

F

= 1 ) .

C o l u m n G

L V

G

D V

G

d

( F z

F

)

A

0 8 7 8 ; 0 8 6 4

1 0 8 2 ; 1 0 9 6

; 0 8 7 8 0 0 1 4

; 1 0 8 2 ; 0 0 1 4

0 3 9 4 0 8 8 1

0 5 8 6 1 1 1 9

B

1 7 4 8 ; 1 7 1 7

9 0 2 3 ; 9 0 5 4

; 1 7 4 8 0 3 0 8 8

; 0 9 0 2 3 ; 0 0 3 1 2

0 0 8 5 8 1 6 3 6

0 0 9 0 4 0 9 3 6

C

1 6 0 4 ; 1 6 0 2

0 1 8 6 5 ; 0 2 1 4 8

; 1 6 0 4 0 0 2 2 7

; 0 1 8 6 5 ; 0 0 2 8 3

0 8 8 2 2 1 7 9 0

0 0 1 9 7 0 0 1 7 0

D

0 1 2 3 1 ; 0 1 2 1 1

2 1 2 6 ; 2 1 2 9

; 0 1 2 3 1 0 0 1 9 2

; 2 1 2 6 ; 0 0 3 0 7

0 0 5 1 6 0 1 2 5 2

1 3 4 4 2 3 9 5

E

0 2 0 3 3 ; 0 1 3 1 5

1 1 2 4 ; 1 1 2 6

; 0 2 0 3 3 0 0 7 1 9

; 1 1 2 4 ; 0 0 1 3 5

0 0 0 4 5 0 0 9 4 9

0 1 7 8 0 1 1 8 6

F

1 0 7 4 ; 1 0 7 3

0 9 2 5 7 ; 0 9 2 6 7

; 1 0 7 4 0 0 0 9 9 8

; 0 9 2 5 7 ; 0 0 0 9 9 8

0 5 3 6 2 1 0 7 3

0 4 6 3 6 0 9 2 6 9

G

0 8 6 4 9 ; 0 8 6 4 6

1 1 3 5 ; 1 1 3 5

; 0 8 6 4 9 0 0 0 2 9 4

; 1 1 3 5 ; 0 0 0 2 9 4

0 4 3 1 5 0 8 6 4 7

0 5 6 8 3 1 1 3 5

T a b l e 2 . S t e a d y - s t a t e g a i n m a t r i c e s f o r e x a m p l e s o b t a i n e d u s i n g ( 1 1 ) . G

D V

= G

L V

M

( 1 3 ) . U n s c a l e d p r o d u c t c o m p o s i t i o n s ( y

D

a n d x

B

) a r e u s e d a s d e n e d i n ( 1 2 ) .

2 2


23/27

C o l u m n A c t u a l N E s t i m a t e d N

T h i s w o r k ( 2 8 ) J a f a r e y ( 1 6 )

A 4 0 3 7 . 0 2 3 7 . 0 2

B 4 0 4 0 . 5 1 3 8 . 4 1

C 4 0 3 3 . 6 7 3 5 . 7 3

D 1 1 0 1 0 2 . 8 1 9 9 . 8 9

E 1 5 1 5 . 9 2 1 4 . 1 7

F 1 0 9 . 8 8 9 . 8 8

G 8 0 7 5 . 3 2 7 5 . 3 2

A v e r a g e E r r o r 6 . 3 % 6 . 3 %

T a b l e 3 . E s t i m a t e d n u m b e r o f t h e o r e t i c a l t r a y s i n c o l u m n s .


( F e e d l i q u i d q

F

= 1 )

l n S N l n +

N

2

( L = V )

T

( L = V )

B

N l n ;

N

2

l n

1 +

1

R z

F

;

@ n S

@ L

V

N

2

1

L

q

F

F

L + q

F

F

N

2

1

L

R + 1

R z

F

+ 1

;

@ n S

@ V

L

N

2

1

V

( 1 ; q

F

) F

L + D

;

N

2

1

D

1

R z

F

+ 1

;

@ n S

@ V

D

( q

F

= 1 ) :

N

2

1

L

1

L = F + 1

N

2

1

L

1

R z

F

+ 1

@ n S

@ z

F

L V

0

N

2

1

z

F

1

R z

F

+ 1

;

@ n S

@ F

L V

;

N

2

q

F

L + q

F

F

+

1 ; q

F

L + D

0

@ n S

@ q

F

L V

;

N

2

1

L = F + q

F

;

1

L = F + D = F

;

N

2

1

R z

F

+ 1

;

1

R z

F

+ z

F

T a b l e 4 . A n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s f o r @ l n S = @ o b t a i n e d f r o m s h o r t c u t m o d e l s ( 2 8 ) a n d

( 1 6 ) . ( @ l n S = @ V )

D

f o r q

F

6= 1 i s e q u a l t o ( @ l n S = @ L )

V

+ ( @ l n S = @ V )

L

( 3 9 ) .

2 3


24/27

C o l u m n A C o l u m n B

E x a c t T h i s w o r k J a f a r e y E x a c t T h i s w o r k J a f a r e y

( 2 8 ) ( 1 6 ) ( 2 8 ) ( 1 6 )

( @ l n S = @ L )

V

; 2 1 1 1 9 9 1 2 8 8 5 3 2 5 8 6 4 0

( @ l n S = @ V )

L

2 3 9 0 ; 1 0 8 ; 8 1 9 0 ; 6 1 6

( @ l n S = @ V )

D

2 7 6 1 9 9 1 9 9 3 4 4 2 5 8 2 4 2

( @ l n S = @ z

F

)

L V

; 2 4 0 0 1 0 8 7 0 7 0 5 6 5

( @ l n S = @ F )

L V

; 1 9 3 ; 5 4 0 ; 0 5 ; 6 0 0

( @ l n S = @ q

F

)

L V

; 2 2 7 0 8 0 8 8 4 8 2 3 1 9

T a b l e 5 . E s t i m a t e d v a l u e s f o r @ l n S = @ f o r c o l u m n s A a n d B .

C o l u m n E x a c t E s t i m a t e s


A 2 . 7 6 1 . 9 9 1 . 9 9

B 3 . 4 4 2 . 5 8 2 . 4 3

C 1 . 4 4 1 . 9 6 2 . 1 1

D 0 . 4 2 0 . 3 6 0 . 3 4

E 7 1 . 9 2 7 . 1 2 5 . 8

F 2 0 . 0 1 8 . 0 1 8 . 0

G 5 . 8 7 4 . 1 8 4 . 1 8

A v e r a g e e r r o r 2 9 . 2 % 3 2 . 2 %

T a b l e 6 . E s t i m a t e s o f ( @ l n S = @ V )

D

= ( @ l n S = @ L )

D

. T h i s r e p r e s e n t s t h e e e c t o f c h a n g -

i n g t h e i n t e r n a l o w s o n S

2 4


25/27

C o l u m n E x a c t E s t i m a t e d


A

0 8 7 8 ; 0 8 6 4

1 0 8 2 ; 1 0 9 6

0 9 9 0 ; 0 9 8 0

0 9 7 0 ; 0 9 8 0

1 0 4 3 4 ; 1 0 3 3 5

0 9 1 6 6 ; 0 9 2 6 5

B

1 7 4 8 ; 1 7 1 7

9 0 2 3 ; 9 0 5 4

1 0 0 3 2 ; 0 9 8 0 0

0 9 7 7 7 ; 0 9 8 0 0

1 5 5 5 4 ; 1 5 3 3 7

0 9 2 1 8 ; 0 9 2 4 0

C

1 6 0 4 ; 1 6 0 2

0 1 8 6 5 ; 0 2 1 4 8

1 5 9 4 0 ; 1 5 9 0 9

0 3 1 4 5 ; 0 3 5 2 8

1 6 0 9 4 ; 1 6 0 6 1

0 1 0 7 4 ; 0 1 4 8 8

T a b l e 7 . E s t i m a t e s o f G

L V

f o r c o l u m n s A , B a n d C o b t a i n e d u s i n g ( 3 7 ) w i t h s h o r t c u t

m o d e l s ( 2 8 ) a n d ( 1 6 ) .

C o l u m n

1 1

, E x a c t

1 1

, E s t i m a t e d


A 3 5 . 1 5 0 . 3 5 0 . 0

B 4 7 . 5 3 9 . 3 6 1 . 0

C 7 . 5 3 9 . 0 6 3 . 5 8

D 5 8 . 7 6 6 . 7 8 5 . 9

E 2 . 8 2 1 . 8 7 3 . 3 5

F 4 9 9 5 5 8 5 5 8

G 1 6 7 3 2 3 9 4 2 3 9 4

A v e r a g e e r r o r 2 6 . 2 % 3 6 . 5 %

T a b l e 8 . E s t i m a t e d a n d e x a c t R G A - v a l u e s f o r t h e L V - c o n g u r a t i o n . N o t e t h a t t h e v a l -

u e s o f J a f a r e y a r e u s e d i n t h e b o o k o f S h i n s k e y ( 1 9 8 4 ) .

2 5


26/27

C o l u m n N N

F

, E x a c t N

F

, E s t i m a t e d

S t o p p e l T h i s w o r k F e n s k e r a t i o K i r k b r i d e

( 4 2 ) ( 4 4 ) ( 4 5 )

A 4 0 2 1 . 0 2 0 . 8 2 0 . 5 2 0 . 5

B 4 0 1 8 . 5 1 7 . 9 1 1 . 2 1 2 . 1

C 4 0 3 0 . 1 2 5 . 6 2 9 . 8 3 3 . 8

D 1 1 0 3 9 . 1 4 5 . 3 4 2 . 0 3 0 . 1

E 1 5 5 . 1 6 5 . 8 2 2 . 7 9 1 . 5 5

F 1 0 5 . 8 4 5 . 8 8 5 . 5 0 5 . 5 0

G 8 0 4 0 . 0 4 0 . 8 4 0 . 5 4 0 . 5

A v e r a g e e r r o r ,

N

F

N = 2

: 7 . 0 % 1 2 . 2 % 1 8 . 0 %

T a b l e 9 . O p t i m a l f e e d p o i n t l o c a t i o n s .

2 6


27/27

F i g u r e c a p t i o n s .

F i g . 1 . V L E - c u r v e f o r r e l a t i v e v o l a t i l i t y = 2 0 a n d l i n e a r a p p r o x i m a t i o n w i t h

y = x a n d 1 ; y =

1 ; x

F i g . 2 . C o l u m n A . E e c t o f f e e d p o i n t l o c a t i o n N

F

o n d e r i v a t i v e s o f l n S w i t h a l l

o t h e r c o l u m n d a t a x e d ( i n c l u d i n g 1 ; y

D

= x

B

= 0 0 1 ) . E x a c t v a l u e s a r e

c o m p a r e d w i t h s h o r t c u t m o d e l ( 2 8 ) . N o t e t h a t ( @ l n S = @ L )

V

+ ( @ l n S = @ V )

L

=

( @ l n S = @ V )

D

a n d t h a t ( @ l n S = @ V )

L

= 0 f o r t h e s h o r t c u t m o d e l s i n c e q

F

= 1

( s e e T a b l e 4 . ) .

2 7

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